（运筹学与控制论专业论文）半线性热方程的不灵敏控制研究综述.pdf

摘要 本文系统的介绍了半线性热方程的不灵敏控制问题对于问题产生的背景、发展过 程、现状及有待解决的问题进行了详细的介绍不灵敏控制问题是能控性的一个分支，半 线性热方程的不灵敏控制问题即可转化为一个串联系统的能控性问题本文还阐述了近 几年一些学者的工作，介绍了他们得到的主要结果及采用的数学方法，主要对不灵敏控 制的存在性、证明思路及控制的具体表达形式进行了系统的介绍 关键词：半线性热方程，不灵敏控制，能控性 i a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ea r ed e v o t e dt ot h e i n s e n s i t i z i n gc o n t r o l sf o ras e m i l i n e a rh e a te q u a t i o n i ti s i n t r o d u c e dt h a tt h eb a c k g r o u n do ft h i sp r o b l e m ，t h ed e v e l o p m e n tp r o c e s sa sw e l la st h ep r e s e n t s i t u a t i o n i ti ss h o w nt h a tt h ei n s e n s i t i v i t yc o n d i t i o n sa r ee q u i v a l e n tt ot h en u l lc o n t r o l l a b i l i t y p r o b l e mo fac a s c a d es y s t e m i ti sa l s oa c c o u n t e df o rt h a ts o m ep e o p l e sw o r ki nr e c e n ty e a r s w h i c hi n v o l v e dt h em a i nr e s u l t sa n dt h em a t h e m a t i c a lm e t h o d s ，e s p e c i a l l yf o rt h ee x i s t e n c eo f t h ei n s e n s i t i z i n gc o n t r o lf u n c t i o n s k e y w o r d ：s e m i l i n e a rh e a te q u a t i o n ，i n s e n s i t i z i n gc o n t r o l ，c o n t r o l l a b i l i t y i i 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所 取得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以采用影印、缩印或其它 复制手段保存、汇编本学位论文。同意将本学位论文收录到中国优秀博硕士学 位论文全文数据库( 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社) 、中国学位论文全 文数据库( 中国科学技术信息研究所) 等数据库中，并以电子出版物形式出版 发行和提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：盔垫： 日 期：簟：堕 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名：堑签： 日 期：垒挚主：丝 电话： 邮编： 东北师范大学硕士学位论文 1 引言 人类从诞生之日起，就开始逐步认识世界，并在获得认识的基础上利用和改造客观 世界，以达到改善生活条件的目的对于客观世界的改造实际上就是一种“控制”，从观 念上讲，控制可以描述为影响动态系统行为的过程控制问题是基于可以利用的数据，去 确定系统的输入，以达到设定的目的 维纳( n w i e n e r ) 在1 9 4 8 年出版的专著控制论，或关于在动物和机器中的控制与 通讯，标志着控制论作为科学的一门重要分支诞生维纳也因此成为控制论的主要创始 人之一其实，维纳早在1 9 1 9 年研究勒贝格积分时，就从统计物理方面萌发了控制论的 思想我国著名数学家钱学森在1 9 5 4 年出版的专著工程控制论又进一步推动了控制 论与工程技术问题的紧密结合 从那时到现在，控制论经历了半个世纪的迅猛发展，工业化和高科技的发展，对工业 控制提出越来越高的要求；特别是制导和航天技术的发展，促进了自2 0 世纪6 0 年代初 以来现代控制理论的诞生和发展，而计算机的出现和高速发展，网络技术的日新月异使 得高精度控制的在线实现成为可能半个世纪后的今天，控制论已经成为一门理论严谨、 内容丰富、分支众多、发展迅速、应用广泛的学科领域钱学森曾经从生产力，特别是技 术革命的进程分析了控制论的产生和发展，他强调：。