（物理化学专业论文）介观化学体系中若干重要非平衡统计问题的研究.pdf

摘要 摘要 随着生命科学与纳米技术的发展，介观化学体系获得了越来越多的关注。介 观尺度上的化学反应可以用离散随机过程来描述，内涨落( 分子涨落) 是其内禀 属性。一般说来，内涨落的强度和体系的尺度或者体系内反应分子总数成反比。 在介观化学体系中，内涨落可以达到显著的程度，它可能使得体系的动力学以及 热力学性质与宏观相比有着显著差异。研究内涨落如何影响介观体系的动力学以 及热力学性质，是当前非平衡统计物理研究中的前沿课题，也是本论文的重要研 究内容。本论文着重研究了介观化学体系中的如下两类非平衡统计问题： 介观化学体系内涨落的动力学尺度效应 人们已经知道，在远离平衡条件下，化学体系可以出现丰富的动力学现象， 比如合成基因网络中的蛋白质浓度振荡，心肌细胞中的钙螺旋波，纳米粒子表 面催化体系的反应速率振荡、螺旋波以及时空混沌等。既然在介观体系中内涨 落不可忽略，那么它对于这些动力学现象会有何影响呢? 2 0 0 4 年我们组曾在表 面和细胞体系中模拟发现内涨落导致的最佳尺度效应，结果表明，内涨落在 那些靠近霍普夫分岔点的体系中可以诱导出有效振荡，并且振荡的信噪比在合 适的体系尺度下可以达到极大。后来我们在许多体系中都发现了这种现象，但 是一直不清楚它的形成条件以及机理。在本论文中，作者利用随机过程理论以 及非线性动力学的理论方法，建立了霍普夫分岔点附近的普适的随机范式方程， 成功解释了内涨落诱导振荡和最佳尺度效应的机理。在两变量布鲁塞尔体系和 三变量生理时钟体系中，我们验证了随机范式方程的有效性( 这方面的工作发 表在c h e m p h y s c h e m 以及n e wj p h y s 上) ；我们还使用随机范式方程研究了色 噪声关联性质对噪声诱导振荡的调控应用( 此工作发表在c h a o s 上) 。 介观化学体系的随机热力学 近年来，小体系的非平衡热力学特别是涨落定理和随机热力学的研究引起 了人们的广泛关注。我们将小体系热力学的最新研究进展应用到了介观化学体 系中，特别是考察了涨落定理在介观振荡体系中的具体形式，以及霍普夫分岔 对熵产生等热力学量的影响。在不可逆布鲁塞尔体系中，基于对主方程的动力 学蒙特卡洛模拟，我们检验了沿着轨线的总熵变满足的细致涨落定理，且发现 平均熵产生对体系尺度的依赖在霍普夫分岔点前后显示出不同的标度率( 此工 i t t 摘要 作发表在j c h e m ，p h y s 上) 。进一步，从描述物种浓度演化的朗之万方程出发， 我们研究了任意介观化学振荡体系的随机热力学。根据随机过程的路径积分方 法以及随机范式理论，得到了霍普夫分岔点附近熵产生的理论表达式，从理论 上证实，熵产生对体系尺度的标度关系以及在霍普夫分岔点前后标度指数发生 突变是介观化学振荡体系的普适特性。我们的工作表明有可能在体系的动力学 分岔与随机热力学性质之间可以建立起某种关联( 这方面的工作即将发表在j p h y s c h e m b ) 。我们还对介观化学反应体系单个反应通道的熵变满足的涨落定 理进行了初步的研究。 关键字：介观化学体系随机过程内涨落化学振荡 随机共振随机热 力学涨落定理 i v 摘要 a b s t r a c t i nt h er e c e n ty e a r s ，m e s o s c o p i cc h e m i c 2 l ls y s t e m sh a dg a i n e d 铲o w i n ga t t e n t i o n w i t ht h er 印i dp r o g r e s s e si nn a n o t e c l u l o l o g ya i l dl i f es c i e n c e c h e m i c a lr e a c t i o n si n m e s o c o p i cs c a l ea r ed i s c r e t es t o c h a s t i cp r o c e s s e sd e s c r i b e db ym a s t e re q u a t i o n ，s o i n t e m a ln o i s eo rm em o l e c u l a rf l u c t u a t i o ni si n t r i n s i cp r o p e n yo fc h e m i c a ls y s t e m s a m e s o s c o p i cc h e m i c a ls y s t e mc o n t a i n s0 1 1 l yas m a l la m o u to fm o l e c u l a r ，s ot l l e i n t e m a ln o i s ew i l lb es i g n i f i c 孤t ，a n dw i l la 舵c tt h ed y n a m i c sa n dt h e r m o d y n a m i c s i nt h i st h e s i s ，w eh a v es t u d i e dn l ef