（课程与教学论专业论文）中学生数学理解教学现状研究.pdf

摘要 数学理解是近年来在数学教育领域中较受关注的研究课题，原 因在于数学理解不仅是数学课程和教学的重要目标之一，而且它对 于学生的数学学习能力和数学素养的发展均具有重要作用。因此， 在日常教学中，教师应有意识地对学生的数学理解予以关注，并积 极探索有效促进学生数学理解发展的措施和策略。 本文采用文献法对数学理解的研究发展概况进行了梳理，并基 于认知理论和建构主义学习理论，对其内涵进行了具体分析，在此 前提下，通过课堂实际观察、结合实际教学内容对中学生进行理解 测试以及对教师和学生进行个别访谈等方式，对中学生数学理解的 教学现状进行了以定性分析为主的研究。 研究发现，教师在教学过程中受主观认识与客观评价等因素的 影响，在促进学生数学理解的教学策略上存在诸如忽视学生理解发 展的自主性，层次性等系列问题。 针对以上问题，本文从课堂教学出发，对在教学内容的呈现、 课堂上的交流以及评价与反馈这几个环节中如何促进学生的数学理 解进行了探讨，结合大量实例提出了一些具体建议，以期对教师的 实际教学有所启发 关键词：理解；数学理解；数学教学；建构 a b s t r a c t m a t h e m a t i c a lu n d e r s t a n d i n gi so n eo ft h ef o c u so ft h ec o n c e n t x a t i o n si nr e c e n t r e s e a r c ho fm a t h e m a t i c se d u c a t i o n ，t h er c 锄s o r l $ l i ei nt h a tm a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n gi so n co f t h ei m p o r t a n ta i l n so f m a t h e m a t i c a lc o u r s ea n dm a t h e m a t i c a l t e a c h i n g , i ta l s op l a y sa ni m p o r t a n tp a r to nt h ed e v e l o p m e n to fm a t h e m a t i c a ls t u d y a b i l i t ya n dm a t h e m a t i c a la t t a i n m e n t so f t h es t u d e n t s t h e r e f o r e ，t e a c h e r ss h o u l dn o t o n l yp a ya t t e n t i o nt ot h em a t h e m a t i c a lu n d e r s t a n d i n go fs t u d e n t s ，b u ta l s oe x p l o r e e f f e c t i v em e a s u r e sa n ds t r a t e g i e st h a ti m p r o v et h ed e v e l o p m e n to fm a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n go f s t u d e n t sa c t i v e l y a d o p t i n gt h em e t h o d so fr e s e a r c h i n g o nt h ed o c u m e n t s ，t h ea u t h o r s u m m a r i z e st h ed e v e l o p m e n to ft h er e s e a r o ho nm a t h e m a t i c a lu n d e r s t a n d i n g a n d b a s i n go nc o g n i t i o nt h e o r i e sa n dc o n s t r u c t i v i s r nt h e o r i e s ，t h ea u t h o rn o to n l y a n a l y s e st h em c m i n go fm a t h e m a t i c a lu n d e r s t a n d i n g ，b u tc a r r i e so i lt h eq u a l i t a t i v e a n a l y s i so nt h ea c t u a l i t yo fm a t h e m a t i c a lu n d e r s t a n d i n gi nm i d d l es c h o o la n dh i 【g h s c h o o lb ya d o p t i n go b s e r v a t i o ni nc l a s s r o o m ，t e s t i n gs t u d e n t s u n d e r s t a n d i n ga