（概率论与数理统计专业论文）关于新业务的最优化控制理论.pdf

中文摘要 中文摘要 本文主要研究的是用最优控制理论处理公司在原有业务基础上增加新业务 的最优化问题，在这篇文章中，我们首先考虑到效用函数。对于多种类型的效 用函数，特别重点研究了指数型效用函数。在这种情况下，我们获得了详细的 结果。在本文的第四部分，我们考虑了带投资的风险模型。对于投资者而言， 可以分为无风险资产和有风险资产两种。设彳，是在时间r 投资到股票市场的全部 资产总额，( 6 l ，4 ) 是控制策略。在本文的第五部分，考虑了在控制策略( 以，4 ) 下， 最大化最终财富的期望效用。通过对h j b 方程的分析，得出了当索赔额x ，】，都 服从指数分布时的详细结果。并从理论上给出了b ，彳，的最优取值。 关键词效用函数h j b 方程新业务随机控制 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ef i r s tc o n s i d e rt h eu t i l i t yf u n c t i o ne s p e c i a l l yt h ee x p o n e n t i a l u t i l i t y i nt h i sc a s e ，w ec a l lo b t a i nt h ee x p l i c i tr e s u l t s t h e n , i ns e c t i o n4 ，w ec o n s i d e r t h em o d e lw i t hi n v e s t m e n t t h e r ea r er i s k - f r e ea s s e ta n dr i s k ya s s e ta v a i l a b l ef o r i n v e s t o r s l e t4b et h et o t a la m o u n to fm o n e yi n v e s t e di nt h es t o c km a r k e ta tt i m e ，( 包，4 ) a r ec o n t r o la d m i s s i b l ep o l i c y i n s e c t i o n5w ec o n s i d e rm a x i m i z i n g e x p e c t e du t i l i t yo ft e r m i n a lw e a l t h 、 r i mt h ea d m i s s i b l ep o l i c y ( 6 f ，a f ) f r o mt h e a n a l y s i so ft h eh j be q u a t i o n , t h ee x p l i c i tr e s u l t sa b o u tt h eu t i l i t yf u n c t i o ni se v i d e n t w h e nt h ec l a i ma m o u n tx ，ya l ea l le x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n t h e nt h eo p t i m a l 岛， 4c a n b eg i v e n t h e o r e t i c a l l y k e yw o r d su t i l i t yf u n c t i o n h j be q u a t i o nn e wb u s i n e s ss t o c h a s t i cc o n t r o l 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：李掘j 、 7 年堋日 饔指尊教师商爵。- 本瓢文属子葆丽在 年解密后适用本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：砖才屉聂 尹卜月f 日 第一章引言 第一章引言 概率论及以它为基础的数理统计、随机过程都是研究随机现象的数学分 支。几个世纪以来，经过众多学者潜心研究，概率论、数理统计、随机过程已 经成为既互相关联又自成体系的三门严谨的分支学科。