（应用数学专业论文）纯量泛函微分方程的周期解.pdf

摘要 本文利用k r a s n o s e l s k i i 锥不动点定理比较系统地研究了一类纯量 泛函微分方程的周期解的存在性，得到了充分性判据所研究的系统更 为广泛，包括许多种群动力学模型，生理过程模型作为特例此外，教 们应用本文的主要结果研究了一些经典的生物学模型的正周期解的存 在性本文的研究结果推广并改进了文献中已有的相关结果，同时获j 写 了一些新结果本文还运用m a t l a b 软件针对一些具体模型作了数值模 拟，数值分析结果与理论分析相当吻合 关键词，纯量微分方程，周期解，k r a s n o s e l s k i i 锥不动点定理 数值模拟 h i a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w i t ht h eh e l po fk r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e m ， w es y s t e m a t i c a l l ys t u d yt h e 。e x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n so f ac l a s so ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w h i c hi s g e n e r a le n o u g ht o i n c o r p o r a t ea ss p e c i a lc a s e sm a n ym o d e l sp r o p o s e di np o p u l a t i o nd y n a m i c sa n dh e m a t o p o i e s i s e a s i l yv e r i f i a b l es u f f i c i e n tc r i t e r i aa r ee s t a b - l i s h e d ，w h i c hg e n e r a l i z ea n di m p r o v er e l a t e ds t u d i e si nt h el i t e r a t u r e m o r e o v e r ，i no r d e rt oi l l u s t r a t et h eg e n e r a l i t ya n de a s ya p p l i c a b i l i t yo f o u rs t u d y ，w ea p p l yt h ec r i t e r i at od e r i v es u f f i c i e n tc o n d i t i o n st og u a r a n t e et h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o rs o m em a t h e m a t i c a l b i o l o g ym o d e l s w ea l s oc a r r yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n sf o rs o m ec o n c r e t e m o d e l s ，w h i c hs t r o n g l ys u p p o r to u rt h e o r e t i c a ls t u d i e s k e yw o r d s ：s c a l a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，p e r i o d i cs o l u t i o n ，t h e k r s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e m ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o n s 独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表的研究成果，也不包含他人为获得东北师范大学 或其它教学机构的学位或证书而取得的研究成果与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 签名：斗盎日期：坦釜，壶! 