（应用数学专业论文）一类路径依赖型养老金的定价分析.pdf

摘要 y65 1 57 5 路径依赖型( p a t h - d e p e n d e n t ) 养老金的受益是相当复杂的不确定权益，生存受益与死 亡受益均依赖于工资水平的历史路径( 若再复杂一些，还可以依赖于投资帐户价值) ，其 定价问题已经超出了传统精算方法的范畴，而更类似于金融衍生品定价。本文利用金融经 济学中的不确定权益定价方法对这种类型的养老金进行定价分析。 文章首先对养老金定价闷题作一个简单的介绍，并提出了路径依赖型养老金的背景与 假设条件，讨论了这种保险产品的金融意义。 然后使用偏微分方程来处理路径依赖型养老金定价问题。在第二章中，在利率为常数 的假设下，归结出一个包含两维空间变量的定价方程。再利用相似解化简方法，对此定价 模型进行降维处理，并导出边界条件，进而使用有限差分法求出方程的数值解。在第三章 中，在利率为随机的假设下，归结出一个包含三维空间变量的定价方程，并对此模型作 些初步分析。 在文章的最后一部分，结合近年来较为流行的g o b ( g r e a t e ro fb e n e f i t ) 型养老金，提 出路径依赖型g o b 养老金的定价模型，并提出了一些值得探讨的问题。 关键词：路径依赖；不确定权益方法；无套利；风险中性概率铡度；i t 6 引理；相似解 有限差分法 a b s t r a c t t h eb e n e f i t sp r o m i s e db yp a t h - d e p e n d e n tp e n s i o ns c h e m e s ，a r er a t h e rc o m p l e xc o n t i n - g e n tc l a i m s b e c a u s eb e n e f i t so ft h i st y p ed e p e n do nt h eh i s t o r yo fs a l a r y , t h e i rv a l u a t i o n a r eb e y o n dt h ed o m a i no ft r a d i t i o n a la c t u a r i a lm e t h o d s t h i sp a p e ri st ov a l u e o na n i n d i v i d u a lb a s i s ，s u c hap e n s i o nb ya p p l y i n gt h ec o n t i n g e n tc l a i m sv a l u a t i o na p p r o a c h f i r s t l w ei * l t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to fp e n s i o n p r i c i n gp r o b l e m s ，t h e n ，w eg i v et h e b a c k g r o u n da n db a s i ca s s u m p t i o n sa b o u tp a t h - d e p e n d e n tp e n s i o ns c h e m e s ，a n dd i s c u s st h e v i r t u e so ft h i sp r o d u c t t h e n ，w ew i l ls o l v et h ep r o b l e m sw i t hp d ea p p r o a c h i nc h a p t e r2 w ea s s n i n et h e i n t e r e s tr a t ei sc o n s t a n ta n do b t a i na p r i c i n gp d e w i t ht w os p a c ev a r i a b l e s a f t e rt h a t w e u s es i n l i l a r i t yr e d u c t i o nt og e tas i m p l ep d ew i t ho n l yo n es p a c ev a r i a b l ea n di t sb o u n d a r y c o n d i t i o n s a n dw eu s et h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o dt os o l v ei ti nc h a p t e r3 w ea s s u i n e t h ei n t e r e s tr a t ei ss t o c h a s t i ci n s t e a da n do b t a i na p r i c i n gp d e w i t ht h r e es p a c ev a r i a b l e s a n dw