（理论物理专业论文）混沌系统的多步打靶控制与实时变参数同步.pdf

摘要 混沌的控制与同步是非线性科学中卜分活跃的领域，本文对 混沌控制和同步进手r 较为深入研究，在此基础之i ：对o b y 控制 方法进行了改进；在混沌同步的利用方面做了一些新的尝试。 首先，通过对o g y 法及混沌打靶控制方法的深八分析，提出 了多步混沌打靶的控制方法。与多步混沌打靶相结合之后o ( ：、+ 方 法就成为十分强有力的混沌控制手段。它利用混沌系统的初值敏 感性、各态历经性和包含周期态的极大丰富性的特征，通过参数 微调将系统在尽可能短的时间内驱动到目标邻域，然后进行多次 控制将系统捕捉到目标轨道上，这样可以使双曲不动点收敛更 快，效率更高。该方法较之于传统的o g y 控制方法，大大缩短了 系统进入控制窗口的等待时间，提高了效率。 其次，通过对混沌同步方法的研究，提出了一种变参数非 耦合的混沌同步方法。模拟结果表明，该方法可以使两个相同的 混沌系统在新的动力学基础上达到完全同步。由于采用了非耦合 的同步，并且控制同步的参数是时变的，因而受驱动的系统实际 上是一个不确定的动力系统，这重要特征在保密通信中有非常 重要的实用价值。它使得基于对确定系统时间序列分析的相空间 重构技术及参数估记等方法失效，从而达到保密通信的目的。在 此基础上，我们提出了两种保密通信方案，这对于混沌同步在保 密通信中的应用有较为重要的参考价值。 荚键词：混沌控制：o g y 法：混沌打靶：混沌同步：相空间重构 a b s t r a c t c h a o sc o n t r o ia n de h a os s y n c h r o n i z a t i o na t t r a c t e dm a n y a t t e n t i o ni nt h ef i e i do fn o n l i n e a rs e i e n c e i nt h i s p a p e r w e l u c u b r a t e dt h e p h e n o m e n a o fc h a osc o n t r o la n d c h a o s s y n c h r o n i z a t i o n ，a u dt h e na m e i i o l a t e dt h eogym e t h o d w ea i s o m a d en e wa t t e m p to nt h en s i n go fe h a o ss y n c h u o n i z a t i o n f i r s t l y ，t h r o u g hd e e p l ya n a l y s e so nt h et a r g e t i n gi nc h a o t i c s ys t e m sw ea d v a n c e dan e wm e t h o d n a m e d “m u i t i s t e p t a r g e t i n g ”w h i e hm a k e sogym e t h o dm o r ee f f i c i e n t t h ism e t h o d m a k eu s eo ft h ee h a r a c t e r i s t i eo fc h a oss ys t e r ns e n s i t i v i t yt o i n i t i a l c o n d i t i o n s ，e r g o d i ca n dp r o l i f i c s t a t so fp e r i o d o r b i t s ， d r i v i n gt h es y s t e mt os m a i in e i g h b o r h o o di ns h o r t l yt i m et h r o u g h m u l t i s t e pt a r g e t i n g w h i c h c o u l dm a k et h e h y p e r b o l i c s t a b i l i z a t i o np o i n tt o e o n v e r g e n c em o r ef a s t a n dh a v eh i g h e r e f f i c i e n c y t h i sh i e t h o ds h o r t e n e dt h et i m eo fs y s t e me n t r a n c et h e c o n t r o l l i n gw i n d o wa n dr a i s e dt h ee f f i c i e n c y s e c o n d l y ，i n