皇。 关于论文使用授权的说明 本人了解并遵守东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即t 学校有权保留、向国家有关部门送交学位论文的复印件。允许论文 被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、 缩印或其它复印手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名，逍盘指导教师签名。! 鱼缝 日期：坦生= 兰：；如日 期。塑! 鱼：垂：如 5 1 引言 众所周知，在人口动力学( 单种群增长模型，生理过程( 如血液细 胞产生，呼吸及心律不齐) 和其它一些实际问题中，许多模型都可归结 为纯量泛函微分方程的形式( 参见文献【1 ，2 ，4 - 9 ，儿一1 8 ，2 0 2 3 】) 最近，一些纯量微分方程受到了许多数学家和生物数学家的广泛关 注( 参见文献【1 ，2 ，4 9 ，1 1 1 8 ，2 0 - 2 3 ) 许多学者研究了纯量微分方程 周期解问题，给出了存在周期正解充分条件( 参见文献【1 ，8 - 9 ，1 2 ，2 0 ， 2 1 ) 值得指出的是，这些文献所研究的纯量微分方程只是一些相对特 殊的形式尽管目前文献中已经有了一些很好的结果，但对于此类方程 和存在问题的研究远未系统化，完全化 本文比较系统地研究了一类纯量泛函微分方程的周期解的存在性， 得到了充分性判据，运用的主要工具是k r a s n o s e t s k i i 锥不动点定理 所研究的系统十分广泛，许多种群动力学模型，生理过程模型均可纳入 其中此外，我们把主要结果具体应用到一些著名的人口动力学模型和 遣血模型中，并用m a t l a b 软件对模型进行数值模拟，数值分析结果与 理论分析相当吻合本文的研究结果推广并改进了文献中已有的相关结 果，同时获得了一些新结果 令r = ( 一，+ 。) ，r 斗= 【0 ，o 。) 对于任意g = ( 。，。) t r “，。的范数为i x i = m a 。x 。陬| _ r 芊= ( x l j 一，x 。) 2 r “：x i 0 ，1 i n ) 本文主要研究下面的纯量泛函微分方程 和 口0 ) = 一n ) 0 ) - i - f ( t ，u ( ) )( 1 1 ) 雪( ) = n ( t ) ( t ) 一，( t ，t ( t ) )( 1 2 ) 其中 ： u ( ) = ( ( 9 - ( 砒池( t ) ) 一l ( 吡女和一o ) y ( o ) d o ) ( 1 3 ) 南 假设 ( 1 ) 。( t ) c ( r ，r + ) 是u 周期函数，即a ( t ) = a ( t + u ) 且 a ( t ) 0 ，其中u 是正常数代表系统的周期； ( 吼) ，c ( r r ；，r 十) 关于第一变元是u 周期函数，即，0 + u ，u 1 n ) = f ( t ，i t l ) 且f ( t ，) 0 ； ( 凰) k ：r 十_ r + 是时滞核函数，可积且已正规化，即r 后( r ) d r ： 1 ；吼：r _ + r 且g i ( t ) t 5 2 系统( 1 1 ) 的正周期解存在性 我们将运用k r a s n o s e l s k i i 锥不动点定理研究( 1 1 ) 和( 1 2 ) 正周期 解的存在性首先介绍一些预备知识 2 1 预备知识 首先，我们给出本文主要应用的k r a s n o s e l s k i i 锥不动点定理 定义2 1 x 是b a n a c h 空间，e 是x 的闭非空子集如果下面 的条件成立 ( i ) 任意u ，u e ，q ，卢 0 ，有口t + 口”e ( i i ) 若 ，一e ，有 = o 则e 是锥 引理2 1 ( k r a s n s e l s k i i 锥不动点定理) x 是b a n a c h 空间。