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山东大学硕士学位论文 条件变异系数的非参数估计方法 贾玲玲 ( 山东大学金融研究院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 摘要 条件变异系数经常被用于理解统计数据的局部变异程度本文的目的是在包括非线 性时间序列模型作为特殊情形的般设置中，提出了估计条件变异系数的平方c v 2 ( ) 的 一种有效适应的方法一一局部线性估计，精确地算出了估计的m s e 和m i s e ，且给出并证 明了估计的渐近正态性这种方法的基本思想是对垒王；睾坐应用局部线性回归， 其中侥( 五) 是回归函数的估计我们证明了t 既使对回归函数一无所知，我们对条件变 异系数的平方c v 2 ( ) 的估计结果基本上和回归函数已知时一样好这个渐近结果，是在 观测来自严平稳且绝对规则过程的假设下建立的。并通过模拟得到验证更进一步， 这个渐近结果为应用自动窗宽选择铺平了道路 本文考虑了回归模型t x = m ( 五) + 口( 五) 日 这里似，五) 是和( y ，x ) 有相同的边际分布的二维严平稳过程。且数据( m ，x 1 ) ，( k ，局) ， ，( k ，五。) 是来自未知联合密度，( ，) 。m ( 功= e ( y i x = z ) 和0 盯2 = v a r ( y l x = $ ) 0 0 在上述模型满足一定条件下，得到了本文的主要结论 当回归函数m ( ) 巳知时， 定理1 ；假定模型( 1 0 1 ) 和条件( c 1 ) 一( c 4 ) 都成立，若c v 2 ( ) 有连续有界的二阶 导数，则当，l o o ，h i 一0 ，且n h l _ 0 0 时，估计( + ) 有m s e ： e ( 嘶_ c v 2 ) 2 - ；缈e 肛舡一 + 击友1 ( z ) 舻( z ) e 伊( z ) 上。k 2 ( p ) 咖 + o ( 研+ 赤) 其中 a 。( z ) ：e ( 矿一。) z i x ：z ，。：壑铧 a 2 ( z ) = e ( 矿一1 ) 2 i x = z ，e = 竺j 警；竺丛 山东大学硕士学位论文 定理3 ，在模型( 1 0 1 ) 和条件( c 1 ) ( c 9 ) 下。有( n h l ) ( c 诺( z ) 一c y 2 0 ) 一k ) 是 零均值，方差为友1 ( z ) c 伊( z ) a 2 ( z ) ：k 2 ( t ) 砒的渐进正态分布 其中 p ( ) = 叫( 户一1 ) 2 i x f f i ，s = 百y - r a ( x ) ， k ：篓c ；v 2 ( z ) - p 2 ( p ) d u + 。( ；) 当回归函数m ( ) 未知时， ， 足埋4 征俱型1 0 - 1 ) 和系仟【u l j ( c 4 ) p ，看u y 【j 有连绥有界的二肜r 导奴。 则当侣一，h l o , n h l 0 0 ，且h 2 0 的速度不比h i 一0 的速度慢时。估计( ? + ) 有m s e ： e 咖2 _ c v 2 ) 2 = ；仁肛咖卜 + 妄废t ( z ) a 2 0 ) c v f f 霉) 厂佃k ) c v f f z ( p ) 咖 + 元瓦废1 ( z ) r 和善) 上。 2 ( p ) 咖 + 。( 研+ 蟛+ 而1 ) 其中 a 2 ( z ) = e ( e 2 1 ) 2 i x = z ，s = y i - 乏m i ( r x 一) 定理6 ，在模型( 1 0 1 ) 和条件( c 1 ) - ( c 9 ) 下，且当1 2 0 的速度不比h l 一0 的速度 慢时，有( n h l ) ( c 犷( z ) 一c v 2 ( z ) 一k ) 是零均值，方差为左1 ( z ) e ) a 2 扛) j 竺k 2 ( u ) d u 的渐进正态分布 其中 m ) = e 舻一1 ) 2 t x = z ) ，= y - 孤r e 广( x ) ， k ：等矿2 ( z ) 厂啪u ：k ( u ) a u + 。