b i l i t y a n dc o m m u n i c a t i n gw i t l ls t u d e n t sa n dt e a c h e r s b a s i n g0 1 1t h ew o r ka b o v e ，t h ea u t h o rf i n d so u tt h a tm a t h e m a t i c a lt e a c h e r sa r e i n f l u e n c e db yt h ef a c t o r ss u c ha ss u b j e c t i v eu n d e r s t a n d i n ga b o u tm a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g ，t h eo b j e c t i v ea 秘螂s m c i l t ，c t e ，t h a ti sw h ys o m ed e f i c i e n c i e se x i s ti n t h et e a c h i n gs t r a t e g i e st h a t i m p r o v e s t u d e n t sm a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g a b i l i t y , s u c ha sn e g l e c t i n gt h ea u t o n o m ya n dl e v e lo f s t u d e n t s u n d e r s t a n d i n g a i m i n g 砒t h ep r o b l e ma b o v e ，t h ea u t h o rd i s c u s s e sh o wt oi m p r o v es t u d e n t s m a t h e m a d c su n d e r s t a n d i n gi nt h ec o u r s eo f c l a s s r o o mt e a c h i n g ，i n c l u d i n gp r e s e n t i n g t h ec o n t e n to fm a t h e m a t i c s ，c o m m u n i c a t i o na n da s s e s s m e n ta sw e l la sf e e d b a c ki n t h ec l a s s r o o m m e a n w h i l e ，p u tf o r w a r ds o m ec o l i c r e t es u g g e s t i o n st ot h et e a c h e r s w i t he x x o n o f 蛳r m gt ot h e i ra c t u a lt e a c h i n g ，w i t hag r e a td e a lo f e x a m p l e s k e yw o r d s ：u n d e r s t a n d i n g ；m a t h e m a t i c a lu n d e r s t a n d i n g ：m a t h e m a t i c a lt e a c h i n g ： c o n s t r u c t n 导言 一、选题的缘由与研究的意义 数学理解( m a t h e m a t i c a lu n d e r s t a n d i n g ) ，继问题解决之后，已越来越成为 当今数学教育界的热点话题。究其原因，在于随着时代的发展，社会对人的各 方面素养都提出了更高的要求，数学不仅仅是作为知识与工具在使用，而且已 成为新世纪人才所必须具备的素养与品质在这种背景下，数学教育的着眼点 相应地就放在了每个学生数学素养的提高与创新能力的发展上。正如单蹲教授 所说：“数学对思维的训练是数学的最广泛实用性，这才是我们要学数学的 主要原因。”张顺燕教授也曾谈到：。数学不仅是一种工具，它更是一个人必备 的素养。它会影响一个人的言行、思维方式等各个方面。”i l 】 而对于数学学习来说，理解无疑是最为关键的一个环节。只有当学生对学 习内容深刻地理解之后，才有可能真正掌握其思想方法，才有可能有所发现或 创造。这就是说，数学理解是提升学生数学素养与数学精神的前提，学生数学 思维能力和解决问题能力的发展是建立在理解基础之上的卡彭特( c a r p e n t e r ) 就曾在理解性的数学学习与教学( ( t e a c h i n ga n dk a m i i l gm a t h e m a t i c sw i t h u n d e r s t a n d i n g ) ) 一文中指出“理解性学习的最主要特征就是这种学习是具有生 成性的。当学习者获得了具有理解性的知识时，他们就能运用这些知识去学习 新的主题，去解决新的和不熟悉的问题，我们需要让学习者时刻准备着学 习新的技能和知识，并且要让他们准备应用这些知识去解决新问题。除非学生 的知识是通过理解性学习而获得的，否则这些知识很可能一出校门就毫无用 处。”