（计算数学专业论文）一类边界控制问题的先验误差估计和后验误差估计.pdf

i。一 d i s s e r t a t i o no fm a s t e r2 0 10 c o l l e g ec o d e ：1 0 2 6 9 r e g i s t e rn u m b e r ：5 10 7 0 6 010 5 2 1 a d r l o r la n c iad o s t e r i o r ie r r o r e s t i m a t e sf o r b o u n d a r yc o n t r o l d e p a r t m e n t - m a t h e m a t i c s s p e c i a l t y ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s d i r e c t i o n ：f i n i t ee l e m e n tm e t h o d s a d v i s o r ：p r o f d a n p i n gy a n g n a m e ：c h e nr u i s h a n m a y ，2 0 1 0 s h a n g h a i 郑重声明 华东师范大学 取得的研究成 华东师范大学学位论文原创性声明 闾匙的免嬲旌误弘印，是在 在导师的指导下进行的研究工作及 本论文不包含其他个人已经发表或 撰写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确 说明并表示谢意 作者签名：隐盏。厶 只期： 华东师范大学学位论文著作权使用声明 雠刳f 司趣酌麟弓垒蹴传计系本人在华东师范人学攻读学位期间 在导师指导下完成的砚博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范大 学所有本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门 和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电子版：允 许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅：同意学校将学位论文 加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要 汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文1 ，于 年月日解密，解密后适用上述授权 ) 2 不保密，适用上述授权 本人签名：礁盗山 日 期：丝i q 玺6 目l 旦 大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位论 文( 需附获批的 。 4 所以存在v n 的子序列v n ，在l 2 ( a q ) 中收敛至矿因为蝴0 且 由此可得 口( y ( ) ，灭h ) ) + ( ) ，( h ) ，y ( ) ) c ，= _ ) ，( 蝴) ) ， i i ) ，( 蝴) 刍。) i i i i 弘( n ) l l y ( v , , ) l l 驴( q ) 丢，l l 乞( 固+ 卅陟( h ) o 玉( 埘 对任意大于零的6 成立取6 足够小，可知l 从蝴) 哆，( 固有界因此_ ) ，( ) 弱收敛至 y ，进一步由h 1 ( q ) 到驴( q ) 的紧嵌入可知，y ( v n ) 在r ( q ) 强收敛至y ，冈此我们有 h ) ，( h ) 弱收敛至u * y 所以 那么 ( u n y ( u n ) ，w ) _ ( u ) ，+ ，) ，y w h 1 ( q ) 口0 广，w ) + ( u + y ，w ) = w ) ，y w v = h 1 ( q ) 由于目标泛函的凸性 兰| ，一妍+ 口l 御) 堕圭江从蝴卜妍+ 口l 2 ) 因此( ) ，+ ，矿) 是极小化问题m 的解，矿就是最优控制 口 设“是( 2 3 ) 的一个解，再假设存在“的一个邻域c ( u ) 使得，在其上是一致凸的 假设r 凸i ! 