我们可以毫不含糊地说，从科学理 论的角度看，2 0 世纪上半叶的三大伟绩是相对论、量子论和控制论，也许可以称它们为 三项科学革命，是人类认识客观世界的三大飞跃” 控制论发展到今天，恐怕没有一位系统与控制专家能够同时掌握控制理论的所有前 沿分支，正如当今一个数学家很难同时是拓扑学、几何学、代数学、微分方程、泛函分析、 概率统计、数论等各方面的专家但是，与纯数学不同的是，一个优秀的系统与控制科学 家，应该能对不同的控制理论与控制方法有一个比较全面的了解控制论是一门应用型 很强的科学理论，它面对的是各种各样错综复杂的实际系统 数学在控制论科学研究中有两重作用，一是利用数学建立合理的数学模型以精确地 描述控制问题；二是在建立数学模型之后，利用数学理论解决所提出的控制问题，并期望 提出新的数学问题 现代控制理论中首先得到透彻研究的是多输入多输出线性系统，其中特别重要的是 对刻划控制系统本质的基本理论的建立，如可控性、可观性、实现理论、典范型、分解理 论等，使控制由一类工程设计方法提高为一门新的科学，同时为满足从理论到应用，在高 水平上解决很多实际中提出控制问题的需要，促使非线性系统、最优控制、自适应控制、 辨识与估计理论、卡尔曼滤波、鲁棒控制等发展成为成果丰富的独立学科分支 东北师范大学硕士学位论文 贝尔曼提出寻求最优控制的动态规划法，庞特里亚金证明了极大值原理( 见文献 【2 5 】) ，使得最优控制理论得到极大的发展。卡尔曼系统地把状态空间法引入到系统与控 制理论中来，并提出了能控性、能观测性的概念和新的滤波理论这些构成了后来被称为 现代控制理论的发展起点和基础 现代控制理论以线性代数和微分方程为主要工具，以状态空间法为基础，分析与设 计控制系统状态空间法本质上是一种时域的方法，它不仅描述了系统的外部特征，而且 描述和揭示了系统的内部状态和性能它分析和综合的目标是在揭示系统内在规律的基 础上，实现系统在一定意义下的最优化 能控性的概念是由r e 卡尔曼在1 9 6 0 年首先提出的，它很快就成了现代控制理论 中的一个基础性概念，在解决线性系统的极点配置、最优控制等问题时具有重要作用。热 方程是控制理论研究的一类基本方程，近年来半线性热方程的控制问题受到了许多数学 工作者的广泛关注而不灵敏性控制问题( i n s e n s i t i z i n gc o n t r o l s ) 是能控性问题的一个 分支，最早由，l l i o n s 于1 9 9 0 年提出此概念，所谓不灵敏控制问题就是寻找一个控制 函数，使以状态为变量的性能泛函对初边值的扰动不灵敏，也就是具有超级稳定性，随后 0 b o d a r t 与c f a b r e 系统的介绍了不灵敏陛控制问题，给出了不灵敏控制的严格定义，并 引入了近似不灵敏性控制( a p p r o x i m a t e l yi n s e n s i t i z i n gc o n t r o lo r 一j 伽e 佗溉z i 佗9c o n t r o l s ) 的概念，而且得到了有关不灵敏控制的最早的结果一有界区域上半线形热方程近似不灵 敏控制的存在性( 见文献 2 】) ，他们不仅得到了“近似不灵敏控制”的存在性，而且给出 了控制函数v 的具体形式，更重要的是他们给出了研究这类问题的一种方法，其工作具 有开创性 随后不久，l d et e r e s a 进一步发展了这个结果，把空间变量的定义域扩展为形中 的无界区域( 见文献 4 】) 上述结果都是针对近似不灵敏控制的，在文献 7 】中，作者得到 了有关不灵敏控制的一些结果，在此基础上，0 b o d a r t 等得到了更加一般的结论一半 线性热方程不灵敏控制的存在性( 见文献 8 】) 值得一提的是，在文献 8 中，系统的非 线性项，= f ( v ) 在无穷远处呈超线性增长，而作者在证明存在性结果时用到了一种新的 技术，克服了证明过程中的主要困难。毕竟人们研究不灵敏控制问题的时间还不长，很多 人的研究具有局限性，如很多研究都是在能控集合u 与能观测集合0 相交非空的前提下 进行的，即要求u n 0 国，而当e 为开集且u n 0 = 仍的情形仍是一个公开问题，并没有 好的结果s m i c u 等人探讨了特殊情形：q = ( 一ll ) ，u = ( 0 ，l ) 及0 = ( - l ，0 ) ，也 就是考虑了一维的情形，得到了很不错的结果，但是他们采用的技术不能推广到一般的 线性系统。