（光学专业论文）负折射率介质中的异常折射现象及其波导理论.pdf

摘要 电磁波在介质中的传播行为是由介电常数( p e r r a i t t i v i t y ) 与磁导率口 ( p e r m e a b i l i t y ) 来决定的。假如考虑没有能量损失的特殊情形，也就是考虑聍、 占、都为正实数的情况时，可发现在与同时变号的条件下，色散关系和折 射率是不会发生变化的。1 9 6 8 年v g v e s e l a g a 立刻对这样的结果作出推论：其一 我们可以假设当g 和u 同时变号时物质的性质不受改变；其二，或许和同时 为负值这种物理现象可能抵触某些基本的物理定律，使得没有一种物质被发现能 同时满足占 o 时，e 、l i 、k 将组成一右手系向量组；反之， 当e o 和g o 时，e 、h 、k 将组成一个左手系向量组。可以定义字符p ，它代 表介质的正向性( r i g h t n e s s ) 。对于左手系介质而言，p = 一l ；对于右手系介而 言，p 2 + 1 。用波印亭矢量来插述介质中电磁波能量的传播行为，如( 1 4 ) 式。 s = ( e x 日) ( 1 4 ) 以 而介质的电磁场由( 1 1 ) 与( 1 2 ) 式来描写。即是说波印亭矢量s 通常与e ， h 形成一个右手系统，能量传播方向与波矢方向k 同向。然而当系统为左手系 统时，s 与k 反平行。同时我们可以知道相速u ( 与k 同向) 与群速( 与s 同向) 反向。 i 单色平面波入射 一束平面电磁波从一介质到另一介质所必须满足的边界条件 ( b o u n d a r yc o n d i t i o n s ) 为： e 】= e 2 ，日= h t 2 6 1 e m = s 2 en 2 ，地h n = “2 hn l ( 1 5 ) ( 1 6 ) 其中，e 为电场，h 为磁场，t 代表切向分量，方向平行于介质表面；n 代表法 向分量，方向垂直于介质表面，如图( 1 4 ) 所示。不管两边介质的正向性是否 相同，边界条件是必须要遵守的。由( 1 6 ) 式知，e 和h 的x ，y 分量将不会 受到正向性影响而维持原方向。然而，对于z 分量的方向将会受到正向性影响 而改变。也就是说，当两介质正向性( r i g h t n e s s ) 不同时，z 轴分量方向将 改变。故电磁波经过两不问介质时，其强度会受到介电常数和磁导率的不同而 改变，并且其方向也会冈介l h 常数和磁导率的符号而影响j f 向性，使传播方向 的z 分最发生变化。即k 矢盈的法向分鞋改变。如图( 1 3 ) 所示。故可将斯 涅尔定理作一推广： s i n ：轧：旦 s i n e “ a ( 1 7 ) 其中p ，p 。分别表示两介质的正向性( r i g h t n e s s ) 。要注意的是负折射率介质 的折射率相对于真空来说是负值；( p 为入射角，m 为折射角。同样的，对于 负折射率介质中的异常折射现象及其波导理论 斯涅尔定理来严格定义也必须考虑正向性。 圈l 4 电磁场的边界条件( 电磁渡由介质1 射入介质2 ) i i 准单色平面波入射3 1 钔 考虑准单色平面波( q u a s i m o n o c h r o m a t i c ) 的入射情况。其频谱函数为f ( 订) ，谱宽6 可哼o ，所有频率分量的波矢k 均位于x z 平面，电场在y 方向。 该电磁波以入射角0 。由真空入射l h m 介质( 图i 5 ) 。得到满足边界条件的电 场： e ( t ，x ，z ) = j d c o f ( c o ) r ( c o ，b ) e t ( “一k 一：z 1 ( 1 8 ) 其中：= 詈s ，尼：= 詈口；：耵s = s i n 只 上式中，r e e ( e 的实部) 给出快速振动的电场：c 是真空中光速，t ( 可，0 ，) 为透射系数。符号。对于右手介质取+ 1 ；对于左手介质取一1 ；即k ：在满足边 界条件下将改变符号，k 连续。为简单起见，对于小角度入射，可假定瞄1 对 于l h m 介质，r e r l ， o 。对于耐8 伍 。 ( 1 由斯涅尔定理可知，群速折射角r i g 满足( 1 11 ) 式。对于小角度入射满足 ( 1 1 2 ) 式。