t h is p a p e r ，a k i n do f u n c o a p i e d a n d v a r y i n g - p a r a m e t e ro fc h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o ni sp u tf o r w a r d ， t h er e s n i to fs i m u l a t i o ni n d i e a t e dt h a tm e t h o de a nm a k et h e t w os a m ee h a o ss y s t e m sa t t a i nc o m p l e t es y n c h r o n o u so nt h en e w d y n a m i c sf o u n d a t i o n ，t h em o s tr e i n a r k a b l ec h a r a c t e r is t i co ft h e s t h e m ei st oa d o p tu n c o u p l e dc h a oss y n c h r o n i z a t i o nm e t h o d ， b 。a u 8 。h 。d r i v i n l f p 8 。8 m 。h 8 n g 。8w i t ht i m e “。d 。v 1 n g s y s t e m i s u n c e r t a i n i nf a c t 。t h ec h a o s d y n a m i c a ls y s t e m e q u a t i o n i nt h ed r i v i n ge n dw i l ln o tb er e c o n s t r u c t e db yt h e i i m e t h o do fp h as es p a c er e c o n s t r u c t i o na n dp a r a m e t e re s t i m a t i n g b a s e d0 at i m es e r i esa n a l y s i so ft h ed e f i n i t es ys t e m k e yw o r d s ：c h a os c o n t r o l ； c h a o sc o n t r o logym e t h o d ； t a r g e t i n g i n c h a o t i c s y s t e ms ； c h a os s y n c h r o n i z a t i o n ；p h a s es p a c er e c o ns t r n c t i o n i i i 河北师范大学硕士学位论文( 同等学力) 第一章绪论 1 1引言 混沌是非线性动力学系统所特有的运动形式。它揭示了自然 界及人类社会中普遍存在的复杂性。展示了确定性与随机性的统 一、有序与无序的统一。近十年来，混沌学与其他科学相互渗透， 在各学科领域中得到了广泛的研究与应用。目前，混沌学已经发 展成为具有丰富内涵的交叉学科。 混沌是由确定性系统产生的随机现象，表现为系统相空间轨 道呈现出高度不稳定性。随时间的发展，相邻轨道问的距离可能 以指数形式扩大，初始任何微小的扰动都会在发展中带来完全不 同的结果，但系统的确定性决定了这是一种内随机性，因而混沌 的长远行为是不可预测的。混沌运动包含丰富的信息，但与噪声 ， 又有本质的区别，混沌不等于无序。 混沌现象最显著的特征在于其对初始条件的强烈依赖性或 对小扰动的极端敏感性，这种特点被称为“蝴蝶效应”。混沌系 统的内在随机性决定了其相空间轨道的局部高度不稳定性，最终 导致系统对初始状态的记忆很快消失，产生对初始条件的极端敏 感性。为了刻划相空间轨道的指数分离，人们定义了l y a p u n o v 指数( 以下简称l c e ) 。它是描写非线性系统混沌行为的主要特 征量之一，是混沌性态的定量标志。如果相空间轨道是混沌的， 则系统至少有一个l c e 大于零。 1 2 混沌研究的历史 河北师范大学硕士学位论文( 同等学力) 1 9 6 3 年，l o r e n z 在研究两无限平面间的流体的运动时，过 计算机求数值解发现，在参数取适当值时，解是非周期的，而且 具有随机性。这是最先明确地从决定性方程得到随机性结果。 随后h 6 n o n 和r o s s l e r l 2 等人也得到了类似的结果，r u e l l e 3 1 和 m a y1 4 i 等人也对这类随机运动的一些特性进行了研究。发现了一 种新的运动形态一一混沌。由于非线性动力系统的混沌现象是由 某些关键参数及其变化而引起的，因此关于控制或诱导混池的一 种十分自然的想法是直接控制或调整这些参数。