若能观测集合是由有限个点构成，此时不灵敏控制问题仍无法解决，s m i c u 等人探讨了n 3 时的情形( 见文献【1 2 】) 此外，还有人针对具体问题和具体方程研究 了不灵敏控制问题( 见文献 1 4 】 1 5 】) 还有一些学者研究了波方程的不灵敏控制问题，但 2 东北师范大学硕士学位论文 研究的情况比较特殊，结果也不具有一般性 3 东北师范大学硕士学位论文 不灵敏控制的基本概念 设q r n 是一有界区域，边界r 充分光滑，ucq ，0cq ，且u ，0 为开集， ，c 1 ( 冗) 满足l i p s c h i t z 条件，t 0 为一常数，q = q 【0 ，卅，e = fx 0 ，卅，在区域q 上考虑半线性热方程； iy t 一耖+ ，( 可) = f + 秒地( z ，t ) q y = g + n 多 ( z ，t ) ( 1 ) l ( ，0 ) = y o + 7 0 雪o z q 如果下述条件成立： ( h 1 ) f l 2 ( q ) ，y o l 2 ( q ) ，g l 2 ( ) ( 日2 ) 雪o l 2 ( q ) ，鸯l 2 ( ) 且渺( q ) = 1 1 9 il l ：( e ) = 1 ( h 3 ) 控制函数u l 2 ( 0 ，t ) ) ，地为u 的特征函数 则系统( 1 ) 存在唯一解y l 2 ( q ) ，记为y = 矽( 丁b ，t 1 ) = y ( x ，t ，；u ，t o ，丁1 ) ( 相应结果可参看文献【3 】) 本文考虑如下的性能泛函： 蚴) = 互1z 2 二以叫出 ( 2 ) 我们首先介绍不灵敏控制的基本概念这些定义主要来自于文献【2 】 定义2 1 设圣：l 2 ( q ) 一r 为一可微泛函，其定义域为( 1 ) 的解构成的集合，称 控制u 满足不灵敏性条件( u - - i n s e n s i t i z e s 西( 秒) ) ，如果v ( 雪o ，雪) l 2 ( q ) l 2 ( ) ，且 0 矿l l l ：( q ) = l i 雪l l r z ( e ) = 1 ，有 革= 兰 i 娥掣1 ：n ：o = o 一 定义2 2 设圣：l 2 ( q ) _ r 为一可微泛函，其定义域为( 1 ) 的解构成的集合，v 1 ，2 0 ，称控制u 满足近似不灵敏性条件( v ( c 1 ，e 2 ) 一i n s e n s i t i z e s 圣( ) ) ，如果v ( 雪o ，参) l 2 ( q ) l 2 ( ) ，且i i 多o l 。( q ) = l i i i l z ( e ) = 1 ，有 i 兰h 钮一o i 0 ，存在控制函数v l 2 x ( 0 ，t ) ) 满足近似不 灵敏性条件( 4 ) ( 即 ( e 1 ，9 2 ) 一i 竹s e 佗s 饿z i 佗夕圣( 秒) ) 进一步地，存在妒o l 2 ( q ) ，k l 2 ( ) ，a l o o ( q ) ，b l ( q ) ，如果妒，妒满足 瞄砌划攀 ( 1 2 )q ： t t 蜒 e x伊 = 妒 ； h 8 n+ 妒 尚 l l 一 0 功 魄 = 一 砂砂 ，i-_j、_i_ 东北师范大学硕士学位论文 则v = 妒i u ( o ，t ) 满足近似不灵敏性条件( 4 ) ( 其中u ，e 分别称为能控集、能观集。) 证明思路：首先利用h a h n b a n a c h 定理得到如下线性系统的近似能控性 瞄 一k 6 ( z ，亡) ? 7 = c x e ( z ，t ) q ( z ，古) z q ( z ，t ) q ( z ，t ) z q ( 1 3 ) ( 1 4 ) 其中a ( x ，t ) ，b ( x ，t ) l ( q ) 固定这意味着v e l ，s 2 0 ， ，g d ) l 2 ( q ) xl 2 ( ) ，至少 存在一个控制函数u l 2 i o ，纠) ，使得 1 1 7 ( ，o ) 一棚i l z ( q ) e 1 i i 塞- g r i l l 喇鲕 然后通过不动点技术得到串联系统( 1 1 ) ( 1 2 ) 的近似能控性，这里需要估计控制函数的 l 2 一一模，所以要求a ，b 固定，最后利用命题3 1 1 得到近似不灵敏控制的存在性上述 证明方法已在文献【5 】5 中证明半线性热方程的近似能控性时用过 3 2 无界区域上半线性热方程的近似不灵敏控制问题 设qcr n ，为无界开区域且f = a q c 2 ，t 0 为一常数，u ，ecq 且u ，e 为有界 开集。