（应用数学专业论文）带旋度算子的泛函极小问题.pdf

w i t ho p e r a t o rc u r l d e p a r t m e n t ： m a t h e m a t i c s s p e c i a l t y ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s di r e c ti o n ：p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n a d v i s o r ： n a m e ： p r o f p a nx i n g b i n c h e nj u n m a y4 t h ，2 0 1 0 s h a n g h a i 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文带旋度算子的泛函极小问题，是在华东师范大 学攻读屯博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成 果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 作者躲监 均已在文中作了明确说明并表示谢意。 日期：少l d 年皇月乙1 日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 带旋度算子的泛函极小问题系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师指导下 完成的砸左博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所有。本人同 意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国家 图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师 范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论 文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者 其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部 或“涉密学位论文宰， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 n 刀2 不保密，适用上述授权。 导师签名本人签名篮：丝 伽b 年 月2 - 1 日 宰“涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位 论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上 述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用 上述授权) 。 陈隽硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 羊丹平教授华东师范大学主席 刘永明教授华东师范大学 郑宇 教授华东师范大学 1 1 引言1 1 2 文献综述4 1 3 预备知识5 第二章指定切向分量的极小问题7 2 1 极小元存在性7 2 2p = 2 时极小元i e 贝j j 性1 4 第三章单位长度约束的情形2 3 参考文献2 6 致谢2 7 摘要 0 1中文摘要 本文在s o b o l e v 空间w 1 , p ( q ；r 3 ) ( 1 p 。) 框架下研究较一般的带旋度算子 的泛函 州= 上你u r l u ) d z 在以下二种边界条件下的极小元存在性问题及正则性问题： i ) u t = g ， i i ) u 1 2 = g 其中，q 是三维欧氏空间中的有界区域，嘶表示u 在区域边界上的切向分 量，是区域的外法向量。因此，i ) 是指定向量场的切向分量，i i ) 是指定向量 场的法向分量。由于方法类似，我们将主要讨论第一种边界条件。对满足适当 条件的函数，我们证明极小元存在，并在p 6 5 时给出所有极小元的表示。 当p = 2 时给出极小元的h 2 正则性与估计。另外，我们还要在约束条件 下考虑上述泛函的极小问题。 