基于v o n n e u m a n n 的思想，p e t t i n i l 6 1 在1 9 8 8 年用计算机模拟，通过观察 极大l y a p u n o v 指数的方式观察到：适当的参数扰动可以达到消 除d u f f i n g 系统的混沌现象的目的。之后，o t t ，o r e b o g i 和y o r k e 提出了一种比较系统和严密的参数扰动方法l ”，亦称为o g y 方 法。这种方法是通过逐次局部线性化配合小参数调整的手段来实 现控制混沌现象的目的。 l9 8 7 年h u b l e r 已经描述了一种控制混沌现象的方法。这种 方法后来被h u b l e r 本人、j a c k s o n 等进一步推广和完善，形成 了所谓“纳入轨道”和“强迫迁徙”方法。19 9 2 年皮里格斯 ( k p y r a g a s ) 提出时间延迟方法。随着越来越多的工程控制专 家介入混沌系统的研究工作，众多的反馈控制技术就发展起来 了，并且十分成功地被应用到各种混沌系统中去1 1 0 - 1 3 1 。这些方法 都是试图避免或消除“有害”的混沌。然而，这只是事情的一个 侧面。近代科学技术中的发现表明：混沌在许多情况下是有益的， 甚至非常有用。f r e e m a n 指出 1 4 j ：“大脑中被控制的混沌意象其 实不仅仅是大脑复杂性的一种副产品”，控制混沌现象的这种能 力“可能是大脑区别于任何种人工智能机的主要特性”。从2 0 2 河北师范大学硕十学位论文( 同等学力) 世纪9 0 年代开始，神经网络和混沌相互融合起来，以便弄清大 脑的混沌现象，建立了混沌神经网络模型。并用于信息处理中 l “。 另外，混沌同步技术也在保密通讯中得到应用3 7 ：s l 。混沌理 论经过近几十年的发展，已在科学和工程技术中得到了广泛应 用。混沌的应用范围涉及工程( 如振动控制、非线性电路的稳定) ， 信息处理( 如人工智能、模式识别、图像数据压缩等) ，通信( 如 保密通信、扩频通信等) ，疾病的混沌诊断与混沌医疗以及社会 经济方面( 如经济预测与调整) 。另外混沌学还加强了科学技术 各领域的横向联系，促进了学科的发展。值得一提的是由于混沌 信号具有非周期、连续宽频带、类噪声等特点，所以特别适合于 十 保密通信和扩频通信等领域。当前混沌保密通信的一般机理是将 混沌信号叠加到信息上进行发送，用作噪声的混沌信号被有效同 步的接受系统所恢复，接收到的信号减去混沌信号就得到信息信 号。由此看来，混沌同步是混沌保密通信的关键技术之一。混沌 同步即指系统的轨道将收敛于另一系统轨道的同一笪，它们之| 日j 始终保持着步调一致，且这种同步是步调稳定的。由于混沌具有 对初值极端的敏感性，且实际操作中初始条件的精度受到种种限 制，因此让两个混沌系统保持很好的全同性似乎是不可能的。 l9 9 0 年l m p e c o r a 和t l c a r r 0 1 1 开创性地提出混沌系统同步的 概念( 简称p c 同步) ，并首次在电子线路实验中实现了两个混沌 系统的同步。混沌理论的这一重大发现，引起了人们极大的震 动，它促使人们重新审视混沌的可利用性，也由此激起混沌同 步理论与实验应用研究的蓬勃发展。 首先，混沌同步的概念被进一步推广：1 9 9 5 年n f r u l k o v 3 河北师范人学硕士学位论文( 同等学力) 等人针对耦合系统提出广义同步的概念1 5 1 ，在广义同步下，p c 同步变成广义同步的一种特殊情况。l9 9 6 ，m g r o s e n b l u m 等人 通过合理的定义混沌信号的相位引出相同步的概念。在相同步 中，混沌系统的相位满足同步条件，而其振幅往往是混沌的且互 不关联。广义同步和相同步的提出，丰富了混沌同步的内涵， 是混沌同步理论的重要进展。 其次，混沌同步的方案不断涌现，继p e c o r a 和c a r r o l l 提出 驱动响应同步方法之后，人们又提出了主动被动拆分法( 简称 a p d 法) ，连续变量反馈微扰同步法，基于相互耦合的同步方法， 参数微调法，脉冲法，神经网络同步法，观测器同步法等多种多 样的混沌同步法。此外，在混沌控制中的一些思想也直接应用到 了混沌同步中，如追踪控制同步法。这些方法各有优势，但又互 相补充，构成混沌同步理论最重要的组成部分。实验上，p e c or a 和c a r r o l l 以马里兰大学的r o b e r tn e w c o m b 设计的电路为基础， 首次实现了两混沌系统的同步。