（计算数学专业论文）几类微分方程的分支计算与稳定性问题.pdf

中文摘要 摘要 关于平面上光滑自治系统极限环的分支问题已有很丰富的理论。如h o p f 分支， p o i n c a r 6 分支，同、异宿分支等。并且所得的研究结果在具体的方程中已得到很好的应用 当所研究系统的线性系统的原点是初等中心时，通过计算该系统的l i a p u n o v 数可以讨论中 心焦点和极限环分支问题在考虑平面近h a m i l t o n i a n 系统的极限环分支问题时要用到它 的一阶m e l n i k o v 函数表达式 对于平面上的非光滑系统的极限环分支理论的研究刚刚起步，当一般非光滑系统的线 性系统在原点是焦点焦点型时。已有学者给出了该系统的前几个l i a p u n o v 数的表达式最 近文献【3 3 】考虑了扰动闭轨族可以分支出极限环的个数问题 本论文主要讨论了两个方面的内容。一方面是关于平面上非光滑动力系统的极限环分 支问题，它体现在文章的二、三章中；另一方面我们讨论了几个时滞捕食被捕食系统的稳 定性、分支等问题，并进行了数值模拟，见本文的四一七章具体内容如下 在第二章中研究的是一类平面非光滑l i 6 n a r d 系统的原点处分支出的极限数目问题， 通过引入变换和构造p o i n c a r 6 回归映射给出一种计算该类系统的l i a p u n o v 数的一种算法 通过阅读文献 2 1 1 ，【2 3 ，结合一些新的技巧和方法，利用l i a p u n o v 数的表达式，给出可以 判定某些系统分支出极限环个数的一些定理然后利用这些定理，讨论了几个具体的例子 第三章里，类似于应用平面上的光滑h a m i l t o n i a n 扰动系统的一阶m e l n i k o v 函数表 达式。可以讨论该系统可以分支出极限环的个数，我们应用新的技巧推导出了一类分段 h a m i l t o n i a n 扰动系统的一阶m e l n i k o v 函数表达式，对一些具体系统应用我们算出的表达 式可以知道加小扰动后系统可以分支出的极限环的数目 在第四章里文献【4 2 】和 4 3 】考虑了一类具有收获和年龄结构的捕食被捕食系统，它们对 系统的特殊情形进行了讨论，我们讨论了一般情形下系统正平衡位置的局部稳定性和全局 稳定性问题第五、六章是通过构造合适的l i a p u n o v 函数和泛函，我们讨论了两类捕食被 捕食系统的稳定性问题 第七章考虑的是一个具有时滞和被捕食者带有扩散和避难的生物数学模型，应用 r o u t h h u r w i t z 引理。我们分析了系统正平衡位置的局部稳定性和分支出周期解的条件。把 系统转化成标准型并应用中心流形定理。我们给出了判断h o p f 分支的方向和分支出周期 解的稳定性的表达式最后应用数值模拟的方法。我们考虑了系统在脉冲扰动下的分支现 象 本文的主要创新之处：1 给出了确定平面非光滑l i 6 n a r d 系统在原点处的焦点阶数和 环性数的方法2 推导出了分段h a m i l t o n i a n 扰动系统的一阶m e l n i k o v 函数表达式3 对 第1 页 中文摘要 一些改进的生物数学模型进行稳定性分析和数值模拟 关键词：非光滑；m e l n i k o v 函数；l i a p u n o v 数；时滞；极限环；l i a p u n o v 函数；中心流形定理； 周期解：混沌 第页 英文摘要 a b s t r a c t t h e r ei sa b u n d a n tt h e o r ya b o u tt h el i m i tc y c l e sb i f u r c a t i o np r o b l e mo fs m o o t ha u t o n o m o u s s y s t e m so nt h ep l a n e s u c ha sh o p fb i f u r c a t i o n ，p o i n c a r db i f u r c a t i o n ，h o m o c l i n i c 。h e t e r o c l i n i c b i f u r c a t i o ne t c a n dt h er e s e a r c hr e s u l t sd e r i v ew e l la p p l i c a t i o n si nc o n c r e t ee q u 撕o m w h e n t h eo r i g i no ft h el i n e a r i z e ds y s t e m so ft h es t u d ys y s t e m si saf o c u s ，b yc o m p u t a t i o nt h el i a p u n o v c o n s t a n t so ft h es y s t e m s ，o n ec a nd i s c u s st h ep r o b l e m so fc e n t e r - f o