u l = 1 ， a e i nq 关键词：变分问题，旋度算子，区域的拓扑结构，单位长度约束 w h e r eqi sab o u n d e dd o m a i ni n p u td e n o t e st h et a n g e n t i a lc o m p o n e n to fu o nt h eb o u n d a r ya q ，a n d i st h eu n i to u t e rn o r m a lo fa q s ot h ec o n d i t i o ni ) i s p r e s c r i b i n gt h et a n g e n t i a lc o m p o n e n to ft h ev e c t o rf i e l d s ，a n di i ) i sp r e s c r i b i n gt h e n o r m a lc o m p o n e n to ft h ev e c t o rf i e l d s w es h a l lm a i n l yc o n s i d e rt h ef i r s tb o u n d a r y c o n d i t i o n ，a 8t h em e t h o d su s e da r ea p p l i c a b l ea 8w e l lt ot h ep r o b l e mu n d e rt h e s e c o n db o u n d a r yc o n d i t i o n u n d e rs o m ec o n d i t i o n so nt h ef u n c t i o n w eo b t a i nt h e e x i s t e n c eo fm i n i m i z e r s ，a n dg i v ead e s c r i p t i o no fa l lm i n i m i z e r sw h e np 6 5 i nt h e c a s ew h e r ep = 2w ee s t a b l i s ht h eh 2r e g u l a r i t ya n dt h ee s t i m a t ef o rt h em i n i m i z e r s w es h a l la l s oc o n s i d e rt h ev a r i a t i o n a lp r o b l e mw i t hap o i n t w i s ec o n s t r a i n t u ( z ) i = 1 ，a e z q k e yw o r d s ： v a r i a t i o np r o b l e m ，o p e r a t o rc u r l ，t o p o l o g ys t r u c t u r eo ft h ed o - m a i n ，u n i tl e n g t hc o n s t r a i n t i i i 象【p q 、第二类超导体在外磁场下的相变【g l i b p 、强磁性材料在外磁场作用下 的形态【b m 】等。尽管对这些数学物理问题已经有了相当多的研究工作，但是仍 有许多值得我们思考的问题。例如，对于一般形式的带旋度算子泛函 ， j u 】- f ( c u r l u ) d x ， ，n 在给定切向分量或者其他边界条件后带旋度算子的变分问题是否仍有极小元存 在? 对极小元又有怎样的估计? 以及若对向量场有单位长度约束后，引入的逼近 泛函的极小元与极限泛函的极小元之间有什么样的联系? 据作者所知，这些问题 研究得不是很彻底。 本文在s o b o l e v 空间彬1 ，p ( q ；r 3 ) ( 1 p o o ) 框架下研究上述带旋度算子泛函 在以下二种边界条件下的极小元存在性问题及正则性问题： i ) u t = g ， i i1 u = g 其中，q 是三维欧氏空间中的有界区域，m 表示u 在区域边界上的切向分 量，是区域的外法向量。因此，i ) 是指定向量场的切向分量，i i ) 是指定向量场 的法向分量。对满足适当条件的函数，我们证明极小元存在。由于方法类似， 我们将主要讨论第一种边界条件。另外，我们还要在约束条件 u i = 1 ， a e i nq 1 】1 号言第1 章绪论 下考虑上述泛函的极小问题。 下面叙述本文的主要结果。对指定切向分量边界条件的变分问题及其正则性问 题我们有以下几个主要结论。定义如下集合： a ( g ) = u w 1 p ( q ；r 3 ) ：d i v u = 0i nq ，i i t = go i lo n ， c ( g ) = u w 1 , p ( q ；r 3 ) ：u t = g o i la q ) ， h 2 = w w l , p ( f l ；r 3 ) ：c u r l w = 0i nq ，d i v w = 0i nq ，w t = 0 o i lo n ， 士= u w 1 , p ( q ；r 3 ) ： u w d x = 0 ，v w 皿2 ) ， - ，q b ( g ) = a ( g ) n 皿手 假设，满足下述条件： ( r ) ，是r 3 上的连续凸函数； ( 毋) 存在正常数c 1 ，：2 和c ，使得 c l l v l p e a f ( v ) c ( i v8 p + 1 ) ，v v r 3 考虑如下变分问题： c ( g ) - u ! 