( 墙+ h i ) i i 关键词，条件变异系数，非线性时间序列，局部线性回归，绝对规则，自动窗宽选择 山东大学硕士学位论文 n o n p a r a m e t r i ce s t i m a t i o nm o t h e d o fc o n d i t i o n a l c o e m c i e n to fv 打i a t i o n j i al i n g l i n g ( s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a t h e m a t i c a lc o u e g e ，j i n u n ，2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t c o n d i t i o n a lc o e f f i c i e n to fv a r i a t i o nh a sb e e no f t e nu s e di nu n d e r s t a n d i n gt h el o c a lv a r i a b i l i t yo fs t a t i s t i c a ld a t a i nt h i sp a p e r ：u n d e rag e n e r a ls e t - u pw h i c hi n c h d 鹤n o n l i n e a r t i m es e r i e sm o d e la sa s p e c i a lc a s e 。w ep r o p o s e 衄e f f i c i e n ta n da d a p a t i v em e t h o df o re s - t i m a t i n gt h es q u a r e dc o n d i t i o n a lc o e f f i c i e n to fv a r i a t i o n - l o c a ll i n e a re s t i m a t o r ，t h em s e a n dm i s eo ft h ee s t i m a t o r sa r ec o m p u t e de x p l i c i t l y , a n dg i v e no u ta n dp r o v e dt h ea s y m p - t o t i c 如r m a l i 哆o ft h ee s t i m a t o r s t h eb a s i ci d e ai s t oa p p l yal o c a ll i n e a rr e g z e s s i o n t o 竖吾；暑芝竽骶d e 啪n s t r a t e 伍a t ：而t h o u th o w 她恤r e s r e 朝洒f u n c t i o n , w e c a n e s t i m a t et h e 默蚪e dc o n d i t i o n a lc o e f f i c i e n to fv a r i a t i o na s y m p t o t i c a l l y 柏w e l la si ft h e r e g r e s s i o nf u n c t i o nw e r eg i v 姐t h i sa s y m p t o t i cr e s u l t ，e s t a b l i s h e du n d e rt h ea s s u m p t i o n t h a tt h eo b s e r v a t i o n sa r em a d ef r o mas t r i c t l ys t a t i o n a r ya n da b s o l u t e l yr e g u l a rp r o c e s s ，i s a l s ov e r i f i e dv i as i m u l a t i o n f u r t h e r ，t h ea s y m p t o t i cr e s u l tp a v e st h ew a yf o ra d a p t i n ga n a u t o m a t i cb a n d w i d t hs e l e c t i o ns c h e m e w ec o n s i d e rr e g r e s s i o nm o d e l ： m = m ( 五) + 盯( 五) 缸 w h e r em ，五) b eat w o - d i m e n s i o n a ls t r i c t l ys t a