堂假面劝设u 是控制f 句题的一个解：如果存在常数f 0 和c o 0 使得对 r ( a q ) 中任意的v s + w ，只要其满足i i v - u l l l + ( m e 以及1 1 w - “0 l 2 ( 铀) 6 那如下不 等式成立： c d 1 ，一w 乞( 砌) ( 厂( ，) 一，( 计，1 ，一，) ( 2 5 ) 这是一个强的假设，然而，我们注意到在很多情形下，上述假设是成立的这等 价于说- ，是正则的该定理的证明参见【1 2 】，【1 3 】和【3 0 1 5 由局部凸性，可知( 2 3 ) 解足局部唯一的，而且由对偶方程方法( 参见 3 3 】) 知， ( ) ，( h ) ，“) 是( 2 3 ) 的一个局部解当且仪当存在一个v 中元素p 使得( ) ，p ，h ) v v xk 满足 0 ) a ( y ，w ) + ( u y ，w ) v = w ) ，y w v ( b ) a ( q ，p ) + ( u p ，q ) u = ( y y a ，g ) ，v q v 其中a + 是a 的转置 ( c ) ( 口“一) 妒，l ，一“) ，0 ， v ，墨 2 3 状态方程的适定性 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 定理2 2 f 适定性j ? 对，：f ：“k 和，r ( q ) 力程f 2 2 ，有唯一解) ，= y ( u ，d 亿并存 在“在k 中的邻域q 和与，无关的常数c ( q ) 0 使得 l y ( u ，d i i h l ( n ) c ( q ) ( i i f l i l 2 ( o ) ) y u q ( 2 9 ) 证：由我们对a 的假设可得双线性形式( 2 4 ) 的强制性和连续性，用l a x m i l g r a m 定 理可得状态方程存在唯一解) ，( h ，d h 1 ( q ) 以下证明估计式( 2 9 ) 在( 2 4 ) 中取 w2 y ， 所以 fl a v y l 2 a x 蜘p a x = 上倒x l 咖| 2 d s 争1 1 2 l 2 ( q ) + 丽l 圳姻2 一l 圳2 d s 面n ( c ，a 2 0 州2 封+ l 洲2 d s 瓦l l - 川印2 ， c ( a o ，) ，| l 刍( n ) 再利用h 在讹上非负可得2 9 6 口 定理2 3 r 高阶正则性j 假设a q 是充分光滑的且上述定理2 2 的条件成立那么对于 任意k 中元素i , l ，f 2 2 ) l f j m y = 贝矾力郝是属于日2 ( q ) 迸一步对于k 中任何元素 都存在一个辱l f 域d ( y ) 和一个常数c ( v ) 0 满足 i i ) ，( , f ) l l m c ( v ) l l f l l l 2 y u o ( v ) nk 按照通常的n e u m a n n 边界的情况，我们只可以得到y h 3 2 ( q ) 在 2 7 1 中给出 与我们类似的情形的一个证明，但林芳华指出他们的证明可能有问题注意到在我们 的控制问题里“= m a x ( o ，学) 这比单纯的考虑“k = i 雎驴( 讹) i 比0 1 要好得 多据此我们可以得到证明 证j 为了简单起见，我们假设a = i ，t l = 1 并利用“= m a x 0 ，y p l o n ，如果“= 0 ，那么 y 伊( q ) 以下考虑“= 即k 的情形首先我们证明户h 1 ( q ) 。通过计算可知 i _ 矿= 一2 1 v y l 2 + 2 y ( a o y 一力，i nq ， 眩拈n 施 q 1 从弱形式 ( v ) ，2 ，v y 2 ) + ( 2 ) 声雎，) ，2 ) ，+ 2 ( 1 v y l 2 , 严) = 2 a o o ，2 ，广) 一( 2 f y ，户) ， 我们推出l | ) ，2 略( n ) sm 巳) + 1 1 ) ，2 嵫( q ) + i 旷嵫( c 同样的方法可证p 也有一样 的结论又因为 n 扩p ) 2 i l y a l i l ：t a ) i i p 2 峨哟u y 2 略( n 删囝 j q 所以) ，2 p 弘( q ) 由n e u m a n n 边值问题的正则性( 见 3 4 1 ) ，当施充分光滑时，对于 f h m - 2 ( a ) ，g h - 3 2 ( q ) ，若y 是方程 一曲= f ，i nq ， c o v y = g o na q 7 的解。