ed os o n l ee l e m e n t a r ya n a l y s i sf o ri t i nt h ee n d ，w ed e d u c ep a t h - d e p e n d e n tg o b p e n s i o ns c h e m e sc o m b i n e dw i t hp o p u l a r f i n a n c i a lp r o d u c t g o bp e n s i o ns c h e m e s ，a n dp u tf o r w a r ds o m e c h a l l e n g i n gp r o b l e m sf o r f u r t h e rr e s e a r c h k e y w o r d s ：p a t h d e p e n d e n t ；c o n t i n g e n tc l a i m sa p p r o a c h ；a r b i t r a g ef r e e ；r i s kn e u t r a lp r o b - a b i l i t ym e a s u r e ；i t 5 sl e m m a ；s i m i l a r i t ys o l u t i o n ；f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d 刚吾 众所周知，一个国家养老金计划措施的完善与否，是其文明程度的主要标志之一。 因此，对养老金产品的研究开发。具有极其重要的研究价值与实践意义。传统的养老 金产品一般分为两种；d b ( d e f i n e db e n e f i t ) 型养老金与d c ( d e f i n e dc o n t r i b u t i o n ) 型养老 金。d b 型养老金规定了职员在退休后每月所能获得的养老金金额。最常见的形式是退 休时丁资的固定比例。而d c 型养老金则只规定在职员工作期间每月向投资帐户缴纳的金 额( 一般是工资的固定比例) ，养老基金负责这笔资金的投资管理。在退休时，职员将 获得投资帐户的余额。近年来，在一些西方国家( 如美国，加拿大) ，还出现了一种称 为g o b ( g r e a t e ro fb e n e f i t ) 型养老金的保险产品，和d c 型养老金类似，这种类型的养老金 同样规定职员在工作期间的缴纳额，但g o b 型的退休金是d b 型养老金与d c 型养老金的最 大值，即可以给职员提供更大的保障，因此这种保险产品具有更强的实用性。 本文研究一类路径依赖型养老金，顾名思义，养老金受益( 包括生存受益及死亡受 益) 必然与工资水平的历史状态有关。d b 型养老金的生存受益为a t s t ，其中为比例常 数，t 为养老金汁划的年限，曲为职员退休时的工资水平，而路径依赖型养老金的生存受 益修正为n tm a xs ( r 】。由此可见，路径依赖型养老金具有更强的保障性，因而对它的分 0 5 r s t 析极具现实意义。 养老金定价最初一般采用传统的精算方法，类似于保单定价。这种方法建立在一系列 确定的精算假设( 包括关于死亡率。工资增长率与零j 率的假设) 基础上。而在实际当中。 各种因素的变化往往是难以预测的，对于路径依赖型养老金这样的新型产品，传统精算方 法似乎有些束手无策。 在金融经济学中，不确定权益方法常被用于金融衍生品的定价，在处理随机因素方面 取得了良好的效果( 参见【4 ，f 5 】，【8 】， 1 0 l ，【1 1 】，【1 2 】，f 1 5 】， 1 6 】) 。近年来，多位学者 试图采用这种方法来解决养老金以及其它保险产品的定价问题，例如s h i m k o ( 1 9 9 2 ) 与沈玮 熙( 2 0 0 0 ) 将其应用于保单定价，而b a d n e l l o ( 2 0 ) 与s h e l l i s ( 1 9 9 贼采用这种方法来研究养 老金定价问题。 本文引入了工资以及利率的随机性，结合不确定权益方法与传统精算方法，使 用p d e 作为基本工具来解决一类路径依赖型养老金的定价问题。 在第一章中，主要介绍了模型的有关背景与基本假殴。 在第二章中。假设利率为常数，运用不确定权益定价方法归结出一个包含两维空间变 量的定价p d e 。在利用相似解化简对方程降维后，进一步求出了方程的数值解。 在第三章中，使用比较符合实际的随机利率模型，在此假设下得到了一个包含三维空 间变量的定价p d e 。并对此模型作了一些简单的分析。 在第四章中，结合目前日益流行的g o b 型养老金，考虑了一类兼其路径依赖性 与g o b 性的养老金产品，在对其做了初步讨论的基础上，提出了值得进一步探讨的一 些问题。 第一章 引言 1 1 养老金定价简介 人口老龄化现象自1 9 世纪后期在发达国家出现以来，已引起各国的关注。在发展中国 家，随着人口平均寿命的不断延长，人口结构也开始向老龄化方向发展。