（计算数学专业论文）椭圆问题的mortar元方法及其解法.pdf

摘要 f 本论文主要研究椭圆问题的m o r t a r 元方法及其解法。 法国数学家b e r n u r d i ，m a d a y 和p a t e r a 提出一种把有限元法和谱方法结合起 来的新技术，即把原问题的求解区域进行剖分，在不同的子区域上分别采用有限 元方法和谱方法这个新技术称为m o r t a r 元方法，现在已成为有限元研究的热 点在m o r t a r 元方法中，由于在不同子区域上可以构造不同的网格剂分，可以 定义不同的变分问题，可以采用不同的离散形式，因而m o r t a r 元方法适合解决 角点奇性问题、复杂的具有跳跃系数的力学问题、组合结构等问题而得到广泛的 关注和深入的研究由于在子区域的交界面上网格是不匹配的，因而内交面上节 点的连续性条件不再成立) m 。o r t a r 元方法的基本思想是在内交面上由弱的但适 当的约束条件，即所谓的m o r t a r 条件来代替交面上节点的连续性条件；m o r t a r 条件保证了离散解的整体误差小于各子区域上局部最优逼近误差之和，收敛阶与 相应的标准有限元的收敛阶是一致的甥重网格方法是求解由有限元法或有限差 分法离散偏微分方程( 组) 得到的大型线性方程组的强有力的迭代方法。 艋第二章我们研究了m o r t a r 型局非协调元的多重网格方法。簿立康和陈 文斌构造的m o r t a r 条件，使得非m o r t a r 边上的自由度仅与相邻m o r t a r 边上的 自由度有关，而与相邻m o r t a r 边所在区域内部的自由度无关我f 佣多重网格 方法求解m o r t a r 型p 1 非协调元离散的线性方程组，证明了当光滑迭代次数充分 大时，w 循环多重网格方法是拟最优的；变化的y 循环多重网格预条件方法是 拟最优的。 ， f 德国数学家d e u f l h a r d 提出了一种“单向”的多重网格方法，即瀑布型多重 网格方法这种方法的特点是在细网格上迭代次数较少而在粗网格上迭代次数较 多，从而可以得到与有限元解同阶精度的迭代解。与标准的多重网格方法相比， 瀑布型多重网格方法不需要粗网格上的校正，易于编程。 在第三章，j 我们用瀑布型乏重旦勉法求解具有曲边界的两阶煎圆望焦囹蹙 经等参元离散的线性方程组，在考虑数值积分的情况下，在微分方程h 。的正则 性假设下，我们证明了共轭梯度迭代的瀑布型多重网格方法是精确的并且具有 计算的最优复杂性；而对其它传统的迭代光滑算子，细如对称的g a u s s - s e j d 。l 迭 代，s s o r 迭代或简化的j a c o b i 迭代，为了得到精确的瀑布型多重网格方法的 迭代解，而计算工作量是拟最优的。 有限体积法是一种基于变分原理的差分格式，已成功地应用于各种两阶偏微 分方程。有限体积法的一个基本思想，是把检验函数空间取得尽可能灵活简单 ( 通常用分片常数函数空间或分片线性函数空间) ，以减少工作量，而又保持试 探函数空间的逼近阶，以求兼有差分法的简单性和有限元法的精确性。由于有限 体积法保持质量守恒，所以在流体力学、电子力学等实际问题的计算中得到广泛 的应用，也得到了令人满意的数值结果。但是由于有限体积法离散产生的刚度矩 阵是不对称的，固此关于有限体积法解法的理论研究几乎是空白的。 在第四章j 我们把m o r t a r 型有限元方法的思想推广到有限体积法，对于两阶 自共轭椭圆问题，考虑了m o r f a r 型p i 非协调元的有限体积法。在微分方程： 的正则性假设下，我们证明了微分方程的近似解和微分方程的真解在日- 一范数 和l 2 一范数的意义下具有最优阶的误差估计雉第五章，我们考虑了四阶双调 和问题的m o r t a r 型a d i n i 非协调元的有限体积法，证明了微分方程的真解和近 似解的误差在日：一半范的意义下是最优的。 关键词：m 0 r t 。元，p 1 非协调元，多重网格方法y 瀑布型多重网格方法 a d i i l i 元，有限体积法 分类号：0 2 4 1 8 2 i i 盘 产 a b s t r a c t t h i sd i s s e lr a t i o nc o n c e r n sw i t ht h em o r t a re l e m e n tm e t h o da l l ( is o l v i n g m e t h o d sf o re l l i p t i cp r o b l e m s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，ai n u l t i g r i dt e c h n i q u ef o rp r e c 0 1 1 d i t i o n i n gl i n e a l s y s t e m sa r i s i n gf i o ma m o r t a l f i n i t ee l e m e n td i s c r e t i z a t i o no fs e c o n