（计算数学专业论文）新型二次pek方法与二次epek方法.pdf

摘要 在工程领域，如网络、控制等方面，许多实际问题都可归结为解 个系数矩阵a 为大型分块三对角矩阵的线性方程组 a x = 这类方程组通常使用迭代方法求解。本文对这种类型系数矩阵的方程 组给出了一种迭代解法，主要讨论了如下几个问题： ( 1 ) 在对系数矩阵进行不完全l u 分解的基础上，导出了新型二 次p e 。方法，对系数矩阵a 为h e r m i t e 正定矩阵，m 一矩阵及h 。矩阵， 证明了新型二次p e 女方法的收敛性，并且在最后通过实例计算说明了 对适当的参数k ，新型二次p e t 方法比p e 方法及二次p e 方法的收敛 性都好。 ( 2 ) 在新型二次p b 方法的基础上，讨论了新型二次p 助方法的 外插迭代二次e p e t 方法的收敛性，证明了当系数矩阵为对称正定矩 阵时二次e p e 。方法的收敛性，并将在正定矩阵条件下收敛的情形推 广到了可正定化矩阵的情形。 关键词块状三对角线性方程组，二次p b 方法，二次e p e 方法 西北工业人学硕士论文 a b s t r a c t i nt h en e t w o r k sa n d c o n t r o l l i n g f i e l d so f e n g i n e e r i n g ，m a n y p r o b l e m s c a nb ed e s c r i b e da s s o l v i n g a s y s t e m o fl i n e a r a l g e b r a i c e q u a t i o n sa x = f ，w h o s e m a t r i xo fc o e f f i c i e n t si s l a r g et r i d i a g o n a l b l o c k e dm a t r i x t h eu s u a lm e t h o do f s o l v i n g t h i sk i n do f e q u a t i o n si s t h e i t e r a t i v em e t h o d i nt h i sp a p e r ，an e wi t e r a t i v em e t h o dw i l lb eg i v e n i ti s t ob ed i s c u s s e da sf o l l o w s ( 1 ) t h e n e wq u a d r a t i c p e km e t h o d i sd e r i v e do nt h eb a s eo f i n c o m p l e t e l y l ut r i a n g u l a r d e c o m p o s i t i o n b a s e d o nt h er e s u l t s ，t h e c o n v e r g e n c e o ft h en e wq u a d r a t i c p e km e t h o d i s p r o v e d a b o u tt h e h e r m i t ep o s i t i v ed e f i n i t em a t r i x ，m m a t r i xa n dh m a t r i x i nt h ee n d ， s o m ee x a m p l e sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t et h a tt h ec o n v e r g e n c eo ft h en e w q u a d r a t i cp e , m e t h o d i sb e t t e rt h a np em e t h o da n dq u a d r a t i cp em e t h o d t op r o p e rp a r a m e t e rk ( 2 ) o n t h er e s u l t so fn e w q u a d r a t i cp e , m e t h o d ，t h eq u a d r a t i ce p e k m e t h o di sd i s c u s s e d t h ec o n v e r g e n c eo ft h eq u a d r a t i ce p e km e t h o