（运筹学与控制论专业论文）三维模糊集.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 本文引入了一种特殊的l 一模糊集：三维模糊集，它是z a d e h 模糊集、区间值模糊集和 直觉模糊集的推广本文研究了三维模糊集的基础理论，如三维模糊集的截集、分解定理、 表现定理和扩展原理；建立了三维模糊集的范畴；研究了模糊点与三维模糊集的邻属关系； 讨论了基于三维模糊集的模糊决策问题具体研究工作如下： 1 第二章研究了三维模糊集的基础理论首先，给出三维模糊集的四类( 共8 种) 截集的 定义我们将三维模糊集的截集定义为垂值模糊集，指出如此定义的截集与z a d e h 模 糊集的截集有完全一样的性质其次，基于三维模糊集的截集和垂值集合套的概念， 我们建立了三维模糊集的8 种分解定理和8 种表现定理，从而建立了三维模糊集与奎 值模糊集的联系最后，研究了三维模糊集的范畴我们首先建立了垂值模糊集的范 畴q f u z 、4 - 值反序集合套的范畴q n s 和三维模糊集的范畴t f u z ，然后证明了范 畴q f u z 和范畴t f u z 为弱t o p o s ，范畴q n s 为t o p o s ，从而说明了三维模糊集的范 畴与z a d e h 模糊集的范畴有同样的t o p o s 性质 2 第三章建立了垂值模糊集与z a d e h 模糊集的联系首先，给出了z a d e h 模糊集的三 维向量水平截集的概念我们将z a d e h 模糊集的三维向量水平截集定义成垂值模糊 集，指出这种截集与z a d e h 模糊集的入一截集有完全一样的性质其次，建立了z a d e h 模糊集的基于三维向量水平截集的8 种分解定理和8 种表现定理 3 第四章在引入了三维模糊关系概念的基础上，首先利用三维模糊集的表现定理刻画了 三维模糊关系的合成、内合成、投影和内投影；其次建立了三维模糊集的极大扩展原 理、极小扩展原理、极大多元扩展原理、极小多元扩展原理和广义扩展原理；最后给 出了三维模糊集的两种模糊线性变换的定义，建立了三维模糊集与三维模糊关系的两 种合成方法 4 第五章研究了三维凸模糊子集和基于三维模糊集的决策问题首先，给出了模糊点与 三维模糊集的邻属关系的定义，在此基础上给出了( q ，p ) 一三维凸模糊子集的定义， 指出在这1 6 种( q ，z ) - 三维凸模糊子集中，有意义的是( ，) 一三维凸模糊子集、 ( ，v q ) - 三维凸模糊子集和( 毛，琶v 虿) 一三维凸模糊子集在这些讨论的基础上， 给出了具有边界值的三维凸模糊子集的定义，并用模糊点与三维模糊集的邻属关系刻 画了具有边界值的三维凸模糊子集其次，建立了一种基于三维模糊集的t o p s i s 决 策方法最后，通过引入基于三维向量的截函数的概念，给出了两个三维向量q 与p 比较可能度p ( a p ) 的定义，并具体给出了两个三维向量比较可能度p ( q 卢) 在2 0 种情况下的具体表达式在此基础上建立了基于三维向量的一种模糊决策方法 三维模糊集 关键词：模糊集；三维模糊集；截集；范畴；三维凸模糊集 大连理工大学博士学位论文 t h et h r e e - d i m e n s i o n a lf u z z ys e t s a b s t r a c t ah e wt y p eo fl f u z z ys e tc a l l e d3 - d i m e n s i o n a lf u z z ys e ti si n t r o d u c e di nt h i sp a p e r i te x t e n d sz a d e hf u z z ys e t s i n t e r v a l v a l u e df u z z ys e t sa n di n t u i t i o n i s t i cf u z z ys e t s w e c o n s i d e rt h e3 - d i m e n s i o n a lf u z z ys e t sw i t ht h e i rb a s i c a lt h e o r i e sw h i c hi n c l u d ec o n c e p t so f c u ts e t s ，d e c o m p o s i t i o nt h e o r e m s ，r e p r e s e n t a t i o nt h e o r e m sa n de x t e n s i o np r i n c i p l e s w e c o n s t r u c tc a t e g o r i e so f3 - d i m e n s i o n a lf u z z ys e t s ，p r e s e n tam e m b e r s h i p - r e l a t i o nb e