特别地，令系统( 1 ) 中t 1 = 0 ，并把r 0 记作丁，得到如下系统； ， ly t 一可+ ，( y ) = f + v x w ，t ) q y = 0 ( z ，t ) ( 1 5 ) 1 秒( ，0 ) = y o 十7 雪o z q 并且下述条件成立： ( h 4 ) l 2 ( q ) ，y o l 2 ( q ) ( h 5 ) 痧o l 2 ( q ) 且i i 洲i l 2 ( q 1 = 1 ( h 6 ) 7 - r 充分小 9 + 矿 厶 = 一 0 功 仇 = ，一 唧 栌叱 ，i_-_-c、_【 东北师范大学硕士学位论文 ( 日7 ) 控制函数v l 2 ( 0 ，t ) ) 接下来讨论系统( 1 5 ) 及泛函( 2 ) ，这部分结果主要来自文献 4 】 命题3 2 1 设y ( z ，) ，q ( x ，t ) 是下述方程的解： 纨一a y + f ( y ) = f + v x t o y = 0 矽( ，0 ) = y o 则近似不灵敏性条件( 6 ) 等价于： 秒x e ( z ，t ) q ( z ，t ) z q ( z ，t ) q ( z ，t ) z q ( 1 6 ) ( 1 7 ) i l q ( ，o ) l l t2 ( a ) g - ( 1 8 ) 证明：设y 是系统( 5 ) 的解，令可h ：0 = 可，珈卜：0 = 毋，其中辨表示y 对丁求导，则有： 从而由题意得： 雪) = + u ) ( u + 7 - 雪o 兰= 肪- 0 掣k 。= z t 石石_ h 卸一n 厶 = j t j e = 石如， = 五如， ( z ，t ) q ( z ，t ) z q ( z ，t ) q ( z ，t ) z q 雪毋d x d t 【- q t a q + ，7 ( 雪) q 】霸d x d t 。) 护( z ) 如+ z t 上【( 毋) t 一( 毋) + ，饧) 副q 如班 0 ) 雪o ( z ) d x 1 0 剪，j 上 k， ” 加 纽 = 一 。 砷 吼 = 咄 驴丸 ，_ij(1l【 厂 z f 铲 叫 铷 = 一 0 0 h = z 吼炉鼬 ，-f、【 东北师范大学硕士学位论文 再由痧o ( z ) 的任意性，可取雪o ( z ) = q ( x ，o ) ，从而 业；掣i t = 0 ：忆i i q l 7 ，o ) “i l l 2 ( e ) 一 一。，u ， 2 ( e ) 若( 6 ) 成立，则 i l q ( ，o ) i i l 2 ( o ) e 再根据唯一延拓性质，得到( 1 8 ) 式成立 反过来，若( 1 8 ) 式成立，则( 6 ) 式的成立是显然的证毕 注意到系统( 1 7 ) 可以逆向求解，这样条件( 1 8 ) 相当于寻找一个控制函数u 使得在 t 时刻，系统( 1 7 ) 的解进入l 2 ( q ) 中以0 为球心，以e 为半径的球里，很明显地，这是 一个近似能控性问题然而，控制v 是通过状态y 间接的作用于q 的，这就增加了近似 能控性问题的难度，有界区域上的经典的近似能控性问题可以参看文献【5 】，无界区域的 情形可以参看文献【6 】 l d et e r e s a 在文献 4 中得到的主要结论如下： 定理3 2 2 设qc 为无界开区域，f = a q c 2 ，若un0 仍，c 2 ，f ( o ) = 0 ，f 为l i p s c h i t z 连续函数，且二阶导数有界，又设专l 2 ( q ) ，y o l 2 ( q ) 且毒，圹具有紧 支集，则垤 0 ，存在控制函数u l 2 ( 0 ，t ) ) 满足近似不灵敏性条件( 6 ) ( 即 v 一i n s e n s i t i z i n g 圣( 耖) ) 当维数n 满足1 n 6 时，条件“，y o 具有紧支集”不是必须的，即由下面定理： 定理3 2 3 设q ，u ，0 和j f 满足的条件同定理3 2 2 ，若1 i t 6 ，则v e 0 ，存在 控制函数v l 2 ( 0 ，t ) ) 满足近似不灵敏性条件( 6 ) ( 即v 一i n s e n s i t i z i n g 西( 可) ) 更进一步地，如果n 7 ，f l 1 ( o ，t ) l 2 ( q ) 且y o l 2 ( q ) nl 号( q ) ，则v e 0 ，存 在控制函数v l 2 ( 0 ，t ) ) 满足近似不灵敏性条件( 6 ) ( 即v 一i n s e n s i t i z i n g 圣( y ) ) 对比定理3 2 2 与定理3 1 2 的假设条件，主要差别在于区域q 是否有界，当q 无界 时，就需要加强，的条件，而且还要求，y o 具有紧支集 证明思路：首先考虑有界区域q r = 研nq ，其中研为球心在原点0 半径为r 的球， 聃= q r 0 ，刀，y r 是对应于区域q r 的解( 后文会有详细说明) ，这样便得到一列控制函 数协，且蜥在l 2 ( 0 ，t ) ) 中一致有界，然后结合先验估计得到当半径r 充分大时，控 制函数列的极限在整个区域q 内满足不灵敏性条件更确切的说，可由下述命题得到： 命题3 2 4 若1 礼6 ，v e 0 ，设二2 ( q ) ，y o l 2 ( q ) ，令 矗) cl 2 ( q ) ， y o ) cl 2 ( q ) 具有紧支集，并且 矗) 在l 2 ( q ) 中强收敛于，鳄在三2 ( q ) 中强收敛于y o 如果对v n ，i l h n 怯( q ) 日，其中k 是使得下式成立的控制函数， q n ( ，0 ) i i l ：( q ) e 2 v n 东北师范大学硕士学位论文 是( 1 7 ) 式对应于岛，城以及控制h 竹的解，则存在碗 0 ，使得( 1 7 ) 式的解在控制 函数h = k 作用下满足 l i q ( ，0 ) i i l 。( q ) s 当n 6 时，同样的结论可以成立，但要加强条件为：y o l 2 ( q ) nl n 2 ( q ) ，f l 2 ( o ，t ；l 2 ( q ) nl n 2 ( q ) ) ，以及数列 可：) cl 2 ( q ) nl n 2 ( q ) ，( 矗) cl 2 ( o ，t ；l 2 ( q ) i 1l n 2 ( q ) ) 分别强收敛于y o ，毒 其中k 的一致有界性可由下述命题保证： 命题3 2 5 设岛，姥满足上述条件，控制函数k 使得( 1 7 ) 式的解q n 满足 l l q n ( ，o ) l l l z ( q ) e 2 那么存在常数h = h ( n ) 0 ，使得 l i h | | l ：( q ) h 定理3 2 3 的证明过程克服的主要困难是区域的无界性，在这里，作者加强了，的条件： - i ( o ) = 0 ，为了保证解y l 2 ( q ) ，的二阶导数有界，为了估计范数j i q ( ，0 ) 一q r ( ，o ) ( q ，) 其中y ，g 为串联系统( 1 6 ) ( 1 7 ) 的解，跏，g r 为下述方程的解： ，( 珊) = + v r x u g r ，t 一劬+ ，7 ) g r = y r x o q r = 0 口r ( ，印= 0 ( z ，t ) g ( z ，t ) ， z q ， ( z ，t ) g ( z ，t ) r z q r ( 1 9 ) ( 2 0 ) 3 3 有界区域上半线性热方程的不灵敏控制问题 我们在第3 1 节和第3 2 节得到的结果都是关于近似不灵敏控制的，在不灵敏控制问 题发展的初期，得到的很多结果都是关于近似不灵敏控制问题的，这是由于把近似能控 性或零能控问题之后，近似能控性方面的结果要比零能控的多，这也使得研究受到限制， 1 2 + 0 r y 砂 ： 赳 = 一 0 o = n 骱 蜘 珈 东北师范大学硕士学位论文 经过一些人的努力，有关不灵敏控制的一些结果开始出现，如文献【7 】，作者主要得到了 两个结果：一是若面nq d ，那么不是对任意的y o l 2 ( q ) ，都存在控制函数v 满足不灵 敏性条件；另一个是证明了当y o = 0 且满足一定的条件时，可以找到控制函数v 满足 不灵敏性条件，这部分的详细内容可参看文献【7 】中定理1 随后不久，0 b o d a r t 等人就 把第二个结果推广得更为一般的情形，这节内容主要介绍0 b o d a r t 等人的结果 设qcr n 为有界开区域，c 1 ( 冗) ，u ，0 为q 中开集，t 0 为一常数，考虑系 统( 1 5 ) 且假设条件( h 4 ) 一( 日7 ) 成立 命题3 3 1 设y ，q 为下述串联系统的解； 暖咐攀 瞄八咖一e 攀 q ( x ，0 ) = 0z l 2 ( q ) 证明类似于命题3 2 1 的证明 文献i s 】中的主要结果如下： 定理3 3 2 设叫nq 毋，y o = 0 ，若f c 2 ，f ( o ) = 0 ，且满足 i s l ；- m - - ，o o 善l n ( 1 8 = 。+ i1 ) 给定r + 2 ，+ ) ，则v l 2 ( q ) ，且满足 五e x pc 嘉玳1 2 如以 0 其中a 【0 ，1 ) ，p l ，p 2 为一阶实系数多项式 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 东北师范大学硕士学位论文 证明思路：首先证明了如下的线性串联系统的零能控问题： 玑一a y 十a ( x ，t ) y = f + v x w y = 0 吼一a q 十b ( x ，t ) q = y x o g = 0 口( ，t ) = 0 ( z ，t ) q ，t ) e z q ( z ，t ) q ( z ，t ) z q ( 2 4 ) ( 