后来c u o m o 和o p p e n h e i m 也成 功地用电子线路模拟了l o r e n z 系统的同步：k a p i t a n i a k 和c h u a 等人用相互耦合的方法使两个c h u a 电路达到同步；19 9 8 年胡岗 等人以耦合振子为研究对象，当各个振子的运动状态处于同步 流形时对混沌同步态进行了线性稳定性分析，并用钉扎法( 简称 p i n n i n g 法) 实现了对混沌同步态的控制，更将此法引申用于通 信加密，获得了很好的效果。 1 3 混沌运动的特征 混沌是一种复杂的运动形式，而混沌学作为十门正在发展、远 j 未定型的科学，到目前为止，还很难给混沌以确切的定义。 4 河北师范大学硕士学位论文( 同等学力) 一般说来，混沌具有以下的五个基本特征( 1 )对初始条件具 7 ， 有敏感的依赖性；两个相互接近的轨迹会随着时间的推移。越来越 l ， 分开，而且具有不可预测性。( 2 ) 存在周期成分；( 3 ) 有连续的功率 谱。确定性行为( 即平衡点、周期、准周期行为) 功率谱上至多有 有限个离散的频率取值出现：随机行为的功率谱是( 比较均匀) 连 续变化的。混沌的功率谱介于二者之间：有不多个比较明显的频率， 此外是大量连续变化的。在实用上，一般把连续功率谱作为判定混 沌的定性的必要性条件使用。这对于连续、离散混沌都适用。( 4 ) 混沌是一种有界的不确定性行为。( 5 ) 倍周期分叉、准周期分叉和 阵发混沌，是三种常见的出现混沌的机制。分叉( b i f u r c a t i o n ) 是指 系统的某个参数跨过某个特定值( 称其为分叉点) 时系统解的结构 发生了变化。 应该说，上述混沌的五个本质特征很大程度上是一种数学上的 描述，但它们至少给出了混沌这种不规则运动的简单的图像。要对 混沌现象作一个准确描述，即给混沌一个确切的定义到目前为时尚 早。但对混沌所表现出的上述特征的确是公认的。在经典力学中， 混沌运动是指确定性系统中局限于有限相空间的高度不稳定的运 动。混沌运动是在确定性系统内产生的，它对系统的初始值具有极 端的敏感性，导致系统的短期行为可预测而长期行为的不可预测。 对于任何一种运动方式都要根据其特征给出刻划它的物理量，混沌 运动也不例外。从本质上说混沌是一数学概念，其在数学上有严格 的内涵。虽然现实世界中找不到其严格的对应物，但它却可以描述 自然界一大类类似的现象。 1 4 混沌的几种判断方法 5 l 尘。：一旦生 ，d ta q 一 ( 1 1 ) l 尘土：旦生 、。 【d t a p 。 6 河北师范大学硕士学位论文( 同等学力) 图1 1相空间轨道的庞加莱截面图 图1 一i 相空间轨道的庞加莱截面图( a ) 可积系统( b ) 混沌系统 1 4 3 李雅普诺夫指数 李雅普诺夫指数常用来描述混沌系统对初始条件的敏感性。混 沌运动所以表现出随机特性，其根本原因在于临近轨道的指数型分 离。换句话说，2 个确定性运动是否混沌，与它附近的轨道运动有 密切关系。李雅普诺夫指数的定义可简单地叙述如下：设所讨论的 动力系统的运动用m 维相空间中的一条轨道x ( t ) 来描述( x r ”) 。令 x ( t ) 十出( f ) 表示任意相邻的运动轨道，则轨道x ( t ) 的l c e 为： l e = l i m 去- ：l 牌。器， m 2 ， 李雅普诺夫指数l c e 的物理意义很容易从近似关系式看出。定义式 中包含有双重极限运算，它使得李雅普诺夫指数的数学性质比想象 的要复杂。对m 维动力系统来说，李雅普诺夫指数实际上是由m 个 数组成的谱。当谱中的最大李雅普诺夫指数为正时，运动便称作指 数型局部不稳定的。 1 4 4 傅立叶谱 7 河北师范大学硕士学位论文( 同等学力) 傅立叶谱( 一般通过f f t 得到) 的频谱分析对于时间序列来说， 一 ， 又称为功率谱分析方法。傅立叶谱中的频率与相空间轨道的概念 相对应。这种方法简便有效，特别是计算李雅普诺夫指数有困难 时，显得更为方便。 1 5 混沌控制方法 利用混沌的前提是驾驭它。也就是混沌控制。混沌及其控制 的应用研究已有了较多的成果，形成了许多方法。它包括混沌的 控制与诱导两个方面。 a ， j 5d d- 0 5n o0 5015 图1 2 简谐振动x ( t ) = s i n 2 m t( a ) 傅立叶谱( b ) 相空间轨道 1 5 1 参数扰动方法 这是o t t 、g r e b o g i 和y o r k e 在p e t t i n i 工作的基础上提出 的一种比较系统和严密的参数扰动方法，亦称为o g y 方法。这 种思想源于一个混沌吸引子可以嵌入到它的不稳定周期轨道的 一个稠密子集里。它是通过逐次局部线性化配合小参数调整的手 段来实现控制混沌现象的目的。虽然o g y 方法带有传统反馈控 制的色彩，但是它开创了混沌控制的先河，已经引起了世人的广 s 河北师范大学硕士学位论文( 同等学力) 泛关注并应用于各个科学领域中1 1 9 - 2 1 】。另外，针对o g y 法存在 的不足，许多学者对其提出了改进控制策略陋, 2 3 1 。 