（概率论与数理统计专业论文）对具有两类索赔的风险模型的若干研究.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 摘要 风险理论作为保险精算数学的一部分，主要处理保险事务中的随机风险模 型并研究破产概率问题经典的复合p o i s s o n 风险模型主要考虑了同一类的风 险构成的风险模型但是，由于现阶段保险公司经营的规模不断扩大，考虑到 用单一险种的风险模型来描述风险经营的局限性，本文建立了具有两类索赔的 风险模型并且主要研究承包人承包两类不同的风险时相应的风险总和构成的 风险过程 根据内容本文可以分为以下三章。 第一章，我们主要研究了具有两类索赔的风险模型，其中一类索赌次数服 从经典的p o i s s o n 过程，另类索赔次数服从复合p o i 舡o n - g e o m e t d c 过程，首先 运用鞅轮的方法得出了破产概率满足l u n d b e r g 不等式和一般公式最后我们 利用更新的方法得到了初始资本为u 的破产概率的近似估计并得到初始资本 为零时破产概率皿( o ) 钓明确表达式，并且针对此模型，本章也给出了妒( u u ) 所满足的更新方程。 妒( u ，) = 拿妒( ，) ( 1 一昂( “一| ，) ) d o j 0 + 等 u ( 一f ) ( 1 一乃( u + f ) ) 匆 o ，u + 等妒( ，) ( 1 一f 2 扣一) ) 句 j o + 等埘( 一l ，) ( 1 一玛( u + | ，) ) d l ， 其中c - ，( 。) 为罚金函数。妒( “，c - ，) 为破产发生时的盈余惩罚期望 第二章，考虑了上述风险模型受利率的影响，在这一章，我们主要研究了 常利率下两险种的风险模型，利用后向微分法和l a p l a c e 变换，给出了破产概 率( “) 的积分方程及其拉普拉斯变换的表达式，并得到了初始资本为零时破 产概率蛎( o ) 的明确表达式 第三章，我们主要研究了离散双险种风险模型，讨论了两类险种的索赌 曲阜师范大学硕士学位论文 一种为二项随机序列，另一种索赔为负二项随机序列的情形，得到了最终破产 概率满足l u n d b e r g 不等式和一般公式 关键词：破产概率；复合p o i s s o n g e o m e t r i c 过程；更新方程；常利 率；破产时刻 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t r i s kt h e o r y , a sap a r to fi n s u r a n c e - a c t u a r i a l - m a t h e m a t i c s ，d e a l sw i t h s t o c h a s t i cm o d e l so fa ni n s u r a n c ea n ds t u d i e st h ep r o b a b i l i t yo fr u i n t h e c l a s s i a lr i s km o d e lc o n s i d e r sm a i n l yo n ec l a s so fr i s k b u tt h ei n s u r a n c ed e - v e l o p sr a p i d i y t h es c a l eo ft h eb u s i n e s se x p a n d si n c r e a s l y c o n s i d e r i n gt h e l i m i t a t i o n so ft h ec l a s s i a lr i s km o d e lw i t hs i n g l e - t y p e - i n s u r a n c e ，w ec o n s t r u c ta t w o - t y p e - i n s u r a n c er i s km o d e l si nt h i st h e s i s a n dt h et h e s i ss t u d i e sr i s km o d e l w i t ht w od i f f e r e n tc l a s s e so fr i s ka n dw h o s er e l a t e sa g g r e g a t ec l a i mp r o c e s si s t h es u mo ft w oc l a s s e so fc l a i m s t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e