o l l o w i n gt w ok i n d so fn o n e q u i l i b r i u ms t a t i s t i c p r o b l e m s 、v h i c ha r er e l a v e n tt ot h ei n t e m a ln o i s ei nm e s o s c o p i cc h e m i c a ls y s t e m s ： o p t i m a ls y s t e ms i z ee f 扎c to f i n t e r n a ln o i s e o nd y n a m i c s w h e nd r i v e na w a yf r o me q u i l i b r i u m ，c h e m i c a ls y s t e m se x h i b i ta b o u n d a n t d y n 锄i cb e h a v i o r s ，s u c ha st h eo s c i l l a t i o ni ng e n en e t w o r k s ，c a l c i u ms p i r a lw a v ei n t h em y o c a r d i a l ，r e a c t i o nra _ t eo s c i l l a t i o n s ，s p i r a lw a v e 锄ds p a t i o - t e m p o r a lc h a o si nn a n op a n i c l e s u r f a c e s s i n c ei n t e m a ln o i s ei ss 追n i f i c a n ti nm e s o s c o p i cs y s t e m s ，h o ww i l li ta f ! e e c t s u c hd y n a m i cb e h a v i o r s ? i n2 0 0 4 ，o u r 伊o u pf o u n dan o v e ip h e n o m e n o ni nt h e m e s o s c o p i cc h e m i c a ls y s t e m sm a t a r en e a rh o p fb i 如r c a t i o n ，w h i c hi sc a l l e d o p t i m a ls y s t e m ss i z ee 丘e c t ，i e ，i m e m a l n o i s ec o u l di n d u c eo s c i l l a t i o n ，a n dt h e s i g n a l 。t o - n o i s e r a t i oo ft h e s en o i s ei n d u c e d o s c i l l a t i o n su n d e r g o e sac l e a rm a x i m u m u n d e ras u i t a b l es y s t e m ss i z e a r e rm a t ，w ea p p l yo u r s e l v e st of i n di t su n d e r l y m e c h a n i s m h e r e i n ，w ec o m r i b u t et ot 1 1 i si s s u eb yt h e o r e t i ca n a l y s i s s t a r t i n g 行o m c h e m i c a ll a n g e v i ne q u a t i o n s ，u s i n gt h en o n l l a lf o mm e o r e ma i l ds t o c h a s t i ca v e r a g e m e m o d ，au n i f i e d s t o c h a s t i ca v e r a g e dn o r m a lf o n n i so b t a i n e d w eh a ds u c c e d u l l y e x p l a i n e dt h ei n t e m a ln o i s ei n d u c e do s c i l l a t i o na n do p t i m a ls y s t e ms i z ee f f e c t w e h a da l s oc h e c k e dt h ev a l i d i t yo fo u rm e t h o di nm eb m s s e lm o d e la n dac i r c a d i a j l c l o c km o d e l w eh a da l s ou s e do u rm e t h o dt os t u d ym ee f ! e e c to fn o i s ec o r r e l a t i o ni n c o n t r o l l