据专家预计， 到2 0 3 0 年全球老龄人口占总人1 2 1 比例将由目前的9 上升至1 6 。面对即将到来的全球性的 银色浪潮，世界各国一直在探索解决人口老龄化带来的一系列社会问题，至今已产生了各 具特色的养老金保险制度( 参见f 1 1 ，1 2 1 2 ，f 3 1 ，6 1 ，f 7 1 ，9 1 ) 。 根据具体给付方式的不同，早期养老金计划又分为规定受益制( d e f i n e db e n e f i t ) 计 划和规定缴费制( d e f i n e dc o n t r i b u t i o n ) 计划两种。d b 型养老金规定了职员在退休后每 月所能获得的养老金金额。最常见的形式是退休时工资的固定比例。而d c 型养老金则只规 定在职员工作期间每月向投资帐户缴纳的金额( 一般是工资的固定比例) ，养老基金负责 这笔资金的投资管理。在退休时，职员将获得投资帐户的余额。 近年来，在一些西方国家( 如美国，加拿大) ，还出现了种称为g o b ( g r e a t e ro f b e n e f i t ) 型养老金的保险产品。和d c 型养老金类似，这种类型的养老金同样规定职员在 工作期间的缴纳额，但g o b 型的退休金是d b 型养老金与d c 型养老金的最大值。显然， 与d b 型养老金与和d c 型养老金相比，g o b 型的退体金可以给职员提供更大的保障空间。 目前又出现了一种新型养老金保险产品一一路径依赖型养老金。顾名恩义，该养老金 计划的受益( 包括生存受益及死亡受益) 不仅依赖于职员当时的工资水平，还依赖于工资 水平的历史状态，例如依赖于工资某种意义下的平均值或是最大值。本文重点讨论一类路 径依赖型养老金，其生存受益修正为o t i 孕唆s ( r ) 。亦即其生存受益依赖于该职员在养老 金计划期限内工资水平的最大值。可以看出，这种新型的养老金产品价格不但依赖于时 间t 以及职员退体时的工资水平s ，而且依赖于一个新的变量一一职员在养老金计划期限内 工资的最大值粤唑s ( r ) ，因此其定价复杂程度远远大于一般的养老金产品。同时，由此 类路径依赖型养老金的生存受益可知其具有更优良的保障效果。 传统精算学般采用类似于保单定价的方法进行养老金产品定价。这种方法建立在一 系列确定的精算假设( 包括关于死亡率，工资增长率与利率的假设) 基础上。而在实际当 中，养老金计划往往长达数十年，在这期间内，由于种种不确定因素( 例如利率，通胀， 以及本人身体状况) ，对职员的工资水平很难事先给出确定的假设，因此，设工资水平为 一随机过程应该是合理的假设。此时，养老金定价相当于金融经济学中不确定权益定价问 题，此类方法已在d c 型养老金，g o b 型养老金定价中使用，并取得了良好的效果。而对 于本文所时论得的一类路径依赖型养老金，则更类似于路径依赖型金融衍生品定价问题。 1 2 基本假设 下而给出本文的符号与假设 ( 1 ) 记z o 为职员参加养老金计划时的年龄，z 为职员的当前年龄，u 为法定退休年龄。设 时间轴的起点对应于职员参加养老金计划的时刻，时间单位为年，令t = z z o ，则 有t 【0 ，t 】，其d e t = u 一茁o 。 ( 2 ) 市场无套利因此必然存在一个风险中性概率测度q ( 参见 1 7 】) 。 ( 3 ) 设t 时刻职员的工资为，且满足随机微分方程： d s = ( t ，s ) d t 十口( t ，s ) d w( 11 ) 其中w 为标准b r o w n 运动。为简单起见，本文设职员工资满足几何b r o w n 运动，即有 d s = a s d t + c r s d w ( 1 2 ) 其中o 为工资的增长率，口为工资的波动率。 并且假设s 在风险中性状态q 下的运动方程调整为 d s = a 4 s 如十a s d w +( 1 3 ) 其中为风险中性概率测度q 下工资的增长率。 ( 4 ) 肛( 。) 表示。岁职员的死亡效力。 ( 5 ) 规定此养老金计划没有中途退出，只有中途死亡与退休两种退出方式( 即不存在自 由退保问题) 。 需要注意的是，文中出现的记号s ( t ) ，s t 表示同一随机过程几何b r o w n ：i 主动 在不至于引起混淆的情况下，简记为s 。 2 第二章 常数利率下的定价模型 本章在利率为常数r 的假设下，导出一类路径依赖型养老金定价模型二维空间变 量的抛物型方程，再利用相似解化简( s i i n i l 嘶t yr e d u c t i o n ) 将此方程化为一维空间变量的 抛物型方程。进而利用c r a n k _ n t l c o l s o n 方法对此方程进行数值求解并对结果进行分析。 2 1 模型的建立 假设利率r 保持恒定，在假设( 1 ) 一( 5 ) 的基础上，考虑如下养老金计划： 如果职员中途死亡，则职员指定的受益人可获得死亡受益k s ，其中k 为常数； 如果职员生存至退休年龄，则可获得生存受益灯m 缸s ( r ) ，其中a 为常数，t 为养 老金计划的年限。