c u sa n dl i m i tc y c l eb i f u r c a t i o n w h e nc o n s i d e r i n gt h eb i f u r c a t i o np r o b l e mo ft h en e a r - h a m i l t o n i a ns y s t e m s ，i tw i l lu s ei t sf i r s t o r d e rm e l n i k o vf u n c t i o n n er e s e a r c ha b o u tl i m i tc y c l e sb i f u r c a t i o no nn o n - s m o o t hs y s t e m so nt h ep l a n ei ss t i l la t 龃 i n i t i a ls t a g e w h e nt h eo r i g i no ft h el i n e a r i z c ds y s t e m so fg e n e r a ln o n s m o o t hs y s t e m si sf o c u s f o c u st y p e ，s o m ea u t h o r sg a v et h ef i r s ts e v e r a ll i a p u n o vc o n s t a n t so ft h en o n - s m o o t hs y s t e m s r e c e n t l y , t h ep r o b l e mo ft h en u m b e ro fl i m i tc y c l e sw h i c hb i f u r c a t ef r o mt h ep e r t u r b e dp e r i o d i c o r b i t si sc o n s i d e r e di n 【3 3 1 i nt 1 1 i st h e s i s ，w em a i n l yc o n s i d e r e dt w oa s p e c t sc o n t e n t ，o n eh a n d ，w ec o n s i d e r e dt h el i m i t c y c l eb i f u r c a t i o np r o b l e ma b o u tn o n - s m o o t hd y n a m i c a ls y s t e m so nt h ep l a n e ，i ti sp r e s e n t e di n c h a p t e r2a n d3 ：o nt h eo t h e rh a n d ，w ed i s c u s s e dt h es t a b i l i t y , b i f u r c a t i o np r o b l e m sa b o u ts e v e r a l d e l a y e dp r e d a t o r - p r e ys y s t e m sa n dd i dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s ，o n ec a ns e ec h a p t e r4 7 i nc h a p t e r2 ，t h ep r o b l e mo ft h en u m b e ro fl i m i tc y c l e sb i f u r c a t e df r o mt h eo r i g i no fac l a s s n o n s m o o t hl i d n a r ds y s t e m so nt h ep l a n ei sr e s e a r c h e d ，b yi n c o r p o r a t i n gs o m et r a n s f o r m a t i o n s a n dc o n s t r u c t i n gt h ep o i n c a r 6r e t u r nm a p st oc o m p u t et h el i a p u n o vc o n s t a n t so ft h ec o r r e s p o n d i n g s y s t e m s b yr e f e r r i n g 【21 】a n d 【2 3 ，w eg i v es o m en e wt e c h n i q u e sa n dm e t h o d s ，t h e ns o m en e w t h e o r ya l eo b t a i n e d , a n ds o m ec o n c r e t ee x a m p l e sa r ep r e s e n t e d i nc h a p t e r3 ，s i m i l a rt ou s i n gt h e f i r s to