（运筹学与控制论专业论文）一类非线性四阶抛物方程的初边值问题.pdf

摘要 在本篇论文中，我们主要研究一维非线性四阶抛物方程 n t = 一( n ( 1 0 9 n ) $ $ ) z $ o 0 )( 1 ，2 ) 其全局非负弱解的存在性在文献【4 中已被证得，这个存在性证明的主要困难就是确保 解是非负的并且关于时间t 是整体存在的+ 第一个性质可以通过变量指数变换方法而得 到；第二个性质的成立需要建立在熵估计的基础上对于方程( 1 1 ) ，如果从其物理背 景来讲，它描述的是边界接触面上的中性电荷的分布情况但是，在文献【5 中已经证得 景来讲，它描述的是边界接触面上的中性电荷的分布情况但是，在文献【5 中已经证得 1 了对于超小的半导体装置，这些假设可能不成立，尤其是边界条件在很小的装置中会有 很大的疑问所以我们希望研究更具有普遍意义的非齐次边界条件； 几( o ，t ) = n o ，礼( 1 ，t ) = 礼1 ，扎。( o ，t ) = u o ，n 。( 1 ，t ) = u l( 1 3 ) 其中n o ，n l o ；u o ，u 1 r ，t 0 实际上，从数学观点来讲，非齐性的处理是一个很有趣的问题于是作者m 8 r 钯觑。 g u o f d 口彻_ ，a ，i i 礼g e f 和g t d 阳m 在文献中对( 1 1 ) 满足非齐次边界条件( 1 3 ) 的 情形也作了详尽的分析和证明，得到了方程严格正的古典解的存在性和唯一性以及瞬态 问题( 11 ) ，( 1 3 ) 的非负弱解的整体存在性它的主要结果如下： 定理1 1 假设( 1 3 ) 条件成立，且扎o ( z ) o 是可积的，满足：如竹。一l o gn 0 出 o ) m ) z 丸出出= o 则称n ( 茁，t ) 是方程的弱解 其次：就方程( 1 1 ) 解的大时间性态而言，目前也已有了比较完整的结果在文献 f 2 、8 1 中研究了( 1 1 ) 满足周期性边界条件的情形：对于严格正且适当小的初值n o ，证 得了解礼( z ，f ) 随时间趋近于无穷大而收敛到它的均值赢厶礼出这个结果是利用 解的对数l o g n ( z ，t ) 来验证的在文献 9 】中研究了( 1 1 ) 在q = ( o ，1 ) 上，满足狄里克 莱纽曼边界条件( 1 ，2 ) 的情形，得到了解n ( z ，) 随时间t 趋近于无穷大而收敛于常数 1 ，并且给出了显式渐近收敛速率近来，这个结果又被扩展到( 1 1 ) 具有非齐次边界条 件( 1 3 ) 的情形，利用熵一熵生成法证得了( 1 1 ) ，( 1 3 ) 的瞬时解在l 1 中空闻随时间趋 近于无穷大而收敛到稳定解n o 。( 其中，礼。是定义在q 上的方程：( n ( 1 0 9 凡) 。) 。= o 满足( 13 ) 的平稳解) 这个结果成立的前提条件是：l o g n 。o 是凹的( 参见【6 】) 以上边这些结果为基础，本文中我们进一步来研究一下方程( 1 1 ) 满足边界条件： n = e ，( “，n 。= 0 o nd q ， ( t 0 )( 1 4 ) 我们采用变量指数变换方法以及熵估计证得了方程( 1 。1 ) ，( 1 4 ) 的非负弱解的全局存在 性这个结果将在本文第二部分中得到论证 2 接下来，在第三部分中，我们讨论方程( 1 ，1 ) 满足狄里克莱一纽曼边界条件( 1 。2 ) 时 ( 即：条件( 1 4 ) 中，( t ) = o 时的特殊情形) ，l o g 竹( z ，t ) 的收敛性及其渐近收敛速率 以求更加完善( 1 1 ) 的大时间性态的理论体系 最后，我们再来分析一下( 1 1 ) 的几族李雅普诺夫泛函的存在性这些结果在文献 f 1 1 中已得到了充分的论证这些泛函的存在给方程( 1 1 ) 全局解存在性的证明提供了先 验估计在此结果的基础上，我们又探寻了几族新的李雅普诺夫泛函的存在性这个结 果将在本文第四部分中得到论证 3 2 解的存在性 这部分我们主要证明非线性四阶抛物方程( 2 1 ) ： ( 2 1 。) 札t + ( 钆( 1 0 9 n ) 。) 。