do r d e r e l l i p t i c1 ) o t l n d a r yv a l u ep r o b l e mi s d e s c l ，i b e da l l ( 1a r i a l y z e du n d e rt i l ea s s u m p t i o nt h a tt h et r l a n g u l a t i o u so ne v e r ys u b d o m a i na l eu n i f o r i dt h em u l t i l e w ， 1 l n o l t a l f i l l i t ee l e m e n ts p a c e sb a s e do ns u c ht r i a n g u l a t i o n sfw h i c hn e e ( 1n o t a l i g n a c l o s ss u b d o m a i ni n t e r f a c e s la r en o tn e s t e d s u i t a b l ei n t e r g r i dt r a n s f e ro p e r a t o r sa n ds m o o t h e r sa r ed e v e l o p e dw h i c hr e s u l ti naw c y c l ea n ( 1a v a r i a b l ev c y c l ep r e c o n d i t i o n e rf o rt h ea l g e b r a i cs y s t e m s t h ep m p o s eo f t i l et h i r dc h a p t e ri 8t os t u d yt h ec a s c a d i cm u l t i g r i dm e t h o d f o lt h es e c o n d 0 1 d e l e l l i p t i cp r o b l e m sw i t hc u l - r e db o u n d a r yi nt w o d i m e n s i o n w h i c ha r ed i s c r e t i z e db yt i l e i s o p m ，a m e t i ，i cf i n i t ee l e m e n tm e t h o dw i t h n u m e r i c a li n t e g r a t i o n ，es h o wt h a tt h ec c gm e t h o di sa c c u r a t ew i t ho p t i m a l c o m p l e x i t ya n dt r a d i t i o n a lm u l t i g r i ds m o o t h e rf l i k es y m m e t r i cg a u s s s e i d e l s s o ro rd a m p e dj a c o b ii t e r a t i o n li sa c c u r a t ew i t hs u b o p t i m a lc o m p l e x i t y i nt h ef o u r t hc h a p t e r w ec o n s t r u c ta n da n a l y s eam o r t a rf i n i t ev o l u m e m e t h o df o rt h ed i s c r e t i z a t i o nf o rs e l f - a d j o i n te l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s i nr 2 t h i sm e t h o dj sb a s e do nt h em o r t a rc r o u z e i x r a r i a r tn o n c o n f o r m i n g n i t ee l e m e n ts p a c e s ，ep l o v et h eo p t i m a lo r d e rh 1 一n o r ma n t ll 2 一n o r m e r r o re s t i m a t e sb e t w e e nt h ee x a c ts o l u t i o na n dt h em o r t a rf i n i t ev o l u l n ea d p l ，o x i l n a t i o no ft h ee l l i p t i cp r o b l e m s t h ep u r p o s eo ft i l ef i f t h c h a p t e ri s t oc o n s t r u c ta n da n a l y s eam o r t a l - f i n i t ev o l t 1 i