t w e e na f u z z yp o i n ta n d a3 - d i m e n s i o n a lf u z z ys e t s ，a n ds t u d yd e c i s i o nm a k i n gp r o b l e mb a s e do nt h e 孓d i m e n s i o n a lf u z z ys e t s m o r es p e c i a l l yw ep r e s e n tt h er e s u l t sa sf o l l o w s 1 i ns e c t i o n2 ，w ec o n s i d e rt h e3 d i m e n s i o n a lf u z z ys e t sw i t ht h e i rb a s i c a lt h e o r i e s f i r s t ， w eg i v ed e f i n i t i o n so f4t y p e so fc u ts e t sw h i c ha r e4 - v a l u e df u z z ys e t s t h ec u ts e t s d e f i n e di nt h i sw a yh a v et h es a m ep r o p e r t i e sa st h o s eo fz a d e hf u z z ys e t s 。s e c o n d ，w e d e v e l o p8d e c o m p o s i t i o nt h e o r e m sa n d8r e p r e s e n t a t i o nt h e o r e m s ，b a s e do nt h ec u ts e t s o f3 - d i m e n s i o n a lf u z z ys e t sa n d4 - v a l u e dn e s t e ds e t s t h e r e f o r ew ee s t a b l i s hr e l a t i o n s b e t w e e n3 - d i m e n s i o n a lf u z z ys e t sa n d4 - v a l u e df u z z ys e t s l a s t ，w ec o n s t r u c tc a t e g o r y q p u zo f4 - v a l u e df u z z ys e t s c a t e g o r yt f u z o f3 - d i m e n s i o n a lf u z z ys e t sa n dc a t e g o r y q n s o f4 - v a l u e dn e s t e ds e t sr e s p e c t i v e l y w ep r o v et h a tc a t e g o r i e sq f u za n dt f u z a r ew e a kt o p o s e sw h i l eq n si sat o p o s t h e r e f o r ew ec o n c l u d et h a tt h ec a t e g o r yo f 3 - d i m e n s i o n a lf u z z ys e t sh a st h es a m et o p o sp r o p e r t i e sa 8t h a to fz a d e hf u z z ys e t s 2 i ns e c t i o n3 ，w ec o n s i d e rt h er e l a t i o n sb e t w e e n4 - v a l u e df u z z ys e t sa n dz a d e hf u z z ys e t s f i r s t w ep u tf o r w a r d3 - d i m e n s i o n a lv e c t o rl e v e lc u ts e t so fz a d e hf u z z ys e t sw h i c ha r e 4 - v a l u e df u z z ys e t s t h ec u ts e t sd e f i n e di nt h i sw a yh a v et h es a m ep r o p e r t i e sa sa c u ts e t so fz a d e hf u z z ys e t s s e c o n d ，w ed e v e l o p8d e c o m p o s i t i o nt h e o r e m sa n d8 r e p r e s e n t a t i o nt h e o r e m sb a s