数学与应用数学毕业论文-函数性质的应用

1 本科生毕业论文本科生毕业论文 函数性质的应用函数性质的应用 院院系：系：数学与计算机科学学院数学与计算机科学学院 专专业：业：数学与应用数学数学与应用数学 班班级：级： 20102010 级数学与应用数学级数学与应用数学(1)(1)班班 学学号：号： 201004110203201004110203 姓姓名：名：张广宁张广宁 指导教师：指导教师：陈志恩陈志恩 完成时间：完成时间： 20142014 年年 4 4 月月 1010 日日 宁夏师范学院 2010 届本科毕业生毕业论文(设计) 1 函数性质的应用 摘 要函数是数学中最重要的概念之一，它既是数学研究的对象，又是解决数学问题 的基本思想、方法。函数对数学的发展的作用是不可估量的，它不仅使人类数学思维发 生了质的飞跃， 而且导致了数学科学的蓬勃发展， 在数学的各个分支中都起到重要作用。 函数也是中学数学的一个重要的教学内容，一直是高考的热点、重点内容。要顺利的解 决关于函数的问题，就要熟练掌握函数的性质。本论文着重从函数的单调性、奇偶性、 周期性、有界性、以及反函数的存在性、可微性、可积性等方面入手。讨论函数的各种 性质在解题中的运用技巧与规律。 旨在帮助学生认识并学会灵活应用函数的性质解决函 数的相关问题。 关键词函数单调性奇偶性周期性有界性反函数可微性 abstract Function is one of the most important concepts in mathematics, it is the object of mathematics study, and basic thought and method to solve the problem of mathematics. Function to the development of mathematics is immeasurable, it not only make a qualitative leap, mathematical thinking of human beings and the vigorous development of led to the science of mathematics, play an important role in every branch of mathematics. Function is also an important teaching content of middle school mathematics, has always been the hot spot of the college entrance examination, the key content. To solve the questions about the function, is the nature of the master function. This paper emphatically from the functions monotonicity, parity, periodic, boundedness, and the existence of inverse function and differentiability, integrability and other aspects. Discuss the function of the application of all kinds of properties in the problem solving skills and rules. Designed to help students to understand and learn the properties of the flexible application of function to solve the problem of the related to the function. Keywordfunctionmonotonicityparityperiodicboundednessinversefunctionsex differentiability integrable 宁夏师范学院 2010 届本科毕业生毕业论文(设计) 2 目录 1 引言-1 2 函数性质的应用-1 2.1 函数单调性的应用-1 2.1.1 函数单调性的概念-1 2.1.2 函数单调性的性质- 错误！未定义书签。错误！未定义书签。 