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文档简介
内容提要 对于增长曲线模型更广的一类模型摊j 、增长曲线模型 y = 圭爿f o t b i + e f = 1 e = ( 占0 占0 ( 1 | ) 蠢”_ 占:。,相互独立e ( ;f ) ) = o ,e ( & 。0 ,) = 其中,y e 为随机矩阵,y 为观察矩阵,e 为误差矩阵,a i :n x m t 州, b p x q ,q i p0 ,为已知设汁矩阵。0 ,m x q ,为未知回归参数矩阵,z 未知的协差阵。 当t = l 时,( 1 】、【2 】、【3 】讨论了协差阵的线性函数的估计问题,在给 小最小二乘估计的基础上,讨沧了它的一些优良性质,如无偏性、最小方 差不变性等。当然,【1 4 一【18 】则时论了未知回归参数矩阵的估计问题。 当t = 2 时,【5 】讨论了未知回归参数矩阵的最4 , - 乘估计,并给出相应 的最优性条件。 ,、 本文则讨论了( 1 i ) 是i = 2 时,协差阵的线性函数t r i c i 的估计问 题,我们获得了t r c c l 的一些优良性一无偏性,有的甚至得到了最优性 、, 的结果,具体如下: ( 1 ) :如果,一 t = o 且( 足 $ 马) ( 一2 圆口2 ) ) + = ( 4 2 0 8 2 ) + 鼻4 。昂) + , f r 妇犀驴陋1 的m v i q u e 的充分必要条件是: n i m 3o c + ( i m ,如m 。c m 。】一i ,( i o m 4 c m 。) :( n p x i o c ) 。 ( 2 ) :如1 果,一m = o 目( _ 。仇) ( 彳2 圆曰2 ) ) + = ( 一2 0 8 2 ) + _ 。b ) + , 护i 矗犀f ,( c ) 的m v l q u e 的充分必要条件是: , ( i m2 ) c m2 2 c q m = 1i 。 n ( 3 ) :如果 厶= o ,( 鼻 固以】( 爿2 0 岛) ) + = ( 爿2 0 口2 ) + 鼻 。q ) + 文。 黾( a p a p i ) 【( 1 一m4 ) c + c ( i m 4 ) 】 + ( 2 a p 2 2 b p 2 一b p l 一2 a p j + 2 b p l ) ( i m 4 ) c o m 4 ) = c , 护怔+ ) 鼬旺) 的u e 。 上面结果中m ,i = i , - - , 4 ,1 1 ,p ,q ,a ,b ,p l ,p :等的意义详见后 关键词t 搬广增k 曲线模型、协差阵及其线性函数、最小二乘估计、最小 方差不变二次无偏估计。 a b s t r a c t 1 1 0 g e tt h ee s t i m a t eo f c o r a ll a n c en l a u l i xo l a l le x t e n s i o no fg r o w l hc u r v e m o d e i ( e g c m ) ,am o d e lh a sb e e ne x t e n d e db ya r v e r b y l aa n dw ,n v e n a b l e s ( 1 9 8 8 ) o ni h eb a s i so f g c m 。 j ,= 主a i o f b ;+ e f = - e :c 占i 占:| ) 函 f :。_ m 孙l e ( f :f ) ) = o ( ,0 ) = w h i c hya n dea r er a n d o mm a t r i x ,yi so b s e r v a t i o nm a t r i x ,ei se r r o r m a t r i x ,a ,;n m ”聊,b i :p x q i q l p a r ek n o w n d e s i g n m a t r i x 。o ,m 。q i su n k n o w n r e g r e s s i o nm a t r i x ,i su n k n o w nc o n v a r i a n c em a t r i , l t 。 a sl i ( 1 ,1 ) i s g c m ,【1 】1 2 1 1 3 j h a ss t u d i e dt h ee s t i m a t et h el i n e a r f u n c t i o no fc o v a l l a n c em a t r i xi ng c m ,o f c o u r s e ,t h ee s t i m a t eo fr e g r e s s i o n p a r a m e t e rm a t r i xi ng c m h a sb e e nd i s c u s s e di n 【1 4 - 【1 8 】 a st = 2 ,【5 】h a se s t i m a t e d r e g r e s s i o np a r a m e t e rm a t r i xa n dg o tl s eo f 。