ec x 是x 中一个锥，q l ，n 2 是x 的开子集且0 n 1 ，q 1cq 2 全连续，若满足 西：e n ( 囝2 n 1 ) - + e 2 ( i )任意y e n a n l ，有i i 西训l l y t i 且任意y e n a n 2 ，有 i i 卿1 i l l y l l ； 或者 ( i i )任意y e n a q l ，有l i c y l i i 且任意y e n a n 2 ，有 1 i 咖6 l l y l l ； 则垂在f n ( n 2 q 1 ) 中必有不动点 为了叙述简洁，下面引入如下记号t 定义 m a x a 2 l i r a t o t m 洲a x 眢，m i ，02 凛i t it 【o m i 川n 斜， o s i m “k 2 h l 什i r a 。t 【m 。a 川x 钟，m i n k2 j 恐。鼎蜀舒 。j - - 6 1 u 1 0 9 如 其中l u i2 燃h ，u r ；， ，e x p fo ( ) 蜓 6 = e x p 一a ( s ) d s ，g ( t ，s ) = 二二，t ，s r 5 e x p f n 健) d 一1 以及 c ：= m a x a ，m 伽，0 ，r n a x c 。，m i n f 。 由a ( t ，s ) 的定义可得如下结论 g i 理2 2a ( t ，s ) 满足 ( i ) 任意t ，8 r ，有c ( t ，8 ) = a ( t + u ，8 + u ) i ( i i ) 任意s 【t ，t + u ，有 a = 禹= g m t ) ，s ) g t + u ) = 而1 = b ， ( i i i ) 任意s 【t ，t + u 】，有as 否嚣s ；) - 3 引理2 3 ( t ) 是( 1 ，1 ) 的u 周期解当且仅当它是下面积分微分方 程的w 周期解 t + ( t ) = g ( t ，s ) 坤，“( s ) ) 如 ( 2 1 ) t 令 x = ! ，( t ) ：g ( t ) c ( r ，冗) ，u ( t + u ) = ( t ) ) i = s u p l y ( t ) i ：y 斟， t e o ，w 】 则当赋予范数”i i 时，x 成为b a n a c h 空间而且由( 1 3 ) 知h l l y l l 在x 定义算子垂，对于任意y x ，t l ：t ( 圣) ( t ) = g ( t ，s ) m ，u ( s ) ) d s ， ( 2 2 ) 显然垂是x 上的全连续算子定义 e = b x ：y ( t ) 0 且y ( t ) 6 l l u l l ， 容易证明e 是锥 引理2 4 圣e c e 证明由引理2 2 知，任意y e 有 i l c y l l 0 ，使当u i d 川，0 j 扎，i u i p o 时，有 f ( t ，u ) m i i t i ( 2 3 ) 令f k = b x ：l p 令n p 。：= g x ：i l y l l l 那么，对满足y e n a q 。有i i 蛳i i l l y l l 综上讨论知在条件( p 1 ) 下，西满足引理2 1 都所有条件，故蛋 在y e n ( f i ，。n 。) 中必有不动点显然，有p o j l y l l _ i d - ，y ( t ) 6 j l v l l 6 p o 0 ，y ( t ) 就是( 2 1 ) 的w 周期解由引理2 3 知，y ( t ) 是 ( 1 1 ) 的“j 周期解i 定理2 2 若 ( p 2 ) m a x l o = 0 ，r a i n k = 0 0 成立，则( 1 1 ) 至少有一个u 周期解 证明由1 7 1 ( 1 x f o = 0 知，对满足0 0 使得当川伪时， f ( t ，u ) se 1 u | -( 2 4 ) 定义q ，。= 妇x ：l l y l i 譬使得当6 川，0 j n ，川d p 3 时 f ( t ，) a 毛i u l( 2 5 ) 6 定义q p 。= f x ：i 0 ， y ( t ) 就是( 1 1 ) 的w 周期解i 定理2 3 假设 ( p 3 ) 1 7 l a x t o = m a x k = 0 ， ( p 4 ) 存在r l 0 ，使得任意m 【6 r l ，r 1 】且d ( j = 1 ，2 n ) ，有f ( t ，u ) r l ( a w ) ， 则( 1 1 ) 至少有两个正u 周期解l 和钝满足 0 i l r 1 | | 抛 证明首先，由m a x f o = 0 知，对任意满足0 1 ( s w ) 的e ，存 在p 4 r l 使得对任意i l m ，有 f ( t ，u ) s l 让| ( 2 6 ) 令n 卢4 = x ：恬| | 2 + 1 + 2 b w m a x f ( t ，u )( 2 8 ) i t u e i 1 0 , w 2 u r 2 令q ，；= 妇x ：i n 2 ) 因 此，对于任意y e n a n 有| | 西训1 选取q n = 妇x ：1 i l y l l 故由引理2 1 知，圣在e n ( f i ，。 