r d e rm e l n i k o vf u n c t i o no ft h ep e r t u r b e ds m o o t hh a m i l t o n i a ns y s t e m so nt h ep l a n e ，o n ec a n d i s c u s st h en u m b e ro fb i f u r c a t i n gl i m i tc y c l e so ft h es y s t e m s w eu s en e wt e c h n i q u e st od e d u c e t h ef i r s to r d e rm e l n i k o vf u n c t i o no fac l a s sp e r t u r b e dp i e c e w i s eh a m i l t o n i a ns y s t e m s b yu s i n g t h em e l n i k o vf u n c t i o nt os o m ec o n c r e t ee x a m p l e s ，w ek n o wt h en u m b e ro fb i f u r c a t i n gl i m i tc y c l e s o ft h es y s t e m s i nc h a p t e r4 。ac l a s sp r e d a t o r - p r e ys y s t e mw i t hh a r v e s t i n ga n ds t a g es 仃i l c t l l r ei sc o n s i d e r e d b y 【4 2 】a n d 【4 3 1 ，r e s p e c t i v e l y , t h ea u t h o r so n l yc o n s i d e r e dt h ep r o p e r t i e so fs o m es p e c i a lc a s eo f t h es y s t e m w ed i s c u s s e dt h el o c a la n dg l o b a ls t a b i l i t yp r o b l e m so ft h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mo ft h e g e n e r a lc a s eo ft h es y s t e m i nc h a p t e r5a n d6 ，b yc o n s t r u c t i n ga p p r o p r i a t el i a p u n o vf u n c t i o n s a n df u n c t i o n a l s ，t h es t a b i l i t yp r o b l e m so ft w oc l a s sp r e d a t o r - p r e ys y s t e m sa r er e s e a r c h e d 第页 a d e l a y e dp r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hp r e yd i s p e r s a la n dr e f u g ei sc o n s i d e r e di nc h a p t e r7 ， b yu s i n gr o u t h h u r w i t zt h e o r e m ，w ea n a l y z e dt h ec o n d i t i o n so ft h el o c a ls t a b i l i t ya n db i f u r c a t e d p e r i o d i cs o l u t i o no ft h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u m b yt r a n s f o r m i n gt h en o r m a lf o r ma n du s i n gt h e c e n t e rm a n i f o l dt h e o r e m ，w eg a v et h ee x p r e s s i o n so fd e t e r m i n i n gt h eh o p fb i f u r c a t i o nd i r e c t i o n a n dt h es t a b i l i t yo ft h eb i f u r c a t i n gp e r i o d i cs o l u t i o n f i n a l l y , b ya p p l y i n gt h en u m e r i c a lm e t h o d s ， w ec o n s i d e r e ds e v e r a lb i f u r c