（概率论与数理统计专业论文）关于带利率的风险模型的研究.pdf

曲阜师范大学硬士学位论文 关于带利率的风险模型的研究 摘要 本文致力于研究带随机利率的风险模型的破产问题，带常利率经典的风险 模型的分红问题和保费收入随机化的风险模型的破产问题 自从经典的风险模型提出后，许多研究人员对此进行了推广，以使得更符 合保险公司的实际的经营情况而带利率的风险模型就是对古典风险模型的推 广之一在传统的精算理论中，一般不考虑利率因素，而当我们所考虑的是一 种长期的险种的时候，则常常需要考虑货币的时间价值，即利率问题近来国 内外一些学者开始在风险模型中考虑利率因素，例如：y a n 骱z h a g ( 2 0 0 1 ) 给出 了常利率下破产前瞬曰余额和破产时赤字的联合分布要荣，杜勇宏( 2 0 0 2 ) 对 利率过程( 见，t o ) 为常数的更新模型，得到了破产概率，破产时的余额分布 以及破产前瞬间余额分布的级数展开式和积分方程w u ，w a n g ，z h a z 蜓f 2 0 0 5 ) 得到了常利率下破产时，破产前瞬间余额和破产时赤字三者的联合分布g 如 a n dd i c k s o n ( 2 0 0 2 ) 研究了随机利率下g e r b e r s h i u 期望折现函数e a i ( 2 0 0 3 ) 对 带随机利率的经典风险模型，导出了破产概率的上界在此基础上a a i ( 2 0 0 4 ) 又得到了破产概率的积分方程，上下界以及g e r b e r s h l l i 期望折现罚金函数 的积分微分方程d ef i n e t t i ( 1 9 5 7 ) 是早提出了最优分红问题，并指出了，当保 险公司的余额过程为一个离散过程时。最优分红策略为带壁分红策略，即当余 额超过某一设定的界限时，保险公司才对股东分红b i m m a n n f l 9 7 0 】讨论了 经典风险模型中的最优分红问题g e r b e r s h i u ( 2 0 0 4 ) 讨论了带正漂移的布朗 运动在带壁分红策略下的最大值分红问题g e r b e r ，s h i u ( 2 0 0 6 ) 讨论了最优分 红策略下，带正漂移的布朗运动的反射和折射问题g e r b e r ，s h i u ( 2 0 0 6 ) 又讨论 了经典风险模型下的按某一有界的比例的分红问题，并且指出了最优分红策略 为带壁分红策略，本文就是在此基础上，讨论了常利率古典风险模型的按某一 有界的比例的分红问题 第一章，随机利率下的e n a n g ( 2 ) 风险模型，主要对索赔记数过程是e r 曲阜师范大学硕士学位论文 l a n g ( 2 ) 过程，随机利率为一个l d v y 过程的风险模型进行了讨论首先导出了 破产概率满足的积分方程，估计了其上下界，然后针对随机利率为布朗运动以 及漂移布朗运动的情况导出了破产概率满足的具体积分方程，最后讨论了罚金 函数，并写出了罚金函数满足的积分方程以及在特殊情况下满足的积分微分方 程 具体结果如下： 定理1 2 1 ：破产概率满足 皿( u ) = z o 。z o 。f ( u 。+ c ) p ( z ，) d 。d + 上”z o 。z “。+ 。田( u 。+ c ”一z ) p 扛，们a f ( z ) a 。a v 定理l _ 3 1 ：对“o ， 吣，习紊鬻拦面 定理1 3 2 ：对所有的u o ，有： 皿( “) 墨o e 【e x p r 磊) 届【e x p 一r ( “z + c b ) a e r “ 其中c n ，一l = i n 如! 。 三i 器) ，。 定理1 4 2 ：利率过程鼠为标准的布朗运动时，破产概率满足积分方程 叭= 胪上旷出吃上m 蚪嘶( 孔州嘞 r 。r r o 。 + z 。z 。z “2 + 。皿( u 。+ c ”一z ) ( 。，) d f ( z ) d z d ”】d t 定理1 4 3 ：利率过程r 为漂移布朗运动时，破产概率满足积分方程 皿( u ) = 卢2 z ”t e p 。 z 。z 。厅( u 。+ c v ) 。t ( 。，) d z d v 十z o 。z o 。z ”。+ 。( “z + c ，一z ) ，t ( z ，”) d f ( z ) d z d v 】d t 1 l 曲阜师范大学硕士学位论文 定理1 5 1 ：罚金溺数垂。( u ) 满足积分方程 西。c u ，：卢2z 。t e c 。+ 口) 。z o 。z ”z “。+ 。”垂。c “。+ c ”西。( t ) = 卢2 抛一( 。+ 口) 。 。垂。( “。+ q j oj 0j 0，o + 声2 z o 。e t 。 $ 弛z 。z 。上二。s t u 。+ c ，。j 0j 00 0j h z 十e ” p ( z ，可) d f ( z ) d z d d t z ) p ( 。，) d f ( z ) d d 班 在第二章关于常利率古典风险模型的按比例分红闼题，在g e r b e r 与s h 沁( 2 0 0 。