f 2 。) 中有不动点y l ，在e r l ( q p 5 q r ，) 中有不动点y 2 即( 1 1 ) 至少有 两个正u 周期解y t 和y 2 满足0 0 r l 0 ，使得任意川r 2 ，有y ( t ，u ) r 2 ( b w ) ， 则( 1 1 ) 至少存在两个u 周期解9 1 和抛满足 0 l l u l f | r 2 i l y 2 1 1 证明由m i n f o = 0 0 知，对任意m 3 1 ( a s w ) ，存在p 6 r 2 使得当 p 6 ，6 i u l0 = l ，2 n ) f ( t ，m z l u l ( 2 9 ) 令f 2 m = b x ：i l u l i r 2 使得 当川跏，6 l u l0 = 1 ，2 n ) 时，有 f ( t ，u ) 矗l 让| ( 2 1 0 ) 9 令n 。，= 妇x ：i l y i p 7 ，则对任意y e n a q p ，有( t ) 训f 0 = 5 p 7 而且 u j ( t ) = ( 野( t ) ) 5 1 1 y l i 6 【u ( t ) 1 ，j = 1 n 一1 ， j “。( t ) = k ( t e ) y ( e ) d e 6 1 1 y 1 1 6 l “0 ) 【， ，t l u ( t ) i 2 。垡m a x ( 缈( t ) ) ，k ( t e ) y ( e ) d e & l l y l = 5 p 7 - 其中u ( t ) 在( 1 3 ) 中定义由( 2 2 ) ，( 21 0 ) a n d 引理2 2 可得 ( 西) ( t ) a ，( 5 ，u ( s ) ) d s a m 4 5 p t w i l y l l ， 即对任意y e n a q 。有i l 西训i l y l l 令n ，= x ：l l y l l r 2 任意y e n a q 。有i l y l l = r 2 ，故 l u j t 2 由( p 6 ) 和引理2 2 可知 ( e y ) ( t ) 茎b r ，( s ，( 删如 b u = r 2 = l l y l l ， () 茎，( s ，( u ( s ) ) 如 u = l ， 即对任意y e n a n 。有i i 垂训 i l y l l 因此，由引理2 1 知垂在 e n ( f i ，。n m ) 中有不动点y 1 在er ( f i ，q ，) 中有不动点y 2 显然， 1 和2 是( 1 1 ) 的u 周期解。满足0 怕l l i r 2 i l y = 1 1 2 3 情况i i ：cn o ，+ o 。 = o 本小节我们将在假设c n o ，+ o 。) = 0 下，讨论( 1 1 ) 的正周期解 的存在性下面先给出一个在本节证明过程中起重要作用的定理 定理2 5 假设( p 4 ) 和( 岛) 成立，则( 1 1 ) 至少有一个正u 周期 解y 满足i l y l i 在r 2 和n 之间，其中r 2 和r 1 分别在( p 4 ) 和( p 6 ) 中 定义 1 0 证明不失一般性，我们不妨假设t 2 r l - 令s 2 r 。2t x ： l r 2 ) ，则对任意v e n 8 n 一由( 2 2 ) 和( p 6 ) 知 ( 西可) ( t ) t + ，o j b1 ( 8 ，u ( s ) ) d s b 品u = r 2 = ， ( 西可) ( t ) ， ，u ( s ) ) d s b 素三u = = l l 1 1 ， 即对于任意y e n a n 。有l 壬训 i l y l l 选取嗡。= y x ：| l u l i 4 j 三u = n = i 旧忆 即对任意y e n o f 2 。有惮9 0 il u l l 故由引理2 1 知命题正确i 定理2 6 若 ( 岛) m a x f ( ，2 口1 0 , 瓦i k ) ( p 8 ) m i n l 。= 声t ( 赢，o 。) 