（应用数学专业论文）微分方程解的振动性与边值问题正解的存在性理论研究.pdf

摘要 微分方程解的振动性与边值问题正解的存在性理论研究 摘要 本文主要研究了微分方程解的振动性与边值问题正解的存在性理论 以及在微分方程和差分方程理论中有重要应用的积分不等式和离散不等 式全文的主要内容分为四章 第一章研究了偏泛函微分方程系统解的振动性的有关问题 在1 1 中，我们研究了具有偏差变元的中立型抛物微分方程系统 妄0 c 州，+ 妄k m c 毛，) = 薹a u k ( z ：。 + k ( t ) 毗( 。，m ( t ) ) 0 m ) 一c 忙，t 。( k 扛，) ) 冬l ，0 k 缸，靠( t ) ) ) 是1 ) + ，i ( z ，t ) ， ( 。，t ) n l o ，o 。) 兰g ，l = 1 ，2 - - ，m ， 的解的强迫振动性，其中q 是j p 中具有逐片光滑边界舰的有界区域， 地) = i 鲈沁1 ，2 ， 边值条件为 警= 砒) ( 叫) 触i o , 吼扛l ，扣，m ， ( 1 1 2 ) 其中n 是锄的单位外法向量，妒l ( 。，t ) 是m 1 0 ，o o ) ，o = 1 ，2 ，m ) 上的 连续函数 在1 2 中，我们研究了具有偏差变元的向量双曲型微分方程 丕矿扛，t ) = 。( t ) u 扛，) + “( t ) ( ，扛，亿( t ) ) 一p c ：r , ) c ，扛，t ) 曲 。1 ( 1 2 1 ) 一弧o ，t ，) u ( 9 n ( t ，铷口( ) - i - f ( z ，t ) ， ( $ ，t ) n i o ，o 。) i g ， 解的肛振动性，其中。是r f l 具有逐片光滑边界a n 的有界区域，是 n 维欧氏空间舻中的拉普拉斯算子，方程( 1 2 1 ) 中的积分是s t i e l t j e s 积 分 上海交通大学博士学位论文 边值条件为 警叫碱) 锄【o ，o o ) ， ( 1 2 2 ) 和 驴( ，t ) = 0 ，( 菩，t ) a q 1 0 ，o o ) ，( 1 2 3 ) 这里是加的单位外法向量，m 0 ，t ) c 何2 t o ，o o ) ；r u ) ，0 是中的 零向量 第二章研究了脉冲偏泛函微分方程解的振动性的有关问题 在2 1 中，我们研究了时滞脉冲抛物型微分方程 是u ( z ，) = a ( t ) a u ( x ，f ) + a k ( t ) a u ( x ，t m ) 一q i t 一以) ，t f j ， ( 2 1 1 ) “( q 才) 一“( z ，) = 口扛，t ，) j j 磊， 解的振动的若干充要条件，其中k = l ，2 ， ( z ，t ) o r + ；g ，r + = 【o ，o o ) ，n 是r “中具有光滑边界砌的一个有界区域，是n 维欧式空间 r 。中的拉普拉斯算子，0 t l t 2 t j ，u q b = o o 边值条件为 o u 否( z 矿, 一t ) = 0 ，扛，t ) 铀r + ，t 吩，j k ， ( 2 1 - 2 ) 其中是锄的单位外法向量 在2 2 中，我们研究了多时滞脉冲抛物型微分方程系统解的振动性， 方程形式如下： 番弛忙，t ) = n 让( t ) “女( 毛t ) + 缸( t ) “( 毛t n k ) 鼍= l七= l q ( ，t ，( z ，t ) ) 廷l ，( z ，t 一) ) 磊1 ) 一壹g l 忙，f n t 一 l ) + 工o ，t ) ，t # t j ， ( 2 。2 1 ) = l 螂扛，寸) 一t i ( z ，等) = p t 扛，吩，啦0 ，缸) ) ， i j 赢，厶。，扛，t ) n r + 兰g ， 其中k ；t l 川2 一，m ) ，k = l ，2 ，4 = 【o ，o o ) ，n 是酽中具有光滑边界 勰的一个有界区域，撕扛，t ) = 娄竺铲，t e j m ，。 t t t ： 幻 ， l i 咛一t j = i i 摘要 边值条件为 学= 地班) a q r + t 岛, i e k 水k ，( 2 删 初值条件为 t i 扛，t ) = a 扛，t ) ， ，t ) 0 卜最，0 1 ，( 2 2 3 ) 其中是舰上的单位法向量，如p g i 舰r + ，r 1 ，l k ，p c 表示如 下形式的函数类：函数关于t 光滑连续，仅t = 0 ，j k 为第一类间断 点，且在t = 岛，j 岛左连续，磊= m a x n 女，a ，h ；k ，| i l 五) ，以e l 字( n 卜一民，o l ，r ) f 厶t ，五= l ，2 ，i 在2 3 中，我们研究了时滞脉冲向量抛物型微分方程 晏u ( 印) = 口( t ) 【，( 刈) + 萎“( t ) 矿( 础一饥) l 一 一q h ( z ，t ) u 扛，t 一靠) + f ( x ，t ) ，t 岛， ( 2 3 1 ) h = l 矿( 霉，寸) 一，( q i ) = p ( 毛巧) u ( z ，t j ) ， j 五褂，( z ，t ) n x r + 兰g ， 解的骨。