则 夕h m ( n ) l p o n ， l y l - ( n ) c ( m 1 日一2 ( q ) + i i g | | 卅- 3 ，2 ( 嘲)夕 其中常数c ， 跟区域q 有关因此，我们得y 日j ( q ) ，p 也可以用同样的方法提高到 鼹印：q 亿 且i i 妒l l n l ( 囝c l l 够, l l 旷 ( 铀) 所以 ( y 2 p ，沙) u = ( v 妒，v 0 ，2 p ) ) + ( 印，y 2 p ) c l i v 妒i i l 2 ( n ) i l y 2 1 1 l 6 ( n ) i i v p l l l 3 ( n ) + c i i v s o i i l 2 ( n ) i l y l i l l 2 ( n ) i i p i i l l 2 ( m l l v y l l l 3 ( n ) + c l l , p l l v ( q ) ) 2 i i l 4 ( q ) i i p l l v ( q ) c v 妒0 l 2 ( n ) + 妒l | l 2 ( q ) c i i 妒 i h l ( q ) c l i 举c ，i i h _ ( a n ) 两边同除于i i 够 l l 一 ( 施) ，得到 y 2 p 日 ( 施) 3 有限元逼近 它将其分成多个正则三角形t ，所以缈= u t e t 一亍每个单元最多只有一条边在触 上而且如果1 - 和，t h ，亍和r 最多要么有共同顶点要么有共同边与p 相关有一 个c ( 缈) 的有限维子空间s “，使得对每僦s “和r t h , 彳 r 是m 阶( m 1 ) 多项 式设v h = s hn 日1 ( q ) ，容易知道v hcv 设丁各是a q 的一个分割它将其分成多条线段s ，所以施= n 距鸦元与丁0 相 关有一个驴( a q ) 的有限维子卒问w h 使得对于每个z 毗和se 呓，x l ，是m 阶( m 0 ) 多项式设u = w h ，k h = knu 6 在此文中。我们将考虑最简单的有限元空间，比如，m = l 对杪以及m = 0 对于扩设h r ( h 1 ) 表示p ( r h ) 中单元“i f ) 的最大直径设h = m a x t e p l j i l ， ，h 。= m a x l e t 盘 h l 3 2 离散形式 我们所考虑的的控制问题的状态方程的有限元离散是 a ( y h ，) + ( “ y h ，) ，= c v h ) y v v hc v 状态朔是与u h 相关，有如下引理 引理3 1 当h 足够小髓上述离散方程有唯一解 易知一是扩中一个有界闭凸集且其元素k h 收敛到 ，k 控制问题 o b c 的有限元离散就可以写成，我们记为o b c h ，找出u k h 使得 j ( 1 l h ) = m i n 凡v h ) v e k h s t a ( y h ，w h ) + ( u h y h ，w h ) u = w ) ，v ， v h ， 那么o b c 6 至少有一个解魄，蝴) 且如果( y h ，u h ) v hxk h 是o b c “的一个解，就存 在一个对偶状态p h v h 使得魄，办，u h ) v h v h k 6 满足如下的最优性条件：记为 9 o b c o p t h ： ( 口) a ( y h ，w h ) + ( “ y h ，w h ) ，= ( 7 ：w ) ，y w h v h ， ( 6 ) a ( q h ，p h ) + ( “ p ，q h ) ，= ( ) ，一y d ，q h ) ，v q h v h ， ( c ) ( a u 一y h p ，v h u h ) c ，0 ，y v h r h 引入一个从u 到u 6 的平均算符吒： ( 剞忙面1 小，v z 力， 其中1 4 表示l 的测度不等式( 3 3 ) 等价于 蝴= m a x 够，1 7 t ；h ( y h p h ) 4 收敛性和先验误差估计 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 在此章中，我们将证明有限元离散的收敛性并推导出先验估计为此，我们先证 明离散形式的强收敛性以下将分两步进行，先证弱收敛，后证强收敛 4 1 弱收敛 定理4 1 设b h ，p h ，u h ) 是( 3 1 ) t 3 3 l 的解当k 趋于无穷大且h k 趋- y ：o 时- 存在子守 列o 饥，p h ，h 。) 在1 ( q ) xh 1 ( t ox l 2 ( q ) 弱收敛到f 2 6 ) 一f 2 动的一个解( ) ，p ，“) 证j 证明分两步第一步，证明存在弱收敛子序列第二步，证明子序列的极限就是问 题( 2 6 ) ( 2 8 ) 的一个解 第一步在( 3 1 ) 中取w h = y h ，q h = 用，我们有 i x t y h l i l z t a ) c i i f l l l 2 ( a ) i l v p h l l l 2 ( a ) c l l y h y d i i l 2 ( a ) 1 0 这说明y h 和p h 是在础( q ) 中有界的进一步，我们有 2 ( 0 t 1 ) = f o t 。