,1 = 1 2 t t o w e v e r , ia mt oe s t i m a t et h el i n e a rf u n e t i o no fc o n v a r i a n c em a t r i x t r ( c z ) a n d 。b t a i n t h el e a s t s q a u r e s e s t i m a t e ( l s e ) t r ( c i n e g c m 。o f c o u r s e t r ( c z ) i so fg o o d q u a l i t y u n b i a s e d ( u e ) ,e v e nm i n i m u m v a r i a n c ei n v a r i a b l e q u a d r a t i c u n b i a s e d e s t i m a t e ( m v i q u e ) i n ( 1 ) ( 2 ) a s f o i i o w s : ( 1 ) :i fi - m = oa n d ( 鼻4 e n , ) ( a 2 。占2 ) ) + = ( a 2 。四2 ) + _ 。q ) + ,t h e n t h e s u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nm r ,( ( ft 。b e m v i q u e 。f 即( c ) i s n 【m 3 0 c + ( 1 一m ,) 。m 。c m 4 】一p ( 1 0 m 4 c m 。户( n p x l o c ) 。 ( 2 ) :i f ,一 t = oa n d ( 气a i c 目b ) ) ( 一2 。口2 ) ) + 2 ( 爿2 。口2 ) + 鼻 。 ) + ,t h e n t h es u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o nf o r i 3 ( i - m2 ) c m 2 = c ,q - i m ,:1l 。 n f r 陋+ t 。b em v i q u e 。f 护( c ) ( 3 ) :i f m 2 = o ,( ,1 。执) ( 1 2 。口2 ) ) + = ( f 2 。曰2 ) + 7 1 。b l + a n d ( a p a p l ) ( i m 4 ) c + c ( i m 4 ) 】 + ( 2 a p 2 2 b p 2 一b p i 一2 a p l + 2 b p l ) ( ,一m 4 ) c ( i m 4 ) = c t h e n 护b + i s u e 。ft r ( c x ) 。 k e yw o r d s le g c m 、t h e i i n e a rf u n c t i o no fc o n v a r i a n c em a t r i x 、u e 、 m v l q u e 第一章引言 1 1推广增长曲线模型 增长曲线模型( t h eg r o w t hc u r v em o d e l ,简记为g c m ) 是较一般线性模 型更广泛的一种模型。过去几十年里,已有大量学者,如潘建新 1 4 】、【1 5 、 张尧庭【1 6 】、黄养新 1 7 】、尤进红f 18 j 、杨文礼f l 】、【2 t 、【3 1 等,从理论和 应用两方面进行了讨论。 而a p v e r b y l a 和w n v e n a b l e s 在研究一种处理对小羊生k 的影响, 目的在于检查处理随时间的作用( 影响) ,确定小羊最大生长效应所需的最 小剂量,以及估计达到最大效益所需的时间。为此,采用一种2 2 6 的 因子设计,样本由l o 个重量类别组成,其中因子分别为( 水平为2 ) ,放 牧方式( 水平为2 ) ,处理因子( 水平为6 ,第一个因子作为对照) 。实验单 元山一列年龄与基因背景相似的1 2 0 只阉羊和1 2 0 只母羊组成。在实验开 始和第4 、8 、1 2 、1 7 周分别记录了小羊的体重( 以k g 为单位) 。只有4 只 小羊的数据不全,以一种特定方式插入一些值以保持设计的正交性。 列于最初测得的影响结果,通过如下的一种多元方差分析模型来描 述, 一,女“= p n + y 缸+ 毒如+ t i t + ( 心) j k l + ( 善r ) k t r + ( r r ) f l d t + d 脂, 其中i = l ,1 0 ,j ,k = 1 ,2 1 = 1 6 ,t = l 5 ,p 。“分别记样 本,放牧情况,性别和处理效应,除最后一项外的其余各项构成了双向和 i 向的交互作用认为所有效应都是同定的。