振动性，其中i o o = ( 1 ，2 ，) ，珥= 【o * ) ，n 是酽中具有逐片光滑边 界狮的有界区域，是舻中的拉普拉斯变换，0 t t 2 岛 1 ， ( o 1 ) 为常数，c ( i o ，1 1x f o o o ) ，【o ，m ) ) 第四章研究了几类积分不等式、离散不等式以及关于时间尺度的动 力不等式 在4 1 中，我们研究了下面几类时滞积分不等式 z p ( t ) s 口( t ) + c ( f ) ，【，( s ) 。( 盯o ) ) 十9 0 ) 1 d s ，t r + ， ( 司 矿( t ) 。( 。) + 上b ( 8 ) 扩( 8 ) d 5 + 上l ，( 毒) z 扣( 8 ) ) + 9 ( 8 ) l d 3 t ter + , ( f ) ， 一 和 ， ，c t 扩( t ) s8 ( t ) + f 6(s)扩(s)ds+jo,j0j 0 l ( 8 ，z 扣( 8 ) ) ) d s ，r + ，( j 8 ”) 初值条件为 僻i 怠。耢p 是取且a c t ) 0 ， l 妒( ，o ) ) ( 口o ) ) 1 ，t r + 且 ， 。 其中p i 是一个常数，口( t ) e ( r + ，珥) ，f ( ) t , - - 0 0 1 ，口n o 都是常数，l ：n ox 珥一吼，r + ；i o ，) ，n o = 0 ，l ，2 为非负整数集 摘要 在43 中，我们研究了关于时间尺度的动力不等式 r c ( u ( t ) ) p 口( t ) 十6 ( ) 囟( r ) u ( r ) + ( 下) 】nt t o ，( e 1 ) j f o 和 ， ( t o ) ) p a ( t ) + 6 ( t ) 伽 ，f ) 【g ( r ) ( u ( 丁) ) 9 + ( 丁) u ( 1 ) + m ( 下) l r t t o ，( e 2 ) j t o 其中p 1 是一个常数 文中的主要结果均由例子加以阐明 关键词偏泛函微分方程，振动性，脉冲，p - l _ n p l a c i a a 方程，正解， 时滞积分不等式，超前型离散不等式，动力不等式，时间尺度 v 圭壅壅重盔堂堡主堂垡垒塞一 s t u d i e so nt h e o r yo fo s c i l l a t i o na n d e x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n sf o rb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s o fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w ei n v e s t i g a t et h et h e o r yo fo s c i l l a t i o na n d e x i s t e n c eo fp o s i t i v e i u t i o n sf o rb o u n d a r yw h ep r o b l e m so fd i f f e r e n t i a le q u s t i o u s ，w e a l s os t u d y8 0 m e m t e 口a li n e q u a l i t i e sa n dd i s c r e t ei n e q u a l i t i e s ，w h i c h 8 j f eu s e f u li nt h et h e o r yo f d i 髓r 衄t i a le q u a t i o n sa n dd i f f e r e n c ee q u a t i o n s t h i sp a p e r i sd i v i d e di n t of o u r p a r t s i nc h a p t e r1 ，w es t u d yt h eo s c i l l a t i o nf o rs o l u t i o n so fs y s t e m so fp a r t i a lf u n c - t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i n 1 1 ，w es t u d yt h ef o r c e dc b c i l i a t i o no fs y s t e m so fn e u t r a lp a r a b o l i c d i f f e r - e n t i me q u a t i o n sw i t hd e v i a t i n ga r g u m e n t so ft h ef o r m 孙( 刈) + 萎k ( 忡 p l r ( t ”) 5 州”如“马 j、 m + 手螂) 牡k ( 撕删 ( 1 。