成立，则( 1 _ 1 ) 至少有一个u 周期解 证明由r a a z i o 2 o l o ，责) 知，对于e2 击一 0 ，存在 一个充分小的r 2 o 使得当i u jsr 2 时 撕m a x l - 巾7 7 “- ) 0 使得当叫打l ：”j 6 l u l ( j = 1 ，2 礼) 时，有 。渤眢 仆s = 去，坨 o ，u i u j a d u 。 故当i 让i 【6 r l ，r 1 ，u j 6 l “i ( j = 1 ，2 n ) ，t 0 ，“， 时，有 邢，u 卜蕊16 r t = 芜， 即条件f p 4 ) 成立由定理2 5 知本结论成立i 足理2 7 若 ( p 9 ) m i n o2 口：( 赢，0 0 ) ( p 1 0 ) m o z 厶= 岛 0 ，击) 成立，则( 1 1 ) 至少有一个正甜周期解 证明由m i n f o 2 a 2 ( 赤，。) ，对于任意s = 。2 一焘 o ， 存在充分小的t 1 0 使得当0 叫曼r lu j j 时，有 t m e o 眢 嘞一去a ， 川 l 让i 6 u 故当i u j 【6 r i ，r 1 ，u s j l u ( j = 1 ，2 n ) ，t 0 ，u 】时，有 ( t ，u ) 志打产盖， 即条件( r ) 成立 由m k = 岛1 0 , 击) 知，对于任意2 击一卢2 o ，存在充 分大的r 使得当m r 时，有 黝帮 r 且t o 【0 ，u 使得当0 r ，由( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 可得，当0 川sn ，t o ，u 】时 弛，u ) m 。，牡+ ) m b 由( 2 1 3 ) 知，当0 l l n 时 仲，u ) sm 彘 即条件( p 6 ) 成立由定理2 5 知本命题成立 ( 2 1 3 ) t 【o ，u ： 定理2 8 假设( p 6 ) ，( r ) 和( 岛) 成立，则( 1 1 ) 至少有两个正u 周期解玑和讹且满足0 l l y l l l r l ( a o j ) 由( p 9 ) 及定理2 7 的证明知，存在充分小的r i ( 0 ，仡) 使得当 | u l f d r ：，r ：】，u j 6 i u i ( j = 1 ，2 n ) 时，有f ( t ，“) r ：( a o j ) 由定 理2 5 的证明知( 1 1 ) 至少有两个正u 周期解- 和使得r ： 1 i v l l i r 2 i i 加| l r 1 i 定理2 9 若( p 4 ) ，( p 7 ) 和( r o ) 成立，则( 1 1 ) 至少有两个正u 周 期解1 和耽使得0 l i v l l i n i w l l ，其中t 1 在( p 4 ) 中定义 证明由( p 7 ) 及定理2 6 的证明知，存在充分小的r 2 ( 0 ，r 1 ) 使 得当l u i f ，t o ，u 】时，有，0 ，u ) r - 使得当l 仳l r ；，t 【0 ，l 时，有f ( t ，世) r ；( b u ) 因此，由定理2 5 知( 1 1 ) 至少 有两个u 周期解1 和耽使得r 2 i i 1 1 1 t 1 i i 啦0 r ；证毕 i 1 3 2 4 情况i i i ：c n o ，+ 。 0 ，但c 茌 o ，+ o 。 定理2 1 0 若 ( p 1 1 ) m i n f o 2 0 0 ，m a x 厶= 卢l 【o ，责) 成立，则( 1 1 ) 至少有一个正u 周期解 证明令n m = g x ：i p o 由m i n f o = 0 0 及定理2 4 的 证明可得，对任意y e n a n 。有i i c y l i l y l l 选取啤- = b x ：i p 1 ) 由m a x f 。= 卢， o ，击) 及定理 2 7 可知，当l u i p 1 时，有，( 。，u ) 和 ( ) ( 蛏t c y b r 小，u ( s ) ) d s b u = 舻l l y l l ， () ( t ) 冬 ，( s ，u ( s ) ) d s u = j d = l ， 即当y e n a q ，。时，有| 1 西掣1 i 1 l y 因此，结论成立在2 2 节和2 3 节的基础上，与定理2 1 0 的证明 类似，易得如下结论 定理2 1 1 若 ( p 1 2 ) m 口z 南= 0 ，m i n f o 5 a 1 ( 赤，o o ) 成立，则n jj 至少有一个正u 周期解 定理2 - 1 2 若 1 ( p 1 3 ) m a x f 0 2 0 ，m i n i 。