2.1.3 函数单调性的应用-2 2.2 函数奇偶性的应用-3 2.2.1 函数奇偶性的概念-3 2.2.2 函数奇偶性的性质-3 2.2.3 函数奇偶性的应用-4 2.3 函数周期性的应用-7 2.3.1 函数周期性的概念-7 2.3.2 函数周期性的性质-7 2.3.3 函数周期性的应用-9 2.4 函数有界性的应用-10 2.4.1 函数有界性的概念-10 2.4.2 函数有界性的应用-10 2.5 函数可导性的应用-13 2.5.1 函数可导性的概念-13 2.5.2 导数与函数的性质-13 2.5.3 函数可导性的应用-14 3 结 论-29 谢辞-31 参考文献-32 宁夏师范学院 2010 届本科毕业生毕业论文(设计) 1 1 1 引言引言 函数是中学数学的一个重要的教学内容， 它渗透在数学各个部分的内容中， 一直是高考 的热点、重点内容。要顺利解决关于函数的问题，就要首先熟练掌握函数的性质。从近几年 的考题来看，运用函数的性质解体更是得到命题老师的青睐，函数的各类问题，几乎都与函 数的性质有关，比如指数函数，对数函数、幂函数，三角函数等的问题都是结合函数的性质 解决问题。高考常利用函数的一种或同时几种性质联合起来解决问题。因此，只有掌握函数 的性质才能更好、更快速的解决高考中的函数问题，才能为其他试题赢来宝贵的时间。要想 提高学生的解题速度， 必须帮助学生更好的掌握函数的性质。 函数的性质是解决函数问题的 精髓，是达到划归目的的桥梁。 2 2 函数性质的应用函数性质的应用 2.1 函数单调性的应用 2.1.1 函数单调性的概念 一般地，设函数 )(xf 的定义域为：如果对于属于I内某个区间上的任意两个 自变量的值 1 x 、 2 x ，当 21 xx 时都有 )()( 21 xfxf 。那么就说 )(xf 在这个区间上 是增函数；相反地，如果对于属于内某个区间上的任意两个自变量的值 1 x 、 2 x ， 当 21 xx 时都有 )()( 21 xfxf .那么就说 )(xf 在这个区间上是减函数。函数的单 调性也叫做函数的增减性。 在某一区间上的增函数或减函数叫做单调函数。 2.1.2 函数单调性的性质 （1）函数单调性的几何特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减 函数的图象是下降的。 当 21 xx 时，都有 )()( 21 xfxf 等价于 y 随x增大而增大； 宁夏师范学院 2010 届本科毕业生毕业论文(设计) 2 当 21 xx 时，都有 )()( 21 xfxf 等价于 y 随x增大而减小。 几何解释：递增等价于函数图象从左到右逐渐上升；递减等价于函数图象从 左到右逐渐下降。 （2）函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质。 有些函数在整个定义域内是单调的；有些函数在定义域内的部分区间上是增 函数，在部分区间上是减函数；有些函数是非单调函数，如常数函数。 函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质，具有任意性，不能 用特殊值代替。 （3）1、 )(xf 与 axf)( 具有相同单调性； 2、 )(xf 与 )(xfa 在a0时有相同单调性， 当a0 时，f xxx( )lg()121 2 。试求此函数 的解析式。 解： （1）当 x0 时，fff( )()( )000 ，于是f( )00； （2）当 x1 例 6. （2004 年上海卷）设奇函数 f(x)的定义域是-5，5 。当x 05，时，f(x)的图象 如图 1，则不等式 f(x)0 时，f(x)有最小值 2，其中 bN ，且f( ) 1 5 2 （1）试求 f(x)的解析式； （2）问函数 f(x)的图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐 标；若不存在，说明理由。 解：知函数yf x ab( )()00，是奇函数，fxf x()( ) ，则 c0 由于f x a b x bx a b ( ) 1 2 2 ，所以ab 2 ，又ab 2 ，又f a b ( ) 1 15 2 ，于是 2520 2 bb 解得 1 2 2b，又bN 所以 b1，a1 所以f xx x ( ) 1 （2） 设点 （x0， y0） 存在关于点 （1， 0） 对称点 （2 0 x， y0） ， 此两点均在函数y x x 2 1 的图象上，则y x y x x 0 0 2 0 0 2 0 1 2 21 2 ， () 联立以上两式得xx 0 2 0 210，即x012，从而，当x012时，得 y02 2；当x012时，得y02 2 即存在点（122 2，） ， （122 2，）关于点（1，0）对称。 2.3 函数周期性的应用 宁夏师范学院 2010 届本科毕业生毕业论文(设计) 8 2.3.1 函数周期性的概念 .