t i o n a r yp r o c e s sh a v i n gt h es a m em a r g i n a l d i s t r i b u t i o n 鹪( y ，x ) ，as a m p l eo fd a t am ，五) ，m ，恐) ，矗) f r o m 龃i l n k i l o w j o i n t ，( 。) l e t m ( x ) = e ( y x = z ) a n d0 0 , 2 = v a r ( y i x = z ) o o w h e nt h ea b o v em o d e ls a t i s f i e ss o m ec o n d i t i o n s 帆d r i v et h en l a i nr e s u l to ft h ep a p e r ： w h e nr e g r e s s i o nf u n c t i o nm ( ) i sk n o w ， t h e o r e m1 ：s u p p o s et h a tm o d e l ( 1 0 ，1 ) a n dc o n d i t i o n s ( c 1 ) ( c 4 ) h o l d ，i fc v 2 ( ) h a s ab o u n d e ds e c o n dd e r i v a t i v e t h e n ，w h e nt l 叶c o ，h i _ 0a n dn h l o o ，t h ee s t i m a t o r ( 宰) i i i 瑚乐大竽坝士学位记文 h a s m s e ： e ( 西专( 习- c v 2 ) 2 一； 西名e 矿k 缸) 2 ： + 圭废2 扛) a 2 0 ) o v a ( ) o v a ( z ) 厂抽k 2 ( 1 ) d t j + 而废。o z ) 上。 + 。( 碍+ 而1 1 w h e r e a 2 ( z ) = e ( 矿一1 ) 2 i x = z ) ，；= 钾 t h e o r e m3 ：u n d e rm o d e l ( 1 0 1 ) a n dc o n d i t i o n s ( c 1 ) 一( c 9 ) ，t h e n ，( n h l ) ；( 皖( 司一 d 俨( $ ) 一b n ) i sa s y m p t o t i c a l l yn o r r e a lw i t hm e a n0a n dv a r i a n c ef x l ( 。) e ( 茹) 舻( z ) e 了k 2 ( w h e r e a 2 ( z ) = e ( e 2 1 ) 2 i x = z ，= 并， 6 疗：等咖2 扛) 厂佃矿k 咖+ 蝴 w h e nr e g r e s s i o nf u n c t i o n 仇( ) i 8u n k n o w ， t h e o r e m4 ：s u p p o s et h a tm o d e l 【1 0 1 ) a n dc o n d i t i o n s ( c 1 ) 一( c 4 ) h o l d ，i fc v 2 ( ) h 鹤 ab o u n d e ds e c o n dd e r i v a t i v e t h e n ，w h e n7 l - + c o ，h l 一0 ，n h l _ + a n d c o n v e r g e s t o 0n om o r es l o w l yt h a th l ，t h ee s t i m a t o r ( 料) h a sm s e ： e ( 一e 脚) ) 2 = ： 嘶z ) c 棚眦) 2 磅 + 圭友t a 2 ( z ) c p ( z ) 厂佃k 2 ( p ) 舡 + 而废1 ( z ) ”【z 矽y ( z ) 上。