e do nt h e3 d i m e n s i o n a lv e c t o rl e v e lc u ts e t s t h e r e f o r ew e e s t a b l i s hr e l a t i o n sb e t w e e nz a d e hf u z z ys e t sa n d4 - v a l u e df u z z ys e t s 3 i ns e c t i o n4 ，w ef i r s ti n t r o d u c et h e3 d i m e n s i o n a lf u z z yr e l a t i o n s ，a n dd e s c r i b et h e i r c o m p o s i t i o n ，i n n e r - c o m p o s i t i o n ，p r o j e c t i o n ，a n di n n e r p r o j e c t i o nb yt h er e p r e s e n t a t i o n t h e o r e m s w 色t h e nd e v e l o pt h ee x t e n s i o np r i n c i p l e so ft h e3 一d i m e n s i o n a lf u z z ys e t s w h i c hi n c l u d et h em a x i m u me x t e n s i o np r i n c i p l e ，t h em i n i m u me x t e n s i o np r i n c i p l e ， t h em a x i m u mm u l t i p l ee x t e n s i o np r i n c i p l e ，t h em i n i m u mm u l t i p l ee x t e n s i o np r i n c i p l e a n dg e n e r a l i z e de x t e n s i o np r i n c i p l e l a s tw ep u tf o r w a r dt w ok i n d so ff u z z yl i n e a r i i i 三维模糊集 t r a n s f o r m a t i o no f3 - d i m e n s i o n a lf u z z ys e t s ，a n dp r e s e n tt w oc o m p o s i t i o nm e t h o d so fa 3 - d i m e n s i o n a lf u z z yr e l a t i o na n da3 - d i m e n s i o n a lf u z z ys e t 4 i ns e c t i o n5 w es t u d yc o n v e x3 一d i m e n s i o n a lf u z z ys e t sa n df u z z yd e c i s i o nm a k i n g p r o b l e mb a s e do n3 一d i m e n s i o n a lf u z z ys e t s f i r s t ，w eg i v ed e f i n i t i o no fm e m b e r s h i p - r e l a t i o nb e t w e e naf u z z yp o i n ta n da3 - d i m e n s i o n a lf u z z ys e t ，a n dp r e s e n td e f i n i t i o no f ( q ，p ) 一c o n v e x3 - d i m e n s i o n a lf u z z ys e t s w es h o wt h a t ，i n1 6k i n d so f ( q ，厣) 一c o n v e x3 一 d i m e n s i o n a lf u z z ys e t s ，t h es i g n i f i c a n ta r e ( ，) 一，( ，v q ) 一a n d ( ，v 虿) 一c o n v e x 3 - d i m e n s i o n a lf u z z ys e t s f u r t h e r m o r e ，w eg i v ed e f i n i t i o n so fc o n v e x3 - d i m e n s i o n a l f u z z ys e t sw i t ht h r e s h o l d sa n d d e s c r i b et h e mu s i n gt h em e m b e r s