1 1 + f6 l o ) 牡k ( $ ，矗k ( ) ) p 。工工 一c ( z ，t ，( ( z ，t ) ) 墨l ，( u t ( x ，靠( f ) ) ) 嚣1 ) + 工( z ，) ， 0 ，t ) q 1 0 ，) 兰g ，i = i ，2 ，m ， w h e r eqi sab o u n d e dd o m a i ni nr “w i t hap i e c e w i s es m o o t hb o u n d a r ya q ， a u g ( 州) = ：。笋卢l ，2 ，m c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n ： 警= 班( x , t i ，( 刈) 勰f o ，毗 2 ，m ，1 而 w h e r eni st h eu n i te x t e r i o rn o r m a lv e c t o r t oa qa n d 识( 而t ) i sac o n t i n u o u s f u n c t i o no no f t 【o ，o o ) ，( i = 1 ，2 ，m ) i n 1 2 ，w ea r ec o n c e r n e dw i t he s t a b l i s h i n gc r i t e r i af o rh - o s c i l l a t i o uo f 蝴 a b s t r a c t h y p e r b o l i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ft h ef o r m 嘉u ( z 。) = n 。? l ：t ) + e 。b b ( u 。 。”一p ( x7 幻u 扣 “。， 一铷 ，t ，) u 忙，g h ( t ，9 ) d 口 ) 4 - f ( x ，t ) ， 0 ，t ) q f o ，o 。) 兰g ， w h e r eqi sab o u n d e dd o m a i ni n 础w i t hap i e c e w i s es m o o t hb o u n d a r y 勰，a i st h el a p l a c i a ni nt h ee u c l i d e a nn - s p a c e ，a n dt h ei n t e g r a li n ( 1 2 1 ) i ss t i e l t j e s i n t e g r a l c o n s i d e rt h ef o u o w i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n s ： 警叫碱( 州) 舰x 【0 t 毗 ( 1 2 2 ) a n d 譬 u ( ，t ) = 0 ，( z ，t ) a f 2 x 【o ，o o ) ，( 1 2 3 ) w h e r eni st h eu n i te x t e r i o rn o r m a lv e c t o rt o 勰，皿0 ，t ) c ( a n 【o ，o o ) ；n 盯) ， a n d0 i s t h ez e r o v e c t o r i n r m i nc h a p t e r2 ，w ei n v e s t i g a t et h eo s c i l l a t i o nf o rs o l u t i o n so fi m p u l s i v ep a r t i a l f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i n 2 1 ，瓿，eo b t a i ns o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ro s c i l l a t i o no f i m p u l s i v ep a r a b o l i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e l a y so ft h ef o r m i 磊t ( 曩t ) f f i 口( f ) 舭( 州) + n ( t ) u ( 础一m ) 一妻她t 刊，t t j ， ( 2 。