定义：对于函数 )(xfy ，如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定 义域内的每一个值时，都有 )()(xfTxf ，则称函数 )(xfy 是周期函数。如 果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数 )(xf 的最小正周期。由定义可 得： 周期函数 )(xf 的周期T是与 X 无关的非零常数， 且周期函数不一定有最小正 周期。如常数值函数 Cxf)( （C是常数）是实数集R上以任意非零实数为周期 的周期函数。狄利克莱函数是实数集上任意非零有理数为周期的周期函数。由于 正实数和正有理数都没有最小的，因而它们都没有最小正周期。 2.3.2 函数周期性的性质 （ 1 ） 若 )0(T 是 )(xf 的 周 期 ， 则 T 也 是 )(xf 的 周 期 。（ 因 )()()(xfTxfTxxf 。 因而周期函数必定有正周期。 （2）若 )0(T 是 )(xf 的周期，则 Tn （n为任意非零整数）也是 )(xf 的周期。 证：当 0n 时， TnxfTTnxfnTxf) 1() 1()( )(xfTxf 。 当 0n 时， 0 n ，由前证和性质1可得： )( nTnT 是 )(xf 的周期。当n为任意非零整数时命题成立。 （ 3 ） 若 1 T 与 2 T 都 是 )(xf 的 周 期 ， 则 21 TT 也 是 )(xf 的 周 期 。 （ 因 )()()( 121 xfTxfTTxf 。 （4） 、如果 )(xf 有最小正周期 * T ，那么 )(xf 的任何正周期T一定是 * T 的正整数 倍。否则必存在 Zrn , 1 （ Z 为正整数）使 )0( * 1 TrrTnT ，则对 （ )(xf 的定义域）有 )()()( * rxfrnTxfTxfxf ，r也是 )(xf 的正周期， 与 * T 是 )(xf 的最小正周期矛盾。T必是 * T 的正整数倍。 2.3.3 周期函数的判定 宁夏师范学院 2010 届本科毕业生毕业论文(设计) 9 定理1若 )(xf 是在集M上以 * T 为最小正周期的周期函数则 )0()(KCxkf 和 )( 1 xf 分别是集M和集 , 0)(/xxfx 上的以 * T 为最小正周期的周期函数。 证 ： * T 是 )(xf 的 周 期 ， 对 x ，有 * Tx 且 )()( * xfTxf ， CTxkfCxkf)()( * ， Cxkf)( 也是M上以 * T为周期的周期函数。 假设 * T 不是 Cxkf)( 的最小正周期，则必存在 T（ 0 T * T ）是 Cxkf)( 的 周期，则对 x ，有 K f(X+T)+C=K f(X) +C Kf(X+T)- f(X)=0，K0， f(X+T)- f(X)=0，f(X+T)= f(X)，T是 f(X)的周期，与 T*是 f(X) 的最小正周期矛盾，T*也是 K f(X)+C 的最小正周期。 同理可证1/ f(X)是集X/ f(X) 0，X 上的以 T*为最小正周期的周期函数。 定理2：若 )(xf 是集 M 上以 T*为最小正周期的周期函数，则 f(aX+n)是集X/aX+ b 上的以 T*/ 为最小正周期的周期函数， （其中 a、b 为常数） 。 证： （先证是 f(ax+b)的周期） ，T*是 f(X)的周期， ，有 XT*M，a （X）+b=ax+bT*M，且 fa（X+）+b=f（ax+bT*）=f（ax+b） 是 f（ax+b）的周期。 再证是 f（ax+b）的最小正周期 假设存在 T （0T） 是 f （ax+b） 的周期， 则 f （a （x+T） +b） =f （ax+b） ， 即 f（ax+b+aT）=f（ax+b） ，因当 X 取遍X/XM,ax+bM的各数时,ax+b 就取遍 M 所有的各数，aT是 f(X)的周期，但 =T*这与 T*是 )(xf 的 最小正周期矛盾。 定理3： 设 f(u)是定义在集 M 上的函数 u=g （x） 是集 M1上的周期函数， 且当 XM1 时，g(x)M，则复合函数 f(g(x)是 M1上的周期函数。 证 ： 设 T 是 u=g(x) 的 周 期 ， 则1 有 （ xT ） M1 且 g （ x+T ） =g(x) f(g(x+T)=f(g(x)=f(g(x)是 M1上的周期函数。 定理4：设 f1(X)、f2(X)都是集合 M 上的周期函数，T1、T2分别是它们的周 期，若 T1/T2Q 则它们的和差与积也是 M 上的周期函数，T1与 T2的公倍 数为 它们的周期。 