除样木因素外,每个主效应 的第一水平设为0 ,列交互作用也采取类似限制。要标准多元方差分析中, 交互作用都是不显著的,说明加法模型很好地代表了这种响应。 因为初始测量是在应用处理和使用牧草这前发生的,故而处理和牧草 的效应实验丌始应为0 ,在加法模型中,即意味着,:= 0 和r l l = 0 ,对l = i , 2 ,3 6 ,因此模型是一个骷有限制的多元同归模型,可被写成两个似 乎没有联系的删归,在另一文章( v e r b y 】a ,1 9 9 8 ) 巾,将进一步讨论带有约 束条件,表面无关回归的多元回归模型与轮阔( p r o f i l e ) 和模型之间的联 系因为处理设计阵被限定时,用算法l 进行的估计过程的收敛在一步中 发生,表1 给出估计值,以及来自模型的相应的拟合值( 略) 。 期望这种处理在j 1 始州促进生长,段州问后假定在实验的寿命期 内,这种影响逐渐衰退。因此,这种处理对此的轮阔可用一个关于时间的 二次多项式来逼近。类似地,性别的效应也可由一个关于时间的二次多项 式来逼近,至少是在实验的寿命期内,但是指数回归也许更切合实际一些, 进一步,实验的短期性表明样本可以是平行的。表1 中来自多元限制的回 归中的结果支持所有这些推测( 略) ,因而提出轮阔之和( t h es u mo f p r o f i l e s ) 模型: e ( r ) = x i o i + 爿2 2 m 2 + x 3 0 3 m 3 + x 4 0 4 m 4 + x s 0 5 m s 。 由此将g c m 进行了推广,得到推广增长曲线模型( t h ee x t e n s i o no f t h eg r o w t hc u r v em o d e l ,简记为e g c m ) , j ,:彳f o f b ;+ e i = 1 ,。 e = s 0 ( 矗占轴互独立,e ( 占= o ,e t 函,占0 = i = i ,一 其中,y , e 为随机矩阵,y 为观察矩阵,e 为误差矩阵,a 。n x m h m b ip x q ;q 。p 为已知设计矩阵。0 ,m ,x q 为未知回归参数矩阵- z 为 未知的协差阵。 1 2 问题的提出 对于推广增长曲线模型的回归参数矩阵的估计问题,a e v e r b y l a 和 w n v e n a b l e s ( 1 9 8 8 ) 【4 】在观察矩阵服从正态分布、各设计矩阵均为列 满秩的条件下,给出了参数矩阵估计值的一种算法;秦学军( 】9 9 2 ) 5 】 在矩阵欧氏范数意义下就t = 2 情形给出参数矩阵的最小二乘估计( l e a s t s q u a r e se s t i m a t i o n ,简记为l s e ) ,并讨论其唯一性及成为最优无偏估计( 在 矩阵非负定意义下) 的条件等;f u j i k o s h i ,y a s u n o r i 和s a t o h k o n i c h if 1 9 9 6 ) 6 1 讨论了e g c m 的极大似然估计及其矩相关性等。 而对于推广增长曲线模型的协方差阵的估计问题,本文则在利用二次 估计形式并局限在二次不变估讨类时,导出了线性模型 ( m y y m ,e m y y 。m ,c o v ( 坳m ) ) 其巾y = pm :1 一x x -x :( a ,圆b , a :固b :r 并籍此定义咖差i 虾及其线性函数t r c zi 的最小二乘估计 + t r ( c z + ) ,并讨论了该估计具有无偏性、最优性的条件。 我们用大写字母x ,m 表示矩阵,m 行n 列矩阵x 简记为x :m + n 或x e r ”“,特别向量。r n ,爿表示a 的转置,v c c ( a ) 或或盯( a ) ( 即盯:a _ a ) 表示将的a = ( a 。) 元素依坐标顺序排成- n 后所得向量, a 一表示a 的广义逆,特别地,a + 表示a 的加号逆,r k ( a ) 或者r a n k ( a ) 表示a 的秩,( ) 表示由a 的列向量张成的空问,n = a ( a 月) 一a = a a + 是 ( 4 ) 上的正交投影阵。 第二章二次不变估计及其引导线性模型 2 1 引导线性模型 对( 1 ,1 ) 式由拉直和叉积的关系可得 i 心c ( y ) = ( i 圆m i ) v e c ( 0 1 ) + ( 2 m 2 ) v e c ( 0 2 ) + v e e ( e ) f d ( 瞻“毋) = ,o o 令y = j ; x = k l m lx 2 。m 2 yb = v e c ( e ) :f ( 。1 则f y = x f l + e 1 d ( e ) = ,o y 是n p 维随机向量,取值于( r ”,曰”) ,其概率分布 = 只:f = 矽+ ep r 小t g f + m 2 9 满足( i i ) 矿中亨有未知专数,z ,) 对于妞”,b ”j 中的线性变换 厅口z = z + 肠z r n p这里口是任一指定川,g 即维向量, 对n p 维随机向量y 施行万。