2 5 ) 其中a ( z ，t ) ，b ( x ，t ) l o o ( q ) ，毒，u ，o 与定理3 3 2 中相同这一结论主要通过下述命题 得到： 命题3 3 3 设b 与b o 为两个开集，且b oc cbc uno ，专满足定理3 3 2 的条件， 则存在控制函数o l 2 ( q ) 使得s u p poc 雪ox 0 ，卅及系统( 2 4 ) ( 2 5 ) 的对应解( 痧，香) 满 足( 2 1 ) 式更进一步，o 可满足估计式 嵫q ) e x p c t - i ( t , i l a ，i l b l l 洲me x p c 塑掣掣必张d 出 其中 m ( ln i l ，i l b l l ) = 1 + t + t i | n | | 髦3 + t i i b l l 3 + t l l a 一6 l i 鹜2 h ( zl i n i i o 。，i | 6 | | o 。) = 1 + 亍1 + t + 孙i i o 。+ i i 。憎+ t i i b l l 3 + i i n “憎 命题3 3 4 ( 1 ) v a ，b l c c ( q ) ，有y ，q c o ( 国) nl ”( o ，t ；w l , r ( q ) ) ，并且下式成立： 怙i i g 。( q ) n l r ( o ，t ；w 1 ，r ) + i l q l l c 。( q ) n l r ( o ，t ；1 ，r ) e x p c ( 1 + l | o i l + i i o o ) ( i i i i l r ( q ) + i l o l l l 。( q ) ) ( 2 ) 设b l r ( o ，t ；w 1 , r ( q ) ) ，则v l 7 ( q ) ，s u p p vc 秀x 【0 ，卵，并且下式成立。 i i v l l l r ( o ) 【c ( 1 + i l a l l 十i l b l l o o ) 】( 1 + i i v b l i l r ( q ) * ) ( i i c l i l r ( q ) 4 - i i , d i i l 。( q ) ) 命题3 3 3 和命题3 3 4 的证明可以在参看文献 2 5 1 其次，运用k a k u t a n i 不动点定理得 到非线性串联系统的能控性，主要操作步骤如下：定义： 如，= 羔竺 东北师范大学硕士学位论文 z = c o c 0 ) nl r ( o ，t ；w l r ( q ) ) 那么v z 豆( o ；r ) cz ，r 0 ，系统( 2 4 ) ( 2 5 ) 中取a = a 名= g ( z ) 三( q ) ，b = b z = ，协) l o o ( q ) nl r ( o ，t ；w 1 , r ( q ) ) ，根据命题3 3 3 与命题3 3 4 可得，存在v z l r ( q ) 使得 系统( 2 4 ) ( 2 5 ) 的解( y z ，q z ) 满足y z ，q z z ，并且( 2 1 ) 式及下面两式均成立： 1 i l y z i i z e x p c ( 1 + i i g ( z ) l l o o 十l i f 7 ( z ) i i o o ) ( i k l l l r ( q ) 十| | e x p ( 嘉) i i l z ( q ) ) ( 2 6 ) 1 l i v z i l l r ( q ) c ( a ，u ，e ，正r ) ( i i , i i l r ( q ) + i ie x p ( 看古) 引i l z ( q ) ) ( 2 7 ) 定义a ：雪( o ；r ) cz h l 7 ( q ) ，及a ：雪( o ；r ) czhz ，分别表示为： a ( z ) = 扣l r ( q ) ：( y ，口) 满足( 2 4 ) ( 2 5 ) ，u 满足( 2 7 ) 式】 h ( z ) = 秒z ：( y ，z ) 满足( 2 4 ) ( 2 5 ) ，v a ( z ) ，秒满足( 2 6 ) 式) 可以证明a 是上半连续的多值映射，根据k a k u t a n i 不动点定理得到存在y z ，使得 y a ( 矽) 最后通过命题3 3 1 得到要证明的结论。