（应用数学专业论文）一类时滞泛函微分方程正周期解的存在性.pdf

东北师范大学硕士学位论文 摘要 本论文主要研究具有扰动的一阶时滞泛函微分方程正周期解的存在性问题及其应用 证明了在一些合理的条件下，且非线性项具有非正扰动时，此问题至少存在一个正的u 周 期解证明主要依赖l e r a y - s c h a u d e r 不动点定理 我们知道具有时滞的一阶泛函微分方程有很多生物数学模型本文是把所得到的结论 应用到重要的生物模型一一绿豆蝇模型当中，给出了这个模型在一定条件下，其正周期解 的存在性 关键词：泛函微分方程；扰动；正周期解；不动点定理；绿豆蝇模型 东北师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ea r ed e v o t e dt oe s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e d o d i cs o l u t i o n s t of i r s t o r d e rd e l a yf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd i s t u r b a n c e i ti sp r o v e dt h a ts u c h ap r o b l e mh a sa tl e a s to n eu p e r i o d i cp o s i t i v es o l u t i o nu n d e ro u rr e a s o n a b l ec o n d i t i o n s o u rn o n l i n e a r i t ym a yb ew i t hd i s t u r b a n c e t h ep r o o fr e l i e so nl e r a y - s c h a u d e rf i x e dp o i n t t h e o r e m i t i sw e l lk n o w nt h a tt h ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o nw i t hd e l a yi n c l u d e sm a n y m a t h e m a t i c a le c o l o g i c a le q u a t i o n s i nt h i sp a p e r ，w ea p p l yt h em a i nr e s u l tt os t u d yt h e n i c h o l s o n sb l o w f l i e sm o d e l k e y w o r d ：f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；d i s t u r b a n c e ；p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u - t i o n s ；f i x e dp o i n tt h e o r e m ；t h eb l o w f l i e sm o d e l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：日期： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论 文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交 学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师 范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签 日 学位论文 工作单位 通讯地址 导教师签名：塑 期：型塑：互：垫 电话： 邮编： 东北师范大学硕士学位论文 1引言 本文研究下面具有扰动的一阶时滞泛函微分方程： 雪= - a ( t ) y ( t ) + g ( t ，y ( t 一7 _ ( 亡) ) ) + e ( t ) ， ( 1 1 ) 其中e ( 亡) c ( n ，兄) ，a ( t ) c ( r ，r + ) ，1 ( t ) c ( r ，r ) ，g c ( r r + ，r + ) ，s u p e ( t ) 0 ，且 e ( 亡) ，口( 亡) ，7 ( 亡) ，g ( t ，y ) 都是u 周期的，r + = ( 0 ，o o ) 我们主要研究的是扰动项e ( t ) 0 时，方程( 1 1 ) 正周期解的存在性 我们知道泛函微分方程( 1 1 ) 可以表示很多生物数学模型方程，例如，血细胞生成模 型、绿豆蝇模型、种群动态模型等等 具有扰动的一阶时滞泛函微分方程的正周期解的存在性已经有了一些初步的研究 成果( 参见文献【1 ，2 ，3 ，4 ，5 】) 大部分论文主要讨论e ( t ) = 0 ，e ( t ) 0 的情况然而，对于 e ( t ) 0 周期的，且r + = ( 0 ，o o ) 当下面的条件之一成立时， l i m i n f , , t oc m 制i n 趔a ( t ) u 1 ，l i ms u p u t t 【0 ，m a x 叫业a ( t ) u 0 周期的，且r + = ( 0 ，o o ) 在文献【1 】，作者给出了主要结论是当满足下面的两个定理 时，( 1 2 ) 至少存在一个叫周期解 1 东北师范大学硕士学位论文 定理a 2 当下面的条件成立时， i m u l o 。嗽掣= 。