由以上的讨论可知，一例准单色波进入l j h m 介质后，相遽将负向 折射，一群速将i 二向折射如图( 1 5 ) c 所示。 围1 5 删介质中相速与群速的折射情况 1 2 负折射率材料的制作及几种特殊的现象 1 2 1 人工制作的l h m 介质( 典型的s r r 结构) 迄今为止，已经有很多种办法来设计、制作l h m 介质。其中一种方法 就是”。：在玻璃板上利用一般的雕刻技术，结合以铜做的环共振器和导线的结 构，在平面上做成个二维矩阵列，使这一结构在微波频段可以被视为一左手系 物质。( 见图1 6 ) 负折射率介质中的异常折射现象及其波甘理论 圜1 6s 1 t l i ( 开口环共振器) 结构伺图 s r r 结构中第一个裂口( 上图左边) 的作用是加大共振波长使之远大于环 的直径；第二个裂口( 上图右边) 的作用是使的这一结构具有较大的电容，降 低共振频率，束缚电场。这一结构的电学性质由j b p e n d r y 做了较为详细的 讨论，并导出了下式引： 鳓：j 舆 ( 1 1 2 ) 砌2 百布 式中，物：s r r 的有效磁导率； 脚：入射波频率；r ：系统损耗因子 细导线部分的有效介电常数： 铲1 导 ( 1 1 3 ) 式中，。：导线阵列的等离子频率； 国：入射频率 由上两式很容易看出该系统存在一个频率( i 。时，取复数。f 。称为i 临界角 竺塑型奎坌堕! ! 塑墨箜塑盟塑叁丝! ! 鎏量竺堡 下面我们专门讨论i 。 i 。的情况。为此，首先介绍一下双曲正弦和双曲余弦函数： s 艋= 生( 双曲正弦函数)c 橛；生 ( 双曲余弦函数) 很容易看出，x 取任意实数时，双曲余弦函数总大于1 。由于 x ：半，i n x = c o s $ u 1 华从而可得 x = 一，一从f f 口刮得 c 。s 慨) = = c 胁 1 j c 。s ( 髓) = c h i 。时，s i n i 2 一1 ，故可令折射角f 2 为 i 2 ：一罢一i o ( 显然i i os i n ， 一。1 ) 22 一i 一 ( 显然 2 o 占2 ，1 2 0 e 。( x ) = a e o s h x + b s i n h x d j n ，非对称波导) 。这些参量满足 下列关系： b = p 2 = 1 一h 2 = q 2 一a 利用这些关系式，可以将t e 模的特征方程( 2 t 3 5 ) 式写为； 矿瓜= t a n - i 。压a n l 期孵m ( 2 3 7 ) 一 墨塑翌兰坌堕! 塑茎萱塑墅里墨墨些堕曼望竺 上式即为平面波导的色散方程。式中矿= o ，1 ，2 ，3 ，4 ，- + 5 根据( 2 。3 7 ) 式，可以模拟出普通波导和负折射率波导中的色散曲线( t e 模) ： b 图2 5 普通波导中的色散曲线( 取卢，l = + 1 ) ( 图中b 为归化的传播常数，v 是归一化频率下同) b v = 0 v = 1 v 2 z 萨，、。 r 、强 08 一 i n 06 一 ! 扩 势 图2 6 负折射率波导中的色散曲线( 取，l = 一1 ) 2 4 墨! 堕皇坌堕! 堕墨萱堑塑翌墨墨茎鎏呈墨堡 b v = 0 1o - v 2 1 v 。2 。_ 、。 、r ”鼍 一 i ： 舅 捌2 7 负折射翠波导中的色散曲线( 取，1 = 一2 ) 从图2 5 - - 图2 7 我们可以看出以下特点： 1 普通介质波导中( 图2 5 ) ，随着归一化频率v 的升高，模式远离截止。远离 截止状态时归一化传播常数6 ：塑型蚶_ 1 。即是说，远离截止时归一化 聆? 一n 7 的相位常数( ) 趋于芯层折射率( ”，) ；随着归一化频率的下降，模式趋于截 止。截止时候，归一化传播常数6 0 。此时，归一化相位常数( 口) 趋于衬 底折射率( 聆：) 。上面的结论用公式表示就是： 匆：拿一。( 矿j 佃，模式远离截止) 方；拿一盯： ( y jo ，模式截止) 2 芯层为l h m 介质的波导中( 图2 6 和图2 7 ) ，随着归一化频率的升高模，模 式趋于截止。而且截止的速度更快，色散曲线更加陡峭。特别需要注意的是当 v = 1 时，随归一化频率的下降，模式远离截止( ( b 寸0 ) ) ：随归一化频率的上 升，模式趋于截止( b 专0 ) 。这和普通波导中的情况刚好相反。