di s p r o v e di nh e r m i t ep o s i t i v ed e f i n i t em a t r i x t h e n t h ec o n d i t i o no fh e r m i t e p o s i t i v e d e f i n i t em a t r i xi se x t e n d e dt ot h ec o n d i t i o no ft h e p o s i t i v e d e f i n a b l em a t r i x k e y w o r d s b l o c k e d t r i d i a g o n a ll i n e a re q u a t i o n s ，q u a d r a t i cp e k m e t h o d q u a d r a t i ce p e t m e t h o d 西北工业犬学硕士论文 第一章预备知识 i i 引言 数值线性代数是计算数学的重要组成部分，它是研究代数问题的数值计算方 法及有关理论的一门学科，它既涉及数学理论方面的研究，又涉及工程设计方面 的研究随着电子计算机的广泛使用，数值代数的理论与方法在数值代数、微分 方程数值解、有限元及其它科学技术中都有广泛的应用，其地位日趋显赫 可以说，相当一部分计算数学问题最终都要化为求解a x = 厂这样的方程组， 其中系数矩阵可能是可逆矩阵，也可能不是可逆矩阵，方程可能是相容的，也可 能不是相容的这些看似简单的问题，但在实际工作中，人们却不能成功地解决 它们所以国内外的众多学者为此做出了不懈的努力，找出了不少的好方法，解 决了实际中的许多问题，并且得出了比较好的算法正是因为这些原因，使得这 门学科得到了蓬勃的发展，并且得到了大家的重视 众所周知，在许多大型实际工程问题中，最后常归结为解一个或一些系数矩 阵为大型稀疏矩阵的线性方程组，而对这些方程组一般都采用迭代方法求解因 此在这些方法中，迭代格式的收敛性和收敛速度就是一个关键问题不收敛的格 式自然不能用，那些虽然收敛，但收敛很慢的格式自然不能用，所以必须寻找收 敛速度比较快的迭代格式，必要时还可以引入参数，这些都是需要研究的工作一 般说来，迭代法的收敛性和收敛速度与方程组系数矩阵的性质有着密切的关系， 例如非负矩阵、m 一矩阵、h 一矩阵等等一种迭代格式只能对系数矩阵为某些特 殊类型的线性方程组有效，一般不能适用于任何类型系数矩阵的线性方程组，从 而需要做的工作就是对某一些或某一类特殊系数矩阵的线性方程组，找出一些方 法，使之能达到较好的收敛速度 本文所要研究的迭代方法，就是针对系数矩阵为特殊的块三对角矩阵的线性 方程组的迭代解法关于这种类型的线性方程组的解法有s o r 法、强隐式法 ( s i p ) 、交替方向法等，但这些方法对此种类型的方程组的应用结果都不是太理 想1 9 7 7 年，美国加州学者w i l l i a ms h e l l i w e l l 在第三届计算流体力学年会上 提出了一种拟消去( p s e u d oe l i m i n a t i o n ) 迭代法，简称p e 法，这种方法具有迭代 收敛快及存贮量少等优点他把这种方法用来解这种块三对角方程组，通过实例 说明了此方法较强隐式法、交替方向法等其它方法的结果好，但却没有从理论上 给予证明从2 0 世纪8 0 年代到9 0 年代中，北京应用物理与计算数学研究所的 胡家赣等研究人员对此方法进行了一系列的研究，取得了较大的进展，在系数矩 阵为对称正定矩阵和对角优势l 一矩阵的情况下证明了一次p e 方法的收敛性，在 西北工业大学硕士论文 p e 方法的基础上通过引入参数k 得到了p e k 方法，并且对系数矩阵彳为h e r m i t e 正定矩阵、m 矩阵、及h 矩阵证明了p e t 方法的收敛性，通过实例计算说明了 对适当的k ，p e 方法比p e 、g s 等方法好得多王自然等讨论了系数矩阵为 h e r m i t e 正定矩阵时，二次p e 方法和二次p e k 方法的可解性和收敛性 本文在他们研究工作的基础上，建立了一种新型的二次p e k 方法，该方法可 看作是p e 法和二次p e 法的推广，当参数k = 0 时即为p e 方法，当参数k = l 时 即为二次p e 方法并就系数矩阵为h e r m i t e 正定矩阵及m 矩阵等，讨论了这种 方法的可解性和收敛性问题，通过算例说明了该方法比j a c o b i 、s b g s 、p e 、二 次p e k 等方法的收敛速度还要快最后研究了新型二次p & 方法的外插迭代二次 e p e k 方法，在系数矩阵为正定条件下证明了= 次e p b 方法的收敛性，得到了在 某种条件下不论k 值如何二次e p e t 方法的收敛范围均为0 五( 爿) ( i = 1 ，2 ，h ) 其中五( 爿) 为a 的特征值 二、对角占优矩阵 定义1 2 设矩阵a = ( d 。) 