o g y 控制法有两个突出优点：它不要求知道严格的系统数学 方程，并能通过微小的控制信号而获得明显的控制效果。缺点是 人为因素起主导作用，参数的调整非常机巧，并且没有固定的模 式可以遵循。 1 5 2 时间延迟反馈控制方法 首先由皮里格斯( k p y r a g a s ) 提出。主要思路是利用系统输 出信号的一部分经过延迟时间再反馈到系统中去。时间延迟控制 提出了直接利用测量数据进行反馈操作的方法，使系统在自动寻 找原混沌系统不稳定周期轨道的同时实现混沌控制。 1 5 3 入轨道和强迫迁徙方法 这种方法是由h u b l e r 和j a c k s o n 及其同事提出的1 2 4 , 2 s 1 。它 首先假定目标轨道满足与给定动力系统相同的数学方程，然后把 两个方程叠加起来，由此而迫使动力系统的混沌状态转移入目标 轨道之中去。 1 6 混沌同步的应用 近年来混沌同步引起科技工作者的很大兴趣，其中混沌同步 在保密通信中的应用尤其令人瞩目，是近年来研究的最多，竞争 最为激烈的应用研究倾域。大部分保密通信系统都要求对信号进 行调制，使之尽可能是正规的并具有较强的抗干扰破译能力。 9 河北师范大学硕士学位论文( 同等学力) 一般是引入决定性的伪随机噪声信号与要求传输的信息信号相 调制形成“隐蔽”的合成信号进行发送，这样引入什么样的决定 性伪随机噪声信号便成了保密通信中的关键问题。混沌具有对 初值的极端敏感性，因此混沌信号是高度随机的，同时混沌输出 具有快速衰减的关联函数和宽带功率谱，并且混沌是由确定性系 统产生的，这些特点决定了混沌信号作为保密通信中的伪随机信 号具有很大的优势。 一般利用混沌进行加密通信的手段有三类，第一类是直接利 用混沌进行加密通信；二类是利用同步的混沌进行加密通信；第 三类是混沌数字编码的异步通信。其中第二类的混沌同步通信是 国际研究的一大热点，迄今已就混沌同步通信提出和发展了三大 技术：混沌遮掩，混沌调制和混沌开关技术 2 6 , 2 7 1 。本节以遮掩式 和开关技术中的混沌切换为例来说明混沌同步技术在保密通信 一 一 中的应用，最后指出技术上存在的一些问题。 1 6 1 混沌掩盖 在混沌掩盖中，类似噪声的混沌掩盖信号“( r ) 加到信息信号 m ( t ) 上，将合成的信号j ( f ) = “( f ) + m ( r ) 发送出去，当所注入的信息 信号m ( ，) 的电平保持很低时，混沌吸引子的结构没有发生明显变 化。接收端的混沌电路在接收到的信号s c t ) 的驱动下，两个混沌 吸引子的轨迹彼此相互跟随，达到同步或接近同步，接收机中再 生成掩盖信号u ，( f ) 。从接收到的信息中除去它，恢复出信息信号 m ( f ) = s ( r ) 一u ，( f ) 。由于同步接收电路的混沌特性是鲁棒的( 即对 于驱动信号中的摄动并非高度敏感) ，故可以使用被掩盖信号， 在系统同步的情况下，【，( f ) au ，( f ) ，因此m ( f ) * 历o ) ，信息信号 1 0 ： ：塑! ! 堕薹奎堂堡主堂垡堡塞! 旦篓兰垄! 被还原出来。 下面以l o r e n z 电路系统为例构造驱动一响应的混沌通信系 统。如图卜3 所示： 该发射机动力系统为： ( 1 3 ) 当盯= 1 6 0 ，= 4 5 ，6 ，b = 4 0 时，方程( 1 8 ) 处于混沌态，且由u 作信号 的( 1 ，w ) 组成的子系统的条件l c e 是a = - 2 4 2 五= - 2 5 8 。假设发 射机传送的信号为j ( f ) = “( f ) 十m q ) 。接收机动力系统为： 图1 3 混沌信号掩盖系 i 矗，= 仃( 一蚱) q = 似f ) 一u 一2 0 s ( t ) w ， 【以= 5 s ( t ) v ，一b u r ( 1 4 ) f ) 接收机收到发射信号s ( f ) 后，再生出混沌信号以( f ) ，同步后 u ，( f ) “u ( f ) ，因此可以从发射信号减剖u ，( f ) 而提取信息信号 r e ( t ) ，所以恢复出来的信息信号为所。( f ) = s ( ，) 一u ( ，) 。混沌掩盖直 桫o 咖 一 v v v“缸 j i i i = “vw ，i，、l 接将模拟信号发射出去，实现简单，具有较高的安全性，但为了 达到掩盖的目的，要求信息信号m ( t ) 的功率远远低于掩盖信号 u o ) 的功率。 1 6 2 混沌开关 混沌开关又称混沌参数调制。混沌参数切换方案是混沌参数 调制中最简单的方案，是针对数字信号的通信方案，其信息信号 为二进制比特流。该方案的基本思想是在发射端用含信息的二进 制波形去调制发射机的某一个或更多的参数。在接收端，参数调 制在接收到的驱动信号和接收机自身再生出来的驱动信号之间 产生误差，误差信号的幅度取决于调制。