es e c t i o n sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s ： i nc h a p t e r1 ，w em a i n l ys t u d yr u i np r o b a b i l i t yi nr i s km o d e lw i t ht w o - t y p ec l a i m s w ea s s u m et h a tt h et w oc l a i mn u m b e rp r o c e s s e sa r ei n d e p e n d e n t p o i s s o na n dc o m p o u n dp o i s s o n - g e o m e t r i cp r o c e s s e sr e s p e c t i v e l y a tl a s tw e a l s oe s t i m a t e 妒( t ) a n dg i v eae x p l i c i tf o r 妒( o ) t h er e n e w a le q u a t i o nh a sb e e n s t u d i e d ，a tt h es a l n et i m ew ep r o v et h a t 妒( u ，u ) s a t i s f i e st h er e n e w a le q u a t i o n ： 妒( 珏，u ) = 等f 妒( 札，u ) ( 1 一乃( 一州咖 + 等u ( 一! ，) ( 1 二- 乃+ 掣) ) d 弘 + a c 2 上母( u ) ( 1 一毋托一们) 由 + 誓f ”c i ( 一) ( 1 一易+ 可) ) 咖 i nc h a p t e r2 w em a i n l ys t u d yr u i np r o b a b i l i t yo fat w o - i n s u r a n c er i 8 k p r o c e s s e si nc o n s t a n ti n t e r e s tr a t e t h er u i np r o b a b i l i t y 讥( u ) i ss t u d i e d ，w e a 1 8 0g e tf o r m u l ao f t h er u i np r o b a b i l i t ya n dg i v eae x p l i c i te x p r e s s i o nf o r 锄( o ) i nc h a p t e r3 ，w em a i n l ys t u d yad i s c r e t ei n s u r a n c er i s km o d e l ，w h e r e t h ea r r i v a l so fc l a i mf o l l o wn e g a t i v eb i n o m i a ls t o c h a s t i cs e r i e sa n db i n o m i a l 曲阜师范大学硕士学位论文 s t o c h a s t i cs e r i e s t h ef o r m u l a so fu l t i m a t er u i np r o b a b i l i t ya n dl u n d b e r g i n e q u a l i t yf o rt h i sm o d e la r eo b t a i n e d k e y w o r d s ：r u i np r o b a b i l i t y ；c o m p o u n dp o i s s o n - g e o m e t r i cp r o c e s s ；r e - n e w a le q u a t i o n ；c o n s t a n ti n t e r e s tr a t e ；t i m eo fr u i n n 第一章一类具有两类索赔的风险模型 1 1 引言 风险理论是破产理论的核心部分，在中国自亚洲金融危机后得到飞速发 展其中破产理论可以直接用于研究经营的风险稳定性，由于对经济发展有重 要作用而受到世界各国学者或专家的青睐，作出了许多重要的成果，对当前保 险业的发展有重要的指导作用，这些成果包括【1 】，【2 】，【3 】，【4 】， 5 】， 6 】，【7 】等 经典的风险模型如下所定义，设保险公司在to 0 ) 时刻的盈余为 u ( t ) = “+ c t s c t )( 1 1 1 ) 其中u 0 称为保险公司的初始盈余，c 为单位时间内收取的保费，s c t ) 为 一随机过程，称为索赔总额过程，表示到t 时刻公司所赔付的总额在这些风 险模型中，由于险种单一，顾客的索赔额的独立同分布的假定自然是合理的， 但考虑到风险经营业的不断扩大，即风险经营的多元化和新险种的不断开发， 各险种的理赔额服从不同的分布，许多学者进行了研究，取得新的研究成果， 例如【8 1 ，【9 1 ，【1 0 1 ，【1 1 1 ，【1 2 1 ，【1 3 1 等本文在上述基础上建立了一类具有两类索 赔的风险模型，其中一类服从经典的p o i s s o n 过程，另一类服从复合p o i s s o n - g e o m e t r i c 过程，由于破产概率皿( t ) 的精确表达式在大多数情况下是无法得 到的，只有在极少数情况下才可以得到因此，本文主要是利用鞅论的方法得 出了破产概率所满足的l u n d b e r g 不等式和一般公式，然后，我们利用更新的 方法得到了初始资本为“的破产概率的近似估计，并且得到了皿( o ) 明确表达 式和妒( u ，u ) 所满足的更新方程 1 2 风险模型的建立 首先我们作出给出如下定义 定义1 2 1 设20 ，c 0 , 0 ， 1 对于给定的完备概率空间 l 第一章一类具有两类索赔的风险模型 ( q ，p ) ，t 0 ， n lc t ) n 2 ( t ) 【，( t ) = u + c t 一五一匕 ( 1 2 1 ) l = 1 j = l 肌( t ) n 2 ( t ) s ( t ) = d 一五一匕 ( 1 2 2 ) l j = l t 表示保险公司的初始盈余，d 表示表示保险公司在( 0 ，t ) 内收到的保险费 的总额， 1 ( t ) ：t o 表示参数为a l ，p 的复合p o i s s o n - g e o e r m e t r i c 过 程 2 ( t ) ：t o ) 表示参数为a 2 的p o i s s o n 过程且t 五：i 芝o 是独立同 分布的， 匕：j o ) 是独立同分布的如果满足 l ( t ) ：t o ) ， 2 ( t ) ： t o ) ， 五：i o ， 匕：j o ) 相互独立，则称此过程( u ( t ) ：t o 为双险种的风险模型同时，称 s ( t ) ：t o ) 为盈利过程如果p = 0 的 话，就是【1 3 】中的( 5 ) 的一种特殊情况也可以看作【1 2 】的一种特殊情况 设五是第一类理赔的第t 次理赔量，其分布函数f l ( o ) 有相应的密度函数 为 ( z ) 巧是第二类理赂的理赔量，其分布函数为兄( 茁) 相应的密度函数为 五( z ) ，设贯( 功为f l ( 。) 的k 重卷积，片( $ ) 为a ( x ) 的k 重卷积，我们设 乃( $ ) = 是l ( 1 一力矿一1 日( z ) ，f a x ) = o o ：l ( 1 _ p ) p k - 1 片( 茁) ，a = 丝学， 假定p l = 刀陇】 o o ，砌= e l y , 】 o o ，定义相对安全系数 口：。l 一1 酱+ a 2 1 2 相应的定义破产时刻和破产概率 其中破产时刻为， l = i n f t ：u ( t ) o ) 初始资本为t 的最终破产概率为， 皿( t ) = 只( 死 o o l u ( o ) = t ) 现在设u ( z ) 为惩罚函数，并假设当$ 0 时，u ( z ) 0 定义妒( t ，) = e ( u ( 咒) ) i 兀 o o 田( u ) 为破产发生时的盈余惩罚期望特别是，当u ( 2 ) = 1 时，妒( 札，1 ) = 妒( 钍) 2 曲阜师范大学硕士学位论文 1 3 预备引理 引理1 3 1 对于这种风险模型中，盈利过程( s ( t ) ：t 0 ) 是一个右连续过程， 且具备下列性质 ( 1 ) e s ( 力= ( 。一丽1 ) 。； ( 2 ) s c t ) 具有平稳独立增量； ( 3 ) 存在正数r ，使得e e 一一( ) 】 0 内有唯一的极值点故方程g ( r ) = 沁 有唯一的正根，即方程g ( r ) = 0 有唯一的正根 注1 3 1 对于p = 0 ，本定理类似【1 3 】中的定理3 2 e 墨= p l ，e 巧= 砌， v a r x 。