a t i o np h e n o m e n ao ft h i ss y s t e mu n d e rt h ei m p u l s i v ep e r t u r b a t i o n t h em a i ni n n o v a t i o no ft h et h e s i s ：1 p r e s e n tt h em e t h o dt od e t e r m i n et h eo r d e ro ft h ef i n e f o c u sa n dt h eh o p fc y c l i c i t yo fn o n s m o o t hl i 6 n a r ds y s t e m so nt h ep l a n e ；2 d e d u c et h ef i r s to r d e r m e l n i k o vf u n c t i o ne x p r e s s i o no ft h ep e r t u r b e dp i e c e w i s eh a m i l t o n i a ns y s t e m s ；3 g i v es t a b i l i t y a n a l y s i sa n d n u m e r i c a ls i m u l a t i o n so ns o m em o d i f i e db i o l o g i c a lm a t h e m a t i c a lm o d e l s k e yw o r d s ： n o n - s m o o t h ；m e l n i k o vf u n c t i o n ；l i a p u n o vc o n s t a n t ；d e l a y ；l i m i tc y c l e ；l i a - p u n o vf u n c t i o n ；c e n t e rm a n i f o l dt h e o r e m ；p e r i o d i cs o l u t i o n ；c h a o s 第t v 页 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发 表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在 论文中做了明确的声明并表示了谢意。 作者签名： sn 锄 i 疆 日期： ，) 沙| 。、s 、乙2 i 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，l l p 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名： 墨= ) 盗 导师签名： 期： , i ，讼 d 口 j 一| j 。、q 第一章预备知识 第一章预备知识 1 1平面系统极限环分支的基本理论 作为h i l b e r t 第十六个问题的一部分，许多数学家研究平面上右端带有多项式的光滑系 统具有极限环的个数问题，这类系统的一般形式如下 圣= ，( z ，可) ，痧= 夕( z ，暑) ， 其中函数，和g 为n 次多项式，即 1 1 1 h o p f 分支理论 我们知道当 n 夕( z ，可) = 咖矿 i + j = l ( a l o 一5 0 1 ) 2 + 4 a o l b 0 1 0 ， 成立时，原点是系统( 1 1 1 ) 的线性化系统的初等焦点或中心一般的通过引入极坐标变换 把系统( 1 1 1 ) 转化为具有2 7 r 周期的方程，然后构造p o i n c a r 5 映射，可以计算出系统( 1 1 1 ) 的 l i a p u n o v 数，应用l i a p u n o v 数可以讨论该系统存在的极限环的个数问题见文献【1 】， 2 1 ， 【6 】等作为这个理论的应用，如下的平面光滑l i n a r d 系统 圣= y f ( z ) ， 雪= 一夕( z ) ， ( 1 1 2 ) 得到广泛研究当函数f 和g 分别为多项式e 只和g i x 时，针对m 和n 的不同取值， 通过计算系统( 1 1 2 ) 的l i a p u n o v 数可以讨论该系统可以分支出的极限环的环性数可参见 文献【3 】， 5 】，【8 】等 对于比系统( 1 1 2 ) 更一般的光滑l i 6 n a r d 方程 圣= v ( y ) 一f ，o ) ，1 7 = - g ( x ) ， ( 1 1 3 ) 当原点为系统( 1 1 3 ) 的线性系统的初等中心时，文献 2 1 1 给出了确定( 1 1 3 ) 在原点的焦点阶 数与环性数的方法 第l 页 z ”伊 | | z ， 1 2 研究内容 1 1 2 闭轨族的扰动理论 对于平面光滑近h a m i l t o n i a n 系统，我们可以应用它的一阶m e l n i k o v 函数来获得分支 出的极限环的个数平面上近h a m i l t o n i a n 系统的一般形式是 