（计算数学专业论文）两类特殊矩阵相关问题研究.pdf

摘要 本文研究了在理论和实际应用中有重要用途的h 矩阵和h e r m i t e 正半定矩阵 的相关问题，包括非奇h 矩阵的判据、非奇h 矩阵在线性系统的稳定性中的应 用、逆h 矩阵的基本性质以及系数矩阵分别为h 矩阵和奇异h e r m i t e 正半定矩阵 的线性代数方程组迭代法的收敛性全文共分为八章 第一章为前言，介绍了选题背景第二章给出了非奇h 矩阵的判据，并给出 了数值例子以表明所给判据的优越性第三章讨论了非奇h 矩阵在线性定常系 统的稳定性中的应用，给出了线性定常系统稳定度的判据第四章在文【1 6 给出 的逆h 矩阵定义的基础上，进一步得到了逆h 矩阵的新的性质第五章给出了 系数矩阵为非奇h 矩阵的线性代数方程组广义交替迭代法的收敛性定理，并给出 了当系数矩阵为非奇m 矩阵( 非奇h 矩阵的子类) 时迭代矩阵的谱半径的比较定 理第六章给出了系数矩阵为非奇h 矩阵的线性代数方程组并行交替迭代法的收 敛性定理，并给出了当系数矩阵为非奇m 矩阵( 非奇h 矩阵的子类) 时迭代矩阵 的谱半径的比较定理。第七章给出了系数矩阵为非奇h 矩阵的线性代数方程组两 级多分裂迭代法的收敛性定理第八章给出了系数矩阵分别为奇异h 矩阵和奇异 h e r m i t e 正半定矩阵的线性代数方程组外插迭代法的收敛性定理 关键词：非奇h 矩阵；逆h 矩阵；奇异h 矩阵；奇异h e r m i t i a n 正半 定矩阵；迭代法， ab s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，s o m ec r i t e r e ao fn o n s i n g u l a rh - m a t r i x ，s o m en e wb a s i c p r o p e r t i e so f i n v e r s eh m a t r i xa n dt h ec o n v e r g e n c et h e o r e m so fs o m ei t e r a t i v em e t h o d sf o rt h es y s t e mo fl i n e a re q u a t i o n sa r eg i v e n t h e r ea r ee i g h tc h a p t e r sa l t o g e t h e r i nc h a p t e r1 ，t h eb a c k g r o u n do ft h i sd i s s e r t a t i o ni si n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 ， s o m ec r i t e r af o rn o n s i n g u l a rh m a t r i xa r eg i v e na n ds o m ee x a m p l e sa r ep r e s e n t e d t os h o wt h es u p e r i o r i t yo ft h ec r i t e r a i nc h a p t e r3 ，t h ec r i t e r af o rt h ed e g r e eo f s t a b i l i t yo fl i n e a ro r d i n a r ys y s t e ma r eg i v e n i nc h a p t e r4 s o m en e w b a s i cp r o p e t i e s o fi n v e r s eh m a t r i xa r es t u d i e do nt h eb a s i so fp a p e r 1 6 i nc h a p t e r5 ，t h ec o n v e r g e n c eo fg e n e r a l i z e da l t e r a t i n gi t e r a t i v em e t h o d f o rt h es y s t e mo fl i n e a re q u a t i o n si s s t u d i e dw h e nt h ec o e m c i e n tm a t r i xi san o n s i n g u l a rh - m a t r i xa n ds o m ec o m p a r i s o n t