因此，要想让学生学好数学、学会运用数学的知识、思想与方法去解决问 题，发展数学素养，就必须抓住“理解”这一关键环节。 在数学教育界，大家普遍认为学生能否学好数学的一个首要前提是能否理 解数学l 但是，使学生理解数学却是一个不容易实现的目标世界著名数学家、 科学家和哲学家彭加勒在其科学与方法一书中就曾提出过。数学为什么难 以理解”的问题。事实上，数学教育研究者与一线教师一直都在进行不懈的实 践与研究，努力寻找有效地帮助学生理解数学的途径与方法。 然而，在实践过程中，许多教师将关注学生的数学理解局限于关注学生解 1 1 1 张顺燕教学的思想方法和应用( 修订舨) 【m l ，北京大学出版社，2 0 0 3 年p 1 4 9 1 答标准性问题的准确率和速度，以及学生能否依据固定的程序去获得答案等方 面，而忽视在让学生知道“怎样做”的基础上，如何去让他们懂得“为什么这 样做”，以及更进一步思考。还可以怎样做”无怪乎张奠宙先生曾说：“西方在 数学教学中强调理解、理解、再理解，而我国则是练习、练习、再练习”j 这话当然是在强调双方各自表面最突出的特点，但的确也指出了目前我们的数 学教师在教学中对学生理解情况的认识与处理方法及策略存在许多问题和不 足。从笔者在中学的听课经历与实际调查研究来看，也确实感受到教师在课堂 上对学生理解状况的关注与处理方面存在许多片面的地方。 因此，不论是运用发展的眼光。从当今社会对具有良好数学素养的人才的 渴求出发，还是作为一名教育工作者，落脚于我们数学课堂教学的现状来说 对中学教学中的数学理解进行研究，都有着十分重要的意义。 二、该课题的研究现状 在数学教育愈来愈受到重视的今天，对数学理解的研究也越来越引起人们 的普遍关注许多国内外学者从不同角度对这一课题进行了研究，并发表了研 究成果与心得国外学者在理论研究的基础上，近年来倾向于以案例研究的方 式，将研究视角拓展到教学实践领域，结合大量实际案例，提出具有可操作性 的基于理解的教学设计模式，如美国哈佛大学教育研究院著名的“零点计划” l t f u 项目：。面向理解的学习与教学”( l e a n f i n ga n dt e a c h i n gf o r u n d 懿t a n d i n g ) ，当然，这些研究当中很多都并非只针对数学学科 纵观国内已有的研究，主要是在借鉴认知理论、建构主义学习理论等理论 成果的基础上，结合自己的实践经验与感受，从各个角度、不同侧面对数学理 解进行分析研究，主要涉及到以下几个方面：数学理解的内涵、类型、层次， 数学概念理解、解题中的理解等。受到国外研究的影响，国内目前也有学者结 合数学教学实际提出了一些旨在促进数学理解的情境式教学设计 基于数学理解对于数学学习与教学的重要性，纵览众多学者的研究成果， 可见数学理解是一个具有重要研究价值的课题。本文将着眼点落在教学实践的 l i l 转引自邝孔秀，。理解是第一位。吗 j ，数学教育学报2 0 0 0 年8 月 2 层面上，根据拥有的调查资料和听课录像与记录，结合实际听课感受，希望通 过对中学生数学理解的教学现状做出实际调查、分析、并对结果进行反思之后， 能够结合数学教育理论为教师的教学设计提供一些可行的建议，对其实际教学 有所启发。正如日本杉山吉茂教授所言：。数学教育要成为一门学问，就应该具 有理论上的研究，但是这种理论不是为理论而理论，而应该是为了解决数学教 学的实际闯题，指导提高数学教学实践为目的的” 三、论文的主要研究方法 本文采用的研究方法主要包括以下几种： l 、文献法；收集、整理、归纳国内外的相关研究成果与理论，并在此基础上结 合本文主题对已有的理论成果做出必要的总结与反思，以期得出新的结论。 2 、调查测试：选取初中数学课程中某些内容，在初二年级中对学生的理解水平 进行测试比较，在此基础上分析学生对相关知识的理解状况，探讨中学数学 教师对学生数学理解的关注与认识程度及在教学中促进学生数学理解的措 施是否得当 3 、个别访谈：找个别教师和学生进行访谈，做深入了解。 4 、课堂实际观察与教学录像分析 第一章数学理解的有关概念及其重要性分析 第一节数学理解的有关概念 一、理解的内涵 。理解”作为本文的核心词，对其内涵的把握与诠释是笔者全部研究工作 的重要基础辞海中对理解的定义是；。了解；领会是通过揭露事物问的 联系而认识新事物的过程。其水平随所揭露联系的性质而异：有揭露事物阃外 部联系的理解，如把一事物归入某一类已知事物中：有揭露事物问内在联系的 理解，如确定事物间因果关系。理解事物时须应用已有知识，或在已有知识的 基础上掌握新知识理解过程可分为直接理解与间接理解两种，前者是通过亲 身经验而实现的；后者须经过一系列的分析、综合过程，从最初模糊朦胧、未 分化的理解逐渐过渡到明确清晰、分化的理解。实践是理解的基础。”这个定义 已经较为清楚地阐明了理解的关键属性与内涵。 在日常的学习与教学中，有人认为，能够用自己的语言来叙述一个概念或 原理就叫理解；有人认为，能够运用自己所学的知识才叫理解；还有人认为理 解是一系列水平的层次，比如了解、领会、掌握、熟练应用等。诚然，这些都 能用来描述理解的外在表现或结果，但是却没有真正从心理层面给理解下一个 定义。事实上，要在教育领域中探究理解的内涵，笔者认为应首先将其看作一 个心理过程。