1 1 ) i 一1 【乱 ，哆) 一缸0 ，譬) ；b u ，t ，) ，j k ， w h e r e k = 1 ，2 ， ，扣，t ) q r + 兰g ，风= 【o ，o o ) ，n i sa b o u n d e d d o m a i n i nr w i t has m o o t hb o u n d a r y 锄，ai st h el a p l a c i a ni nt h ee u c l i d e a nn - - s p a c e r n ，0 t l t 2 白 一，a n dl i 屿州如= o o c o n s i d e rt h ei o l l o v , 4 n gb o u n d a r yc o n d i t i o n 掣- o ( 刈) 独取，t 引k ， ( 2 1 2 ) i 上海交通大学博士学位论文 w h e r eni st h eu n i te x t e r i o rn o r m a lv e c t o rt oa q i n 2 2 ，w es t u d yt h ef o r c e do s c i l l a t i o no fs y s t e m so fi m p u l s i v ep a r a b o l i cd i f - f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hs e v e r a ld e l a y so ft h ef o r m 袅u 。 ，t ) = a m t ) , u 女扛，d + ( t ) m t o ，一讯) 蠹；lk = l c i p ，t ，p ，t ) ) 嚣l ，( u k ( z ，t d 讧) ) 名1 ) 一壹( q ) u 。( x , t - - ) + 工，如， ( 2 叫 ；l 仕，芎) 一蛳缸，丐) = p l 扛，如，饥( z ，如) ) ， i k ，j k ，( z ，t ) q 日兰g ， 妒w i t ha8 m o o t hb o u n d a r y 鲫，觚( 叫) = 宴掣肛枷 狄“ 岛 ，a n dl i 码一= o o c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n ： 孝嘉旦= 砒扛，吼。，f ) 抑耳，f 岛, i e k ，j k ， ( 2 _ 2 2 ) a n dt h ei n i t i a ic o n d i t i o n t i ( z ，t ) = 机( z ，t ) ，( z ，t ) q l 一五，0 1 ， ( 2 2 3 ) w h e r eni st h eu n i te x t e r i o rn o r m a lv e c t o rt oa qa n d 识e c o q r + 。捌，i k ，p cd e n o t e st h ec l a s so ff u n c t i o n s ，w h i c ha r ep i e c e w i s ec o n t i n u o u si ntw i t h d i s c o n t i n u i t i e so ff i r s tk i n do n l ya tt = t ja n dl e f tc o n t i n u o u sa tt = t j ，j k ，民一 i i l a x t & ，以七t ；k k ，h 五，九俨( n 卜反，o 】，动，i k ，h = 1 ，2 ，- 一，1 ) i n 2 3 ，w ei n v e s t i g a t eh - 0 6 c i l t a t i o uo fi m p u l s i v ev e c t o rp a r a b o l i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hd e l a y so ft h ef o r m 爰c ，( 第，t ) 2 。o ) u ( 圳+ k = l k ( t ) 矿( z , t - r d 一瓠( 霉，t ) v ( x ，t 一靠) + f 扛，t ) ，f t j ，( 2 3 1 ) ( ，0 ，芎) 一u 扛，譬) = p p ，t j ) t y ( x ，屯) ， ，k ，( z ，) n r + 三g ， a b s t r a c t w h c r c k = 1 ，2 ，) ，r + = 【0 ，。) ，q i sa b o u n d e d d o m a i n i n 舻w i t h8 p m c e w i s e s m o o t hb o u n d a r y 御，ai st h el a p l a c i a ni nt h ee u c h d e a n 悯p a c er “，0 t l t 2 屯 1a n df ( o ，1 ) a l ec o n s t a n t s ，a n d ，c ( 【0 ，1 】 【0 ，o o ) ，【0 ，o o ) ) i nc h a p t e r4 ，w ei n v e s t i g