h e o r e m so fs p e c t r a lr a d i u so ft h ei t e r a t i v em a t r i xa r eg i y e nw h e nt h ec o e i l c i e n t m a t r i xi san o n s i n g u l a rm m a t r i x ( as u b c l a s so fn o n s i n g u l a rh m a t r i x ) ，i nc h a p t e r 6 ，t h ec o n v e r g e n c eo fp a r a l l e la l t e r a t i n gi t e r a t i v em e t h o df o rt h es y s t e mo fl i n e a r e q u a t i o n si ss t u d i e dw h e n t h ec o e 伍c i e n tm a t r i xi san o n s i n g u l a rh m a t r i xa n ds o m e c o m p a r i s o nt h e o r e m so fs p e c t r a lr a d i u so f t h ei t e r a t i v em a t r i xa r e 百y e nw h e nt h e c o e f f i c i e n tm a t r i xi san o n s i n g u l a rm m a t r i x ( as u b c l a s so fn o n s i n g u l a rh m a t r i x ) i nc h a p t e r7 ，t h ec o n v e r g e n c eo ft w o s t a g em u l t i s p l i t t i n gi t e r a t i v em e t h o df o rt h e s y s t e mo f1 i n e a re q u a t i o n si s s t u d i e dw h e nt h ec o e f f i c i e n tm a t r i xi san o n s i n g u l a r h m a t r i x i nc h a p t e r8 ，t h ec o n v e r g e n c eo ft h ee x t r a p o l a t e di t e r a t i v em e t h o d sf o r t h es y s t e mo fl i n e a re q u a t i o n si ss t u d i e dw h e nt h ec o e f i i c i e n tm a t r i xi s as i n g u l a r h m a t r i xa n das i n g u l a rh e r m i t i a np o s i t i v es e m i d e f i n i t em a t r i x ，r e s p e c t i v e l y k e y w o r d s ：n o n s i n g u l a rh m a t r i x ；i n v e r s eh m a t r i x ；s i n g u l a r h 。m a t r i x s i n g u l a rh e r m i t i a np o s i t i v es e m i d e f i n i t em a t r i x ；i t e r a t i v em e t h o d i i 求 上海大学 本论文经答辩委员会全体委员审查，确认符合上海大学博士学位论文质量要 答辩委员会签名 主 委 导师 答辩日期 任 员 锯州傺 堋孝够2 纪挲臣丛易千 棒吖 7 ， 移叶 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：垂 亡捣日期塑! 