阽互肭2 c 驴cl y h p h l ) 2 c 嗍c 4 ) l 2 ( p 2 c 【l 叫v 2 旧】t 2 鲴川刍, ( q ) l l p h l l ， 傩， 这里用到对于每个w h 1 ( q ) 有i i w l i l ( n ) c l l w l l 圩1 ( n ) 这意味着蝴在l 2 ( q ) 中是一 致有界的由嵌入定理得，存在子序列o h 。，肌，) 使得t y h 。，p h k ) 在磁( q ) 础( q ) 中 弱收敛，在h ( f d ( 0 s 1 ) 强收敛，u h k 在r ( q ) 中弱收敛设魄，p h k ，u h k ) 极限为 t y ，p ，“) 第二步我们将证明( ) ，p ，) 是( 2 6 ) 一( 2 8 ) 的一个解设w “和分别 是w v 和q v 的插值注意到 a t y ，w ) + ( u y ，w ) u = t y , w ) + a t y y h ，w ) + ( “( ) ，一y h t ) ，w ) u + ( “一u h t ，( ) ，一y ) w ) v + ( “一“k ，y w ) v + a y h k ，w w l h i ) + ( u h i y h i ，w w l h ) v + ( f , w l h 一w ) ( 4 2 ) 以及 a ( q ，p ) + ( u p ，q ) u = t y 一) 公，q ) + a ( q ，p p ) + ( u ( p p h i ) ，q ) u + ( 一u h i ，( p h i p ) q ) u + ( “一“，p q ) v + 口( 口一日k ) + ( u h t p ，q q l h t ) v + ( ) ，一) 0 ，g ，k g ) ( 4 3 ) 利用t y h k ，p h k ) 在h 1 ( q ) xh 1 ( q ) 的弱收敛和h 版在l 2 ( a q ) 中的弱收敛，我们得 1 i m 。【a o 一，w ) + a ( q ，p p 圾) + ( ( “一u h i ) ，y w ) v + ( ( “一“) ，p q ) v 】= 0 i l k u 利用 y h k ，p h k ) 在h 5 ( q ) ( 0 s 1 ) 中的强收敛，以及【1 】p 1 6 6 的迹定理，我们得 。l i i n 。【l u t y y h t ，w ) v i + l ( “一u h t ，t y y h i ) w ) u l + i ( “( p p h i ) ，q ) v i + i ( 一，仞一p h t ) 9 ) i 】= 0 九u 又因为 有 和 ”l i m 。 1 1 w w i i t ) + 炉慨q ) 】= o a ( y h i ，w w l h i ) l + i ( f , w ，h k w ) l i l v y h t i i l 2 t a ) l l v ( w - - w z h ) i k 2 ( n ) + ，l 2 ( n ) w 一w l k 2 ( a ) - 0 ，当h k 一0 i l v ( q - q t h k ) l l l 2 ( a ) l l v p h t 0 l 2 ( n ) + i l y 一附0 弘( q ) q 一q l l l 2 ( n ) - 0 ，当h k - 0 注意( u h t y h k ，w w l h k ) vsc h l l u h k y h t l 2 ( 独) w 1 1 日( q ) 和 陋础。旷ll u h k l ：2 抄h k l 2 _ 0 使得 a 1 i l w 0 刍i a ( w ，w ) + ( 1 ，w ，w ) u ， vw v ( 4 6 ) 那么t 4 4 ) 和( 4 5 ) 分别有唯一解进一步。y h ( v ) 和p h ( v ) 分别强收敛到y 和p 如 果区域q 是凸鲍那么成立如下的先验误差估计 ( 口腑) - y h ( v ) l l l 2 f a ) + 圳v ( y ( y ) 一y h ( v ) ) | i l 2 ( 固咖y ( v ) i | h 2 ( f 1 ) ( 4 7 ) ( b ) l i p ( v ) 一p h ( v ) l l v f m + h l i v ( p ( v ) 一p h ( v ) ) i i l 2 ( a ) c h 2 i i p ( v ) i i h 2 ( a ) ， 1 3 证? 