l l em e t h o df o rt i l ed i s c r e t i z a t i o i lf o rt h eb i h a r m o n i cp r o b l e mi 1 1 兄2 t h i sm e t h o dj sb a s e do nt h em o r t a r t y p ea d i n jn o n c o n f o r m i n gf i n i t e e l e m e u ts p a c e s t h eo p t i m a lo r d e r 2 一s e m i n o r l ne r r o re s t i m a t eb e t w e e nt h e e x a c ts o l u t i o na n dt i l em o r t a l a d i n if i n i t ev o l n m es o l u t i o no ft h eb i h a r m o n i c e q u a t i o ni se s t a b l i s h e d k e yw o r d s ：m u l t i g r i dm e t h o d ，c a s c a d i cm u l t i g r i dm e t h o d ，m o r t m 一 t y p e 只n o n c o n f o r m i n ge l e m e n t ，f i n i t ev o l u m em e t h o d 、m o r t a r t y p ea d i n i e l e m e n t 第一章概 述 第一节介绍 数学物理及工程问题，如油、气的勘探与开发、流体动力学的计算、航天器的设计 等等，都归结于求解偏微分方程( 组) 有限元法和有限差分法是求解偏微分方程 ( 组) 的行之有效的数值方法由有限元法或有限差分法离散偏微分方程( 组) 得到大型的、稀疏的线性方程组，在求解线性方程组的迭代法中，多重网格方法 把求解线性方程组所需的计算量降到最低数量级这是科学计算上的巨大进步 从二十世纪六十年代以来，多重网格方法得到了各国数值分析学者广泛而深入的 研究，出现了许多重要而有意义的工作，多重网格方法的发展日趋成熟 在二十世纪六十年代，p e d o r e a k o 5 7 】在有限差分的情况下提出了多重网格 方法的思想b a k h v a l o v 3 1 给出了f e d o r e n k o 方法的理论分析在二十世纪七十 年代，用此方法求解与椭圆方程有关的问题，b r a n d t 是主要的倡导者他的研 究f 2 3 1 是极其有价值的并且他对多重网格方法的推广做了许多工作 b a n k 和 d u p o n t 4 1 对多重网格方法的理论研究做出了重要的贡献，对两阶对称正定的椭 圆问题，他们严格证明了多重网格方法的收敛性b r a e s s 和h a c k b u s c h 1 0 】用多 重网格方法求解两阶对称正定的椭圆边值问题的有限元方程，在日z 的正则性假 设下，证明了任意次数光滑迭代的情况下，w 循环和v 循环多重网格方法是 一致收敛的，收敛因子与网格层数无关，而在此之前，多重网格方法的收敛性证 明要求光滑迭代次数充分大b r a m b l e ，p a s i c a k ，王军平和许进超 1 6 7 提出了乘性 多重网格方法，在 1 7 】中他们证明了v 循环多重网格方法在一步光滑迭代的情 况下是收敛的，证明过程中没有用到在此之前证明多重网格方法收敛性所需要的 微分方程的正则性假设 b r a m b l e 等数值分析学者在一系列的论文【1 3 ，【14 】，【1 5 ，【1 6 ，【1 7 】，【1 8 ， 1 9 和他 的专著 2 0 】中建立了证明多重网格方法收敛的一般性框架在这个框架下，当某 些条件成立时，可以证明多重网格方法p 循环，w 循环和变化的v 循环是收 敛的可以说，此框架的建立是多重网格方法发展的一个里程碑，后来许多学者 关于多重网格方法的工作都受到它的影响 对两阶对称正定的椭圆问题，非协调元的多重网格方法引起学者们的注意并 童1 pf正量l，o l-l， 1 0 tirt一r t 得到了许多重要的结论a r b o g a s t 和c h e n 2 1 ，b r a e s s 和v e r f u r t h 1 1 ，b r e n n e r 2 4 1 2 5 1 ，c h e n 4 0 ，c h e n , k w a k 和y o n 4 1 】证明了当光滑迭代次数充分大时，b 非协调元的w 循环多重网格方法是最优的对于p o l s s o n 方程，b r e n n e r 2 6 】在 日，扣，a ( ；，1 1 的正则性假设下，证明了当光滑迭代次数充分大时，p l 非协调 元和旋转的q 。