，l i m u l 蹁掣= o 方程( 1 2 ) 至少有一个u 正周期解 定理a 3 当下面两个条件成立 c i ) r a i n 叫 b ( t ) 一口( t ) ) 0 ( i i ) 存在一个常数印 0 使得f ( t ，u ) 在0 乱s o 上时增加的方程( 1 2 ) 至少有一个u 正周期解 定理a 2 和定理a 3 是根据k r a s n o s e l s k i i 的范数形式的不动点定理得到的，参见文献 【1 6 ，17 】文献【1 5 】应用一个非常出名的锥不动点定理给出了一个新的存在性理论，而这个 结论如果应用范数形式的不动点定理很难得到 考虑下列非线性脉冲周期边值问题 雪2 - 口( ) 秒( 2 + g ( t , y ( t 、- 删 ( 1 3 ) y ( t j ) = y ( t j - ) + 易( 可( 乞) ) ， 、7 其中a ( t ) c ( r ，r + ) ，7 - ( 亡) c ( r ，丑) ，c ( r r + ，r + ) ，且q ( t ) ，7 ( ) ，y ( t ，y ) 都是u 0 周期的，且矿= ( 0 ，o o ) 在文献【2 中，作者给出了它的格林函数，并证明当非线性项和脉 冲是有界或次线性增长时解的存在性 一些进化过程在受到突然的变化时，通常我们在数学上称其为脉冲，其进化过程被周 围的环境明显区分开，例如，在人口生物学，化学品的扩散，蔓延的热量，辐射的电磁波， 维持物种通过瞬时放养和收获等数学模型，这就导致了一个脉冲动力系统。涉及脉冲微分 方程其影响发生在许多应用中：物理，种群动态，生态学，生物系统，生物技术；工业机器 人，药代动力学，最优控制，等等因此研究这一类动力系统取得突出地位，它是一个迅速 增长领域，详见参考文献【3 ，1 8 ，1 9 ，2 0 】，并且脉冲时滞微分方程可以表达一些真实世界的模 拟过程，取决于他们史前并受短的时间内干扰这种过程中发生的最优控制理论，人口动 力学，生物技术，经济，等等，近年来，存在着理论的正周期解的拖延微分方程的脉冲或脉 冲的影响一直是活跃的研究对象；目前，一些如振动，渐近性，稳定性和解的存在性等性质 被许多作者广泛的研究f7 1 8 3 3 在文献 4 】中，作者研究了一类非自治的带有脉冲的v o l t e r r a 可积微分方程一个或多 个正周期解的存在性，他们主要利用锥不动点定理给出了下面的积分方程 ，0 y ( t ) = - a ( t ) y ( t ) + k ( r ) g ( t ，y ( t + r ) ) d r ，t t j 2 东北师范大学硕士学位论文 y ( q ) = 可( 丐) + 易 ( 巧) ) ，j z ，t = 巧， 和 ，0 y ( t ) = a ( t ) y ( t ) 一 k ( r ) g ( t ，y ( t + r ) ) d r ，t t j ，一 剪( 寸) = y ( t 7 ) + 易 ( 岛) ) ，j z ，t = t j ， 其中y ( 寸) ，可( # ) 分别表示y ( t j ) 右极限和左极限时的周期解的存在性这个可积微分方程 包括很多生态模型，例如血细胞生成模型、绿豆蝇模型、种群动态模型、l o g i s t i c 模型，同 时包括很多物理模型等 在文献【5 】中，作者利用不动点定理给出了离散的周期l o g i s t i c 微分方程一个和多重 正周期解的存在性主要研究下面的离散方程 a y ( i ) = y ( i ) a ( i ) 一，【0 ，u ( i n ( t ) ，秒g 一( t ) ) ) 】， i z ( 一o 。，) 其中a ( i ) c ( z ( 一。o ，o o ) ，( 0 ，1 ) ) ，g ：z ( 一o o ， o 。) x 【0 ，0 0 ) 【0 ，0 0 ) 是连续的而这种离散的微分方程包括很多离散的周期人口模型，多 重时滞的l o g i s t i c 微分方程，周期的m i c h a e l i s m e n t o n 离散模型等无论是离散的或连 续的，这种微分方程显然有很大的适用价值 这类泛函微分方程中，很少有文献是来处理带有扰动的这种情况，并且是非正扰动时 多重正解的存在性虽然泛函微分方程( 1 1 ) 很早就从应用中产生，但由于方程本身带来 的困难，早期大多数研究都局限于解的估值和解得一致有界和解的最终一致有界，其系统 研究只有几十年的历史一维泛函微分方程( 1 1 ) 问题来源于生物模型理论，对泛函微分 方程( 1 1 ) 问题的研究中有着广泛的应用背景 在上面的文献的推动下，本文利用不动点定理给出扰动项为非正时多重正解的存在 性，并且给出了在满足一定条件下，绿豆蝇模型多重正周期解的存在性 本文的主要目的是研究带有扰动的一阶时滞泛函微分方程( 1 1 ) 的正周期解的存在性， 及其在生物数学模型，例如绿豆蝇模型上的应用证明了在一些合理的条件下，且非线性项 具有扰动时，此问题( 1 1 ) 至少存在一个正的u 周期解 我们知道具有时滞的一阶泛函微分方程有很多生物数学模型例如血细胞生成模型、绿 豆蝇模型、种群动态模型等本文借助我们所得到的结论应用到重要的生物模型绿豆蝇模 型，给出了这个模型满足在其一定条件下其正周期解的存在性在此结论上我们可以考虑 进一步把其应用到其它生物模型，例如血细胞模型、人口模型等 3 东北师范大学硕士学位论文 本文余下的部分是这样组织的：第二部分给出了在证明中要用到的引理和定理第三 部分也是本文重要的一部分，主要研究( 1 1 ) 正的周期解的存在性及其在绿豆蝇模型上的 应用，该模型在满足一定合理条件下，至少存在一个u 正周期解 4 东北师范大学硕士学位论文 2 预备引理和定理 为了证明解的存在性，主要需要下面的l e r a y - s c h a u d e r 不动点定理，而l e r a y - s c h a u d e r 不动点定理证明依赖于r o t h e 不动点定理( 参见文献f 3 ，1 2 j ) 2 1r o t h e 不动点定理 假设q 是e 中有界凸开集，如果a ：孬- e 全连续，并且a ( o f t ) c 孬，则a 在豆内 必有不动点 证明： 可设a x x ( w a q ) ( 否则，定理已获证) 取z o q ，令 ，k ( z ) = t ( x a x ) + ( 1 一) ( z x o ) = z h ( t ，z ) ， 其中h ( t ，z ) = t a x + ( 1 一t ) x o 显然h ：【0 ，1 】x 西一e 全连续 下证o - e h l ( o f 2 ) ，v o t 1 事实上，若存在0 t l 1 ，x l a q ，使也。 