y = y + e + x a = x ( + 日) + e 仍是n p 维向 量,其概率分布仍属于,但中印未知参数变为f + q 1 ,这 样,r ”上的变换万。导出了上的一个变换 云:魂,) = ( + 口 ) 经过云作用后,除去变为f l + a ,其余的不变。所以,在用统计量 ( y ) 作为的估计量时要求 m + 妯) = _ ,切。y ) = m + m ,) v 口e r , 哪 砂尺印 ( 列) 是合理的。 变换集 卜础一z + 晌删,1 岫 z , 关于乘法( 万刀。) z = z + 爿( 日l + 吐) 作成一个群,此时,称满足( 2 - 1 ) 的 _ 厂( y ) 是变换群( 2 2 ) z y 即l c 变估计量。 记 m = l x x 为得出e 的不变估计量的具体形式,需下述引理: 引理2 ,1 : 3 1 ( 2 ,1 ) 对一切口r 喜i m i q i 成立的充分必要条件是 i ( y :s ( m y ) 。 l i e ”7 1 :仁 :( d - - 1 ( m y ) ,则对v 。e 尺p ,有, m n - 。y = ( ,一剃+ x y + x o ) = ( ,一。j :y + b = 妒 因而, 厂仿。y b ,筇。y 卜,( 耖b ,0 ) 。 若 厂+ x a ) = ,) 对v a e 凡等州,成立,则对任何y ,必有 y = ( ,一麟+ ) y + x x + 少= m y + x ( x + 力= 石f + y 坳 因而, ,皓玎z n 协 _ ( m y ) 由引理2 ,1 ,为了把问题简化,在考虑用,的二次型p 。占p 估计时, 我们不打算广泛地采用切j ,的- 次估汁类 d o = y b y :口= 曰尺叩”叩l , 只采用作为估计类 d :朋b a 黟:口:b r ”pj d 是的e 不变估计类。 若令 h = m w m :w = w r - p 。 ( t t , k ) = t k 厅k )v h , k h ( h ,( ) ) 是内积空间。 则 薯p ,m 撇b m , m y 肚y 曰t b = b 。r j w 。 = 7 、 x 掣j 也是m y y m 的线性估汁类。 由此引出了另外一个线性模型( 称为的导出线性模型) : ( m y y m ,e m y y 尬c o “ 劬m ) ) 其中e ( m y y l m ) = m ( i o ) m 量= m ( 1 0 e ) m :0 ( 巨) = m ( 1 0 v ( z ) m :矿( ) = v ( ) ) c o v ( m y y 肘) 将在第四章给出。 下一章,我们将掘此给出的估计。 6 - 2 ,2 几个引理 为了下章的讨论方便,我们给j | 1 以一f ) l 个引理。 引理2 2 设a = ( ts ) ,那么 九l c ( i v + c + c c c ) - i 一( 翠嘧+ ) + 口+ ) 其中:b = ( i t t + ) sc = t + s ( t b + b ) 证明:见【7 】p p 2 1 7 2 2 1 。 引理2 3( a b ) + = b + a + 成立的充要条件是下列之一: 1 。a + a b b 。a = b b a ,b b + a a b = a a b : 2 。( 肋a ) c ( 爿) ,( 一。爿口) 匕( b ) ; 3 。a + a b b 与a a b b + 对称; 4 。a + a b b 。a 。a b b + = b b a a 5 。a + a b = b ( a b ) + a b ,b b + a = a ( 彳曰) ( 彳曰) + 。 证明:见【8 】p p 8 9 及【9 】p p 5 8 - 6 1 。 g i 理2 4 m = ,印一( a i 圆b i ) ( 爿l 圆b j ) + = ,。圆m 2 + m l 圆( ,p m 2 ) 其中:m l = , - a 1 a l + m 2 = ,口- b i b l + 证明:见 3 】p p 5 3 。 引理2 5 记t = a lo b ls = a 2 b 2 若( p r s ) + = s + 碍 则,m = i 一( a t b ia 2 固曰2 ) ( 爿lo b ia 2 曰2 ) + 2 in m 2 + m 圆q p m 2 ) 一l ln m 3 、圆m 文ip m 4 ) m 2 7 m l ( ,”一m 3 ) o ( ,p m 2 ) ( ,p m 4 ) m 2 - ( i 。一m 3 ) m io m 2 ( ,一m4 ) ( ,p m2 ) - m l ( ,。一m 3 ) m i 固( ,p 一肘2 ) ( ,p m 4 ) ( i p m 2 ) 其中:m i = ,。