满足 l 口。l i 口，l ( f = 1 , 2 ，n ) ，t 则称4 为按行对角占优矩阵若 p 。l | 口，l ( f = 1 , 2 ，一， ) j 成立，则称爿为按行严格对角占优矩阵 与上面定义类似，我们可以定义按列对角占优矩阵的概念 按列对角占优矩阵统称为对角占优矩阵 定义1 3 把矩阵a = ( ) 划分为分块矩阵 a = ( a 。) 。( n n ) 其中4 ，为方阵，若下列不等式成立 忆。小。( ，2 ，”) 则称a 为按行分块对角占优若式( 1 6 ) 的不等号严格成立 分块对角占优，简称为块对角占优及块严格对角占优 ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 按行对角占优与 ( 1 6 ) 则称a 为按行严格 性质1 若a 为严格对角占优矩阵，则a 可逆 性质2 若a = ( 爿。) 。为严格块对角占优矩阵，则a 可逆 性质3 若a = ( 爿。) 。为块不可约对角占优矩阵，且式( 1 6 ) 中至少有一个不等 号成立，则矩阵爿可逆 三、非负矩阵 元素都是非负实数的矩阵称为非负矩阵，这类矩阵在数理经济学、概率论、 弹性系统的微振动理论等领域都有广泛的应用，下面介绍非负矩阵的基本性质 定义1 4 设a = ( 口，) b = ( 6 。) 均为m n 实矩阵，如果 口。b 。( i = 1 , 2 ，m ；j = 1 ，2 ，1 1 ) ( 1 7 ) 两北工业大学硕士论文 则称a b 特别的当a 0 时，称4 为非负矩阵；当a o 时，称a 为正矩阵 定义1 5 设爿= ( ) ，定义h = ( k k 。，即将矩阵a 的所有元素都用 它的绝对值k l 代替得到的矩阵 定义1 6 设矩阵a = ( 口。) 2 ) ，若集合w = 1 , 2 ， 的任意两个非空不 相交的子集s 和r 满足s + t = w ，且有i 和，使得i s ，j t ，以及口。0 ，则 称a 为不可约矩阵，否则称为可约矩阵 引理1 7 ( p e r r o n f r o b e n i u s 定理) 若a 为n 阶非负不可约矩阵，则 ( 1 ) a 有一正的特征值等于其谱半径p ( a ) ； ( 2 ) a 有与p ( a ) 相对应的正特征向量： ( 3 ) a 的任一元素增加时，p ( a ) 也增加； ( 4 ) p ( a ) 为彳的单特征值 引理1 8 设彳为h 阶非负矩阵，则 ( 1 ) a 有非负特征值p ( a ) ，又当且仅当a 为可约且a 的法式为严格三角矩阵 时，p ( a 1 = 0 ： ( 2 ) a 有与p ( a ) 相对应的非负特征向量； ( 3 ) a 的任一元素增加时，p ( a ) 不减 引理1 9 若a 和b 为同阶方阵，并且渊a ，则p ( b ) p ( 爿) 引理1 1 0 若a = ( 口。) 为非负不可约矩阵，则当a 的行和恒为常数时，有 p ( 爿) = 口， ( 1 8 ) 当行和不为常数时，p ( a ) 介于4 的最大行和与最+ u r 年n 之间，即 呼n ( 蔷) p ( 爿) 0 西北工业大学硕士论文 推论2 设a = ( d 。) 为非负矩阵，则 n l f i “( 蔷) p ( 爿) m ? 。蔷) ( 1 。1 0 引理1 7 - - 1 1 0 的证明见 1 7 作为非负矩阵的一个应用，下面引入正规分裂的概念，并给出其在线性方程 组的迭代解法中的一些应用 定义17 设a 为实方阵，如果矩阵m 和n 满足下面的条件，a = m n ， m 。n o 和n o ，那么称a = m n 为a 的一个正规分裂 本文中，总是假设彳和m 为可逆矩阵，由a = m n 得 m n = ( a + j v ) 一n = ( ，+ a 一) - 1 a n( 1 1 1 ) 由于，+ a n = a 。( a + n ) = a “m 可逆，所以a 1 n 的特征值不等于一1 ，e h 式 ( 1 1 1 ) 及m 。n 的特征值旯( m - 1 ) 和a - i n 的特征值五( 彳- 1 ) 之间的关系，可以得 到 删) _ 嵩罴 ( 1 1 2 ) 引理1 1 1 1 1 7 1 若a = m n 为a 的正规分裂，又a 一1 o ，则 删。