（计算数学专业论文）几类泛函微分方程周期解的性态研究.pdf

原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：玄慧日期：型幽l 年l 月笪日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 中国学位论文全文数据库， 日期：丝早年上展日 摘要 本文利用重合度理论研究了几类泛函微分方程周期解的性态问 题全为共分为五部分首先，介绍了泛函微分方程周期解的研究历史 及其发展，然后介绍了度理论的有关知识和本文的主要工作第二章 研究了一类简单的r a y l e i g h 泛函微分方程周期解的存在性问题，基 于重合度理论和有关不等式，得到了该方程存在周期解的新的充分条 件，改进了已有文献的相关结果第三章利用重合度理论和f o u r i e r 级数理论建立了一类三阶泛函微分方程存在周期解的新的充分条件 第四章利用重合度延拓定理和更精确的先验估计，研究了一类四阶非 线性泛函微分方程解的存在性问题，在更弱的条件下获得了该方程存 在周期解存在性的若干充分条件，推广了已有文献的相关结果第五 章运用重合度理论和分析的技巧，研究了一类具分布时滞的中立型泛 函微分方程周期解的存在性问题，在比已有文献更弱的条件下得到了 其周期解存在的新的充分条件，改进和丰富了已有文献的结论 关键词周期解，重合度，中立型方程，存在性 a bs t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni sm a i n l yc o n c e m e dw i t ht h ee x i s t e n c eo f p e r i o d i c s o l u t i o n sf o rs o m ek i n d so ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h i sd i s s e r t a f i o ni sd i v i d e di n t of i v ep a r t s f i r s t ，t h ed e v e l o p m e n to f p e r i o d i cs o l u t i o n sf o rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h ed e g r e et h e o r ya n dt h i s p a p e r sw o r ka r ep r e s e n t e d i nc h a p t e r2 ，t h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n so ft h er a y l e i g hf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sd i s c u s s e d b a s e d o nt h ec o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r ya n dr e l a t e di n e q u a l i t i e s ，s o m en e ws u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e nb yw h i c ht h er e l e v a n tr e s u l t sh a v e b e e n s i g n i - f i c a n t l yi m p r o v e di ne x i s t i n gl i t e r a t u r e i nc h a p t e r3 ，b a s e do nt h ec o i n c i - d e n c ed e g r e et h e o r ya n dt h et h e o r yo ff o u r i e rs e r i e s ，t h ee x i s t e n c eo f p e r i o d i cs o l u t i o n so f t h et h i r d - - o r d e rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sd i s c u s s e d s o m en e ws u f f i c i e n tc o n d i t i o n so nt h ee x i s