根据同步误差，可以决 定接收到信号所对应的参数，进而解码。 仍以l o r e n z 系统为例，调整系统的b 参数。为了使系统工作 于混沌区域，选择其参数为仃= 1 6 0 ，r = 4 5 6 和b = 4 0 。用二进制波 形调制发射机的参数b ，相应于0 比特和1 比特分别有6 ( o ) = 4 0 和 6 ( 1 ) = 4 4 ，则b = 4 0 时接收机同步，有较小误差；b = 4 4 时接收机 失同步，有较大误差，参数值随着0 与l 切换。该误差经过一个 低通滤波器和门限检测，即可恢复出信息信号。 混沌切换对噪声干扰的鲁棒性比混沌掩盖强，但对于直接传 播模拟信号的方法来说，由于每发射一比特，接收机必须先同步 后失同步，然后才能接受下一比特。所以信息传输率较低。 1 2 河北师范大学硕士学位论文( 同等学力) 1 6 ，3 存在的问题 图1 4 混沌信号切换 虽然混沌同步的理论近年来得到了很大的发展，已经建立了 一些概念和方法，并且很多已用于实际，但科学的讲只有少数方 法才具有真正意义上的使用价值。很多方法在运用中出现了相当 大的误差i 这主要是由于：第一，在测量和传输过程中，作为载 体的混沌信号不可避免的受到各种噪声的干扰，同时由于混沌信 号具有类随机的特点，故噪声对混沌信号的干扰比对其他非混沌 信号的干扰程度可能更大一些，这直接影响混沌系统的同步效 果。因此需要采取适当的措施来降低与消除接收到的信号中的噪 声成分，以有效地解决噪声对同步的干扰：第二，任何一个传输 信道的特性都不是理想的，在一定程度上存在着幅度衰减、相位 的线性或非线性失真。当混沌信号经过这样的信道进行传输时， 必会引起混沌信号的畸变，而这种畸变对混沌系统的同步性能有 什么影响以及如何来消除这一影响是必须要考虑到的。但目前几 乎所有的对混沌同步方法的研究中都假定传输信道是理想的，忽 略了这些问题。第三，参数匹配：混沌同步用于通信系统的安全 性来自于信号对两个混沌电路参数值之间匹配的敏感性，从理论 1 3 河北师范大学硕士学位论文( 同等学力) ，上说，棍沌系统的参数匹配越精确则同步的性能越好，但实际中 ! 这一点往往难以：做到。大量实验表明，绝大多数混沌同步方法只 。 对1 2 的参数失配有较好的鲁棒性。允许参数有适当的失配程 度( 如5 一1 0 ) ，对工程实现是非常有利的。能否找到一个新的 同步方法使得系统在参数失配程度较大时仍具有良好的同步性 能? 在这方面仍有大量工作要做。 1 7 本文的工作、目的和方法 本文通过对混沌系统的研究，利用混沌系统自身的特性并结 合控制理论对其进行控制，通过对o g y 法和混沌打靶的改进， 提出了多步打靶的控制方法，从而大大提高了混沌控制的效率。 通过对混沌同步的深入研究，提出了实现保密通信的新方案。本 论文内容总体上分为四章：第一章回顾了混沌及其控制的发展历 程，介绍了混沌控制的理论及混沌同步的理论，并作了分析和评 论，最后介绍了论文作者的主要工作。第二章首先系统说明了 。 一 o g y 控制方法并给出了数值仿真算例，然后介绍根据“蝴蝶效 应”理论提出的基于混沌打靶的o g y 方法，并在此基础上提出 了多步打靶的控制方法，该方法大大缩短了系统进入控制窗口的 等待时间，提高了o g y 方法的效率，对优化o g y 方法做出了 一定的尝试。第三章通过对混沌同步的进一步研究，提出了一种 变参数，非耦合的同步方法。作为一种尝试，可以有效抵御相空 间重构和参数估计方法的攻击，找出了一种技术上较易实现的保 密通信方案。 1 4 河北师范大学硕士学位论文( 同等学力) 第二章混沌系统的o g y 控制方法及其改进 2 1o g y 控制方法的提出 我们首先讨论一下耗散系统混沌态的一些有关性质：( 1 ) 任何 混沌轨道中都内含有无穷多个不稳定的周期轨道，这些轨道稠密地 分布到混沌吸引子的各个角落。由于这些周期轨道都是原有混沌系 统的解轨道，如果系统初始处于这些轨道上，那么系统将永远保持 在这些轨道上。但由于所有这些轨道都是不稳定的，初始在任何周 期轨道附近运动的系统都会远离这些轨道，而永远也不会处于某一 不稳定的周期轨道上，因为这些周期轨道全体在混沌态上的测度总 和为0 。( 2 ) 轨道在混沌吸引子上各态历经，即轨道在运行中会任 意多次地达到任意一个不稳定周期轨道附近的任意小的邻域内。所 以混沌运动可以直观地想象成：系统用许多时间在不同的不稳定轨 道附近作近似周期的运动，又随机地在不同的周期轨道间进行布朗 ( r b r o w n ) 运动。 混沌系统这些性质，启发了o g y 提出用微小信号来控制混沌 的思想。为了抑制混沌，可以选择混沌态内含的某一不稳定周期轨 道为控制目标。既然这一目标本身就是系统解的轨道，达到目标后 我们就不再需要外部信号。当然，如果系统还受小的噪声干扰的话， 我们可以保留同样是很小的控制信号来维持目标态的稳定。