= 盯 ，口a r 巧= 程，且对于调节系数r ，满足下面的不等式 扣删 0 的常数，w c t ) 是一个标准的布朗运动，其它的量参见定义 1 2 1 ， ( t ) ：t o ) ，t 1 ( t ) ：t o ， 2 ( t ) ：t 之o ) ， 五：i o ) ，化：j o ) 是相置独立的的情况下成立 引理1 3 4 在风险过程w c t ) ：t2o ) 下，设r 为调解系数，则有 譬k ( 冗) + 等b ( r ) = r 其中 k ( r ) = e ”d f p ( 善) 一1 ，( r ) = e r 。d f 2 ( z ) 一1 证明根据9 c ，：一盯+ 每觜+ k c 蚝c ，一- ，小) - - c r + 谢州蚝_ 1 ) 由引理1 3 2 知r 为方程g ( r ) = 0 的一个正根，故有 枷+ 攀般茅“( 地( 驴) = o 5 第一章一类具有两类索赔的风险模型 又因为 半1 黜“( 地( r ) 一1 ) ：冗 一p i x , ( r ) 。”q ” 等( r ) + 等垃( 固 = 等嘭。e 鼢啡) _ 1 】+ 铡。e 如蚴) 1 】 = 等蜕。e m 鼎垆1 】+ 生c 【j ，0 。e 如批) - 1 】 = 等【垂( 1 一力阮( 删- 1 】+ 等眠( 冗) - 1 】 = 等【( 1 一力矿一1 肘k ( 冗) 】一1 】+ 警f 亿( 冗) 一1 】 = 7 l - 嘴_ 1 】+ 等吲驴l 】 = 鬻“( 批( 一脚 从而结论成立 引理1 3 5 瓦是p 停时 1 4 主要结果 定理1 4 1 在风险过程w ( t ) ：t o ) 下，最终破产概率满足的不等式 妒( t ) e - - 舭 其中r = s a p r o p ：g ( r ) o 证明因为冗是f l 停时，不妨取t o t o p t u t o ( 1 4 1 ) e 【地( 咒a t o ) l 死屯】- p 咒如) = e 【帆( 瓦) l 咒t d p t , t o 在 瓦 t o ) = e e - 。v ( 凡i 瓦t o p t 。t o ) + e e - , v ( 幻i 瓦 t o p t t o ) 7 第一章一类具有两类索赔的风险模型 以z ( a ) 表示集合a 的示性函数，有 0 e e ”p ) i 死 t o p t 。 如 = 曰f e 一u ( 幻) j ( 瓦 t o ) e e 一矿( 幻) ，( 矿( t o o ) ) 】 由于0 e - r u ( o ) i ( v ( t o o ) ) s1 ，且根据强大数定理故当t o 0 0 时 u ( t o ) o 。p o 5 以及勒贝格控制收敛定理，我们有 如l ，i m 。e e = r o ( t o ) i t u t o l p t t o = o ，p 一口8 注1 4 2 本定理在有扰动的情况下仍旧成立 定理1 4 3 在风险过程 u ( t ) ：t o 下，则有妒( t ，u ) 满足以下更新方程。 妒( t ，1 ) = 等币( u ) ( 1 一乃( 1 一掣) ) 咖 + 等厂”u ( l ) ( 1 一昂( u + 可) ) 咖 + 善帅川”脚刊) 咖 o a 2 + 等f ，( 一分) ( 1 一f 2 ( u + u ) ) d u 证明根据假设条件知x ( t ) 具有平稳独立增量性，考虑在充分小的时间区间 【o d , t l 内的可能几种情况 ( 1 ) 在时间区间1 0 ，鳓内都没有理赔发生 ( 2 ) 在时间区间【0 ，a t 内服从复合p o i s s o n - g e o m e t r i c 过程的没有发生， 服从p o i s s o n 过程的发生一次 ( 3 ) 在时间区间【o ，d r 内服从复合p o i s s o n - g e o m e t r i c 过程发生多次，服 从p o i s s o n 过程没有理赔发生 8 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 4 ) 其它 妒( u ，u ) = ( 1 一a l d t ) ( 1 一a 2 d t ) 妒( u + c d t ，u ) , u + c d t + ( 1 一a l d t ) a 2 d t 【妒( u + c d t z ，u ) d f 2 ( x ) ， + ，扣+ c d t 一茁) d 乃( z ) 】 j u + 0 出 ，口+ 础 “k = l ( 0 妒( u + c d t - z , w ) 研( z ) + fu 心+ c d t 一霉) d f p 0 ) ) 1 矿d 亡+ a k ( 出) o ( d t ) ) ( 1 一a 2 d t ) j + c 出 + o ( d t l 其中第三个式子是因为在( o , d t ) 内发生k 次索赔时若索赔额之和z 小于 等于在( 0 ，d r ) 总的盈余的和u + e d t ，则不会发生破产，这时有妒( u + o 出一而u ) 若索赔之和z 大于t - 4 - e d t 则发生破产，则妒( t + e x t t z ，u ) = 1 ，这时有罚金 函数u ( t + o 出一z ) 由单调收敛定理知厂与交换次序没问题，所以整理合 并，忽略一些量使之为o ( a t ) ，我们有 业生宅掣壁型：垒出妒( u + 础，u ) 一= 一1 口l u - - n z c u 一c 口tc 一警础妒( u + 础- z , w ) d f 2 ( z ) + 厂。