= o仇( o ，1 ) ( o ，o o ) ( 2 1 6 ) n ( o ，z ) = 礼o ( z ) 打lq = ( o ，1 ) ( 2 1 c ) 礼= e ，( “，n 。= 0 d 扎a q 非负弱解的整体存在性 2 1 空间符号记法 定义p ( o ，t ；b ) 是由可测函数 p ：( o ，t ) _ b 构成的空间，其中b 是任意的 b 。礼a c 空间( p 【1 ，o 。) ) ，满足范数： r r 帅t 2 ( 上； o 。， p 1 ，o 。) 1 1 妒1 1 l ( o ，t ；且) = s u p1 i 驴( t ) j 1 曰 o ，用分点o = t o f 1 o ( 不依赖钍与盯) ，使得f f 日。( n ) c ， 即。u 的日2 范数是有界的 由此可得：嵌入映射日2 ( q ) q 日1 ( 存在收敛的子列所以，日2 m ) l 日1 m ) 是紧嵌 入所以算子t 是紧的又易得t 是连续的，对v u 日1 ( q ) 有t ( u ，0 ) = 0 则利用l e r n 一s c o t d e r 不动点定理可得：至少存在一解札满足：t ( “，1 ) = “ 将其代入( 2 9 ) 式即得( 2 8 ) 解存在性成立 下证唯一性：假设存在两解u ， 日2 ) 满足( 2 8 ) ： 2 ( 。u 乱。) 。+ 当8 她：三。z u ， 2 ( 。z u 。) 。+ 土。舶：三。t m 穗 堙 取检验函数= e “一瑶( q ) 得： 一2 ( a ( “) 一a ( 吐铲一) h ，朋+ 去厶( 一一矿) 2 如 - 2 ( e “( 一也z _ e 弋尹k ，酽叫 去二矽_ e 叩如 = ( 去e “( e 2 一e 2 “) 去e 1 ( e 孔k e 2 、酽一e ”) + 去正( e “一e ”) 2 出 = 去( e 2 “( e 一e “) 一f 一即，e “一e ”) + 去厶( e “一e 甲妇 = 去五妒( e 一e ”) 一( 一矿) 】( e “一e ”) 如+ 妻互( e “一e ”) 2 出 = 去厶一唯一_ e 1 ) ( 矿叫w z 由嵌入映射日2 ( q ) qw l ，o 。( n ) 知，让与u 在l o 。( q ) 中是有界的 所以可得：( e 一e 1 ) ( e “一e ”) o ， 1 即：一2 ( a ( ) 一a ( ) ，e “矿) h 一，嘲+ 去厶( e “一矿) 2 如o 由引理2 4 得； 一2 ( a o ) 一a ( 。) ，8 。一) h 州o ，则去n ( 矿 所以在l 2 ( q ) 中只有酽= = u 三 即，解的唯一性成立证毕!口 1 2 d z 0 ( 3 ) 第三步，先验估计t 对椭圆方程中所得的一序列逼近解进行先验估计，从而证 得方程( 2 1 ) 非负弱解的整体存在性 7 下面我们主要是对( 2 。8 ) 的逼近解( u ( ) ( n 是自然数) 作先验估计，首先证明其 能量估计以及熵估计 引理2 5 假设u o 满足( 2 5 ) ，对= 1 ，设日2 ( q ) 是( 2 9 ) 的解，逼 近解u ( 。) p c k ( o ，7 ；日2 ( q ) ) ，对可测函数，( ) 存在正常数c 0 使得： 1 ，( ) j 茎c d ，t ( o ，o o ) 则： u ( 。) l 2 ( o ，t ；日2 ( q ) ) ，且存在一正常数c ( q ，u o ，c 0 ) ( 不依赖于七和) ，使得； ( 2 1 1 。) 厶8 2 “吖。一2 m 出+ 4 慨北。c ( 2 1 1 6 ) s u p e c o e 2 “( 。 c ) 一2 “( ( 。，t ) d z + 4 i i u ( f | 2 2 ( h 2 ) c t f ot 1j n 一 而且，假设u o 满足，ne 2 “o ( 2 钍。一1 ) + 1 如 + o 。，则有t ( 2 m c ) 厶8 2 “( 2 u k 一1 ) + 1 如厶8 2 “( 2 女一1 1 ) + 1 如，n，i2 证明固定 1 ，) ，取检验函数= e m ) 一e _ 2 “t 瑶( q ) 由嵌入映射日2 ( n ) qw 1 ，。( q ) 可得；u l 。