生6 ； 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 阻公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：趟导师签名：蝉一期：一 2 0 0 4 年上海大学博士学位论文 第一章前言 5 1 1 选题背景 现代科技的发展让数学理论和方法发生了很大的变化，计算机应用的普及和 算法的多样性，为矩阵论的应用开辟了广阔的前景在实践中，常会遇到一些具 有某种特殊形式或具有某些数值特征的矩阵例如：在均衡论、投入产出分析的 研究中产生的m 矩阵；在控制论及神经网络大系统的稳定性、线性时滞系统的稳 定性研究中需要h 矩阵、h e r m i t e 正半定矩阵的理论对这些特殊矩阵进行专门 细致地研究不仅会推动矩阵论的发展，而且也会补充数学理论本身，这在很多数 学问题中将会产生很大影响 由于h 矩阵对稳定性的研究非常重要，所以对它的研究经久不衰，并且越来 越多地引起更多数学工作者的重视目前对它的研究主要集中在两个方面；一是研 究它本身的数学性质；二是研究与它有关的一些算法自1 9 3 7 年由a o s t r o w s k i 在文f 1 】中引入h 矩阵的概念并研究了h 矩阵的一些简单性质以来，对它本身性 质的研究已较为深刻a = ( ) c “为h 矩阵的最为直观的定义是其比较矩 阵 = ( 萌) 为m 矩阵( 2 ) ，其中 一j l a l ll ，i = j 叼2 1 一hl ，i j 这样一来，对h 矩阵的研究有助于m 矩阵的研究，从而也会促进对均衡论、投入 产出分析的研究在研究对角占优矩阵时定义了广义对角占优矩阵( 【3 ) ，后来证 明其与h 矩阵等价这样从不同的角度、不同的问题背景提出的两种概念在纯数 学上是等价的这就为h 矩阵理论的研究与发展奠定了宽厚的基础 1 9 6 9 年， f r o b e r t 在文【4 l 中研究线性代数方程组的块迭代解法及算法的收敛性问题时提 出了块h 矩阵的概念1 9 8 7 年，b p o l m a n 在文【5 中研究h 矩阵的不完全因子 分解a = l u r 时又对块h 矩阵的定义进行了改进此后有许多数学工作者对 此作了大量深入细致地研究，并提出了i 型块h 矩阵、i i 型块h 矩阵等概念h 矩阵的研究之所以能引起许多数学工作者的重视，另外一个重要的原因是因为对 于线性代数方程组a z = b ，当其系数矩阵为h 矩阵时，一些经典的迭代算法如： j a c o b i ，g a u s s s e i d e l ，s o r ，a o r 等均是收敛的，并且就目前提出的许多广义及修 正的迭代算法如；g j ，g s o r ，g a o r ，m s o r ，m a o r 等以及相关的多重分裂并行 2 0 0 4 年上海大学博士学位论文2 算法也收敛 既然h 矩阵的用处如此广泛，那么自然要考虑满足哪些条件的矩阵是h 矩 阵，即其判据本文在这方面做些研究文中具体的数值例子可说明本文所纷判 据的优越性 由于求解偏微分方程的差分法、有限元法、边界元法、区域分解法等都是通过 适当的离散化，把原方程化成系数矩阵为大型稀疏矩阵的线性代数方程组，然后 通过求解线性代数方程组来完成计算因此大型稀疏线性代数方程组的求解问题 一直是数值代数的的主攻课题之一许多数学工作者对此作了深入细致地研究， 并提出了一些算法本文研究了当系数矩阵分舅i j 为h 矩阵和奇异h e r m i t e 正半定 矩阵时的某些算法的收敛性 1 2 论文的主要工作 本文研究了在理论和实际应用中有重要用途的h 矩阵和h e r m i t e 正半定矩阵 的相关问题，包括非奇h 矩阵的判据、非奇h 矩阵在线性系统的稳定性中的应 用、逆h 矩阵的基本性质以及系数矩阵分别为非奇h 矩阵、奇异h 矩阵和奇异 h e r m i t e 正半定矩阵的线性代数方程组迭代法的收敛性主要工作共分为七章 第二章给出了非奇h 矩阵的判据第三章给出了线性定常系统稳定度的判 据第四章在文【1 6 】给出的逆h 矩阵定义的基础上，进一步得到了逆h 矩阵的新 的性质第五章给出了系数矩阵为非奇h 矩阵的线性代数方程组广义交替迭代法 的收敛性定理第六章给出了系数矩阵为非奇h 矩阵的线性代数方程组并行交替 迭代法的收敛性定理第七章给出了系数矩阵为非奇h 矩阵的线性代数方程组两 级多分裂迭代法的收敛性定理第八章给出了系数矩阵分别为奇异h 矩阵和奇异 h e r m i t e 正半定矩阵的线性代数方程组外插迭代法的收敛性定理 2 0 0 4 年上海大学博士学位论文3 第二章非奇h 矩阵的判据 5 2 1 基本概念 记r “”表示n 阶实方阵的集台，c “”表示n 阶复方阵的集合，= 1 ，2 ，n ) ，i ，j n 定义1 ( 【2 】) 设a = ( a i j ) r “，若a = z i b ，其中b 0 ，8 p ( b ) ，则称 a 为m 矩阵若8 p ( 县) ，则a 为非奇m 矩阵 定义2 ( 2 1 ) 设a = ( a i j ) c “”，a 为非奇h 矩阵的定义是其比较矩阵 = ( 翰) 为非奇m 矩阵，其中 一j j a i ii ，i = j ； 叼5 1 一ia i ji ，t 钉 需要指出a 为非奇h 矩阵的一个等价定义是a 为广义严格对角占优矩阵 ( 3 】) 定义3 ( 6 j ) 设a = ( a i j ) c “若a “ r ( a ) ，i n ，则称a 是严格对角 占优矩阵，并记为a d ；若存在正对角矩阵x ，使得a x d ，则称a 是广义严 格对角占优矩阵，并记为a g d 下面给出两类广义严格对角占优矩阵的定义 定义4 ( 6 】) 设a = ( a i j ) c “为不可约矩阵若i r ( 脚，i n 且至 少有一个不等式严格成立，则称4 是不可约对角占优矩阵 定义5 ( 7 1 ) 设a = ( ；j ) c ”“若i a “i r ( a ) ，i n 且至少有一个不等式 严格成立，并对满足i a i i i = r i 的i ，存在非零元素链a i i 。，a i ，。，g t ，j 0 ，使得 j j = d nff a “i 风 中，则称a 是具非零元素链对角占优矩阵 2 2 学嘲g 及例子i 2 2 1 记号 记 l u 2 = n = 1 ，2 ，n ) ，1 n 飓= 西， 酬= 莓a i j 烈a ) = 臀( ) - l = i n ：o 月i ( 4 ) ) 2 0 0 4 年上海大学博士学位论文 4 5 2 2 2 判据 定理2 2 1 设a = ( a i j ) c “若存在lu 2 = n ，1n n 2 = 垂使得 i l ，j n 2 满足 ( i )f 蜀( a ) 一l o t ( a ) p 1 a z i _ i a j t l ” 【l o n 胪 i a j t l 口d a ) ， t 6 n 1 ，t 蚝地，t j t 2t e n l ( i i ) 下列条件之一成立 昆) 一i a i d 口d a ) 胁 t 2 1 ，0 0町j i 一l 叼tj 一上“一。 蚝2 ，t 卸 则a 是非奇h 矩阵 证明记 r ( a ) 一i a l d ( a )r ( a ) 一i) 孵= 蜀卜】。，吲 t 2 ( 若i a i t l = 0 ，则记舰= + 。，i n 1 ) t e n 2 l j t i d t ( a ) m ；2 【尚 肝舻j 2 t k ，t 旬 若 则 由( i ) 知 由( 1 ) 和( 2 ) 得 m ； m y ； r ( a ) 一i a i t l a t ( a ) 笔学年一1 ，0 啊 m i m j ( i q j i 一l o 豇i ) 一三1 ，t i a ( a ) = 0 ，j 2 故a 是严格对角占优矩阵，从而a 是非奇h 矩阵 若上述( i i ) 中的另外一个条件成立，根据上述类似证明，可知a 是非奇h 矩 阵 定理2 2 2 设a = a d ) c “。“不可约若存在1 u 2 = ，n 1n 2 = 西 使得i n 1 ，j 2 满足 ( i ) 阮( a 卜。；邑壬i 蚓d e ( a ) 刑q 卜再jlajnl t e n 2 t 胪引。邑蚓一蚤。i d t a ” 蚝t t i ，t j t “2u ( i i ) 下列条件之一成立 见( a ) 一i a i r l 血t ( a ) i a i t c e 2 1 ，0 ：i l a t ( ) 孵= 【j 群卜】。砖 ( 若l 。“l = 0 ，则记= + c o ，t 1 ) t e n 2 i a j t i o t ( a ) m ；= 嵩 f 葡】”，j 2 由( i ) 知 m r m ； 风( a ) -i a i r i n t ( a ) 若罢萼等兰t 一1 ，0 q ) l n j j l 蚝再蚓a t ( a ) + m j e a x n 2 讹 。e n 2 l a j t l ) 黼叻( i 一坨磊斯一。e n i 吲乜t ( a m j ( 1 a z l e 嘞卜磊。i 啄i t e n 2 m ( a ) ，t j t 1 故对v i n ，有魄“r ( a ) 由a 不可约，可知a 不可约故a 是不可约 对角占优矩阵由文 3 知a 是非奇h 矩阵故a 是非奇h 矩阵 若上述( i i ) 中的另外一个条件成立，根据上述类似证明，可知a 是非奇h 矩 阵 定理2 2 3 设a = ( o 巧) c ”m 若存在1 u 2 = ，1n 2 = 西使得 i n l ，j 2 满足 ( i ) 阮( a ) 一。