这一特殊情况 用公式表示就是： 芯层为l h m 介质的平面波导中，若取， y 瓜一t a n 弋“j 击) + t ”1 儿j 等m 墨堑型童竺堕主塑墨萱堑塾堡墨垄茎鎏呈堡堡 那么， 扫2 鲁- ( 矿。十o o ，模式趋于截止) 扫：拿_ ”。( 矿寸o ，模式截止) 片0 2 功率分布 既然导模场在衬底和包层中按指数衰减，则大部分光功率将限制在薄膜层 中传输。平顽波导各层中输运的百分比功率定义为： r e f ( x 日) 出 r = b 条件下，酬是条 形波导的主模。先进行对三：。模式的分析： 1 e 二模： 在准t e m 近似下，可以将横向场量e ，和以占主导地位的传播模式称为 二模。一个传播模式，其场量应具有以下特点： 所有各区域中的场量沿z 轴方向的相位常数都相同，以口表示。这一条件 意味着所有各区域中的波以相同的速度沿z 轴方向传播，从而保证在z 轴方向 各点的电磁场边界条件总可以满足 l 区中的场量沿x 轴，y 轴方向都呈驻波分布。在周围的四个区域中场量在 与带条界面相垂直的方向上呈指数衰减分布，而在与界面平行的方向上呈驻波 分布，分布函数与i 区中的场量一致，以保证电磁场边界条件得以满足。 对于以任意方位角入射的光波来说，总可以在波矢k 空间中将其投影在k x k z 平面和k y k z 平面，分别称为“。分量和甜。分量。如下图。 x 对于占孟模式来说，场量以y 方向的电场和x 方向的磁场占支配地位。所 以对于“。分量来说它相当与水平偏振的波；对于“，分量来说它相当于垂直偏 振的波。接下来，有必要回顾一下一维情况波导中的模式分布 一 墨堡墅垩坌堕! 塑墨笪堑型垡墨丝苎鎏曼堡堡 a 一维情况 电场强度 黑点磁场强度 磁场强度 黑点电场强度 ( a ) 垂直偏振 ( b ) 水平偏振 上图所示坐标系中，水平偏振的入射波电场五、透射波电场e ：、反射波电 场e ，可分别写为： 置= e 0 1 e 一“1 ”= e o l e 一如1 8 4 “8 e 2 = e 0 2 e 一4 2 ”= e 0 2 e - i k 。n z ( x e o s “) e 3 = e e 一屿”= e 0 3 e 一( b + 。“ ( 2 4 2 ) 垂直偏振波的磁场强度有上述相同的表达式。由折射定律，得到： o l = 0 2 以ls i n o l = n 2s i n 0 2 ( 2 4 3 ) 定义界面上反射波电场与入射波电场之比为反射系数，记为r ：透射波电 场与入射之比为透射系数，记为t 。水平偏振波和垂直偏振波的r 和t 不同。 以水平波为例，其反射系数和投射系数分别为： r ：n 1c o s o , - 厨：- ：n ： ：s ：i ：n ：2 ：o = , c o s 0 , + h ；一h ? s i n 2o l 丁： 塾垩鱼一( 2 4 3 ) j= ；= ：= = = = = = = = = =j h lc o s a l + 行；一栉? s i n 20 1 其中，为导波层折射率；月：为上下两层的折射率；b 为入射角。在全反射条 件下，通过复数运算可以得出蠢是一个模为1 ，相角为2 的复数，即 r ：e x p 【聊 = e x p f 2 t a l l - 盘皇掣 ( 2 4 4 ) 行，c o s 执 式中2 庐是波在界面上发生全反射时，反射波与入射波之间的相位差，庐由下式 负折劓率介质中的异常折射现象及其波导理论 计算 = f a n - 1 蝗氅 ( 2 。；) n 、c o s h 全反射条件下，t 也是一个复数，同样通过复数运算，可以得出： ，：；! 等! ；! 呈兰拿。x p j ( 2 4 6 ) 理? 一 ； 上式中的妒仍由( 2 4 5 ) 式给出。将( 2 4 6 ) 式代入e 2 = e 0 1 t e i k o n 2 ( xe o s 6 2 + z m n 叫， 并注意到c o s 0 2 为虚数，可以得出 e 2 = e o l t e 一“e 一1 2 “b ( 2 4 7 ) 式中，口= k o 珂? s i n 2 0 l n ；，是场量在介质2 中的衰减常数。 对于一维情况下的波导，平面波在上下表面都满足全反射，在导波层外的 场量在垂直于界面方向上都按指数规律衰减，其衰减常数为 锡= k o 括五百一班2 ，龟= 橱i 百玛2 导波层中的场为入射场和反射场的叠加，形成沿x 方向的驻波分布和z 方向的 行波分布。