i n gt h en o i s ei n d u c e do s c i l l a t i o n s s t o c h a s t i ct h e r m o d y n a m i c s i nr e c e n ty e a r s ，n o n e q u i l i b r i u mt h e 眦o d y n 锄i c so fs m a hs y s t e m sh a sg a i n e d e x t e n s i v ea ：t t e n t i o n o fp a r t i c u l a ri n t e r e s t sa r et h ef l u c t u a t i o nt 1 1 e o r e ma n ds t o c h a s t i c t h e n t l o d y n a m i c s h e r e i n ，n u c t u a t i o nt 1 1 e o r e ma n ds t o c h a s t i ct h e r m o d y n a m i c si n v m e s o s c o p i co s c i l l a t ec h e m i c a ls y s t e m sa r ed i s c u s s e d b yd i r e c ts i m u l a t i o n i nt h e i r r e v e r s i b l eb m s s e l a t o r ，、eh a dc h e c k e dt h ev a l i d 时o ft h ed e t a i l e df l u c t u a t i o n m e o r e mf o rt h ee n t r o p yp r o d u c t o na l o n gas t o c h a s t i ct r 句e c t o r y a n df o u n dt 1 1 a tt h e e n t r o p yp r o d u c t o no ns y s t e ms i z eh a v ed i 骶r e n ts c a l i n go ns y s t e ms i z e 加nt h e c o n t r o lp a r a m e t e ri sb e f o ro ra f e rh o p fb i 几r c a t i o n f u r m e rm o r e ，b a s i n go nt h e c h e m i c a ll a n g e v i ne q u a t i o n ，w eh a ds t u d i e dt h es t o c h a s t i cm e h i l o d y n a m i c so f m e s o s c o p i cc h e m i c a lr e a c t i o nn e t 、v o r k s u s i n gm ep a t hi n t e r g r a j a 1 1 ds t o c h a s t i c n o r n l a lf o mt h e o 吼、eh a dd e r i v ee x p l i c i tm e o r e t i c a le x p r e s s i o n sf o rm em e a i l e n t r o p yp r o d u c t i o ni nt h es t a t i o n a r ys t a t e ，a n dd e m o n s t r a t e dt h a tt h es c a l i n gl a wo f e n t r o p yp r o d u c t i o no ns y s t e ms i z ea i l dt h es c a l i n ge x p o n e n tc h a j l g ea b r u p t l ya th o p f b i 缸c a t i o np o i n ti su n i v e r s a li nm e s o s c o p i cc h e m i c a ls y s t e m s ，s u g g e s t i n gar e l a t i o n b e m e e nd v n 锄i cb i 如r c a t i o na n ds t o c h a s t i ct h e m o d y n 锄i c sb e h a v i o r s w eh a da l s os t u d i e dt h e n u c t u a t i o nt h e o r e mo fe n t r o p yp r o d u c t i o no fs m g l er c a c t i o nc h a n n e l k e yw o r d s ： m e s o s c o p i cc h e m i c a ls y s t e m ， s t o c h a s t i