；焉粕蚓幽( a ) 1 。卜。再j 蚓1 ” l 。蠹蚓一吾，吲。( 棚】9 m 1 对v sfi 、：1 篙u 死，忆有j 霞；凳枭链。，三三，1 2 ”r e ”8 ： 使得s + ( i i ) 对1 ，南j 1 ，靠，有非零元素链o m ，o 。， 俚侍5 t ( 1 一 e ， f ) ) u ( 2 一 j 一， ) ) 西，其中i 。盘毒鬯1 函：墙 2 ，尬。一= m 。= 啊。一一叻。= m m j o ，舰= 豢荨备一， n 1 m j 2 再于t 。n f 2 , t # 田 ( i i i l 下列条件之一成立 r i ) 一l a i , l a t ( a ) ! ! 竺! 兰 陋“ c n 2 1 ，0 1 】0 0 则a 是非奇h 矩阵 2 0 0 4 年上海大学博士学位论文 9 。揣卜。蓝娑导型p 因i n i ，故l a 1 墨忍( a ) ，从而可得上r 4 ( 止a ) 1 又z y 0 ，故 ( 揣) 吲蒜卜 由( 8 ) 和( 9 ) 知 。糟 。孟娑净型h 即 亦即 记 菥l a i i l 盈娑a r ta ! r t a a ( 9 ) 硒l a i i 2 点丽l a t t lh 蒹臀旧小 ( 1 0 ) = 黼一。再；躺1 1 _ 。邑背i t e n 2 若el a 1 = 0 ，记尬= + 。o 显然对尬 0 存在正数d 使得 t e n 2 0 d 0 t e n 2 ，j 。 揣 1 ( 虮n 1 ) i o 臀 瓦f 而 t e 七，t j 篆鲋l a t t l 删+ 蚝邑臀h 卜州) 】 。l 锦蚓+ 。磊；，篱m r a a ) + r a a ) 一。蠹撼蚓一坨磊j 舒m 即1 i r j ( b ) 这样证得l b i i l 兄( b ) ( ) ，即b d ，故a g d ，从而a 是非奇h 矩阵 定理2 2 5 设a = ( a i j ) c “不可约若 k 铲娩州以。纛；丽a u ik 卅聂臀陬m ”，i l ( 1 3 ) 且 z y 0 ， 则a 是非奇h 短阵 证明由( 1 3 ) 得 。龄。蓝掣# 塑九 ， 因i o i l r i ( a ) ，故击妻鸯1 又z y 0 ，故 ( 蒜) 崆( 揣r ( 1 5 ) 由( 1 4 ) 和( 1 5 ) 知 即 ( 揣) 吲 旦 足) 一 挺暑如黼i n 卅1 。邑钟i 。n 2 0 0 4 年上海大学博士学位论文 1 2 蒜拒邑；揣j i + 聂一r d a ) l a , , i l u i t l ( 1 6 ) 兄( a ) 2 拒孟缶；r ( a ) p “门高 卜w 由a 不可约知足( a ) o ( v i ) 构造矩阵x = d i a g ( z 1 1 一，z 。) ，其中 一 攀篡 显然x k + o 。，故x 是正对角矩阵令b = ( b i j ) = a x ，则b o = q o 巧( i ，j ) 对v i 1 ，由( 1 6 ) 知 卯) 3 t e 赢n z ；蚓i + 蒹蚓l 揣刊，t 却 t ，2 ”7 对2 ，因0 m r d a ) l ( v t 1 ) 和0 曙( 蚓箐) 】妊毒匀”( i n 1 ，j 2 ) ， 且下列条件之一成立 吲一，；l a i k l 三( 蚓些簖一) 型旦 七r 二 1 ，o 锄细l 8 t 一一 e ，( i o 玎i 眚) i f 掣喽h 1 ，z y 0 ， i 哟一一i q t i 一2 7 则a 是非奇h 矩阵 证明由( 1 7 ) 知 若 卜e 蚓一薹( 蚓坠i 嚣卜) h i k l ，k t，i e ( 蚓业! 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趔 1 o 0 ，i o 岛一( 一a ) ( 马+ ) 一一7 1 则a 是非奇h 矩阵 证明令a = m ( a ) ，b = a + a t = ( b i j ) ，l q ，并记 聊= f 型竺噶掣一t l ( 若屈= 0 ，则记舰= + 。o ，i n 1 ) 嘴2 丽厅再署习丙而九j 2 由( i ) 得 蛑 m ； 若 则 由( 1 ) 和( 2 ) 得 则 塾l 二唑二( ! 二竺丛鱼墅1 ，o m ； 尬 叻 故存在正数d 使得 d 尬即 a o i 司瓦；i q 岛一( 1 一a ) ( 毋+ 岛) a 陬i + d a i