u ( t + 础一z ) d f 2 ( z ) 】 o j 0 ，u + 础 + a 1 a 。2 d t j 。一舯础一茹，) 隅( g ) + o o 滴u ( t + 础一z ) d f 2 ( 功】 一鲁善( 1 _ p ) p k 以吃卿+ c d t - z , w ) d f ? 气功 ， + “，( u + c d t z ) d f ：( z ) 】 j u + c d t + d f 出) 9 第一章一类具有两类索赔的风险模型 从而令d t 0 ，登理得 ( u ，u ) = 查三生妒( 钍，u ) 一鲁 z “妒心一珂，u ) d 易( z ) 十f u 0 0 u 一z ) d 恳( 删 一莲”胪小 0 , - - x ，o j 蝌+ 小肼盯 = 半帅一鲁 z “她咱u ) d f 2 ( z ) ， + u ( u 一。) c 【兄( z ) 】 j u 一玎妒( l , - - x ，o j ) 喜( 训。1 朐如 + w ( u - z ) ( 1 - p ) d 一铲( z ) 出 由已知j f ，p 0 ) 如= 1 ，化简得到 妒，( u ) ：! ! 妄生妒( 缸，u ) 、 一等【z “妒( “一为u ) 厂2 ( z ) 如 + z 。u 似刊蒯捌 一等【z ”妒( u 一岔，u ) 厶( z ) 如 + f o o u ( 一) 厶( z ) 】如 我们在( o ，t ) 对t 积分，此时左边为妒( t ，u ) 一妒( o ，u ) ；右边第一项为丑挚片妒( u ，7 ) 令弘= t 一z ，右边的第二项的第一部分为 鲁z z “妒( 玑u ) 厶( 钍一l ，) d y d u = 誓z 妒( 玑叫) 乃( t 一们咖 再令- y = t 一z ，第二部分为 鲁z z 。u ( u 一甸，2 ( z ) d z d u = 警z 。u ( 一可) f 乃 + ) 一易( f ) j d 。 1 0 堕皇堕整盔堂堕主堂垡鲨塞 一 - _ _ _ - _ 一一 然后第三项类似处理我们有 量cj ，o o “妒【鲈，厶( 牡一们白缸= 等z 1 f i b ，u ) b ( 亡一! f ) 曲 等z - ( ”u ( 缸一z ) ，p ) 如如= 警z 。u ( 一掣) f o c t + 们一日( 洲由 帅川刈岫) = 半小u m d 让 一等z d ( t 一们匆 一等z ”u ( 一 ) 【乃( t + 分) 一乃 ”d ” 一- - 警。r t 妒c 弘u ) f 2 c t 一们咖 一誓z 。u ( 一管) l e 2 ( t + ! f ) 一兄 ) 1 d 可 因为妒( o o ，u ) = 0 ，故在上式中令t 0 0 ，得 妒( 0 u ) = 等z 。u ( 一们f ( 1 一乃( 们】d + 鲁z 。u ( 一! ，) 【1 一b 国) 】d 分 由上两式整理得 妒( u ，u ) = 等z “妒( u ，u ) ( 1 一日( u l ，) ) d 分+ 等z 。u ( 一可) ( 1 一乃( “+ 掣) ) d l + 警z “妒( 让，u ) ( 1 一尼( u 一纠咖+ 等z 。u ( 一们( 1 一f 2 ( + 掣) ) 句 故定理l 4 3 成立 推论1 4 1 在定理1 4 3 的条件下。如果u ( z ) 一1 则有下列表示 妒( 钍) ：丛cj ，o “妒。) ( 1 一乃一匆+ 等z 。( 1 一f p 。+ 掣) ) 由 + 警z ”删1 删刊附等f ( 1 咧”，州匆( 1 4 3 ) 第一章一类具有两类索赔的风险模型 而且初值为0 使得破产概率与具体分布无关，若口 0 ，则 妙( o ) = 而1 证明令u ( z ) 兰1 则由定理1 4 3 知推论1 4 1 成立 妒( 0 ) = 妒( 0 ，1 ) = 等z ”【1 一易 ) i d y + 等z ”【1 一易b ) l d y = 等z ”可厶( 们由+ 警z 。鲁z 。