cp r o c e s s ，i n t e m a ln o i s e ， c h e m i c a lo s c i l l a t i o n ，s t o c h a s t i cr e s o r m c e ，s t o c h a s t i ct h e r m o d y n a m i c s ， f l u c n i a t i o nm e o r e m v i 中国科学技术大学学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工 作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对 本研究所做的贡献均己在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即： 学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论 文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：肖纨军 哆年乡月2 日 第一章绪论 第一章绪论 随着生命科学与纳米技术的发展，介观化学体系获得了越来越多的关注。 介观尺度上的化学反应可以用离散随机过程来描述，内涨落( 分子涨落) 是其 内禀属性。一般说来，内涨落的强度和体系的尺度或者体系内反应分子总数成 反比。在介观化学体系中，内涨落可以达到显著的程度，它可能使得体系的动 力学以及热力学性质与宏观相比有着显著差异。研究内涨落如何影响介观体系 的动力学以及热力学性质，是当前非平衡统计物理研究中的前沿课题，也是本 论文的重要研究内容。在本章中，我们将介绍介观化学体系中内涨落的动力学 尺度效应以及小体系热力学研究的最新进展。 第一章绪论 1 1 介观化学反应的随机理论与方法 我们考虑种物质在空间y 中经m 个基元反应过程发生的均相化学反应， 用z ( f ) 表示反应体系中第f 种物质的分子数。由于内涨落的作用， x ( ，) 兰( 五( d ，k ( ，) ) 已成为随机变量，若用吒= 抓i 虿丽久五) 来衡量 内涨落的大小，则根据统计物理的一般原理，o c 专或嘉( y 和分别为 体系的体积和总粒子数) ；因此对于热力学极限下的宏观体系( 或矿专o 。) ，内 涨落一般可以忽略，但对于n 或v 较小的介观体系，内涨落可以达到显著的 水平，宏观确定性方程不再有效，体系状态的演化需要用随机动力学方程来描 述【1 ，2 1 。 1 1 1 化学主方程 由于化学反应是反应物分子发生有效碰撞的结果，而在相邻的有效碰撞之 间，有非常多的非有效碰撞，因此化学反应本质上是离散的m 破o v 随机过程。 若用p ( x ，fix 。，o ) 表示当初始时刻粒子数为x ( 气) = x 。时，反应体系在f 时刻粒 子数为x ( ，) 的概率密度函数，则尸( x ，flx 。，f 0 ) 随着时间演化遵循如下形式的化 学主方程( c h e m i c a lm a s t e re q u a t i o n s ) 【1 捌： 月， 云p ( x ，fx o ，) = 【- ( x v ) 尸( x v ，f ix o ，f o ) 一( x ) 尸( x ，fix o ，岛) j ( 1 1 ) v ；l 式中右端方括号内第一项表示体系经过化学反应到达状态x 的概率，第二项表 示体系处于x 状态时发生反应的概率，主方程实际上是概率守恒方程。 在( 1 1 ) 式中的v f = ( v i ，v ) 表示反应尺，：x 专x + v ，( = 1 ，m ) 中分子 数目的改变，矽，( x ( f ) ) 反映单位时间在体积y 内反应r ，发生的概率大小，可 称之为趋势函数( p r o p e n s i t y 如n c t i o n ) ，它的具体形式取决于反应r ，的表达式。 ( 对于宏观体系，形，( x ( ，) ) 对应于通常的反应速率，但对于介观体系，反应的 随机和离散特性使得“反应速率 缺乏严格的定义，而应代之以“反应概率 ) 。 例如，若取反应r ，为置+ 置专2 五，则有( x ) = q 五t ，v 。= ( + 1 ，一1 ，o ，o ) ， 其中c l 为某种常数，它与通常的确定性反应速率常数毛之间满足c l = 毛y 。一 般地，对于形如( m 五+ ，z 2 五一玛墨+ 托) 的反应q ，有 2 第一章绪论 邺心尚，赢与 2 ， 而( x ) 与确定性反应速率常数勺之间满足如下关系式： ( x ) y = 乞( 五矿) ( 五y ) 也 特别是当反应分子数五，置都很大时，从( i 2 ) 及( 1 3 ) 可得到 c j = 器k j 1 1 2 随机模拟方法 ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( a ) 随机模拟方法 由于化学主方程只有在极少数的情况下才能解析求解，g i l l e s p i e 以此方 程为理论基础，建立起一种随机模拟方法【3 1 。