定义随机过程 j 2 蛊戮s ( r ) ( 2 1 ) 显然，( ) 表示区间 0 ，t 】上职员工资水平的最大值，则此时职工的生存受益可以简记 为a ? 打。记此养老金产品价格为v = 矿( s ，正) 。 注意到d b 型养老金提供的生存受益为a t s t ，而路径依赖型养老金提供的生存受益 为a t , 厅，显然可知a t j t a t s t ，即路径依赖型养老金可以提供更为优良的保障效 果。但是，同时注意到，对于d b 型养老金产品，生存受益为a t s r ，它的价格只依赖于 时间t 与职员工资水平s ，因此对它的定价分析可以纳入金融衍生品的b l a c k s c h o l e s 定价理 论体系。而对于路径依赖型养老金，生存受益修正为a t , i v ，此时养老金的价格不仅依赖 = 】_ _ - 时间t 与职员工资水平s ，而且依赖于一个路径依赖量j ，显然i b l a c k s c h o l e s 理论不能直 接应用于此种情形，定价过程变得更为复杂。进而可以知道。问题的关键在于对路径依赖 量j 的性质分析。 为利用金融经济学风险中性定价理论导出y ( s ，正t ) 的定价模型引入随机过程 r 亡、砉 厶= l ( s ( r ) ) ”打)( 2 2 ) j o 由泛函分析范数等价定理可知 矗_ j _ 斗o o )( 2 3 ) 3 首先考虑d v ( s , ，t ) ，由i t 6 引理可知 d 厶= 吾1 两s n 丽出 注意到s j ，所以 ls n n ( ) ”1 0 一o 。) 因此 州，归罾出+ 瓦o v d + 嚣姗j 1 丽0 2 v 舻 再令n _ 0 0 ，可得 ( 2 4 ) ( 2 5 ) d y ( s ，正t ) = 瓦o v 出+ 丽o v 嬲+ j 1 而o a v d s 2 = ( 罾+ a + s 筹+ ；豢一2 s 2 ) 出+ 丽o v ，s d w 一 则在时段ht + d t ，养老金的期望资本收益为： e g g = e q m = 倦“s 嚣+ 秘2 等1 出 。， 由此养老金产品的保险责任可知，在时段h t + d t 1 匈，它的期望现金收益为： e c f 2 i u ( x o + t ) ( k s v ) d t ( 2 7 ) 。堡塑全型兽塑黉婴旦，变璺堕中性状态下，i t , t + 叫时段内期望资本收益与期望现金 收益之和应该等于以无风险利率所产生的增值r p 能( 参觅 工2 l ，f l7 j ，【1 8 j 。，一 1 9 1 ) 。，丽 e c g + e c f = r v d t ( 2 8 ) 整理得： 罾埘s 丽o v + 秘z 翥+ p ( x o + t 膨却州埘啪y ：o 由此养老金产品的保险责任可知模型的终值条件为： v ( s ，正= a t j 这样我们就得到了利率为常数r 时路径依赖型养老金的定价方程： 酉o v 十“, 。_ 丽o v + 抄1 2 丽0 2 v 坼。螂s 一( r 懈。删( 2 ，9 ) v ( s ，z t ) = a t j 考虑简单情形：k = o = l ，t ( x o + t ) = 卢，p 是常数，此时定价模型简化为 罾埘s 筹印12 s 2 丽0 2 v 懈一缈 ( 2 1 0 ) v ( s ，正t ) = t j 4 2 2 偏微分方程的简化 本节利用相似解化简方法对方程进行降维处理。 令y = j w ( f ，t ) ，其中f = s j 。由复合变量求导法则，有 s ) = 一e 警 j 罾w 页o w 岬12 2 等州廿州删( 2 1 1 ) 1w ( 4 ，t ) = t 显然，此时二维空间变量问题转化为一维空间变量问题，大大减少了原问题的复杂 性，并且由于少了一个维数，模型数值计算过程的速度会得到很大的提高。 2 3 边界条件分析 为得到模型的数值解，下面具体分析其在s = o 与s = j 处的边界条件。 显然s = 0 时边界条件为v ( o ，工= t ，e - k t t ) 。 至于另一个边界条件的导出则颇为巧妙( 参见【2 0 】， 2 1 】，【2 6 】) ，此处略去证明过程 而只给出如下结论： = 0 s = j d j 即模型在s = 0 与s = j 处的边界条件为 相应地，有 1 = t ，e - - k t t ) d ns = j te r ( t t ) o n f = 1 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 耋絷蝶 一冼一钾御一群w一甜 t 0 = 忡里w ，i_，、l-_【 = 5 力 l l 岬鲨西，i-，、_it_ 2 4数值求解 综上所述定价模型可以化妇为如下偏微分方程 模型i 罾w 面o w 增1 弩等州叶州= 。 吣t ) 一 ( 2 1 4 ) w ( o ，= t e r ( t - t ) 箦= w 一 取定不同的参数值，可以得到模型i 相应的数值结果。