拈吲霸们+ e f l ( x , 们， ( 1 1 4 ) i 雪= 一月二( z ，) + e 厶( o ，暑) ， 其中日， 和，2 都是c o o 的，e 0 是一个小的实值参数假定e = 0 时，系统有一族围绕 原点的周期轨“，其中厶由h a m i l t o n i a n 函数h ( x ，y ) = i l 定义，h 0 我们知道，函数 一 ， m ( h ) = 9 6f 2 d x 一 咖 ，l h 叫做系统( 1 1 4 ) 的一阶m e l n i k o v 函数它在研究极限环分支问题中起着重要的作用若函 数有一个奇重孤立根，则系统( 1 1 4 ) 在三b 附近有一个极限环，一个极限环对应一个孤立 周期轨如极限环附近的所有轨线都趋向于该环时我们称这个极限环是稳定的 1 2 研究内容 由于在力学和工程学方面许多问题的数学模型是由右端不连续或者不可微的动力系 统给出的，见经典专著a n d r o n o v 1 9 和k u n z e 2 3 因此，类似于光滑动力系统，在本文的第 二章和第三章里我们考虑一些平面非光滑系统的极限环分支问题 对于一般的非光滑系统 圣= f ( x ，y ) ，痧= g ( x ，) ，( 1 1 5 ) 其中 ，c z ，暑，= ；二 二：三；：三三兰：夕c z ，秒，= ；二 三：；：三兰： 文献k u n z e 2 3 给出了( 1 1 5 ) 的后继函数和l i a o u n o v 数的定义 正如文献【2 0 】所指出的：计算光滑系统和非光滑系统的l i a p u n o v 数的最主要不同是， 在光滑情况下由于左边和右边解的对称性出现了一些可以抵消的项，使得所算出的表达式 比较简单和简短，而对于一般的非光滑系统，情况就不同了因此，考虑非光滑系统的分支 极限环时要建立新的理论，并需要给出证明 在第二章中我们考虑了下面的l i 6 n a r d 系统极限环分支问题。 主= p ( y ) 一f ( x ，口) ， 痧= - g c x ) ， ( 1 1 6 ) 第2 页 第一章预备知识 其中a 彤 f c z ，口，= f f 二 三：；：三三。0 ：9 c z ，= 三二 二；：二三。0 ：i 一( z ，口) ，z ， i 夕一( z ) ，z f 士和萨都是c 函数并且满足条件 f 士( o ，a ) = 0 ，p ( o ) = 0 ，9 士( o ) = 0 ，( 9 士) 7 ( o ) = 夕产 0 ， ( o ) = p o 0 ，( 砖( o ，咖) ) 2 一夕 = o ， 扣何 ) + 盯- ( 们，z 2 夕士( z ，y ) = z 士z + m 士y + 6 去 i + j 2 下面的定义见文献 2 3 1 定义2 1 ( 2 3 1 ) 假如 ( 6 士一m 士) 2 + 4 1 士c 士 0 ， ( 2 1 2 ) 成立，则( 2 1 1 ) 的奇点在原点被称为焦点焦点型 上面的条件意味着系统( 2 1 1 a ) 和( 2 1 1 6 ) 在原点都是焦点型奇点并具有相同的方向 第5 页 统 仉m 系 0 ，下面我们给出在【2 3 】定义的系统( 2 1 1 ) 在原点附近的p o i n c a r 回归 映射 士( s ) ，如图2 一1 图2 1 中，由于l 士 0 ，贝j j ( 2 1 1 ) 的靠近原点的轨线是逆时针方向明显的，对于s 0 ， 矿( s ) 是c 的，而且对于8 0 ， - ( s ) 是c 的，这意味着它们的复合函数九- ( 九+ ( s ) ) 对 于很小的s 0 也是c 的则类似于光滑情形，我们可以定义l i a p u n o v 数如下 定义2 2 ( 【2 3 】) 假如有一个k 1 使得对于满足s 0 的充分小的8 ，有 d ( 8 ) = 一( + ( s ) ) 一8 = v k s 七+ o ( s 詹+ 1 ) ，k 0 ( 2 1 3 ) 则k 被称为第k 个l i a p u n o v 数假如k l ，则原点被称为k 阶细焦点 对于光滑微分方程，假如v k 0 存在，则k 是奇数，但是对于非光滑微分方程，k 不一 定是奇数，见( 【1 8 】，p 6 7 4 ) 关于一阶l i a p u n o v 数的表达式，我们有如下的定理 定理2 1 ( 【2 3 】) 假如( 2 1 3 ) 成j z ，并且 唧 而蓦器丽) 则一阶l i a p u n o v 数是 = t j + v 一一1 因此系统( 2 1 1 ) 的原点是细焦点当且仅当矿 一= 1 ，或者 了而尝寺簪葡司+ 丁而i b - 萧i f - m f - 葡= 。、一【( b + 一m + ) 2 + 4 2 + c + 】、一【( 6 一一m 一) 2 + 4 f _ c 一】 第6 页 第二章非光滑l i d n a r d 系统的h o p f 分支 对于一般系统的二阶及以上的l i a p u n o v 数可参见 1 7 。