（应用数学专业论文）kuramotosivashinsky方程若干性质的研究.pdf

浙江大学硕士论文 摘要 随着科学的不断发展，人们研究非线性偏微分方程的方法越来越 多例如：解析方法，几何方法，渐进分析方法，数值计算方法，对称方法 等 本文的研究对象k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程( 以下简称k s 方程) 是 一个在应用与理论研究方面都非常有价值的非线性偏微分方程本文 主要的主要工作是利用几种方法从以下四个方面对k s 方程进行了 研究： ( 1 ) 用李群无穷小变换和直接方法研究k s 方程的对称； ( 2 )k s 方程的p a i n l e v e 性质； ( 3 ) k s 方程的行波解。用待定函数法，得到了k s 方程某种 形式的特解，并画出了解的图像； ( 4 ) k s 方程的定性分析。 浙江大学硕士论文 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fm o d e m s c i e n c e s ，m o r ea n dm o r em e t h o d s a r eu s e dt os t u d yt h en o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s u c ha s a n a l y t i cm e t h o d ，g e o m e t r i c a lm e t h o d ，a p p r o x i m a t ea n a l y t i cm e t h o d ， n u m e r i c a lc o m p u t a t i o nm e t h o da n d s y m m e t r y m e t h o de t c i nt h i s p a p e r , t h e a u t h o rd i s c u s st h e k u r a m o t o s i v a s h i n s k y e q u a t i o n ( h e r e a f t e ra b b r e v i a t e dt ok se q u a t i o n ) ，w h i c hi s av a l u a b l e e q u a t i o n i np r a c t i c ea n d t h e o r y t h em a i n r e s u l t so ft h i sp a p e ra r ea s f o l l o w s ： ( 1 )u s i n g l i e g r o u p ，i n f i n i t e s i m a l t r a n s f o r m a t i o na n dd i r e c t m e t h o dt os t u d yt h es y m m e t r yo fk s e q u a t i o n ； ( 2 )e x p l a i n i n g t h ep a i n l e v e p r o p e r t y o fk s e q u a t i o n ； ( 3 )g i v i n gt h et r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n sa n dt h e i rg r a p h st ok s e q u a t i o n ； ( 4 )c o n d u c t i n g t h eq u a l i t a t i v ea n a l y s i so f k s e q u a t i o n 浙江大学硕士论文 第一章导论 1 9 7 8 年y k u r a m o t o 1 】在反应扩散系统的耗散系统结构以及1 9 7 7 年 s i v a s h i n s k y 【3 】在火焰燃烧和流体力学不稳定分析中，分别独立的得到如下的 k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 型方程( 以下简称k s 方程) 。后来，又在n a v i e r s t o k e s 方 程的分岔解 4 】和粘性膜流动【5 中得到这类方程。 k s 型方程 疵+ 三砰+ ，f k + p 丸+ g 丸。+ ，庐。：o ， z 其中r 0 ，v 0 ，p o ，令丸= “，由上式对x 微分，得 “，+ “z + v u + p u 脯+ g u 口盯+ ，w 删= 0 其中r 表示高阶粘性阻尼，v 为线性阻尼，p 表示色扩散，q 表示色散关系 在k s 方程被导出后，许多作者对该方程进行了研究。