- a f a f im 2 = ,p b i b i + m 3 = ,”一一2 a 2 + m 4 = ,p b 2 8 2 + 证明:m = ,一( 一1 口la 2 日2 ) ( 爿10 占1a 2o 廖2 ) + 展开即得。 = i ( ts ) ( r s ) + = 一t t + 一曰b + = ,一丁r + 一( 耳s ) ( 吩s ) + = 【,一( 10 b i ) ( 爿lo b i ) + 】一【j 一( 一lo b l ) ( 一io b l ) - r 】 ( 爿2 圆口2 ) ( 彳2 口2 ) + 【,一( 一lo 口1 ) ( 一io 曰1 ) + 】 = ,。o 2 + 肼lo ( ,p m 2 ) 一【,。圆m z + m io ( ,p 一 彳2 ) j 【( ,。一m 3 ) o ( ,p m 4 ) 】【,。 m 2 + m l 圆( ,p m 2 j 】 8 第三章t 悃的最小二乘估计 定义3 , 1 :如果+ 满足: 驴m y y m 一( ,因+ m 】z = 曾 m y y m 一彤p p 舻】2 ) ( 3 ,1 ) 则称+ 是的最小二乘估计忆s e ) 。 定义3 2 :如果则称+ 是的最小二乘估计,则称f ,( c z ) 是f ,( ) 的最小二乘估计。 在内积空间 ( ,( ,) ) 其中,h = 朋形膨= 足印。荦j ( 风足) = 矿( ) v h , k e h 中看( 3 ,1 ) 式m p o + 归婴是坳m 在的子空间 m ( ,o 奎炉:。= 。 上的正投影,所以( 3 ,1 ) 等价于 驴 【坳。m m ( i e ) 叫州,p ) 肘 = o v = 。( 3 ,2 ) 由m 的幂等性, 护 【坳m m ( i 。e ) 砷,。) = o v = 由单位阵的谱分解,= 蓦岛q 整理上式左边得, r r 协m m o 固+ 战和。) :n 一 渤 一m ( ,。m 琏 ,圆,1 1 圆赡,圆,) ) j = z t r l m y ym m ( i 圆z + 沁知,。,砖g ,。 :车护姑,。o 【m y ym m ( z 。z + : k ,。,e 册辞b ,蚴m m ( ,。+ 加k ,。厶e 由于上式列一切p 阶剥称阵成立,所以 g 。,蚴肘g ,。,) = g ,。,p m ( ,。+ ,) ( 3 ,3 ) i m ( e t 。i 是与r 3 ,2 ) 等价的方程。 利用引理2 , 5 中的叉积表达式,( 3 ,3 ) 式的左边中 e i o ,p = g 馋m 2 涉+ m i 圆( i - m 2 炒 一e i ( ,一m 3 p 朋:( ,一m 。m :p b m l u m 3 徊( ,一m :一m 。m :砂 一b ( ,一 如mo m 2 ( ,一 如一m 2 渺 一b m 。( ,一m ,) m ,圆( ,一m 2 如一m 。一m 2 = e f y m 24 - e i m i 川一鸩) - - e i j l 3 一m 痒m 尖一m 4m e l m & 一m 译k m i k m :舭。 一e :心一m 泓m 叉一m 涣一m a - e ,m i ( i - m 3 儿y ( ,一鸩如一m 2 治一m 2 ) = 鸩孑。+ ( i 、- m 2 ) y , m 1 e ,、 一m 犬一m 4 ) m 2 y t u m 3 i m 2 【,一 “知一 如少( ,一m 3 ) o 一( ,一坞x ,一心心y m i ( i - m 3 ) e f 一( ,一鸩x ,一忆p 一心少m | ( i - m ,m q 所以,利用上式并经过系列合并等化简( 共2 5 项) , 左边= m :y y :恤+ m 2 r 蚋川_ m 2 卜鸩,几( ,一坞) l ( ,一m 4 m 2 一m z r m l ( r m j 审q m 汝一m ! ) v 2 一m 0 ”一m 湖,m 叉一m 澳一m 一m 2 y m l ( ,一m 3 p l y ( 1 - m 2x ,一m 4x ,一时2 ) 1 0 + ( ,一m 2 ) r m ly 一( ,一m 2 ) f m l ( ,一 如) y ( ,一 厶) f 2 一心一m 谆1 m & 一m 3 j m ,k m 汝一m a m 2 ( ,一m 4 ) m 2 p ( ,一m 3 ) y m 2 m 4 m 2 一m 2 ( ,一m 4 ) 4 2 j ,( ,m 3 妒l ,( ,一 ,2 ) + m :( ,一m 4 妒:y ( ,一m ,妒。( i - m ,妒( ,一m :p m 。p : + 肘2 ( ,一m 4 胪2 y 【,一m 3m 1 ( ,_ m 4p m 2 ) + 坞( ,一m p :p ( ,一m ,m ( ,一m ,心川一m :如一m 。p m :) 一m 2 ( ,一m 4 x ,一m 2 妒( ,一m 3 ) f i j , + m 2 ( ,一朋4m :p ( ,一 如m ( ,一m ,) r ( ,一m 。) 