1 静基霸| 上，讨论了常秘率古典风险模垄的按比镧分红问题。主要推导出了最优 分红策略下，红利总照现值的期望所满足的积分方程，以及当保险公司的初始 资金“大予或等于红利界限6 时，红利总量现值的期望的精确结果 具体结果如下： 定理2 3 1 ： 设y ( “) 为岔【d 】的最大值，则矿( ) 满足 ，“ 勰 r + ( 们+ c 一7 ) y ) 卜( p + a ) 矿( u ) 厶y ( 让掣) d f ( 剪) 如 定理2 4 1 ：y ( “，6 ) 满足积分方程 咐) = 裟十z “型掣) 如 y r u ，a ) = 垒三害 等+ z “! 手掣y ( 孔a ) a z 定理2 5 1 ：在u 6 时， 一 f o u 们 ( u 6 ) 哪，= 群蒜鬈揣， 第三寒保费收入随机化的风险模型，推广了龚日朝( 2 0 0 1 ) 纳风险模型，把 傈费隧枧化，剥用鞅方法讨论了保单来到过程与索赔来到过援均为p o i s s o n 过 程的破产概率接着叉讨论了g e r b e s h i u 期望折现函数，推释出了其满足的 积分方程，以及l a p l a c e 变换最盾利用随机游动的知识，讨论了当保单来到 过程与索赔来到过程为同一更新过稷时的破产概率 曲阜师范大学硕士学位论文 具体结果如下： 定理3 2 4 ：在此模型中，最终破产概率 妒m ) 2 环而j 最丽f 石 。一咒u 其中r 为调节系数 定理3 3 1 ：罚金函数咖( u ) 满足积分微分方程 咖，= 薹小警e 巾帆挑t z 。- z 。 z “+ 。1 + 十。“事( u 十。+ - 十z 。一v ) ，r ( v ) d “ z 二。扣+ 。u ( u 十z ，+ + 。n 一“一( z ，十+ z n ) ) ( g ) 幻 ，x ( 0 1 ) - - ，y ( o ) 出】- d z 当保单来到过程与索赔来到过程为同一更新过程时： 定理3 4 4 ：索赔分布毋为参数为6 的指数分布时，破产概率为 妒( t ) = p e 一5 ( 1 一p m 定理3 4 6 ：当索赔分布如为参数为6 的指数分布，保费收入的分布取为 参数为a 的指数分布时，破产概率为： 州= 扣咖 关键词：破产概率；随机利率；积分微分方程；常利率古典风险模型；分红比 例；红利总最；h j b 方程；g e r b e r s h i u 期望折现函数； 曲阜师范大学硕士学位论文 s t u d i e so nt h er i s km o d e lw i t hi n t e r e s t a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt os t u d yt h er u i np r o b l e m si nt h er i s km o d e l w i t hs t o c h a s t i cr a t e so fi n t e r e s t ，t h ed i v i d e n dp r o b l e m si nt h er i s km o d e lw i t h c o n s t a n ti n t e r e s ta n dt h er u i np r o b l e m si nt h er i s km o d e lw i t hs t o c h a 8 t i ci n c o m eo fp r e m i u m f o mt h ec l a s 8 i c a lr i s km o d e li si n t r o d u c e d ，m a n yr e s e a r c h e rg e n e r a l i z ei t f o ra d a p t i n gt ot h ea c t u a lr u n n i n go ft h ei n s u r a n c ec o m p a n yf e a r t h e ra n d t b er i s km o d e lw i t hi n t e r e s ti so n eo fg e n e r a h z i n go nt h ec l a s s i c a 】r i s km o d e l i nt h et r a d i t i o n a la c t u a r i a lt h e o r y ，i i l t e r e s tf a c t o ri sn o tc o n s i d e r e dg e n e r a l l y b u tw h e nw ec o n s i d e ral o n g t e r mr i s kp r o c e s s ，w em u s tc o n s i d e rt h et i m e v a l u eo fm o n