h i p - r e l a t i o nb e t w e e na f u z z yp o i n ta n da3 - d i m e n s i o n a lf u z z ys e t s e c o n d ，w ec o n s t r u c ta t o p o si sm e t h o do n f u z z yd e c i s i o nm a k i n gp r o b l e mb a s e do n3 - d i m e n s i o n a lf u z z ys e t s l a s t ，b yi n t r o d u c i n g c u tf u n c t i o n sb a s e do n3 一d i m e n s i o n a lv e c t o r s ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no fc o m p a r i s i o np o s - s i b i l i t yd e g r e et h a tc o m p a r e so n e3 一d i m e n s i o n a lv e c t o rw i t ha n o t h e r a n di t se x p r e s s i o n s f o r2 0c a s e s r e l a t i n gt ot h e s e ，w ed e v e l o paf u z z yd e c i s i o nm a k i n gm e t h o db a s e do n 3 一d i m e n s i o n a lv e c t o r s k e yw o r d s ：f u z z ys e t s ；t h r e e d i m e n s i o n a lf u z z ys e t s ；c u ts e t s ；c a t e g o r y ；c o n - v e xt h r e e - d i m e n s i o n a lf u z z ys e t s i v 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学或者其他 单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： 日期：塑糊， 大连理工大学博士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使 用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和 电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编学位论文 作者签名： 指导教师签名匹三圣莹! 尹击9 f 丛牲月牛日 1 2 7 大连理工大学博士学位论文 1 绪论 本章介绍了与本论文有关的模糊集与系统理论的研究现状，本文的研究 动机和论文结构及主要研究成果，并介绍本文所需要的预备知识 1 1 有关问题的研究现状和本文的研究动机 z a d e h 于1 9 6 5 年引入了模糊集的概念【1 1 从此以后，形成了以模糊信息处理和模糊系 统理论为中心的研究课题在理论上，( 1 ) 形成了以重域【翻、远域和序同态【3 l 及模糊化拓扑 【4 “】等为研究中，l - 的模糊拓扑学；( 2 ) 形成了以隶属函数、点一集邻属关系和用截集方法为 研究工具的模糊代数学【卜9 】；( 3 ) 形成了以模糊测度和模糊积分为基础的模糊分析学1 1 0 一1 2 】； ( 4 ) 形成了基于多值蕴涵和近似推理的非经典逻辑理论 1 3 - 1 5 ；( 5 ) 形成了探讨模糊集理论基 础的范畴论和t o p o s 理论1 1 6 - 1 8 等在应用方面，( 1 ) 形成了以不确定理论为基础的不确定 规划理论和方法 1 9 - - 2 0 ；( 2 ) 形成了基于模糊集和模糊关系的模糊规划和模糊决策理论与方 法 2 1 - - 2 2 ；( 3 ) 形成了以c r i 方法和三i 方法等为基础的近似推理理论 2 3 - - 2 6 ；( 4 ) 形成了在 工业和自动化中广泛应用的模糊控制理论与方法 2 7 - 2 9 ，( 5 ) 形成了以词计算模型、粗糙集模 型和商空间理论为基础的粒计算理论和方法 3 0 - 3 2 1 ；( 6 ) 形成了不确定性支持向量机理论和 方法，及公理模糊集理论和方法一酬；( 7 ) 形成了研究模糊性与随机性两者之间相互关系 的理论与方法，如模糊集与随机集落影理论【3 5 】、模糊系统与随机系统的统一理论 3 6 - 3 7 】和 模糊随机过程理论 3 8 1 ；( 8 ) 形成了以模糊水文学为基础的工程模糊集理论及方法 3 9 - 4 0 】总 之，模糊集与系统理论在各领域都得到了快速的发展，取得了令人瞩目的研究成果。 