考虑如下三种情形： 情形一：q + = 0 0 3 ，r = 0 、0 2 5 ，盯= 0 0 2 ，“= 0 0 1 情形二：矿= o 0 3 ，r = 0 0 2 5 ，口= 0 o l 弘= 0 0 l 情形三：；0 ，0 3 ，r = 0 0 2 5 ，口= 0 0 2 ，弘= 0 0 2 本文假定2 0 = 2 0 ，u = 6 0 ，并取时间变量t 方向步长为1 0 ，空间变量f 方向步长 为o 1 ，利用c r a a k - n i c o l s o n 方法，可得模型i 的数值结果如表2 1 2 3 所示。 解得w ( f ，t ) 后，由关系式v = j ( f ，t ) ，可以得到相应v ( s ，正t ) 的值。例如，当t = 1 0 ，s = 4 0 ，【，= i 0 0 时f = 0 , 4 ，此时w ( o 4 ，l o ) = 1 2 9 6 2 9 ，v ( 4 0 ，1 0 0 ，1 0 ) = 1 0 0 w ( o ，4 ，1 0 ) = 1 2 9 6 2 9 。同理，对于任何一个三元组( 最j ) ，均可类似得到相应的养老 金价格v ( s ，正t ) 。 观察计算结果可得如下结论： ( 1 ) 参数r ，o ，p 变化会引起养老金产品现金价值变化，而且这种变化是有规律的。例 如，死亡效力且增大使得相应的产品现金价值减小，这显然有合理的解释。 ( 2 ) 同一组参数下，= 1 时养老金的现金价值最大。 2 5 进一步推广 2 1 一鹳4 具体讨论了只有生存受益具有路径依赖性质旨辱定价问题，本节进一步讨论生 存受益与死亡受益均具有路径依赖性质的养老金产品定价问题。即养老金的保险责任改 为： 如果被保险人中途死亡，则保单持有人可获得死亡受益j ，其中为常数： 如果被保险人生存至退休年龄，则可获得生存受益a t j ，其中d 为常数，= o m ，“x s ( r ) a 与2 1 相同，此时养老金的期望资本收益仍为 e g g = e o d r 】= f 瓦o v 坩s 两o v 坶12 s z 豢卜 但要注意的是，此时养老金的期望现金收益改为 6 同样由 o o + ) ) v = 0 边界条件仍然为 v ( s ，z = a t j 即生存受益与死亡受益均具有路径依赖性质的养老金定价方程为 ( 2 1 5 ) 浮o v j _ 两o v 叩1 2 铲丽0 2 v 忡“卜c r + 比o + 啪阽。 眨峋 iv ( s ，正t ) = a t j 同样，只考虑= o = 1 ，, u ( x o + t ) = p 时的简单情形。定价方程如下 瓦a v + 。, 。两o v + 2 面0 2 v 州一c m ，y = ” 。， y ( s z t ) = t j 此时边界条件仍为 1 = t j e r ( t t ) o ns = j 仍令y = j w ( ，f ) ，= s j ，则方程化为 罾柑s 瓦o w 十缸2 可0 2 w 协坍一眨埘 1w ( f ，t ) = t 相应的边界条件为 f j ( o ，。) 2 1 尝： l 佻 7 t e r ( t 一) m = 1 n 小 w 啪 刚 印 以 以 + 肚有塑秽0 脚 卜 a 一知 t o 一 一一 呻竖盯 ，、l 类似可得生存受益与死亡受益均具有路径依赖性质的定价方程： 模型i i 詈埘e 篝+ 等+ 州m ，= 。 吣t ) 汹) w ( o ，t ) = t e r ( t - t ) 警= w 。啦- 同理，取定不同的参数值，可以得到模型i i 相应的数值结果。同样考虑如下三种情 形： 情形一：o + = 00 3 ，r = 0 0 2 5 ，盯= 0 0 2 ，灿= 0 0 1 情形二：o + = 00 3 ，r = 00 2 5 ，o - = 0 毗，“= 0 0 1 情形三：o + = 0 0 3 ，r = o 0 2 5 ，口= 0 0 2 ，“= o 0 2 仍然假定。o = 2 0 ，u = 6 0 ，并取时问变量t 方向步长为1 0 ，空间变量方向步长 为0 1 ，利用c r a n k n i c o l s o n 方法，可得模型i i 的数值结果如表2 乒2 6 所示。 此时，同样可以山关系式v = ，彤( 专t ) 求出相应养老金产品y 限z ) 的值。例如， 当t = 1 0 ，s = 4 0 ，j = 1 0 0 时，= 0 4 ，弛j w ( 0 4 ，1 0 ) = 1 3 0 3 2 2 ，v ( 4 0 ，1 0 0 ，1 0 ) = 1 0 0x w ( 0 4 ，1 0 ) = 1 3 0 3 2 2 。 对模型i i 的计算结果做一分析，同样可得如下结论： ( 1 ) 参数r ，口，p 变化会引起养老金产品现金价值变化，而且这种变化是有规律的。例 如，死亡效力肚增大使得相应的产品现金价值减小，这显然有合理的解释。 ( 2 ) 同唾 参数下，= 1 时养老金的现金价值最大。 最后，对比模型i 与模型i i 的计算结果可知：同样情况下，模型i i 的解总是大于等于模 型i 的解，这是符合实际金融背景的。因为由两个模型的保险责任知它们的生存受益相同， 而模型i i 具有更大的死亡受益( 亦即可以给被保险人提供更大的保障) ，所以模型i i 中的 养老金产品具有更大的现金价值。 