ey jw h i c hi si n t e r e s tp r o b l e m s r k c e n t l ys o m er e 8 e a r c h e ra th o m e o ra b r o a db e g i nt oc o n s i d e rt h ei n t e r e s tf a c t o r 1 y a n g ，z h a n g ：2 0 0 1 ) a b t a i nt h e j o i n td i s t r i b u t i o no fs u r p l u si m m e d i a t e l yb e f b r er u i na n dt h ed e 矗c i ta tr u i nu n d e ri n t e r e s tf o r c e w ua 血dd u f 2 0 0 2 ) d i s c u s st h er e n e w a lr i s km o d e li nw h i c h t h ei n t e r e s tp r o c e s si sac o n s t a n t t h e yo b t a i nt h ep r o b a b i l i t yo fr u i n ，t h ed i s t r i b u t i o no fs u r p l u sw h e nr u i nh a p p e n ，s e r i e se x p a n s i o na n di n t e g a le q u a t i o n o ft h es u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r er u i n ，u ，h n g ，z h a n g ( 2 0 0 5 ) d e r i v et h ee x _ p l i c i te x p r e s s i o nf b rt h ej o i n td i s t r i b u t i o no ft h r e ea c t u a r i a ld i a g o s t i c s ：t h et i m e o fr u i n ，t h es u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r er u i na n dt h ed e 6 c i ta tr u i nw i t hc o n s t a n ti n t e r e s tf o r c e c a ia n dd i c k s o n ( 2 0 0 2 ) s t u d yt h eg e r b e r s h i u se x p e c t e d d i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o na tr u i nw i t hs t o d l a s t i cr a t e so fi n t e r e s t c a i ( 2 0 0 3 ) d i s c u s st h ec l a s s i c a lr i s km o d e lw i t hs t o c h a s t i cr a t e so fi n t e r e s ta n do b ：a i n t h eu p p e rb o u n d so fp r o b a b i l i t yo fr u i n o nt h i sb a 5 e ，c a ( 2 0 0 4 ) o b t a i nt h e i n t e g r o d i f f 色r e n t i a le q u a t i o nf b rt h eg e r b e r s h i ud i s e o u n t e dp e n a i t yf u n c t i o n d ef i n e t t i ( 1 9 5 7 ) p u tf o r w a r dt h eo p t i m “d i v i d e n dp r o b l e m s 矗r s t l y h es h o w e d t h a t ，u n d e rt h ea 5 s u m p t i o nt h a tt h es u r p l u so ft h ec o m p a n yi sad i s c r e t ew i t h 曲阜师范大学硕士学位论文 s t e p so fs i z ep l u so rm i n u so n eo n l y ，t h eo p t i m a ld i v i d e n d p a y m e n ts t r a t e g yi s ab a r r i e rs t r a t e g 