【，一毋( 州由 = 等z o o 可暑o o ( 一旷1 舶m 等 = 等( 1 一p ) 矿以e 陋1 + 蜀+ + 甄】+ 鲁他 a i ，i , 1a 2 2 而十i 舰 将 、 忙赤。1 代入上式有 妒( 0 ) = 而1 定理1 4 4 在风险过程 u ( t ) ：t o 下，若p 0 ，且存在r 0 使得， 等姒r ) + 鲁如( r ) = 冗 则。r 是方程 等警1 p 端m x + 鲁( 地_ 1 ) = r c 一( r ) 。c 、q “ 7 的懈。而且 。峨e 肋卿) = 而可甄若磅硒而 ( 1 4 4 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 妒( u ) = 等z “( 1 一乃( z ) ) 妒( 牡一霉) 如+ 鲁z ”( 1 一f 2 ( z ) ) 妒( u 一。) d z + 等z ”( 1 一乃( 功) 如+ 鲁z 。( 一f 2 ( z ) ) 出 ( 1 4 5 ) z ”【等( 1 一昂( z ) ) + 誓( 1 一f 2 ( z ) ) 如】 0 使得 z ”e 船 等( 1 一乃( 茹) ) + 鲁( 1 一岛( z ) ) 】如= 1 即 e 触【等( 1 一f p ( ) ) + 警( 1 一最( z ) ) 1 是个概率密度函数，从而 e 舰妒( “) = 等z 。( 1 一易( z ) ) 出+ - 沁yj ，。( 1 一毋( z ) ) 如 + z “【等( 1 一易( z ) ) 十鲁( 1 一忍( z ) ) 】e 船妒( u z ) e 剐- - - ) 如 根据关键更新定理得 。蛾e m 妒( 牡) = 乏 _ + ( 轴 苴审 c = z 0 0 。e r u ” 等( 1 一乃( z ) ) + 等( 1 一尼( z ) ) 】如比 仞= f 窖【等( 1 吲枷+ 誓( 1 一f 2 ( e 堆 根据( 1 4 4 ) 式得 争夏1 + 去z 。e 船啡) 】+ 争面1 + 去z 。e 船批) 】- - 第一章一类具有两类索赔的风险模型 邢 循 ， ( r ) = e “d 昂( z ) 一1 ，忆( r ) = e r 。d f 2c x ) 一1 j 0j 0 我们可以得到 等姒冗) + 鲁( r ) = 冗 ( 1 4 7 ) 所以r 是方程( 1 4 4 ) 的一个正解，整理c l ，c a c - = ，f 。o 。e r u z ”【等( 1 一易( 。) ) + 等( 1 一易( 。) ) 】如也 = f o 。e r u z 。【等( 一易( 茁) ) 如比+ 。f 。o 。e r u z ”等( - 一足( z ) ) 】如咖 = z ”等( - 一易( z ”z 2e 砌砒如+ z ”鲁( ，一易( z ) ) z 。e 砌血出 =一址：l-p)一訾+一1：。-l7-(cr(1 r1 一f p ( 圳e 船+ 等( 1 一兄( 正) ) e 胎 ， 嘏 厶 叩“。 。c ”。“。 = 去【1 一而1 】 同时利用( r ) = j z e 船d 乃0 ) ，( r ) = j f x e m d f 2 ( x ) 及_ r 茁e r 2 = ( 蠢一 m ) e 船 饧= z ”茹【鲁( 1 一昂( 。) ) + 鲁( 1 一易( z ) ) e 如】如 = z 。z 【等( 咧圳+ 鲁( 咧圳d f ( 孟一去炉】 = 去( 等) 警+ 鑫k ( 冗) 一鑫【( 冗) + 1 】+ 熹必( 兄) 一鑫【圯( r ) + 1 】 = 鑫( 冗) + 蛊必( 兄) 一鑫k ( r ) 一面, h h p ( n ) = 墨( 冗) + 鑫必( r ) 一面1 所以 。 。蛾8 ( 2 矸研阿哥巧而骊 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 推论1 4 2 若 五：l l ， 巧：j 芝1 都服从参数为卢的指数分布，则 州= 而1 e 喁u 。l i r a 。e 如妒( 让) 2 南- - i -u _ l口 其中r 是方程n + 1 九) ( r ) = c r 的根，此处h p ( r ) = h 口c r ) 第二章一类具有两类索赔的常利率风险模型 2 1 引言 由于风险经营的多元化和新险种的不断开发，本文第一章建立了一类具 有两类索赔的风险模型，其中一类服从经典的p o i s s o n 过程，另一类服从复合 p o m s o n - g e o m e t r i c 过程，但考虑到风险经营业的不断扩大，即在现实生活中， 货币利率强度总是存在且大于零，货币的利率对保险公司的决策也有一定的影 响，所以说经典的风险模型和本文第一章所建立的两类索赔的风险模型所考虑 的问题是不完善的，而有关的结论对实际问题的反应也是有偏差的 近年来。