我们知道 因此 i l y ( v ) - y h ( v ) 1 1 2 2 ( q ) + i i v ( y ( v ) 一y h ( v ) ) 1 1 2 2 ( n ) 口( ) ，( y ) 一y h ( v ) ，) ，( y ) 一朔( v ) ) + ( ，( ) ，( d 一蛳( v ) ) ，y ( v ) 一y h ( v ) ) v = a ( y ( v ) 一y h ( v ) ，) ，( y ) - - y z d v ) ) + ( v t y ( 1 ，) 一) ( v ) ) ，y ( 力一) ， ( ，) ) c ， i i v ( ) 力一y h ( v ) ) l h 2 ( t 】) l l v ( y ( v ) 一y l h ( v ) ) l l l 2 ( n ) + l l v l l l 2 ( o n ) l l y ( v ) 。y h ( v ) l l t ：( a q ) l l y ( v ) 。y l h ( v ) i i l ( o a ) se ll l v o ( v ) 一y h ( v ) ) l l z , 2 ( a ) + c ( e o i i v ( y ( v ) 一y t h ( v ) ) l l l 2 ( n ) + c 芒2 l l y ( v ) 一) 偏( ，) 日1 ( n ) + c ( e 2 ) l l y ( v ) 一y ， ( ，) 1 ( n ) 】 类似的。我们可得 i v ( ) ，( ，) 一朔( y ) ) l 2 ( n ) c l l y ( v ) 一y 厶( v ) i i h ( m v p ( v ) 一册( y ) ) i i 口( n ) c 1 l p ( v ) 一p ， ( ，) l 2 ( n ) + l l y ( v ) 一y t h ( v ) l l h ( m 这证明了( 期( ，) ，砌( v ) ) 强收敛到c y ( v ) ，p ( 力) 由于q 是 的，由性质2 1 ，) ，( 1 ，) 和 p ( v ) 属于 产( q ) 对其应用有限元方法的标准分析，我们得到误差估计( 4 7 ) 口 弓、理4 2 设y h ( v ) 是1 4 5 1 的解y h 是问题1 3 1 ) 的解成立如t 的误差估计： i 帆( ，) 一y h l l h l ( a ) c l l v v h i l l 2 ( a 1 ) 证? 已知 a t y h y h ( v ) ，w h ) + ( v h y h v y h ( v ) ，w h ) u = 0 和 口l i l y h y h ( v ) i i h , ( o ) + ( v h y ，y h o h 一) 7 ( d ) ) ， a t y h - - y ( v ) ，y h - - y h ( v ) ) + ( u t y h - - y h ( v ) ) ，y h y h ( v ) ) u + ( v h hy h ( y h 一) 偏( v ) ) ) 【，= 0 1 4 。 所以 最后我们得 o r l 1 y h y h ( ，) 刍1 ( q ) ( ，一y ，y h ( y h y h ( v ) ) ) c ， i i v v h l l l 2 0 m l l y h i i l 4 ( a n ) i l y h y h ( v ) i i l 4 ( o n ) 【ei l y h - y h ( ，) 略( n ) + c ( e ) l l v - v h l l 乙( 】 l 帆( v ) 一y h l l h q t l ) c l l v 一 ， i i 肛( p q ) 口 定理4 2 设( y h ，p h ，u h ) 是限j ) - f i 刃的解且弱收敛到f 2 回f 2 剐在h 1 ( q ) xh 1 ( q ) l 2 ( o q ) 的解( ) ，p ， ) 而魄，m ，u h ) 在日1 ( 卿xh 1 ( q ) x 2 ( a q ) 疆收敛到( ) ，p ，“) 汪由嵌入定理，可知饥，p h ) 在h 3 ( 鳓h 5 ( q ) ( o s 1 ) 中强收敛而且因为 i l v l k , ( o ) c i i v l l ) ， 所以：o h ，p h ) 在p ( q ) ( q ) 中强收敛首先，我们证明u h 在l 2 ( q ) 中强收敛易知 所以我们有 l u - 蝴i = im a x 够，l y p l o