原因在于，个体对某个事物或现象的理解的产生、发展完全是一 系列心理活动过程：它体现着学习的内涵，与学习过程密不可分。对理解性学 习与教学以及数学理解性学习与教学的研究均有赖于学习心理学中理解内涵的 不断发展对教育领域产生的巨大冲击与影响。 本文基于认知理论与建构主义的学习理论框架下，认为个体的理解活动就 是个体运用已有的知识、经验，认识事物的联系、关系，直至本质规律的思维 活动。其重要特征之一是“过程”，即是学习者对所学内容的一个意义赋予的过 程，从中可以看到在这一过程背后所具有的个体主体意识的参与因此，理解 活动作为学习过程中的一个重要环节，反映出了学习者主动、积极的因素以及 个体经验的重要作用，也正是由于这个原因，个体的理解显然就不具有完全统 一性，学习者基于自己的知识、经验与个性风格，对事物形成独特的理解，这 样的理解不可以被其他人所告知，这样的理解之形成也不能由其他人所包办代 4 替。 当然，上述对。理解”的内涵的诠释只是从本文所要讨论的问题出发，而 目前有关理解的理论研究已不仅仅限于用学习者内在的认知结构去描述理解的 过程。要想对理解做更加完善的解释，还要包括对产生理解的情境、活动步骤 和社会文化背景的分析。在此想着重说明的一点是，随着心理学对学习的研究 不断深入，社会学、人类学等其他学科也相继涌入，并开始逐步深入地关注人 在特定情境中究竟是如何学习的，究竟是如何建构对事物的意义和对知识的理 解的。多学科交叉融合的理论分析已经开始渗入对学习的研究之中，并逐步成 为对该领域进行有意识反思的基础。这无疑对如何看待与研究“理解”这个与 学习的内涵有着本质联系的心理过程，是非常有帮助的。由于这将涉及到众多 学科的融合，与本文所研究的主题关系不甚紧密，因而在此就不作展开论述了 二、对数学理解的认识 l 、数学理解的内涵分析 在。理解”的基础上再来探寻“数学理解”的内涵，会发现“数学理解” 所牵涉的意义和内涵极为广泛，许多专家、学者都曾叙述过自己对于数学理解 的看法。但是，这些看法大多仅仅从某一个( 或两个) 角度去阐述，很难完整 地概括数学理解的复杂内涵。出于研究的需要，本文所关注的主要有以下几个 方面： ( 1 ) 从数学思维方法的角度理解现实 孙小礼教授认为：。数学地理解问题，恐怕就是数学的思考方式。它包括诸 如；抽象化、运用符号、建立模型、逻辑分析、推理计算、从数据进行推断、 优化以及善于应用计算机进行数学实验等等。”【i l 显然，这是在强调从数学思维方法的角度去理解现实，以此作为对。数学 理解。的诠释 ( 2 ) 作为一种数学认知结果 希伯特( h i e b v r t ) 和卡彭特( c a r p e n t e r ) 认为：一个数学的概念、方法或 事实是理解了，如果它成了内部网络的一个部分。更确切地说，数学是理解了， i i 邓东皋，孙小礼张祖贵，数学与文g m l ，北京大学出版社，1 9 9 0 年，p 2 1 0 5 如果它的智力表示成了表示网络的部分理解的程度是由联系的数目和强度来 确定的。说一个数学的概念、方法或事实是彻底地理解了，是指它和现有的网 络是由更强的或更多的联系连接着。哪 李士铸教授认为：“学习一个数学概念、原理、法则，如果在心理上能组织 起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内部知识网络的一部分，那么才说 明是理解了其中，所需要做的工作就是寻找并建立恰当的新、旧知识之间的 联系，使概念的心理表象建构得比较准确，它与其他概念表象的联系比较合理， 比较丰富和紧密。”【2 j 这些界定是将数学理解看作数学学习的结果，特别强调理解是在概念、事 实、方法、原理等对象之间傲联系，强调理解的过程是将新知识有效纳入认知 结构的过程 ( 3 ) 对数学对象的理解 在彭加勒看来，理解一个定理首先意味着弄清这个定理的每一步的演绎推 理，搞清它的正确性，它与数学规则、逻辑规则的一致性；理解一个定义则要 弄清楚它的全部意义。这是最浅层的理解，是对概念和定理“知其然”的理辫。 这种理解事实上是远远不够的，对于大多数学习数学的人来说，不仅要知道一 个定理是怎样证明的，而且更重要的是要知道这个定理为什么要这样证明，是 怎样想到用这个方法、这个原理来证明的。这是彭加勒关于理解一词的又一解 释，是“知其所以然”意义上的理解了 现代认知心理学将一般性知识分为陈述性知识和程序性知识【3 】黄燕玲和 喻平教授认为这两者都是针对结果性知识而言的，并结合数学学科特性将数学 知识分为结果性知识和过程性知识，嗍在此基础上对数学理解的内涵进彳亍了探 讨，数学知识既然包括陈述性知识、程序性知识及过程性知识，因此，他们认 为；数学理解应涵盖对三种知识的理解，对陈述性知识的理解是指学习者获得 了该知识的图式，对程序性知识的理解是指学习者建立了双向产生式和产生式 系统，对过程性知识的理解，是指学习者形成完善而深刻的关系表征和观念表 征 1 i 】【美】d 丸格劳斯主编，陈昌平译，数学教与学研究手册f m l ，上海教育出版社1 9 9 9 年4 月第一版 1 2 1 李士销，p m e ，数学教育心理【m j ，华东师范大学出版社。2 0 0 1 年6 月 懈吴庆麓，教育心理学【m 1 人民教育出版社，1 9 9 9 h i 黄燕玲。喻平对数学理解的再认识 j 】。