需要说明的是，为简便起见，本文仅对死亡率为常数的特殊情形进行数值求解。更一 般地，可以采用中国人寿保险业经验生命表( 1 9 9 0 1 9 9 3 ) 养老金业务综合表( c l 6 ) ， 并且在整数年龄之间进行线性插值，则可得到更为贴近实际的数值结果。 8 t = 0 1 = 0 2 = 0 3 = 0 , 4 = 0 5 0 8 0 8 6 38 1 4 1 9 8 9 2 6 41 1 2 2 8 61 3 9 6 6 1 l8 4 1 4 7 8 4 6 1 99 1 2 6 21 1 3 4 5 41 4 ，0 9 7 4 28 7 5 6 68 ，7 9 7 69 3 4 9 31 1 4 6 7 81 4 2 3 0 2 39 ，1 1 2 69 1 4 9 29 5 9 8 01 1 ，5 9 7 81 4 3 6 4 6 49 4 8 3 19 5 1 6 69 8 7 3 91 1 7 3 7 4 1 4 5 0 0 8 5 9 8 6 8 79 9 0 0 11 0 1 7 8 31 1 8 8 9 31 4 6 3 9 0 6 1 0 2 7 0 21 0 3 0 0 01 0 5 1 1 81 2 ，0 5 6 61 4 ，7 7 9 8 71 0 6 8 8 11 0 7 1 6 71 08 7 4 81 2 2 4 3 31 4 9 2 3 6 81 1 1 2 3 11 1 ，1 5 0 71 1 2 6 6 91 2 4 5 3 51 5 0 7 1 4 91 1 5 7 6 01 1 6 0 2 71 1 6 8 7 41 2 6 9 1 8 1 5 2 2 4 5 1 01 2 0 4 7 31 2 0 7 3 31 2 1 3 5 31 2 ，9 6 2 91 5 3 8 4 8 1 11 2 5 3 8 01 2 5 6 3 21 2 ，6 0 9 71 3 2 7 1 51 5 5 5 4 7 1 21 3 0 4 8 8 1 3 ，0 7 3 21 3 1 0 9 41 3 6 2 1 51 5 7 3 7 7 1 31 35 8 0 51 3 6 0 4 1 1 3 6 3 3 91 4 0 1 6 11 5 9 3 8 1 1 41 4 1 3 3 9 1 4 1 5 6 81 4 1 8 2 71 4 4 5 7 11 6 1 6 1 7 1 51 4 7 1 0 0 1 4 7 3 2 21 4 7 5 5 61 4 9 4 5 11 6 4 1 5 0 1 61 5 3 0 9 71 5 3 3 1 11 5 3 5 2 91 5 4 7 9 1 1 6 7 0 6 0 1 71 5 9 3 4 01 5 9 5 4 51 5 9 7 5 31 6 0 5 7 1 1 7 0 4 3 1 1 81 6 ，5 8 3 81 6 6 0 3 61 6 6 2 3 41 6 6 7 6 11 7 4 3 4 5 1 91 7 ，2 6 0 21 72 7 9 21 7 2 9 8 11 7 3 3 3 31 7 8 8 8 0 2 01 79 6 4 3 1 7 9 8 2 41 8 0 0 0 61 8 ，0 2 5 81 8 4 0 8 9 2 1 1 8 6 9 7 21 8 7 1 4 51 8 7 3 1 81 8 7 5 1 91 9 0 0 0 0 2 21 9 4 6 0 1 1 9 4 7 6 61 9 4 9 3 11 9 5 1 0 51 9 6 6 0 6 2 32 0 2 5 4 3 2 0 2 6 9 92 0 2 8 5 62 0 ，3 0 1 52 0 3 8 6 7 2 42 1 0 8 0 92 1 0 9 5 72 1 1 1 0 52 1 1 2 5 4 2 1 1 7 2 0 2 52 1 ，9 4 1 42 1 9 5 5 32 1 9 6 9 32 1 9 8 3 22 2 0 0 9 6 2 62 2 8 3 7 12 2 8 5 0 22 2 8 6 3 22 2 8 7 6 32 2 8 9 3 4 2 72 3 7 6 9 52 3 ，7 8 1 62 3 7 9 3 82 3 8 0 6 02 3 8 1 9 3 2 82 4 7 4 0 02 4 7 5 1 32 4 7 6 2 62 4 7 7 3 92 4 7 8 5 4 2 92 5 7 5 0 2 2 5 7 6 0 62 5 7 7 1 02 5 ，7 8 1 52 5 7 9 1 9 3 0 2 6 8 0 1 82 6 8 1 1 32 6 8 2 0 82 6 8 3 0 32 6 8 3 9 9 3 l2 7 8 9 6 42 7 9 0 5 02 7 9 1 3 62 7 9 2 2 22 7 9 3 0 8 3 22 9 0 3 5 82 9 0 4 3 52 9 0 5 1 22 9 0 5 8 92 9 ，0 6 6 6 3 33 0 2 2 1 83 0 2 2 8 63 0 2 3 5 33 