在模糊集与模糊系统理论的研究中，截集是一个非常重要的概念，而基于截集的分解 定理和表现定理是模糊集理论中最重要的两个定理，因为它们是联系经典集合与模糊集合的 桥梁目前，截集在模糊拓扑【2 3 l 、模糊测度与模糊积分【4 1 _ 4 副、模糊代数【8 l 、模糊优化与 决策f 1 9 矧、模糊推理阻一4 5 1 和模糊控制“7 i 、以及聚类分析e 4 8 - 4 9 】等领域有广泛应用 随着模糊集与模糊系统理论研究的不断深入，人们在处理复杂信息时，常常面对模糊性 更为复杂和合理的刻画，为此出现了l 一模糊集的概念l 一模糊集最初是由g o g u e n 引入 的f 5 0 】，后来又出现了一些典型的厶一模糊集，如区间值模糊集1 5 1 】、直觉模糊集【5 2 】、区间值 直觉模糊集【5 3 j 、v a g u e 集【5 4 l 、型2 一模糊集【5 5 j 等很多学者研究了基于这些典型l 一模 糊集的模糊推理、模糊聚类、模糊控制、模糊优化与决策和模糊数学理论等如( 1 ) 区间值 模糊推理1 5 6 - s s 和区间值非线性规划【5 9 j ； ( 2 ) 直觉模糊聚类【6 0 】和基于直觉模糊集的模糊 模式识别 6 1 - 6 3 1 ；( 3 ) 基于型2 模糊集的模糊推理和模糊控制 6 4 - 6 9 1 关于这些典型的l 一 模糊集的关系，文献 7 0 】证明了；v a g u e 集就是直觉模糊集；文献 7 1 】证明了：直觉模糊集 与区间值模糊集是等价的；文献【7 2 讨论了区间值模糊集、直觉模糊集和型2 模糊集之间 1 三维模糊集 的关系在这些典型l 一模糊集的数学理论中，有直觉模糊拓扑 7 3 - 7 4 】和直觉模糊代数【7 5 】 等这说明一些特殊的l 一模糊集在理论上和应用上都有它的理论价值和应用背景 在l 一模糊集的基础理论研究中，值得指出的是三一模糊集的截集、分解淀理、表现 定理和l 一模糊集的范畴理论罗承忠教授最初给出了己一模糊集的截集的概念，并建立 了l 一模糊集的分解定理和表现定理史福贵教授给出了基于完全分配格的l 一模糊集 的截集的定义，并建立了与此类截集相对应的分解定理和表现定理史福贵等还利用此类截 集研究了l 一模糊代数等问题，建立了一种从普通集到l 一模糊集的扩充方法【7 7 1 关于区 间值模糊集的截集、分解定理和表现定理，曾文艺教授等作了具体的研究 r 9 - 8 0 关于如何 定义区间值模糊集的截集，袁学海教授等作了深入的分析研究首先，文献 8 1 在仔细分析 模糊点与模糊集的邻属关系的基础上，给出了模糊集的四种截集的定义，并指出这四种截集 都有类似的性质，基于每类截集可建立两种分解定理和两种表现定理，从而建立了八种分解 定理和八种表现定理，并对每种截集的性质给出了公理刻画文献【8 2 】分析了现存的区间 值模糊集和直觉模糊集截集的不足，打破了截集”必须是经典集合的限制，指出区间值模 糊集和直觉模糊集的截集应该是三值集合；给出了区间值模糊集和直觉模糊集新的截集的 定义，建立了区间值模糊集和直觉模糊集的分解定理和表现定理，从而在三值集合与区间值 模糊集之间建立了联系文献 8 3 】进一步给出了区间值直觉模糊集的截集的定义文献 8 4 】 给出了z a d e h 模糊集的区间值水平截集的定义，为z a d e h 模糊集建立了基于区间值水平截 集的分解定理和表现定理，从而在三值集合与z a d e h 模糊集之间建立了联系这些研究为 区间值模糊集等一些典型的l 一模糊集建立了理论基础 众所周知，z a d e h 模糊集是一个函数a ：x 一 0 ，1 ，这里a ( x ) 0 ，l 】表示z 属于 模糊集a 的程度区间值模糊集是一个映射a ：x _ i = o 一，o + 】l0 a 一a + 1 ， 这里a ( x ) = a 一( z ) ，a + ) 】，其中a 一( z ) 表示z 至少以a 一( z ) 的程度属于a ，a + ( z ) 表示 z 至多以a + ( z ) 的程度属于a 一个直觉模糊集为一个映射a ：x l = ( o ，6 ) la ，b 0 ，1 1 ，a + b 1 ) ，这里a ( x ) = ( p ( z ) ，( z ) ) ，其中肛a ( z ) 表示z 属于4 的程度，u a ( x ) 表 示z 不属于a 的程度由于z a d e h 模糊集是用【o ，1 】中的一个数来刻画x 属于a 的程度， 故z a d e h 模糊集可称为一维模糊集区间值模糊集和直觉模糊集是用 o ，1 】中的两个数来刻 画z 属于a 的程度，故区间值模糊集和直觉模糊集可称为二维模糊集在实际应用中，人 们为了刻画一个概念，也常常采用三值”的形式，比如，刻画一个元素x “差”的程度可 表示为“( 很差，差，较差) 的程度；刻画一件事好的程度可表示为“( 很好，好，较好) ”的 程度；描述一个人年轻可表示为“( 很年轻，年轻，较年轻) ”的程度这样，可用【o ，1 中的 三个数( a 。