数学教育学报2 0 0 2 年8 月 6 从上述叙述来看，显然他们是在强调认知结构的基础上，进一步从关注对 数学对象的理解的角度来定义“数学理解”的 分析以上观点，可以发现对“数学理解”的认识主要涉及三个方面：从数 学的角度去理解现实，从数学认知发展的角度去解释“理解”，以及对数学对象 的理解。本文将综合这三个方面观点的内涵，作为对“数学理解”的综合诠释， 在以下的叙述中除非特别声明、否则将不再加以区别。 例如，我们说一个学生理解了某一个数学定理，是指学生对它的理解达到 了这样的程度，即能够用他自己的话解释定理，能用定理解决他从未遇到过的 问题，能探索出验证这一定理的方法，显然这已涵盖了“数学理解”的上述三 个方面。 2 、数学理解的层次性特点 正如人们对文学作品的理解一样，人们对数学理解的认识也具有一定的层 次性，该问题已引起了众多学者的广泛关注，很多学者都对此提出了自己的观 点。 ( 1 ) 田万海先生认为r 数学学习中的理解分为初步理解、确切理解和深刻 理解三个阶段。初步理解即理解的初级阶段，它是在感知的基础上获得的这 是比较粗糙的、不很精确的、低水平的理解，是进一步深入理解的基础；确切 理解是在初步理解的基础上，进一步深入理解的阶段在这一阶段学习中，学 生通过分析、综合、抽象和概括等思维活动，理解数学知识的本质和规律，达 到对有关概念和原理的精确而清晰的认识：深刻理解是高层次、高水平的理解， 要求学生对数学知识的理解达到融会贯通灵活运用的程度。【i j 但上述叙述对于阶段的划分过于粗放，对每一个阶段的具体外在表现也没 有做足够的阐明，实际操作性不强，因而可能对实际教学无法起到很大的指导 作用。 ( 2 ) p i r i e s 和k i e r e n t 提出的超回归数学理解模型将数学理解划分成8 个不同水平，即：原始认识、产生表象、形成表象、性质认知、形式化、观察 评述、构造化、发明创造。这8 个理解水平包括了人们理解某一数学知识( 数 学概念、公式、定理等) 所经历的全过程。若每一种水平用一个圆来表示，则 l l l 用万海，数学教育学f t 浙江教育出版杜，1 9 9 3 年p 8 9 7 这8 个水平之间的关系可用8 个嵌套的圆来表示，它们所表示的圆依水平的增 高而半径依次增大，前一个圆包含在后一个圆中，逐步拓广1 i l 超回归数学理解模型虽然为我们认识数学理解的动态性与分层性开辟了新 的视角，但是，它也具有一定的局限性，因为并不是对任何知识的理解都需要 经历上述全部8 个水平 ( 3 ) 斯根普( s k e m p ) 将理解划分为工具性理解和关系性理解。工具性理 解是指一种语义性理解菜一符号所指代的事物是什么，或是一种程序性理 解某一个规则所指定的每一个步骤是什么、如何操作；关系性理解则还需 加上对符号意义和替代物本身结构上的认识，获得符号指代物意义的途径，以 及对规则本身有效性的逻辑依据等有深刻认识显然，这种划分表明了理解的 两个不同层面，就数学学习而言，他指出应更多地关注关系性理解，只有从工 具性理解上升到关系性理解，学生才能把握数学对象的本质。 2 1 这种划分从本质上揭示了理解的不同水平，但是这种划分较为宏观，因此 要想在教学实践中运用，还要对其在操作性角度加以细化 从以上对数学理解水平的几种不同划分来看，虽然各自都有其不足_ 耜局限 性，所关注的角度也各不相同，但共同之处是，诸位专家学者都意识到了数学 理解具有层次性，这一点对于教学来说是十分有指导意义的 第二节数学理解之于数学教育的意义 一、理解是数学课程和教学的重要目标 理解是数学课程与教学的目标之一正如数学教育家卡彭特( c a 巾明t c r ) 和利让( l e h r e r ) 在理解性的数学学习与教学中建议的那样：“为了培养面 向2 l 世纪的具有数学素养的公民，课堂需要被重新构建，以致于数学能被理解 地学习。我国新颁布的课程标准就十分重视理解问题。如，普通高中数学课 程标准在课程目标中指出学生“要理解基本的数学概念、数学结论的本质。” 在教学建议中指出：。教师应帮助学生理解和掌握数学基础知识、基本技能”； “教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本 思想( 如函数、空间观念、运算、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、 【i 】李搬文，张同君“超回归”数学理解模型，致学教育学报。2 0 0 2 年2 月 瑚马复，试论数学理解的两种类型从r 斯根昔的工作谈起川数学教育学报 2 0 0 1 年8 月 8 算法等) 要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。在评价建议中 指出：。评价要注重对数学本质的理解和思想方法的把握，避免片面强调机械记 忆、模仿以及复杂技巧在教材编写建议中谈到：“教材编写要体现相关内容 的联系，帮助学生全面理解和认识数学。” 全日制义务教育数学课程标准也在课程总体目标的阐述中使用了。了 解( 认识) 、理解、掌握、灵活运用”等动词，4 并指出通过义务教育阶段的数学 学习，学生能够“初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用 所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。” 