0 ，2 4 2 13 0 2 4 8 9 3 43 14 5 6 43 1 4 6 2 23 1 4 6 8 03 1 ，4 7 3 93 1 4 7 9 7 3 53 27 4 1 53 2 7 4 6 33 2 7 5 1 23 2 7 5 6 13 2 7 6 1 0 3 63 4 ，0 7 9 13 4 0 8 3 13 4 0 8 7 03 4 0 9 0 93 4 0 9 4 8 3 73 5 4 7 1 53 5 4 7 4 53 5 4 7 7 43 5 4 8 0 43 5 4 8 3 4 3 83 6 9 2 0 93 6 9 2 2 93 6 9 2 4 93 6 9 2 6 93 6 9 2 8 8 3 93 8 4 2 9 63 8 ，4 3 0 63 8 4 3 1 63 8 ，4 3 2 63 8 4 3 3 6 4 04 0 0 0 0 04 0 0 0 0 04 0 0 0 0 04 0 ，0 0 0 04 0 0 0 0 0 表2 1 ：模型i 的数值结果情形一 参数取值：= o 0 3 ，r = 0 0 2 5 ，口= o 0 2 ，肛= 0 0 1 9 t = 0 6 = 0 7 = 0 8 = 0 9 = 1 0 01 6 7 3 3 81 9 5 0 6 52 2 2 8 3 32 5 0 6 3 52 78 4 6 9 11 6 8 9 0 81 96 8 9 52 2 4 9 2 32 5 2 9 8 72 8 1 0 8 2 21 7 0 4 9 31 9 8 7 4 32 2 7 0 3 42 5 5 3 6 12 8 ，3 7 2 0 31 7 2 0 9 42 0 0 6 0 92 2 9 1 6 62 5 7 7 5 92 8 6 3 8 4 41 73 7 1 02 0 2 4 9 32 3 1 3 1 82 6 0 1 8 02 8 ，9 0 7 3 51 7 5 3 4 32 0 4 3 9 62 3 3 4 9 22 6 2 6 2 42 9 1 7 8 9 61 7 6 9 9 12 0 6 3 1 72 3 5 6 8 62 6 5 0 9 22 9 4 5 3 2 71 7 8 6 5 72 0 8 2 5 72 3 7 9 0 22 6 7 5 8 52 9 7 3 0 1 81 8 0 3 3 92 1 0 2 1 62 4 0 1 4 02 7 0 1 0 23 0 0 0 9 7 91 8 2 0 3 92 1 2 1 9 32 4 2 3 9 92 7 2 6 4 33 0 2 9 2 1 1 01 83 7 5 82 1 4 1 9 12 4 4 6 8 02 7 5 2 0 93 0 5 7 7 2 1 l1 85 4 9 82 1 6 2 0 72 4 6 9 8 42 7 7 8 0 03 0 8 6 5 0 1 21 8 7 2 6 12 1 8 2 4 42 4 9 3 1 02 8 0 4 1 63 1 1 5 5 7 1 31 8 9 0 5 32 2 0 3 0 02 5 1 6 5 92 8 3 0 5 83 1 4 4 9 2 1 41 9 ，0 8 8 i2 2 2 3 7 72 5 4 0 3 02 8 5 7 2 53 1 7 4 5 6 1 51 9 2 7 5 62 2 4 4 7 62 5 6 4 2 52 8 8 4 1 93 2 0 4 4 9 1 61 9 4 6 9 72 2 6 5 9 62 5 8 8 4 32 91 1 3 93 2 3 4 7 0 1 71 9 6 7 3 02 2 8 7 4 02 6 1 2 8 52 93 8 8 53 2 6 5 2 2 1 81 9 8 8 9 62 3 0 9 1 02 6 3 7 5 02 9 6 6 5 83 2 9 6 0 3 1 92 0 ，1 2 5 02 3 3 1 1 22 6 6 2 4 02 9 9 4 5 83 3 2 7 1 4 2 02 0 ，3 8 7 02 3 5 3 5 22 6 8 7 5 53 0 2 2 8 53 3 5 8 5 5 2 l2 b 6 8 5 72 3 7 6 4 42 7 1 2 9 43 0 5 1 4 03 3 ，9 0 2 7 2 22 1 ，0 3 3 82 4 0 0 1 02 7 3 8 6 03 0 8 0 2 33 4 2 2 3 0 2 32 1 4 4 5 52 4 2 4 8 92 7 6 4 5 43 10 9 3 43 4 5 4 6 4 2 42 1 9 3 5 82 4 5 1 3 82 7 9 0 7 83 1 3 8 7 33 4 ，8 7 3 0 2 52 2 5 1 7 82 4 8 0 4 92 8 1 7 3 93 1 ，6 8 4 13 5 2 0 2 7 2 62 3 2 0 0 12 5 1 3 5 52 8 4 4 4 73 1 9 8 3 83 5 5 3 5 7 2 72 3 9 8 4 32 5 5 2 4 42 8 7 2 2 33 2 2 8 6 