弘 t h a ti s ，a r l ys u r p l u s a b o v eac e n t a i nl e v e lw o u l db ep a i d a sd i v i d e n d st ot h es h a r e h o l d e r so ft h ec o m p a n y b 西h l m a n n ( 1 9 7 0 ) d i s c u s st h e o p t i m a ld i v i d e n dp r o b l e mi nt h ec l a s s i c a lc o m p o u n dp o i s s o nm o d e l g e r b e r a n ds h i u ( 2 0 0 4 ) s t u d yt h em a x i m a ld i v i d e n dp r o b l e mi nab a r r i e rs t r a t e g yw i t h p o s i t i v ed r i f tb r o w n i a nm o t i o n g e r b e ra n ds h i u ( 2 0 0 6 ) s t u d yt h er e n e c t i o n a n dr e f r a c t i o np r o b l e m so no p t i m a ld i v i d e n d sw i t hp o s i t i v ed r i f tb r o w n i a nm o t i o ni nt h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，g e r b e ra n ds h i u f 2 0 0 6 ) d i s c u s st h ed i v i d e n d p r o b l e mi nab o u n d e dr a t e ，a n dt h e ys h o w e dt h a tt h eo p t i m a ld i v i d e n ds t r a t e g yi st h eb a r r i e rs t r a t e g y o nt h i sb a s e ，t h i sd i s s e r t a t i o ns c u d yt h ed i v i d e n d d r o b l e mi nab o u n d e dr a t ei nt h ec l a s s i a lr i s km o d e lw i t hi n t r e e s t c h a p t e rld e a l sw i t ht h ee r l a n g ( 2 ) r i s km o d e lw i t hs t o c h a s t i er a t e so fi n - t e r e s t w ec o n s i d e rt h er i s km o d e lf b rw h i c ht h ec l a i mi n t e r a r r i v a ld i s t r i b u t i o n i se r l a n g ( 2 ) a n dt h es t o c h a s t i ci n t e r e s tp r o c e s si 8al 香v yp r o c e s s w ed e r i v e t h ei n t e g a le q u a t i o n ，l o w e ra n du p p e rb o u n d sf o rr u i np r o b a b i l i t y w h e nt h e i n t e r e s tp r o c e s si sa s s u m e db r o w n i a nm o t i o no rb r o w n i a nm o t i o nw i t hd r i f t ， w eo b t a i nt h es p e c i 疗ci n t e g r a le q u a t i o nf b rr u i np r o b a b i l i t y f i n a l l yw ed i s c u s s t h ep e n a l t yf u n c t i o n ，a n dg i v et h ei n t e g r a le q u a t i o na n di n t e g r o d i h 套r e n t i a l e q u a t i o nf o ri t w eo b t a i n e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： t h e o r e m1 2 1 ：r u i np r o b a b i l i t ys a t i s f yt h ei n t e g a le q u a t i o n ： ( “) = + f ( “z + c 可) p ( z ) d z d 可 t h e o r e m1 3 1 ：w i t hu o 皿( “) + c v 皿( 札。