k s 方程是无穷维动 力系统研究中一个非常重要的方程。在郭柏灵教授的著作非线性演化方程 1 1 和法国数学家r t e m a m 的著作i n f i n i t ed i m e n s i o n a ld y n a m i c a l s y s t e m i n m e c h a n i c sa n dp h y s i c s ) ) 1 6 】中，都对k s 方程有专节的介绍。在文献 4 1 6 中对 k s 方程中的许多问题进行了研究。综合他们的研究，大致可分为如下三个方面： ( 一) 对k s 方程作近似的研究 1 i l 。 当v = 0 时，且 毗牡谢微小抖) 其中n = n ( r ) r = 口，( f ) 满足方程 筹= ( 面4 r ： ”v 2 1 p ，q - 一 2 浙江大学硕士论文 ( 二) 对k s 方程作数值研究【7 9 1 。 1 9 8 7 年b n i c o l a e n k o 等人对如下的k s 型方程 4 虹+ 口k + 丢髭 一艿幢l 喇= 。 的周期问题 妒g + 2 x ，f ) = 妒b 吐i , - o = 丸g ) 进行了数值计算，其中口= 占f 兰l ，占= o 0 1 ，卢= 4 风i 圭 ，风= o 1 ，为分岔系 、z 7 l z 7 ， 数，得到如下的数值结果： 2 3 口s 4 3 5 ，周期稳定，趋向不动点，不产生混沌； 4 3 5 口5 8 ，阵发混沌，同宿环； 5 8 口7 3 ，周期稳定，整体吸引子为不动点； 7 3 口9 4 ，混沌，湍流： 9 4 0 ，r 0 ，所以有 所以 a = 而1 悟p 厕= 志p 仁 b - 一一1 2 0 4 7 、4 7p 拇 vr r 4 1 0 ) 浙江大学硕士论文 “一一1 2 0 4 7 4 4 7p 拇 v ， h 击肛，1 3 ij b 口 扛一揣p 厢，一劬赤弦磊) 3 + 一+ 2 a 一堡4 7 4 4 7p 厨劬上2 4 4 7 弦磊) 3v ，i vr ” 。i 当善寸佃时，可得 “_ 甜：= c + c 2 + 2 4 当 哼时，可得 “ “：= c 一c 2 + 2 a ( 2 ) 若取b = 轧可得 r a 3 + q a 2 + 胛+ 肛而一h + 6 q a - - ，乒函 一“ + 3 0 l m ，- q a 2 一朋+ 历 2 好如) 一( 8 ，d ，一4 9 口z + 2 p a - 苫砑 “括一岛) = o ，口3 + + 册+ 而= 0 1 8 r 口3 + g 口2 一三2 口一3 石c z 一+ 2 a = o 3 6 l 。，- q a 2 一胆+ 万砑) ：o 8 m ，一4 口口：一p 口+ f 函：0 同理可解得 浙江大学硕士论文 口：里二- ：旦 1 6 ，r 石而：一边 2 r b ：3 0 p q 而- 6 p 存 一p 仁 ，：! ! 堡：丝兰 r 卜丹 3 “= 小p 仁s e c 弓后皓一岛) + t 柚圭仁皓喃) “= c + 一州p 后s e c 一李俘g 一氏) + t 础圭再皓喃) 当亭_ + c o 时，可得 “斗“? ：c + 而 当p ；一矗= 1 2 时，“取到最小值 “压j 一等p 冉 p 冉彤 浙江大学硕士论文 综上所述，我们可以得到如下的结论 命题k s 方程q + “虬+ p u 。+ q u 一+ ，“一= 0 ( p o ，r o ) 有如下的行波解 ( 其中孝= 工一c t ) 封= 百1 4 4 ”厕= 鼎p 俘时 “= c + 一一蔫p 扛 一t 袖赤悟皓喃) 3 当掌专佃，“斗“? ；c + 矗五 当掌专一。“+ “：c 一而 利用m a t h e m a t i e a 软件 3 2 n - i 画出解的图象，如下所示 浙江大学硕士论文 ( 2 ) 划：1 6 m 而_ 6 p 辱时 “= c + 万砑划p 仁s e c 一磅仁皓喃 + 蛐圭仁售吨) 当f 一如，“一“i ：c + 届c 2 + 2 a 。 解的图象如下所示：( 下图中令= 一“) 浙江大学硕士论文 第五章k s 方程的定性分析 第一节导论 我们知道，解能用初等函数表示的常微分方程( o d e ) 为数不多，很多应 用上有价值的o d e ，其解难以用显式给出。能否从方程本身出发，不必经由解 的表达式得到解的一些基本性质? 这就是定性理论所要回答的问题。工程技术 中十分关心物理系统的稳定性问题，这导致了微分方程解的稳定性理论的创立 和发展。1 9 世纪末，法国数学家h p o i n c a r e 发表了奠基性的论文微分方程所 定义的积分曲线，俄国数学家a m l y a p u n o v 创立了稳定性理论。