k 2 ( p ) 舡 + 口( 磷+ 磅+ 而1 ) w h e r e 脚) = e ( 户一1 ) 2 i x = 茹) ，s = r - 丽r e ( x ) i v t h e o r e m6 ：u n d e rm o d e l ( 1 0 i ) a n dc o n d i t i o n s ( c 1 ) ( c 9 ) ，a n db c o n v e r g e st o 山东大学硕士学位论文 = = = ：= ：= ：= ：= ：= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 0n om o r es l 册r l yt h th i t h e n ，( n h l ) j ( 咖2 ( 霉) 一c v 2 ( z ) 一k ) i sa s y m p t o t i c a l l yn o r m a l w i t hm e a n0a n dv a r i a n c e 友1 ( x ) c v 4 ( z ) a 2 ( z ) 仁芋舻( 缸) 如，w h e r e 脚) = 以( 2 一1 ) 2 i x = z ，= 百y - r e ( x ) ， k = 譬矾习e 肛( 椭+ o ( 哪国 k e yw o r d s lc o n d i t i o n a lc o e f f i c i e n to fv a r i a t i o n ；n o n l i n e a rt i m es e r i e sm o d d ； l o c a ll i n e a rr e g r e s s i o n ；a b s o l u t e l yr e g u l a rp r o c e s s ；a u t o m a t i cb a n d w i d t hs e l e c t i o n v 第一章前言 许多科学研究都依赖于理解数据的集中趋势和离散程度在统计中，常用均值和标 准差分别来表征数据的集中趋势和离散程度但它们都有具体的计量单位，会给不同总 体之间的对比分析带来极大不便例如，某行业工人的周平均工资为2 0 0 元，其标准差 盯= 1 0 元；而这个行业工人的平均年龄为5 0 岁。其年龄标准差为l o 岁标准差都是 1 0 ，似乎其离散程度是相等的但我们直观感觉年龄数据的离散程度更大从统计方法 的角度看，此类问题可以用变异系数加以解决 变异系数是相对数的形式，即c v = = ( 其中口代表标准差，p 代表均值) ，完全排除了 p 一 1 n 计量单位对计算结果的影响在上面举的例子中，工资的变异系数c v = = = 蒜4 v ：= o 0 5 ， 1 0 p u o 而年龄的c v = = = 三= 0 2 显然。年龄数据的离散程度更大利用变异系数可以对 不同总体的离散程度直接进行比较 在实践中。总体的变异状况通常是未知的，需要根据历史数据对变异系数进行估计 并且总体的变异状况通常也是时变的，故要对条件变异系数进行估计 。 对条件变异系数进行估计可以用参数方法，常用参数方法包括t 矩法，极大似然法 和最小二乘法当数据的分布类型已知时，用参数方法估计是很有效的但在大多数情形 下，数据的分布类型是不知道的这时只能用非参数方法估计，非参数方法估计的优点 是不需要知道数据的分布类型，只要有数据就能进行估计最常用的非参估计方法是核 方法，比较流行的核方法包括n a d a r a y a - w a t s o n n a d a r a y a ( 1 9 6 4 ) w a t s o n ( 1 0 4 ) 】和 g a s s e r - m i i l l e r 【g a s s e r & m i i l l e l ( 1 9 7 9 ) 】估计但n a d a r a y a - w a t s o n 和g a s s e r - m t i l l e r 核 估计都有边界影响【可以参看f a n ( 1 9 9 2 ) ，c h u & m a t r o n ( 1 9 9 1 ) ，h a r d l e ( 1 9 9 0 ) ，m i i l l e r ( 1 9 8 8 ) 】为了修正n a d a r a y a - w a t s o n 和g a s s e r - m i i l l e r 核估计法的缺点，我们介绍局部 线性回归估计局部线性估计能自动校正边界影响【f a n g i j b e l s ( 1 9 9 2 ) ，r u p p e r t & w a n d ( 1 9 9 4 ) ，h a s t i e & l o a d e r ( 1 9 9 5 ) 】另外，从渐近最小最大的意义上来说局部线性 估计是高统计有效的并且它是设计适应的 f a n ( 1 9 9 3 ) 】由于局部线性估计有这么多好的 性质，我们选择局部线性估计来估计条件变异系数 为了技术上的方便，我们把对条件变异系数的估计转化为对条件变异系数平方的估 计 这个问题用数学的语言表述如下t 令似，五) 是和( y ，x ) 有相同的边际分布的二维严平稳过程，且数据m ，五) ， 山东大学硕士学位论文 ( 砼，恐) ，( k ，五；) 是来自未知联合密度，( ，) ，其x 的边际密度为厶( ) 令 m ( z ) = e ( y x = 菩) 和0 0 。