在z 轴方向的相位常数为 卢= k o n ls i n 0 1 = k ： ( 2 4 8 ) 将芯层中的波矢量分解为两个分量 k 1 = k x e ，+ ：p ：= k o ”1 c o s 0 1 e ，+ k o n ls i n o a e ： ( 2 4 9 ) 沿x 方向的波在两个界面上，入射波和反射波叠加并形成稳定的驻波分布的条 件是： 2 k ，d 一2 凼一2 九= 2 m z ( 2 5 0 ) 式中。i n 为整数。也就是说，波在苍层j 内经上下两个界面两次反射再回到a 点， 拔伤绐径烫澎应建2 石膨墼物筹。式中d 为芯层厚度；2 改和2 九分别是两个界 面上全反射的附加相位差。( 2 5 0 ) 式称为泼的蔗扇辔：旋条缪。注意到： 戎= t a n 、j n 百( s i i n2 矿8 1 - n g = 蚀一1 詈，九= t a n 一1 詈 n c o s e 后，尼 又可以将( 2 5 0 ) 式写为： 叫一t a n 1 詈+ t a n 。詈h 石丘，七。 ( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) 负折射率介质中的异常折射现象及其波导理论 ( 2 5 2 ) 式就是条形波导中t e 模的特征方程。同理可以得到t m 模的特征方程： k d = t a n 一警+ t a n 一1 篓+ z (2_53)k x n ；k x n ； b 二维情况 下来，我们回到如图( 2 1 1 ) 所示条形波导情况。( 先讨论芯层为r h m 介质 的情况) 。由于可以将其分成两个维情况( 分别是k x - k z 平面上的u x z 分量和 k y k ：平面上的u ，：分量) 。对于u 。分量来说，它相当于水平偏振波，仿照一维 情况，可以得到一个特征方程： k ，口：t a n 一1 堕+ t a n 1 拿+ 研石 ( 2 5 4 ) k ，七， 同样对于u ，：分量，它相应与垂直偏振波，又可以得到另一个特征方程： 妒= 一器+ t 蚰1 焉慨 s s ， 上两式中，m 、n 均为任意正整数。同样，在条形波导情况下依然存在 卢，口：，口。，a ，等特征参数。其中，声是z 方向的波矢分量，即是z 方向的相 位常数。口，( i = 2 ，3 ，4 ，5 ) 是各区域中的衰减常数。不难得到这些参数之间的关 系： k ：+ + 2 = k g n ? 一口；+ + 2 = 七；月； 一口；+ 七：+ 2 = 七；胛； 一口：+ k ：+ 卢2 = ；以； 一a ；+ k ：+ 多2 = 女：n ； ( 2 。5 6 ) 将( 2 5 4 ) 、( 2 5 5 ) 与( 2 5 6 ) 式联立即可解得一组特征参量及其相应的场解， 这就是二模。根据马卡梯里近似，条形波导中的主模除了有e 二模，还存在e ：。 模 2 联。模 对于e x 分量占优的e 二模式，# g i v e n e ：。模，可以得到其特征方程为： 负折射率介质中的异常折射现象及其波导理论 k y b ：t a n 一1 垒+ t a n l 垒4 - n r ( 2 5 7 ) k ，k ， 2 3 2 芯层为l i t m _ 介质的情况： 前面我们已经讨论过，在这种情况下反射波的位相跃变将与r h m 介质情 况不同。对于在l h m r h m 界面发生的全反射来蜕，在s 情况，反射光线的位 相跃变为： 戎：一2 t a l l j i l l r 1 2 s i n 2 0 l ，- - , 1 2 一】 ，门1c o s 戗 对于p 情况： 铲- 2 t a n - l 旦丝掣】 ( 2 5 8 ) 晶即c o s “ 由前面特征方程的推导过程不难得出，在芯层为l h m 介质情况下： e 兰模的特征方程 k x d ：埘丌一t a n e i o 4 一t a n e 4 庀。 k y b = n o r - - t a n 1 糍一一丽f l t a 3 砰 眩s ， 其中，m 、靠为正整数，( 2 5 6 ) 式依然成立。 至此，我们得到了盘图( 2 1 1 ) 所示的芯层为负折射率介质的条形波导中 的导波模式，其特征方程( 以模为例) 为： ，d ：m 石一t a n 一1 鱼鲁一t a n e 4 r 。 