膨: + m 2 ( ,一m 4 妒2 r ( 1 一m 3 m i ( ,_ m 3 m l 】,( ,一m 4 如一m 2 ) 一( ,一m 2 x ,一 彳4 ) f 2 p m l ( ,一m 3 ) r m 2 m 4 m 2 一( ,一 ,2 ,4 ) 4 2 p m i ( ,一m 3 ) 彳1 】,( ,一m 2 ) + ( ,一m :一m 。m :p m 。( ,一m ,毛( ,一m 3 妒( ,一m :x ,m 。m : +v(i一-m2xi一-帆m4肜)m:2pymi(i-m3胪)m!m;xim ;( i - m ;z 邂谣谁二笼i ,一m 。一m :)+ v 一一 “j m 2 】,j 彳l ( ,一 ,3 m 彳l y c ,一 ,2 x ,一4 u 一2 ) 一( ,一 ,2 一 ,4 x ,0 f 2 ) y m 1 ( ,一m 3 m f i y + ( ,一m :x ,一m 。一m :妒m i ( ,一m 3 妒l ( ,一m 3 ) l 和一m 4 m : 4 一m z - 帆x ,一m :沙m ( ,一m 3 地( ,一m 3 妒川一托如一m :) 而同时, 令一= t r i m f ( ,一m j ) 】n = t r i m i ( ,一m 3 ) j 2 右边= n m 2 m 2 + 心1m 2 ( ,一m 2 ) 一r 吣一m 3 w m 火一m 泓2 一p l m 2 z 【,一坞x ,一m 4 妒2 一p , m 2 z + m 2 ( i - m 4 ) ( - m 2 ) 一一坞譬f ,一m 2 p 一忆如一 如) + 础lp m 2 声+ 坞 + 砘池p m 2e + ( ,一肘2 ) 一日( ,一鸩卢m 2 ( ,一m 4 m 日( ,一鸩声q - m 2 一m 4 心 一日( ,一声+ 鸭( ,一心弦一心) 一日( ,一m :声+ ( ,一m 2 如一m 。”一m 2 ) 一r k ( i m 3 ) 彳2 ( ,一m 4 ) 彳2 + m 2 一日鸭( ,一m 4 ) m 2 z + c ,一m 2 ) + r k ( i m 3 矽2 ( ,一心) m 2 z + m 2 ( i - m , 心 + q a 乇( ,一m 4 p 如+ ( ,一a 如弦一m 4 + p 。m 犬一m 漕芦翟火警按一m 0j + 岛哆p m 4k 电一m 2p j j l 厶如一m 2 ) m : 鸩) 一坞) 一p l m 2 妲一m 4 泓一m 2 e m 2 、 至藕m 壤隧漱x - 知tv - m :, + 硒肘2 妲一m 4 私一i 如整:翌2 ( ,一够4 一托) + 限m 一m4 心一m 2 硅廷一丝2 一m4 狮k + p 2 肘2 她一m 4 肛一m 2 垦:丝2 【,一m 。i ,一膨,)、 + p 2 m 2 c ,一4 一m 2 声1 。u m 242 ) 2 r d r d兆批肛鹄 2 一 一 z坞鹄卜鹄 2 2 一r 一 坞圳卜坞卜 。曲岔。越。心增。 协贬m m m + r k ( m l i ,一m 。声_ 一( ,一们:声( ,一m 。) 一日( ,一m 2 一m 4 心+ + p i ( i - m 2 如一m 4 m m 2 ( i - m 4 ) + 岛( ,一哆x ,一心m 2 e e m :x ,一m 4 ) 一d m f ,一m 4 i ,一m ,e + + 压嗨【,一m 。一 如芦【,一m 。i u 二m :) 一成( ,一m 3 心( ,一m 4 ) m 2 e m 2 m 4 m 2 一p l m 2 ( i m 4 弦2 ( ,一m 2 ) + p m 2 ( i m 4 心+ ( ,一鸩如一心 + q 坞( ,一m 4 渺:+ 坞( ,一m 4 x i - m 2 ) + p 2 m 2 ( i m 4 ) m 2 z ( ,一p 一帆p 一鸩) 一p l ( 1 - m :一m 。x ,一m :声+ + p :( i - m :x ,一m 。x ,一m :声+ ( ,一m 。) ( 3 ,5 ) 由此解式( 3 ,3 ) ,即解( 3 ,4 ) ( 3 ,5 ) 的联立等式。 为了下面求解的方便,先给出如下几个结论: 引理3 , 2 a x b = d 有解的充分必要条件是a a + d b + b :d ,且 x = a + d b + 是它的一个解。 证明:贝, 7 p p 2 5 5 - 2 5 7 。 引理3 , 3 若m 2 = m 且m :m ,n m + = m 。 辨殇瓣 掣辎 现在外始讨论求肼i 叫题, ( 1 ) 、当,一m 2 = o 时, 联立等式可化简为: 门m 2 z m 2 一r3 ) 彳2 + 2 ( ,一4 ) 彳2 一r 映一3 w , k ( 处1 - 一m4 1 m m m 一私m m m 2 = a ,2 y : 如一且彳2 j ,0 一m 3 ) 阳m 2 0 一m 4 归2 一m 2 ( ,一m 4 m y ( ,一m 3 弘心坞 因为此时,:m 2 ,进一步有 z - m ( ,一m ,声0 一m 。) 