使得对所有的n ，有 p 【i 吒1 矗| m 】 0 ，当 n _ 时，有 p 【i 吒1 矗l m l 一0 定义2 对在【o ，1 j 上取值的任意两个函数f 和g ，其积分平方误差( i s e ) 定义为 j r ( ，g ) 一( ，( z ) 一9 ( z ) ) 气k 其积分平方误差的期望( m i s e ) 定义为 j ( f ，g ) = e i ( i , g ) = e ( ，( z ) 一夕( 功) 2 文z 定理1 ( l i a p o u n o v 定理) 令五。1 ，五。2 ，五。是行独立随机变量，且 = e ( i ) ，2 = y 口r ( ) ，对某些6 0 和所有的n , d ，有= e 1 一m i 州 0 是窗宽( 也称平滑参数) n a d a r a y a - w a t s o n 核估计的优点是有个明确的关于善的权函数表达式，便于计 算但由于其分母是随机的，给理论处理带来了困难为此g a s s e r 和m i i u e r 于1 9 7 9 年 提出了g a z s e r - m i i l l e r 核估计，其形式如下， 稍加丢喜m c ，耳( 等) 托 这里巩= 翌之掣，i ：1 ，2 ，n 一1 s o = 一o 。，；+ 其对应的霰函数是， 扳k ( 等灿 由上面的权函数的表达式可以看出g a s s e r - m i i l l e r 估计的权和为1 ，解决了分母是 随机变量的问题对于g a s s e r - m i i l l e r 核估计，m i i l l e r ( 1 9 8 8 ) 进行了详细的讨论 无论是n a d a r a y a - w a t s o n 核估计，还是g a s s e r - m i i l l e r 核估计，其实都是局部常数 拟合事实上对m ( ) 作局部常数近似为口，再利用局部加权最小二乘估计求得 虎0 ) = d ， = a r g n ： i l 喜( 纠胤= 紫 令坝= ；k ( 墨) ，可以得到n 8 d 8 r 驴w 玑啪估计令 毗= ；仁，k ( 罕) 也。可以得到g 一卜m i i u e r 估计 关于上述两种估计，n a d a r a y a - w a t s o n 估计有较大的偏差而g a s s e r - m i i l l e r 估计 虽然有较小的偏差，+ 却增大了方差并且，n a d a r a y a - w a t s o n 估计和g a s s e r - m i i l l e r 估 计都存在边界影响对于边界影响问题，虽然提出了边界核修正方法，但效果并不理想 近年来一种新兴方法一一局部多项式回归方法没有边界效应关于这一点在f a n g i j b e l s ( 1 9 9 6 1 鬈l o c a lp o l y n o m i a lm o d e l l i n ga n d i t sa p p l i c a t i o n s 一书中有详细的论 证下面我们来介绍局部线性回归估计 4 + 山东大学硕士学位论文 2 2局部线性估计 我们这里所用的局部多项式估计，其思想来源于s t o n e ( 1 9 7 7 ) c l e v e l a n d ( 1 9 7 9 ) k a t k o v n i k ( 1 9 7 9 ，1 9 8 5 ) 把这种思想应用于非参回归模型，t s y b a k o v ( 1 9 8 6 ) 研究了非参 回归中局都线性估计的统计性质( 收敛性，收敛的速度，渐进正态性) 。