即钏一锄一f f l 口蠢2 n 1 2 , u 2 t c t a n l 鬻 。 ，仃；3 茸，玎； 一a ；+ 七：+ 2 = 七：胛； 一d ；+ 七：+ 2 = 瑶n ； 一口j + 七：+ 2 = 七j 门： 厅m+ 迸联 如+ 缱纠 趴 = t 望塑堑垩坌堕! 塑茎堂堑墅! 些墨墨茎鎏壁些堡 一d ；+ t ；+ 2 = ； ；( 2 6 0 ) 将以上几组方程联立即可解得一组特征参量及其相应的场解，从而得到相 应的传播模式。 2 4 含l h m 介质的圆柱型波导中的导播模式： 前面讨论了平面、条形波导中导波模的情况。这一节，我们看看在有l h m 介质参与的情况下，圆柱型波导( 光纤) 中的导波模式是否会发生变化。 考虑如 口) ( 2 ，) 利用麦氏方程的分量式，可以得到纵向场量为： 耻上孕皿：二孚 代入( 2 7 0 ) 、( 2 7 1 ) 式可以得到纵向场量： b 2 五蒜。咖+ 1 ) 一( 咖- 1 ) 纠 负折射率介质中的异常折射现象及其波导球论 点矿蕊历i a w 而，( 咖+ 1 ) 吣。( 嘶叫州 也2 丽i a u 【_ j m + l ( 与ac o s ( 川圹( c o s ( 川冽 2 瓦瓦a i w 两眠“i w r ) c 。s ( m + 1 ) 矿+ k ，( 警) c 。s ( m 1 1 ) ( 2 7 2 ) 在纤芯与包层的界面上运用电磁场的边界条件e 。= e ：，可以得到： 丽u ，一( n ( m + 晰“n ( 肌一1 ) 朔2 i 盖而瞵一“阶s i n + 1 ) 扩也a s i n _ 1 渺】 在弱导条件下，上式等价于两个方程： j l 地：l 垒：! 婴! e , z “j 。( u )2 z 。2k ，( ) 生! 趔：一旦丝型! 竖! e l z 。lj 。( u )占2 z 。2k ，( w ) ( 2 7 3 ) i 对于普通光纤，1 2 0 ，l2 0弱导条件：h 蜀“2 占2 在这种情况下，( 2 7 3 ) 式可以化简为： u ! ! 二d 堕：形墨! ! ! ! ! !u 互! = d 塑：一w k i n _ 1 ( w )( 2 7 4 1 l ，。( u )k ，( )j 。( u )k ，( ) 、 ( 2 7 4 ) 式即为弱导条件n 普通光纤中的线偏振模特征方程 i i 对于负折射率光纤，t i 0 弱导条件 lq 一25 2 在这种情况下，( 2 7 3 ) 式则可以化简为 u ! ! = l ! 堕：一茎! 蔓! 竺!u ! ! 二d 堕：w 茎! = ! ! 竺!( 2 7 5 ) j 。( 己，)k 。( 妒)j 。( v )k 。( 矽) 、。 ( 2 7 5 ) 式就是删导条件下，负折射率光纤中的线偏振模特征方程 本征值方程( 2 7 4 ) 、( 2 7 5 ) 两式均无法用解析法求解。为说明问题，可以采用 图解法。以h e 。和瑶。模为例，其本征值方程为； 负折射率介质中的异常折射现象及其波导理论 u 榴硼器( h e l 擞黼光纤中的特征槲 u d ，o 。( u 、) ：竺嘤箕 ( t e l 。模在普通光纤中的特征方程) k ，1 ( u )( 矽) 一。一一 u 车黑：一w 墨嘤翼( h e ，。模在负折射率光纤中的特征方程) ，o ( u )k 。( w ) ”。 u 榴2 矿器 ( 砜模在负折射率光纤中的特征方程) 图2 1 3 - - 图2 1 6 绘出了两种波导中的t e l 。模和船。模。 j 【9 ，j u l 。”k f 0 ，日 i 黎 1 0 斗裂 王 淤蝥 2 。(? 6 f严。 - 1 5 1 0 u 图2 1 3 普通光纤中的l i e i 模式曲线示意图( 取v = l o ， 下同) u 杀蛊羽器督， 、)、? 丝 丝彩 ， 图2 1 4 芯层为l i 珊介质的光纤中的h e j i 模式曲线示意图 u 璺塑塑圣坌堕! ：塑墨堕塑! ! 型墨墨墨鎏量堡堡 u 等吲砌器斟， 图2 1 5 普通光纤中的t e l 。模式曲线示意图 u 帮崭c w 船崭， 、l 镍f 三三三。 綦三妄未 ，孙、毒毒毒、 2 9。 厂8 l c 年 图2 1 6 负折射率光纤中的t e l 模式曲线示意翻 1 色散曲线 和平面波导一样，同样引入归一化频率v ，显然： v = 。