堍) 圳u 】 令 口( g ) = u ! 堍) j 【u 】 定理1 1 设q 是酞3 中的有界区域且0 f l c 4 ，设1 p ，g w 1 1 p ，p ( a q ；r 3 ) ， ，满足条件( r ) 、( 足) ，则c ( g ) 可达到，且c ( g ) = 口( g ) 。 又若p 6 5 ，则所有c ( g 、l 中的极小元都司分解为 u = 奇+ v 妒+ w ， 其中哥b ( g ) 是泛函j 的极小元，w h 2 是任意句量函数，妒w 2 , p ( q ；r ) r l 咏p ( q ；r ) 为任意函魏 指定切向分量边界条件的变分问题对应的e u l e r - l a g r a n g e 方程如下： p 蹦c u r l 篓二 1 ， 我们考察弱解的片2 正则性。设f 满足如下条件： 2 其中c = c ( a ，a ，a ) 对于具有单位长度向量场约束的变分问题，我们引入逼近泛函： 帅】_ 上厂( c u r l u ) + 刍( 1 _ i u l 2 ) 2 虹 讨论逼近泛函的极小元与极限泛函的极小元之间的联系。定义集合如下： e = u w 1 , p ( q ；r 3 ) ：1 1 1 l = 1a e i nq ) ， a ( 酽；g ) = a ( g ) ne 我们有以下结论： 定理1 3 设q 是r 3 中的有界区域，a q c 4 。设1 p o o ，g w 1 1 n ，p ( a q ；r 3 ) ， ，满足条件( f 1 ) 、( 兄) 。假设a ( s 2 ；g ) 0 ，记u 。为正在a ( g ) 中的极小元，则 对任意的序列n _ 0 存在一个子序列k r 3 ，使得 u e 。j 讥1 ，p ( q ；r u w r 3 ) ，u e 。j z 咒 。；。j ， 其中程是j t u 在a ( s 2 ；g ) 中的极小元，即 垌= 训三u 描，g ) j 【u 】 l b ，卫l 本文共分为三章，第一章介绍相关背景、本文结论、文献综述及预备知识，第 二章证明了指定切向分量边界条件的变分问题的极小元存在性及给出了p = 2 时 极小元的正则性估计，第三章研究了单位长度向量场约束的极小问题。 3 1 2 文献综述第1 章绪论 1 2 文献综述 带旋度算子的变分问题一直以来备受诸多数学家的关注，对它的研究主要是在 描述液晶的相变现象【p q 、第二类超导体在外磁场下的相变 g l b p 、强磁性材 料在外磁场作用下的形态【b m 】等物理现象的过程中提出的，在这些领域数学家 们取得了相当多的成果。本文研究的是较为一般的带旋度算子的变分问题，下面 我们将简要回顾在这个领域已有的结论。 a n ac r i s t i n ab a r r o s o 和j o s em a t i a s 在文献 b m 】中给出了下面这个极小问题 解存在的充分必要条件： ；n f 上弛u 山( 圳批u + 瞄芦( f l ；r 3 ) ， 其中边界值满足c u r lu f o ( x ) = 2 5 0 ，v 岛r 3 。该文献中，的凸包，“的性质 起着关键的作用。而本文讨论的变分问题所给的边界条件及允许空问与其不同， 边界条件更一般。为了保证极小元存在，故，的要求相较来说严格。 x i n g b i np a n 和y u a n w e iq i 在文献f p q 中给出了逼近泛函 “u ) = 上_ v u l 2 + f c u r l u l 2 + 去( 1 _ i u l 2 ) 2 卜 的极小元序列u 。与极限泛函 y ( u ) = ic u r l u 2 d x 的极小元讧之间的联系。本文在第三章中讨论单位长度约束下的变分问题时，也 要考察逼近泛函极小元与极限泛函极小元之间的关系。 p e t e rw b a t e s 和x i n g b i np a n 在【b p 】中研究了含有旋度算子的方程组的弱 解的正则性，包括日2 估计： l - 入2c u r l 2a = ( 1 一2 ) a i nq la ( c u r l a ) t = 坼 o na q 本文在第二章第二节中研究的方程在要求，满足一定的条件后，对其弱解 的h 2 估计将采用【b p 】中的方法。 + 抄u 小1 p 叫抛) + i 仂( p u ) i ) ， ( 1 2 ) i = l 其中g i ，i = 1 ，m 是l ( a q ) 上的线性泛函。特别当q 的第二b e t t i 数 为0 时有 i i v u l l w 如( q ) c ( k ，p ，q ) ( i ld i vu l l w 咖( n ) + 0c u r l u l l w 咖( q ) + l l w u l l w - 一- ，。，( 舶) ) ( 1 3 ) 引理1 2 设区域q 的第一b e t t i 数为n 。