非协调元的w 循环多重网格方法是收敛的，同时也证明了对称 的变化的v 一循环多重网格算法给出了最优的预条件子l e e 6 5 在最细的网格 空间上使用p 1 非协调元空间，而在其它粗网格空间上使用p 1 协调元空间，得到 了p 1 非协调元最优阶的y 一循环多重网格方法c h e n 4 3 】在细网格和粗网格上 都使用且非协调元空间，通过修正粗网格上的双线性形式，证明了在每层网格 上仅需一步光滑迭代的情况下，p 1 非协调元和旋转的印- 非协调元的w - 循环 和y 循环多重网格方法是一致收敛的a r b o g a s t 和c h e n 2 】 b r e n n e r 2 6 ，c h e n f 4 0 1 分析了旋转的q 。非协调元的多重网格方法，证明了当光滑迭代次数充分大 时，旋转的q ，非协调元的w 循环多重网格方法是收敛的c h e n 和o s w a l d 4 2 证明了在任意次数的光滑迭代情况下，w 一循环多重网格方法是收敛的许学军 9 1 分析了w i l s o n 非协调元和c a r e y 非协调元的多重网格方法，对l a p l a c e 方程 来说，在一步光滑迭代的情况下，y 一循环是收敛的，任意次光滑迭代的情况下， w 一循环是收敛的；对变系数的两阶对称正定的椭圆问题，当光滑迭代次数充分 大时，w 一循环是收敛的并且变化的y 循环多重网格预条件子是最优的到目 前为止，就我们所知，对非协调元来说，这是第一个最优的y 循环多重网格方 法数值实验f 4 37 说明旋转的印。非协调元和b 非协调元经典的弘循环多重网 格方法是收敛的，但收敛性的理论分析至今仍是悬而未决的问题 对双调和问题，利用混合元的形式，p e i s k e rf 7 9 1 研究了w 循环多重网格方 法；以b r a m b l e ，p a s c i a k 和许进超 1 9 】中建立的框架为基础，b r a m b l e 和张学军 【2 l 】研究了非嵌套网格上协调板元的多重网格方法，在光滑迭代次数充分大的情 况下，证明了w 一循环的最优收敛性，得到了变化的v 循环预条件子的条件数是 一致有界的，即条件数与网格大小、网格层数和光滑迭代次数无关在2 1 1 中， 协调板元包含众所周知的a r g y r i s 元，b e l l 元，h s i e h 。c l o u g h t o c h e r ( h c t ) 元，简 化的h c t 元，奇性z i e n k i e w i c z 元，简化的奇性z i e n k i e w i c z 元，b i r k h o f f - m a n s f i e l d ( b m ) 元，简化的b m 元，p o w e l l - s a b i n ( p s ) 元，b o g n e r f o x s c h m i t ( b f s ) 元， f r a e i j sd ev e u b e k e - s a n d e r ( f d v s ) 元和简化的f d v s 元等等，以上协调板元的定 义和误差分析见c i a r l e t 【5 0 ，p o w e u 和s a b i n 8 1 对板弯曲问题，许学军和李立康 9 2 分析了协调板元的y 循环多重网格方法，在第0 ，l ，三一1 层粗网格上用简 2 单而实用的嵌套的b f s 元，在最细的第三网格上用协调板元，诸如a r g y r i s 元， b e l l 元，奇性z i e n k i e w i c z 元，简化的奇性z i e n k i e w i c z 元，在第五上光滑迭代次 数充分大而在第0 ，1 ，l 一1 层仅需光滑迭代一次的情况下，证明了y 。循环多 重网格方法的最优收敛性，其收敛率与网格大小和网格层数无关 对双调和问题，当光滑迭代次数充分大时，p e i s k e r 和b r a e s s 8 0 证明了 m o r l e y 元的w 循环多重网格方法是收敛的，b r e n n e r 2 7 提出了比p e i s k e r 和 b r a e s s 8 0 1 更为简单的网格转移算子，当光滑迭代次数充分大时，证明了m o r l e y 元的w 循环多重网格方法是收敛的在光滑迭代次数充分大的情况下，王明 8 9 1 证明了t r u n c 非协调元的w 循环多重网格方法是收敛的许学军 9 1 】在 第0 ，1 ，l l 层粗网格上用嵌套的b f s 元或p s 元，在最细的第三网格上用 非协调板元，诸如m o r l e y 元，a d i n i 元，z i e n k i e w i c z 元，在第工上光滑迭代次 数充分大而在第0 ，1 ，工一1 层仅需光滑迭代一次的情况下，证明了v 循环多 重网格方法的最优收敛性，其收敛率与网格大小和网格层数无关 对双调和板弯曲问题，b r e r m e r 2 6 在日2 扣，a ( ；，1 的正则性假设下，证明 了当光滑迭代次数充分大时，非协调板元诸如m o r l e y 元，a d i n i 元，不完全双二 次元( 见石钟慈 8 5 】) ，h c t 元，简化的h c t 元，它们的w 循环多重网格方法 是收敛的，其收敛率一致地小于1 ，同时也证明了对称的变化的y 一循环多重网格 算法是最优的预条件子 