( n ) ， 把代入( 2 9 ) 得： 去厶e 。( e 2 n e 2 “) + “一1 d z = 2 厶，珏如z ( e 吨“) 。z 如 2 厶地；弘+ 舭“l ，。如 利用不等式e 。芝1 + 正，z r 得： e 2 ( “k 一1 一”i ) 一1 2 一l 一2 钍 代入上式得： 去厶e 一巾，e 2 n z u * d 。+ a 厶i u 蛐。1 2 如去厶e _ ，e 2 q z u t t 出+ s 五u 即z u ；。 又因为如u 蛐。钍2 声出= ；上( u 2 ，。) 。如= ；( ；，( 1 ) 一“2 ，。( o ) ) = o 代入上式得： ( 2 1 2 ) 五e m ) b 2 女一2 u k 如+ 4 仉五i u 船。1 2 如五e 一巾e 2 u 2 让女一t 出 哥厶e 耻) e 一2 珏廊厶e 。铲“_ 2 u 如9 0 ， 使得对任意的妒彤“( q ) n ( q ) 满足： d 妒l ，( n ) sg j i 妒j l 。，( n ) l l 妒l l 矗冬) 9 引理2 7 假设钍。满足( 2 ，5 ) ，且u ( p c k ( o ，t ；日2 ( q ) ) 是逼近解，对可测函数 ，( t ) 存在正常数c 0 使得；l ，( t ) lsc 0 ，t ( o ，o 。) 则有： u ( l ( o ，t ；l 1 ( q ) ) n l ( o ，t ；w 7 1 ，( q ) ) ， e 2 “三；( o ，t ；w 7 1 ，1 ( q ) ) 并且存在一正常数e ( q ，珏o ，c 0 ) ，使得： | | u ( ) l 。o ( l ，) 冬c ， 1 l u l ( w ，o o ) c ， l i e 2 “州| | l g ( ，) c 证明利用泰勒展开式得到；e 。1 + 。+ 萼，z o 由此不等式及引理2 5 的( 2 1 1 6 ) 得： c 厶e 搿一2 0 聊如= 厶阢( 0 ) 矿。一2 0 州如+ 厶) 0 ) j e ( u 州】 0 ) 1 + 2 ( 珏州) 2 出+ 2 厶( 。，。，i 让) l 如 0 = 寺u ( 。) ( t ) 工2 ( q ) 所以，“( 谗) 三1 ( q ) 且i l u f k 一( l t ) 曼c ，其中c = c ( g 让o ，c 0 ) u 为了证明第二个不等式，我们需要应用引理2 6 ，取m = r = 2 ，j = 1 ，2 ) = 。 且口= 1 ，则有： ， 怯( n ) 曼c 彬嗡( q ) 彬1 n ) ( 其中口= i ) 等o u 1 慨( n ) 墨g 1 1 ；r 2 ( n ) 彬n ) 等( 翩u 幢( 。) g ( 脚州i 备刊妒噍删州 j f f u l 弛1 c 彬憾( 圳u 恤( l i ) 由引理2 5 的( 2 1 1 b ) 式及本引理的第一个不等式可得： u 吣畔。) 兰g 再由引理2 5 的( 2 1 1 b ) 式得；1 l e 2 u ”i k * ( l - ) g 则 ( 一”。= 2 护u 绷。 2 伊怯( 洲u 绷l ( l 。) 所以，由第二个不等式即得第三个不等式成立# 5 | 理2 8 假设咖满足( 2 5 ) ，且札( ) p ( o ，? ；h 2 ( q ) ) 是逼近解选择p ( 1 ，；) 和固定的矧2 ，；) 懈；= 掣+ ；， 那么， e 2 u “l 9 ( 0 ，t ；w 1 p ) ) ，且存在正常数c ( q ，u o ，c o ) ， 使得： i l e 2 “l i l 。( w - ，】c 这里先引进e 2 u “尸c k ( o ，t ；l 2 ( n ) ) 的线性内插式一 j ( ( t ，z ) ：盐( e 2 u * ( z ) 一e 2 u 一( z ) + e 2 t ( “，z q ，t ( “_ 1 】划 则：e m ，z ) ：丝警竺 引理2 9 假设引理2 8 条件成立，选择r ( 1 ，萼) 使得：；= ；+ ；，那么， 占l l 7 ( o ，t ；月一2 ( q ) ) ； 言( ) l 。