t e n c eo f p e r i o d i cs o l u 一 一t i o ns o l u t i o n sa r ee s t a b l i s h e d c h a p t e r4d e s c r i b e san u m b e ro fe s s e n t i a l l e m m a ，t h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n sf o rt h ef o u r t h o r d e rn o n l i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o ni ss t u d i e db yu s i n gt h ec o i n c i d e n c ed e g r e ec o n t i n u a t i o nt h e o r ya n dt h em o r ea c c u r a t ep r i o r ie s t i m a t e s s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r t h ee x i s t e n c eo f p e r i o d i cs o l u t i o n sf o rt h i sk i n do f n e u t r a lf u n c - t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o na r eo b t a i n e du n d e rt h ew e a k e rc o n d i t i o n s ， w h i c hi m p r o v ea n de x t e n dt h er e l e v a n tr e s u l t s i ne x i s t i n gl i t e r a t u r e i n c h a p t e r5 ，b a s e do nt h et h e o r yo fc o i n c i d e n c ed e g r e ea n ds o m ea n a l y t i c a l s k i l l s ，t h ep e r i o d i cs o l u t i o n st oak i n do fh i g h o r d e rn e u t r a lf u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hd i s t r i b u t e dd e l a yi ss t u d i e d s o m es u f f i c i e n t h c o n d i t i o n sf o r t h ee x i s t e n c eo f p e r i o d i cs o l u t i o n sf o rt h i sk i n do fn e u t r a l f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o na r eo b t a i n e du n d e rt h ew e a k e r c o n d i t i o n s ， w h i c hi m p r o v ea n de x t e n dt h er e l e v a n tr e s u l t si ne x i s t i n gl i t e r a t u r e k e yw o r d s p e r i o d i cs o l u t i o n s ，c o i n c i d e n c ed e g r e e ，n e u t r a le q u m i o n ， e x i s t e n c e 目录 第一章绪论1 1 1 引言1 1 2 度理论的基本知识2 1 3 本文的主要工作3 第二章一类r a y ieig h 泛函微分方程周期解的存在性6 2 1 引言6 2 2 主要结论7 2 3 应用举例1 3 第三章一类三阶泛函微分方程周期解的存在性15 3 1 引言15 3 2 主要结论一15 第四章一类非线性四阶泛函微分方程周期解的存在性2 0 4 1 引言2 0 4 2 主要结论2 1 4 3 应用举例2 6 第五章高阶中立型泛函微分方程周期解的存在性2 8 5 1 引言一2 8 5 2 主要结论2 8 5 3 应用举例。