基于拟一致剖分上的只协调有限元空间，b r e n n e r 2 8 用多重网格方法求解 二维有界凹多边形区域上的p o i s s o n 方程一u = ，在光滑迭代次数充分大的条 件下证明了当，l 2 ( n ) 时，奇异解在能量范数下其收敛率为d ( ) ，应力强度因 子的收敛率为o ( h 1 + ( ”“) “) ，此处u 是求解区域的最大凹角e 是任意小的正数 当，h 1 ( n ) 时，奇异解在剖分顶点的最大模误差为o ( h ：一) ，应力强度因子的收 敛率为o ( h 2 一) ，多重网格方法的计算量和有限元空间的维数成正比 基于拟一致剖分上的p “tl a g r a n g e 协调有限元空间，b r e n n e rf 2 9 】用多重 网格方法求解二维有界凹多边形区域上的p o i s s o n 方程，在光滑迭代次数充分大 的条件下证明了当，h ”( n ) 时，奇异解在能量范数下其收敛率为o ( h ”+ n c ) ， 此处e 是任意小的正数，多重网格方法的计算量和有限元空间的维数成正比 基于拟一致剖分上的p 1 协调有限元空间，b r e n n e r 和s u n g 3 1 1 用多重网格 方法求解二维有界有裂缝的多边形区域上的p o i s s o n 方程一”= ，在光滑迭代 次数充分大的条件下证明了当，l 2 ( n ) 或，日1 ( n ) 时，奇异解在能量范数下 其收敛率为o ( h 1 _ 6 ) 或o ( h ) ，应力强度因子的收敛率为o ( h ( 3 2 ) 一) 或o ( h n e ) ，多 3 重网格方法的计算量和有限元空问的维数成正比在此文中，b r e n n e r 也分析7 ，h ”( n ) 的一般情形 d 。f i h 。，d 5 2 1 提出了一种“单向”的多重网格方法，即瀑布型多重网格方法 与标准的多重网格方法相比，瀑布型多重网格方法不需要粗网格上的校正，易于 编程这种方法的特点是在细网格上迭代次数较少而在粗网格上迭代次数较多， 从而可以得到与有限元解同阶精度的迭代解当在每层网格上用共轭梯度法迭代 时，我们把瀑布型多重网格方法称为c c g 方法d e u f l h a r d 在 5 2 】中提供了非 常有说服力的数值结果，但没有做出理论分析对于c c g 方法，在日2 的正则 性假设下，s h a i d u r o vf 8 7 1 首先证明了在能量范数下，c c g 方法的精确性和计算 的最优复杂性在h i + a ( 0 as1 ) 的正则性假设下，b o r n e m a n n 和d e u f l h a r d f 8 1 简化了s h a i d u r o v 的理论分析，并考虑了一般的光滑迭代算子，例如对称的 g a u s s s e i d e l 迭代、s s o r 和阻尼j o c o b i 迭代法石钟慈和许学军在 8 6 】中建立 了分析瀑布型多重网格方法的一般性框架，并把此框架应用于两阶和四阶椭圆问 题，在能量范数的意义下分析了瀑布型多重网格方法的精确性和计算的复杂性 b r a e s s 和d a l u n e n 1 2 1 分析了源于s t o k e s 方程的鞍点问题的瀑布型多重网格 方法，在能量范数的意义下证明了c c g 方法具有最优精确性和几乎最优的计算 复杂性对于p 1 协调有限元空间，s h a i d u r o v 和t o b i s k a 【8 8 】用c c g 方法求解 凹角区域上的两阶椭圆问题，在凹顶点附近经过特殊的网格剖分，证明了在能量 范数的意义下c c g 方法得到的迭代解具有o ( h ) 的精度与经典的多重网格方 法相比，b o r n e m a n n 和k r a u s e 9 】证明了在三2 范数下，瀑布型多重网格方法一 般不是最优的 法国数学家b e r a a r d i ，m a d a y 和p a t e r a 7 】提出一种把有限元法和谱方法结合 起来的新技术，即把原问题的求解区域进行剖分，在不同的子区域上分别采用有 限元方法和谱方法这个新技术称为m o r t a r 元方法，现在已成为有限元研究的 热点在m o r t a r 元方法中，首先把偏微分方程的求解区域分解成几个子区域( 子 结构) ，每个子区域上可以有自己的剖分，且各个子区域上的剖分互不依赖；每个 子区域上偏微分方程的变分问题也可以有自己的离散方式 由于在子区域的交界 面上网格是不匹配的，因而内交面上节点的连续性条件不再成立m o r t a r 元方 法的基本思想是在内交面上由弱的但适当的约束条件，即所谓的m o r t a r 条件来 代替交面上节点的连续性条件；m o r t a r 条件保证了离散解的整体误差小于各子 区域上局部最优逼近误差之和，收敛阶与相应的标准有限元的收敛阶是一致的 在m o r t a r 元方法中，由于在不同子区域上可以构造不同的网格剖分，可以定 4 义不同的变分问题，可以采用不同的离散形式，因而m o r t a r 元方法适合解决角 点奇性问题、复杂的具有跳跃系数的力学问题、组合结构等问题而得到广泛的关 