i m a x l 卢，三o 镰肌) i 铀l i a 一 lm a x 垆，l 口y p l o a | 一m a x 够，l ( y p ) l o a l + l ul 征h ( y p y m ) l o n l l 三l y p - ( y p ) l a a l + l l 征h ( y p y h p h ) l o 蛇l i l u u h l l l 2 ( o o c l l y p 一( ) ，p ) 弘( 蛐+ i i - ；( y p y hp h ) l l l 2 f o a ) 与( 4 1 ) 类似，我们可得 i c ，p - y h p h ) l 玉。c f ql y h - y 1 4 u 2 【上l m - p 1 4 】v 2 _ 。，当 一。 固 1 5 因此 1 l u u h l l l z ( n ) 一0 ，当h - 0 这样我们证明了( y h ，p h ) 在h 1 ( q ) h 1 ( q ) 中强收敛从引理4 1 我们可知魄( “) ，m ( “) ) 在h 1 ( q ) xh 1 ( q ) 强收敛至( ) ，p ) = 似“) ，p ( “) ) 另一方而，由引理4 2 ，我# f 7 - i 得 ( 期m y h ( u ) ，p h - p h ( u ) ) 在h 1 xh 1 ( 囝强收敛至( o ，0 ) ，因为f l u u h l l a ( 0 t ) 趋向与0 因此我们证明了( y h ，p h ) 在h 1 ( q ) xh 1 ( q ) 强收敛至( ) ，p ) n 4 3 先验误差估计 此章中，我们将给出控制问题的先验误差估计为此，做如下准备工作：由变分 计算可知 ( ，( ，) ，w ) = ( ( rv 一) ，( v ) p ( v ) ) ，vw u( 4 9 ) 类似的对于每个v h 巩，成立 ( f h ( v h ) ，) = 位v h y h ( v h ) p h ( v h ) ，w h ) u ，vw h u h ( 4 1 0 ) 进一步 定理4 3 ( 先验误差估计) 设，肌，蝴) 是限j j 一阻圳的解且在h 1 ( 踢h 1 ( q ) l 2 ( a q ) 强收敛至t 2 6 ) 2 8 ) 的解b 。p ，曲则成立如t 先验误差估计： l l u - u h u l 2 ( 铀) + i t ) - s h i l l 2 ( q ) + l i p - p h i i l 2 ( q ) c ( h 2 + h u ) ( 4 1i ) 证? 因为区域q 是凸的，由定理( 2 3 ) 矢l l y 日2 ( 哟，p h 2 ( n ) p a g c u h 1 ( 国nl 。( q ) 注意到u h 在乎( a q ) 强收敛到雎由j ( u ) 的定义和原问题的凸性我们可得 c o i l u - u h l l 乞( 蛐( ( h ) 一， h ) , u - - 1 ) = ( 口，“一u h ) u 一 u h ，h u h ) u 一( ) i _ p y ( u h ) p ( u h ) ，h u h ) u ( y p ，一u h ) u + ( y h p h ，u h u ) v + ( y h p h ，h 一u ) v 1 6 其中 + ( 口u h ，“，u h u ) v 一( ) j _ p y ( u h ) p ( u h ) ，u u h ) u = ( 口u h - - y h p h ，肌一u ) v + o 仉p h y ( u h u h ) ，u h 一“) = 1 1 + 屯- ! - 如+ 厶， i i = ( y p y ( u h ) p ( u h ) 。一u ) v ， ，2 = ( ) i ( u h ) 从u h ) 一y h p h ，h u u ) v ， 如= ( y h p h y ( u h ) p ( u h ) ，u h u ) v ， 1 4 = ( _ y p ，“一u ) v = ( 吒) 一y p ，h u ) v i i p ( u h ) y ( u h ) 一p y i i l 2 ( a n ) si l p ( u h ) ( y ( u h ) 一) ，) i i 2 ( 砌) + i | ) ，( h ) 一p ) 0 l 2 ( a q ) i i p ( u h ) l l l , ( a f l ) l y ( u h ) 一y l l o t m ) + i l y l l l 4 _ 【a n ) l l p ( u h ) 一p (