2 0 ，2 3 在【1 6 】中，作者考虑了如 下推广的l i 6 n a r d 系统的两种中心问题 圣= 一矽+ ，+ ( z ) z 0 y = z 圣= 一暑，+ ，+ ( z ) ，暑 0 ， 雪= z ， z 0 ， y 0 ， 其中产( z ) = 砖得出了在情形( a ) 下，它的l i a p u n o v 数k 是与o ：一或蝣+ 口二 i 2 成比例的也搭出了在情形( b ) 下计算v k 的一般方法然而，在这种情形下仅有很少的 l i a p u n o v 数有明显的表达式 我们可以看出在定义2 2 中，对于s 0 我们没有给出函数d ( 8 ) 的定义由目f 1 2 - 1 ，我们 自然的给出如下的j 芭义 定义2 3令产如图2 1 定义 d ( 8 ) = 函数d ( s ) 叫做系统i2 1 1 ) 的后继函数或位移函数 函数d 有如下性质 s 0 s = 0 8 0 用逝有一正根当且仅当它在s 0 用逝有一负棍( i i ) 假 如对于0 8 1 ，( 2 1 3 ) 成立则对于0 一8 1 ，有 其中( 矿) ，( 0 ) 0 ，存在一个8 1 0 使得九一( s 1 ) = s o 或者8 1 = ( 一) 以( s o ) 成立容易看出d ( 8 0 ) = 0 当且仅当d ( 8 1 ) = 0 第一个结论成立对第二个结果，对 于0 s i ，令( 2 i 3 ) 令t ，= 矿( s ) ，则 可= ( 7 l + ) ( 。) s + o ( s 2 ) 。，8 = ( + ) 一1 ( t ，) = i 而1 u + 。( t ，2 ) ，( 危+ ) 7 ( 。) 。， 第7 页 、乃、加 z z ，i，- 一 一 ， ， + + 一 文 一 曩 = = = = z 。芗 z y ，、il一，、【 ，j li-，j1【 、，、j a b ，- i 、，f l 、 一 一 、l，、l，、l，、l， s s ，i，jl、 + 一 一 ， + 危 0 h ，、l 2 r 引言 ( 2 1 3 ) 变为 一 ) = 8 + b ，b = v k s 七+ o ( s 七+ 1 ) 因此，由泰勒展式 + ( 一( t ，) ) = + ( s4 - b ) = + ( s ) 4 - ( + ) 7 ( s ) 6 + d ( 6 2 ) = + ( s ) + ( + ) 7 ( o ) 6 + o ( s b + b 2 ) 然后对于0 o ，9 ( z ，! ，口) ： 夕+ ( z ，口) o ， i ，一( z ，口) ，y 0 ，i 夕一( z ，口) ，y 0 ， ，士( z ，y ，a ) = b - c ( a ) x + c 士( 口) 矽+ o ( i x ，y 1 2 ) c ， 9 士( z ，y ，a ) = z 士( 口) z + m 士( 口) y4 - o ( i x ，y 1 2 ) c 假定存在a o 舻使得满足( x ，y ) = ( x ，y ，a o ) 和g ( x ，可) = 9 ( z ，y ，a o ) 的系统( 2 1 4 ) 满 足条件( 2 1 2 ) 则对靠近a o 的所有a ，( 2 1 4 ) 在原点是焦点对于0 o ， ( 2 2 2 ) ( o ) = p o 0 ，( 砖( o ，知) ) 2 4 p o g = 0 和牡 l l ；心1 i l t l 0 牡0 ， f = f 瓜= f 2 ( o 。心瓜 对于t l 0 ，下面的方程成立， f + ( u ，口) = 矿，f + ( 一t t ，o ) = f t - ( - - 1 ) t li 2 1 由( 2 2 1 0 ) ，对于牡 0 充分小我们有 ( 2 2 11 ) e ( “，口) = 吉( 矿+ 仃( 一1 ) ) t ，e ( u ，n ) = 砉( 口+ f i - ( - 1 ) ) t ， ( 2 2 1 2 ) 。t 1。i l 类似的，对于珏0 我们有 e ( u ，a ) = 砉( 疗+ ( 一1 ) ) u ，r ( u ，口) = 喜( 斤+ 矿( 一1 ) 州) 。i 1。i l 我们指出系统 竺：口一k ( 口) e ( 仳，口) ， a r 。、 第1 2 页 咖 石2 一“ ( 2 2 1 3 ) m 仉m = o ，善扣”铩饥仳鲰 i 骞= 吨 7 i 雪= 飞 一 上面方程的特征方程分别是 r 士赤( 掣一掣卜k o 1 主t ( 2 2 3 ) 。我们知道 露( o ，a o )f ；- ( o ，a o ) 百一一百 由于( 2 2 2 ) 和上面的方程，我们有 ，盟( o ，o 。2 监( o ，口。2 、2 近 远一堕( q ! 竺! 逻 1 1 6 p o 一 4 p o 盯 h 这意味着当a = a o 时( 2 2 1 3 ) 的原点是焦点。焦点型 因此，假如d c ( r o ，a ) 表示( 2 2 1 3 ) 的后继函数，则对于0 0 时e ( u ，a ) 的定义，对于z 0 有 只( s g nz 俪，a ) 兰三旷( x ( 让) ，。) 一f ( x ( 一) ，。) 】= 丢【矿( z ，口) 一f _ ( 口( z ) ，。) 