5 3 5 8 7 1 9 2 82 4 8 6 3 92 5 9 9 5 32 9 0 1 0 43 2 5 9 2 33 6 2 1 1 3 2 92 5 8 2 6 02 6 5 7 4 82 9 3 1 5 93 2 9 0 1 33 6 5 5 4 1 3 02 6 8 5 5 62 7 2 8 7 62 9 6 5 1 33 3 2 1 3 93 6 9 0 0 3 3 12 7 9 4 0 52 8 1 4 8 43 0 0 3 7 33 3 5 3 0 83 7 2 4 9 7 3 22 9 0 7 4 42 9 1 5 3 43 0 5 0 6 93 3 8 5 3 63 7 6 0 2 6 3 33 0 2 5 5 63 0 2 7 9 33 1 1 0 6 93 4 1 8 6 23 7 9 5 8 9 3 43 1 4 8 5 53 1 4 9 3 43 1 8 9 1 63 4 5 3 7 03 8 3 1 8 6 3 53 2 7 6 5 93 2 7 7 0 83 2 9 0 1 23 4 9 2 5 73 8 6 8 1 6 3 63 4 0 9 8 73 4 1 0 2 73 4 1 2 5 43 5 ，3 9 6 53 9 ，0 4 7 5 3 73 5 4 8 6 33 5 4 8 9 33 5 4 9 2 73 6 0 4 3 73 9 4 1 5 2 3 83 6 9 3 0 83 6 9 3 2 83 6 9 3 4 83 7 0 2 9 83 9 7 8 0 8 3 93 8 4 3 4 63 8 4 3 5 63 8 4 3 6 63 8 4 3 7 63 9 9 9 6 3 4 04 0 ，0 0 0 04 0 ，0 0 0 04 0 0 0 0 04 0 0 0 0 04 0 0 0 0 0 表2 1 ：模型i 的数值结果情形一( 续) 参数取值：o + = 00 3 ，r = 0 0 2 5 ，口= 0 0 2 ，“= 0 0 l i o t = 0 1 = 0 2f = 0 , 3 = 0 4 = 0 5 08 0 8 0 38 1 2 7 38 7 8 7 91 1 ，1 5 2 71 3 8 9 5 6 184 1 2 78 4 5 1 78 9 8 7 41 1 2 6 1 51 4 0 2 6 0 28 7 5 4 68 7 9 0 89 2 1 4 31 1 3 7 4 11 4 1 5 7 6 39 1 1 0 69 1 4 4 89 4 7 0 81 1 4 9 2 21 4 2 9 0 6 4 9 ，4 8 0 19 5 1 4 09 7 5 8 31 1 6 1 7 91 4 4 2 4 9 5 9 8 6 6 79 8 9 8 61 0 0 7 7 21 1 7 5 4 31 4 5 6 0 6 6 1 0 ，2 7 0 01 0 2 9 9 2 1 04 2 7 21 19 0 5 6 1 4 6 9 7 9 71 0 6 8 6 11 0 7 1 6 31 0 8 0 7 11 20 7 6 91 4 8 3 6 9 8l l 。1 2 0 1l l ，i 5 0 51 1 2 1 5 51 2 2 7 4 21 4 ，9 7 8 1 91 1 ，5 7 5 01 1 6 0 2 61 1 6 5 0 41 25 0 4 21 5 1 2 2 2 1 01 2 0 4 5 31 2 0 7 3 31 2 1 1 0 31 27 7 3 5 1 5 2 7 0 5 1 11 2 5 3 6 01 2 5 6 3 2 1 2 5 9 3 81 3 0 8 8 01 5 4 2 5 1 1 2 1 3 0 4 6 81 3 0 7 3 21 3 1 0 0 11 34 5 2 21 5 5 8 9 3 1 31 35 8 0 01 3 6 0 4 11 3 6 2 8 81 3 8 6 8 i1 57 6 8 3 1 41 4 1 3 1 91 4 1 5 6 81 4 1 8 0 11 4 3 3 5 6 1 5 9 6 9 2 1 51 4 7 0 8 11 4 7 3 2 21 4 7 5 4 41 4 8 5 2 01 6 2 0 1 7 1 61 5 3 0 7 71 5 3 3 1 11 5 3 5 2 51 5 4 1 3 11 6 4 7 7 3 1 71 5 9 3 2 01 5 9 5 4 51 5 9 7 5 11 6 0 1 4 11 6 8 0 8 8 1 81 6 5 8 1 81 6 6 0 3 61 6 6 2 3 31 6 6 5 0 81 7 2 0 7 9 1 9i t ，2 5 9 21 7 2 7 9 21 7 2 9 8 l1 7 3 1 9 91 7 ，6 8 3 4 2 01 7 ，9 6 2 31 7 9 8 2 41 8 0 0 0 61 8 0 1 9 6 1 8 2 3 8 9 2 1 1 8 6 9 6 21 8 7 1 4 51 8 7 3 1 81 8 7 4 9 41 88 7 1 8 2 21 9 4