o ) ，则存在仪依赖于k ，p ，q 的 常数c ，有下述估计： i i v u l l w ，p ( n ) c ( 七，p ，q ) ( i id i vu l l w i ，p ( n ) + 0 c u r lu l l w - ，p ( o ) n + 忱u l l w k + l - 1 p ，( + i b i ( u u ) i ) ， ( 1 4 ) i = 1 其中鼠，i = 1 ，礼是l 9 ( a q ) 上的线性泛函。特别当q 的第一b e t t i 数 为0 对有 i i v u l l w t ，( n ) c ( k ，p ，q ) ( 0d i v u l l w - ，p ( q ) + 0c u r l u l l w k , l o ( q ) + 眵u l l w + p ，( 舰) ) ( 1 5 ) 引理1 3 设区域q 的第二b e t t i 数为m ( m 。) ，则存在仅依赖于k ，p ，q 的 常数c 。有下述估计： v u l l w 咖( n ) c ( k ，p ，q ) ( 0d i vu l l w 如( n ) + l ic u r l u l l w 咖( n ) + 1 1 - u l l w t + - 一- ，( 鼬) + i l u l l 工一( n ) ) ( 1 6 ) 5 i 3 预备知识第1 章绪论 引理1 4 设区域q 的第一b e t t i 数为n ( 扎 ) ，则存在仅依赖于k ，p ，q 的 常数c ，有下述估计： v u l l w 咖( q ) c ( k ，p ，q ) ( | id i vu l l w 咖( q ) + 0c u r lu l w 咖( q ) 刊u l l w k + l - i p ，( 勰) + i l u l i l ( ) ) ( 1 7 ) 下述引理是熟知的。 引理1 5 设u w 1 , p ( q ；r 3 ) 满足a t = go na q ，则我们有如下分解 u = v + h ， 其中 c u r l v l 9 ( q ；r 3 ) ，d i vv = 0i nq ，v t = g o n0 1 2 ， c u r lh = 0i nq ，d i vh = d i vui nq ，h t = 0o na q = 篡 因为d i v u l p ( q ；r 3 ) ，由椭圆方程的l 9 估计得垆w 2 ，p ( f 2 ；r 3 ) ，即v 妒 1 t p ( q ；r 3 ) 。令h = v 妒，v = u h 。直接验证可知v 与h 满足引理要求。 6 第2 章指定切向分量的极小问题 2 1 极小元存在性 本节我们考虑泛函 在边界条件 喇= 上弛u r l u ) d z u t2g f 的极小兀存在性问题。 以下假设，满足条件( r ) ( 易) ： ( 日) ，是r 3 上的连续凸函数； ( 马) 存在正常数c - ，c 2 和c ，使得 c l l v i p c 2 s ( v ) c ( i v l p + 1 ) ，v v r 3 定义允许集合a ( g ) 如下： a ( g ) = u w a , p ( q ；r 3 ) ：d i v u = 0i nq ，u t = g o i la q 】， 由引理1 5 知道a ( g ) d ，考虑如下变分问题： n ( g ) _ u 臻) 引u 】 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 定理2 1 若q 是r 3 中第二b e t t i 数为0 的有界区域且a q c 4 ，假设1 p ，g w 1 _ 1 p ，p ( a q ；r 3 ) ，s 满足条件( 日) 、( 足) ，则a ( g ) 可达到。 7 2 1 极小元存在性第2 章指定切向分量的极小闷题 证明设 u n ) 是极小化序列，即u n a ( g ) ， 圳u ，l 】_ o ( g ) ，当礼_ o o 时 由条件( 2 2 ) 左边不等式知 f c l lc u r l i p q 出上，( c u r l ) 如 = j 【】 = a ( g ) + d ( 1 ) ， 故有 上l 计d z 1 c l ( c z l q i + 0 ( g ) + d ( 1 ) ) c 所以 c u r lu 。 在l 9 ( q ；酞3 ) 中有界，d i vu n = 0i nq 且( u n ) t = go na q 。 己知q 是有界区域且第二b e t t i 数为0 ，0 1 2 c 4 ，由引理1 1 中( 1 3 ) 式知 i i v u n i i l p ( a ) c ( a ，p ) ( 0c u r l u = i i l ( n ) + 0d i vu n i l l ，( n ) + i i ( u 。) t 1 1 w t 一- p ，p ( 铀) ) ( 2 4 ) = c ( a ，p ) ( i | c u r l u n i i l p ( n ) + i i ( u ) t 1 1 w 一- p ，( 鲫) ) c ( a ，p ) ( c + i l g l l w - 一- p ，( 舰) ) 断言 ) 在1 ，p ( q ；r 3 ) 中有界。 