= 0 2 ( 赢，o o ) 成立，则( 1 1 ) 至少有一个丘u 周期解 定理2 1 3 若 1 ( p 1 4 ) m i n o o = 0 0 ，m n 。，0 = 如【o ，击) 成立，则( 1 1 ) 至少有一个正u 周期解 定理2 1 4 若( r ) ， ( p 1 s ) m t n ，o = 。，m 衲厶= 。3 ( 去，。) ，成立，则( 1 1 ) 至 1 4 少有两个正“j 周期解y l 和耽满足 0 怕1 l l r 2 l l 仇 其中r 2 在( p 6 ) 中定义 证明令n 。= x ：l l y l i m ，其中p + r 2 由m i n o = 。 和定理2 1 的证明可知，当y e n a n 。时，有i i c y l l | - 令n r - = x ：l i rl ：再由( p 6 ) 和定理2 5 的证明可知( 1 1 ) 至少有两个正u 周期解1 和满足 o 1 | 9 1 1 1 r 2 l l y 2 1 1 _ 定理2 1 5 若( p 6 ) 和 ( p 1 s ) m i n 厶= 。，m 伽，0 = 。t ( 击，o 。) 成立，则( 1 1 ) 至少有两个正u 周期解y l 和耽满足0 | l y l l | r 2 0 驰其中r 2 在( p 6 ) 中定义 定理2 1 6 若( p 4 ) 和 ( p 1 7 ) m 蚴，。= o ，m a x 。= & 【o ，瓦1 ) 成立，则( 1 1 ) 至少有两个正叫周期解y t 和y 2 满足0 1 1 1 | | r l i l y z l l ，其中t 1 在( p 4 ) 中定义 定理2 1 7 若( p 4 ) 和 ( p 1 8 ) m 口士氏= o ，懈，0 = 尻【o ，土b w ) 成立，则( 1 1 ) 至少有两个正u 周期解玑和y 2 使得0 l 1 9 1 i l r 1 | | 讹，其中r i 在( p 4 ) 中定义 3 系统( 1 2 ) 的正周期解 下面我们研究系统( 1 2 ) 的正周期解的存在性与第二节的证明类 似，我们不难得出系统( 1 2 ) 正周期解存在性的充分条件为了文章的简 洁，下面我们不加证明地给出关于( 1 2 ) 正周期解存在性的相应结果 1 5 定义 e x p 一，n ( ) 武e x p - n ( f ) 碟 5 l + u h ( t ，s ) = 了一= 百旦，t ，s r ， 1 一e x p 一o 幢) d f e x p ( o ( ) 必) 一1 则由上述定义可得对任意5 【t ，t + u ，有 b = e ( o ，u ) = h ( t ，t ) 兰h ( t ，s ) h ( t ，t + u ) = h ( o ，u ) = g ( t ，t ) = a 渊篆茅= 百a 越 引理3 1 ( t ) 是一纠的u 周期解当且仅当它是下面积分微分方 程的u 周期解 t - l - w ( t ) = j r 日( t ，s ) ，( s ，u ( s ) ) 如 ( 3 1 ) t 定理3 1 若下列条件之一成立 ( p 1 ) ；( p 2 ) ；( p l ) ；( p 1 。) ；( p 1 3 ) ；( p l t ) ；( 段) 和( p 6 ) ；( p 7 ) 和( b ) ；( p 9 ) 和( 日o ) 则( 1 2 ) 至少有一个正u 周期解 定理3 2 若( p 4 ) 成立，且下列条件之一成立 ( p 3 ) ；( p 1 7 ) ；( p 1 8 ) ；( p 7 ) 和( p l o ) ， 则( 1 2 ) 至少有两个正u 周期解i 和y 2 满足0 i f 可1 f f n f f 舵 其中r l 在( p 4 ) 中定义 定理8 3 若( r ) 成立，且下列条件之一成立 ( p 5 ) ；( p 1 5 ) ；( p 1 6 ) ；( p 8 ) 和( e 9 ) ， 则( 1 | 2 ) 至少有两个正u 周期解可1 和y u 使得0 1 i l i | 0 是常数若a ，k 是 正常数而且r 三0 ，则( 4 2 ) 是r i c h a r d s 所提出的原始模型【1 8 】，也被 称为是g i l p i n a y a l a 模型 例4 2 考虑广义造血模型 一0 ) = 一，y ( t ) z ( t ) + n ( t ) e x p 一z ( t ) x ( t 一下( t ) ) )( 4 3 ) 其中z ( t ) 是t 时刻血红细胞的数量，而且m n ，卢c ( r ，r + ) 是“周期 函数若7 ，q ，卢，r 是正常数，则( 4 3 ) 是w a z e w s k a - c z y z e w s k a 和l a s o t a 2 2 ，2 3 l 所提出的原始模型( 4 3 ) 的原始模型及一些更为一般的模型在 1 8 卸r a i 川n 掣= 吲r a 。