1 ) = 0 即 x l = 反1 ) 血+ ( 1 一t 1 ) x o ， 则t l o ( x l x o ) ，t l l ( 血1 x 1 ) ，故0 五 0 ，使球t ( x o ，r ) = z ll l x 一2 ：0 i i r ) cq ，由假定知a x l 西， 从而存在z o q ，使 怖一允t i i 学 易知球t ( t l z o + ( 1 一h ) x o ，( 1 一t i ) r ) cq ，则。= t l z o + ( 1 一1 ) z o + ( 1 一t 1 ) z ，l i z l l 7 ， 于是z = t l z o + ( 1 一t l ( x o + z ) ) 由于z o q ，x o + z q ，q 是凸集，故z q ，即 x l = t l a x l + ( 1 一h ) x o = t l z o + ( 1 一t 1 ) x o + t l ( a x l 一如) ， 有i t l ( a x l 一翔) 0 0 ，3 5 = 0 ，当l t 一8 i 5 ，有 i 圣秒) ) 一( 圣可) ( s ) i l 石= e 说明圣在x 上是等度连续的。 综上垂是一个在x 上的紧连续算子 7 东北 币范大学硕士学位论文 3重要定理及其应用 近年来，当无扰动或者扰动项为正项时一阶时滞泛函微分方程正周期解的存在性问题 已经得到广泛研究，例如( 文献【1 , 2 ，3 ，4 ，5 】) ，然而对于扰动项为负项的情况，却很少有人研 究之前作者分别利用了l e r a y s c h a u d e r 不动点定理和锥不动点定理验证在给出条件下具 有负干扰项的一阶时滞泛函微分方程正周期解的存在性，发现利用l e r a y - s c h a u d e r 不动点 定理较为简单，因此，在本章中，我们将选用l e r a y s c h a u d e r 不动点定理证明3 1 3 1定理 对于方程( 1 1 ) 多= - a ( t ) y ( t ) + g ( t ，y ( t 一7 ( ) ) ) + e ( 亡) ，s u pe ( t ) 0 ， 存在0 r r ，使得 9 ( 亡，y 孥。( 亡) 咖【r ，嗣，t em ， ( 3 1 ) ig ( t ，y ) a ( t ) r ， 、7 其中e 2 璐e ( 亡) ，则方程( 1 1 ) 存在正周期解可，且满足7 i i y l l r 证明： 令 x = z c ( r ，r ) ，x ( t ) = x ( t + u ) ) ， 赋予范数 则x 是b a n a c h 空间。 令 则d 是x 中的闭凸子集 显然，圣：d 叫x z i i = s u pl z ( t ) i ， t e o 川 d = 可x ，r y ( t ) r ) ， 8 东北师范大学硕士学位论文 下面证明圣( d ) cd 对v y d ， 即( c y ) ( t ) r ( 圣可) ( 亡) = 即( 圣可) ( ) r 从而r ( c y ) ( t ) r 即圣( d ) cd 利用2 2l e r a y - s c h a u d e r 不动点定理，d 是赋范线性空间x 中的闭紧子集，即是有界 闭凸子集，且圣：d d 全连续，则圣在d 上必有不动点可( 亡) 从而耖( t ) 是方程( 1 1 ) 的 正周期解，且r y ( t ) r 下文把定理3 1 所得到的结论应用到重要的生物模型一一绿豆蝇种群模型当中，并且 给出干扰项e 。的最小值及r ，r 在何种范围内绿豆蝇模型中的正周期解是一定存在的 3 2定理 如下n i c h o l s o n sb l o w f l i e s 模型 雪( 亡) = - a y ( t ) + 的( 一- , - ) e 一所( t 一7 ) + e ( 亡) ( 3 2 ) 其中口 6 ，p 0 丁( 亡) c ( r ，r ) ，r ( 亡) ，e ( t ) 是u 0 周期的，e 0 且b a 则存在常数 c c 时，则方程( 3 2 ) 存在正周期解其中y ( t ) 为绿豆蝇种群密度，a 为增长 率，e ( 亡) 为使其种群密度降低的干扰项 9 东北师范大学硕士学位论文 证明： 利用定理3 1 ，( 3 2 ) 中g ( t ，y ) = b y e 一励，a ( t ) 三a ， 所以只需证刍0 吉时，此时存在瑞( o ，寺) 使得，( r 0 ) = ，( 瞄) 当0 r 瑞，0 ， y r 时， f ( y ) m i n f ( r ) ，( r ) ) = m i n f ( r ) ，( ) ) = ，( r ) 要使( 3 3 ) 中第一个条件成立，只需证 e 。a r b y ( y ) ， a r b f ( r ) a r b f ( y ) ，0 r 瞒， 即氏a r b f ( r ) = a r b r e 一伽：= 日p ) ，0 r 瑞 设h ( r ) = a r 一酚e 一所，0 r 瑞，易知， 日( 。) = 。，日( 丢l n 云b ) = 。 