f a n & g u b e l 8 ( 1 9 9 6 ) 对局部线性估计作了较为的详细的描述类似的思想也可以在i j e j e u n e ( 1 9 8 5 ) ， m i i l l e r ( 1 9 8 7 ) ，c l e v e l a n d d e v l i n ( 1 9 8 8 ) ，h a l l & c a r r o l l ( 1 9 8 9 ) ，f a n ( 1 9 9 2 ) ，f a n & g u b e l 8 ( 1 9 9 2 ) ，f a n ( 1 9 9 3 ) ，n e u m a n n ( 1 9 9 4 ) 和f a n y a o ( 1 9 9 8 ) 等文献中发现假定 我们知道被估函数的二阶导数存在，其思想是把m ( 五) 作线性近似， m ( 墨) = a + b ( 五一茹) 再利用局部加权最小二乘估计求得侪( 神= a ， 阮幻= a r g 嘧喜( k 一( z 一剐2 彬( 竿) ， ( 2 2 1 ) 其中( ) 是一核函数。h 0 是窗宽令a 和6 是加权最小二乘问题( 2 2 1 ) 的解经 过简单的计算有 喇一紫， ( 2 。2 ) 其中 。 7 弛= ( 苎 墨) ( ，2 一。一五) 如1 ) ， ( 2 2 3 ) 且 j = 妻( 竿) ( ? 一划， l 扎1 2 ( 2 删 估计( 2 2 2 ) 有一个好的特性是权摹毗满足t 。 o 一五) 毗；0 ， ( 2 2 5 ) 这个性质保证了估计的偏差不依赖于边际密度厶( ) 的导数为了明白这一点，我们看 下面的式子 e a ) ) 一。( z ) = e 薹羔譬塞学) ， 5 山东大学硕士学位论文 利用( 2 2 5 ) 我们得。 e a ( 霉) ) 一d ) = e 羔兰丛垫塑蔓l _ 兰宴三：笋型垦墨迹) 如果我们在x 点对口( 五) 进行泰勒展开。当有效设计点有( 五一z ) 2 = d ( 舻) 的阶时，则 估计的偏差的阶是o ( h 2 ) 因此。在上面的计算中，x ( ) 的导数没有被涉及 n 局部线性估计有重要的样本性质，它既适应于固定设计也适应于随机设计且适应于 各样的设计密度函数厶( ) ，并且从渐近最小最大的意义上它是最佳线性估计f 参看f a n ( 1 9 9 3 ) 定理5 】它也有好的有限样本性质和设计适应性质渗看f a n ( 1 9 9 2 ) 1 下面我们推广局部线性回归估计这种思想 当m ( ) 已知时，我们可以把估计c 俨( ) 的问题看作个非参回归问题满足下列 关系 e ( r i x = 口) = c v 2 ( 甸，其中r ；【：鬻 7 ， 从模型( 1 0 1 ) x = m ( x ) + 口( 五k 给定观测 慨，五) ，l l n 我们有， n ：盟= 竺竖坐 m 2 ( 五) 贝用局部线性估计( 2 2 6 ) ( 郇) = a r g 嘧砉口州五叫) 2 k ( 警) ； ( 2 2 6 ) 得到c 2 ( z ) = a ，下标b 代表竹b 衄d 珊1 8 r k i 基准 嘲垆a = 躲， 其中 诎= ( 旦云墨) ( 。一p 一氍) ，i ) ， ( 2 2 7 ) 且 m ；砉k ( 警吲， k 0 i l 2 ( 2 1 2 8 ) 这里k ( ) 为r 上的密度函数，h l 0 为窗宽 局部线性估计有几个好的性质z 从渐近最小最大意义上它拥有高统计有效性且是设 计一适应的f a n ( 1 9 9 3 ) 更进一步，它能自动校正边界影响f a na n dg i j b 幽( 1 9 9 2 ) 因 此，c 2 ( ) 为我们的同题提供了个基准 6 山东大学硕士学位论文 实际上，m ( ) 通常是未知的个自然的方法是用一非参回归估计代替m ( ) 我 们选择局部线性估计，由于前面提到它的最优性质令疣( z ) = a 是局部线性估计，通 过解下面的加权最小二乘问题得到； ( a ，5 ) = a r g 毋似- - a - - 6 一z ) ) 2 w ( 警) ， ( 2 2 9 ) 即 嘶) = a = 紫 ( 2 2 1 0 ) 舯 妣圳警眦七诹1 ) ( 2 ：m ) 舻砉( 警一剐， f - 0 l ，2 ( 2 z 舶) 这里( ) 为r 上的密度函数，h 2 0 为窗宽 记 。 似一流( 五) ) 2 噍一嵴 m i j ( 印) = a r g 嘧娄 麓一q 叫五叫) 2 k ( 警) ( 2 2 1 3 ) 经简单计算得， ( z ) = a = 甓 ( 料) 厶i = 1 一 这里t j i 的形式类似于( 2 2 1 1 ) 估计危本身偏差的阶是d ( 危；) 。