4 2 参考文献4 4 致谢4 9 攻读学位期间主要的研究成果5 0 i v 硕士学位论文第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 自二十世纪以来，微分方程的研究受到许多学者的关注，其发展非常迅速 二十世纪三十年代之前，对泛函微分方程的研究内容仅限于某些特殊类型方程的 特殊性质1 9 2 8 年和1 9 3 1 年，v o l t e r r a 讨论了更一般的泛函微分方程，并且利 用泛函微分方程与一些物理系统之间的联系，定义了能量函数以及观察系统在短 时间内的渐近行为，这是泛函微分方程理论发展的一个里程碑五十年代以来， 自然科学与社会科学的许多学科，如物理学、化学、生物学、工程学和经济学科 等提出了大量复杂的动力学系统问题，都需要泛函微分方程来精确的描述；七十 年代后，在生物学、物理学、控制理论和工程问题中又不断提出了大量的时滞动 力系统问题由于考虑时滞的影响，泛函微分方程比常微分方程更能客观反映事 物的发展规律，这使得泛函微分方程周期解理论有着广泛的应用背景和研究价 值 泛函微分方程定性理论的研究要比常微分方程困难，而且没有统一的研究方 法近年来，众多的学者针对某些具体类型的泛函微分方程，采用了各种各样的 方法得到了一系列关于周期解存在性的结果，如范猛等 1 - 2 用不动点理论讨论 了几类中立型泛函微分方程周期解的存在性；贺明科 3 用不动点理论研究了一 类高维中立型泛函微分方程周期解的存在性；彭世国等 4 运用矩阵测度和 k r a s n o s e l s k i i 不动点定理研究了一类无限时滞泛函微分方程周期解的存在性等 目前，g a i n e s 和m a w h i n 的重合度理论已成为许多学者研究常微分方程边值 问题和周期解的一个强有力的工具，国内外学者利用这一理论研究时滞微分方程 周期解的存在性问题，得到了一些很好的结果 5 - 2 2 如m a 等 5 利用m a w h i n 重合度理论讨论了一阶微分方程组的周期解；鲁世平等 6 - 8 利用m a w h i n 重合 度理论讨论了几类微分方程周期解的存在性；刘锡平等 9 - 1 2 利用m a w h i n 重合 度理论讨论了d u f f i n g 型微分方程周期解的存在性；j k h a l e 等 1 3 1 4 利用 m a w h i n 重合度理论研究了中立型泛函微分方程周期解的存在性；w a n g 等 1 5 2 1 利用m a w h i n 重合度理论讨论了r a y l e i g h 泛函微分方程周期解的存在性 本文将继续利用m a w h i n 重合度理论研究几类泛函微分方程周期解的存在 性 硕士学位论文第一章绪论 1 2 度理论的基本知识 定义1 2 1 设x ，z 是实b a n a c h 空间，l ：d ( 三) c x 寸z 是一个线性映射， 如果下列条件满足： ( 1 ) d i m k e r l = c o d i m i m l = s g n ( 力 若厂1 ( y ) = 0 ，则有 吲 d e g f ，q ，y ) = s g n j s ( x ) = 0 x e f 。( y ) 考虑b a n a c h 空间z 中的抽象算子方程 l x = a n x 名( o ，1 ) 其中l ：d 犯) n x h x 是线性算子，五为参数 令只q 为两个投影： 尸：x n d ( l ) hk e r l 和q ：xh x i m l 引理1 2 1 业5 3 设置y 是b a n a c h 空间，：d ( l ) cx 专y 是指标为零的 f r e d h o l m 映射，p ：x k e r l ，q ：y 专y 分别为投影算子q c x 是有界开集， n ：西专y 在西上是一紧的，如果下列条件满足： ( 1 ) l x 2 n x ，v x r a n d ( l ) ，见( o ，1 ) ， ( 2 ) n x 诺i m l ，眠o q n k e r l ， ( 3 ) d e g j q g ，f 2 n k e r l ，0 ) 0 则方程l x = n x 在f i n d ( l ) 上至少存在一个解，其中j ：k e r l i m q 为同构 2 硕- l 二学位论文第一章绪论 1 3 本文的主要工作 本文第二章研究了一类简单的r a y l e i g h 泛函微分方程 x ”+ f ( x o ) ) + g ( t ，x ( t f o ) ) ) = p ( f ) ( 2 1 ) 的周期解的存在性问题，其中f ，f ，p ：r 专r 的连续函数，g ：r xr 寸r 连续函数， g f ( o ) = o ，f ，p 是关于t 的周期函数，周期t 0 利用重合度理论得到了该方程存 在周期解的充分条件 定理2 2 1 假设条件 x ( g ( t ，功一p ( f ) ) 0 满足下列条件 ( 日1 ) x g ( t ，x ，z ) 一p ( f ) 】 o ，v t r ，i 石l d ， ( h 2 ) g ( t ，x , x 5 qi x i + 乞 x 1 + k 硕士学位论文 第一章绪论 则当( 矾+ 吃) 3 一嘉 o ，6 e 一1 ，l 对任意的，一周期的连续函数x 满足 s j c r g ( f ，x ( f ) ) 出 o ，m a 础x x ( f ) ( h 2 ) 存在常数m o ，有x g ( t ，x ) m ，v ( t ，x ) r 2 ， ( 马) 矿( 等) 2 贝, u t y 程( 4 1 ) 至少存在一个t 一周期解 第五章研究了一类更一般的高阶中立型泛函微分方程 ( x o ) 一c x ( t 一盯) ) n ) + 厂( x o ) ) x t ( f ) + g ( 石o + s ) d 口o ) ) = p o ) ( 5 1 ) 周期解的存在性问题，其中f ，g ：r 专r 的连续函数，p 是连续周期函数，周期 t 0 ， o ，玎是正整数，l c | l ，o e r ，口：卜，o 卜厕生【一，o 】上的全变差吧( 口) = 1 ，z + 是正整数集利用重合度理论和一些分析技巧，得到了以下的主要定理： 定理5 2 1 假设n 是偶数且h 1 ，如果存在常数口o ，m o 满足以下条件 ( q ) z ( g ( x ) 一万) o ，i x l m 或x ( g ( 石) 一万) m ， ( 4 ) 熙s u p 守 o ，i z i m 或z ( g ( x ) 一万) m ， ( h 5 ) l i ms 印肾组 ( 风) f ( y ) 0 ，v y r ， ( ) 寄“ 则方程( 5 1 ) 至少存在一个t 一周期解 定理5 2 3 假设存在常数a o ，b o 署- i i m 0 满足下列条件 ( 吼) x ( g ( x ) 一；) o ，x m 或工( g ( x ) 一；) m ， ( 风) 熙叩 g ( x r ) - p l 氧 ( h i 。) i 厂( y ) l 6 ，v y r ， ( h 1 1 ) 眢“ i i 方稗( 5 】) 罕f 存存一个t 一周期雠 硕士学位论文 第二章一类r a y l e i g h 泛函微分方程周期解的存在性 第二章一类r a y ieig h 泛函微分方程周期解的存在性 2 1 引言 本章利用重合度理论研究一类r a y l e i g h 泛函微分方程 工”+ ( z ( f ”+ g o ，x ( t - r ( t ) ) ) = p ( t ) ( 2 1 ) 的周期解存在性问题其中厂，f ，p ：r 专r 的连续函数，g ：r x r - - r 连续函数，且 f ( 0 ) = 0 ，f ，p 是关于t 的周期函数，周期t 0 近年来，方程( 2 1 ) 的周期解问题 已经被许多学者广泛的研究 2 6 2 9 这些文献 2 6 - 2 9 研究方程( 2 1 ) 的周期解 时要求必须满足以下假设： ( 4 ) g ( f ，功= g ( 功，g ( x ) c ( r ，r ) 并且存在常数向0 ，包0 满足下列条件之 一： ( 1 ) x g ( x ) o ，v x l 墨且g ( 功一也，v x o ，v x l 向且g ( 功红，坛矗； ( 4 ) g ( f ，x ) = g ( 功，g ( x ) c 1 ( r ，尺) 且存在常数足o 满足： i g ( x ) l k ，v x r ； ( 4 ) 存在常数，o ，k o 满足： l 厂( y ) f 0 满足： ( y ) 仃f 少r + 1 ，砂尺或( y ) 一o - l yn + l , 跏尺 本文在不需要条件( 4 ) 一( 4 ) 的基础上，将利用新的分析技巧，在比已有文 献 3 0 更弱的条件下得到了其存在周期解的一个新的充分条件，大大改进和推广 了已有文献 2 6 3 0 的结论 6 硕士学位论文第二章一类r a y l e i g h 泛函微分方程周期解的存在性 2 2 主要结论 记 为了行文的方便，我们采用以下记号： x 吲胍) 班，怙鼢1 x = x l x e c l ( r ，r ) ，x ( f + d = 石( f ) ，v f r ，i i x l x = m a x x i 。，i x i 。 ； 堡! ：堂垡堡奎 第二章一类r a y l e i g h 泛函微分方程周期解的存在性 二二二_ 二二一 ：= = ：= ：! 三：= ：竺竺：! ：兰兰 如果x ( f ) 是方程( 2 2 ) 的丁一周期解则成立 酬。姗堑2 坩 ( 2 3 ) 定理2 2 - 1 假设引理2 2 1 中条件( 1 ) 成立并且存在常数o ，m 2 o 满 足下列条件之一： ( h i ) 厂( y ) o ，v ye r _ 1 g ( t ，功一p o ) 一m i x m 2 ，v ter , x j ， ( 4 ) 厂( y ) o ，v y e r j | g ( t ，x ) 一p o ) 一m a x + m 2 ，v t e r ，工一d 则当，l l 砉时，方程( 2 1 ) 至少存在一个丁一周期解 证明将( 2 2 ) 式两边同时在【o ，r 】上积分知 j c r 厂 v ) ) 班+ r 【g ( f ，x o f ( f ) ) 一p ( f ) k ：o ( 2 4 ) 记 【x o f o ) ) d = tl te o t ，x ( t f ( f ) d l ， ) ) d ( 2 5 ) 硕十学位论文第二章一类r a y l e i g h 泛函微分方程周期解的存在性 = 一 ， 【g ( f ，x ( f f ( f ) ) ) 一p ( f ) 】出 【x ( t - r ( t ) ) d 1 = ， ， ，【g ( f ，x o f ( f ) ) ) 一p ( f ) 】疵+ j c r 厂( x ( f ) ) 出 ( 2 6 ) l x ( t r ( t ) ) g d l 情形1 ：假设( q ) 成立，则由( 2 2 ) ( 2 5 ) 式知 ，x ( f f ( f ) ) ) 一p ( t ) l d t ，l g ( f ，x ( f f ( f ) ) ) 一p ( t ) l d t = ，如，x ( t f ( t ) ) ) - p ( t ) l d t 则 + ，x ( t - f ( t ) ) ) - p ( t ) a r t t ( m a x l g ( t ，x ) - p ( t ) l ：t r ，一d 工d ) + r ( m 。i x ( f r ( f ) ) i + ) 出 _ t ( m a x l g ( t ，x ) - p ( t ) ：f r , - d 石- d + m 2 1 - t ( m a x l g ( t ，x ) 一p ( f ) i ：f r ，一j z d ) + 聊：) 啦睁卜刁 f g ( t ，石( f f ( f ) ) ) 一p ( t ) d t = ，l g ( t , x ( t - f ( f ) ) ) 一p ( f ) l 出 i x ( t - r ( i ) ) - d j + ，i g ( t ，x ( t - f ( t ) ) ) - p ( t ) l d t i x ( t f ( f ) ) 一d j 2 【丁( m a ) 【 i g o ，x ) 一p o ) i ：f r ，- d 石d + 9 堡主堂垡笙奎 一 第二章一类r a y l e i g h 泛函微分方程周期解的存在性 二二一一二二一一- ：= = ：= ：i = ：二= = ：! ：= = 删知：娴】 又知 j c r 圳班 e l 。上厂( 石出 = 一f 【g o ，x o f o ) ) 一p ( f ) 】衍 r i g ( 柚( 卜r ( f ) ) ) 一p ( t ) d t 2 z ( m a 】【舣“) 一p ( t ) l ：f r ，卅x d ) + m 2 ) 酬知2 + d ) 】 情形2 ：假设( ) 成立，由( 2 3 ) ( 2 6 ) 式知 ，i g ( t ，x ( t r o ”) 一p ( t ) d t ，i g ( t , x ( t r ( f ) ) ) 一p ( t ) l d t = ，i g ( t , x ( t f ( f ) ) ) 一p ( t ) d t + ，l g ( f ，x o f o ) ) ) 一p ( t ) d t t ( m a x g ( t ，功一p ( t ) l ：f r ，一d x d ) ) + r ( 铂i x o f ( f ) ) i + ，z ：) 出 一】 + ，i g ( f ，x ( t - f ( f ) ) ) 一p ( f ) i 出 2 【丁( m a x l g o ，z ) 一p ( f ) l ：f r ，一d 石d + ) + 现( 华h 2 + d ) ( 2 9 ) 又知 r l 厂( x i 出 f = 一上厂( x 