( o ，t ；w ，1 ，9 ( q ) ) 并且存在正常数c ( q ，“o ，c 0 ) ，使得： l i e l i l 驴( h z ) + i | ( 1 1 l 。( - ，) c 2 3 存在性的证明 根据以上所得的结果，这部分里我们就来证明命题2 2 证明：由引理2 5 易得方程( 2 1 ) 的逼近解序列( u ( ) l 2 ( o ，t ；日2 ( q ) ) 是有界 的， 则存在收敛的子列，为方便起见，不妨设这个子列就是( u ( ) ) _ ，且满足： 随_ o 。，u ( ) 一u讥工2 ( o ，7 1 ；日2 ( q ) ) ， 那么，随_ + 。o ，u 鐾) 一u 。i n l 2 ( o ，丁；l 2 ( n ) ) 而且，从引理2 8 与引理2 9 中可得： ( m 口( o ，t ；1 ，( q ) ) nw 1 ，( o ，t ；h _ 2 ( q ) ) 是有界的， 其中p ( 1 ，；( 2 ，争吲l ， 从文献15 1 中的结论： “妒( o ，t ；w 1 ，( n ) ) nw 1 ，( o ，t ；日- 2 ( q ) ) l ( o ，t 江”( n ) ) 是紧嵌入的” = 辛w l t ( q ) q 工o 。( q ) 是紧嵌入( p ( 1 ，吾) ) 所以，( ( ) 存在收敛的子列( 在此仍记为其本身) ，满足： 随_ o o ，e ( ) 叶p 溉l 9 ( o ，t ；工o o ( q ) ) ，( q ( 2 ，；) ) 1 1 由此可得：随寸o 。，当g = 2 时，a ( ) _ pml 2 ( 0 ，t ；l 2 ( q ) ) 又由文献【1 3 】得： 6 ( ) + pi 礼l 2 ( o ，t ；工2 ( q ) ) ：= 争e 2 “川 pi 礼工2 ( o ，t ；l 2 ( q ) ) 所以，利用指数函数的单调性，对任意的 l 。( ( o ，o o ) q ) 可得： 厶( e 2 一一) ( u 札”) 如o 由以上的收敛性得到： n ( p e 2 ”) ( u 一 ) 出o 则由指数函数的单调增性= 辛 p = e “， 即，6 ( 。_ e 2 “i n ( o ，t ；三。( q ) ) ，随_ + 。o 由命题2 3 的( 2 9 ) 式可得：对v 曲瑶( q ) ， ：竿咖a 。= 一z ：e 2 u m u 。，。西。d 。 j n “ ，n j “川纰= 一2 厶e 2 ”如娩。出 利用u = u ( ( t ) ，t ( “一l ，圳可将上式化为： ( 2 1 4 ) z 丁( e l v ) ，) h 一。，瑶d = 一2z t 五e 2 “( ) u 罂) 咖。c 拙d t 又由引理2 9 的结论： ；l ) 口( o ，t ；日一2 ( q ) ) 及其有界性，加之i ( ) _ e 2 “讥 ( o ，丁；l 。( n ) ) ( q r ) ， 可得：j l n l ( t ，z ) = 竿一( e 2 h i 礼口( 。，t ；日。2 ( n ) ) ，随“斗。斗。 由以上的收敛性以及( 2 1 4 ) 式即得( 2 7 ) 式成立， 由以上收敛性以及( 2 8 ) 式即得： 再由引理2 ，5 、2 8 与2 9 可得 由此可得定理2 1 成立# 存在一解u ( t ，。) 使得( 2 4 ) 式成立 ：( 2 6 0 ) 及( 2 6 6 ) 成立证毕1 1 2 3 大时间性态 在这部分中，我们考虑( 2 1 c ) 的特殊情形：当，( o ) = o 时，边界条件即为( 1 2 ) ，以 方程( 1 1 ) ，( 1 2 ) 弱解礼( z ，t ) 的整体存在性( 参见【4 】) 以及礼( z ，t ) 的收敛性( 参见【9 ) 为分析的起点，来进一步证明解的对数i o gn ，t ) 随时间t 趋近于无穷大而收敛到常数0 的结果为了方便我们的证明，这里我们首先引述一下文献 9 中的主要结果： 定理3 1 ：假设竹o ( z ) 0 是可积的，且满足： 伽5 五( 粕( 1 0 9 扎。一1 ) + 1 ) 出 o ) 对，( n ) 和9 ( 礼) 在礼= 1 点进行二阶泰勒展开得到； ，( n ) = l 。g n 一礼+ 1 = 一百t 褊 ( 1 ) 9 ( n ) = n ( 1 。