唧一m ,弦_ 心声:们。 = y y y p m 3 ) ,( ,一m 。) 一( ,一 ,4 少( ,一a ,3 芦a 乞 令p = r k ( 1 一m 3 ) , 则,l p p ( ,一m 4 ) 一p p m 4 声+ 嵋 ,、 = p r y ( ,一m 3 沙( ,一m 4 ) 一- m ) y ( ,一 ,3 ( 3 ,6 ) ( 3 ,6 ) 式左边乘以( ,一m 4 ) 右乘心, 一p ) ( i - m 。e m 。:( ,一m 少y m 4 - ( ,一m 一沙印一m ,p m 。 o m 。e m 4 = 如一力一【o m t 妒y 峨一( i - m f 0 一m ,) 1 7 m 】( 3 ,7 ) ( 3 ,6 ) 式右边乘以( ,一m 4 ) , 0 一p 声+ ( ,一帆) = f y ( ,一m 4 ) - y ( ,一m ,) r o m 4 ) ( ,一m 。) = 0 一p ) _ 1 【p 印帆) 一 n ( ,一坞冲一帆) ( 3 ,8 ) 将( 3 ,7 ) ( 3 ,8 ) 式代入( 3 ,6 ) 心- - p ( 一p hy y ( i m 。) 叩( ,一m ,冲一m 。) 】 + p d 一才【( ,一肘。谚r ( ,一肼。) 一p m 。妒( ,一肜,) r ( ,_ m 。) 】 + r - y j ,t ( ,一j 】l 彳3 ) h i :- 4 ) 一( ,一 ,4 少( ,一m 3 ) 矾 + = f 一i 旷y y 。o m 3 少+ m 。y ( ,一m 3 ) l 弛】 ”i - p ) 一r p 、阻4 j ,y m 4 1 4 t r ( c z + ) = y a y ( 3 ,9 ) 舯_ 。! p 帆阶( m ,) m 4 c 肘a 卜p ) ( , 一c m n i p 一) h p 一 , ( 2 ) 当i - m 。= o 时, n m 2 + m 2 + r k ( m 1 ) m 2 e + ( ,一m 2 ) + r k ( m ix i m 2 ) e + = 鸠y y m 2 + m 2 y m i y ( i - m 2 ) + ( ,一m 2 少m y 令q = r k ( m 3 ) n m 2 z + m 2 + q m 2 e ( ,一m 2 ) + q ( i m 2 e + = m 2 y y m 2 + m 2 y m 1 l ,o m 2 ) + ( ,一m 2 y m l y ( 3 ,t o ) ( 3 ,1 0 ) 左右同乘材:, n m 2 + m 2 = m 2 y m ,+ m ,= = ! m ,y y m 2 ( 3 ,1 i ) ( 3 ,1 0 ) 左乘,一肘2 ) q ( 1 一鸩p = ( ,一掰2 少m , r ( ,一m 2 ) + = 叮( i - m 2 少。m , r ( 3 ,1 2 ) 将( 3 ,11 ) ( 3 ,1 2 ) 式代入( 3 ,l o ) q m 2 y , + ( ,一m 2 ) :m 2 y m i y ( i m 2 ) 由引理3 2 及引理3 3 :易验延上式有解,且解为: - 一m 2 y m i y ( ,一m 2 ) 从而,、 驴忸+ ) = g 一“c m 2 y 。m j ,( ,一m :) 】 - _ q 。1 y l o ( ,一 龟) c 码涉 = g 。1 y m ( m ( 1 - m 2 ) c m 2 = 白一似1 0 0 一m 2 ) c m 2 l m y y m ) f r 陋净少- a y ( 3 ,1 3 ) 1 5 其巾,a = q 一l o ( ,一m 2 胁2 ) ( 3 ) 、当m 2 = o 时, p + 一p l e + ( ,一慨) 一p i ( ,m 4 ) e + + p 2 ( i m 4 e + ( ,m 4 ) = y m 1 y y m 1 ( i 一 毛p 以y 一( ,一m 4 妒m 1 ( ,一a 如l m j , + ( ,m 4 ) i ,m l ( ,一m 3 ) 彳1 ( ,一m 3 ) 彳i r ( 1 一m 4 ) ( 3 ,1 4 ) ( 3 ,1 4 ) l g q l a j 霖悍( i 一慨) , ( p 一2 p 1 + p 2 ) ( ,一m 4 声+ ( ,一 厶) = ( ,一 如少m , r ( t 一 幺) 一2 ( ,一 厶) l ,m l ( ,一m 3 卫订r ( i m 4 ) + ( ,一m 4 ) y m l ( ,一m 3 ) 彳l ( ,一m 3 ) 彳i ,( ,一a “) 上式可得, ( i - m 。e ( ,m 。卜( p 一2 p l + 尸:) _ 1 【( i - m 。少m , r ( i m 4 ) 一2 ( i m 4 ) y m l ( ,一 如) r ( i m 4 ) + ( , 厶) y m ( ,一m 3 皿。