这种方法在随机化学动力学的 研究中得到了广泛应用，特别是在近年来，在亚细胞水平反应体系，如基因 表达、钙振荡等体系的研究中备受关注。为了模拟化学反应的进行，必须要 回答如下两个问题：相继发生的是哪一步反应和该反应在什么时候发生? 为 此，可以定义“下一步反应密度函数” ( n e x t - r e a c t i o nd e n s i t y 缸l c t i o n ) 尸( f ，歹ix ，f ) ，它表示在f 时刻粒子数为x ( ) 时，下一步反应在 【f + f ，f + f + 出) 内发生，且为反应r ，的概率。可以证明，随机数对( f ，) 满足 如下联合概率分布： 尸( r ，ix ，f ) = ( x ) e x p ( 一( x ) f )( f o ；= 1 ，m )( 1 5 ) 其中( x ) = ( x ) 为当前时刻所有反应的趋势函数之和。为了产生满足( 1 5 ) 卢l 式分布的随机数对，g i l l e s p i e 提出了如下算法： ( a ) 随机产生两个( o ，1 ) 间均匀分布的随机数及吃； 11 ( b ) 计算( x ) ，取f 。谚忌h 言5 j ( c ) 取为满足哌( x ) 吒( x ) 的最小整数。 七= l g i l l e s p i e 所提出的上述算法很容易计算机编程实现：按此算法产生( r ，) 后，进 行第步反应，即更新体系状态五j 置+ ( f = 1 ，) ，并更新时间f _ f + f ； 然后再按算法产生新的( f ，j f ) ，如此往复进行。 3 第一章绪论 ( ”彳一彪印方法 当体系尺度较大时，为了提高模拟的速度，还可以采用f 一跆印近似方法【4 1 。 与随机模拟方法不同，f 一跆印方法并不跟踪每步反应的发生，而是随机地确定 在接下来的时间间隔p ，f + 7 ) 内，每步反应所发生的次数k ，( f ；x ，) 。可以证明， 当r 满足所谓的“跳跃( 1 e 印) 条件，即r 足够小使得所有的趋势函数矿( x ) 并不 发生显著的改变时，k ，( f ；x ，f ) 满足泊松分布，即： k ，( f ；x ，f ) = p ( ( x ) ，f ) ( 1 6 ) 其中，p ( ( x ) ，f ) 表示均值与方差均为( x ) 的泊松随机数。7 一昆印方法的 程序实现并不困难： ( a ) 选择合适的跳跃时间f ，计算( x ) ，根据( 1 6 ) 式随机产生k ，( r ；x ，) ； m ( b ) 计算每种分子数目的变化：吣= 巧( f ；x ，) ： l ( c ) 更新分子数目：互一置+ 峭； ( d ) 重复步骤( a ) 到( c ) ，当然跳跃的时间间隔保持不变。 显然，在跳跃条件得到满足的条件下，跳跃时间越大则模拟速度越快。在体系 尺度很大从而参与反应的分子数目很多时，r 一昆印方法可以很好地模拟体系的 反应动力学行为。 1 1 3 化学朗之万方程 尽管上述随机模拟方法得到了广泛应用，但由于，( x ) o c 矿，当参与反应的 分子数目很多时，随机模拟方法非常慢。为了解决这个问题，g i l l e s p i e 先后发 展了一系列优化的、快速的近似方法。他们证明，当体系存在一个“宏观无限 小( m a c r o i 1 1 f i n i t e s i m a l ) ”的时间尺度时，体系动力学状态的演化可以用如下的 随机动力学方程来描述【5 】： mm z ( h 衍) = z ( ，) + ( x ( ，) 妙+ ( x ( ，) ) ( ，) ( 班) 啦 ( 1 7 ) 户昌lp = l 其中脚肘( f ) 表示m 个时间上独立无关的正态分布的随机数，其均值为o ，方 差为1 ；出为前面提到的宏观无限小的时间尺度：在衍时间间隔内，一方面所 有的反应灭，( ，= 1 ，m ) 已经发生多次，另一方面所有的趋势函数彬( x ( f ) ) 均相 对改变很小。当体系的尺度y 很大时，参与反应的分子数目很多，这样的条件 常常可以得到满足。因此化学朗之万方程在体系尺度较大时是对随机模拟方法 4 第一章绪论 的一个很好的近似。 根据标准的马尔科夫随机过程理论，方程( 1 7 ) 等价于如下标准朗之万方程 ( l a l l g e v i ne q u a t i o n ) ： 譬竽：兰( x ( 啪+ 兰及藏砩( ，) ( f ：1 ，) ( 1 8 ) 其中，乞( f ) 为时间无关的高斯白噪声，满足 ( 彭( f ) ) = o ，( 彭( f ) 彭o ) ) = 艿。一f i ) ( 1 9 ) 将方程( 1 8 ) 两边同除以n 引入新的矢量x = x y ，我们得到 警= 姜憎) ) + 专姜瓜碱( 1 1 0 ) 其中薯( ，) 三置( f ) y 即为第f 种分子的浓度，( x ) 兰( x ) y 是单位体积内的反应 速率。上式给出了浓度随时间演化的随机微分方程。( 1 1 0 ) 式右端第一项不含随 机数，它包含了浓度随时间变化的确定性信息；而第二项是完全随机的，它给 出了化学反应的内涨落对体系动力学行为的影响，我们可称之为“内涨落项”。 仔细观察可以发现，内涨落项中不仅包含随机数乞( f ) ，而且善( f ) 是和每步反应 髟的特征量( x ) 及v p 相互耦合在一起的。