炉焉 ( 1 1 3 ) 从而有0 p ( m 。) 1 ，即m 1 n 为收敛矩阵 引理1 1 2 旧若a = m 一n 和a = m ：一n 2 分别为a 的两个正规分裂，并且 a 一1 o ，n 22 n l o ，n l o ，n 2 n l ，贝0 0 兰p ( m i l n l ) p ( m i l n 2 ) o ( i = 1 , 2 ， ) ，且矩阵b = f d 。4 满足p ( b ) 0 ( f = 1 , 2 ，n ) ，口。0 ( f _ ，) ， 且矩阵b = a + a 7 为拟对角占优，则a 为m 矩阵， 五、h 矩阵 定义1 1 1 设a = ( 口“) 。，d = d i a g ( a ，a n n ) ，c = d a ，记 b = i d 卜i c i = i 口。ib ：i 一i 口。几 一b ib i 一蚓l ( 1 。) ：l l 口。i l 口。：l 1 口。l i 若b 为m - 矩阵，则称a 为h 矩阵 在此约定，本文所用到的h 矩阵为可逆h 矩阵 1 3 基本概念及p e 方法简介 本节介绍后面要涉及的几个概念，如不完全l u 分解、解线性方程组的迭代 法的收敛性判定定理以及p e 方法等 一、不完全l u 分解 考虑线性方程组a x = f ，假定其中的系数矩阵a 为大型稀疏矩阵，并且存 在如下的f 规分裂 西北工业大学硕士论文 爿= m n n 1 9 ) 根据这个分解，就可以建立求解线性方程组a x = - 厂的迭代格式 x “。= m 。n x + 吖。1 厂( 1 2 0 ) 上述迭代格式的每一步都要求解形如 m z = d ( 1 2 1 ) 的方程组，对矩阵m 进行三角分解可得 m = l u ( 1 2 2 ) 其中三为下三角矩阵，u 为单位上三角矩阵 对于大型m 矩阵彳，寻找如下形式的分解 爿= l u r ( 1 2 3 ) 其中三为下三角矩阵，u 为单位上三角矩阵，且满足 ( l u ) 。1 0 ，r 0( 1 2 4 ) 称这种分解为不完全l u 分解 关于不完全l u 分解的存在性以及实现问题，有以下结论 引理1 1 3 【1 7 】设爿为 阶可逆m - 矩阵，则一定存在下三角矩阵三= ( ) 和上 三角矩阵u = ( “。) 。以及矩阵r = i f , j ) 。，使得 4 = l u r ( 1 2 5 ) 为一正规分裂，并且三和u 中的零元素位置可以事先任意选定，即三和【，中的 零元素位置可由一预先给出的集合 p = ( ( f ，) li ，1 i ，n j( 1 2 6 ) 给出 引理1 1 4 1 17 】若爿为对称的m 矩阵，而且p 为对称的零元素集，即如果 ( i ，) cp ，则必有( ，i ) cp 成立，则爿有正规分裂 爿= l l r r ( 1 2 7 ) 其中上为下三角矩阵 二、收敛性及其性质 在研究线性方程组 d x = - 厂( 1 2 8 ) 的迭代解法中，相当多的迭代格式可以表示为 x “= ( i x 十g ( = o ，1 ，2 ，)( i2 9 ) 西北工业大学硕士论文 其中g 是n 阶矩阵，称之为迭代矩阵，g 是与a 和，有关的向量，而z o 是任意 选定的列向量，称为初始向量，这种迭代法被称为线性迭代法关于迭代方法， 人们关心的是它的收敛性和收敛速度 定义1 1 2 如果对任意初始向量x ”，由迭代格式( 1 2 9 ) 得出的向量序列f x ( ” 使得 l i m x “= x ( 1 3 0 ) 其中z 为一极限常向量，则称迭代格式( 1 2 9 ) 是收敛的，否则，称为发散的 引理1 1 5 迭代格式( 1 2 9 ) 收敛的充要条件是 p ( g ) l ( 1 3 1 ) 其中p ( g ) 是迭代矩阵g 的谱半径 引理1 1 6 如果迭代矩阵g 的某种范数g | l 0 。则 ( 1 ) 新型二次p e 女方法中的矩阵s ( f = 1 , 2 ，m ) 都可逆，即新型二次p e 。方 法可解； ( 2 ) 记g = 何1 a ，础c _ l 若参数k 使得 k - 素( i = 2 ，3 ，m ) ( 2 1 8 ) 1 一旯( g ) 、 一 7。 、 则迭代格式( 2 1 2 ) 收敛，即新型二次p e 。方法收敛 证( 1 ) 由a 正定知b ，( f _ 1 , 2 ，啪) 正定，故s = b 可逆而由爿尸= c 。知 a ，b , - 1 c 。