因此对估计c 豫) 的影响仅是d ( ；) 为了明白这 一点，我们需要下面的三个引理首先把引理需要的条件陈述如下 条件l ： ( c 1 ) 回归函数m ( ) 的二阶导数连续且有界 ( c 2 ) x 的边际密度厶( ) 满足i f ( x ) 一，( 耖) i c l x 一掣i ，且厶扣) 0 ( c 3 ) 条件方差函数盯2 ( z ) = v a r ( y l x = z ) 0 是连续有界的 ( c 4 ) 核函数( ) 是连续有界的密度函数满足。 p - 0 01 4 0 01 4 0 0 k ( z ) 如= 1 ，x k ( x ) d x = 0 ，x 2 k ( z ) 出0 7 山东大字坝士学位记又 注意对核函数k ( ) 的限倒是为了技术上的方便，可以放松 溉强l 矧理2 中酬帐估州垆紫( 鼽 引理1 。旺a n dy a o ( 1 9 9 8 ) ，引理1 】假定模型( 1 0 1 ) 和条件( c 1 0 4 ) 都成立，则 当，l _ o o 。b _ 0 ，且n _ 0 0 时，有 雄) 叫霉) = ；m ) 仁加( 眦婀 + + 缸k ) 言啦坍( 等) ，+ d p m 2 2 + 衰) ， 引理2 ，【w h i i r d l e ，p j a n s s e na n dr s 础n g ( 1 9 8 8 ) ，定理2 3 】假定模型( 1 0 1 ) 和条件 ( c 1 一c 4 ) 都成立。则当( n h 2 ) - 1 l o o n 一0 时，有 胤( 。) 一r e ( x ) = d ( 识瓦厕一 引理3 t 假定模型( 1 0 1 ) 和条件( c 1 一c 4 ) 都成立，则当n 0 0 ，7 1 2 0 ，且 n 一o o 时，有 晰- m ( m 2 = 扣) c 删眦 2 磅 + 志绷矿( ) c w 2 ( 眦 + 石石废( 童) 矿( 功上。 【p ) 舡 + 。( 噬+ 袁) 证明，由引理1 知， 晰_ 仇( m 2 = 扣茹) 仁柙( 忡蹦 删( 击版2 壹- ：- 1 以硪2 毗等) 攀4 ) + d ( 崦+ 南) 8 山东大学硕士学位论文 而 州麦蝴z ) 骞识硝旷( 等) ) = ( 志) 2 疚2 ( z ) n 上：厶( 脚盯2 ( 脚2 ( 丝茅) 咖( 2 2 1 5 ) = ( 壶胁2 砒c 厶( 也m 矿( k m 胪咖 冉由【c 2 ) 和( c 3 ) = ( 麦) 2 废2 ( 善) n k 上。f i x ( z ) + 厶 ) 胁+ d ( 磅) ) ( 仃2 ( z ) + 古( z ) t ，+ d ( 暖) ) 2 ( u ) 咖 = 耐if _ 一k 脚) e 谚2 ( 岫+ 0 ( 等+ 壶) ( 2 2 1 6 ) 联立( 2 2 1 4 ) ，( 2 2 1 5 ) 和( 2 2 1 6 ) 即得到引理的结论证毕口 由上面的三个引理我们可以得到。 耽一n = e 臀一曙) =e i 坠咖( 五) 2盯2 ( 五) 碍 ：e ! 兰= 垒盥竖 ! 一划 。m 2 陇 1 + o ( j ( n h 2 ) - l l o g t o g , o m c x d 2 丽i 雨。 = e 警+ 鬻) 雨丽氰一弓 = e 巡铲+ 。( x ( n h 2 ) - l l o g l o g n ) = d ( 镌+ 而1 ) 即唬偏差的阶是d ( 磁+ 磊石1 ) 。且这是估计回归函数m ( ) 对估计条件变异系数的平方 c y 2 r 1 产堆的影响 9 山东大学硕士学位论文 2 3渐近性质 现械们来讨论估计耐= 紫和矾加紫r ) 的渐 近性质 蚤m ( ) 已知时。西矿( ) = 1 嚣再i f i w i ( + ) 的渐近性质 定理1 假定模型( 1 , 0 1 ) 和条件( c 1 c 4 ) 都成立，若口沪( ) 有连续有界的二阶导 数，则当n _ o o , h i _ o ，且n l - + 时，估计( + ! w m s e ( 川一缈) 2 _ ； 矾功c 肛如) 2 蜡 + 圭厂i 1 ( ) 酽( z ) i ：! 伊( z ) f 护( p ) 咖 7 + 石i 友1 ( 甸誓( z ) c 矿4 ( 功上。k 2 ( p ) 咖 + 。