清华大学随机过程答案1.pdf

清华大学电子工程系版权所有 1 概率论与随机过程 (2) ，homework1_intro_solution 清华大学电子工程系 1. 袋中装有 m 只正品硬币， n 只次品硬币（次品硬币两面都有国徽） 。在袋中任取一只， 将 它掷 r 次。已知每次都得到国徽，问取得的硬币是正品的概率。 参考答案： 设 Br=“出现 r 次国徽面” ，A =“任取一只是正品” 。 由全概率公式，有 P (Br) = P (A)P (Br| A) + P (A) P (B r ? ?A)= m m + n (1 2 )r + n m + n1 r P (A | Br) = P (A)P (Br| A) P (Br) = m m+n (1 2 )r m m+n (1 2 )r + n m+n1 r = m m + n 2r Commets：此题考察的是条件概率的定义以及乘法公式。 2. 考虑一个如下定义的离散时间随机过程 X (n),n = 1,2,。无限次抛掷一枚硬币，对 n = 1,2,，如果第 n 次抛掷结果为正面，则 X (n) = (1)n；如果第 n 次抛掷结果为 反面，则 X (n) = (1)n+1。 (1) 试画出随机过程 X (n) 的典型样本轨道。 (2) 求随机过程 X (n) 的一维概率分布列。 (3) 对两时刻 n,n + k，求 X (n) 和 X (n + k) 的两维联合分布列，n = 1,2, ,k = 1,2,。 概念复习： 样本轨道，随机过程有限维分布列 参考答案： (1) 随机过程 X (n) 的一条典型轨道如图 1.1 所示： 图 1.1 清华大学电子工程系版权所有 2 (2) n 为奇数时，X(n) = 1,硬币正面 1,硬币反面 ，即 P (X(n) = 1) = p(X(n) = 1) = 1 2， 同理， n 为偶数时， X(n) = 1,硬币正面 1,硬币反面 ， 即 P (X(n) = 1) = p(X(n) = 1) = 1 2， 综上，P (X(n) = 1) = p(X(n) = 1) = 1 2。 (3) 由于多次抛硬币的实验相互之间独立，则随机变量 x(n),x(n + k) 也相互独立，则 P (X(n) = 1,X(n + k) = 1) = P (X(n) = 1)P (X(n + k) = 1) = 1/4; P (X(n) = 1,X(n + k) = 1) = P (X(n) = 1)P (X(n + k) = 1) = 1/4; P (X(n) = 1,X(n + k) = 1) = P (X(n) = 1)P (X(n + k) = 1) = 1/4; P (X(n) = 1,X(n + k) = 1) = P (X(n) = 1)P (X(n + k) = 1) = 1/4; 其中 n = 1,2.,k = 1,2. 3. 质点在直线上做随机运动，即在 t = 1,2,3, 时质点可以在 x 轴上往右或往左做一个 单位距离的随机游动。若往右移动一个单位距离的概率为 p，往左移动一个单位距离的 概率为 q，即 P (i) = +1 = p，P (i) = 1 = q，p+q = 1，且各次游动是相互统 计独立的。经过 n 次游走，质点所处的位置为 n= (n) = n i=1 i。 (1) 求 (n) 的均值函数。 (2) 求 (n) 的自相关函数 R(n1,n2)。 (3) 给定时刻 n1, n2，求随机过程 (n) 的二维概率密度函数及相关函数。 概念复习： 离散状态离散时间随机过程数字特征 参考答案： (1) 解法一：设在 n 次游走中有 m 次质点正向移动，即有 m 次 i= +1，有 n m 次 质点反向移动，即有 n m 次 i= 1。 则 n= n i=1 i= m + (n m)(1) = 2m n = k 又各次游走是相互统计独立的，则 P (n= k) = ( n m ) pmqnm= ( n n+k 2 ) p n+k 2 q nk 2 则 E (n) = k = n m=0 (2m n) ( n m ) pmqnm= pn qn。 解法二：因各次游走是相互统计独立的，则 E (n) = n i=1 Ei = (p q)n。 清华大学电子工程系版权所有 3 (2) 假设 n1 n2时可得到类似的结论。 (3) 二维概率分布列 (n1) (n2) 1-1 1p2pq -1pqq2 R(n1,n2) = p2+ q2 2pq 常见错误： 把随机过程 (n) 的自相关函数和 (n) 的搞混淆。认为 (n1) 和 (n2) 独立。 