+ c g z ) p ( z ，) d f ( z ) d z d e f f ( u a + c b ) l f 嚣1 一。7 。f ( “z + c g ) p ( z ，g ) 如妇 l l z z ，厶z 曲阜师范大学硕士学位论文 t h e o r e m1 3 2 ：w i t ha 1 1 “o ( u ) 曼o e 【e x p r 蜀 】e 【e x p 一r ( u z + c b ) e 冗“ h e r e ( q ) 一1 = i n f e ! 。 上之嚣帮) ，o 茎n 1 t h e o r e m1 4 2 ：i n t e f e s tp r o c e 8 s 冗i ss t a n d e r e db r o w n i a nm o t i o n ， r u i n p r o b a b i l i t ys a t i s f yt h ei n t e g a le ( 1 u a t i o n ： ( 珏) = 卢2 z 。t e 一口。 z 。上o 。f ( u z + c g ) 雪( z ，g ) d 。d + z 。z o 。z “。+ 。”皿( z + c v 一。) ( z ，“) d f ( z ) d z d v d t t h e o r e m1 4 3 ：i n t e r e s tp r o c e s s 盈i sb r o w n i a nm o t i o nw i t hd r i f t ， r u i n p r o b a b i l i t ys a 七i s f yt h ei n t e g a le q u a t i o n ： 皿( u ) = + 卢2z 。ot e 一目【z o 。z ”f ( u z + c 。) a t ( ，v ) d 。d ” z 。z 。z ”。+ q ( u z + c v z ) ，t ( z ，) d f ( 。) d z 咖】d t t h e o r e m1 5 1 ： t h ep e n a l t yf u n c t i o n 圣d ( “) s a t i s f yt h ei n t e g a le q u a t i o n ： 圣。( u ) = 卢2z o 。t e c 8 + 口) 。z 。z 。z “。+ 。9 西。( 乱。+ c ，一z ) p ( z ，) d f ( z ) d z d ，。陀 + 卢2 2 0 0 t e 一拙+ 所。z 0 。z o 。z 二。，c z + c “，z c u 。+ c ”，i p ( 茁，可) d f ( z ) d z d 可d f c h a p t e r2d e a l sw i t ht h ed i v i d e n dp r o b l e m si nr a t ei nt h ed a s s i c a lr i s k m o d e lw i t hi n t e r e s t b a s e do ng e r b e ra n ds h i u ( 2 0 0 5 ) ，w ed i s c u s st h ed i v i d e n d d r o o b l e m si nr a t ei nt h ec l a s s i c a lr i s km o d e lw i t hi n t e r e s t u n d e ra no p t i m a l d i v i d e n d8 t r a t e g y l a ni n t e g r a le q u a t i o nf o rt h ee x p e c t a t i o no ft h ea g g r e g a t e d i v i d e n t si so b t a i n e d w h e nt h ei n i t i a ls u r p l u si sg r e a t e rt h a nt h eb a r r i e ro ri s e q u a lt ot h eb a r 【i e r ，t h ee x p l i c i tr e s u l to ft h ea g g r e g a t ed i v i d e n d 8i s o b t a i n e d l l l 曲阜师范大学硕士学位论文 t o o w eo b t a i n e dt h ef b l l o w i n gr e s u l t s ： t