随着科学技术的快速发 展和生产力的大幅度提高，在各个研究领域和工程技术领域中，人们愈来愈关 注随机模型，使得随机理论和方法的应用愈益广泛，几乎渗透到科学技术的各 个领域之中。其中随机过程是对随时间和空间变化的随机现象进行建模和分析 的学科，在物理、生物、工程、心理学、计算机科学、经济和管理等方面都得 到广泛的应用。随机过程主要包括泊松过程与更新过程、离散时间与连续时间 的马尔可夫链、平稳过程、布朗运动与随机积分初步。 随机控制理论就是控制理论中把随机过程理论与最优控制理论结合起来 研究随机系统的分支。随机系统指含有内部随机参数、外部随机干扰和观测噪 声等随机变量的系统。随机变量不能用已知的时间函数描述，而只能了解它的 某些统计特性。自动控制系统分为确定性系统和不确定性系统两类，前者可以 通过观测来确定系统的状态，后者则不能。随机系统是不确定性系统的一种， 其不确定性是由随机性引起的。严格地说，任何实际的系统都含有随机因素， 但在很多情况下可以忽略这些因素。当这些因素不能忽略时，按确定性控制理 论设计的控制系统的行为就会偏离预定的设计要求，而产生随机偏差量。飞机 或导弹在飞行中遇到的阵风，在空间环境中卫星姿态和轨道测量系统中的测量 噪声，各种电子装置中的噪声，生产过程中的种种随机波动等，都是随机干扰 和随机变量的典型例子。随机控制系统的应用很广，涉及航天、航空、航海、 军事上的火力控制系统，工业过程控制，经济模型的控制，乃至生物医学等。 保险精算是以数理、经济、财务、法律、金融与保险、投资等相关学科所 形成的一门边缘学科，其应用范围涉及保险( 含社会保险、保障) 、企业、证券、 投资等各经济领域，通过精算技术的应用可有效预测、控制甚至化解各经济部 门所面临的诸多风险，尤其是财务中的风险。随着我国保险业的迅猛发展，保 险业对外的进一步开放，它已逐渐成为保险业在激烈的市场竞争中赖以生存和 发展的必要条件。 目前，用随机控制理论来解决保险精算相关问题的研究已经引起人们的很 第一章引言 大兴趣。在控制策略下，最小化破产概率，最大化分红，最大化效用问题等的 研究都是当前研究的热点问题。国内外学术界对于这些热点问题有着广泛而深 入地研究。近几年，大量的学术论文相继发表。这些论文既有很高的理论价值， 又对保险精算实务有重要的应用价值。 目前，在保险业务方面，有很多动态的调整的控制变量。例如，进行投资， 分红率，再保险，新业务等。在本文中，我们想解决的是在某些动态调整的控 制变量的控制下的最优化问题。h j b 方程是公认的解决最优化问题的一个标准的 工具。在本文中，我们就是通过对给定目标函数的h j b 方程的解的分析，来找 到最优的策略，并得到目标函数在最优策略下的表达形式。早期的工作可追溯 到d ef i n e t t i ( 1 9 5 7 ) ，b u h l m a n n ( 1 9 7 0 ) ，g e r b e r ( 1 9 7 2 ，1 9 7 9 ) ，m a r t i n l o f ( 1 9 9 4 ) 和j e a n b l a n e p i c q u e 和s h i r y a e v ( 1 9 9 5 ) 。b r o w n e ( 1 9 9 5 ) 考虑的是这样一个模 型，它的索赔总额用一个飘移的布朗运动来描述，风险资产部分用一个几何布 朗运动来描述。a s m u s s e n 和t a k s a r ( 1 9 9 7 ) 考虑的保险业务用一个扩散过程来描 述的情况下，以分红率为动态控制变量来求最大的期望折现分红。p a u l s e n 和 g j e s s i n g ( 1 9 9 7 ) 考虑的是类似的问题，只不过在他们的模型中允许在投资上的 随机返回。p a u l s e n ( 2 0 0 3 ) 在分红支付有偿付限制的时候，又研究了同样的问 题，在h o j g a a r d 和t a k s a r ( 1 9 9 9 ) 研究的模型中，模型仍然是扩散过程，只不过 在这里控制变量发生了变化，比例再保险和分红率同时作为控制变量，来求最 大化分红量。众所周知，复合泊松过程是风险理论中最基本、最简单的描述模 型，因而经常被使用。