4. (1 第一章习题 7) 设有随机过程 (t), t ， (t) = cos(t)， 其中 为均匀分 布于 (0,1) 间的随机变量，求 (t) 的自相关函数 R(t1,t2)，自协方差函数 C(t1,t2)。 参考答案： R(t1,t2) = E cost1 cost2 = E 2 cost1cost2 = 1 0 2d cost1cost2 = 1 3 cost1cost2 E = 1 0 d = 1 2 E = E cost = 1 0 costd = 1 2 cost C(t1,t2) = E ( cost1 1 2 cost1 )( cost2 1 2 cost2 ) = E 2 cost1cost2 E cost1cost2+ 1 4 cost1cost2 = 1 3 cost1cost2 1 2 cost1cost2+ 1 4 cost1cost2 = 1 12 cost1cost2 Comments：此题考察的是自相关函数和自协方差函数的定义。 5. (1 第一章习题 3) 设有一随机过程 (t)，它的样本函数为周期性的锯齿波。图 1.2 画出 了两个样本函数图。各样本函数具有同一形式的波形，其区别仅在于锯齿波的起点位置 清华大学电子工程系版权所有 4 ? t ? ? ?x ? ? ? ? ? t ? ? ?x ? ? ? ? 图 1.2 不同。设在 t = 0 后的第一个零值点位于 0，0是一个随机变量，它在 (0,T) 内均匀分 布，即 f0(t) = 1/T(0 t T) 0(其他值) 若锯齿波的幅度为 A，求随机过程 (t) 的一维概率密度。 参考答案： 考虑 t 时刻的随机变量 (t)，设其所处的锯齿波的起始点时刻为 t0，则随机变量 t0 U(t T,t)，注意到 (t) = tt0 T A，(t) 是 t0的单调函数，取值范围为 0,A： p(t)(x) = p(t0) 1 ? ? ? d(t) dt ? ? ? = 1 T 1 A T = 1 A,x 0,A 常见问题： 忘了写范围。 6. 设有随机过程 (t) = Acos(t + )，其中相位 是一个均匀分布于 (,) 间的随机 变量，判断 (t) 是否为严平稳过程。 概念复习：宽平稳与严平稳概念 参考答案： P (t1) x1,(t2) x2, ,(tn) xn) = P (Acos(t1+ ) x1,Acos(t2+ ) x2, ,Acos(tn+ ) xn) = 1 2 p(Acos(t1+ ) x1,Acos(t2+ ) x2, ,Acos(tn+ ) xn)d = 1 2 f ()d 清华大学电子工程系版权所有 5 其中 f () p(Acos(t1+ ) x1,Acos(t2+ ) x2, ,Acos(tn+ ) xn)，是 一个以 2 为周期的函数。 h, P ( (t1+ h) x1, (t2+ h) x2, , (tn+ h) xn) = 1 2 f (h + )d 注意，周期函数 f () 在任一个周期的积分都相等。所以 1 2 f ()d = 1 2 f (h + )d 所以，对 n,t1,t2, ,tn,h 都有 P ( (t1) x1, (t2) x2, , (tn) xn) = P ( (t1+ h) x1, (t2+ h) x2, , (tn+ h) xn) 即 (t) 为严平稳随机过程。 7. 定义随机过程 x(t) = abt，其中，aN(0,) 和 bN(0,) 为独立的高斯随机变量，证 明其样本轨道与 t 轴的交点位于区间 (0,T) 的概率为 (arctanT)/。 参考答案： 样本轨道与 t 轴的交点为 a b，则所求概率为 P 0 a b T 。 利用二元随机变量函数的已有结论 fz(z) = |y|fxy(yz,y)dy 其中 z = x/y 以及 fab(a,b) = 1 2e a 2+b2 2 经过运算可得 FC(c) = 1 2 + 1 arctan(c) 故 P 0 a b T = FC(T) FC(0) = (arctanT)/ 8.（2 第一章习题 1) 设随机过程 (t) = V sint，其中 为常数，V 为服从 (0,a) 内均匀 分布的随机变量。 (1) 画出 (t) 的某一条样本轨道。 (2) 求 (0)， (/4)， (/2)， (5/4) 的概率密度。 概念复习： 连续状态连续时间随机变量的一维分布 参考答案： (1) V = a 2 时，一条样本轨道为典型的正弦曲线。 (2) (0) = 0，f(0)(x) = (x)； (/2) = V ，其概率密度同 V 一样。 ( 4 ) = V 2,f( 4)(x) = 2 a ,0 x a 2 0,其他 ( 5 4 ) = V 2,f(5 4)(x) =