为了将 系统驱动到目标周期轨道上去，我们不需要采用大的控制信号。既 然系统迟早会运动到目标轨道附近任意近的邻域，我们只需在非控 制系统运行到充分贴近目标时再启动控制，用小信号将系统捕捉的 目标轨道上去即可。最后，由于无穷多周期轨道遍布于混沌吸引子 - 河北师范大学硕士学位论文( 同等学力) 上，我们可以在吸引子的任何部位选择任一适合于控制条件和实际 t 要求的轨道，在控制目标的选择上具有极大的灵活性。 19 9 0 年，o t t 、o r e b o g i 和y o r k 田2 9 1 基于有无穷多的不稳定周 期轨道嵌入在混沌吸引子中这一事实，提出了一种控制混沌运动的 具体方法。几乎与o g y 控制混沌的开创性工作的同时， t l c a r r o l l 和l m p e c o r a 等发表了运动轨道同步化的论文，提出 了混沌自同步的方案。o g y 等人通过对系统的参数作小的扰动并 反馈给系统，实现了把系统的轨道稳定在无穷多不稳定轨道中预期 的一条特定轨道上。从o g y 方法控制混沌的基本步骤可以获得控 制混沌轨道的初步概念。首先检查嵌入在混沌轨道运动中的不稳定 周期轨道，特别是低周期轨道。然后选一条作为控制目标的不稳定 轨道。由于混沌轨道具有遍历性质，最终系统将会被带到这个选定 ， 。 的不稳定轨道附近，这时我们重复地施加小扰动可把轨道保持在这 条期望的轨道上。这表明仔细选择小扰动可对系统的长时间行为产 生显著而有益的变化。尽管o g y 方法及其改进方法对混沌的有效 控制使其能广泛地应用于力学、光学、化学、生物等领域，但是由 于它必须要求获得庞加莱截面，并且需要确定所需的不稳定周期轨 道及不动点处的特征值和特征向量，这就使其应用受到一定的限 制。 在o g y 控制方法的基础上，德国科学家p y r a g a sk 在1 9 9 3 年提出了外力反馈控制法，又称自控唏0 反馈控制法( s e l f c o n t r o l l i n g f e e d b a c kc o n t r 0 1 ) 和延迟反馈控制法( d e l a y e d f e e d b a c kc o n t r 0 1 ) l ”1 。o t t ，g r e b o g i 和y o r k e 在文献1 3 1 , 3 2 1 中进一步研究了参数扰动如 何加速从一个系统状态转换到另一个状态，并且给出了数值分析的 方法。使人们能通过计算获得这种控制所需要的时间。n i t s a c h e 和 河北师范大学硕士学位论文( 同等学力) d r e s s i e r 对这种方法作了进一步的推广，在某些情形下通过时间 序列利用时滞坐标来重构吸引子，并对原始控制算法提出一些修改 便于实际应用m 】。h u n t 在一个物理系统，即二极管共振器中研究 了参数扰动法。他将传统的混沌动力学特性转移到具有2 3 个驱动 环的稳定轨迹。在全局耦合、多模态、自治激光系统中，这种方法 及相似的方法也被用来控制混沌。 以上所提到的方法有两个突出的优点：它不需要知道严格的系 统数学方程，并能通过微小的控制信号而获得明显的控制效果。缺 点是人为的因素起主导作用，参数的调整需要相当的技巧，并且没 有固定的模式可循。h u b l e 和j a c k s o n 及其同事于9 0 年代初提 出了纳入轨道( e n t r a i n m e n t )和强迫迁徙( m i g r a t i o n ) 方法1 3 4 ”。 它首先假定目标轨道满足与给定动力系统相同的数学方程，然后把 q 两个方程叠加起来，由此而迫使动力系统的混沌状态转移入目标轨 道之中去。这种方法已经成功地应用于许多复杂的动力系统，诸如 多吸引子系统，一般l o g i s t i c 映射的多周期强迫控制，相关高斯 ( g a u s s r e l a t e d ) 映射，二维h e n o n 1 k e d a 映射。这种方法在工程 上是一种开环控制：优点是设计和使用都非常简单，缺点是无法保 证控制过程的稳定性( 如数值误差容易引起控制作用的失效) ，而 且目标轨道不允许是给定系统自身的任何一个轨道或者状态。 多年来，人们对混沌运动的性质产生了一些广为接受的认 识，即混沌轨道的长趋势行为是不可预言的，并且混沌运动是难 以控制的。要控制混沌，就要改变系统参数，使之步出混沌区； 或用强大的外部驱动，使系统强制到周期运动上来。 2 2o g y 控制方法的原理 1 7 河北师范大学硕士学位论文( 同等学力、) 假如一个非线性实验系统处于混沌状态o - 我们并不知道该系 统的确切动力学，但可以通过实验连续测量某一物理量z o ) 。利 用这一可测量可以构造一时间延迟的m + 1 维矢量 x ( t ) 2 【z ( t ) z ( t - t ) z ( t - 2 t ) 人z ( t m t ) 】。