要证明此断言，只需证明 u 竹) 在l ( q ；舻) 中有界，以下采用反证法。 否则，不妨设0 怯( n ) _ o o ，设= l l n 川| i l ，( n ) ，则 i i v i l l ，( q ) = 1 ，0 v i i l p ( n ) _ 0 故 ) 在w i , p ( q ；r 3 ) 中有界，则存在一个子列v n i ，使得 、j vi n w 1 p ( q ；r 3 ) ， v 、一v v i n l p ( q ；r 9 ) r 所以 v t = 0a e o n a q 即v 在a q 上几乎处处与法向量同向或反向，这与( 2 5 ) 式矛盾，故断言成立。 所以存在一个子列 u 唧) ，使得 j 1 1 0i nw 1 ”f i t ；r 3 ) ， c u r lu n j c u r l u o i nl p ( a ；1 1 3 ) ， d i v u n ，jd i v u o i nl p ( q ；r 3 ) ， 且由s o b o l e v 嵌入定理我们有 则 _ u o i nl p ( a ；1 1 3 ) ， u o w 1 ，p ( q ；r 3 ) ， d i vu o = 0i nq c u r l u o l p ( q ；r a ) ( u 0 ) t = g o i la q 9 2 1 极小元存在性第2 章指定切向分量的极小闻题 即 所以 u o a ( g ) j u o 】a ( g ) 由厂是凸函数知泛函j 是凸泛函，故j 在w 1 ，p ( q ；r 3 ) 中弱下半连续。 因此 ，】= n ( g ) 下一步考虑区域q 的第二b e t t i 数m 大于0 的情形。记 口 2 = w w 1 ，p ( q ；r 3 ) ：c u r l w = 0 i nq ，d i v w = 0i nq ，w t = 0o n a q ) 我们需要考虑皿2 的正交补。当p 6 5 时，由s o b o l e v 嵌入定理可知 1 ，p ( q ；r 3 ) cl 3 p ( 3 一p ) ( q ；r 3 ) cl 2 ( q ；r 3 ) 因此我们可以定义2 在1 ，p ( q ；r 3 ) 中的l 2 正交补： 士= u 1 p ( q ；r 3 ) ：f u - wd x = o , v w 2 ) ， 且有 彬1 ，p ( q ；r 3 ) = 2o 皿士( 2 6 ) 但是当1 p 6 1 5 时1 ，p ( q ；r 3 ) 不能嵌入到l 2 ( q ；酞3 ) ，因而需要检查上述 分解是否存在。 引理2 1 设q 是r 3 中的有界区域，a q c 4 ，1 p c o 。则 2cw 2 ，p ( q ；r 3 ) 证明第一步：内估计。若w 2 ，则对任意单连通子区域q 7c cq ，w 为调 和函数，显然有w w 2 , p ( q 7 ；r 3 ) 。 】0 2 1 极小元存在性第2 章指定切向分量的极小问题 第二步：边界估计。因为a q c 4 ，对任意z o a q ，存在单连通的邻域和 从映到单连通开集ncr 3 的一一到上的可逆映射妒c 4 ( ) 且妒一1 c 4 ( ) ，使得妒( n 豆) 包含一个闭球百，且 z o tcn i 1a q ， 妒( 丁) ct 7 co bno n 又存在调和函数p w 2 , p ( ；r ) ，使得w = v 妒，取t 曙( 百；r ) ，记其 紧支集为k ，且有常数c 使得i , 7 1 ，i v 7 7 i ，i 7 7 i c ，7 = 1i n k 7ck ， 则( 叼q o ) t = 0 o i lo b ，由引理1 1 中的( 1 3 ) 式知 i l v 2 妒l i w x , p ( k ，) i i v 2 ( 叼垆) l l w l , p ( b ) c ( q ，p ) ( 0c u r lv ( 仰) l l w t ，( b ) + l ld i vv ( 仰) l l w - 。，( b ) + | iv ( 7 7 妒) t | l 。一- p ，( a b ) ) c ( q ，p ) ( 0 妒训w t ，( b ) 4 - i i7 7 够l | t ，p ( 口) 4 - i i v , 7 v 妒l l w t ，p ( b ) ) c ( r t ，p ) | i 妒i i y 。，p ( b ) ， 故妒w 3 , p ( k 7 ；r ) 。 用有限多个这样的区域覆盖a q 的某个邻域，则妒w 3 , p ( o f l ；r ) ，因 此w w 2 , p ( a q ；r 3 ) 。结合第一步的结论，我们得到w w 2 , p ( q ；r 3 ) ，即2c w 2 , p ( q ；辩) 。 