证： 设 （(pq)=1） 设 T=T1q=T2p 则有： 有（xT） =（xT1q） = （xT2p） M， 且 f1(x+T) f2 （x+T） = f1(x+T1q) f2 （x+T2p） = f1(X)f2(X)f1(X) f2(X)是以 T1和 T2的公倍数 T 为周期的周期函数。同理可证：f1(X) 、f2(X) 是以 T 为周期的周期函数。 推论： 设 f1(X) 、 f2(X)fn(X) 是集 M 上的有限个周期函数 T1、 T2Tn 分别是它们的周期，若， （或 T1，T2Tn 中任意两个之比）都是有理数， 宁夏师范学院 2010 届本科毕业生毕业论文(设计) 10 则此 n 个函数之和、差、积也是 M 上的周期函数。 定理5，设 f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，则 f1(x)与 f2(x)之和、差、积是周 期函数的充要条件是 a1/a2Q。 证：先证充分性： 若 a1/a2Q，设 T1、T2分别为 f1(x)与 f2(x)的最小正周期，则 T1= 、T2= ， 又 Q 由定理4可得 f1(x)与 f2(x)之和、差、积是周期函数。 再证必要性（仅就 f1(x)与 f2(x)的差和积加以证明） 。 （ 1 ） 设 sina1x-cosa2x 为 周 期 函 数 ， 则 必 存 在 常 数 T 0 ， 使 sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin = -2sin s(a2x+ ) sin (1)。 令 x= 得2cos（a1x+ ） ，则（KZ） 。(2) 或 CZ（3） 又在（1）中令 2sin（a2x+ ）sin =-2sin =0 由(4) 由 sin （5） 由上述（2）与（3） ， （4）与（5）都分别至少有一个成立。 由（3） 、 （5）得 （6） 无论（2） 、 （4） 、 （6）中那一式成立都有 a1/a2。 （2）设 sinaxcosa2x 为周期函数，则是周期函数。 2.3.3 函数周期性的应用 例1、若函数(x)是 R 上周期为5的奇函数，且满足 2)2(, 1) 1 (ff ，则 )4()3(ff 解析：因为 函数(x)的周期是5， 所以 )4()3(ff) 1()2(ff ， 因为(x)是 R 上奇函数， 所以 112) 1 ()2() 1()2(ffff ，故 1)4()3( ff 。 例2、 设函数(x)是定义在 R 上的周期为2的偶函数， 当 1 , 0x 时， 1)( xxf ， 则 ) 2 3 (f 解析：依题意得， )()2(xfxf ， )()(xfxf ，则 3 1 1 2 1 ) 2 1 () 2 1 () 2 3 (fff 。 2.4 函数有界性的应用 2.4.1 函数有界性的概念 设 f 为定义在 D 上的函数， 若存在数 M （L） ， 使得对每一个 xD 有：(x)M 宁夏师范学院 2010 届本科毕业生毕业论文(设计) 11 （(x)L） ， 则称在 D 上有上 （下） 界的函数， M （L） 称为在 D 上的一个上 （下） 界。 2.4.2 有界函数的性质 在中学， 我们学过的有界函数典型的有正弦函数、 余弦函数， 它们在定义域内是有界的， 即 1sinx ， 1cosx 。此结论在解题中有着广泛的应用。举例说明。 1.求值域或最值求值域或最值 例 1 求函数 3cos2 cos4 x x y的值域。 解：原函数可变为： 12 34 cos y y x， 因为1|cos|x，即1| 12 34 | y y ， 解得5 5 3 y， 故所求函数的值域为5 , 5 3 。 例 2 求函数xxxycossinsin 2 的最值。 解：由原函数得：xxy2cos 2 1 2sin 2 1 2 1 ， 即) 4 sin( 2 2 2 1 xy， 又1| ) 4 sin(| x， 所以)21 ( 2 1 )21 ( 2 1 y， 故)21 ( 2 1 ),21 ( 2 1 maxmin yy。 2.证明等式或不等式证明等式或不等式 例 3 已知 2 3 )cos(coscos), 0(且、， 求证：1 2 cos 。 证明：因为 2 3 )cos(coscos， 2 3 1 2 cos2 2 cos 2 cos2 2 ， 即01 2 cos 2 cos4 2 cos4 2 宁夏师范学院 2010 届本科毕业生毕业论文(设计) 12 因为 2 cos 是实数， 016 2 cos16 2 ， 即1| 2 cos| ，而1| 2 cos| ， 所以1| 2 cos| ， 又), 0(、， 所以 222 ，0 2 cos ， 所以1 2 cos 。 又当1 2 cos 时，方程有解 2 1 2 cos ，故1 2 cos 。 