a t es o m ei n t e g r a li n e q u a l i t i e s ，d i s c r e t ei n e q u a l i t i e s a n dd y n a m i ci n e q u a l i t i e so i lt i m es c a l e s i n 4 1 ，w es t u d yt h ed e l a yi n t e g r a li n e q u a l i t i e so ft h e f o r m z p ( t ) 口( t ) + c ( t ) l 厂( s ) z ( 口( 3 ) ) + 9 ( 8 ) 】d 摹，t r + ， ( e ) 邢) 纠卅r 郴) d 计r 忡) 如( s ) ) 吲叫幽t 珥， ( f ) 上海交通大学博士学位论文 邢) 0 ( r 6 ( s ) 矿( s ) d s + j ( 弘，咖( 枷) d s ，t 墨， ( 卅 瓮舌冀乙。嚣研t ：凰删啦0 ， i 妒( 口( ) ) ( 口( t ) ) 1 ，p ， 冗+ 且口( ) ， 、。 w h e r ep 1i sa c o n s t a n t ，o ( t ) e ( 凡+ ，r + ) ，仃o ) st ，一1a n d 口0a r ec o n s t a n t s ，l ：n o 珥_ 凰，r + = 【0 ，o o ) ，a n d n o = o ，l ，2 ，) i n 4 3 ，w ei n v e s t i g a t et h ed y n a m i ci n e q u a l i t i e so i lt i m es c a l e so ft h ef o r m ， ( u c t ) ) a ( t ) + b ( t ) b ( r ) “( 7 | ) + _ i l ( r ) 】一t t o ，( e 1 ) j t o ，c ( ( t ) ) p a ( t ) - i - b ( t ) ( t ，7 - ) b ( r ) ( ( r ) ) + h ( r ) u ( v ) + m ( f ) 1 r ，t t o ，( e 2 ) j t o w h e r e p 芝1i sa c o n s t a n t k e yw o r d sp a r t i a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，o s c i l l a t i o n ，i m p u l s e ， p _ l a p l a c i a n ，p o s i t i v es o l u t i o n ，d e l a yi n t e g r a li n e q u a l i t y , a d v a n c e dd i s c r e t ei n e q u a l - i t y , d y n a m i ci n e q u a l i t y , t i m es c a l e x 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除论文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或者集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的 研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以职确方式标明本人完 全意识副本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签 日期：2 0 0 6 年2 月2 7 日 。奄吖fif， 移 办 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权上海交通大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文 保密回：在一年解密后适用本授权书 本学位论文属于 不保密i 矾 ( 请在以上方框内打“，) 指导教 日期：2 0 0 6 年2 月2 7 日 04妒，f 移 鼻移佃 轹 月 签 。 