( z ) ，a 2 ( z ) ，a 3 ( z ) ) 来刻画x 符合这个概念的程度其中，a ，( z ) 表示x 符合这个 概念的较低的程度，a 3 ( x ) 表示z 符合这个概念的较高的程度，a 2 ( z ) 表示x 符合这个概 念的适中的程度若令1 3 = ( a 1 ，a 2 ，a 3 ) 10 a 1 a 2 a 3 1 ) ，则有映射a ：x _ 厶于 是便出现了一种新的l 模糊集，称之为三维模糊集因此，便出现了基于三维模糊集的理 论与方法的研究课题本文研究三维模糊集的基础理论，主要针对以下几个问题作系统的研 2 大连理工大学博士学位论文 究：( 一) 三维模糊集的截集、分解定理和表现定理( 二) 从范畴论的角度来研究三维模糊 集( 三) z a d e h 模糊集的厶水平截集、分解定理和表现定理( 四) 三维模糊关系和三维模 糊集的扩展原理( 五) 建立模糊点与三维模糊集的邻属关系，研究三维凸模糊集及基于三 维模糊集的模糊决策问题 1 2 论文结构与主要研究成果 本文首先引入三维模糊集的概念，这是本文首次引入的一种新的己一模糊集其次，研 究了三维模糊集的基础理论，如三维模糊集的截集、分解定理、表现定理和扩展原理，建立 了有限值模糊集( 垂值模糊集) 与三维模糊集和z a d e h 模糊集的关系，并从范畴论的角度研 究了三维模糊集最后，建立了模糊点与三维模糊集的邻属关系，研究了三维凸模糊集及基 于三维模糊集的模糊决策方法具体研究内容如下： 在第二章作了下列研究工作：( 1 ) 引入了三维模糊集、左区间值直觉模糊集和右区间值 直觉模糊集的概念；证明了这三种l 一模糊集是f 格同构的；说明了三维模糊集与直觉模 糊集、区间值模糊集和z a d e h 模糊集的关系( 2 ) 引入了三维模糊集入一截集的定义对三 维模糊集a 和a 【0 ，1 】，我们将a 的入一截集定义成4 值模糊集，共给出四类( 共8 种) 截集的定义指出这种定义不仅是文献 8 1 建立的z a d e h 模糊集的截集和文献f 8 2 】建立的 直觉模糊集和区间值模糊集概念的推广，而且三维模糊集与z a c l e h 模糊集的截集有完全一 样的性质( 3 ) 通过引入a 【0 ，1 】与垂值模糊集的8 种运算( 即定义2 6 ) ，我们建立了三 维模糊集的八种分解定理；通过引入四值集合套的概念，建立了三维模糊集的8 种表现定 理；建立了如何从四值模糊集扩充到三维模糊集的方法这些研究建立了四值模糊集与三维 模糊集的联系( 4 ) 从范畴论的角度研究了三维模糊集，正像文献 1 6 1 8 】指出的那样，范 畴论和t o p o s 理论与模糊集有密切的联系文献 8 5 】也研究了一般l 一模糊集的范畴本文 建立了四值模糊集的范畴q f u z 、三维模糊集的范畴t f u z 和四值集合套的范畴q n s 证 明了范畴q f u z 和t f u z 为一个弱t o p o s ，q n s 为一个t o p o s 我们知道经典集合是一个二 值( 模糊) 集，经典集合的范畴s e t 为一个t o p o s ，而模糊集的范畴f u z 不是t o p o s ，但它是 一个弱t o p o s 弱t o p o s 理论是由文献 1 8 】建立的，是比卡氏积封闭范畴强比t o p o s 弱的一 种范畴理论文献( 8 6 证明了( 二值) 集合套的范畴s e b 为一个t o p o s 因此本文的结果表 明：三维模糊集的范畴保持了z a d e h 模糊集所有结论，这说明三维模糊集有较好的数学基 础 在第三章我们引入了z a d e h 模糊集的三维向量水平截集的概念我们用三维向量q = ( a 1 ，a 2 ，a 3 ) ( 0 a 1 a 2 a 3 1 ) 去截z a d e h 模糊集，从而将z a d e h 模糊集的截集定义为 四值模糊集我们共给出模糊集的四类( 共8 种) 三维向量水平截集的定义文献【8 4 】给出 了z a d e h 模糊集的区间值水平截集的定义，建立了z a d e h 模糊集与三值( 模糊) 集合的联 系本文建立的z a d e h 模糊集三维向量水平截集的概念恰好推广了文献【8 4 】的结果我们 3 三维模糊集 建立了z a d e h 模糊集的基于三维向量水平截集的8 种分解定理和表现定理，从而建立了四 值( 模糊) 集合与z a d e h 模糊集的联系 在第四章中，我们首先引入了三维模糊关系的概念，引入了三维模糊关系的合成、内合 成、截影、投影和内投影等概念，并对模糊关系的合成与内合成给出了几何解释其次，我 们建立了三维模糊集的极大扩展原理、极小扩展原理、极大多元扩展原理、极小多元扩展原 理和三维模糊集的广义扩展原理，并利用表现定理分别对它们进行了刻画最后，给出了三 维模糊集的( v a ) 模糊线性变换和( a v 。) 