( 碡+ 蕊1 x 其中 a 2 缸) = e ( ( ，一1 ) 2 i x = z ) ，s = 祥 证明t e ( ( 丸( z ) 一c y 2 ( z ) ) 2 = e 紫一嗍正，) 2 = e 必铲) 2 = e 到垫蹩等型墼) 2 = e 型警罄罟继) 2t=lo q， 在z 点对c v 2 ( 五) 进行泰勒展开有， 山东大学硕士学位论文 划 婴竺竺塑篆擎塑苎塑 ：e l 垦堕塑等霉塑竺塑州) 2 2 e 1 1 季f _ 一+ 0 ( ： = e 鱼警筹坐) 2 + 重学掣苦磐) 2 + d 储， 们班紫+ 学掣蔷挚) 2 州， 定义如果有e i i r = d ( a ，r 。) ，则记= 0 r ( n ，i ) 类似地定义o r ( ) 上述定义有如下性质t d r ( ) d r ( k ) = d ；k ) j k = e x + 0 ；( ( e i 墨一e j k r ) ；) ， 其中第个等式可以有c a u c h y - s c h w a r z 不等式证得 由于， = ( 芋) ( 茹一五) ， b o 1 ，2 利用核密度估计的方法有 e s j = n h l h l 厶( z ) 卿( 1 + o ( h 1 ) ) ， z = 0 ，1 ，2 利用( 2 3 1 ) 知，对整数r 0 有- 赤蛳5 赤西州圳寿，亿3 = 厶( z ) s l + d r ( h i + 1 ；) ， 1 = 0 ，1 ，2 其中却= ，= k ( p ) 舡，有条件( c 4 ) 知；8 0 = 1 和s l = 1 所以( 2 3 3 ) 的一直接 结果是- 毗= ，0 8 n , 2 一s ：，l乙毗2 ， 一s ：， = n 牡4 8g 弹2 1 ) ( 1 + 0 r ( l + 去) ) ， i i d 动 弧 山东大学硕士学位论文 令= 错肛媚我们下面证明i 瓦1 = 万1 + 0 4 ( 1 ) 事实上只瓢e ( 丧_ 1 ) k d ( 1 ) ( 2 3 5 ) e ( 甏一1 ) 4 = e 坚南2 州一i i w ) - + e 业赢产川一i 虿w ) ( 鲁) 嘲矾一时+ ( 警) 嘲一时 三a + 鼠 ( 2 3 4 ) 保证4 = o ( 1 ) 和王k = o ( 1 ) 因此证明了( 2 3 5 ) 由前面的讨论知。 呐觚卜掣叫掣蔷挚) 2 + c y t ( z ) e 兰銎! i i ! j i 竽三竺星+ 。( ) 。墙 对于 1 2 宴( 墨一z ) 2 s ；毗= 宴( 五一z ) 2 毒( 兰苌! ) ( 。一( 五一z ) 眠，) i=2 一 = 妻阢刊2 掣2 ( 茎字) 帅 ( 2 3 7 ) i l = i 一言( 五叫2 瓤叫k ( 等h ，- 篓h i e 陇( x 二竺窖o s ( 1 ， 仁s s ， = 卜3 一。) 2 ( x z ) k ( 二! - i 兰) + ) 山东大学硕士学位论文 ：= = = = ：= = ：= = = = = 皇= = = = = = = = = = 烹= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 并且t h i t - 3 e ( x 叫2 ( x 叫k ( 竿) 嘶e 摊肛叫m k ( x 。- 。x 泓 = 一- 3 厶( x ) 一z ) 2 。 ) 戕 ，一 一 ，佃( 2 3 9 ) = h i 卜3 l x c h l p + z ) ( l p ) m k ( p ) l 舡 = 厶( z ) + 2 k ( p ) d 肛+ o ( 1 ) 证明中用了两次坐标变换以及厶( z ) 的l i p c h i t z 条件将( 2 3 8 ) 和( 2 3 9 ) 代入( 2 3 7 ) 再利用( 2 3 3 ) 式可以得到， ( 五- x ) 2 e 毗= n 2 h 2 f x ( x ) s ；+ 如( 舻研) 利用( 2 3 5 ) 可以得到 秒e 鱼譬竽) 2 = ；o v 4 ( z ) 8 2 2 也4 + 。( 研) ( 2 3 x o ) = ；p 仁网眦) 2 研“磷) 对- t - ， = 砉( - 1 嗍辛)( 2 3 m ) ( 砖。2 2 s 。，2 s 1 1 ( 五一z ) + s 。2 ，l ( 五一z ) 2 ) 研1 善n ( 一2 2 ( 等胍叫 ( 2 。) ；：z ( 翕( z ) 厂佃彬( 眦+ d 4 ( 1 ) f = o l ，2 瞄。j 刎 这里 a 2 ( z ) = e ( s 2 1 ) 2 i x = 善) ，s = 帮 砰 2 d 一 2 i忙 。甜 山东大学坝士掌位纪又 由于s l = 0 。故( 2 3 1 1 ) 的主项是第一项， 壹( 碍- 1 ) 钟( 每 ) s b 因此。联合( 2 3 3 ) ，( 2 3 1 1 ) 和( 2 3 1 2 ) 可