g n 一1 ) + 1 = 互石锅 ( 2 ) 其中o 日 1 满足1 + p m 一1 ) 是介于1 与n 之间 由( 1 ) 式得：l 。g n = ( 讹一1 ) 一百可 号酬刮扎_ 1 ) 一采岽( 一) + 采簖 1 3 ；小g 啦加叫阱五采焉如 = 五i n 一1j 出+ 上n ( 1 。g n 一1 ) + 1 如 从疋理【3 1 ) 中得到： 叩( z ) = 上扎( 1 。g 礼一1 ) + 1 出s 伽e 一尚 m t ) 一1 忆俪( 1 + 佤) e 一煮 所以把此二式代入到( 3 ) 式得： 五礼恤( 瓜( 1 + 压) + 伽) e 一煮 当t _ o o 时，l i l o g n ( t ) 忆1 m 1 _ o证毕# o o ) ( t o ) ( 亡o ) 注记：在l 1 空间中，l o g n 随t _ + 。而收敛于常数0 的结果也可以利用另一种 方法来证明( 参见 4 j ) ，但那里并没有得出其渐近收敛的速率 1 4 4 李雅普诺夫泛函( l 可印乱n o u f 钆n 以i o 凡n z s ) 这部分我们将研究某类泛函西( n ( t ) ) 的存在性设n ( t ，z ) 是方程( 1 _ 1 ) 的解，如果 西( 礼( t ，) ) 关于时间t 单调变化或是常数，我们就把这样的泛函圣机( t ) ) 分别称为李雅 普诺夫泛函或守恒量从我们论证的过程会发现：无论方程在什么条件下成立，泛函 中( 礼( f ) ) 的单调性都能得到验证为了方便起见，我们限定( 1 1 ) 在s 1 区域上，其中s 1 是一维空间单位圆域，它满足：o z 1 ，z s 1 首先，我们定义一些本部分中要用到的空间记法 在w w 三w ( s 1 ) ( 1 p o o ，r 是非负整数) 空间中，定义范数： 1 i ，i | 叭一= 嘭l ，o ( 。) p o 。) “j = 0 特别地，我们简记：矿三w 0 9 ；日7 三w 一对某固定的p ，y r 代表空间伊或w 这里，我们研究的李雅普诺夫泛函的主要形式是： 圣( n ( t ) ) = ，西( 他( t ，z ) ，n 。( 亡，z ) ) d z 在文献【1 】中已有几族泛函被证得，我们先来回顾一下这些结果： 命题41：如果l ，= 或 ，并且n y o 是( 1 1 ) 正的古典解，那么， ( n ) 止。n ( z ，t ) 口关于时间t 是非降的( o 冬卢 1 ) ；关于时间t 是常数( 卢= 1 ) ；关于 时间t 是非增的( 1 卢昙) ( 6 ) 厶l o g 礼( z ，t ) 如和一l - n l o g 礼( z ，t ) 出关于时间t 是非降的 如果礼( z ，) 也是y 1 空间中( 1 1 ) 的正的古典解，那么， ( c ) 当l 。s ；时，以。 篆鬻 。关于时间t 是非增的 处理这类李雅普诺夫泛函西( n ( t ) ) 时，因为礼( t ) 具有较强的可微性，从而保证了 圣( n ( t ) ) 是可微的，所以只需证明： 丢吣) = ，。鬟( 叩洲z = ，。( 鬟一( 差u 州z 的正负性即可得到圣( n ( t ) ) 的单调性而且，在以上证明中我们引进了一个新的变量g ( t ，茁) 满足9 2 = n ，则原方程( 1 ，1 ) 可化为t玑= 一9 。+ 等这个形式给( c ) 的证明带 来了很大的便利 1 5 回顾以前所得的结果，我们不难发现这些李雅普诺夫泛函的应用还是很广的 例如：由( ) 得，l zn 如关于时间t 是守恒量，我们自然可把它看作概率密度函数； 由( c ) 得，概率分布的费希尔信息量如i ( 、而。