因此，化学朗之万方程清晰地给出 了化学反应的内涨落的特征。特别地，内涨落项的大小与1 矿成正比，因此当 矿哼o o 时，内涨落项可以忽略，我们得到 字磐：兰( x ( f ) ) ( 1 1 1 ) 而这正是宏观确定性方程的具体形式。 对朗之万方程( 1 1 0 ) 进行积分，我们可以确定一条特定的“样本 轨迹。而 为了从整体上了解体系的统计性质，常需要研究随机浓度变量x ( ，) 的分布函数 p ( x ；f ) 的演化规律。对于方程( 1 1 0 ) ，p ( x ；f ) 遵循如下的福克一普朗克方程 ( f o k k e r 。p l a n c ke q u a t i o n ) 【6 】 可以证明，( 1 1 2 ) 式和主方程( 1 1 ) 的二阶克莱默斯莫依尔展开是一致的5 1 。如果 我们能求出方程( 1 1 2 ) 的定态解，就可了解系统的长时间行为。一般说来，精确 求解福克一普朗克方程是十分困难的，只有对于特定的体系，可以求得定态解f 6 1 。 5 ，k ， 畎 膨 m川、凡。 广，l h一，一e 瑞莲 兰啦蕊蠹 、- 、一 1 _ l 力一 伍一街，少地街专 第一章绪论 因此，更多的情况下是基于对朗之万方程的数值积分，进行多样本的统计平均 后，以了解体系的行为。 简言之，对于介观化学反应体系，由于内涨落的作用不可忽视，体系的动 力学行为必须用随机过程的理论方法来研究。当体系的尺度较小时，随机模拟 方法可以给出精确的结果；而当体系尺度较大时，随机模拟方法基本不可行， 此时可以采用f 一彪印及化学朗之万方程的近似方法来研究。可以证明，对于大 的体系，f 一拓印方法和化学朗之万方程实际上是相互一致的。与f 一拓印方法 相比，化学朗之万方程给出了内涨落项的具体表达形式，明确了内涨落与体系 的尺度、状态及控制参量间的关系，因此物理概念更加清晰。一般在实际的工 作中，随机模拟和化学朗之万方程是比较常用的方法。 1 2 介观化学体系内涨落的动力学尺度效应 近年来，随着化学研究的对象向生命和纳米体系的深入，介观化学体系动 力学规律的研究已成为受到广泛关注的前沿课题。对于分子总数或反应体系的 体积较小的介观体系，“内涨落”可以达到显著的水平。研究内涨落对介观体系 性质，包括热力学和动力学性质的影响，是目前统计物理发展和研究中的个 重要方向。另一方面，在介观生命和表面催化等介观化学体系中，实验上也发 现了大量非线性动力学行为，包括多重定态【7 捌，化学振荡【l o 1 1 1 ，图灵斑图盼1 4 1 ， 化学波【1 5 - 1 7 1 和化学混沌【1 8 ，1 9 】等。因此，一个自然的问题是，内涨落对介观化学 体系中的非线性动力学行为有什么作用呢? 最近，生命和表面催化体系中内涨落效应的研究已开始受到越来越多的关 注，并且已经取得了一些重要的成果。在生命体系，特别是基因表达过程中， 由于参与反应的分子数目非常少，内涨落的效应尤其受到重视【2 0 。2 引。另外，由 于生理时钟振荡在分子水平上是由基因表达过程调控的【2 川，因此内涨落对生理 振荡的影响同样受到关注。例如人们已经发现，一旦体系的内涨落太大，则生 理振荡已经失去意义【3 0 】，从而为了抵制内涨落，对生理振荡的机制提出了更高 的要求【3 l 】；但同时人们又发现，某些情况下内涨落又有可能诱导产生生理振荡， 使得内涨落的效应更加复杂【3 2 】。在表面催化体系中，当涉及到非常小的尺度时， 参与反应的分子数目较少，内涨落也可能对反应活性以及反应速率等起到重要 的影响【3 3 。6 】。 近年来，我们组在介观化学振荡体系内涨落效应的研究中取得了一系列进 展。我们发现，内涨落与体系非线性动力学机制的相互耦合作用可导致三种类 型的动力学尺度效应：最佳尺度效应【3 7 4 3 1 ，尺度选择效应m 4 ，4 5 】和双重尺度效应 6 第一章绪论 f 4 6 4 7 1 ，这些结果给出了介观尺度效应的一种新机制。 1 2 1 最佳尺度效应 化学振荡是一种非常重要的非线性化学动力学行为。前面已经提到，生命 和表面催化等介观化学体系中，实验上已经发现了大量的化学振荡现象，它们 对实际体系功能的实现有重要作用。由于化学振荡是一种时间规则的行为，因 此一个重要的问题是：内涨落如何影响介观化学振荡行为呢? 由于内涨落的大 小依赖于体系的尺度儿内涨落的作用同时也反映了体系尺度对振荡行为的影 响。 为了研究这个问题，不失一般性，我们组选择了一个一般的化学振荡模型 【3 8 1 ：布鲁塞尔子( b m s s e l a t o r ) 。布鲁塞尔子最早是由普里高津提出的假想的化学 反应模型，用以阐述他所提出的耗散结构理论。布鲁塞尔子包含如下的基元反 应过程： 彳兰b x ，x 蔓专l ，2 x + 】，兰b 3 x ，x 且专e( 1 1 3 ) 相应的宏观确定性方程如下： 鲁= 墨一也h f y 却，去= 如彳一妒少 ( 1 1 4 ) 其中x 和y 分别表示x 和y 分子的浓度。方程( 1 1 4 ) 的稳态解酬国= o ，砂毋= o 给出墨= 岛毛及儿= 如k 毛坞。