脊 年 妇 加 论 ： 位 期 学 日 第零章绪言 o 1研究背景和意义 微分方程是数学中的一个古老而重要的分支f 1 1 随着科学技术的发展，微分 方程理论的重要性日益显现，它不仅在工程技术、航天技术以及自动控制等领域 中有重要应用，而且在计算机科学、人口生态学和金融等领域中也成为不可缺少 的数学工具因此，长期以来，国内外的大批专家学者一直对微分方程理论的研究 抱有浓厚的兴趣其基础理论及应用性意义越来越被人们所注意 泛函微分方程是微分方程的重要分支近几十年来，泛函微分方程理论取得 了长足的发展，这方面的理论可参见专著1 2 ，9 ，1 1 1 偏泛函微分方程是微分方程 中的一个新的研究领域，最近二十年来发展迅速，一些基本的理论已收录于专著 【1 3 】中 微分方程定性理论是微分方程理论的重要组成部分自从1 9 世纪s t u r m 振 动性定理建立以来，微分方程振动性理论已成为微分方程定性理论中的一部分重 要内容尤其是泛函微分方程和偏泛函微分方程的振动性理论，一直是近三十年 来非常活跃的一个研究方向，已涌现出大量的研究成果，对此，专著 3 ，5 ，8 ，1 0 ， 1 2 ，1 7 】有较系统的介绍 微分方程边值问题是微分方程理论中又一个重要的研究领域自从1 8 9 3 年p i - c a r d 运用迭代法讨论非线性常微分方程两点边值问题解的存在性和唯一性之后， 常微分方程两点边值问题的研究获得了蓬勃发展1 9 8 4 年，k i g u r a d z e 和l o m - t a t i d z e 2 1 】研究了具有局部可积系数p k ：i a lb l _ + 冗( 七= 0 ，1 ，2 ) 的微分方程 在下面三种边值条件 和 = p l ( t ) t + m ( t ) t ，- i - p o ( t ) ， ( 1 ) 山+ ) - 娅器= 卢 t ( o + ) = q ，u ( b - ) = 声， ( 2 ) ( 3 ) “( o + ) = n ，u ( b - ) = u ( t o ) + 卢，( 4 ) 上海交通大学博士学位论文 下解的存在唯一性条件，这里 ，l 一o o n t o 0 ，i = 1 ，2 ，m ；k = 1 ，2 ，m r = 1 ，2 ，一，s ； ( a 2 ) 断，孔k 以c ( 1 0 ，o o ) ；r ) ，胁( ) t ，r j k ( t ) t ，以( t ) t ，l i i i l 。p r ( f ) = l i r a t m n ( ) = h m t 。以( t ) = o 。，i = 1 ，2 ，m ；r = 1 ，2 ，s ；k = 1 ，2 ，珥 ( a 3 ) c c 霜舻；固， 比 鼠加觚川巢：端， i = 1 ，2 ，。m ； ， 。 ( a 4 ) 五c ( g ；冗) ，i = 1 ，2 ，m 考虑边值条件： 垒铲= 识p 埘， ，) 0 3 2 【o ，。o ) ，i = l ，2 ，m ， ( 1 1 2 ) 其中是a q 的单位外法向量，以( z ，t ) 是a q 【0 ，o o ) ，( i 一1 ，2 ，m ) 上的连 续函数 + 定义1 1 1 一个向量函数u ( z ，d = u 1 ( z ，t ) ，t 2 ( 五) ，t 。( 毛t ) ，称为问 题( 1 1 1 ) 和( 1 1 ，2 ) 的解，如果缸p ，t ) 在区域g = q 【0 ，o 。) 内满足( 1 1 1 ) 和 ( 1 1 2 ) 定义1 1 2 问题( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) 的解u ( x ，t ) = “l ( z ，t ) ，t 2 p ，t ) ，t 。 ，t ) r 称为在区域g = n 【o ，o o ) 内振动，如果至少有个非平凡分量在g 内振动否 则，向量解缸( z ，t ) 称为在g 内非振动 定义1 1 3 问题( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) 的解“( z ，t ) = 伽l ( $ ，t ) ，t 2 ( z ，t ) ，t 。( z ，t ) t 称为在区域g = q 【o ，o 。) 内强振动，如果它的每个非平凡分量在g 内振动 2 主要结果 为方便起见，我们引入下面的记号； 以( t ) = t i 扣，) d z ，吼( t ) = 讥忙，t ) d s ，e ( t ) = 五( z ，t ) d z ， j nj # i lj r 2 第一章；偏泛函微分方程系统解的振动性 风( ) = r ( t ) + a z k ( ) 皿k ( f ) + ek ( ) 吼( l ( ) ) ， k = l= l t 0 ，i = 1 ，2 ，m ， 其中d s 是a q 上的面元素 引理1 1 1 假设u ( x ，t ) = lx ，) ，u 2 ( x ，t ) ，t 正。( z ，t ) r 是问题( l 1 1 ) 和 ( 1 1 2 ) 在区域g 内的解若存在一个i o 1 2 ，m 使得地。( z ，t ) 0 ，t t o 0 ，则c o ( t ) 满足中立型微分不等式 ， 3 、， ( y ( t ) + k ( ) y ( 删) s 巩( t ) ( 1 删 证明由条件( a 2 ) ，我们很容易看到存在一个数t l t o ，使得t l o ( $ ，) 0 ， ( z ，( ) ) 0 ，t i o ( z ，( t ) ) 01 l o ( z ，( t ) ) 00 ，t ) q i t , ，o o ) ，k = 1 ，2 ，r n ；r = l ，2 ，o 考虑下述方程 妄”妾砒删，) = 薹删撕，力 + 妻t ( t ) 饥( z ，7 b q 。