h i p p 和t a k s a r ( 2 0 0 0 ) 使用复合泊松过程来模拟保险业 务，他们提出了关于新业务的最优化问题。在这里，6 0 ) 是指开展新业务的比例， 其取值是介于o 和l 之间，同时作为一种策略，6 ( ) 是可料的，也就是说，它的 取值依赖于时间t ：z 前的所有的信息。y a n g 和z h a n g ( 2 0 0 5 ) 解决了跳扩散过程的 最优投资问题，并给出了h j b 方程猜解的用法。在这篇文章中，他们给出了关 于最终财富的期望指数效用的最大化的解的问题，同时给出了在这种控制策略 下，更一般的目标函数的最优化问题。g e r b e r 和s h i u ( 2 0 0 5 ) 分红的值函数可 以容易的推导出h j b 方程，通过对h j b 方程的分析，可以得到当索赔额服从指 数分布时的详细并且具体的结果。在这篇文章中，我们首先考虑到效用函数， 对于多种类型的效用函数，特别重点研究了指数型效用函数。在这种情况下， 我们获得了详细的结果。在本文的第四部分，我们考虑了带投资的风险模型， 对于投资者而言，可以分为无风险资产和风险资产两种。设4 是在时间，投资到 2 第一章引言 股票市场的全部资本总额， ，4 ) 是控制策略。在本文的第五部分，考虑了在 控制策略( 6 f ，a ，) 下，最大化最终财富的期望效用。通过对h j b 方程的分析，得 出了当索赔额x ，y 都服从指数分布时的详细结果。并从理论上给出了b 最优取 值。 第二章简单模型 第二章简单模型 下面考虑描述保险业务的资金流的随机过程。 我们用经典的l u n d b e r g 过程描述保险业务( 旧业务) 皿( f ) = c l d t + c r l d w ( t ) 一姆( f ) ，墨( o ) = s ( 2 1 ) 这里w ( t ) 为布朗运动，s x ( t ) 为复合泊松过程，且 n t s 。( r ) = 置 t = l ( 2 2 ) 其中r 为强度为五的时齐泊松过程。置，x ：，是独立同分布的随机变量， 表示索赔额，并且与r 相互独立。c 。是固定的常数，表示单位时间的保费收入， 从而这个过程的无穷时间的破产概率为： y o ( s ) = p r l 一口) 指数效用函数， ( w ) = 一o c e - a w ，地 o ) 幂效用函数，豁( w ) = 旷，( w 0 , 0 口时，令u ( w ) = 0 。显然可以得知，线性效用函数的风险厌恶系数为 o ，指数的效用函数的风险厌恶系数等于口。而其他效用函数的风险厌恶系数都 6 第三章关于新业务的效用函数 可以表示为( r + p w ) 一，其中y 和夕都是参数。 指数效用函数由于其风险厌恶系数为常数，有比较好的性质，所以经常用 到，本篇文章考虑的也是指数效用函数。 设初始状态为0 ，时间为，v ( t ，砖为投资者的最大效用函数 v ( t ，x ) = s u p e u ( z ；i 群= 工) 】，f 【o ，t 】 。 ( 3 1 ) 其中留； 是在策略6 的限制下，在时间f 的资产过程。由于效用函数“为一 个凹函数，从而仍存在着唯一的最有投资策略b + ，b 毒的取值满足使期望效用函 数达到最大。 假设投资者有一个效用函数 “( x ) ：c 一鱼p 1 一 ( 3 2 ) 7 这里万 0 ，厂 0 。这个效用函数有绝对风险厌恶参数为厂，这种效用函数在 保险数学和精算理论中占主要的地位。因为它满足0 效用原则，同时给出了一 个公平的保费水平，并且它也独立于保险公司的盈余水平，所以是唯一的恰当 的效用函数。 对于在固定时间丁内的最终财富的效用的最大化问题，h j b 方程为： m a x r , + a e v ( t ，石一x ) 一y o ，x ) 】+ 五6 e 【y o ，x y ) 一y o ，x ) 】 + ( c 1 + 6 c 2 ) v 。( t , x ) + 昙( 砰+ 砖6 2 ) ，x ) ：0 ( 3 3 ) v ( t ，x ) = 甜( 工) ( 3 4 ) 由于( 3 3 ) 左边的表达式m a x 里面是关于b 的2 次函数，显然对于2 次函 数，我们可知存在极值点，又由于6 2 系数k p ，功 0 那么扩 2 2 e x p 耖y 卜l 卜c 2 厂 ( 3 2 7 ) 那么扩 1 。 