= 爿，b , - i ) a , h 半正定，再由 8 i 1 4 b 二c 。= b i j b _ ( 4 b ：c 。) 爵j b , 一2 ( 2 1 9 ) 可得b , - a ，虻1 e 一。的特征值为非负实数，从而1 + b i 。a 。b ：c 。+ ( b ，a ，8 2 , c 。) 2 的特征值为正数，故该矩阵可逆根据式( 2 1 4 ) n - q 得s i ( i _ 2 , 3 ，”) 可逆 ( 2 ) 由于 6 西l h t _ 业大学硕士论文 m = u = s ls l 五 a 2a 2 五+ s 2s 2 t 且s = b 。，s t , = c i ，所以 其中 a a h l 一2 + s “s h 乙一l a ，。a 。l l + s 。 n = m a = d i a g ( o ，n 2 ，一，n 。，) n ，= a ，z l + s j b ，= a ，s 二1 c h + s i b = a i ，+ ( b t _ l l a ，b 7 4 c , 一：) + t ( 础4 一b 品c f 一2 ) 2 】础c 。+ b i 【，+ ( b 7 。a ，曰二c h ) + k ( b , - 1 a 8 7 _ i c i 一。) 2 】一b 利用g ，= b 7 a b j c 。，可将上式改写为 m = 4 ( b , - 1 1 4 , 一跪e 一：) 硭e 一+ k 4 ( 础4 一b 2 1 2 c , 一：) 2 础e 一，+ ( 2 2 0 ) b i 【( ，+ g ，+ 七g ? ) 。+ g ，】( 2 2 2 ) 可以验证式( 2 2 2 ) 右端的前两项为h e r m i t e 半正定矩阵由( 1 ) 的证明过程知 a ( g ，) 0 ，当旯( g ，) 1 时显然有( ，+ g ，+ g ? ) 一1 + g ，一，的特征值为非负实数： 当0 兄( g ，) l 时，由条件( 2 1 8 ) 有- k l + 五( g ) + 五2 ( g ，) + 2 ( g ，) + ，从而有 1 + 丑( g ，) + 刀( g ，) l + 旯( g - ) + 刀( g ，) + 五3 ( g ) + 2 丁二了专石万 故( ，+ g ，+ 硒? ) 。+ g ，一，的特征值为非负实数而e 为h e r m i t e 正定矩阵，且 e 【( ，+ g ，+ k g , 2 ) 。+ g 一，】 = ( b 7 + g ，b 7 1 + k g 7 - b ) 一1 + b i g ，一e( 2 2 3 ) 为h e r m i t e 矩阵，由引理2 1 知式( 2 2 2 ) 右端的第三项为半正定矩阵因此m 为 半正定矩阵，从而n 亦为半正定矩阵 由a - t n = 爿一i ( 爿一一z n a 一一2 ) a 一2 可知五( 爿一l ) 为非负实数，根据式( 二7 ) 和式( 2l o ) 以及s , - 。存在，可得m 为可逆矩阵，再由 西北工业大学硕士论文 可得 m n = ( n + 彳) n = ( 爿1 n + ，) “( a - i n )( 2 2 4 ) 删舻啬羔 r 2 2 5 ) 因此0 2 ( m “) 1 ，故迭代格式( 2 1 2 ) 0 改敛，也就是新型二次p e 。方法收敛 2 3a 为m 一矩阵时新型二次p e 方法的收敛性 本节将对系数矩阵a 为m 一矩阵的线性方程组进行讨论，下面先引入一个引 理 引理2 2 设a 为m - 矩阵，则由式( 2 1 0 ) 给出的分解式a = m n 中的矩阵m 满足m 。o 证因为爿为m 矩阵，所以 a o ( f = 2 ，3 ，小) 毋1 o ( f - l ，2 ，埘) c ，s o ( f = 1 , 2 ，m 一1 ) 从而有 于是 又因为 可逆，所以 l = 所1 a , b ：_ i i c , 一i 0 ，( 何1 4 础c f 1 ) 2 0( 2 2 6 ) 耳1 = ，+ 耳1 4 础c f i + ( 耳4 础c l 一。) 2 】何1 0( 2 2 7 ) s l a 2 是 a 。氐 d 墨1 4 o s ：a 。o 0 s a 2 o o 嚣戆工整天学鞭l 二稔室 a 。，0 一s ：a 。 一点1 a 。0 瓯 吲1 d 1 21 掣鸣_ 1 9 + 。 tt l 一1 如o jl 因为s , - 。0 ，a 0 ，所以由上式可得f 0 = r = 1 + 0 一互 z ，h d 又因为 0 + 出霉= 嚣2 e ，0 ，g 0 哥褥移。