这充分说明新一轮课程改革对于数学理解的关注。但是在将数学理解作为 数学课程与教学的重要目标的同时，还需要明确以下问题： 全日制义务教育数学课程标准在课程总体目标的阐述中提出了。了解 ( 认识) ，理解，掌握，灵活运用”的要求，高中数学课程标准也在知识与 技能的目标水平中使用了“知道( 了解、模仿) ，理解( 独立操作) ，掌握( 应 用、迁移) ”等词。从这些叙述可以看出，数学理解是数学课程的目标之一，从 某种意义上说，没有理解就不能有真正意义上的学习，它是对知识进行掌握、 应用的前提，也是进行后继学习的基础。但它是一个中间目的，而不是最终目 的显然，我们要求学生学习数学，是希望学生在掌握数学知识的基础上，能 从数学角度去思考问题、理解问题、解决问题，进而锻炼思维、培养情感，最 终成为富有创造力的人所以，我们强调理解在数学教学与学习过程中的核心 作用，不是把理解当作教学最终要实现的目标去追求，而是把它当作一个中心 环节去给予充分的关注 综合以上分析，我们看到，一方面，在特定的数学教学阶段，不能苛求学 生对所有学习的知识都需有较高水平的理解( 事实上，甚至一些数学内容在中 学阶段学生能够有所感受体会、了解就可以了) ；另一方面，也不能把学生的 理解作为最终追求的课程目标而就此止步。数学学习不是由孤立的几个环节构 成的，而应是一个往复上升、不断完善的过程，各个学习环节之间应有交叉联 系，形成一个有机的整体在这个认识的基础上，再来强调理解在整个数学学 习过程中的重要性才有意义。 9 = 、理解是获得数学对象意义的关键环节 学生在学校中的学习，主要是在教师的指导下掌握前人积累、发展的各种 知识而这些知识多是用语言文字和各种符号来表示的，因此学生只有经过思 考正确地理解了这些文字和符号所代表的含义，才有可能将其纳入到自身的认 知结构中，转化为自己的精神财富 对于数学学习来说，“理解”更是至关重要的因为数学具有高度抽象化， 形式化的特点，它有自己独特的、完整的一套符号体系。有的学者认为，数学 是唯一的符号科学，这话并不夸张。因为其他学科中虽然也有符号，但只有数 学符号是没有“内容”的，物理符号、化学符号都是有所指的至少会代指 一种理想物、想象物。因此，要学好数学，必须具有理解、驾驭形式符号这一 特殊的能力。而各种数学概念、法则是人们抽象思维的产物，学生如果不能真 正理解所学习的数学对象，那么对数学知识的运用与数学能力的发展就根本无 从谈起。例如，中学数学中，函数概念是用y = 。x e 4 表示，它是指对彳 中任意工有唯一的实数y 与之对应，理解时要掌握这个符号表达式的真正含义， 如y = ，( ，x j | 与j = f ( o ，t e a ，尽管字母不尽相同，但代表的却是同一 函数。学生如果不能理解函数符号的形式意义，就无法体会出二者的相同本质： 再比如，对代数表达式3 x + s x 的化简，学生如果能够理解同类项的意义，就可 以正确化简这个表达式，并辨认出可以应用这种化简规则的情境，从而能避免 出现像3 x + 5 y = 8 x y 这样的错误。从更现实的角度来说，由于数学知识同一领 域的纵向发展以及不同领域的横向之间具有极强的逻辑联系，因此对当前所学 数学对象的理解与否也直接影响到后继课程的学习 不少学生感慨数学难学，就是因为对所学内容难以做到真正理解，或者是 以前没有理解的数学知识对现在的学习造成了障碍，甚至于形成恶性循环，严 重影响到日后的数学学习 基于以上原因，有人提出。数学学习中，理解是第一位的”，笔者认为毫不 夸张 i o 三、增进数学理解有利于培养学生提出问题和解决问题的能力 波利亚认为，在解题过程中适当地提问可以帮助我们更好地解决数学问题 在问题解决之后，对解题策略、结果的反思，对结论的进一步推广和应用，又 会引出更多新的问题。提出问题和解决问题均体现出数学学习中的一种能力， 对于学生进行更深入的数学学习以及培养创新意识、开发创造潜能均具有非常 重要的意义。 而提出问题和解决问题能力的形成，显然都需要以获得数学理解作为前提 学生只有在所学知识内容的“是什么”和“为什么”之间建立起了恰当的数学 理解，才能在接下来的学习过程中进一步产生丰富的联想，这种联想既有数学 领域内部的，也有现实生活中的，从这些联想中产生种种疑问，提出新的问题， 进而激起进一步求知的欲望，想办法去解决这些新的问题，得到能让自己满意 的答复或结果。在这个。提出问题一解决问题”的过程中，又进一步加深了对 所学数学内容的理解，可见这是一个互相促进、良性循环的过程。 例如，学生在学习概率的概念时，通常都要结合相应的实验活动进行说明 例如摸球实验，通过反复地摸球、放球、记录数据，学生对于“可能”、。不可 能”、。一定”等概念( 包括其存在前提) 就建构起自己的理解，并由对这些概 念的定性理解发展到定量理解( 概率计算) 在这个过程中，学生对于自己、小 组或教师的摸球活动还会产生很多疑问或反思：比如说，如果每次摸出的球都 是同一个球怎么办? 是否摸球的次数越多越接近准确计算得出的概率值? 这些正是学生基于自身的理解所产生的问题教师若能把握住学生的这些疑问 与想法，也就掌握了学生对该内容的理解情况，从而可以在接下来的教学中采 取相应措施，进步推动学生理解的发展。