i 。n 川菇蒜- + 慨当q 斗。 蹦掣高龇当u - + 慨 茁俅) = 一( 1 + s i n ( 2 ”咖( t ) + ( 五1 + 瓦1c 。s ( 2 丌) ) ( 矿( t ) + ( t ) ) ( 4 4 ) 巾，“) = ( 互1 + 壶c 。s ( 2 丌t ) ) ( u “+ 牡一) ，u o t m e 0 1 蜀1 掣= 三3 2 。1 w 1 ， ，1 i 让l 、 一 ” f ( t , u ) ! - , 0 5 6 2 5 5 6 2 5 而1 - - 6 ，则有m 双厶= o ，m i n ，0 = 卢” 五1 面由定理2 1 1 可得( 4 5 ) 至少有一个正叫周期解证毕 i m a c k e y 和g 1 a 8 s1 1 5 提出了另个非线性时滞微分方程( d d e ) 来 描述生理控制系统这个原始模型是自治系统，即它的参数是正常数 下面我们考虑该方程的非自治情况且其参数都是t 的周期函数 ( t ) = 一7 ( t ) 。( + 丁j ，( 4 6 ) 其中7 ，卢，】r c ( r ，r + ) 是周期的且n 0 是给定的整数由前面 的讨论易得如下结论： 定理4 4 ( 4 6 ) 至少有一个正w 周期解( 由定理2 1 ) 例4 5 考虑广义m i c h a e l i s m e n t o n 型单群增长模型 z 协同卜一端 其中。( t ) 】6 ( t ) c ( r ，l ) 是u 周期得且c 是i f 常数现对该种群进 行捕获，在单位捕获努力量的假设下，被捕获种群符合如下增长 州归邢) 一端 - q e z ( 巩 ( 4 r ) 图4 ：当o ( t ) = 1 + s i n ( 2 1 r t ) ，b ( t ) = 6 + c o s ( 2 1 r t ) ，q e = 0 5 ，c = l 时( 4 7 ) 解 的数值分析 其中q 和e 都是正常数分别代表捕获努力系数和捕获努力量 定理4 5 若 0 0 易知 成立 m a x 0 卅，m i n 蠡= 警邶 由定理4 5 的条件可知( p 7 ) 和( p 8 ) 满足，则由定理3 1 知本命题 例4 6 考虑广义n i c h o l s o n sb l o w f l i e s 模型 一( t ) = 一，y ( ) 正( t ) + 卢( t ) 。0 一 ( t ) ) 唧 一口z 0 一r ( t ) ) ，( 4 8 ) 其中7 ，p ，t c ( r ，r 十) 是u 周期的且口是正常数当( 4 8 ) 中的参数 全为正常数时，该模型就是g u r n e y 等【7 所提出的用来描述澳大利亚 的s h e e p - b l o w f l y ( l u c i l ac u r p i n a ) 的模型，由于该方程与n i c h o l s o n 的 关于b l o w f l i e s 的试验数据十分符合，故现在此模型被称为n i c h o l s o n s b l o w f l i e s 模型 假设系统的参数随环境的周期性( 如季节更替，食物供给，交配习 惯等) 而呈现周期变化是合理的实际上，n i c h o l s o n 在 17 中已指出 这一点，故这里假设系统的参数是u 周期函数 1 一j 定理4 6 若卢” 二i 孑，则( 4 8 ) 至少有一个u 周期解，其中 d = e x p 一，y ( s ) d s ) u 由于证明过程与定理4 3 相同，故在此省略 【1 8 】 备注4 1 本文的数值模拟是基于m a t l a b 软件中的o d e 2 3 和d d e 2 3 5 结论与评注 本文系统地研究了( 1 1 ) 和( 1 2 ) 正周期解存在性和多解性许 多著名的数学模型都是( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的特例本文使用的主要工具是 k r a s n o s e l s k i i 锥不动点定理，该定理在处理存在性问题时很有效在文 中，我们建立了更一般更有效的充分性准则。