( 砰一”；) i = 2 + 2 ) j 再引入归一化传播常数b ，定义为： a ：蝉掣 甩i 一门； = 罟小争22 矿叫1 - j u u 将以上夭糸式代八( 1 6 ) 式，得b y 夫糸式： 历筹羔b y ) 卸麓k ( 4 b v ( 码琳韵艄帕雠厶( 1 一。) 方程1 州j,(4l-v2-两gv)一拓勰(heak4 b v 撒负折射率光纤中的 ，。( l 一6 y )。() “ 色。散方程1 塑! 羔坌堕! 塑墨堂堑壁里墨丝塾鎏墨些堡 西巡j , ( 1 4 - i - 塑j - b v ) 一拓麓k ( 巩模在普通光纤中的色散力 。f 6 矿1一。 程) ，j o 。( ( 1 4 - i i 一= b v ) ) = 4 bx o ，( , i v ) 4 1 b v k ( 4 b y ) ( 弛。模在负折射率光纤中的色 ，l ( 一)， ”1 一 散方程) 下面两幅图绘出了两种光纤中的l p 模的色散曲线 圈2 1 7 普通光纤中的i 一模色散曲线 图中：b 一归化的传播常数 v 归一化频率，下同 b l p 。模的功率分布 图2 1 8 负折射率光纤中的l p 模色散曲线 望堑型至坌堕! 堕墨萱堑塾翌墨些墨婆量型堡 沿光纤轴方向单位横截面积中传输的电功率称为功率流密度，它就是波印 亭矢量的实部，即s = 妻r e h 将( 2 7 1 ) 、( 2 7 2 ) 两式代入，得到： s = 一1 e y 日， zcja而2 c o s 2 m 庐2 。( 堡) 2 j 2 。，( 、口 生掣砖( 马 2 k 。f 、口7 ( 0 r 口) p 口) 作积分得剑纤芯和包层中传输的功率p i 和p o ： 只2 船圭明啦= 宅旷警， r = 雅a2 x 职，渺= 鼍卜掣嚣产， 光纤中传播的总功率用p t 表示，则：p t _ p j + p o 纤芯中传播的功率与总功率之比称为功率因子，记为r l 。 按定义 印。2 责2 譬叶鲁瓦，2 譬卧瓦希是而，c z 弼， 图2 1 9 普通介质中的玎一v 瞌线 小结： 本章首先从基本的l h m r h m 界面上的反射、折射情况入手，讨论了l h m 介质中全反射光线位相的跃变。后面几节在此基础上研究了各种类型含有l h m 介质的波导中的传播模式。 本章参考文献： 一耋 一 一。1，、11_l 丝! r 塑垩坌堡! 塑墨堂堑堑塑墨墨茎垄! 堡堡 【】光电子技术基础 彭江得主编清华大学出版社 【2 光学赵凯华，钟锡华北京大学出版社( 2 5 8 ) 3 】李玉权崔敏，2 0 0 2 ，“光波导理论与技术( 北京：人民邮电出版社) 4 】i l e a v s h a d r i v o v , a n d r e ia s u k h o m k o va n dy u r i ，2 0 0 3p h y sr e v l e t t 6 7 0 5 7 6 0 2 【5 杨立功，顾培夫，黄弼勤，王建浦，2 0 0 3 ，光子学报，v 0 1 3 2 ，n o 1 0 ，1 2 2 5 1 2 2 7 6 】6d r s m i t ha n dd s c h u d n gj b p e n d r y , 2 0 0 2a p p l y p h y sl e t t 8 1 1 ，2 7 1 3 2 7 1 5 7 a c 。p e a c o c ka n dn g r 。b r o d e r i c k ，2 0 0 3 ，o p t i c se x p ，v o l 。儿，n o2 0 8 t i ej u nc u i ，z h a n g c h e n gh a o ，x i a ox i ny i n ，2 0 0 4 ，p h y s i c sl e t t e ra3 2 3 【9 r i c h a r d w z i l k o w s k i ，a n d e h u dh e y m a n ，2 0 0 1 ，p h y sr e v l e t t ，v 0 1 6 4 ，n o 0 5 6 6 2 5 【1 0 】j 。