0 爨为m = l u ，舞叛 m = u “_ 1 乏。 定理2 3 设a 为m 一矩阵，当0 k 1 ，p ( g ，) - 0 ，4 g a z c f _ 1 0 ，4 g 厶占- i c 一1 0 因为0 k 1 ，故式( 2 2 9 ) 等号右端前两项为非负矩阵，于是有 n ，占， ( ，+ g i + k g l ) 一1 + g ，一，】 = b i 【( ，+ g ，+ k g ? ) 。( j g ，) 。1 + ( g ，一o ( i g ，) 一1 】( ，一g ，) = e 【( ，+ ( 女一1 ) g ? 一g ? ) 一，】( ，一g 。) = e ，一( ，+ ( 七一1 ) g f 2 t 研) 】( ，十( 一1 ) 研一七g ? ) 一1 ( ，一g ) = b , g ： k g ，+ ( 1 一) ，】【，一( g ? + ( 1 一七) 6 乎) 】一1 ( 一g 1 ) ( 2 3 0 ) 设g ，的特征值为_ ，则k g ? + ( 1 一k ) g ? 的特征值为k 2 ；+ ( 1 一k ) x ；由定理条件 p ( g ，) 1 圳五 1 ，故 旧+ ( 1 一七) 钟i 旯f + l l 一| i 恻2 = k l x , l + 0 一七) 】i 丑1 2 = 1 一k ( 1 一l i ) 】i 1 2 ( 2 3 1 ) 所以 i 蜊+ ( 1 一) 1 1 1( 2 3 2 ) 即 p ( k g ? + ( 1 一女) g ? ) 1 ( 2 3 3 ) 因此 ，( k g ? + ( 1 一) g ? ) 】1 ，+ ( t 6 宇+ ( 1 一k ) g , 2 ) + ( 尼6 7 + ( i l o g , 2 ) 2 + ( 23 4 ) 西北工业大学硕士论文 而 所以 从而 由定理条件知 g ，= 何。a ，b , 2 1 e 一0 f 2 3 5 ) 【，一( k g ? + ( 1 一) g ? ) 】。，( 2 3 6 ) n ，b ，g ? 【t g ，+ ( 1 一k ) l l ( 1 一g ，) = b g ? 卜i g ? + ( 2 k i ) g ，+ ( 1 一k ) 】( 2 3 7 ) 一| g ? + ( 2 k 一1 ) g ，+ ( 1 一k ) l 0 又因为b , g , 2 o ，所以n o ，即n o 因为a 为m - 矩阵，由引理2 2 知 m - 1 0 ，从而m - 1 n 0 再由 a 一1 0 ，n 0 ，m 一1 n 0 及引理1 1 1 可知p ( m 。1 ) 1 ，即新型二次p e 。方法收敛 证毕 2 4a 为h - 矩阵时新型二次p e i 方法的收敛性 本节将讨论当系数矩阵a 为h 矩阵时新型二次p e k 方法的收敛性在此需 要比较矩阵的概念 定2 1 设爿= ( ) c ，称( 爿) = ( 埘口) ，( 脚。= k 。i ，i ，时= 一1 1 ) 为 a 的比较矩阵特别地，当( 彳) 为m - 矩阵时，称a 为h - 矩阵 为了书写方便，用j 表示a 的比较矩阵，即彳= 4 a ) ；用五或者h 表示a 的元素取绝对值构成的矩阵，即五兰虬。或者= 0 阪。 引理2 3 【2 1 若式( 2 2 ) 0 0 的矩阵a 为h 矩阵，即彳为m 一矩阵，则a 的主对角 块b 均为h 矩阵，且有 西北工业大学硕士论文 p ( b i 爿，e ic l 一1 ) 1 引理2 4 7 1 若a 和b 为同阶的方阵，且蚓a ，n p ( b ) p ( 彳) 由比较矩阵的定义知 b lc l a 2b 2一c 2 因为4 为h 矩阵，即j 为m 矩阵，设 m = l u = 其中 s 一a 2 是 一也最 i l s i c 吃。 一以 一c 。一 吃 一。一氐一。c 埘一 i m r 2 3 8 ) 陀3 9 ) ( 2 4 0 ) 爱= 鼬，+ 茸1 五鞋：e 。+ ( 茸1 a 露：e 一。) 2 】。( 七o ) ( 2 4 1 ) 因为i 何。i - i b ；1 l ，从而有 l 酊。i - l ，f + 巧1 4 b ：c 一。+ 七( 耳1 4 础c f 一) 2 】且 ，j + 弦i 础陋i + ( 阿i l a , i i b e , l l c , 妒归 ，+ 茸1 a 础0 。+ 女( 茸1 互蕺e 一，) 2 茸1 = 互。 ( 2 4 2 ) 把u 。1 按级数展开有 s ：、c ，。甄! c m 一。 ， 一 。一s ：l c d 一甄1 1 c 。 