定义口董2 也，则在= 2 ( 1 一”) 时，由( 1 2 0 ) 定义的动力学方程发生霍普夫分岔( h o p fb i 觚a t i o n ) ：当口 时体系最终会稳定在( t ，儿) 状态上。 为了研究内涨落的效应，需要采用随机动力学的方法。根据( 1 1 3 ) 列出的 基元反应过程，可以写出相应的趋势函数形，如下： 形= 毛矿，= 如x 。矿，= 岛x 2 y y ，= 颤x 矿 ( 1 1 5 ) 按照前节描述的方法，可以利用随机模拟和化学朗之万方程的方法来研究体系 的行为。根据( 1 1 0 ) ，可以得到体系的化学朗之万方程如下： 等= 魄一缸+ 协一纠专( 卮一厩+ 厩 一厩叫 羚制专( 一蛾嘲 。_ 6 已有的研究表明【4 8 1 ，介观化学振荡体系动力学行为( 比如相关时间) 对y 的依 赖关系取决于控制参量口的大小：当口处于振荡区以内时，存在一个y 的临界 值屹，使得当y 口。且靠近瓯， 即体系处于确定性方程预言的霍普夫分岔点右端附近的稳定点区域时，随机模 拟方法、r 一饴印方法和化学朗之万方程均能产生随机振荡。与完全随机的噪声 不同，这些随机振荡包含了体系的内信号信息，其功率谱在霍普夫分岔点的特 征振荡频率附近，可以看到明显的信号峰。内涨落诱导的随机振荡的出现，意 味着此时体系的动力学行为对尺度y 有非单调的依赖关系。当y 很大时，如 矿专o o ，确定性方程( 1 1 4 ) 有效，此时体系处于稳定点状态，不会出现振荡：当 y 很小时，内涨落非常大，任何振荡信息都被淹没到涨落背景之中。而当矿处 于某个中间值时，内涨落强度适中，此时内涨落诱导的随机振荡会最为规则。 因此，体系的随机振荡的强度随着矿的改变出现了极大值。 为了描述这种现象，取气= 1 o ，以= 2 o ，口= 1 1 。由于= 2 ( 1 一t 只) = 1 o ， 此时体系处于确定性方程所定义的稳定点区域。图1 1 中给出了 矿= 1 0 2 ，1 0 5 及1 0 9 时随机振荡的功率谱密度( p o w e rs p e c t r u md e n s i t y ：p s d ) 曲线。 其中，净1 0 0 的结果由随机模拟方法得到，其他两条曲线由f 一跆印方法得到。 3 条曲线上都有明显的峰，随着体积矿的增大，相应的噪声背景值降低，而峰 的宽度和高度也发生变化。可以明显地看出，肛1 0 5 时信号峰相对而言更为尖 锐，即振荡信号最强，时间序列最为规则。为定量地表征随机振荡的“有效强 度”，我们使用有效信噪比：舒限：型婴生。图( 1 2 a ) 给出了舒侬值随体 p ) 国c 一a 系尺度y 的变化曲线，可以明显地看到，矿1 0 4 5 时有效信噪比田哝出现极大 值。这种现象和随机共振非常类似；由于它是内涨落导致的，因此被称为“内 涨落随机共振”，又由于内涨落的最佳值同时意味着尺度y 的最佳值，因此也称 这种现象为“尺度共振”( s y s t e ms i z cr e s o n a l l c e ：s s r ) 。从图( 1 2 a ) 中可以看出， 随机模拟方法方法、f 一跆印方法以及化学朗之万方程得到了定性上相当一致的 结果，特别是在胗1 0 4 时，f 一比印方法和化学朗之万方程几乎定量一致，这种 一致性说明尽管化学朗之万方程在y 较小时不能严格成立，但用它来研究体系 内涨落的效应仍是一个方便可行的方法。因此，为方便起见，我们可以用化学 朗之万方程对体系中内涨落的效应作进一步系统的研究。在图( 1 2 b ) 中，我们给 8 第一章绪论 出了当a 渐渐远离分叉点时肼氓l o g ( y ) 曲线的变化，可以看到尺度的最佳 值圪p t 渐渐向小的方向移动，相应的信噪比的最大值趴戤渐渐降低。可以预 见，当口进一步远离时，信噪比的峰值将会消失，因此体系的行为将不再依 赖于尺度儿 图1 1 ：布鲁塞尔子体系随机振荡时间序列的功率谱密度曲线( 本图摘自文献 3 7 ) ， 9 (口sd；isuo寺ds。鐾od 第一章绪论 图1 2 ：( a ) 有效信噪比s n r 随体系尺度v 的变化，口= 1 1 ；( b ) s n r v 曲线随控制参量 口的变化，从上到下，口分别为l 。1 ，1 2 。1 3 和1 4 。( 本图摘自文献 3 7 ) 最佳内涨落( 尺度) 效应的发现，它改变了人们对内涨落的一直看法。例 如，在目前对生理时钟振荡及合成基因网络振荡的研究中，人们大多假定内涨 落是起破坏作用的，因此主要研究生命体系是如何有效地抵制这些内涨落，以 使得介观化学振荡具有稳固性( r o b u s t n e s s ) 3 1 ，3 2 1 。但“最佳尺度效应”表明，内 涨落实际上可以起到积极作用的：一方面内涨落可以诱导随机化学振荡，实际 上增大了振荡出现的参数范围，从而增加了介观化学振荡的稳固性；另一方面， 最佳尺度的存在，提供了介观化学体系尺度效应的一种新机制，它是化学体系 内禀的分子涨落和体系中的非线性动力学特性相互作用的结果。内涨落在分岔 点的这种效应，也可以理解成普里高津“涨落导致有序 观点的一个佐证。 1 2 2 尺度选择效应 在表面催化体系和钙振荡体系中，我们组发现随着体系尺度( 内涨落大小) 的变化，内涨落诱导的随机振荡的强度可以出现两个极大值，并且两个极大值 对用于不同的振荡形式和频率，这种现象可以形象地理解为一种“尺度选择效 应”。