h e o r e m2 3 1 ：i fy ( 札) i st h em a x i m u mo fe d ， t h e nv ( “) s a t i s f yt h e e q u a t i o n ： m a x f r + ( u d + c 0 r d 、 r ) v ( u ) ) 一( p + a ) v ( 乱) + a v 一目) d f ( g ) = o p “ j 0 t h e o r e m2 4 1 ： y ( u ，6 ) s a t i s f yt h ei n t e g a le q u a t i o n ： 州) = 锉+ z “型掣川( o ，为单位时间内的保费收入 点过程j v = ( t ) ) 舢表示( o ，t 时间间隔内的索赔个数丑，正，为索赔 时刻，且独立同分布，分布密度为( t ) = 伊钯一肛 磊，n = l ，2 ， 是一列 独立同分布的非负的随机变量，为每个索赔时刻的索赔额 兄，f o ) 是利 率过程，假设0 时刻的资产为1 ，则t 时刻的资产为e 且，同样的，若t 时刻 的资产为1 ，则0 时刻的资产为e 娟c 。本章假设 风，t o ，为l d v y 过程， 且与 巩，t20 独立 令t = i n “：x o ) 为破产时刻，若对所有t 2 0 ，有x t2o ，则 丁= o 。一( “) = p t 。o ) 为保险公司初始资金为u 的破产概率 吴荣，杜勇宏( 2 0 0 2 ) 对 r ，t o 为常数的更新模型，得到了破产概 率，破产时的余额分布以及破产前瞬间余额分布的级数展开式和积分方程 c a i ( 2 0 0 3 ) 对带随机利率的s p a r r ea n d e r s e n 模型，导出了破产概率的上界 在此基础上c a i ( 2 0 0 4 ) 又得到了破产概率的积分方程，上下界以及g e r b e r s h u i 期望折现罚金函数的积分微分方程 笙二苎 堕塑型奎工盟兰! ! ! 坚堕巫堕堡型 本章主要讨论带随机利率的e r i a n g ( 2 ) 风险模型利用余额过程在跳点处 具有强马氏性，导出了破产概率的积分方程利用c a i ( 2 0 0 4 ) 的方法得到了破 产概率的上下界，然后又对 忍，o ) 为一些特殊过程的情况，讨论了破产概 率的积分方程最后导出了罚金函数的积分方程，并利用d i c k s o n h i p p ( 2 0 0 1 ) 讨论函数 咖沁) = e e 一5 t ， t o 。) iu ( o ) = “ 的方法，导出了 见，z 兰o ) 为线性函数时，罚金函数的积分微分方程 1 2 破产概率满足的积分方程 设晶2 玩，n = l ，2 ，一，则& = e 8 ( 札+ 铲e 一兄d 阢) 设f ( z ) = 1 一f ( z ) 为z l 的分布函数记a = e 8 n ，b = 口e 凡d s ，( a ，b ) 的分布密度为p ( x ，y ) 定理1 2 1 ：破产概率满足 皿( “) = f ( u z + c 油扛，) d 。d + z 。z 。z “。+ 。、重( 札z + c 可一z ) p ( z ，”) a f ( 。) d z 一， 证明：因为 & ，礼= l ，2 ，) 具有强马氏性，所以： 皿( u ) = p t o 。) = p 丁= 咒) = p s l o ) + p f s i o ，岛o ，r i o ，晶 o ) = p s l o ) + 层 尸( s 1 o ，s 2 o ，品一l o ，& o l s l 1 = p ( s l o ，使得e e x p r ( 而一c b ) ) = l 。 证明：考虑函数 ，( r ) = e e x p r ( z l c b ) ) 】， 易知： ，( o ) o ，( o ) = 1 由函数的性质可知结论成立。 定理1 3 2 ：在引理l3 1 的假设下，对所有的u 芝o ，有： m ( u ) sa e e x p r z l ) e e x p 一兄( u 。+ c b ) 冬n e 肌， 其中c 。，一l = i n r 。= 。 2 ：耄瓣) ，。s 。s ， 证明：对z 0 ，有： f ( z ) = ( 2 ：i i 赭) 一1e x p 一r 。) z ”e x p ( r z ) a f ( 。) o e x p 一只z e x p r z ) d f ( z ) 茎 q e x p 一r z ) e e x p r z l ) 】 利用c a i ( 2 0 0 4 ) 推论2 3 中的证明，可得结论成立 【注】若对z 兰o ，9 三o ， f 满足璧。