从而根据( 3 2 5 ) ，( 3 2 6 ) ，( 3 2 7 ) 式的取值范围，我们可以得到6 1 得三种情况，从而得到了v ( t ，x ) 的三种不同形式的表达式。 定理3 1 在我们的假设下，假设目标是最大化，即为固定时刻t 的终止财 富的效用最大。效用函数如下给出： “( x ) - - c - - 鱼口芦 7 那么最优值函数如下给出： m 加c 一事e x p 一一三c 势h m c h ) ) 2 8 ) v ( t ，x ) = u ( x ) 在这里函数 ( ) 满足 纵) = 等+ e 【e x p 红 - 1 】1 7 + 三o - 2 y 2 一( 2 2 e _ e x p 丽r y - 广1 - c 2 y ) 2 ( 3 2 9 ) 当一7 2 c r 2 2s2 2 e x p 移y 一1 卜c 2 厂0 时 ( 3 3 0 ) 纵h ) = 等+ 五e e x p y x - 1 】1 7 + 三砰厂2 ( 3 3 1 ) 当五【e x p 谚 一l 卜c ：7 o 时 1 2 第三章关于新业务的效用函数 聪( ) = 等+ e 【e x p 弘) - l 】+ 如e 【e x p 一l 】一( c - i - c 2 ) 厂+ 丢( 砰+ 蠢) 厂2 当一厂2 仃2 名2 e x p r r 一l 】一c 2 y 且初始条件为h ( o ) = 0 ，关于投资的最优策略为 b = b ( s ) = ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) o 彳2 k x p y y ) 一l 】一c 2 7 0 一2 z e e x z p y y 鬲 - 一1 - c 2 y - y 2 t r 2 如【e x p 一1 卜c ：y 2 2 e x p ) y 一l 卜c 2 厂 ( 3 3 4 ) 证明：经验证定理的所有条件都是满足的，这是显而易见的。因此上面 ( 3 3 4 ) 给出的投资策略是最优的。下面我们利用鞅最优性原则来证明这个最 优性。该原则即：找一个合适的表达，在最优的策略下，它是一个一致可积鞅， 在其他策略下，它是一个上鞅。从而证明在最优策略下，取到使效用最大。即 证明了策略的最优性。运用i t o s 公式，从而显然可以得到杪( f ，才) 一c ，0 f 丁 为上鞅，在任意可以满足的策略( 6 ) 下。注意到有一个边界条件， v ( r ，z ；) = 甜( z ；j ，如果下面的引理成立，则该定理证明完毕。 引理3 1 在最优策略下，过程杪( ，群) 一c ，0 o ， 0 为固定值，( f ) 为定义在同一个完备的概率空间( q ，f ，p ) 上的另外一个标准的布朗运动。定义这两个布朗运动的相关系数为p ，也就是 说e h o ) ，w 2 0 ) 】= j o t 。 “、 s ( ，) = 置为复合泊松过程，他表示【0 ，】时间内总的索赔量；( f ) 为强度 t = l 为兄的时齐泊松过程，置为索赔量，且置与n ( t ) 独立，置与w l ( t ) 独立，置与 w 2 ( t ) 独立，置净l 2 为独立同分布的。并且n ( t ) 与( ，) ，( f ) 也是独立 的。五i - 1 2 的分布函数定义为f ，且满足f ( o ) = o 。进一步，我们还可以假 设f 的一、二阶矩分别为l 和2 ，并且都满足以 佃和鲍 4 - 0 0 。 对于可能的新业务，我们用过程局( f ) 描述第二种风险模型。其中索赔的强 度为如，保费收入为c ：，并且墨( ，) 与恐) 独立。 1 4 第四章带有投资的模型 d r 2 ( f ) = c 2 d t d s 2 ( f )( 4 4 ) 在这里是( f ) 是一个复合泊松过程，且满足 s2 妒 ( 4 5 ) t = l f 是强度为如的时齐泊松过程，并且m 与索赔序列，e 是相互独立的。 五，k 。为独立同分布的随机变量序列。数值c ：为一定值，是单位时间内保费 收入。索赔额变量y 与索赔额变量x 的分布可以是不同的。那么对于一个给出 的关于新业务的策略，保险公司的风险过程可以用与上面相同的动态规划方程 表示。 作为保险公司来讲，既可以投资于无风险资产，也可以投资于风险资产。 