证明过程主要涉及到全局c a r l e m a n 估 计，正则化方法以及不动点方法 在之前的讨论中，非线性项，只是关于状态y 的函数，很多情况下，这并不能满足实 际应用的需要，0 b o d a r t 在文献 9 】9 中讨论了当非线性项同时含有状态y 与梯度v y 的 情形，即，= f ( y ，v u ) ，这一结论也是对文献【5 】中结论的推广，首先给出问题的叙述： 设qc 彤为有界连通开区域，r = a qx ( 0 ，t ) ，ucq ，ecq 为非空开集，考虑 半线性热方程： = 毒+ u x u( z ，t ) q ( z ，t ) ( 2 8 ) z q 其中f c 1 ( 冗x 舻) ，且满足l i p s c h i t z 条件，此外，还假设条件( h 4 ) 一( 日7 ) 成立 命题3 3 5 设y ，q 为下述方程的解： 纨一a y + f ( y ，v y ) = + u 地 可= 0 秒( ，0 ) = y o v y ) q v ( 厶( 可，v y ) q ) 1 5 ( z ，t ) q ( z ，t ) z q = y x o ( z ，t ) q ( z ，t ) z q ( 2 9 ) ( 3 0 ) 、驯 v 矿 玑 l _ 几 q 卜 秒 可 = o 卅 如删 r = n 丸 + ， p 加 & | i o 功 o ： ， 咄 = n q q ，l_i_lj、-ii_-一， 东北师范大学硕士学位论文 其中，：( 8 ，p ) hf ( 8 ，p ) ，8 r ，p r n ， 则不灵敏性条件( 5 ) 等价于q ( x ，0 ) = 0z q 证明：设y 是系统( 2 8 ) 的解，令y l 仁0 = 妒，珈i r ：o = 毋，其中斯表示y 对7 求导， 则有： 再由题意得： ( 可) 一雪+ f 雪= 0 雪( z ，0 ) = y o ( z 雪，v 雪) = 毒+ u x u ( z ，t ) q ，t ) e + 丁雪o z q 兰= 吲 吲。攀 = j ：j e 讣吼溉a t = z 2 石 一吼一口+ 厶( 妒，v 雪) q v ( 厶( 哥，v 雪) q ) 毋d z 班 = 石g ，。) 矿( z ) + o t 石f ( 毋) z 一毋+ ( 雪，v 妒) 毋 + 厶( 雪，v 雪) v 玩- qd x d t = q ( z ，o ) 雪o ( z ) d z ，q 再由矿( z ) 的任意性，特别地取雪o ( z ) = q ( x ，o ) ， 则 塑趔i r = 0 ：“o ) l l l 2 ( e ) 若( 5 ) 成立，则 q ( x ，0 ) = 0z o 再根据唯一延拓性质，可知 q ( x ，0 ) = 0 z q 反过来，若已知q ( x ，0 ) = 0z q ，则( 5 ) 式的成立是显然的。证毕 定理3 3 6 设。n0 仍，y o = 0 ，c 1 ( r r n ) 且满足l i p s c h i t z 条件，f ( o ，0 ) = 0 ， 则3 m = m ( f l ，u ，o ，t ) 0 ，比l 2 ( q ) 且满足 1 6 东北师范大学硕士学位论文 石唧c 铷2 如出 0 固定，定理3 3 6 的假设仍然成立，则存在正常数m = m ( u ，q ，e ，t ，) ， 使得k l 2 ( q ) 满足( 3 4 ) 式，可以找到控制函数v e l 2 ( o ，t ) ) ，使得( 3 2 ) ( 3 3 ) 的 解( 魄，q e ) 满足 l l q ( ，o ) i i l z ( q ) e ( 3 4 ) 并且下式成立： 删 0 其中日为正常数且日= h ( n ，u ，e ，正，) 然后利用不动点的方法讨论非线性系统的近似不灵敏控制问题，定义映射赴：l 2 ( o ，t ；瑶( q ) ) 三2 ( o ，已h 2 ( q ) n 硪( q ) ) ，a 。z ) = y z ，其中y z 是系统( 3 2 ) 取a = a 名，b = b z 的解根据 s c h a u d e r 不动点定理可得赴至少存在一个不动点y e l 2 ( o ，t ；嘲( q ) ) 控制函数魄使 得下面系统成立： + 夕( 魄，v 骓) 魄+ g ( 拈，v 骓) v 魄= f + 魄地 三三j 三二厶( 船，v 骓) 一v ( 厶( 魄，v 姥) 啦) 2 可x e ( z ，t ) q ，t ) e z q ( x ，t ) q ( z ，t ) z q ( 3 5 ) ( 3 6 ) ；| ；： 加 铷 i l 一 0 + o 一_ “ 也 | | 雏 骓 东北师范大学硕士学位论文 换句话说，我们可以找到控制函数魄l 2 ( o ，t ) ) ，使得系统( 2 9 ) ( 3 0 ) ( 当矽o = 0 时) 的解满足 0 啦( ，o ) 怯( q ) g 最后采用逼近的手段得到要证明的结论，就是分别在式( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 中取极限，注意 一v 于l 2 ( 0 ，t ) ) ( 骓，啦) 叶( y ，q ) 于l 2 ( o ，t ；础( q ) ) l 2 ( q ) 能( ，0 ) _ g ( ，0 ) 于l 2 ( q ) 需要指出的是，作者不仅指出了不灵敏控制的存在性，而且在证明过程中，还得到了 控制函数t ，所有满足的估计。 