注和深入的研究法国数学家b e r n a r d i ，m a d a y 和p a t e r a 【7 】分析了谱方法和局部 p 】协调有限元离散意义下的m o r t a r 元方法m a r c i a k o w s k i 【7 4 】考虑了局部p 1 非协调有限元的m o r t a r 元方法，证明了无论是内交面上细网格所在的子区域的 边还是粗网格所在的子区域的边作为m o a t a r 边，都有最优的收敛性结果，同时 m a r c i n k o w s k i 提出了求解离散问题的加性s c h w a r z 方法并证明了其收敛率几乎是 最优的m a r c i n k o w s k i 7 5 1 在其博士论文中还考虑了m o r t a r 型的局部协调板元 如b f s 元、h c t 元、简化的h c t 元的误差估计和m o r t a r 型非协调板元如a d i n i 元、m o r l e y 元的误差估计但在其m o r t a r 型m o r l e y 元的收敛性证明中要用到 日a 的正则性假设黄建国，李立康和陈金如【6 2 】在日3 的正则性假设下证明了 m o r t a r 型m o r l e y 元的收敛性结果陈文斌在其博士论文【3 9 中在日3 的正则性 假设下改进了【6 2 ) 中的收敛性结果，使其与普通的m o r l e y 元方法的误差估计一 致 李立康和陈金如f 7 0 1 分析了两阶非对称和不定椭圆问题的m o r t a r 型混合元 方法的一致收敛性和加性s c h w a r z 预条件方法李立康和刘庆 7 1 在日3 的正则 性假设下证明了m o r t a r 型t r u n c 元方法在能量范数的意义下，其误差估计是 最优的b e l g a e e m 和m a d a y 【6 分析了三维问题的m o r t a r 元方法m a r c i n k o w s k i f 7 6 1 考虑了拟线性椭圆问题的局部且协调元的m o r t a r 元方法，并证明了其与标 准的协调有限元方法有同阶的误差估计c a i ，d r y i a 和s a r k i s 【3 3 考虑了二维调 和方程的重叠型m o r t a r 元方法g o p a l a k r i s h n a n 在5 9 1 证明了m o r t a r 元方法的 稳定性和误差估计与子区域的个数无关m o r t a r 元方法的其它研究有：h p 方法f 8 4 ，n a v i e r s t o k e s 方程1 、f 5 8 】等等 有限体积法是一种基于变分原理的差分格式，已成功地应用于各种两阶偏微 分方程有限体积法的一个基本思想，是把检验函数空间取得尽可能灵活简单( 通 常用分片常数函数空间或分片线性函数空间) ，以减少工作量，而又保持试探函 数空间的逼近阶，以求兼有差分法的简单性和有限元法的精确性详细见李荣华 和陈仲英的专著( 7 2 及专著中的参考文献有限体积法保持质量守恒，这对流体 及地下流体的计算是很重要的许多学者在有限元空间中实旋有限体积法，例如 b a n k 和r o s e 【5 】，h a c k b u s c h 【6 1 】，c a i ，m a n d e l 和m c c o r m i c k 【3 4 【3 5 ，s c h m i d t 【8 3 】 等等，以给定的三角形或四边形剖分网格为基础，这些学者构造了对偶剖分，对 偶单元与原剖分网格的顶点是一一对应的，然后在连续分片线性有限元空间中求 5 解微分方程，得到了h 1 范数的误差估计 c h o u 和k w a k 4 5 】，c h o u ，k w a k 和 v a 。i i 。，。k if 4 6 i 分别考虑了矩形网格和三角形网格上两阶偏微分方程的混合形式 的有限体积法，c h o u 和v a s s i l e v s k i 在【4 7 】中提出了两阶椭圆问题的混合有限体 积法的一般性框架，c h o u 和l i 【4 8j 用有限体积法在连续分片线性有限元空间中 求解变系数椭圆问题和抛物问题，对工2 范数，口1 范数和工”范数的误差估计， 给出了一个统一的方法关于有限体积法的其它研究还有 7 7 】，【5 3 】， 5 4 ，【7 8 ，【6 4 】 等等 近年来，关于有限体积法的论文越来越多，但是有限体积法的理论还很不完 善，到目前为止，就我 所知，对两阶微分方程，只有c h a t z i p a n t e l i d i sf 3 7 】考虑 了p 1 非协调元的有限体积法，得到了最优阶工z 范数和日范数的误差估计， 尚未见到其它非协调元的有限体积法的研究另一方面，对于双调和问题，只有 z i e n k i e w i c z 非协调元和a d i n i 非协调元的有限体积法得到研究，并得到最优阶的 h 2 范数的误差估计，见【7 2 】_ 至于板问题及相应的协调元和其它非协调元的有限 体积法，至今仍没有结论 虽然有限体积法被广泛地用来求解流体力学、电子力学等实际问题，也得到 