b p e n d r y , p h y sr e v l e t t ( 2 0 0 0 ) ，v 0 1 8 5 , n o ，1 8 ，3 9 6 6 3 9 6 9 11 】d r s m i t ha n dn o r m a nk r o l l ，p h y sr e v l e t t ( 2 0 0 0 ) ，v 0 1 8 5 , n o 1 4 ，2 9 3 3 2 9 3 6 1 2 杨立功黄弼勤叶辉顾培夫，2 0 0 1 ，光学学报，v 0 1 2 4 ，n o 8 。8 7 3 9 2 ( 1 3 j i n a uk o n g ，b a e - l a n ，y e nz h a n g ，a p p l y p h y sl e t t ( 2 0 0 2 ) ，v 0 1 8 0 ，n o ，1 2 ， 0 8 4 2 0 8 6 【1 4 1 8 f o t e i n o p o u l o u ，e n e c o n o m o ua n d m s o u k o u l i s ，2 0 0 3 ，p l a y sr e v l e t t ， v 0 1 9 0 n o 1 0 1 5 j o h no d i m m o c k ，2 0 0 3 ，o p t i c se x p ，v 0 1 1l ，0 1 9 【1 6 】r m v a l a n j u ，r m w a l s e r , a n da p v a l a n j u ，2 0 0 2 ，p h y sr e v l e t t ， v 0 1 8 8 ，n o 1 8 ，1 8 7 4 0 1 ( 1 4 ) 第三章光学波导的耦合理论及其l 删介质波导之问的耦合 4 4 竺塑型羔坌堕主塑墨萱堑! ! 塑墨墨茎鎏量望堡 光波导之间的耦合在光集成技术和光通讯中有很重要的运用。前面两章 我们讨论了各种形状的波导结构中传播模及其能量的分布。这章主要涉及 这些含有l h m 介质的波导之问的耦合。 3 1 模式的横向耦合理论【1 】 单根的理想波导，所有的传播模式之间、传播摸与辐射模之间满足正交关 系，模式间没有耦合。但是在实际情况中，例如波导的损耗。几何形状的微笑 形变、波导周围有其他导波结构或障碍物存在，都会导致光波模式间的相互耦 合。 1 耦合模方程 如下图所示，两根相距较近的单根平行光波导构成了一个耦合波导系统。 由于有另一根波导的存在，无论是波导1 还是波导2 中的光波场都将受到另一 根的影响。 图3 1 两根相互平行的光波导 首先假设两根波导单独存在的光波场分别为 a 只有波导1 存在时 f e ( oe x p ( 一i f l ：) e l = i 【础e x p ( 一帽z ) b 只有波导2 存在时 fe 搿e x p ( - i f l iz ) e ，= i 【最；e x p ( 一湄z ) ih 鬻e x p ( 一i ；8 t 幻 h l = l 【日譬e x p ( 一i f l ：) f h o o ) e x p ( 一编：) ( 3 1 ) 【日筹e x p ( 一瞩z ) 负折射牢介质中的异常折射现象及其被导理论 表达式中e l 、h l 、e 2 、h 2 是波导1 ，波导2 作为理想波导单独存在时的传播模 式场。 当波导1 和波导2 同时存在时，它们之间会产生相互影响，严格的解应该 是将这两根波导作为一个统一的耦合波系统去考虑，去求解一个电磁场的边界 问题。但是这样个复杂的边值问题的求解是极为困难的。而且，一般说来没 有解析解。但在波导间作用比较弱的情况下，可以假设耦合波导系统的场解是 原来两根波导单独存在时的场的一个叠加。即： e = a 】( z ) e l + a 2 ( z ) e 2 h = a l ( z ) 日lh - a 2 ( z ) h z ( 3 2 ) 一 上式说明在两根波导同时存在时，总的场解己不是e l 和e 2 的简单叠加。 由于相互影响，两者叠加形成的总场e 将随传播距离z 变化。也就是说，组合 系数a 1 ( z ) 、a 2 ( z ) 作为模式场e 1 和e 2 的幅度是随距离变化的。 