户( t ) 出户( z ) 旷声( t ) 出，则由 c a i ( 2 0 0 4 ) 推论2 4 可得： ( u ) s e 【e x p 一r ( u a + c b ) ) 】 4 曲阜师范大学硕士学位论文 1 4r 为一些特殊过程的情况 一忍为标准的布朗运动 鼠= b ，0 、鼠为标准布朗运动，且玩= o 设a t = j ： e x p 2 b ) 如，且容易知道：如果( x ，y ) 的联合密度为f ( x ，y ) ， 一o 。 o g o 定理1 4 1 ：设( e b ，名e 风d s ) 的联合密度为口( z ，g ) ，则 其中啡( “) = 焘e x p 凳) 铲e x p 2 2 “ e x p 一r ( c 。s 的) ) ( s 。忆衄) s i n ( 丌g 加j 勺 证明：根据布朗运动的性质鱼= ( 1 2 ) b 4 t ，直4 = ( 1 2 ) 肠，故 ( e 鱼，j ； e 风d s ) = ( e 2 ( 1 2 ) b ，片e 2 ( 1 2 ) 吼d s ) = ( e 2 西州e 2 鼠n d s ) = ( e 2 籼，4 矗7 4e 2 5 ，d s ) = ( ( e 鼠，t ) 2 ，4 露7 4e 2 6 s 埘 令p ( a t d 可i 甘t = z ) = 口( z ，掣) d 可， 则由y b r ( 1 9 9 2 ) 知；( b ，a ) 的联合密度为 d ( 训) 去8 1 2 脚= ( 1 ) e x p 一( 1 + 产) 2 可删 故( 雪。，片7 4e 2 或d s j 的联合密度为： ( 1 可) e x p 一( 1 + e 2 。) 2 可 目矿g ( ) 所以( ( e 鱼，t ) 2 ，4 片7 4e 2 。s d s ) 的联合密度为： ( 1 2 z 可) e x p 一2 ( 1 + z ) 日4 扛”( t 4 ) 因为( e b ，ee 风d s ) 与( ( e 巨n ) 2 ，4 届7 4e 2 鼠d s ) 同分布，故 ( z ，f ) = ( 1 2 z y ) e x p 一2 ( 1 + 。) g 目4 扣y ( t 4 ) 第一章随机利率下的e r l a n g ( 2 ) 风险模型 定理1 4 2 ：此时破产概率满足积分方程 ( “)：卢2f o 。把一口t f 。f o 。f ( 札z + c ) 口( 。，g ) d z d j 00j 0 + z 。z ”z “。+ “( u z + c v z ) ( z ，v ) d f ( z ) d z d v d t 证明：由定理1 2 1 知： e 皿( ) = e 皿( e 冗n u + c z “e 凰d s z ，) z 。e ( e b n u + c z n e 风d s z - ) l 五= t ( t ) d t p o 。p 卢2 t e 一所e ( e 凰u + c e 吼d s z 1 ) 出 00 卢2z o 。抛一出 z 。z 。f ( u 。+ c ，) 口。，) d 。d ” z 。z 。上“。+ 。9 皿( u z + c v z ) ( z ，v ) d f ( 。) d z d v 】d t 二兄为漂移布朗运动 r = 乳+ 口日 由c a i ( 2 0 0 4 ) 知 t 0 ，d o ，盯 o ，夙为标准布朗运动，且b o = 0 ( e 胁，片e 凡d s ) 的联合分布密度为： m ( 。，“) = ( z ( 6 ”2 1 2 u ) e x p 一6 2 2 仃2 2 ( 1 + z ) 盯2 u ) 良v ，i 。( 仃2 t 4 ) 其中z 0 ，u 0 ，啡( u ) 与前面所提及的相同。 定理1 4 3 ：破产概率满足积分方程： 皿心) = 卢2 z 。t e 一出 z 0 。z 0 。f ( 珏z + c v ) ，t ( z ，) d z d v + z 。z 。z “。+ 叫( u z + c v 一：) 。t ( 茁，) d f ( z ) d z 由】d t 6 癌辜掰藩大学锾学位论文 l ，5罚玲函数 一设破产时刻为t ，破产前的瞬间余额为曲一，破产时的赤字为i 勋i ， 设 垂。( “) = e 汹( 。y r 一，f 斯f ) e 一胡，( r 。十留辩，缓产发生，魏对 敞由五，z l ，( e 印 r t ) ，ee z p r 。) d s ) 酬= 厂础e 删z 。z 。z 。曲( 札刚矿唧( ? 0 ， 0 ，鼠为标准布朗运动，且 b 0 = 0 则 中。c u ，= 卢2 z 。把一( q + 功z 。z 。z “。+ “西。c u z + c v 中。( u ) = 卢2 扩( q 邶h 。西。( u z + c j0j 0j0jd + 臼2 z 。t e ( q + 口) 。z 。z 。z 二。，c u z + c 。，z d f ( z ) d z d 可d t 二应用 例1 ：令9 ( 。，可) = l ，q = o ，则圣。( “) = e ( t o ，则 中。( “) = e e 咱7 ，( 丁 。) 】= e 【e 咄丁 为破产时刻的l a p l a c e 变换，利用定理1 5 1 得 球卅 = 卢2 卜巾州。