i l v l l l 2 ( 州 0 是厶，厶在r 舻中的界) 而且定理3 3 4 还可以推广到，是局部l i p s c h i t z 连续函数的情形，仍要求f ( o ，0 ) = 0 ， ，聚丽= 。 ，疑。丽= 。 其中：g ：r r 2 一r ，g ：r r 2 一r n 为有界连续函数，并且 夕( s ，纠= 0 1 厶( 盯s ，a p ) d a g ( 8 ，p ) = 厶( 口s ，叩) d o ( 具体结论可参看文献【1 0 】中定理1 1 ) 在文献【9 】中，作者还考虑了一类带有f o u r i e r 边界条件的系统； a y t n 可- + a 蛔y + ：f 。( ) = + u 地 二：笔主兰 。3 9 ， 【必，o ) ：矽。+ 秽 z q 东北师范大学硕士学位论文 其中f ：r _ r 是c 1 的l i p s c h i t z 连续函数，h l ( ) ，条件( h 4 ) 一( 日7 ) 仍成立，跣 指的是边界a q 的外法向导数，l 。o ( ) 中的范数表示为”l i o 。，e 命题3 3 8 设y ，g 是下述系统的解： 玑一a y + f ( y ： 如+ h y = 0 可( ，0 ) = y o 一吼一a q + f 7 岛口+ h q = 0 g ( ，t ) = 0 + u 地 ( v ) q = y x o ( z ，t ) q ，t ) e z q ( z ，t ) q ( z ，t ) z q ( 4 0 ) ( 4 1 ) 则不灵敏性条件( 6 ) 等价于g ( ，0 ) = 0z f t 定理3 3 9 设un0 仍，y o = 0 ，f c 1 ( r ) 是全局l i p s c h i t z 连续函数 ( l i p s c h i t z 常数为z ) ，且f ( o ) = 0 ，h l o o ( ) ，且l 2 ( ) ，则| n 0 ， n= n ( n ，u ，o ，正z ，i h l o o ；e ，i i h t l l o o ；) ，比l 2 ( q ) 且满足 厂：e x p ( 1 2d x d t 0 为一常数，q = q ( 0 ，t ) ， e = 御( 0 ，t ) ，考虑如下系统： ， iy t 一秒= 专+ v x w ( z ，t ) q y = 0 ( z ，t ) ( 4 3 ) iy ( ，0 ) = 可o + 7 - 雪o z q 假设条件( h 4 ) 一( 日7 ) 成立，考虑的性能泛函为( 2 ) 命题3 4 1 设y ，口为下述系统的解： 1 9 ，-_lj、_-_、，_-_i、lli_l、 东北师范大学硕士学位论文 篡篓兰 则近似不灵敏条件( 6 ) 等价于l g ( z ，o ) l z q 证明与命题3 2 1 类似 命题3 4 2 设p o l 2 ( q ) ，考虑串联系统： ( x ，亡) q ( x ，t ) z q i 三三j jp x e 堇三主兰 ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) z 兰0 ( z ，t ) x ( 0 ，t ) 辛z 三0 ( z ，亡) q 且p o = 0z q( 4 8 ) 证明：由名三0 ( z ，t ) ux ( 0 ，邳，可推出 p = 0 ( x ，t ) ne ) x ( 0 ，t ) 再根据s a u t s c h e u r e r 唯一性定理，得到 p 兰o ，名三0 ( z ，t ) q z 兰0 于q 推出p 兰0 于ex ( o ，t ) ，从而有p o = 0z q 证毕 ( s a u t s c h e u r e r 唯一性定理的具体内容可以参看文献 1 3 】，命题3 4 2 其实是唯一 延拓性质) q e 、，、1，i t t 蜒 e c耖 = ， 旷 加 & = 一 0 即 吼 | | ， 飞 俨丸 = 矿 p = 山。 啦 一 l l ， 厂 l l n p p p ，f-_-_，、-_i_i、 东北师范大学硕士学位论文 其实前三节都要求ur le d ，在这个条件下，类似于命题3 4 2 的唯一延拓性质成 立，从而可以使推理过程顺利进行若ur le = 仍，唯一延拓性质不再成立，而文献【1 l 】 研究了一种特殊情形一q 为一维对称区域，此时唯一延拓性质仍然成立，其主要结果如 下： 设q = ( 一l ，l ) ，e = ( 0 ，三) ，u = ( 一l ，o ) ，( 一厶l ) ( 0 ，t ) 考虑如下串联系统： 善p p t 。一- -