模糊线性变换，建立了三维模糊集与三维模 糊关系的两种合成方法 在第五章，研究了模糊点与模糊集的邻属关系及模糊决策问题关于模糊点x a 与z a d e h 模糊集的邻属关系，文献 8 7 】和文献 8 8 给出了具体刻画，文献【8 8 和文献 8 9 】利用模糊 点与z a d e h 模糊集的邻属关系研究了( q ，p ) 一模糊子群和( p ，西) 一模糊子群文献 9 0 在文 献f 8 8 ，8 9 1 的基础上给出了具有边界值的模糊子群的概念文献 9 1 9 3 用文献 8 8 9 0 的方 法研究了凸模糊子集、凸模糊锥和模糊映射文献【8 8 9 0 】的方法被广泛应用到各种模糊代 数结构的研究中 9 4 - 9 9 】因此，利用模糊点与模糊集的邻属关系刻画一些具有结构的模糊子 集受到国内外文献的广泛关注本文首先引入( 一维) 模糊点z a 与三维模糊集a 的邻属关 系，分别给出z a “属于”三维模糊集4 的程度k a 州，z a “重于”a 的程度k a q a ，x a “属 于且重于”a 的程度囟a a q a 】和z a “属于或重于 a 的程度p a v q a 的定义其次， 利用多值l u k a s i e w i c z 蕴涵，针对o t ，p ，q ，v q ，八g ) 给出了( o t ，矽) 一三维凸模糊集 的定义，证明了在1 6 种( q ，p ) 一三维凸模糊集中，有意义的是( ，e ) - 三维凸模糊子集、 ( ，v q ) 一三维凸模糊子集和哐，毛v 可) 一三维凸模糊子集并将之推广为( 入，p 卜三维凸 模糊子集我们利用模糊点与三维模糊集的邻属关系刻画了( a ，川一三维凸模糊子集，证明 了4 为( 入，川一三维凸模糊子集的充要条件是v t ( 入，肛】，a 的截集a 为四值凸( 模糊) 子 集，成功的将模糊点与一维模糊集的邻属关系推广到了三维模糊集上，建立了( 一维) 模糊 点x a 与三维模糊集的邻属关系最后研究了基于三维模糊集的模糊决策问题，主要研究了 基于三维模糊集的t o p s i s 方法和基于截函数的模糊决策方法关于t o p s i s 方法，最初 是由文献【1 0 0 】引入的，后来被人们应用到群决策【1 0 1 】、多目标非线性规划【1 0 2 】和基于区间 数据和区间值模糊集的模糊决策中 1 0 3 - 1 0 6 1 本文建立了基于三维模糊集的t o p s i s 方法 为了研究基于三维向量的决策问题，我们引入了基于三维向量的截函数的概念，讨论了截函 数的性质这些截函数与三维模糊集的截集相对应通过使用截函数的概念，我t f 弓l 入了两 个三维向量o t p 的可能度的概念，并具体给出了两个三维向量q p 的可能度表达式( 总 共2 0 种情况) ，然后给出了基于三维向量的决策方法 1 3 预备知识 定义1 1 ( 1 l 设x 为一个集合，称映射a ：x _ o ，1 】为x 的一个模糊子集，称a ( x ) 为z 属于a 的隶属度用厂( x ) 表示x 的所有模糊子集的集合 4 大连理工大学博士学位论文 定义1 2 【3 l 称l 为一个f 格，如果 ( 1 ) l 为一个完全分配格； ( 2 ) l 中有一个逆合对应，即存在一个映射7 ：l _ l 满足 ( a ) n 6 = 争0 ，h i ；( b ) ( q 7 ) 7 = o 定义1 3 【5 1 】设x 为一个集合，令2 = 陋一，o + 】l0 o 一o + 1 ) ，称映射 a ：x _ 屯，zha ( x ) m - a 一( z ) ，a + ( z ) 】 为x 的一个区问值模糊集，所有区间值模糊集的类记作碜 定义1 4 5 2 n i 设x 为一个集合，令l = 【( n ，扫) lo ，6 【0 ，1 1 ，o + b 1 ) ，称映射 a ：x l z h ( u a ( x ) ，( z ) ) 为x 的一个直觉模糊集，所有直觉模糊集记作l x 在厂( x ) 中，有以下序关系和运算： a b 铮a ( z ) b ( z ) ，比x ； a n 召：( a i 1 b ) 0 ) r a m r a i n a ( = ) ，j e 7 ( z ) ) 竺a ( z ) ab ( z ) ，比x ； a u b ：( a u b ) ( z ) = m a x a ( x ) ，b ( z ) ) 竺a ( x ) vb ( z ) ，v z x ； a c ：a c ( z ) = 1 一a ( ) ，v z x ； na ：( na t ) ( z ) = i 。n ，fa t ( z ) 竺八a t 0 ) ，v z x ； t t t e 了 。