一百多年来 这项理论得到了蓬勃的发展，它己成为从事许多学科和尖端技术( 包括自动控 制理论，航天技术，生物科学，经济学等) 研究的不可缺少的数学工具，并且 定性的思想和技术己逐渐的渗透到其他的数学分支，例如偏微分方程。 在二维系统特别是平面系统方面，定性理论的发展比较完整。在参考文献 1 7 】 中有详尽的论述。本文主要介绍一下非线性系统的有关研究方法和结论。 对于r l 维自治方程组 1 7 x = 厂b ) ( 5 1 1 ) 令( x ) = 0 可得方程组的奇点x 。= b 。x ：0 i 矗。) 。研究非线性系统解的稳定性 有两个主要方法：( a ) 线性系统近似方法( b ) l y a p t m o v 直接方法。，本文只用到方法 ( a ) 。所以我们简要的介绍下线性系统近似方法。 设x - a 是( 5 1 1 ) 的平衡点。将f i x ) 在x = a 处作t a y l o r 展开，取幂的一次项 做平移工= x 一口，即得( 5 1 1 ) 的线性近似。 x = a x 其中 a = 其中a 是月x 疗矩阵。 瓠 苏 阢 o x ， 甄 缸。 既 敏。 兰巧( 。) 有关系统( 5 1 1 ) 的平衡点的稳定性的主要结果是： 定理如果矩阵a 的特征方程的全部根都具有负实部，则系统的平衡点渐近稳 定；如果特征根中至少有一个具有正实部，则系统的平衡点不稳定。如果特征 根中有具零实部的根而无具正实部的根，则系统的平衡点可以有非渐近的稳定 性，也可以有不稳定性。 浙江大学硕士论文 有关系统( 5 1 1 ) 的平衡点的类型的主要结果是： 1 ) 若a 的所有的特征值都具有非零的实部，则称x = a 是系统的双曲型平衡点。 2 ) 若a 的所有的特征值都具有负的实部，则称x - a 是系统的一个“汇” 3 ) 若a 的所有的特征值都具有正的实部，则称x - a 是系统的一个。源” 4 ) 设x = a 是一个双曲型平衡点，且a 的特征值至少有一个正的实部和一个负的 实部，则称x = a 是系统的鞍点。 第二节k s 方程的稳定性及平衡点类型分析 有关k s 方程的稳定性的结论有【11 u ，+ “，+ p “曩+ g “且，+ 川础= 0 ( p o ，r o ) ( 5 2 1 ) 令“= p “ 代入( 5 2 i ) ，则可得到色散关系 1 7 = 一v + p 七2 一睹4 + i q k 3 当r e 盯 0 时，u 随时间t 增长；反之，r e o ，方程有一实根和二个共轭复根，0 ，o ) 为焦点或鞍结点 系统在平衡点0 ；，0 ，o ) 的稳定性由方程的三个根y ，y ：，y ，的实部的正负性 决定。 浙江大学硕士论文 参考文献 i 】y k u r a m o t o ，p r o g t h e o p h y s s u p p l ，6 4 ，1 9 7 8 ，3 4 6 - 3 6 7 【2 】y k u r a m o t o ，p r o g t h e o p h y s ，6 3 ，1 9 8 0 ，1 8 8 5 1 9 0 3 3 】g s i v a s h i n s k y , a c t aa s t r o n a u t ，4 ，1 9 7 7 ，11 7 7 1 2 0 6 4 】m a a i m a r a n d p d e n a r , u n i v e r s i t ad et u l o n e td av a t , 19 8 2 5 t s h a n g a n d g s i v a s h i n s k y ，j d ep h y s i q u e ，4 3 ，1 9 8 1 ，4 5 9 4 6 6 【6 】y k u r a m o t oa n dt y a m a d a ，p r o g t h e o p h y s 5 6 ，1 9 7 6 ，6 7 9 【7 】b n i c o l a n e k o ， b s c h e u r e r ，r t e m a m c o m m p a r t d i f f e q u 1 9 8 9 ，1 4 ( 2 ) ：2 4 5 - 2 9 7 8 】b n i e o l a n e k ob s c h e u r e r r t e m a mp h y s i c a1 6 d ( 1 9 8 5 ) 1 5 5 1 8 3 【9 】b n i c o l a n e k o ，n u l e a rp h y s b ( p r o cs u p p l ) ，2 ，1 9 8 7 ，4 5 3 4 8 4 1 0 郭柏灵，广义k u r a m o t o s i v a s h i s