例 4 在ABC中，求证： 8 1 2 sin 2 sin 2 sin CBA 。 证明： 2 sin) 2 cos 2 (cos 2 1 2 sin 2 sin 2 sin CBABACBA = 2 sin 2 1 2 sin 2 cos 2 1 2C CBA 2 sin 2 1 2 sin 2 1 2C C = 8 1 8 1 ) 2 1 2 (sin 2 1 2 C ， 当1 2 cos BA 且 2 1 2 sin C ， 即 3 CBA时，取等号。 3.求参数的范围求参数的范围 例 5 要使 m m 4 64 cos3sin有意义，求m的范围。 解：因为)60sin(2cos3sin 0 ， 故 m m 4 32 )60sin( 0 ， 又1| )60sin(| 0 ， 即1| 4 32 | m m ， 解得 3 7 1m。 例 6、设,3cos3sin3)(xxxf，若对任意的实数x都有 axf)( ，则实数a的取值 范围是 宁夏师范学院 2010 届本科毕业生毕业论文(设计) 13 解析：由题意知 ) 6 3sin(2)( xxf ，则 2)(xf ，所以 2a 。 4.讨论函数的性质讨论函数的性质 例 7、证明函数 2 1 )( x x xf 在R上有界。 证明：令tanx，则 2 1 |2sin| 2 1 |cossin| sec tan | tan1 tan | )(| 22 xf， 故函数 2 1 )( x x xf 在R上有界。 例 8、设a为无理数，求证函数axxxfcoscos)(不可能是周期函数。 证明：假设axxxfcoscos)(是周期函数，则存在常数0T，使对于任意的 axxTxaTxxcoscos)(cos)cos(,都成立。 令0x得： 20cos0coscoscosaTT 因为1|cos| , 1|cos|aTT， 所以成立必有1coscosaTT， 所以)(2,2ZlklaTkT、， 所以 k l a ，由于Zlk、，所以 k l 为有理数，即a为有理数，这与已知a为无理数 矛盾，故函数axxxfcoscos)(不可能是周期函数。 2.5 函数的可导性 2.5.1 可导函数的概念 第一定义 设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处有增量 (也在该邻域内)时， 相应地函数取得增量； 如果 与之比当时极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限值 为函数在点处的导数记为，即 宁夏师范学院 2010 届本科毕业生毕业论文(设计) 14 也记作 ，或。 第二定义 设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处有变化 (，也在该邻域内)时，相应地函数变化 ；如果与之比当时极限存在，则称函数在 点处可导，并称这个极限值为函数在点处的导数记为，即 导函数的定义： 如果函数在开区间 I 内每一点都可导，就称函数在区间 I 内可导。这 时函数对于区间 I 内的每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这就构成 一个新的函数，称这个函数为原来函数的导函数，记作， 。导函数简称导数。 几何意义 函数在点的导数的几何意义： 表示函数曲线在点处的 切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率） 。 宁夏师范学院 2010 届本科毕业生毕业论文(设计) 15 2.5.2 导数在函数中的应用 1利用导数判断函数的单调性 一个函数在某个区间内的单调增减性的变化规律， 是在研究函数图形时首先 考虑的问题。在中学，已经知道函数在某个区间内单调增减性的定义。下面利用 导数这一工具来判断函数增减性及其确定单调区间 从图形直观分析：若在( , )a b内，曲线上每一点 的导数都大于 0，即 ( ) 0fx ，利用导数的几何意义 知，在( , )a b内，曲线上每一点的切线斜率都为正， 这时曲线是上升的，即 函数( )yf x是单调递 增的（如图 2） 。反之， 若在( , )a b内，曲线上每一点的导数都小于 0（即曲 线上每一点的切线斜率都为负） ，这时曲线是下降 的，即函数( )yf x是单调递减的（如图 3）对于上 升或者下降的曲线， 它的切线在个别点可能平行于x 轴（此点的导数值为 0，即 ( ) 0fx ） 。因此，函数的增减性反映在导数上，有 如下定理： 定理 1：设函数( )f x在区间( , )a b内可导，则： 若( , )xa b时恒有 ( ) 0fx ，则( )f x在( , )a b单调增加； 若( , )xa b时恒有 ( ) 0fx ，则( )f x在( , )a b单调减少。 