1 2 出= 兰如关于时间t 是非增的；而 ，o 由( n ) ，( 6 ) 又不难得到：熵函数叩( t ) = 如m ( t ) ( 1 0 9 n ( t ) 一1 ) + 1 ) 出关于时间t 是非增 的在文献【4 中它对非负弱解存在性的证明提供了先验估计在文献f 9 中卵( t ) 的单调 性对方程( 1 1 ) 大时间性态问题的解决也起了很关键的作用而且这些泛函的存在性对 方程( 1 1 ) 弱解的整体存在性与恒正性的关系的论证也是必不可少的( 参见【1 ) 另外，李雅普诺夫泛函还可以应用到泛函微分方程中，曾有人运用李雅酱诺夫泛函 的方法来判定某类泛函微分方程零解的稳定性实际上，用这种方法来判定形式上和常 微分方程判定零解的稳定性极为相似，这种方法可以看作是李雅普诺夫泛函方法在泛函 微分方程中的直接推广但在应用上还需要注意这样两个问题：一是这样的泛函如何构 造；二是如何判断这个泛函沿导数的符号 鉴于这类泛函的用途之大，在此命题基础上，我们进一步得到以下几族李雅普诺夫 泛函 推论4 2 ：如果p = 眇或w 伸，且n ( z ，t ) 是y o 空间( 1 1 ) 的正的古典解，则， ( d ) 正tn ( 1 0 9 礼) 。出关于时间t 是常数 如果n ( z ，t ) 是y 1 = g 1 或w 1 ，空间中( 1 1 ) 的古典解，那么 ( e ) 上zn ( 1 0 9 n ) 。d z 关于时间t 是非降的 而且，如果n ( o ，t ) 关于时间t 和z 具有相同的单调性，那么 ( ，) 上。n ( 1 0 9n ) 。出关于时间t 是非增的 证明： ( d ) ，。n ( 1 0 9 n ) 。d z = z 。n n _ 1 如= ，。几。d z = o 因此( d ) 的结果显然成立 ( e ) 由方程( 1 1 ) 得：m = 一( n ( 1 0 9 n ) 。) 。= 利用这个等式可以得： z 。柙。s n ) 。如= ，。( 礼。一鲁，如= 。n 。如一，。鲁出= 一，譬出 由命题( 4 1 ) 中( c ) 的结论可得( e ) 结论成立 ( ，) ，。n ( 1 。gn ) 如= ，。礼( 礼一1 一n 一2 圮) z 出 = ，。n ( 可2 + n 。z + 2 n 以n ：一2 n 。2 哪z z ) 如 1 6 = ，。一n _ 乱；。+ n 。+ 2 珏_ 2 圮一2 扎q n 。出 一，。一3 礼_ 哪。+ 。+ 2 几q n ：如 = 3 j ( 。几q 竹。如+ 2 ，。n 吨n ：如 对第一项进行分部积分得t - 3 ，礼。1 哪。z 出 = 3 ：，( n _ 1 礼。) 弛出 = 3 ：。n 。( 一n 一2 n ：+ 凡。) 如 = 3 ，。( 一n 一2 n ；+ 礼一1 n z n 。z ) d z 习一6 ，札- l 哪捌z = 3 j ( ，一n n ：出 即： 一s ，。n l 礼。n 。d z = 一；，。n 一2 n ：d z 把上式代回止- n ( 1 0 9n ) 。出中得： z ，岬o g n k 。如= 飘讥- 2 扎：出+ 。，。仃嘞：如 = ；，；坨一2 佗：d z = ；，。( 簪) 沁 爰，。n ( 1 唧k 。出= 爰； = ；， = i ， = ；， 由命题( 3 1 ) 中( c ) 得 _ ( 堡) ；n - ，s l 托 礼一 皂f 堡 d t 、n 一d ，冗! 礼2 蕊【言 札一；爰( 譬 d 茁 如+ i 1 d z 一五 虮； 出 出 ；：。礼一 象( 等) s 。 所以，如果n ( 。，幻关于t 和z 具有相同的单调性，就有；上，n 一3 n ：m 如o 则，丢，。邮。酬如o 即，正t 竹( 1 0 9 几) 。出关于时间。是非增的证毕! l 1 7 咄一争出 n ： k 蠢_ ，研 d一出一n ，z， 参考文献 1 lp m b l e h e r ，j l l e b a w i t za n de r s p e e r e x i 8 t e c ea n dp o s i t v i t yo fs o l u t i o n so fa f o u r t h - o r d e rn o n l i n e 甜p d ed 髑c r i b j gi n t e r 胁en u c t u a t i 。n sc o m mp u r ea p p l m a 七h ， j 】4 7 ：9 2 3 9 4 2 ，1 9 9 4 ( 2 】j d d i b e a u i t ，i g e n t i la n da j 也n g e l a o l i i l e a rf o u r t h - o r d e 。