k y 型方程周期初值问题的整 体吸引子，自然科学进展，第3 卷第l 期，1 9 9 3 ，6 3 7 6 1 1 郭柏灵，非线性演化方程，上海科技教育出版社，1 9 9 5 1 2 g u o b o l i n g ，j m a t h r e s a n de x p o ，1 9 9 1 ，1 1 ( 1 ) ：5 7 - 6 9 13 】 g u ob o l i n g ，i nn o n l i n e a rp h y s i c s ( e d s g uc h a o h a o ) ，s p r i n g e r v e r l a g ，1 9 9 0 1 4 】b o l i n gg u o ，m i n c h u nh o n g a n df e n g q i ns u ，p r o c e e d i n g so ft h e i n t e r n a t i o n a lc o n f e r e n c eo nn o n l i n e a re v o l u t i o n p d e ，1 9 9 3 15 z h o n g - h u a ，y a n g ，a m a h o o d ，r u i s o n gy e ，p r o c e e d i n g so ft h e 19 9 4b e i j i a n g s y m p o s i u mo nn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa n d i n f i n i t ed i m e n s i o n a l d y n a m i c a ls y s t e m s ，1 9 9 4 浙江大学硕士论文 16 r t e m a m ，i n f i n i t e d i m e n s i o n a l d y n a m i c a l s y s t e m s a n di n m e c h a n i c sa n d p h y s i c s ( a m s 6 8 ) ，s p r i n g e r - v e r l e g ，1 9 8 8 1 7 潘祖梁，非线性问题的数学方法及其应用，浙江大学出版 社，1 9 9 8 【1 8 】 王明亮，非线性发展方程与孤立子，兰州大学出版社，1 9 9 0 1 9 】 李翊神等，非线性科学选讲，中国科学技术大学出版社， 【2 0 】p e t e r j o l v e r , a p p l i c a t i o n o fl i e g r o u p t od i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ( g t m l0 7 ) ，s 埘n g e r - v e r l a g ，1 9 8 6 【21 】 g w b l u m a na n dj d c o l e ，s i m i l a r i t ym e t h o df o r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 7 4 2 2 】 g w b l u m a na n d s k u m e i ，s y m m e t r i e s a n dd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ( a m s 81 ) ，s p r i n g e r v e r l a g ，1 9 8 9 2 3 p a c l a r k s o n ，m d k r u s k a l ，j m a t h p h y s 3 0 ( 10 ) ，19 8 9 ，2 2 0 i - 2 213 【2 4 m j a b l o w i t za n dp a c l a r k s o n ，s o l i t o n s ，n o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n sa n d i n v e r s es c a t t e r i n g ，c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，19 91 2 5 】l i u sk ，l i usd ，c o m mt h e o p h y s ，1 9 9 1 ，v 0 1 1 6 2 6 】r j o l v e r , p r o s e n a u ，l h y s l e t t ，19 8 6 ，1 14 【2 7 】l a w r e n c