口 事实上，若区域q 有界且a q c 4 ，则其第二b e t t i 数有限，故由引理1 3 可 以直接得到引理2 1 的结论，本文在这里给出的证明在处理一些光滑性不够好的 区域的情形时可以用到。 设1 p 6 5 。记 3 p ， 劬 q2 秭g 5 4 p - 3 则 禹啬- q ，3 2 p 一4 p 一3 1 。 由引理2 1 及s o b o l e v 嵌入定理可知， h 2cl 3 p i ( 3 2 p ( q ；r 3 ) cl 4 。( q ；p ) ， w 1 , p ( f l ；r 3 ) cl q ( q ；r 3 ) 11 2 1 极小元存在性第2 章指定切向分量的极小阿题 从而对任何u w 1 ，p ( q ；r 3 ) ，w h 2 ，- i p a 定义 ( u ，w ) 兰z u w 妇 令 士= u w 1 p ( q ；瓞3 ) ：( u ，w ) = 0 ，v w 皿2 ) ( 2 7 ) 我们将称手是皿2 在w 1 ，p ( q ；r 3 ) 中在l 2 范数意义下的正交子空间。 由上述讨论可知，对任何1 p 0 ，对任何u 丑手成立 v u l i l p ( q ) c ( a ，p ) ( 1 lc u r lu l i l p ( o ) + 0d i vu l l ，( n ) + i l u t l l w - 一- ，( 狮) ) ( 2 8 ) i i l ! n ( 反证法) 由引理1 3 知，只需证明 i l u l i l p ( n ) c ( p ，q ) ( 1 | d i vu l l w t ，p ( q ) + j ic u r lu l l w - 。p ( n ) + l i u l l w 一t p ，( a q ) ) ( 2 9 ) 耳0 - - j 。若不成立，则存在一列序列 u j c 手，f f 吩j j l ，( n ) = 1 ，但 i id i v u j l l l ，( n ) _ 0 ，i ic u r l u j l i l ，( n ) _ 0 ，i i ( u j ) t 1 1 w 1 , 1 - 1 p ( 脚) 一0 ， 则 q ) 在w 1 p ( q ；p ) 中有界，故存在子列 l l n j ) ，使得 一u o i n w 1 p ( q ；r 3 ) ， _ u o i n l 9 ( g t ；r 3 ) ， j u o i n w 1 1 p ，p ( a q ；r 3 ) ， 故l l u o l l ( ) = 1 且满足 c u r lu o = 0i nq ， d i vu o = 0i nq ， ( u o ) t2 0o na q ， 1 2 达到。 又若p26 5 。则 b ( g ) = n ( g ) ， = 且a ( g 、) 中的极小元都可分解为 u = v + w ， 其中v b ( g ) 是，的极小元，w 2 为任意句量函数 证明极小元存在性的证明与定理2 1 的证明类似。因为由引理2 2 我们知对任 意u b ( g ) 我们有 i l v l l n i i 驴( q ) c ( q ，p ) ( i ic u r l i i 矿( q ) + 0d i v i i l ，( q ) + i i ( u n ) t i i w l - x 胁p ( a n ) ) ， 且由于砖在w 1 , p ( f l ；r 3 ) 中是弱闭的，而在定理2 1 中已证明了a ( g ) 是 在w x , p ( q ；r 3 ) 中是弱闭的，因而b ( g ) 在1 ，p ( q ；r 3 ) 中是弱闭的。 若p 6 5 ，由( 2 6 ) 式知b ( g ) = a ( g ) 成立，并且所有a ( g ) 中的极小元都可以 分解为 u = v + w ， 其中v b ( g ) 是t ，的极小元，w h 2 为任意向量函数。 口 最后考虑一般情形，记 c ( g ) = u w 1 , p ( f l ；腿3 ) ：l i t = g o na q ) ， 】3 2 2p = 2 时极小元正则性 第2 章指定切向分量的极小问题 我们定义 c ( g ) = u e i n f c ( g ) 州 ) 定理2 3 若q 是r 3 中的有界区域且a q c 4 ，假设1 0 我 们定义 1 u a ( z ) = 寺【u ( z + o r e ) 一u ( z ) 】， u ，( z ) = u ( x ) + t u ( x + o r e ) 一u ( z ) 】= u ( x ) + t o r u 盯 ) 由( 2 1 1 ) 式，对任意的b c 1 ( 孬；r a ) 且b t = 0o na q ，我们有 0 = _ v f ( c u r lu ( x + 盯e ) ) 一v f ( c u r lu ( x ) ) 】c u r lb d x = l 0 1 磊d v 你眦l u ) ) d t c u r l b 如 = 盯 1 v 2 f ( c u r lu t , , , ( z ) ) d tc u r lu 叮( z ) c u r lb d z = 仃钆( z ) c u r l u 叮c u r l b d x ， ( 2 1 6 ) 其中 g ( z ) = v 2 f ( c u r lu t ，口( z ) ) d t - ，o 是一个对称矩阵。 