1 0 东北师范大学硕士学位论文 则存在0 r o 否1i n 鲁， v r l ，r 2 ( 0 ，t o ， 使得h t ( r 0 ) = 0 若r 1 r 2 ，有 h ( r 1 ) = a r l 一打e 一所l 即当0 r r o 时，h ( r ) 是单调递减的； v r l ，r 2 t o ，否1i n 鲁) ，若r l h ( r 2 ) = a r l 一b r e 一胁 h ( r 2 ) = a r l 一b r e p n 即当r o 7 丢l n 石b 时，日( r ) 是单调递增的 由单调性可知，r o ( o ，i n 鲁) 存在并唯一即 从而 i n f h ( r ) = h ( r o ) r e ( o ，弼) 。 晓一撼，砷，= 丢时，存在r ( o ，p 4 ) 使得( 3 3 ) 中的第一个条件成立 情形2 当b a e ，此时存在r = r o ( o ，扎 当0 7 r o ，0 r y r o 时， ) 0 ，即f ( v ) 是单调不减的有 即 f ( y ) ，( 7 ) 要使( 3 3 ) 中第一个条件成立，只需证 e 。a r b f ( y ) ，a r b f ( r ) a r b f ( y ) ，0 r e 。a r b f ( r ) = a r b r e 一所 设h ( r ) = a r b r e 一所，0 r 凰，易知， 则存在0 r o i n 鲁，使得 ：= 日( r ) ，0 r r o 日( 。) = 。，日( 丢l n 罢) = 。 日7 ( t 0 1 = 0 1 1 东北9 币范大学硕士学位论文 v r l ，r 2 ( 0 ，r o ，若r 1 h ( r 2 ) = a r l 一b r e 一所2 即当0 r r 0 时，h ( r ) 是单调递减的； v r l ，r 2 h ，丢i n 鲁) ，若r 1 r 2 ，有 h ( r 1 ) = 口r 1 一l y r e 一所1 h ( r 2 ) = a r l b r e 一胁， 即当伯r r 伯o , 所以当r = r o 否1 时，存在r ( 0 ，r o ) 使得( 3 3 ) 中的第一个条件成立 证毕 定理3 1 适用于n i c h o l s o n sb l o w f l i e s 模型，其中e 。c ，如果出现e 。 c 的情况，绿豆 蝇种群就遇到了有可能导致其灭族的毁灭性外来干扰 3 3其他应用 对于具有类似背景的其他生物模型，例如人口种群动态模型： n ( t ) = 一7 ( 亡) + y n ( t 一7 ) e 一口 一r ) + e 0 ) 血细胞生成模型： f j ( t ) = 一a y ( t ) + b e 一励( 。一7 ) - i - e ( t ) 我们可以用类似的方法验证定理3 1 同样适用 1 2 东北师范大学硕士学位论文 4参考文献 f l 】a w a na n dd j i a n g ，e x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s 【j 】，k y u s h uj m a t h ，5 6 ( 2 0 0 2 ) ，1 9 3 - 2 0 2 【2 】x i a o y u el i ，x i a o n i n gl i n ，d e u t i n gj i a n ga n dx i a o y i n gz h a n g c ，e x i s t e n c ea n d m u l t i p l i c - i t yo fp o s i t i v ep e r i o d i c s o l u t i o n st of u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi m p u l s ee f f e c t s j ， n o n l i n e a ra n a l y s i s ，6 2 ( 2 0 0 5 ) 6 8 3 - 7 0 1 【3 】d d b a i n o va n dp s s i m e o n o v ，i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ：p e r i o d i cs o l u t i o n s a n da p p l i c a t i o n s ，l o n g m a n m ，h a r l o w , 1 9 9 3 4 】x i a o y i n gz h a n g ，d a q i n gj i a n g ，x i a o y u el i ，k ew a n g ，an e we x i s t e n c et h e o r yf o r s i n g l ea n d m u l t i p l ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sv o l t e r r ai n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t h i m p u l s ee f f e c t s j ，c o m p u t e r sa n dm a t h e m a t i c sw i t ha p p f i c a t i o n s ，5 1 ( 2 0 0 6 ) 1 7 - 3 2 【5 】d a q i n gj i a n ga ，d o n a lo ，r e g a nb ，r p a g a r w a l ，o p t i m a le x i s t e n c et h e o r yf o rs i n - g l ea n dm u l t i p l ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n st of u n c t i o n