o 西北工业大学硕士论文 ，+ ，+ ，+ d s i l c 0 时l l c 0s ：1 e d 一瓯! i c d d i 埘c 卅一 d 0 竞l 色一 o + + + 0 一s j 。c 0 时l l c os ：t c i 、一对e 、 - - i - i l = 疗。 l 一一! c m 一1 l j 同理可得i f ，i - 故 i m “i ：l u “f 1 障伊p 1 = ( 三d ) = 厨 由于 d 0 一瓯! ，c m 一。 o 陬! 慨一 d + + ( 2 4 3 ) 以下考虑和之间的关系，设0 j 1 ，a 为h 阵，由引理2 3 有 p ( 茸。a 豆一e 一，) 1 j v ，= ( 爿，z i + s ) 一曩= ( 4 s ：c ，一l + s i ) 一b = 占 ，+ 可1 4 z 曙c j l + ( 睇1 4 e - 一i 。c j 一，) 2 】+ 4 一一+ 尽- 一i ，4 一e - 一i ：c ，一：。4 - - 一i 4 一跪c f 一：) 2 】础c 一，一b 令g ，= 巧1 a ，础c 则 n ，= 爿，虼i c , 一。+ 爿一g 皇二：c ，一。+ + 一 乜o d 西北工业大学硕士论文 m ，g 三i b ：j i c h + b ，【，+ g ，+ 盘g ? 】一b = a , g 。b s _ 1 e 一，+ 七4 雠，e - 一i lc 一i + 彳，e j c h + 目【，。+ g ，+ k g z , 一b 记0 ，= 巨。j ，葭：e 。，则 1 a , g 。础c 。卜j ，仓一，础皇一 ( 2 4 4 ) 1 4 g 五b ：c 。 a o 二茸：e 一。 ( 2 4 5 ) 令n 的后三项之和为，即 = 爿，目：c ，一1 + b i 1 ，+ g ，+ 七g ? 】一e = 爿，b 三c “( ，+ g ，阜| i g ? ) + b 一曰，( ，+ g ，+ 意g ? ) 】( ，+ g 。+ 七g ? ) 1 1 = b ，g ，( i i + g ，+ 七g ? ) + e e ( + g ，+ 七g ? ) 】( + g + 七g ? ) - 1 = k b ，g ? + ( 1 一k ) b f g ? 】( ，+ g 。+ = g ? ) 。1 = b i g ： k g , + ( 1 一尼) 】( ，j + g 。+ 七g ? ) 。 = 且g 2 崩g i + ( 1 一】 ) 】( 一g ，) ( ，j g ，) - 1 ( + g + j g ? ) 。 = b ，g 趣一k g ? + ( 2 k 一1 ) g ，+ ( 1 一k ) z ，1 i 。一( 南g ? + ( 1 一七) g ? ) 。1 因此 t 1 - i b , c ： 一k g ? + ( 2 k 一1 ) g i + ( 1 一七) 圳- | ，一( 孵+ ( 1 一七) 研) 川( 2 4 6 ) 由于 1 g i _ 1 耳1 4 础c 。l 兰茸1 a 醚e 一= 矗 ( 2 4 7 ) 由引理2 3 知p ( o ，) l 。由引理2 4 知p ( g 。) 1 由定理2 3 的证明过程知 p ( k g ? + ( 1 一七) 研) 1 所以 【，- ( k g ? + ( 1 一k ) g ? ) 川 ，+ g ( 1 一) 口h 舸3 + ( 1 一女) g 1 2 2 卜， 2 4 西北工业火学顶j 二论文 若 i j + ( t | g f | 3 + ( 1 一女) 例2 ) + ( k i t ，卜( 1 一女) 吲2 ) 2 + = ，。+ ( j i 0 7 + ( 1 一七) 0 7 ) + ( 尼0 7 + ( 1 一七) 0 7 ) 2 十- = ，一( g ? + ( 1 一t ) g ? ) 】( 2 4 8 ) e g ? 一k g ? + ( 2 k 一1 ) g ，+ ( 1 一k ) x 豆e ? 卜女e ? + ( 2 k 1 ) 皇+ ( 1 一女) ，1 ( 2 4 9 ) 成立，则 川多，0 。鞋：e 一。+ 确醒。霹1 e 一，+ 巨0 7 一硒? + ( 2 t 1 ) 童+ ( 1 一) ，。 ，。一( k 6 7 + ( 1 一女) 岔) 】= 从而 | n i ( 2 5 0 ) 所以 i m 一1 n i - i m 一1 i n - 廊一1 f 2 5 1 ) 由 i 知o ，由于彳为m 一矩阵，由引理2 2 知露一1 o ，从而露一1 丙o 又 霄o ，j 一o ，根据引理1 1 1 可得p ( 厨一。