z 。z 。厂“球一l 一切一z p ( 茁，可) d f ( z ) d 。d 可d o + 卢2 上。t e 一( n + 口”z 。z ”p ( z ，。) 声( 乱z + c ，) d 。d ”d 。 例3 ：令9 ( 茁，可) = ，( ) ，q = o ，贝4 垂。( “) = p 1 x l | ，t ) = g ( u ， ) 为破产时赤字的分布函数，利用定理1 5 1 得： 卢2 z 。_ t e 邓z 。z 。z ”+ q g c “z + c 可 + 卢2 z o 。t e 一口。z ”z o 。p ( z ，) 尹( u z + c ) 一p ( “z + c + 愚) j d z d d ， 利用同样的方法可求得破产前瞬间余额的分布函数所满足的积分方程 三假设屁= r t ，r o 8 曲阜师范大学硕士学位论文 此时， a = e = e ，b = 岳1e 风d s = 爿1e ”d s = ( e 7 n 1 ) ，x n = u e 7 n + ；( e n 一1 ) 一z l 定理1 5 2 ：在忌= r t r 0 的假设下，币。( u ) 满足的积分微分方程为： ( r _ c 工+ c ) 2 中：( u ) 一( r u + c ) ( 2 0 r ) 中：( “) + ( 2 一卢2 ) 圣。( u ) ：一2 所u + c ) 学n 。( 卅c ) 掣一a ( s ) 如 1 _ 5 - 1 j “ 其中a ( s ) = 片圣。( s z ) d f ( z ) + f ”9 ( s ，z 一8 ) d f ( z ) 证明：类似定理1 5 1 的证明，对五= t 取条件， 虫o ( uj = 占旧【 t 一，l a t l j e ( 。 o 。) j p o o = ( t ) e b ( 曲一，l 硒1 ) e “t ，( t 。) i n = 陋 j0 = z o 。女( t ) e 一“z “，。+ “矿一“西。( u e 州+ ；( e n 一1 ) 一z ) d f ( z ) d t + o 。( e m ( 二+ 。，一，、9 ( 扎e n + ；( e ”一1 ) ，z 一( u e n + ；( e “一1 1 j ) + 七( t ) e 一耐9 ( 扎e n + ；( e 眦一1 ) ，2 一( u e n + ；( e 兀一1 1 j ) j0 j u e ro 十：( e r6 1 ) = z 。m ( ；t n 篙) ( 筹) 1 p 眦，熹幽 + ( ；- n 篝) ( 筹) 1 p s ，肌，熹如 = z 。m ( ；n 筹) ( 糍) 。p 熹郇s 。， 代入( t ) = 伊t e 一肛得： 酬= 铀+ c ) 学卜( 筹) ( r s + c ) 半1 删s - ( 1 矗s ) 在( 1 5 2 ) 两端对u 求导，有： 吲小- ( r u + c ) z ”( ；n 黠) 十c ) 1 冲+ 熹吲“) 第一章随机乖j 率下的e r l a n g ( 2 ) 风险模型 再对u 求导，并利用( 1 5 4 ) 得 州卸卢2 。产咏l n 篙) + c ) 垂：( “) = ( r “+ c ) 一2 ”( ；l n 兰 兰 ( r 3 + c ) j “。 + 篙吆u ) 一蒜吲u ) 代入( t ) = 卢2 t e 一出及( 1 5 3 ) ，整理得( 1 5 1 ) 成立定理证毕 令g = 1 ，= o ，得： f 1 5 5 1 帅) = 知+ c ) ；z “n ( 筹) 州1 2 8 吣叫删州胁 皿( u ) 满足的积分微分方程为： +r ( r u + c ) 皿( u ) 一卢2 皿( “) = 一2 卢3 ( r u + c ) ；z 。( r s + c ) 一；一1 ( z 8 皿( s 1 0 第二章关于常利率古典风险模型的按比例分红问题 2 1引言 d ef i n e ( 1 9 5 7 ) 最早提出了最优分红问题，并指出了，当保险公司的余 额过程为个离散过程时，最优分红策略为带壁分红策略，即当余额超过某 设定的界限时，保险公司才对股东分红在这一思想的指导下，许多作者对最 优分红问题进行了更深的研究，并应用到了经济学 b 曲l m a n n ( 1 9 7 0 ) 讨沦了经典风险模型中的最优分红司题g e r h e r ：s h i u ( 2 0 ( h i 讨论丁带正漂移的布朗运动在带壁分红策略下的最大值分红问题g e r b e r ，s h i l f 2 0 够 又讨论了经典风险模型下的按某一有界的比例的分红问题，并且指出了最优分 红策略为边界策略本文就是在此基础上，讨论了常利率古典风险模型的按某 一有界的比例的分红问题 本文首先推导出了红利总量的最大值满足h j b 方程，并指出最优分红策 略为边界策略然后推导出了红利总量现值的期望所满足的积分方程，以及当 保险公司的初始资