随着研究的进步深入，带利率的经典风险模型的成果已经有很 多，包括【1 4 1 ，【1 5 1 ，【1 6 1 ， 1 7 1 其中【1 4 1 解决了破产概率满足的积分方程以及上 下界问题，【17 】利用【1 4 】的方法分别解决了经典风险模型中破产时盈余，破产时 赤字以及破产时盈余和破产时赤字的联合分布的表达式及其满足的方程【1 5 1 研究了罚金折现期望并得到了他所满足的积分表达式且通过k s 变换对它进 行了估计考虑到索赔的实际情况，【8 1 研究了索赔为复合p o i s s o n - g e o m e t r i c 过程的风险模型，得到了它的破产概率以及更新方程 因此考虑到更加符合当前的实际情况，本章在【1 6 】和第一章的基础上的基 础上进行推广，建立了一类具有两类索赌的带利率风险模型，其中一类服从经 典的p o i s s o n 过程，另一类服从复合p o i s s o n - g e o m e t r i c 过程，由于破产概率 蛎( 让) 的精确表达式在大多数情况下是无法得到的，只有在极少数情况下才可 以得到因此，本章得到有关破产概率吼( ) 的积分方程并且得到了( o ) 明 确表达式 1 6 曲阜师范大学硕士学位论文 2 2 风险模型的建立 考虑常利率的风险模型，设保险公司t ( t 0 ) 时刻的盈余为0 6 ( t ) 对于给 定的完备概率空间( q ，芦，p ) d 玩( t ) = c 出+ 玩( t ) d t d s ( t )( 2 2 1 ) l ( t )2 ( 0 s ( t ) = 五+ 匕 ( 2 2 2 ) i = i j = l 则_ u s 随机微分方程的解为 t 巩( t ) = t l e 以+ 簖一扣耐d s ( $ ) j 0 其中 柙= e t , , d v ，g ( t ) = u e s t + 簖 j 0 设u 0 ) 表示保险公司的初始盈余，c ( c 0 ) 表示单位时间内收到的保 费，0sp 1 为风险偏离系数( l ( t ) ：t o ) 表示参数为a l ，p 的复 合p o t s s o n - g e o m e t r e 过程； 飓( 0 ：t o 表示参数为a 2 的p o i s s o n 过 程，且 五：i o ) 和 k ：j o ) 分别是独立同分布的如果 l ( t ) ： t o ， 2 ( t ) ：t o ， 五：i o ) 和( 匕：j o 相互独立，则 称此过程 u ( t ) ：t 之o ) 为带常利率的具有两类索赔的风险模型设五是 第一类理赌的第i 次理赌量，其分布函数f 1 ( z ) 有相应的密度函数为 ( 霉) 匕是第二类理赔的理赌量，其分布函数为如( z ) 相应的密度函数为，2 ( z ) ，设 目。( z ) 为凡( z ) 的k 重卷积，疗( z ) 为 ( 茹) 的k 重卷积，我们设乃( 卫) = 墨。( 1 一力矿一1 目( z ) ，厶( 功= 墨，( 1 一p ) 矿- 1 片( $ ) ，o = 查“产，假定 p 1 = f 刚 o o ，助= e 巧】 o o 并由此定义相对安全系数 忙蠢。l 一口z p o 1 7 第二章一类具有两类索赔的常利率风险模型 相应的定义破产时刻和破产概率记 乃= i n f d ：u d t ) 0 ，u 乜( ；) ( 8 ) = 乜( s ) = 8 一乃( z ) 如，v s 0 ，o 定理2 3 2 对于破产概率咖( t ) 的l a p l a c e 变换满足下式 ( c 一： 乜( s ) 也玮。( s ) ) 岛( 3 ) _ 6 l , p ( s ) = ；( 0 ) - a t 吃( 沪沁毛( s ) ) 下面我们定义咖( ) 的辅助函数乙( 珏) 为 历( 钍) _ c d o 矿) - 妒d u ) ( 2 3 7 ) 则z 6 ( o ) = 0 ，如果函数乃，乃是充分正则的，则 o o 时，讹( t ) 0 也就是说l i n k 。历( t ) = 1 ，这样，我们定义历( “) 的斯蒂芬l a p l a c e 变换如 下 舶( 8 ) = e - = d z d z ) ，v s 0 且, r 6 ( o ) = l ，l i m ，+ 。加( s ) = 0 ，由( 2 3 7 ) 得 也( “) = 咖( o ) 一咖( o ) 历( t )( 2 3 8 ) 把( 2 3 8 ) 代入( 2 3 6 ) 有 ( 6 z + c 6 z ) 狮) = 6 z 。