i f ) 1 ，由阻一1 i f i - 一1 及引理2 4 可得 p ( m 一1 | v ) p ( 厨一1 ) 1 ( 2 5 2 ) 综上所述，对于h 一阵，可得如下结论 定理2 4 设4 为h 矩阵，且 i e g ? 一g ? + ( 2 七一1 ) g 。+ ( 1 - k ) i 。i 蔓豆0 7 一0 7 + ( 2 一1 ) 0 。+ ( 1 一) ，。】 成立，那么对于0 k i ，新型二次p & 方法收敛 西北工业人学硕士论文 第三章二次e p e 厅方法 本章将讨论新型二次p e 女方法的外插迭代二次e p e 女方法的收敛性，首先给 出了外插迭代收敛性的简单直观的证明，然后在系数矩阵为正定矩阵的条件下证 明了二次e p e k 方法的收敛性，得到了在某种条件下不论k 值如何二次e p e k 方法 的收敛范围均为0 2 的结论接着将正定矩阵推广到可正定化矩阵，并且将 在正定矩阵条件下二次e p e t 的收敛性定理推广到了可正定化矩阵 3 1 二次e p e i 方法的基本思想及外插迭代的收敛性 第二章介绍了新型二次p e k 方法及其有关迭代格式的收敛性问题，在适当选 取k 值时，新型二次p e k 方法比二次p e 方法的收敛速度快得多，但新型二次p e t 方法并不是二次p e 方法的外插迭代法熟知迭代矩阵r 的外插迭代矩阵 g = ( 1 一c o ) l + o j t( 3 1 ) 所形成的迭代方法往往比丁形成的迭代方法有较大的改进，如g s 的外插迭代 s o r ，s o r 的外插迭代a o r 等在式( 3 1 ) 中i 为单位矩阵，曲为一参数下面 就来介绍一下新型二次p e k 方法的外插迭代二次e p e t 法 设所讨论的线性方程组的矩阵形式为 a x = f( 3 2 ) 其中 a = b lc i a 2b 2c 2 爿。战一。巳一 a 。b 。 ( 3 3 ) b ，为”，阶方阵，a ，为月，x ”。矩阵，g 为n ，”。矩阵新型二次p b 方法的迭代 矩阵为r = m “，其中m = l u ，而 s i a 2s 2 a s ”l a 。s 。 u = ，li 厶正 l 。瓦一 i 。? ( 34 ) 西北工业犬举硕士论义 髓吲曩础( 张嗣硝一( i 瑚 ( 3 5 ) l s = 星【，+ ( 写曩础一，) + 女( 西蠢嗣g 一，) 2 】。( = 2 ，3 ，搬) 。7 此处，为n 阶单位矩阵从而 又 m = s lc 1 a 2a 2 s j l c t + s lc 1 岛一t 厶“酝! ：g 一：+ 晶一t巴一。 瓦_ q 一，+ n = m a - - d i a g ( o ，n 2 ，氓)( 3 6 ) 其中o 为n ，阶零矩阵 l = 4 ( ，。+ g f 一。+ g 厶) 础c i 一；+ e ( ，。+ g j + g ? ) 一一b i( 3 7 ) 二二次e p e 女方法是以新型二次p 戡方法的逖代矩阵r = 膨“为原始矩阵的外插迭 代，其迭代矩蹲为f 3 1 ) 。关予终撬迭代豹收敛毪鸯懿下缎论。 引理3 1 对r 的外插迭代矩阵( 3 1 ) 有 ( 1 ) 餐p ( t ) l ，国0 ，裂g 梵发教怒阵； ( 2 ) 蕊p ( t ) 1 , 0 缈篓i ，则g 为收敛矩阵； ( 3 ) 若烈d 1 1 i 亏丽则g 为收敛矩阵，此处“n 为r 的谱半径 引理3 2 设迭代矩阵t 的特征值为，= 口，+ i 以，= l ，2 ，h ，月为t 的阶+ 口，= r e ( t ，) ，岛= i m ( t ，) ，则t 的外插迭代矩阵( 3 1 ) 为收敛矩阵的充要条件为下列 二条 孛之一或立： ( 1 ) 搿j 1 ，w ，0 1 ，w ，m 蟹q ? 国 0 _ l 毙娃 掣= 高黠 西北工业大学硕士论文 推论在引理3 2 的条件p ，看t j 都是买数，月j j ( 3 - 1 ) 中的g 为收敛矩l 耳的充萤 条件为下列二条件之一成立： ( 1 ) f ， 1 ，w ，o 1 ，w ，m a x f 2 c j 2 0 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 这说明m 为正定矩阵由于a 和m 均为对称矩阵，故也为对称矩阵，因此 m j 脚一j 为对称矩阵，从而其特征值为实数，但 ll li m n = m i m 一2 n m j m i ( 3 1 4 ) 1l 即m 一1 相似于m 一