1 4 、 一c t o ( 曩t ，( k ( 霉，) ) 廷l ，( “( ，吼( ) ) ) 翟1 ) + 厶p ，) ， ( ，t ) q 【o ，o o ) 兰g 对( 1 1 4 ) 关于。在区域n 上积分。我们得到 未( 上蝴m + 耋训加洲嘞d z ) 2 萎“”上鲰扛。) 出+ 6 i “d 上仕，“) d z ( 1 1 5 ) t = 1 k = l 一c i o ( 毛t ，( u k ( x ，幻) 是l ，似k ( 仃女( t ) ) ) 器1 ) d z + 厶( qt ) 出，t t 1 j nj n 利用格林公式和边值条件( 1 1 2 ) 可以得到 。 上舭施 t ) 血= 厶垒笔铲d s = 厶机扛d s = 州t ) ， ( t 工。) 3 上海交通大学博士学位论文 f aa u 如删m = 厶丝啄f l 掣d sj a n ( 1 1 7 ) = f 饥( z ，女( t ) ) d s = 皿i ( ( t ) ) ， t t l ，= 1 ，2 ，仇 由条件( a 3 ) ，我们可以看出( ，t ，( 饥扛，t ) ) 器l ，( u k ( x ，吼( t ) ) ) 器1 ) 0 ，联合 ( 1 1 5 卜( 1 i 7 ) ，我们有 ( ( d + 妾a 。以) ( 以) ) ) ( ( t ) + a 。，( ) ( ，( ) ) ) 、 r = l 7 mm 民o ) + 。( t ) 霍女( ) + i ( ) 霍( 瓦非( t ) ) ，t t l 膏= lk ；l 上式表明( t ) 0 是不等式( 1 1 3 ) 的一个正解证毕 下面引理的证明类似于引理1 1 1 ，我们在此省略其证明过程 引理1 1 2 如果存在某个o ( 1 ，2 ，m 使得t ，t ) 0 ，t t o 0 ，i = 1 ，2 ，仇，则t 1 0 扛，t ) 0 或t ( z ，t ) o ，t t o ，由引理1 1 1 ，我们得到【，0 ( t ) 0 是不等式( 1 1 3 ) 的 解，矛盾 着t 。扛， 0 ，t o ，r = l ，2 ，一，s 在( t l ，t 】( t l t o ) 上对( 1 1 3 ) 积分我们得到 y ( t ) + k ，( ) y ( 店o r ( t ) ) sg + h 。( 8 ) d 8 ， ( 1 1 1 0 ) 这里c 为常数 令t o o ，由( 1 1 1 0 ) 我们得到 l i m i n f y ( + 妾k 以) y ( 氏r ( f ) ) 】= 一o o ，r = l o 这与假设v ( t ) 0 矛盾证毕 类似地，我们有 引理1 1 4 如果 l i m s u p | h k ( 8 ) d s = o o t t l2t o 1 1 1 i i ) 则不等式( 1 1 8 ) 无最终负解 利用定理1 1 1 ，引理1 1 3 和1 1 4 ，我们立即得到下面的定理 定理1 1 2 若存在某个硒 1 ，2 ，m ) 使得( 1 1 9 ) 和( 1 1 1 1 ) 成立，则i 可 题( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) 的每个解在g 内振动 利用上述振动性结果，不难得到下面的强振动性结论 定理1 1 3 若对每个 1 ，2 ，m ，不等式 ( 即) + 壹堋y ( 础) ) ) 。哪) (1“2)r=1 、， 无最终正解，并且不等式 ( 忡) + 宴m 腓) ) ) 即) ( 1 - 1 1 3 ) ( 矿( t ) + k ( t ) y ( 肼( t ) ) ) 趣( f ) ( 1 - 1 1 3 ) 、 r = l 7 土堂奎亟盔堂堡圭堂堡垒塞 一 无最终负解 则问题( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) 的每一个解在g 内强振动一 定理1 1 4 假设对所有的i ( 1 ，2 ，仇) ， 唑擎f 踯) d s = - 刚- 狐 ( 1 1 1 4 ) 和 “ l i r a s u pfh ，| ( s ) d s o o ，l 如 ( 1 l 1 5 ) 都成立则问题( 1 1 1 ) ，( i i 2 ) 的每个解在g 内强振动， 3 例子 ? 