珊) 咖+ 器a z ( z ) 一等g 髟) ) 历( u ) = 6 历( ) 咖+ ：若条一兰p ( 名) j oy d v ， r 曲阜师范大学硕士学位论文 一a 2 r a g 2 ( z ) + 尝笔历$ 邻( z ) + a 2 助历 岛( 力 ( 2 3 9 ) 其中a i ( z ) = ；丢j 孑a ( 掣) d 掣，m a = f a c ) d y = 鲁等+ a 2 p a ，g 2 ( x ) = 1 一 - 2 ( z ) = 击鬈瓦( 掣) 咖，锦( z ) = 1 一砩( z ) = 鲁片己( 分) 由，且历，g 。，历q 分别为磊和g 2 ，g p 的斯蒂芬卷积对( 2 3 9 ) 式取拉酱拉斯变换得 一和臻r a a 仲，+ 颤a 嚣l # l p ) 仁。加， 一a 2 脚j 1 2 ( s ) ( s ) + 掣：咖( s ) 似( s ) 屯( s ) = o o e - a z d g 2 ( z ) = ：1 ；e 一”瓦( z ) 出 删= o , 0 e - a z j 0 妈= 壶j 卜”耻 咖p ) = d q ( z ) = e 1 。瓦( z ) 如， 心0 卢( s ) = j ( 。 =rn-1i：”e-a(e-s=dal(z)dze - s = a ( x ) d x 0 卢( s ) = =1 j 一 一d 未1 3 ( s ) + p ( 8 ) 加( s ) = q j ( 8 ) ( 2 3 1 1 ) 尸( s ) = c 一壹笔咖( s ) a 。比如( s ) 仍( s ) = 云南卢( s ) 一尝导如( s ) 一a ：舰抛( s ) 乏( 俳卅珂即) _ _ 渺1 俐一珂即) d 0 ( 3 1 2 ) x ( s ) = j ( 即肛小一篙帅h 。删s ) ) 第二章一类具有两类索赔的常利率风险模型 田于n m t 妒2 i j 。u ，锄【u j2l c p ( o ) 2l ，l l m t 妒- 【纠2u 开且 屯( t ) 在【o ，。) 是单调减函数，t a t ) 在【o ，o o ) 是单调减函数又c 1 且+ k 舰 故l i m 一。x ( s ) = 0 0 ，所以利用【1 4 】的方法同时在两边【8 ，0 0 ) 上积分，得 舶( s ) e 印( 一；z 。p ( 出) = ；，”q a ( t ) e 印( 一；z p 白) d y ) d t 又加( o ) = 1 ，故 a = z ”q 。o ) e x p ( 一；z 。p 国，匆) 出 = 南z ”雕，唧( 一玎帕，咖) 疵 一辫z 。们，唧( 一玎确) d y ) d t 也舰厂”唧(一万1厂p(y)dy)dtj0j 0 一a 2 舰屯( t ) e x p 【_ i ) ” 整理上式得 帅，= 研巷鼎鬻慕 第三章一类具有两类索赔的离散风险模型 3 1 引言 在经典风险理论中，主要处理保险事务中的随机风险模型，现阶段对于这 些风险模型中，研究较多的是连续时间模型，且大都集中在复合p o i s s o n 模型， 可以参考【l8 】，【1 9 】，【2 0 ， 2 1 】，【2 2 ，【2 3 】；对于离散时间模型，在文献( 1 9 】，【2 0 】， f 2 3 j 中，讨论的是复合二项风险模型和复合负二项风险模型 两类风险模型描述的都是单一险种的风险过程，但考虑到经营险种的多元 化，我们有必要为这类多险种风险经营过程提供更加符合实际的风险经营模 型基于这种想法，本文在【2 3 】的基础上建立了一类离散双险种风险模型，且 假设两险种的索赔分别为二项随机序列和负二项随机序列，得到了最终破产概 率的l u n d b e r g 不等式以及其般表达式 3 2 风险模型的建立 定义3 2 1 设u 0 ，c o ， ( n ) ，f l , = 1 ，2 ，) 为非负整数的随机变量序列， 且对于任意n 2 n l ，n ( m ) 一n ( n 1 ) 服从参数为( 啦一1 1 1 ，p ) 的负二项分布， 即 p ( ( 砌) 一n ( n 1 ) = k ) = ( ”一扣1 ) 衍2 “1 叮 ，( k = 0 ，1 ，2 ，) 则称序列 ( n ) ，n = 1 ，2 ，为负二项随机序列 定义3 2 2 设u 0 ，c 0 ， ，( n ) ，n = 1 ，2 ，) 为非负整数的随机变量序 列。且对于任意他 n l ，( 他) 一，( n 1 ) 服从参数为( 砌一仃l ，p ) 的二项分布 。即 p ( n ( n 2 ) 一n 7 ( n 1 ) = ) = ( n 2 - - n | ) p n 2 “”谚，( k = 0 ，1 ，2 ，) 第三章一类离散具有两类索