a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n s j ，a p p l i e d m a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n ，1 6 1 ( 2 0 0 5 ) 4 4 1 4 6 2 【6 】j l u oa n dy y u ，g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fn o n a u t o n o m o u sm a t h e m a t i c a le c o l o g i c a l e q u a t i o n sw i t hd i s t r i b u t e dd e v i a t i n ga r g u m e n t j ，a c t am a t h e m a t i c as i n i c a ，4 1 ( 1 9 9 8 ) ，1 2 7 3 - 1 2 8 2 【7 】p w e n ga n dm l i a n g ，t h ee x i s t e n c ea n db e h a v i o ro fp e r i o d i cs o l u t i o no fh e m a t o p o i e s i s m a d e l j ，m a t h e m a t i c aa p p f i c a t e ，8 ( 1 9 9 5 ) ，4 3 4 - 4 3 9 【8 】a w a na n dd j i a n g ，e x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o nf o rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s j ，k y u s h uj o u y n a lo fm a t h e m a t i c s ，5 6 ( 2 0 0 2 ) ，1 9 3 - 2 0 2 【9 1k g o p a l s a m ya n dp w e n g ，g l o b a la t t r a c t i v i t ya n dl e v e lc r o s s i n gi nm o d e lo fh o e - m a t o p o i e s i s 【j 】，b u l l e t i no ft h ei n s t i t u t eo fm a t h e m a t i c s ，a c a d e m i as i n i c a ，2 2 ( 1 9 9 4 ) ，3 4 1 3 6 0 【1 0 】m c m a c k e ya n dlg l a s s ，o s c i l l a t i o n sa n dc h a o si np h y s i o l o g i c a lc o n t r o ls y s t e m s m ， s c i e n c e s ，1 9 7 ( 1 9 7 7 ) ，2 8 7 - 2 8 9 【1 l 】p w e n g ，e x i s t e n c ea n dg l o b a la t t r a c t i v i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o no fi n t e r g r o d i f f e r e n t i a l 1 3 东北师范大学硕士学位论文 e q u a t i o ni np o p u l a t i o nd y n a m i c s j ，a c t a a p p l m a t h ，1 2 ( 1 9 9 6 ) ，4 2 7 - 4 3 4 【1 2 】w s c g u r n e y , s p b l y t h ea n d r m n i s b e t ；n i c h o l s o n sb l o w f l i e sr e v i s i t e d j ，n a t u r e ， 2 8 7 ( 1 9 8 0 ) ，1 7 - 2 0 【1 3 】w j o s e p h ，h s oa n dj y u ，g l o b a la t t r a c t i v i t ya n du n i f o r mp e r s i s t e n c ei nn i c h o l s o n s b l o w f l i e s j ，d i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dd y n a m i c ss y s t e m s ，2 ( 1 9 9 4 ) ，1 1 1 8 【1 4 】k l a n ，k j e f f r ya n dj r l w e b b ，p o s i t i v es o l u t i o n so fs e m i l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a - t i o n sw i t hs i n g u l a r i t i e s j ，j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 4 8 ( 1 9 9 8 ) ，4 0 7 - 4 2 1 1 5 】d j i a n ga n dj j w e i ，e x i s t e n c eo fp o s i t i v e p e r i o d i cs o l u t i o nf o rv o l t e r r ai