p a r a b o i i ce q u 眦i o na n d r e l a t e d1 0 9 盯胁m i c8 0 b o l e vi n e q u a l i t i e s p r 印r i n t ，u n i v e r s j t a tm a i n z ，g e r m a i l y ，2 0 0 4 【3 u g i a a z z a ，gs a v a r ea n dg 工0 8 c a n i af o u r t h o r d 盯n o n l i n e a rp d e a sg r a d i e n t 丑o w o ft h ef i 8 h e ri n f o r m a t j o ni nw 删s t e i s p a c e s h e p r i t ，u n i v e r s j t ad i p a v i a ，i t a “，2 0 0 4 。 4 1 a j 也n g e la n d r p i n n a u g 1 0 b a ln o n ”哗t i v e 舳l u t i 0 1 1 80 f a n o l i i l e a r f o u r t h - o r d e r p a t 如0 1 i c e q u a t i 。nf o rq u a n t u m8 y s t e m 8 s i a mj m a t h a n a l 【j 1 3 2 ：7 6 0 _ 7 7 7 ，2 0 0 0 锄r p i n n a u an o t eo nb o u n d a r yc o n 吐i t i o n sf o rq u a n t u mh y d r o d y n a r n i cm 。d e l s a p p l m 缸i ll e t t ，【j 】1 2 ：7 7 8 2 ，1 9 9 9 6 m a r j ap j ag u a 】d 8 n j ，a j 越n g da n dg t 。s c a n i an 。n l i n e a rf o u r 她一0 r d e rp a r a b o e q u 舡 t i o nw i t h 0 i 上_ h o m o g e n e o u sb o u n d a r yc o n d i t i o n s 1 7 1f b e r n i sa n dan i e d m a nh i g h e r 。r d e l j l o n l i n e a rd e g e n e r a 乞ep a r a b o l i ce q u a t i 。n s jd i r e n t i a le q u a t 沁n s ，【川8 3 ：1 7 9 - 2 0 6 ，1 9 9 0 8 jmc 画c e r e s ，j r o s c a n i l o “gt i m eb e h a v i o rf o rai i o n l i l l e a rf o u r t h o r d e rp a r a b 0 1 i c 。q u a c i o nn a n sa m e r m a t h s o c j j 2 0 0 4 【9 a j 面i l g e l g t 0 s c a n ie x p 0 e n t j a lt i m ed e c a yo fb o l u t i 。n st oan o n l l n e a rf o l l r t h o r d 盯 p a r a b 0 1 i ce q u a t i o n za i l g e w m a t l l p h y s 【j 5 4 ：3 7 7 - 3 8 b 2 0 0 3 1 0 jmt g y ia da j 证n g e l aq u a m u mr e g u l 盯i z a t i o no ft h eo n e - d e l e n s i o n a lh y d r o d y n a m i c r r l o d e l 工o rs e m i c o n d