出 = n g ( “( 卜r ( f ) ) 一p ( t ) d t f l g ( f ，x ( 卜f ( f ) ) ) 一p o ) l d t s 2 t ( m a x g ( t , x ) - p ( t ) i ：f r ，一d x d + 鸭) + 州华m 均】 ( 2 1 0 ) 对于情形( 1 ) ( 2 ) ： 设 o ：t ( m a x l g ( t ，x ) 一p ( f ) l ：f r ，- d x d + m ：) 在( 2 2 ) 式两边同乘以x ( f ) ，再【o ，丁】上积分，由( 2 7 ) 一( 2 1 0 ) 式知 雕= 力r 厂( x + 【g ( f ，x ( 卜f ( f ) ) ) 一p ( f ) 】 x o ) d t i 石l r i 厂( x o ) ) l d t + f g ( f ，x o f o ) ) ) 一p o ) i 出 小啡亿矿比， ：t e r , - d x _ d h ) 删铷埘 睁卜刁 = 4 秒+ 刀能。( ! 乒i x 也+ d ( 二笋l x 也+ d 硕丝位论文 第二章一类r a y l e i g h 泛函微分方程周期解的存在性 引刮：+ 4 ( 詈+ 觋d ) 打h ：+ 4 d ( 秒+ 孤j ) ( 2 - 1 ) 因为o 镌 o 满足 l x l ：d l 和h 。宰h ：+ j q ( 2 1 2 ) 由( 2 7 ) 一( 2 1 0 ) 式及( 2 2 ) 式知 l cx ( f ) 陋r i ( 石印+ r ，工( 卜f ( f ) ) ) 一p ( t ) d t 4 秒+ z 巩( 二笋i 石也+ j 4 口+ 刀能。( 二笋q + d ：= 砬 c 2 - 3 ， 因为x ( o ) = x ( 丁) ，则存在常数f o ，丁】满足x t ( f ) = o ，则 i = ) + r “蛐l f 肌f ) i t t s d ：，v f 【o ，丁】 ( 2 1 4 ) 令m 。= d i + d 2 ，由( 2 1 2 ) ( 2 1 4 ) 式知 l xx = m = l x l 。，l x i 。) i z l + l 工1 。 d l + d 2 ：= m l 若x q 。= x k e r l a x ，n x e i m l ，则存在常数鸩满足 x ( f ) 三m 2 ，r 脚，9 2 ) 一p ( t ) d t = 0 ( 2 1 5 ) 因此 i x ( t ) l - = m ：i d ，觇( f ) q 。 ( 2 1 6 ) 记m = m l + d + 1 ，设 q = x x ，i x l 。 d 则当，l 。 。 则r a y l e i g h 方程 x ”+ g ( f ，x ( t s i n ( t ) ) ) = e e o s 至少存在一个2 万一周期解 证明方程( 2 1 7 ) 与方程( 2 1 ) 相比较知： f ( y ) 三0 ，r ( t ) i is i n t ，p ( t ) = e e o s 一 故 ( 2 1 7 ) 硕士学位论文 第二章一类r a y l e i g h 泛函微分方程周期解的存在性 北，功一础) 一击x 一f 一1 4 ! z 了x p ，v f 尺，石 o z 则 11 m i2 1 4 刀- 2 f m 2 瓠。 易知满足定理2 2 1 的条件( 且1 ，则方程( 2 1 7 ) 至少存在一个2 z 一周期解 注方程( 2 1 7 ) 是一类简单的r a y l e i g h 方程，很明显，方程( 2 1 7 ) 只要 要求铂 o ，k 0 使下列条件成立 ( 日1 ) x g ( t ，x ，x - ) 一p ( f ) 】 o ，v f r ，l x i d ， ( 日：) g ( f ，x ，x ) i x i + 吃l x i + k 则当( 矾+ r 2 ) s - 嘉 。时，方程( 3 1 ) 至少存在一个2 万一周期解 证明记 q l = x l x d ( ) ，l x = 2 n x ，名( o ，1 ) ) 将( 3 2 ) 式在 0 , 2 n 上两边积分知 ，骚石 上 g ( f ，x ( f ) ，x o f ) ) 一p ( t ) d t = 0 由积分中值定理知存在t e o ，2 x 使得 1 6 硕1 ：学位论文第三章一类三阶泛函微分方程周期解的存在性 g o ，x ( t ) ，f o + - r ) ) 一p ( t ) = 0 于是由条件( 日1 ) 知 i x ( t ) i d 根据引理3 2 1 知 i x ( 谰x ( f + ) k 1 卵石例凼 由( 3 3 ) ( 3 4 ) 式可知 乩阿卜1r ”) 陋 d + 1 2r ”) 陋 南l 、7 万i x l 。