在理解加深的基础上，学生可能又 会联想：生活中还有哪些确定事件与不确定事件呢? 如何去分析天气预报中常 说的。明日降水概率”呢? 这些问题将会激发学生进一步学习的兴趣与探 索欲望，想要通过自己的努力获得答案，这会帮助学生认识到学习概率的现实 意义 四、数学理解能够促进学生数学素养的形成 对于学生的学习来说，如果对一个数学概念、原理、法则，在心理上能组 织起适当的、有效的认知结构，并使之成为个人内部的知识网络的一部分。那 么才说明是理解了相对于“理解”来说，个体的数学理解显然有自己的独立 性，这可以从数学课堂教学、数学学科的特点、学生的认知与思维发展等方方 面面体现出来 许多数学教育家如芬尼曼( f e r m e m a ) 、荣伯格( t a r o m b e r g ) 、希伯特 ( h i e b e r t ) 等都曾以专著的形式发表了对数学理解的独特见解，从这些研究当 中可以看出数学理解对于学生数学素养发展的重大意义。 它们主要表现在以下方面： 1 、构建有效认知结构 数学理解的本质是数学知识的结构化、网络化和丰富联系，显然这是一个 建构的过程。因此对数学知识的理解有助于完善学生个体大脑内部的知识结构 网络。而良好的认知结构又能促进和加快对新知识的理解和记忆，从而形成一 个良性循环的学习过程。在此基础上，学生才能认识到数学不是一个个公式、 定理的单纯堆砌，而是一个有机联系的整体。各部分内容之间、各数学分支之 间都有联系，可以通过类比、联想、知识的迁移等方式感受到数学的这种整体 性。例如，函数、方程、不等式的联系，数与形的联系等等。与此同时，数学 理解和已经形成的这种知识结构网络还有助于学生了解数学与其他学科及现实 世界的联系，感受到数学是有用的，学习数学能解决现实问题。进而体会到数 学的科学价值、应用价值，认识到数学是人类文化的重要组成部分，是推动社 会发展的重要动力，最终对数学形成正确的认识。 2 、促进知识正迁移 既然数学理解是一种建构性的活动，那么学生对数学知识深刻理解之后 就容易在头脑中对各种表象建立起联系：从而使得所学的知识、方法具有了迁 移与应用的活性，推动迁移的进行。这种迁移能力对个体的未来发展十分重要， 因为当今社会需要的人才是那种具有创新能力、能应用自己已有的知识去解决 新问题的人从这个角度去说，在学校里所学的机械知识可能对走出校门后的 工作和生活发挥不了多少作用，而在学校学习中所形成的良好的数学理解则可 能为新知识、新技能的学习创造迁移的先决条件，促进新的学习的完成。 3 、形成良好的情感态度 新一轮课程改革将学生的情感发展设为课程目标之一有一种观点认为情 感因素涉及到三大类，即信念、态度和情绪。从这个角度来说，良好的数学理 解对学生发展自身的数学情感态度也会起到非常重要的作用如果学生在学习 数学的过程中能够真正理解数学，在头脑中建构起恰当的知识结构，那么他们 就不会对数学有过度畏难的情绪，在学习的过程中也就有可能逐步体会到数学 的广泛应用性及逻辑魅力，从而培养起对数学的兴趣以及学好数学的自信心， 建立起比较正确的数学观和数学学习观，形成良好的数学情感。而这种情感又 会促使他们想要进一步学习更多、更深的数学知识，因而在数学学习中形成一 种良性循环 第二章数学理解研究的理论基础与成果综述 第一节数学理解研究的理论基础 所有的学习理论都是以心理学为基础发展起来的随着心理学的发展，人 们对理解内涵的研究也越来越科学而深入尤其是认知理论和建构主义学习理 论的发展，使得对数学理解的研究能够深入到人的思维与心理过程，人们可以 对其做细致的科学化探索可以说，认知理论和建构主义学习理论为该课题的 研究发展打下了坚实而又丰富的理论基础。 本文即以这两个重要理论作为研究的主要理论基础。 一、认知理论 纵观心理学的发展变革，可以发现行为主义是把学习解释为刺激与反应之 问的联结，认为学习过程是一种试误过程，在不断的尝试与错误中逐渐形成联 结在行为主义看来，刺激与反应的联结因受到练习和使用的次数增多而变得 越来越强，反之，变得越弱显然，行为主义关注的是人的外部行为，并未深 入研究人的内部思维过程，因而不可能关注到理解的实质性内涵。 与行为主义心理学对理解的忽视相反，认知心理学持有自己的“理解观”。 早期的格式塔心理学就已经提出了学习是对理解的探索的观点，“顿悟”与行为 主义的“试误”，很明显的对立之处就在于学习是理解学习还是盲目探索。信息 加工的认知理论认为理解的实质是学习者以信息的传输、编码为基础，根据已 有信息建构内部的心理表征、并进而获得心理意义的过程，【l l 它十分强调图式 在新的认识活动中所发挥的重要作用，“认知图式”与“认知结构”构成了认知 心理学描述理解的关键词汇。图式不仅将新的认识活动和主体已有的知识和经 验联系了起来，而且，在图式和新的认识活动中间又往往存在着“一般”和。