设刁是在q 具有紧支集的光滑函数且令b = r 2 u t v 。由( 2 1 6 ) 式我们有 q ( x ) c u r lu , , c u r l ( r 2 u 盯) 出 ，n 2 ( q 盯( x ) r c u r lu o ，v 7 7 ) + ( 钆( z ) r c u r l u , , ，r c u r lu 盯) d x ，( 2 1 7 ) j f l 1 6 2 2 p = 2 时极小元正则性 第2 章指定切向分量的极小问题 故 ( 钆( x ) c u r l r u 盯，c u r lr u 口) d x = ( q 盯( z ) ( v 7 7 u 仃+ 7 7 c u r l u 矿) ，v 叩u 矿+ c u r l u 口) d x = ( q 盯( z ) v 叩u 口，v ，7 u 盯) + ( q 叮( x ) ，c u r lu 盯，7 c u r lu 盯) + ( q 盯( z ) 叼c u r lu 旷，v 叼u 盯) + ( q 口( x ) r c u r lu , ，7c u r lu 盯) d x = ( q 矿( z ) v 7 7 u a ，v 叩u 口) + ( q 口( z ) 叩c u r l u a ，7 c u r l u a ) ，q + 2 ( q 盯( z ) 7 7c u r lu 口，v 7 7 u 盯) d x = ( q 口( z ) v 7 7 u 。，v 叩u 。) d x ， ( 2 1 8 ) j n 又由( 2 1 4 ) 式我们知道q ，( z ) 是一个正定矩阵且满足 * a i 1 2 ( q ，( z ) 专，f ) a i 1 2 ， v z q ，v r a ( 2 1 9 ) 所以 上( 钆( z ) c u r l7 7 u 盯，c u r l 叩u 叮) d z a z ic u r l ( 叼) 1 2 d z ， 上( q ( z ) v 叩u 口，v 叩u a ) 妇a i r i l y 叩u 叮 ，n 由( 2 1 8 ) ，( 2 2 0 ) 和( 2 2 1 ) 式我们有 所以 ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) c u r l ( 叩) 嵫( n ；r s ) c ( 入，a ) i lv n 嵫( q ；r 3 ) ， ( 2 2 2 ) 叼u 盯1 1 日，( n ；_ 【3 ) c ( q ) ( 1c u r l ( o u 盯) i l l 。( n ；r 3 ) + 0d i v ( 叩u 盯) | i l ：( n ；r a ) ) c ( n ，入，人) ( 0 v 叩u a i l l 2 ( n ；r 3 ) + l i v 叩u a i l l ：( n ；r a ) ) 因此，对任意的q 7c cq ，以及充分小的盯 0 我们有 u 口恼- ( q ；r 3 ) c ( q ，q ，a ，a ) l l u 盯i l l ：( q ；r s ) c ( q ，q 7 ，入，a ) i w u l i l z ( n ；r 3 ) ， ( 2 2 3 ) 1 7 2 2p = 2 时极小元正则性第2 章指定切向分量的极小问题 故a j u h 1 ( q ；r 3 ) 且 u 矿_ 岛u i nh 1 ( q ；r 3 ) a s 盯_ 0 以上结论对j = 1 ，2 ，3 都成立，所以u h 2 ( q 7 ；r 3 ) 且 u 1 1 ：( n ，r 。) c ( q ，q 7 ，入，h ) l l u l l ，( q ；r 3 ) ( 2 2 4 ) 第二步：切向方向边界估计。选取h h 2 ( q ；r s ) 满足方程 b v h = 0 i n m 仁2 5 ， 设b = u h ，则b t = 0o i la q 。由( 2 1 0 ) 式，对任意的b c 1 ( 西；r 3 ) 且b t = z v ，( c u r l b + c u r l h ) c u r l b 面= 。( 2 2 6 ) 因为a q c 4 ，对任意x o a q ，存在邻域b = b ( x o ) 和从b 映到开 集dcr 3 的一一到上的可逆映射砂c 4 ( b ) ，使得 矽( bnq ) cr ；，妒( bna q ) ca r 辜，妒一1 c 4 ( d ) 取b n ( x o ) c cb 和集合b + = b r ( z o ) nq ，我们记 d = 妒( ( z o ) ) ，d + = 妒( b + ) ，r = x 万：x 3 = o ) 记e = e l 或e 2 ，且设 b ，( z ) = 昙【b ( z + 盯e ) 一b ( z ) 】， b 。