+ d 由( 3 2 ) 及( 放) 知 r ”) 印门g ( 姐( f ) ，x v f ) ) 陋+ 2 万l p l 。 ，对任意的r 一周期的连续函数x ，有 占f g ( t ， 砌 一 ( b 2 ) 存在常数肘 0 ，有x g ( t ，x ) m ，v ( t ，x ) r2 ， c 珈 一( 带 则方程( 4 1 ) 至少存在一个z 一周期解 本章利用m a w h i n 延拓定理，在更一般的情况下，削弱了结论l 中的条件，得 到了该方程存在周期解的充分条件，改进和推广了结论1 最后的数值模拟说明本 章的结果推广了文献 4 7 的工作 硕上学位论文 第四章一类非线性四阶泛函微分方程周期解的存在性 4 2 主要结论 定义 凹= x c ”( r ，尺) ：x ( f ) = z o + r ) ，v t r ， 机，= 忆魄q k = o v 卜骗i v ( r ) m 辞 引理4 2 1 m 1 设：r4 专r 上关于f 的t 一周期连续函数，对于方程 x 4 lf ( t ，x , x ，x i ) 假设以下条件成立： ( 1 ) 存在常数p 0 ，对任意见【o ，1 】，方程 x ( 4 ) = 2 f ( t ，x ，x t ，x - ) 的任意丁一周期解x 满足先验估计值( ；) 尸 ( 2 ) 连续函数f ( x ) = r 厂( f ，x ，o ，o ) m ，o 尺) 满足 f ( - p ) f ( p ) 0 ，则 炒忆r 3 一fx4 ( f ) j 出，( 后= l ，2 ，23 ) ( 4 3 ) 定理4 2 1 假设以下条件成立 ( q ) 存在常数d 0 和占 一1 ，1 ) ，对任意的丁一周期的连续函数x 满足 或 占f g ( t , x ( f ) ) 出 0 ，m 胄a x x o ，x g ( t ，曲m ，v ( t ，功r 2 ， ( 跏 一( 才 则方程( 4 1 ) 至少存在一个t 一周期解 证明设非线性方程 厂( f ，”，y ，w ) 2 e ( t ) + p w + g ( t ，“) ( ( f ，“，w ) 尺4 ) 考虑四阶微分方程 x ( 一2 p x ”一2 9 ( t ，x ) = 旯e ( f ) ( v 见 0 ，1 】)( 4 4 ) 首先证明此式满足引理4 2 1 中的条件1 ，即存在常数p 0 ，对于( 4 4 ) 式 的任意r 一周期解z 满足 删( 3 ) o ，在( 4 4 ) 式 0 ，丁】上两边积分知 ( 4 5 ) 硕上学位论文第四章一类非线性四阶泛函微分方程岗期解的存在性 j c r g ( “( f ) ) 出= 0 由( h 。) 知，j 善【o ，丁】满足i x ( 孝) l o 满足 ( 1 叫2 ) 肛协c l + c 2 ( 肛俐2 由( h 3 ) 知存在常数c 3 0 满足 出 汗 2 f 、，v i 班 研 邶 圳 b n 川 小 一v 抄孚堕锄 羔里兰兰垒堂苎 笙四章一类非线性四阶泛函微分方程周期解的存在性 二- 二二二二二= = = 三：兰竺竺2 ：l 兰：= 1 2 1 竺! ! ：! ! ! ：! 三 n 驯2 出乞 ( 4 9 ) 由h 6 1 d e r 不等式知 胍，) 胁打( 肛，州啦 s 厄 令c 4 = d + 石t 2 i ，由( 4 6 ) ( 4 9 ) 妄知 忙i l - 0 满足 j c r 妒( r ) 印c 5 由( 4 3 ) 及上式知存在常数p d 满足( 4 5 ) 式成立 情形2 p 0 由( 4 8 ) 式及( h 2 ) 知 由( 4 7 ) 式知 r l x 弋r ) f 2 出m t + i j c r p ( r ) x ( ，) 出f 2 4 ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) 硕士学位论文第四章一类非线性四阶泛函微分方程周期解的存在性 其中 胍r ) 陋m r + 硎l 。+ 等( 阳r 帕v 2 | | e | i 。 o 满足 n 谢d t 0 满足 肿4 ( f ) 印c 8 ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) 堡圭兰垡丝奎 第四章一类非线性四阶泛函微分方程周期解的存在性 二二二二二二二= = = = = ：= ：2 三：= ：! ：! ! ：兰! 三 由( 4 3 ) 式及上式知存在常数p d 满足( 4 5 ) 式成立 其次，证明引