下面，我们给出两个徘说明本节主要结果的有效性 例1 1 1 考虑中立型抛物微分方程系统 爱k 州) 仙( z , t - x ) l = a u t ( 础) + 矿m ( 州一丌) + 抛扛，t ) + e 2 a u 2 ( x ，t 一警) 一u l ( z ，t ) 一t l 缸，t 一7 r ) + e - e t s i n t s i n z + 2 e c o s t s i n x ， 象f ：( 毛t ) - i - e - 2 t 2 如，一乏) l = e 1 钍一 ，f ) + u ，t 一，r ) ( 1 1 1 6 ) + a t l 2 ，t ) + 矿地( 正，t 一等) 一性2 扛，t ) 一 一t 2 p ，t 一豸) + 4 e s i n t s i n x ， ( z ，) ( 0 ，7 r ) 【0 ，o o ) ， 边值条件为： 二攀三攀之： n l t 0 这里o = ( o ，7 r ) ，n = 1 ，m = 2 ，8 = 1 ，a 1 1 ( t ) = 1 ，a 2 l ( t ) = e 。，2 ，p l l ( t ) = t 一孔p 2 l ) = t 一蓦，口i l o ) = 1 ，口1 2 ( t ) = 1 ，口2 i ( 力= e 一。，口2 2 ( t ) = 1 ，b n ( t ) = e * ，b 1 2 ( t ) = e 霄2 ，6 2 l ( t ) = 1 ，6 2 2 ( t ) = 矿，7 1 l o ) = 匏l ( t ) = t 一霄，n 2 ( t ) = 砌( t ) = t 一擎， c ( ，t ，t l ( z ，t ) ，忱扛，t ) ，t 1 0 ，仃l ( t ) ) ，u z ( z ，观( t ) ) ) = t 如，t ) + t 扛，以( t ) ) ，i ；l ，2 ；盯l ( t ) 2 6 第一章：偏泛函微分方程系统解的振动性 t 一7 r ，口2 ( ) = t 一薹，砂l 扛，t ) = 一e tc o s t ，砂2 ( z ，) 2 e c o s t s i n x , f 2 ( x ，t ) = 4 e s i n t s i u x 显然， 霎l ( t ) = - 2 e c o s t ，2 【”= - - 2 e ts i n t ，皿l ( n l ( ) ) = 皿l ( 吃i 【) ) = 2 e 一。e c o s t ，霍2 ( n 2 ( t ) ) = 皿2 ( 7 幻( t ) ) = - 2 e 一新2 e c o s t ，则 删= z 脚m = o f f f x , t ) d x = 2 e t ( e - s i n t + 2 c a ) 8 t ) 尼( t ) 。x , t ) d z = ，2 ( t t ) d z = 8 e t s i n t j o ， 研( t ) = 只( f ) + a n ( t ) q 2 1 ( t ) + a n ( t ) $ 2 ( t ) + 6 u 0 ) 皿l ( 丁1 l ( t ) ) + 6 1 2 ( t ) 皿2 ( n 2 ( t ) ) = 2 e 【( e 1 一i ) s i n t + ( 2 一e ”) c o s t 丑j ( t ) = 岛( t ) + 口2 l ( t ) 皿l ( f ) + a m ( t ) $ 2 c t ) + 6 2 1 0 ) 田l ( 死l o ) ) + b 2 2 ( t ) m 2 ( f h ( t ) ) = 2 e ( 3s i nt e - 2c o st ) ， 因此，我们得到 f tt t 1 i 。m 。i n f j 自h i ( s ) d s = 一0 。，1 i 掣9 j ( 。凰( 5 ) d 8 = o o ， 和 1 罂缈上。仍( s ) d s = - c o , ! f t 璁缨p 上i * 。t 凰( s ) 山= o o 这些表明定理1 1 4 的条件全部满足所以问题( 1 1 1 6 ) 和( 1 1 1 7 ) 的每个解 在( 0 ，r ) i o ，0 0 ) 内强振动事实上，u l ( x ，t ) = c o s t s i n x ，地( z ，t ) = e s i n t s i n x 就是问题( 1 1 1 6 ) 和( 1 1 1 7 ) 在( 0 ，) 【o ，c o ) 内的一个强振动解 例1 i 2 考虑中立型抛物微分方程系统 是i u t o ，) + e 。q - ( 甄t 一”) l = 血t ( z ，f ) + e 。u ( ，t 一霄) + 坳( z ，t ) + ( 一e 3 霄2 ) a u 2 ( z ，t 一簪) 一1 1 1 1 ( 茹，t ) 一u l ( z ，t 一琴) + ( c o s t + e - * 2 s i n t ) e s i n x ， 番k 州) + e 2 v a ( 州一钏= u l ( 卅+ 矿她( 州一丌) ( 1 1 1 8 ) + a u d z ，t ) + e “s a u 2 ( z ，t 一) 一坳 ，t ) - v a ( x ，t 一) + 2 ( 2 + e - - s ) e 。c 0 8 ， ( ，t ) ( o ，) 【0 ，o o