如果将波导1 和波导2 中的光波模式写成 e l = e l oe x p ( - 识z ) h l = h 1 0e x p ( _ 以z ) 垦= e 2 0e x p ( 一堀2 ) h 2 = 曼oe x p ( 一编z ) 则有： e = a l ( z ) e l o + a 2 ( z ) e 2 0 式中 h = 口l ( 三) 日l o 十2 ( z ) h 2 0 a l ( z ) = a l ( z ) e x p ( 一瞩z ) ( 3 3 ) 0 2 ( z j = a 2 ( z ) e x p ( 一2 z ) 根据耦合波的一般理论和物理意义，可以写出耦合波方程： 望粤堕：一涵q ( ：) + i k 2 1 a 2 ( z ) 韶 _ c l a 2 ( z ) ：一识日2 ( z ) + i k l 2 a l ( z ) ( 3 4 ) 上式中k 1 2 和k 2 ，称为耦合系数。从( 3 4 ) 式可以看到耦合系数k 1 2 和k 2 负折射率介质中的异常折射现象及其波导理论 直接决定了两根波导间相互影响的火小。般来说，祸合系数为复数，并且具 有以下的互易特性， k 1 2 = 膏i 耦合系数的互易性可证明如下： p = 寺r ej s e x 打+ d s = 专r j k 【爿，( z ) e 。+ a 2 ( z ) e ：】 4 。( 2 ) 日1 + a 2 ( z ) h ： d j = 百1r e f 晶【口1 d ；( z ) 互。日品+ “2 ( z ) 口；( 2 ) e 2 。壬磕】幽 十毒r e j 。【d ，( z ) 疗：( 。) 置。h ；o - a 2 ( z ) 西( z ) e ：。碥西 利用l o r e n t z 互易定理，很容易证明上式中后一项为零，于是有 p = 丢r e f 。 a ：e l 。品相；h 二1 幽 假设模式场e 1 0 、h l o 、e 2 。、h 2 0 式归一化的，则有： p = 日1 ( z ) 4 ；( z ) + 4 2 ( z ) 口：( z ) 从而可得 害= 老嗽) 鸲咄列= 2 r e 慨喝州 在导出上式时，用到了( 3 1 4 ) 式。对于一个无损耗的耦台波系统，光波能量仅 在两个波导间来回耦合，但是总功率是不变的。即：咖d e = 0 ，从而有 r e i ( k 1 2 - x ；1 ) q 口： = o 显然口，( 2 ) 口；( z ) 0 ，所以必有k 。：- k ；，= 0 。进一步，如果两根波导完全一样， 则耦合系数k 1 2 和k 2 l 均为实数，而且k 1 2 = k 2 1 2 耦合系数k 1 2 和k 2 1 的计算 我们将耦合波导分成d 】、d 2 、d 3 三个区域。d 1 为波导1 内部区域，d 2 为 波导2 内部区域，d 3 为两根波导之间的区域。h 。，n ：，码分别为这三个区域中介 质的折射率。在弱耦台条件下，可以认为波导1 内的场为 e l = q ( z ) e 1 0h l = 日1 ( z ) h i o 波导2 内的场为 e 2 = d 2 ( z ) e 2 0 h 2 = 口2 ( z ) h 2 0 墨堑堑童坌堕! 墼墨笪塑型里墨墨墨堕量些堡一一 d 、( z ) e 。将在波导2 中激励起极化电流，同样a 2 ( z ) e ：。也会在波导1 中激励起极 化电流。由麦氏方程： v 日：2 = 7 岛曲? ；三f 2 1 在d ，区域，上式可以写成 v x 日；2 ) = l - 圳2 2 l 】( 2 + i 8 0 似砼；一砰；) e ；2 1 这里的e f z 表示的是波导l 外面区域中的电场，上式又可写为： v 日j 2 = i e o o 嘲e ( 2 + 山 j d = 嘞c o ( n ；一竹；) 研2 1 ( 3 - 5 ) 这就说明，e l 在波导2 的介质中激励起了个附加的极化电流密度： 厶= f 岛( n ；一h ；) 碍2 = i e o c o ( n ；一；) q ( z ) e 铲 波导2 中的电场为口：( z ) e 岩，此电场将对上述电流，。作功，产生功率交换。单 位体积内的功率交换量为：去陋：( z ) e 茹j ：+ ；( z ) e 蓼+ 山 在长度为a z = z 一z 的一段波导内的功率交换为： 印= 小慨( 力e ：十慨( 矿2 n 飘( z ) e 舶+ d ：( 2 ) e 岩【f 船。( ；一盯；) 口：( z ) e 嚣” 出d y d z 单位长度上交换的功率为： 誓= 一扎1 舭) 础小慨( 旷2 蚺( = ) 瑞】+ 口；( z ) e 护【f 僦。( n