例 1：求函数( )cossin (0)f xxxx x单调递增区间 宁夏师范学院 2010 届本科毕业生毕业论文(设计) 16 解：因 ( ) cossincossinfxxxxxxx ，由 ( ) 0fx 得(2,22 )()xkkkZ 所以，( )cossin (0)f xxxx x单调递增区间为 (2,22 )()xkkkZ 例 2：已知函数 2 ( )(0,) ax f xx eae为自然对数的底数，试讨论函数( )f x单 调性。 分析：引进导数这一工具之前，判断函数单调性的一般方法是定义法。此题 利用定义法就无法的出答案，而有了导数之后，问题就易解决了。 （此题是 04 年湖南高考题） 解：因 2 ( )2(2) axaxax fxxeax ex axe，所以 （1）当0a 时，令 ( ) 0fx 得0 x ； 若0 x ，则 ( ) 0fx ，从而( )f x在(0,)上单调递增； 若0 x ，则 ( ) 0fx ，从而( )f x在(,0)上单调递减； （2）当0a 时，令 ( ) 0fx 得0 x 或 2 x a ； 若0 x ，则 ( ) 0fx ，从而( )f x在(,0)上单调递减； 若 2 0a a ，则 ( ) 0fx ，从而( )f x在 2 0,) a 上单调递增； 若 2 a a ，则 ( ) 0fx ，从而( )f x在 2 ,) a 上单调递减。 2利用导数判断函数凹凸性及拐点 在研究函数图形的变化状况时，知道它的上升和下 降顾虑很有好处，但不能完全反映它的变化规律。如图 4 所示的函数( )yf x的图形在区间( , )a b内虽然是一直 上升的，但却有不同的弯曲形状。因此，研究函数图形时，考察它的弯曲形状以 及扭转弯曲方向的点是必要的。从图 4 看出，曲线向下弯曲的弧度在这段弧段任 意点的切线下方，曲线向上下弯曲的弧度在这段弧段任意点的切线上方，据此给 出定义如下： 定义 1在某区间内，若曲线弧位于其上任意一点的切线上方，则称曲线 在该区间内是上凸的（也称在该区间内此函数为凹函数） ；在某区间内，若曲线 弧位于其上任意一点的切线下方，则称曲线在该区间内是下凹的（也称在该区间 宁夏师范学院 2010 届本科毕业生毕业论文(设计) 17 内此函数为凸函数） 那么曲线的凹凸性与导数之间有什么关系呢？ 按定义是很难判断凹凸性的， ，对于凹凸性可以用二介导数来确定。即有判 定定理。 定理 2：设函数( )yf x在区间( , )a b上具有二介导数， 当 ( ) 0fx 时，则曲线为凸（此时在该区间为凹函数） 例 3、设函数的图象与轴的交点为 P，且曲线在点 P 处的切线方程 为，若函数在处取得极值 0，试确定函数的解析式。 解析：因为的图象与轴的交点为 P，所以 P 的坐标为（0，d） 又曲线在点 P 处的切线方程为 所以点 P 坐标满足此方程，将（0，d）代入后得 d4 又切线斜率 所以函数在处的导数值 又函数在处取得极值 0，所以 于是得以下关系：，解得 当 ( ) 0fx 时，则曲线为凹（此时在该区间为凸函数） 通过图形的直观性来说明该定理的正确性（如图 5） 若曲线( )yf x呈现凸状，由图 5（1） 直观看出：当x增大时，切线斜率随之变小， 说明一介导数函数 ( ) fx在( , )a b上为减函数， 由函数单调性判别法，必有 ( )0fx，即 ( ) 0fx 。说明：若曲线为凸性，必有 ( ) 0fx 。同理，若曲线为凹，必有 ( ) 0fx 。 从另一角度讲，该定理为二介导数的几何意义。 宁夏师范学院 2010 届本科毕业生毕业论文(设计) 18 定义 2： 若函数( )f x在点 0 xx的左右邻域上凹凸性相反， 则点 00 (,()xf x叫 做曲线的拐点（注意拐点不是 0 x） 由拐点的定义可知，判断某点是否拐点，只需看该点左右两侧二介导数是否 异号，与该点一介、二介导数是否存在无关 例 3、求函数 43 341yxx的凹凸区间及拐点。 解：因 32 1212yxx，则 2 2 362436 () 3 yxxx x 令 0y ，得 2 0, 3 xx。所以 x(, 0 ) 02 (0, ) 3 2 3 2 ( ,) 3 y +0-0+ y 凹1 拐点 凸11 27 拐点 凹 3利用导数求函数的极值和最值 （1）利用导数求函数的极值 函数由增加变为减少或由减少变为增加，都经过一 个转折点，即图中的“峰”点和“谷”点，这些点是在 研究函数中是十分重要的。 定义 2、 设函数( )f x在点 0 xx及其某邻域左右两侧 附近有定义，若对该邻域内的任意点x（ 0 xx）恒有 0 ( )()f xf x，则 0 ()f x为 极大值；若 0 ( )()f xf x成立，则 0 ()f x为极小值。 