了令人满意的数值结果，但是由于有限体积法离散产生的刚度矩阵是不对称的， 因此关于有限体积法解法的理论研究几乎是空白的，只有c h o u 和k w a k 【4 9 1 用 多重网格方法来求解经p 1 协调元有限体积法离散的线性方程组，证明了v 一循 环多重网格在一步光滑迭代的情况下是收敛的，且收敛因子与网格层数和网格参 数无关 近来，e w i n g ，l a z a r o v ，t l i n 和y l i n 5 5 ，【5 6 考虑了p 1 协调元的m o r t a r 型 有限体积法在多孔介质流体模拟中，由于m o r t a r 型有限体积法结合了有限元 方法的灵活性和有限差分法的局部守恒性，因而是一种非常具有吸引力的求解技 巧他们考虑了两种形式的m o r t a r 型有限体积法，一种是在子区域上应用有限 体积法而在交界面上用l a g r a n g e 乘子的有限元法 另种是在子区域和交界面 上都用有限体积法，数值实验表明后一种方式比前一种方式收敛速度要快一些 6 第二节论文主要工作 下面我们介绍一下论文的内容论文主要研究椭圆问题的m o r t a r 元方法及 其解法 在第二章，我们研究了m o r t a r 型p 1 非协调有限元的多重网格预条件方法 m a r c i n k o w s k i 7 4 1 考虑了局部p 。非协调m o r t a r 元方法并得到了最优的误差估 计但是在m a r c h t k o w s k i 提出的m o r t a r 条件中，非m o r t a r 边上的自由度不仅依 赖于相邻m o r t a r 边上的自由度而且还要依赖于相邻区域与m o r t a r 边有公共边的 单元内部的自由度针对这种情况，李立康和陈文斌 6 8 j 构造了新的m o r t a r 条 件，使得非m o r t a r 边上的自由度仅与相邻m o r t a r 边上的自由度有关，而与相邻 m o r t a r 边所在区域内部的自由度无关在子区域内交界面两边均剖分一致的情 况下，李立康和陈文斌 6 8 1 证明了m o r t a r 元方法有拟最优的收敛性结果在这 一章，我们用多重网格方法求解 6 8 中m o r t a r 型p 1 非协调元离散的线性方程 组，证明了变化的y 循环多重网格预条件方法是拟最优的 当光滑迭代次数充 分大时，w 循环多重网格方法也是拟最优的 在第三章，我们用瀑布型多重网格方法求解具有曲边界的两阶椭圆边值问 题经等参有限元离散的线性方程组，在考虑数值积分的情况下，在对微分方程 做日。的正则性假设下，我们证明了共轭梯度法迭代的瀑布型多重网格方法是精 确的并且具有计算的最优复杂性；而对其它传统的迭代光滑算子，例如对称的 g a u s s s e i d e l 迭代，s s o r 迭代或简化的j a c o b j 迭代，为了得到精确的瀑布型多 重网格方法的迭代解，计算工作量是拟最优的 在第四章，我们把m o r t a r 型有限元方法的思想推广到有限体积法，对于两 阶椭圆问题，考虑了m o r t a r 型p 1 非协调元的有限体积法我们证明了微分方程 的近似解和微分方程的真解在日1 - 范数和三2 一范数的意义下具有最优阶的误差 估计 在第五章，对于四阶问题，我们考虑了双调和问题的m o r t a r 型a d i n i 非协调 元的有限体积法我们证明了微分方程的近似解和真解的误差在日2 一范数的意 义下是最优的 7 第三节s o b o l e v 空间 设n 是r z 中的有界区域妒是n 上的p 次方可积函数空间 l 一( n ) = “：| | “l i 。，( n ) = ( 上i u i d z ) ； o o s o b o l e v 空间w ”p 定义如下： ，m ”( n ) = t 工l p ( n ) ：0 “l p ( n ) ，0sl a lsm ) ， 在m ，r 上的范数和半范分别定义为： l ，( n ) = 旧v t u i l p 驯n ) ) i 1 ，1 p o 。 陋l m u 协唧1 ) = | | 护u 忆( n 1 ) ；，1 p o 。 1 d i = m 对于p = 2 ，记h “( n ) = w m , 2 ( n ) 下列迹定理在论文后面多次用到，我们把它叙述如下： 定理1 3 1 如果n 是l i p s c h j t z 区域，u 日5 ( n ) ，1 2 s 1 ，那么 7 0 “= u l a n h 5 一；( a n ) ， 而且存在仅仅依赖s 和n 的常数g ( s ，q ) ，使得 1 1 7 0 “一) sg ( 5 ，酬“i i 5 ( n ) 我们在这里声明，本文用到的常数c ( 除非特别指出) 与区域n 的剖分网 格参数h ，剖分网格层数l 和涉及到的函数无关，并且在不同的地方可以是不同 的 8 第二章m o r t a r 型p 1 非协调元的多重网格预条件方法 第一节引言 m o r t a r 型有限元方法是一种非协调的区域分解方法在这个方法中，首先把求 