特 殊”的关系：一方面，以所获得的一般性知识和经验来指导对于新的特殊情景 的认识；另一方面，新信息的纳入又使已有的图式发生相应的变化，形成新的 知识网络和认知结构由此可以明确认知理论赋予理解的真正涵义，就如斯根 普( s k e m p ) 所指出的，“理解就意味着被纳入( 同化) 到适当的图式之中”1 2 1 i l l 李新成，现代认知心理学关于理解过程的研究m ，教育理论与实殴，1 9 9 7 年2 月 脚郑毓信，梁贯成著，认知科学，建构主义与数学教育敢学学习心理学的现代研究口川，上海教育出 版社1 9 9 8 年1 0 月p 4 1 1 4 这事实上也就清楚地指明了在所谓的“意义学习”和“机械学习”之间所存在 的重要区别：“意义学习”即是指在新的学习材料与学习者已有的认知结构之间 建立起了实质性的、非人为的联系；而“机械学习”则没有能够建立起这样的 联系由于认知心理学是从人的内部心理去探索人类的学习规律，从而对知识 理解的解释就更加深刻和合理。 二、建构主义学习理论 作为认知理论的进一步发展，建构主义学习理论同样把理解作为一个重要 的研究主题而进一步加以阐述其主要观点为知识是发展的，是内在建构的 个体在学习过程中自主建构个人对知识的理解当然，在进行新的理解之前， 头脑里需要有适当的认知图式做支撑和依托人脑中存储的信息越多，就越容 易找到已有的图式来同化新知识，从而能加快理解的速度，增强理解的深度和 广度理解是一个不断对知识进行建构的过程，是一个动态的、发展的过程， 这个过程不是直线发展的，而是往复循环、螺旋进行的理解还包括认知结构 的再组织。如果没有这种结构上的再组织或调整，就把握不准单个知识的起源 和走向、地位与作用，那么较深入的理解就不可能达到。因此，理解的过程不 是像按照图纸进行建筑一样，只要按照事先设计好的结构堆砌材料即可，而是 要不断从全局或相对全面的观点出发，对各个局部的功能和地位进行调整。形 成更合理的结构显然，建构主义将学习看作一个理解发展的过程，强调的是 学习者主动、积极以及个体经验等多重因素，追求的是学习者的完整个性、品 质的形成与发展。它所追求的个体理解不具有完全统一性，这一点对现代教学 的影响最为深刻，可以使得教育者从更为深入的视角审视学生在学习中的理解 方面所表现出的差异性，更加客观地分析错误理解产生的原因。正如诺丁斯所 说：。建构主义的特殊力量就在于使我们对教学过程做出批判性和具有想象力的 思考”i l l 这种批判和反思使得我们能从更加科学的角度对课堂教学中的一些现 象和存在的问题进行研究 t l 张奠宙，数学教育研究导引 m 】，江苏教育出版社，1 9 9 8 年5 月 1 5 第二节数学理解的研究成果综述 一、国外的主要研究成果 国外对于“理解”的研究基本上呈现从零星思想的闪耀到明确观念的提出、 从较多的理论思辩转向理论与实践相结合这样的发展特点。由对“理解”的认 识萌芽，发展到专门针对。数学理解”的理论与实践研究经历了漫长的历史过 程 1 、早期研究概况 早在古希腊时期，苏格拉底就对“什么是知识”和“怎样获得知识”做出 了自己的分析。他认为，认识事物的目的在于认识事物“是什么”，或者说，是 认识事物的定义或概念，即。本质规定”只有对此获得了理解，入们才获得了 真正的知识而对于如何获知，苏格拉底则提出了著名的“产婆术”，即通过问 答性的对话帮助别人“生产出”知识。其后，与其具有师承关系的柏拉图与亚 里士多德均继承了苏格拉底的“追求对知识的理解就是追求对事物的本质的理 解”这一基本思想，但又各自有所发展和创新。如柏拉图在“产婆术”的基础 上提出获知途径是“回忆说”，而亚里士多德则更多地致力于对人类所理解的知 识本身进行研究。可以说，古希腊的这三位思想巨匠为人类对知识本质理解的 追求和对理性思维的推崇奠定了基础，他们韵思想可以看作是人类对“理解” 的认识的萌芽，对后世学习与教学的发展产生了深远影响。 到了十八世纪末，十九世纪初，心理学与教学理论的研究开始相结合，这 使得理解性学习的思想显现得愈加明显。被誉为“教育心理学化运动的奠基人” 的赫尔巴特，认为教学过程就是从清楚明确的感知、到新旧观念的联系以及扩 大到应用的过程。在此基础上还提出了包括清楚、联想、系统和方法的“教学 四阶段论”这种论点把学生理解知识的过程与教学阶段、教学环节、教学方法 结合了起来，对于推动理解性学习理论的发展具有十分重要的意义。 随后，受到欧洲大陆结构主义哲学思潮以及认知心理学的影响，教学理论 界也出现了以皮亚杰、布鲁纳和奥苏贝尔等学者为代表的学者，他们试图通过 研究学习者内在认知结构来探寻有效的教学策略。这种研究表明人们已经在努 力寻找有效的外部支撑( 包括教学) 去促进学习者对知识的内在理解。皮亚杰 从认知结构的同化与顺应过程阐明理解的发展性及生成机制：布鲁纳进一步强 1 6 调通过外部学习材料的结构化去中介学习者内在认知结构的生成，提出了“发 现学习”：臾苏贝尔则明确提出“意义学习”的概念，实际上与理解性学习已十 分接近。 2 、近期研究概况 经过以上长期的理论发展，。理解”一词逐渐被研究者明确而广泛地提出与 接受，表现为相当数量的研究项目、论著等都直接以“理解”( u n d e r s t a n d i n g ) 为题。 就对一般性的理解的研究而言，最著名的是美国哈佛大学教育研究院在2 0 世纪9 0 年代初开始的一项名为“面向理解的学习与教学”( 1 e a r n i n ga n d t e a c h i n g f o r u n d e r s t a n d i n g ) 的研究项目其研究者提出了面向理解的教学设计 模式，包括生成性主题、理解性目标、理解性应用以及追踪式评价四个设计阶 段而笔者认为最具有启示意义的是其研究者对教师在教学设计过程中应采取 的