应当注意：极值是一个局部概念，它只限于 0 x的某一邻域内，通过函数值相 比较才能显示出来。在一个区间上，函数可能有几个极大、极小值。可能会有极 大值小于极小值。 极值点和导数的关系如何？由图 6 可知： 定理 2若 0 x是函数 ( )f x的极值点，则 0 ()0fx或 宁夏师范学院 2010 届本科毕业生毕业论文(设计) 19 者 0 ()fx不存在。 注意： 0 ()0fx是点 0 x为极值点的必要条件， 但不是充分条件。 如 3 yx， 2 3yx， 0 |0 x y 但(0,0)点不是函数极 值点； 函数( )f x在导数不存在的点也可 能有极值。 如 1 3 yx， 2 3 11 3 y x ， 0 |xy 不 存在， 但(0,0)点不是函数极值点 （如图 7） 将导数为 0 的点或者不可导的点统称为驻点。 因此函数的极值必在驻点处取 得，但驻点不一定是极值点，所以在求得函数极值的驻点后，就是找到了所有极 值可疑点。 下面介绍函数在驻点或导数不存在的点取得极值的充分条件， 即极值的判断 方法。 定理 3 （极限存在的充分条件之一）设f在 0 x连续， 在某邻域 0 (; ) o Ux 内可导， 若 00 (;)xxx（ 0 x左侧）时 ( ) 0fx ，而 00 (;)xx x（ 0 x右侧） ( ) 0fx ，则函数( )f x在 0 x处取极大值 0 ()f x 若 00 (;)xxx（ 0 x左侧）时 ( ) 0fx ，而 00 (;)xx x（ 0 x右侧）时 ( ) 0fx ，则函数( )f x在 0 x处取极小值 0 ()f x 若 0 x两侧 ( ) fx不变号，则( )f x在 0 x处无极值。 该定理的直观含义为：函数由单调增加（或单调减少）变成单调减少（或单 调增加）的转折点，即为极大值点（或极小值点） 。 例 4、求函数 2 3 3 ( ) 2 f xxx的单调区间和极值 解： 1 3 ( )1fxx ，当1x 时， ( ) 0fx ；而0 x 时 ( ) fx不存在。因此， 函数只可能在这两点取得极值。 x (,0) 0 (0,1) 1 1,) ( ) fx +不存在-0+ 宁夏师范学院 2010 届本科毕业生毕业论文(设计) 20 ( )f x 极大值 (0)0f 极小值 1 (1) 2 f 由表可见，函数在区间(,0，1,)单调递增；在区间(0,1)单调递减。 在0 x 处有极大值(0)0f，在点1x 处有极小值 1 (1) 2 f 。 若函数的二介导数存在，有如下的判定定理； 定理 4（极限存在的充分条件之二）设 ( ) 0fx ， ( ) fx存在， 若 ( ) 0fx ，则 0 ()f x为( )f x的极小值； 若 ( ) 0fx ，则 0 ()f x为( )f x的极小值； 若 ( ) 0fx ，本方法无效，需用极限存在的充分条件之一这个定理来进一 步判定。 因为 ( ) 0fx ，则曲线在 0 x点的左右两侧呈凹状，因此 0 ()f x为极小值；反 之，若 ( ) 0fx ，则曲线在 0 x点的左右两侧呈凸状，因此 0 ()f x为极大值。 例 5、求函数 23 ( )(1)1f xx的极值。 解：如图 8，因为 22 ( )6 (1)fxx x，令 ( ) 0fx ，得驻 点1,0,1x 。所以， 22222 ( )6(1)62(1) 26(1)(51)fxxxxxxx 又因为 (0) 60f，所以函数( )f x在0 x 处取得极小值(0)0f。 因为 ( 1)0(1)ff，则定理应用定理 4 失效。下面利用定理 3。 当1x 时， ( ) 0fx ；当10 x 时， ( ) 0fx ， 所以函数( )f x在1x 处无极值 同理函数在1x 处去极值 （2）利用导数求函数的最值 在经济活动和日常生活中， 常遇到在一定条件下。 怎样用料最省、 成本最低、 效率最高或者效益效率最好的问题，这些归纳到数学问题上，即为函数的最大值 或最小值问题。 假定函数( )f x在闭区间 , a b上连续，则必存在最大、最小值，其判定方法 宁夏师范学院 2010 届本科毕业生毕业论文(设计) 21 为：找出可能为极值点的函数值（即区间内使 ( ) 0fx 或 ( ) fx不存在的所有 点的函数值） ； 计算出端点处的函数值( ),( )f af b； 比较极值和端点值的大小； 其中最大的就是函数( )f x在闭区间 , a b上的最大值，其中最小的就是函数( )f x 在闭区间 , a b上的最小值。 最值与极值是不同的：极值反映的是函数形态，即极值只是与该点在附近的 函数值比较而言的，而对于远离该点的情形不予考虑；而最值则是函数整体形态 的反映，它是指函数在所考察的区间上全部函数值中的最大者（或最小者） 。 