它改进并推广了文1 ，4 ， 8 ，9 ，1 2 ，2 0 ，2 1 】中的一些相关结果值得指出的是文【1 ，8 ，9 ，1 2 ，2 0 ，2 1 也应用k r a s n o s e l s k i i 锥不动点定理研究了方程( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的一些特 例如文【1 ，2 1 】研究了下面两个纯量时滞微分方程的正周期解的存在 性 y f ( t ) = 一0 0 ) 0 ) - i - a ( t ) ， 0 一下0 ) ) ) ， ( t ) = 。( t ) 暑f ( t ) 一a ( t ) ，( 掣( t 一下( t ) ) ) ， 显然它们是( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的特例由图表1 可以看出文献【1 ，8 ，9 ，1 2 ， 2 0 ，2 1 】研究了本文所研究的一部分情况此外，文【2 1 还建立了周期 解不存在的两个准则 本文的讨论基于下面四个数的取值，即m a x ，0 ，r a i n1 0 ，m a xk ， 表1 ：( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的正周期解的个数 ，m n ，o 。g d，= 0 一，。f d m “i o 。 2 21 1 m i n ，o = 0 m i n 向e d 22 11 ， ，0 2 _ i o = 0 1 +1 2 a2 f o d 1 7 l 22 a 1 d = o ，十 ，即此集合包古两个元素0 和+ 。： 2 n p p s 代表正周期解的十敬i 3 ? 代表本文尚未讨论的情况 4 代表【8 ，9 ，2 0 】所讨论的情况，即超线性和次线性情况i 5 代表 1 2 】所讨论的情况 m i n f o o ，它们可以取0 ，o 。或者有限值显然基于这四个数的值，我们需 要讨论3 6 种情况我们在第二节中分三个部分讨论了3 6 种情况中的 1 6 种，其余的情形更为有趣但更富有挑战性，本文的方法不再适用， 也许需要寻找更有效更有力的方法才能解决 本文的数值模拟与理论研究相当吻合虽然本文并没有讨论周期 解的稳定性，但数值模拟表明所考虑的系统的周期解是稳定的，一个自 然的问题是，本文的保证周期解存在的判据是否可以保证周期解的稳定 性，我们将另文加以讨论 参考文献 1 c h e n gss ，z h a n gg ，e x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o r n o n a u t o n o m o u sf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，e j d e ，2 0 0 1 ，5 9 ： 1 8 2 c h o wsn e x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n so fa u t o n o m o u sf u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 9 7 4 ，1 5 ：3 5 0 3 7 8 3 c l a r kcw m a t h e m a t i c a lb i o e c o n o m i c s ：t h e0 p r i m a lm a n a g e m e n to fr e n e w a b l er e s o u r c e s ，2 n de d ，w i l e y ，n e wy o r k ，1 9 9 0 4 f a nm ，w a n gk o p t i m a lh a r v e s t i n gp o l i c yf o rs i n 舀ep o p u l a t i o n w i t hp e r i o d i cc o e f f i c i e n t s ，m a t h b i o s c i