】 因此，由( 2 2 1 4 ) ，e ( 8 9 i lz 酉两，凸) 三一；e 鼠( 口) ，又由( 2 2 7 ) ，对u 0 产生 i l 啪卜丢萎脚) ( 暑) 砉以1 + d ( 训 ( 2 2 肿) 因为f o ( u ，a ) 关于仳是奇函数，形式上有( 2 2 1 5 ) 对于u 0 ，比较( 2 2 1 7 ) 和1 ( 2 2 1 5 ) ，对 于k 2 ，产生 a = 一；以7 万b - ， a ：一；( 寿) 2 风+ b 。帆，。+ 岛肌，：+ + 风一，肮扣。 其中y k 。 ( k 2 ，l i 0 i 1 证明 分别引入极坐标变换u = r c o s 0 ，口= r s i n o 到系统( 2 2 8 ) 和( 2 2 1 3 ) 我们有 生= 芸塑舞黼蒜三眦邮) ， (2220)do1 s i no kr c o sa r 一= 一= ；，f ir ，f ，li， 一f r s i np ) f 吖目，) 、。”， 、。 第1 4 页 和 这里，我们需要证明亳= 篙舞o k 篙s i n 黼器c o s a r 兰聊 一=一!几i仃7f工1 d p1 一s i n ( rp ) j ：( rp ，) 一。、。一7 ( 2 2 2 1 ) 1 一s i n g k ( r s i n o ) f + ( r c o s 0 ，a ) r 0 ，1 一s i n o k ( r s i n o ) 忍( r c o s 0 ，a ) r 0 对于靠近( 0 ，a o ) 的( r ，a ) 保证函数r ( 口，r ，a ) 和r ( 0 ，r ，a ) 有定义事实上对于1 0 is 吾 由( 2 2 9 ) ，( 2 2 11 ) l s i n o k ( r s i n 0 ) f p c o s 0 ，a ) r = 1 “n p ( 赤+ d ( r s i n o ) ) 蚤矿一c 0 8 口r = l 一8 i 1 1 口( 孺1 + o ( r s i n 0 ) ) ( 付c o s p + 量矿r - 1 c 甜口) 当r 一0 ，上面的方程变为 由( 2 2 2 ) ， 1 一，_ 1 + s i n 2 0 = 1 f 盟s ，i n 2 0 2 、丽一 2 、g l 一丽f 1 + s i n2 0 k d 一等孙觜 。 用相同的方法，对于一擎p 一吾，我们可证当( r ，n ) _ ( o ，a o ) 时， 1 一s i n o k ( r s i n o ) f + ( r c o s 0 ，a ) r 0 类似的，f l j ( 2 2 9 ) ，( 2 2 1 2 ) ，当( r ，a ) _ ( 0 ，a o ) 时， l s i n o k ( r s i n o ) f o ( r c 。s p ，口) ， o ，一互3 丌口互7 1 令r ( o ，r o ，口) 和r e ( p ，r o ，口) 分别表示( 2 2 2 0 ) 和( 2 2 2 1 ) 的满足r ( 吾，r o ，口) = r o 和 ( 一三，殉，。) = r ( 一三，r 0 ，口) = 而 ( 2 2 2 2 ) 的解再令f ( p ，而，口) 和吒( p ，而，a ) 分别表示( 2 2 2 0 ) 和( 2 2 2 1 ) i 1 1 足f ( 一，而，a ) = 而 和无( 一三，而，口) = e o 的解则 r ( _ i 3 7 1 ，r o ，口) = 睁等而。) ， 小誓口) 吲一等而0 ) 第1 5 页 对于r o 0 ，我们定义( 2 2 1 ) 的一个后继函数如下 妣口) 叫一等删一r o 叫警删叫孙毗 蚴3 ) 因为( 2 2 1 3 ) 在原点是中心，我们有 ( 孙口) 吲一萼无口) o 1 oo ，、- e x p ( t 厅ic + ( u ，f + ) d u ) + 属对( p ， ，疗) ( b + ( 口) + o ( r o ) ) d o l 一：一矗) 嚆( 一1 ) m 应蜀( 吾，疗，厅) b 一( p ) 硼 。 2 2 3 1 t l o o ， 一 1 e x p ( e ic + ( 札，疗) d ) + 属对( 9 ，付，i v ) b + ( o ) d o + o ( r o ) j = 一a ( n ) 眦( 付，疗) 嵋( 1 + d ( 铂) ) ， 其中 m ( 付，斤) = ( 一1 ) m 瑶s ( 日，付，f ) b 一( o ) d o e x pg 后吾c + ( u ，付，f f ) d u ) + j ! 毫s ：i j b ，髓，i i 、) b 啤( o ) d o 0 ，i 2 1 第1 8 页 第二章非光滑l i 6 n a r d 系统的h o p f 分支 比较( 2 2 31 ) 和( 2 2 18 ) 有 d 1 ( 口) = 一a l l ( 付，疗) ， 盔( 口) = 一a 腿( 付，疗) + o ( i a l ，a 2 ，a i l i ) ，i 2 因此，通过把( 2 2 1 5 ) 代入到上面的方程得到( 2 2 1 9 ) 由引理2 4 。我们有 定理2