例 6、求函数sin(2 )yxx在区间, 2 2 上的最大、最小值。 解： ( ) 2cos(2 ) 1fxx， 令 ( ) 0fx 即2cos(2 ) 10 x 解得 12 , 66 xx ， x变化时 ( ) fx，( )f x的变化如下表： x 2 (,) 26 6 (,) 6 6 6 (,) 6 2 2 ( ) fx 0+0 ( )f x 2 3 3 6 3 3 6 2 由上表可知最大值是 2 ，最小值为 2 例 7、已知0a ，函数 2 ( )(2) x f xxax e，当x为何值时，( )f x取得最小 值？证明你的结论。 解： 2 ( )2(1)2 x fxxa xa e，由 ( ) 0fx ，得 2 1,212 11()xaaxx (0)a ，x变化时 ( ) fx，( )f x的变化如下表： x 1 (,)x 1 x 12 ( ,)x x 2 x 2 (,)x ( ) fx +00+ ( )f x 极大 值 极小 值 当(0)a 时， 12 1,0 xx 。而当0 x 时，( )(2 )0 x f xx xa e； 0 x 时，(0)0f。 宁夏师范学院 2010 届本科毕业生毕业论文(设计) 22 所以当 2 11xaa 时，( )f x取得最小值。 （3）利用导数求函数值域 求函数的值域是中学数学的难点，下面介绍利用高中教材新增加内容-导 数来求解值域 例 8、求函数243yxx的值域。 解：函数的定义域为 2,)， 112324 24232 243 xx y xxxx 又 28 2324 2324 x xx xx 可见当2x 时， 0y 所以243yxx在 2,)上是增函数。而( 2)1f ， 所以函数243yxx的值域是 1,) （4）实际问题中导数的应用 例 9、 （2004 年全国高考题）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产 须占用甲方的资源， 因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收 入.在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函 数关系式2000 xt.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元 （以下称s为赔付 价格） 。 (1) 将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获 的最大利润的年产量； (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 2 0.002yt（元） ，在乙方按 照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应 向乙方要求的赔付价格s是多少？ 解 （1）由题意得，乙方的实际年利润为：2000wtst 因为 2 22 10001000 2000( )()wts tst ss ， 所以当 2 1000 ()t s 时，w取 的最大值，因此乙方获的最大利润的年产量 2 1000 ()t s （吨）. (2)设甲方在索赔中获得的净收为v元，则 2 0.002vstt，将乙方获的最大 宁夏师范学院 2010 届本科毕业生毕业论文(设计) 23 利润的年产量 2 1000 ()t s 代入上式，可得到甲方净忙收入v与赔付价格s之间的 函数关系式 23 2 4 10002 1000 0.002vstt ss ，令0v 得20s .因当20s 时 0v ；当20s 时0v，所以当20s 时，v可取最大值。故甲方向乙方要求 的赔付价格s是 20（元/吨）时，可获得最大净收入。 4.利用导数知识描绘函数图形 14为有助于某些函数图形的描绘，下面介绍曲线的渐近线。 （1）曲线的渐近线 定义 3若曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某天直线的距离趋 于 0，则称此直线为曲线的渐近线。 水平渐近线若曲线( )yf x的定义域是无限区间，且有：lim( ) x f xb ， 或lim( ) x f xb ，则直线yb为曲线( )yf x的水平渐近线。 垂直渐近线若曲线( )yf x有：lim( ) xc f x ，或lim( ) xc f x ，则直线 xc为曲线( )yf x的垂直渐近线。 斜渐近线若lim ( )()0 x f xaxb 成立，则yaxb是曲线的一条斜渐 近线。 下面介绍求, a b的公式。