n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 【j 】，a a c t am a t h e m a t i c as c i e n t i a ，2 1 b ( 2 0 0 2 ) ，5 5 3 - 5 6 0 【1 6 】k d e i m l i n g ，n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s j ，s p r i n g e r - v e r l a g , n e w y o r k , 1 9 8 5 【17 】m a k r a s n o s e l s k i i ，p o s i t i v es o l u t i o no fo p e r a t o re q u a t i o n m ，n o o r d h o f f , g r o n i n g e n ， 1 9 6 4 1 8 】v l a k s h m i k a n t h a m ，d d b a i n o va n dp s s i m e o n o v ，t h e o r yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s m ，w o r l ds c i e n t i f i c ，s i n g a p o r e ，1 9 8 9 ， 1 9 】e l i z ，b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rn _ e wt y p e so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m ，p h d t h e s i s ，u n i v e r s i t yo fv i g o - s p a i n ，1 9 9 4 ( i ns p a n i s h ) 2 0 】a m s a m o i l e n k oa n dn a p e r e s t y u k ，i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；w o r l d s c i e n t i f i c 【m 】，s i n g a p o r e ，1 9 9 5 【2 1 】m u a k h m e t o va n da z a f e r ，s u c c e s s i v ea p p r o x i m a t i o nm e t h o d f o rq u a s i l i n e a ri m p u l s i v e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hc o n t r o l j ，a p p l m a t h l e f t ，1 3 ( 2 0 0 0 ) ，9 9 - 1 0 5 2 2 】d d b a i n o v ，v c o v a c h e va n di s t a m o v a ，s t a b i l i t yu n d e rp e r s i s t e n td i s t u r b a n c e so f i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l d i f f e r e n c ee q u a t i o n so fn e u t r a lt y p e j ，zm a t h a j l a j a p p l ，1 8 7 ( 1 9 9 4 ) ，7 9 0 8 0 8 2 3 】a c a b a d a ，j j n i e t o ，d f r a n c oa n ds i t r o f i m c h u k ，ag e n e r a l i z a t i o no ft h em o n o t o n e m e t h o d f o rs e c o n do r d e rp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t hi m p u l s e sa tf i x e dp o i n t s j ， d y n a m i c sc o n t i n u o u sd i s c r e t ei m p u l s i v es y s t e m s ，7 ( 2 0 0 0 ) ，1 4 5 1 5 8 【2 4 】a v a n o k h i n ，l b e r e z a n s k ya n de b r a v e r m a n ，e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fl i n e a rd e l a y i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j ，zm a t h a n a j a p p l ，1 9 3 ( 1 9 9 5 ) ，9 2 3 - 9 4 1 1 4 东北师范大学硕士学位论文 2 5 】z h ea n dj y u ，p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rf i r s t o r d e ri m p u l s i v ef u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j ，j c o m p u t a p p hm a t h ，1 3 8 ( 2 0 0 2 ) ，2 0 5 2 1 7 【2 6 】z j i n ，th es