我们可以取4 为在时间t 上投资于股票市场的总的资金金额，令z f 为公司的 总的财富过程。4 为适应的，可充许的过程。也就是说4 是不可预期的函数， 且满足 m 】2 魂 0 为了解决固定时间的最终财富的最大效用问题，则h j b 方程为： m a x v , + a 1 e v ( t ，x x ) 一y ( f ，x ) 】+ 如b e v ( t ，x y ) 一y ( 功】+ ( a + r o x + a ( g - r o ) + b c 2 ) v , ( t ，z ) + 妻( 彳2 盯2 + 2 + 2 局汐么) 吃( ，力 = o ( 5 3 ) 二 v ( t ，x ) = ( x )( 5 4 ) 接下来，我们主要任务是解h j b 方程( 5 3 ) 。 为了解这个方程，我们假设h j b 程存在一个经典解v ， 吃 0 ， ( 5 5 ) ( 5 6 ) 第五章最终财富的最大期望效用 对上式求微分，并作一些基本运算，可以得到： 吒= - y e 龟r 叫【y ( f ，x ) 一c 】 比= y 2 e 而r q 【y o ，x ) 一c 】 ( 5 7 ) ( 5 8 ) 书( ，矿州圳( ) + 矾e t o ( t - t ) + 妈 ( 5 9 ) 2 a e v ( t ，x x ) 一矿o ，x ) 】= 五e e 施m 仃一1 】【矿o ，x ) 一c 】( 5 1 0 ) 2 2 e v ( t ，x n v ( t ，x ) 】= 五2 【y o ，x ) 一c 】e e 7 抬盯。一1 】( 5 1 1 ) 上述h j b 方程的左边很显然是b 的线性函数，由于猜解形式为( 5 5 ) ，我 们可以得到b 的系数： 如e v ( t ，x - - 聊一y o ，x ) 】+ c 2 圪( r ，x ) = y ( ，x ) 一c 】 x 2 e e r r ：口一1 - c 2 y e r * ( r - f 】( 5 1 2 ) 因此可以得到： 第一种情况： 如果 2 2 e e m 们。一1 - c 2 声吩( r f 】 0 ，那末6 = 0 。 在这种情况下，h j b 方程可变为如下形式： m 以a x v , + 五e 【矿( f ，x x ) 一y ，功】 ( a + r o x + a ( u - r o ) ) v a f ，功+ ( , , 4 2 0 2 + f 1 2 + 2 p f l a ) v = ( t ，x ) ) ：0 ( 5 1 3 ) v ( t ，x ) = 甜( c ) ( 5 1 4 ) 第二种情况： 如果 2 z e e r r e ”仃一q - c 2 声伍( r 叫】 o ，7 0 。 那末关于函数的最优化取值可以如下给出： y ( r ，x ) ：c 一至e x p 一烨孵州一要( 丝超) 2 ( 丁一，) + h a ( t f ) ( 5 2 1 ) v己o v ( t ，x ) = 甜( x ) ( 5 2 2 ) 上式中的函数办( ) 满足如下条件： 1 1 7 ( 丁一，) = 一厂 口一掣】e , o t r _ t ) + 1 2 r 2 p 2 ( 1 一p 2 ) 口z 吩( r 叫) + 2 1 e e x p y y e 龟卜) 1 】 ( 5 2 3 ) 当如研p 雕7 。- 1 - c 2 声局r 一 0 时， h ( t 一，) ： x r o ? e 。t r - o + 昙( i z - r o ) 2 】一声临( r r 【口+ c 2 + ，o x 一兰掣 己o6 一三( 盟) 2 + i 1 厂2 夕2 ( 1 一夕2 ) 口2 咿- f ) + 研p 删盯。一1 1 + 2 2 e e 删一1 】 2盯 z ( 5 2 4 ) 当如目p 胪叮。- 1 - c 2 7 e 而7 i o o 芦 仃 ( 5 2 5 ) ”1l l - ，r oe - r o ( r - o _ 型) ，如球缈一1 卜c 2 弦临( r 叫 o 铂歹。 o r 证明：经验证定理的所有条件都是满足的，这是不难完成的。因此上面给 第五章最终财富的最大期望效用 出的投资策略是最优的。下面我们利用鞅最优性原则来证明这个投资策略的