下面以钙振荡体系为例作简单说明【4 5 】： 生命体系中，钙作为第二信使，对生理功能的实现起着非常重要的作用。 钙离子振荡信号既调节着细胞内的生命过程，同时又在细胞间传递信息以控制 细胞整体的行为【2 7 1 。有关钙振荡的实验工作很多，人们也提出了许多相应的动 力学模型，较好地解释了实验现象【1 2 】。目前绝大多数的理论模型都是确定性的， 并没有考虑内涨落的效应。然而细胞是一个典型的介观化学反应体系，内涨落 的作用不可忽略；实验上也观察到钙振荡并不规则，其振幅和相位都有明显的 l o 第一章绪论 涨落，意味着涨落实际上的确存在。因此，研究内涨落对细胞内钙振荡过程的 影响是十分自然，而又有重要实际意义的问题。 表1 1 ：细胞内钙振荡反应过程及其速率，其中尸为控制参量 随机过程描述 结果反应速率 麟( 1 ) ：1 w t = p ( 寺) 钙经细胞膜输入细胞 z ( 1 ) = 1 从( 2 ) ：一1 ( v 4 南 钙经细胞膜从细胞中输出 z ( 2 ) ：一l 从( 3 ) = 1 卜悟一x ) 内质网释放钙至细胞质中 z ( 3 ) ：0 赵( 4 ) = 一1 ( v 3 南) 内质网从细胞质中吸收钙 z ( 4 ) = o 钙振荡的模型有很多，不同的体系有不同的振荡机制，这里我们选择h 6 f e r 等1 9 9 9 年提出的肝细胞中的钙振荡模型【4 9 1 。细胞内的钙离子可以在细胞质、内 质网、线粒体、及一些细胞内的蛋白质之间流动，还可以透过细胞膜和外界发 生交换。根据h 6 f e r 的模型，钙离子在细胞质、内质网和细胞外的交换是关键 的过程，可以忽略其他的物质交换过程。实际上，细胞内发生的生物化学反应 过程相当复杂，例如钙离子在内质网膜上的进出就涉及到膜内离子通道的开关 等很多细节。但为了考察在整个细胞尺度内化学反应的随机性带来的影响，我 们并不仔细地研究每步化学反应的细节，而是采用准静态近似，将细胞内发生 的反应过程根据不同的时间尺度加以整合。记细胞质内的钙离子数目为x ，整 个细胞( 包括内质网) 内的钙离子数目为z ，则细胞内的反应都将导致x 和z 数目的变化。作为简单但不失一般性的处理，可以将细胞内的反应分为4 个过 程，如表1 1 所示。表中x 和z 分别表示细胞质内和整个细胞中自由钙离子的浓 度，y 代表细胞质部分的体积，相应的反应速率都是准静态近似后的结果。函 调= “寿赤器卜，其蜊咖畋器，描述了钙离子经 第一章绪论 苏隅 去= 二刮叶+ 侈刊 1 2 1 4 41 4 5 1 4 61 4 7 1 4 81 4 9 1 5 0 p = l p i | 棚一 图1 3 ：肝细胞钙振荡体系的分岔图( 本图摘自文献 4 5 ) 第一章绪论 f 三 蓉 j 堇 图1 4 ：细胞钙振荡体系中的尺度选择效应( 本图摘自文献 4 5 ) 当忽略方程右端的内涨落项时，我们可以得到确定性动力学方程。取p 为控制 参量，则体系的分岔图如图( 1 3 ) 所示。可以看到，体系在p 1 4 5 m 时发生霍 普夫分岔，而在p 1 4 7 m 时发生了c a j l a r d 现象。可以预期，当体系处于霍 普夫分岔点左端的区域时，我们可以观察到尺度选择效应。图( 1 4 ) 显示了 尸1 3 m 时随机钙振荡的有效鲫豫随矿的变化。可以明显地看到，在y 1 0 3 和y 1 0 6 时信噪比s n r 均出现极大值。图中也给出了随机振荡的频率的信息， 两个峰所对应的振荡有明显的不同：前者是大幅的弛豫振荡，而后者是小幅的 简谐振荡。因此，不同大小的内涨落对钙振荡信号表现出了选择性。 细胞钙振荡过程中尺度选择效应的存在，意味着内涨落对细胞内钙信号的 产生及传递有着重要的调控作用。然而，由于真实体系的细胞尺度并不能作为 自由可调的参量，而是具有一定的范围，因此这种效应对生物体内的生理过程 有什么影响，目前并无定论。但很值得一提的是，第一个峰对应的最佳尺度 矿1 0 3 m 3 恰恰与真实细胞的大小处于同一个量级，而细胞内许多功能的实现 又常常是利用大幅的弛豫振荡，因此似乎生物体可以通过调节自身的参数以工 作在一个最佳的尺度上。进一步研究还表明，第一个峰的位置对i p 3 的值并不 敏感，意味着处于该尺度的细胞可以很好地响应相当宽范围内的外界刺激，有 稳固特性。 1 3 第一章绪论 1 2 3 双重尺度效应 以上阐述了单个动力学单元中由内涨落所导致的尺度效应。在实际体系 中，这些动力学单元，如细胞、神经元等，常常是耦合在一起的，因此在了解 了单个动力学单元行为的基础上，进一步研究耦合体系中内涨落的效应是一个 自然而重要的问题。此处关心的问题是：在单个动力学单元中观测到的尺度效 应如何受耦合方式、耦合强度、耦合单元个数等因素的影响。具体地，我们研 究了耦合细胞和神经元体系的集体动力学行为，发现：耦合对于单个细胞中的 尺度共振效应有很大的增强效应；并且当细胞或神经元的个数处于某个中间值 时，尺度共振效应得到最大增强。因此，不仅单个细胞或神经元的尺度存在最 佳值，而且细胞或神经元的个数也有最佳值。由于动力学单元的个数表征了耦 合体系的尺度