1 t t ua ：( ua ) ( z ) = s u pa t ( z ) 竺va t ) ，比x ； t tt t r e 7 t t 枉i 銎奇规定t a b 铮a 一( z ) b 一( z ) ，a + ( z ) b + ( o ) ，v z x ； a n b ：( a n b ) ( z ) = 【a 一( z ) 八b 一( z ) ，a + ( z ) ab + ( z ) 】，坛x ； 月uj e 7 ：( aub ) ( z ) = a 一( 雩) vb 一( z ) ，a + ) vb + ( z ) 】，比x ； a c ：a 。( z ) = ( 1 一a + ( z ) ，1 一a 一( z ) ，v z x ； na t ：( na t ) ( z ) = 【八a f ( z ) ，八a ；- ( z ) 】，妇x ； ua t ：( ua t ) ( z ) = fva f ( z ) ，va 产( z ) ，妇x ； t e tt e tt e 2 1t 在l x 中规定： a b 铮p a ( z ) 肛b ( z ) ，u a ( z ) 妇( z ) ，v z x ； an b ：( anb ) 0 ) = ( a ( z ) a 肛b ( z ) ，u a ( z ) v 冶( z ) ) ，比x ； a u b ：( a u b ) ( z ) = ( p a ( z ) vu b ( x ) ，u a ( z ) 八日( z ) ) ，v z x ； a c ：a 。( z ) = ( ( z ) ，p a ( z ) ) ，v z y ； na t ：( na t ) ( z ) = ( 八p a t ( z ) ，v 。( z ) ) ，比x ； 5 三维模糊集 ua t ：( ua t ) ( x ) = ( v 肛4 ：( z ) ，八v a ：( z ) ) ，比x ； 则尸( x ) ，p ，己x 为f 格f 3 ，7 1 ，1 0 9 1 定义1 5 1 5 0 l 设己为一格，称映射a ：x _ 三为一个l 一模糊集。 定义1 6 1 1 0 1 】设x ，y 为集合，称映射兄：x y _ f o ，1 为x 到y 的一个模糊关系 定义1 7 1 8 7 , 8 8 l 设a ：x 一【o ，1 为一映射，若存在。x ，入( 0 ，1 1 使 a c 可，= 三蓁三： 则称a 为一个模糊点，记作z a 定义1 8 1 8 7 , 8 9 】设z a 为一个模糊点，a 厂( x ) ， ( 1 ) 若a ( x ) a ，则称x a 属于4 ，记作x a 4 ； ( 2 ) 若a ( x ) + 入 1 ，则称z a 重于a ，记作x a q a ； ( 3 ) 若a ( x ) a 且a ( x ) + 入 1 ，则称纵属于且重于a ，记作z a a q a ； ( 4 ) 若a ( x ) 入或a ( x ) + a 1 ，则称z 入属于或重于a ，记作z a v q a 对于o te ，q ，a q ，v 口) ，x a - a a 表示x ) , a a 不成立，则有 z a 硒a 兮z a 毛v 虿a ；z a 面a z a 乏八虿4 定义1 9 8 x , l 0 0 1 设a 尸( x ) ，a 0 ，l 】，称 ( 1 ) a a = z x la ( x ) 入) ，a 五= z x la ( x ) 入 为4 的入一上截集和a 一强上 截集； ( 2 ) a a = z x la ( x ) a ) ，a = z x fa ( x ) 1 ) 为a 的a 一上重截集 和a 一强上重截集； ( 4 ) a = z x ja ( x ) + a 1 ) ，a 凶= z x la + a ( x ) a 1 2v a ( x ) 入 1 a ( z ) = 1 2v a ( x ) 入 1 a ( z ) a 1 一v a ( x ) p a ( z ) a 为a 的a 一下重截集和a 一强下重截集 定义1 1 1 s 1 , 1 0 9 1 设x 为集合，日： 0 ，1 】_ 2 x 为一映射若a 1 a 2 净h ( a 1 ) ) h ( a 2 ) ， 则称日为x 上一个反序集合套； 若a 1 a s ( x ) l a 入( z ) = 1 a 3 ( x ) a 23三：zx)x入az(x)13a e ( x ) ，a 玉( z ) =a 1 ( ) 入 入 则称a a 为a 的入一下截集，舡为a 的入强下截集 定义2 4 若a 刈，a 凶4 x 且 f ，1a + a 1 ( z ) 1 卧知，= 懒糕：1 1 毫瓮a = l0入+ a 3 ( z ) 入 a 1 ( z ) 入 a 2 ( x ) a 2 ( x ) 入 a a ( x ) a a 3 ( x ) 1 a 3 ( x 1 a 2 3a 2 ( x ) 入a a ( x ) 1 3a 1 ( x ) 1 a l ( x ) 1 一入 a 2 ( x ) a 2 ( x ) 1 一a a a ( x ) 入+ a a ( x ) 1 3 3 1 吖v 0 ，ii_lj(1_lil_i、 大连理工大学博士学位论文 则称a 为4 的a 一