( ,一m 3 m 1 】,( ,一m 。) ( 3 ,1 5 ) 又( 3 ,1 4 ) 左乘( ,一m 4 ) , 一p i ) ( ( i m 。e + + 加:一p 如帆e ( ,一弛净 ( ,一m 4 沙。m ly 一( ,一m 4 ) y m 1 ( ,m 3 ) 彳l y 一( ,一m 。沙m 。( ,一m ,) a 4 。】,( ,一m 。) + ( ,一帆) p m ( ,一m 3m 。( ,一m ,m 。川一m 4 ) 将( 3 ,i s ) 式代入上式- 整理得, ( ,一m 。e = 0 一p 。) _ ( ,一j 】l 厶) p a ,y 一( ,一m 4 妒m 1 ( ,一m 3 ) 彳。y 一( ,m 4 妒m l ( ,一m 3 ) 彳j ,( ,一m 4 ) + ( ,一地妒m ( ,一码渺,( ,一m 3 ) 9 1 川一m 4 ) 】 一? 。一、净确上_ ( ,一m 。少。m y ( 1 - m 。) 一日xp - 2 p i + p 2 ) “ 一2 ( ,一m 4 ) y m l ( ? 一m 3 ) 彳j y ( ,一 “) + ( ,一m 4 ) y m i ( ,一m 3 ) 彳i ( ,一m 3 ) ? 订i y ( i m 4 ) 】( 3 ,t 6 ) ( 3 ,1 4 ) 右乘( ,一m 4 ) , 一p ,e + ( ,一m 。) + ( n p ,一m 。e + ( ,一m 。) = y m l r ( ,一帆) 一y m l ( ,一 如) 彳l y ( ,一 ,4 ) 一( ,一m 。) ,m l ( ,一m 3 ) m i y ( ,一吖4 ) + ( ,一m 。) ,。m ,( ,一m 3 ) m ,【,一m 3 ) y ( ,一m 4 ) 将( 3 ,1 5 ) 式代入上式,整理得 + ( ,一m 。产 一p l 川y m i r ( 1 一m 4 ) 一y m 1 0 一屿) m i 川- m 4 ) - ( i m 。少。m l ( ,一m 3 ) m i l ,( ,一 f 4 ) + ( ,一m 。) r u ( ,一m 3 矽( ,一坞渺。】,( ,一心) 一,i 挈幽j 弋一【( ,一m 。妒m i y ( f - m 。) 忉一p lj 【p 一2 p l + p 2j - 2 0 一m 4 ) y m i ( ,一m 3 ) 彳1 y ( ,一m 4 ) + o m 4 ) y m 。o m 3 ) m l o m 3 :啊j y ( ,一m 4 ) 】( 3 ,1 7 ) 将( 3 ,1 5 ) ( 3 ,1 6 ) ( 3 ,1 7 ) 式代回( 3 ,1 4 ) 式, 令盯= 而2 p l ,6 = 瓦2 0 i , - 飘p , ) f - ( p 而- p , ) p , - = - a 【( ,一心沙m 1 y + y m j r ( i - m 4 ) 一l , 厶( ,一m 3 毛r ( i m 4 ) 一( ,一m 4 ) r m i ( ,一m 3 ) 正j , 一2 0 一m 4 ) y m l ( ,一m 3 ) 彳l y ( i m 4 ) + 2 ( ,一忆沙m ( ,一坞m 。( ,一m 3 归。】,( ,一m 。) 】 - b ( ,一肘。) y m 1 y ( i - m 。) 一2 c ,一m 。) y m 。( ,一m ,) 矿,r o m 4 ) + ( ,一m 4 ) ,m l ( ,一m 3 ) i ( ,一m 3 弘m lr q m 4 ) 】( 3 ,l8 ) 1 7 护妇+ ) 兰j , ( 3 ,1 9 ) 其 f 1 a = a m io c ( ,一m 4 卜日m 1o ( ,一m 4 f 一日m 。( ,一m 3 ) l j l to f ,一m 4 ) c - 一日叫c ,一m ,) z 。亡( ,一衍。) 一6 m 。( ,一m 。f ( ,一m 。) :譬二薹溉孑二m m ;澎澄m 一辫3江( ,一m 4 )+ ( 2 口一2 6 ) ( ,一,) ( ,一) o ( ,一 “户( ,一 ) ( 4 ) 一般情形 联立等式左乘( ,一m :) ,右乘m 4 ,整理得, r k ( u l 如一m 2 e m 4 一p l ( ,一m 2 x ,一m 4 e + m 4 = + i :- m ,妒m 。y u 一世2 少彤1 c ,盟3 少c ,_ m 4 舻2 - ( i - m ;) n m i ( i m 3 m 、y u m4 w m 2 1 一( 1 - m 2 x ,一m 4 ) 彳2 i n m l ( ,一m 3 弘讯彳2 m 4 m 2 + ( ,一m 2 一m 。妒:r f m j ( ,_ m 3 m l ( ,一m 3 m i 】,0 一m 2 x ,一m 。一m 2 )
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