( 2 一1 ) 同时，用z ( t ) 数据构造出m + l 维重构相空间中的一条混沌轨道。 由于我们并不要具体地重构原系统的动力学，只需要为混沌控制 找到不稳定的周期轨道，以及掌握周期轨道附近的动力学行为， x ( t ) 的维数可选择为等于实际系统的变量空间维数m + 1 = d 。以 下讨论中，为叙述方便，假定实际系统维数d = 3 。利用测量数 据构造p o i n c a r 6 截面的方法，可以方便地找到各条不稳定轨道。 图2 1重构相空间与庞加莱截面 例如，可以用平面z ( t m t ) = c ( 常数) 作截面，记下x ( t ) 毫j l 道由下 向上与这一平面相交的所有点x ( f 。) ，n = 1 ，2 ，k ，见图2 1 ( a ) ； 中t 。为x ( t ) 与截面第n 次相交的时间，这样我们又构造了i n 维( d 一1 维) 从x ( t n ) 到x ( f 。) 的映射 x n + l = 刀矗) ，x n = x ( t 。)( 2 - 2 ) 所有的z ( t ) 周期轨道都对应于映射中的周期点。我们可以从这 1 8 河北师簿大学硕士学位论文( 厨等学力) 众多周期轨道中选择一条符合实际要求的轨道作为控制混沌的目 标轨道。圈2 一i ( b ) 就表示了周期一1 轨道( 对应于映射中的不动 点) 。为简便计且不失一般性，假定映射的一个不动点 xr 二= f o ，) ( 2 3 ) 为目标周期轨道。 假设系统中有一控制参数p ，且p = p = o 时系统处于混沌 态，又设该混沌态内含= x ，的周期轨道。现在我们可以在很小 的范围内调控p ： 一6 1 ( 2 8 ) 无和以对应的本征矢e 。和e ，可以方便地求出： 正e 。= 五。e 。， f ，e ，= 以p ， ( 2 - 9 ) 同时，它们双正交的对偶矢量也可求出： 毽f 。= 九。吃，醒f l = 九s 毽 ( 2 1 0 ) 它们的双正交性和归一化性质可由以下矢量的点积确定： 吃es = 1 ，毽e | 一1 硭e ，= 彬e 。= 0 ( 2 1 1 ) 式中归一化条件可以在任意给定口。和p ，的长度后，再确定”的长 度来满足。矩阵厂，可以直接用双正交矢量的叉积表示为 六2 九以。圮+ 以巳。衫 ( 2 1 2 ) 假定在参数p 一0 时系统进行混沌运动，并在t 。时在截面上进 入到砷的邻域血。= x 。一h ，f 缸。i + 。后，再除去控制p 。= 0 河北师范大学硕士学位论文( 同等学力) ( 其中1 a 一+ 1 ) ，系统会自动地沿稳定流型运动到不动点上去， 从而实现混沌控制。在p = p n 的情况下，由于不动点从x 。移动到 x ，( p 。) = x f + 缸f 位置，不动点附近的线性方程为 缸x f 2 ，。( ) c ，一厶) c f ) t 缸= gp 。+ ( 2 e 。x 玎+ 以p ，衫) ( 血。一gp 。 在第n + 1 步实现控制的条件是缸。在e 。上没有分量，即 圮x 。= 0 一缱gp ，+ a 。吃) c ，一九。皖gp ， 由此得出 p 。= 瀚 ( a )( b ) ( 2 1 4 ) 图2 2o g y 法控制鞍点的过程 2 1 ( c ) 河北师范大学硕士学位论文( 同等学力) ， 图2 3 o g y 方法控制混沌 2 3 打靶方法 混沌轨道具有初值敏感性，这导致了混沌长趋势运动行为的 不可预见性、并引起了处理混沌系统的诸多困难但这也带来了 利用混沌系统的重要机遇。 混沌轨道覆盖的变量空间区域远远大于任何周期轨道，这本 身就提供了应用的潜在可能。在混沌系统中微小地改变轨道初值 会根本地改变系统运动轨迹，并在不长时间内( 时间的长短主要 一 取决于系统最大李雅普诺夫指数大小) 产生完全不同的系统状 态。这就是后来入们所谓的“蝴蝶效应7 ：蝴蝶效应的根本思想 是指在混沌运动中存在着差以毫厘，失之千里的敏感行为。正是 这一效应，导致罗伦兹得出气象行为的长期预测是不可能的结 论。然而也正是这一效应，使我们有可能在混沌系统中通过精心 选择的微扰使系统实现重大变化，而将其导向人类所需要的目 标。按罗伦兹的话来说，“如果一次拍打翅膀就能引发一场本来 不会发生的龙卷风，那它同样也能抑制一场本来应该发生的龙卷 风”当然世界上有无数的蝴蝶在拍打翅膀。更不用说人类大规模 的建设和破坏话动无时无刻不对敏感的混沌系统产生巨大的不 河北师范大学硕士学位论文( 同等学力) 可控制的影晌：混沌打靶就是要利用混沌运动的敏感性，通过巧 妙地控制，服务于人类的一种尝试。 首先我们来明确一下混沌打靶的任务，一维映射可以作为说 明问题最简单的例子。假定一实际系统，可以由一维映射 x 。+ l = f ( p ，x n ) 描述其动力学，p 为控制参数在p = p 。时、系统处于混沌