解区域分解成子区域( 子结构) ，然后在每个子区域上进行独立的网格剖分，不 同子区域的网格在子区域的内交界面上可以是不匹配的m o r t a r 型有限元空间 的函数在子区域内交界面节点上的连续性条件不再成立，在子区域内交界面上， m o r t a r 型有限元空间中函数要满足m o r t a r 条件m o r t a r 型有限元空间在子区域 内部的限制是标准的有限元空间m o r t a r 条件保证了微分方程的真解和m o r t a r 型有限元离散解的误差收敛阶与相应的标准有限元的收敛阶是一致的 在 6 】， 7 】， 3 6 】和【7 6 1 中，m o r t a r 型有限元空间在子区域内部的限制是标准的 p 1 协调有限元空间m a r c i n k o w s k i 7 4 】，李立康和陈文斌 6 8 】考虑了m o r t a r 型p 1 非协调元方法，并分别得到了最优和拟最优的误差估计但是在m a r c i n k o w s k i 提 出的m o r t a r 条件中，非m o r t a r 边上的自由度不仅依赖于相邻m o r t a r 边上的自 由度而且还要依赖于相邻区域与m o r t a r 边有公共边的单元内部的自由度针对 这种情况，李立康和陈文斌构造了新的m o r t a r 条件，使得非m o r t a r 边上的自由 度仅与相邻m o r t a r 边上的自由度有关，而与m o r t a r 边所在区域内部的自由度无 关在子区域内交界面两边均剖分一致的情况下，证明了m o r t a r 元方法有拟最 优的收敛性结果 当每个子区域上有一个多水平的剖分网格时，我们可以用多重网格方法来建 立离散后线性方程组的预条件子对通常的混合有限元空间，w h e e l e r 和y o t o v 9 0 1 构造了m o r t a r 条件并把代数方程组化为内交面上的正定问题，然后在内交 面上用多重网格方法来求解此正定问题他们不仅给出y 循环和w 循环的收 敛性理论分析而且也给出支持其理论的数值试验但是在f 9 0 】中，为了得到内交 面上的正定问题，需要在内交面上引入第三种剖分g o p a l a k r i s h n a n 和p a s c i a k ( 5 9 】考虑了m o r t a r 型p 1 协调元的多重网格方法，并证明了变化的v 循环多重 网格方法可以用来建立线性方程组的预条件子，其条件数是有界的并且与网格剖 分层数无关利用m a r c i n k o w s k i 【7 4 】提出的m o r t a r 条件，许学军和陈金如f 9 3 】考 虑了m o r t a r 型p 1 非协调元的多重网格方法，证明了当光滑迭代次数充分大时， w - 循环多重网格方法的收敛率与剖分网格的大小、剖分网格的层数无关；同时 9 他们构造了变化的v 一循环多重网格方法的预条件子，它导致了条件数一致有界 的预条件线性方程组 在这一章中，我们以李立康和陈文斌 6 8 7 构造的m o r t a r 条件为基础，分析 了m o r t a r 型p 1 非协调元的多重网格方法，证明了当光滑迭代次数充分大时， w 循环多重网格方法的收敛性是拟最优的，变化的y 循环多重网格方法导致 的预条件线性方程组，其条件数是o ( i + m r e ( j ) ) 2 ，此处m 是l h b l 的线性 函数，m ( t ，) 是j 层上的光滑迭代次数，h j 是第，层的网格参数 本章其余各节是这样安排的在第二节我们给出m o r t a r 型p 1 非协调元方法 和相关记号；在第三节我们构造了m o r t a r 型p 】非协调有限元空间的网格转移算 子并证明了它的稳定性，同时我们也给出了多重网格方法 在第四节我们验证了 证明多重网格方法收敛性所需要的正则性和逼近性假设f 在第五节我们给出了多 重网格方法收敛的主要结果 第二节m o r t a r 型p ，非协调元方法 设qc 咒2 是凸多边形区域，其边界为a n 考虑下面的模型问题： a 。u 扎= f 磊：羔： 方程( 2 2 1 ) 的弱解形式是；寻求u 明( n ) 使其满足： 。( “，”) = ( ，u ) ，v v 明( n ) ， ( 2 2 1 ) ( 2 22 ) 此处 ， 口( “，”) = v “、7 v d x ，( ，口) = f v d z d lzj i 由椭圆边值问题理论【7 3 j 1 我们给出下列合理的假设 a 1 方程( 2 21 ) 是口2 一正则的，即对任意的f 三2 ( n ) ，相应的微分方程的 解ueh 2 ( n ) nh 0 1 ( n ) 并且存在与u 和，无关的常数c 使得 在本章中，与m a r c i n k o w s k i ( 了4 】，李立康和陈文斌( 6 8 】相同，我们考虑m o r t a r 型有限元方法的几何协调形式，即我们把求解区域n 分解为不重叠的多边形子 1 0 区域n i ： 豆= u 5 。面 此处，当i j ，甄n 甄是空集或者是一个顶点或者是一条边 我们把子区域n 。剖分