，口( z ) = b ( z ) + t 盯b 盯( z ) ， h 盯( z ) = 昙【h + 盯e ) 一h ( z ) 】，h 。( z ) = h ( z ) + t 盯h 口( z ) 若b 为紧支集在d + ur 中的向量场且满足b t = 0o no d + 。由( 2 2 6 ) 式我 1 8 2 2p = 2 时极小元正则性第2 章指定切向分量的极小问题 们得到 o= 【v f ( c u r lb ( x + o e ) + c u r lh ( x + 仃e ) ) 一v f ( c u r l b ( x ) + c u r lh ( z ) ) 】c u r lb d x ，d + = f d + o1 丢v ，( c u r l b t , , , ( z ) + c u r lh t , a ( 训叭c u 加如 = 盯f dz 1 v 2 弛u r lb 和( z ) + c u r l h t 一瑚d ( c u r lb 口( z ) + c u r lh ，( 训c u r l bd z = 口q 盯( x ) ( c u r l b 口+ c u r l h 盯) c u r l b d x ， ( 2 2 7 ) ，n + 其中 q ，( z ) = z 0 1 v 2 f ( c u r l u t , , , ( z ) ) d 现在我们选取b = r 2 b 矿，其中7 7 c ( d ，) ，则( r 2 b 盯t = 0o no d + 。把它代 入( 2 2 7 ) 式得 o = 仉( x ) ( c u r l b 叮+ c u r lh 口) c u r l ( 7 7 2 b 口) d x = 2 ( q 盯( z ) 叼c u r l b 盯，v 叼b 盯) + 2 ( q 叮( x ) 7 7 c u r l h 盯，v 7 7 b 盯) jd + + ( q 口( x ) r c u r lb 口，r c u r lb 口) + ( q 口( z ) 叩c u r lh 矿，7 c u r lb 盯) d x ， 故我们有 ( q 盯( z ) c u r l r b 盯，c u r lr b 矿) d x jd 七 ， = ( q 盯( z ) v 7 7 b 盯，v 叩b 口) + ( q 盯( x ) y c u r l b 口，r c u r l b 口) ，d + + 2 ( q 口( x ) 叩c u r l b 盯，v 7 7xb 仃) d x ， = ( q 盯 ) v 叩b 仃，v ? 7 b 矿) 一( q 口( x ) 叩c u r l h 叮，r c u r l b 仃) l ，d + 一2 ( q 盯( x ) 叩c u r lh 口，v 叩b 叮) d z ， = ( q 矿( z ) v 7 7 b 口，v 叩b 口) 一( 钆( z ) c u r l h 口，r c u r lr b 仃) ，d 十 一( q 口( x ) yc u r lh 仃，、7 叩b b ) d z ( 2 2 8 ) 2 2p = 2 时极小元正则性第2 章指定切向分量的极小问题 从而 a f d + i c u r l r b 盯1 2 d z 上+ ( 训咖u 咖b 水u 咖b 棚z ( q 盯( z ) v 叩b 口，v 叩b 盯) 一( q 盯( x ) r c u r lh 盯，c u r l7 7 b 一) j d + 一( q 盯( z ) 7 7 c u r l h 盯，v 叩b 叮) d x alva7bol2+v(qorcurlho,叼curlho)vqocurlrbo,curlrbo) ，d + + i q ( x ) y c u r lh 川v 叼b 盯i ) d x 利用上式与c a u c h y 不等式，我们得到 i i c u r l ( 叩b 盯) o 至。( 。+ r 3 ) c ( a ，a ) ( 1 f v 卵b 口j | 至z ( 。+ ；r s ) + i ic u r l h 矿l i 羔：( 。+ ；r s ) ) ， 所以 i 袖口嗽( d + r 3 ) c ( q ) ( i l c u r l ( 咖。) 慨d + r 3 ) + i id i v ( r b 仃) 慨。十i r 3 ) ) c ( q ，入，a ) ( 1 l v 7 7 b 。o 羔。( d + ；r 3 ) + i l v o b 。i i 羔。( 。+ ；r 3 ) + i i h l l 备。( 。+ r 3 ) ) c ( q ，入，a ) ( 慨慨d + r 3 ) + i l h l l 备。( d + r 3 ) ) c ( q ，a ，a ) ( i i u l i 备- ( 。+ ；r s ) + l l h