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径向基函数配点法的应用及其误差估计摘要 径向基函数配点法的应用及其误差估计 摘要 无网格方法是求解微分方程定解问题的一种新的数值方法，它采用基于点的近 似，可以彻底或部分地消除网格，因此在处理不连续、大变形、移动边界等问题时可 以完全抛开网格重构，不仅可以保证计算的精度，而且可以减少计算难度。本文首先 阐述了无网格方法的基本原理，然后详细推导了紧支径向基函数插值近似的构造过 程。由于紧支径向基函数不能重构常函数和任意后阶多项式，因此并不能发挥紧支的 优势。为了提高解的精度，进一步推导了满足一致性条件的紧支径向基函数 ( c c s i m f ) 。然后将径向基函数近似引入到配点法中用于分析非线性p o i s s o n 方程和平 面压电结构，并通过数值计算验证了径向基函数配点法的可行性和精确度，同时比较 了不同径向基函数插值的计算结果以及分析影响精度的因素。最后，给出径向基函数 指数型收敛误差估计的一般过程和结论，并将i t m q 基函数应用到非线性p o i s s o n 方 程和平面压电结构的误差分析，它们分别具有d ( 五石7 6 ) 和d ( 7 6 ) 的误差估计。 关键词：无网格方法，径向基函数近似，一致紧支径向基函数，配点法，平面压电结 构，误差估计 基金项目：国家自然科学基金( 1 0 6 7 2 1 1 1 ) 资助项目 作者：刘芳 指导教师：姚林泉 a p p l i c a t i o no fr b f c o l l o c a t i o nm e t h o d a n di t se r r o re s t i m a t e a b s t r a c t m e s h l e s sm e t h o di san e wn u m 嘶c a lm e t l l o do np r o b l e mf o rd e t e m l i n i n gs o l u t i o no f p a n i a ld i a e r e n t i a le q u a t i o n i ti sa n 印p r o x i m a t i o nm e m o db a s e do nn o d e s ，锄dd o e s n t n e e dam e s he m i r - e l yo rp a r t l y t h e nt h ed i s c o n t i n u o u sp r o b l e m s ，t 1 1 ee x 仃e m e l yl a 唱e d e f o m a t i o n sp r o b l e m s ，锄dm o v a b l eb o u n d a 拶p r o b l e m s ，e t c ，c 锄b es o l v e d b yu s et 0 m e s h l e s sw i t h o u tm er e m e s h i n gt e c h n i q u e s a n dn o to n l yt l l ec a l c u l a t e dp r e c i s i o nc 锄b e g u a r a i l t e e d ，b u ta l s ot 1 1 e c a l c u l a t e d d i 伍c u l 锣c 锄b ed e c r e a s e d i nt h i sp 印e r ，a f b e r 访们d u c i n gt h em e s h l e s sm e t l l o ds i h l p l y ，t l l ei n t e r p o l a t i o np r o c e s so ft h ec o n l p a c t l y s u p p o r t e dr a d i a lb 嬲i s劬c t i o n si sd r o v e d b u tt h ec o m p a c t l ys 邺毗dr a d i a lb 硒i s 如n c t i o n sc 觚n o tr e c o n s 咖c tc o n s t 舳tm n c t i o na n dk o r d e rp o l y n o m i a l ，w h i c hc a nn o t e m b o d i e st 1 1 ec o m p a c tp r e d o m i n 觚c e f o ri m p r o v i i l gt l l ep r e c i s i o n ，w ed r i v et h ec o n s i s t e n t c o m p a c t l ys u p p o 巾d r a d i a lb a s i sf h n c t i o n sa r ed r o v e d f a r t l l e r ，w h i c hs a t i s 母t h e c o n s i s t e n c yc o n d i t i o n s t h e n ，t h en o n l i n e a rp o i s s o ne q u a t i o n 锄d 廿1 ep l a n ep i e z o e l e c 仃i c 蚰r u c t u r e su s i n gc 0 1 l o c a t i o na _ p p r o a c hm e t h o dw i mr a d i a lb a s i s f h n c t i o n s ( i 也f ) a r e a n a l y z e d t h ev a l i d i 够a n da c c u r a c yo fr b fc o l l o c a t i o nm e t l l o da r ev e r i 6 e dt h r o u g h n u m e r i c a le x a m p l e s n u m e r i c a lr c s u l t so ft h ed i 任：r e n tr a d i a lb a s i sf u n c t i o n sa r cc o m p a r e d t h ef a c t o 瑙o fc a l c u l a t i n ga c c u r a c ya r e a n a l y z e d f i n a l l y ，t i l ec o m m o np r o c e s sa 1 1 d c o n c l u s i o n so fe x p o n e n t i a l 帅ee r r o re s t i m a t eo nr b fc o l l o c a t i o nm e t h o da r eg i v e n t h e e 1 1 r o re s t i m a t e so fn o n l i n e a rp o i s s o ne q u a t i o n 卸dp l a n ep i e z o e l e c t r i cs t r u c t u r ea r eo b t a i n e d u s i n gi u m q ( r e c i p r o c a lm u l t i q u a d r i c s ) b a s i s 如n c t i o n ni sr e s p e c t i v e l yd ( 五再7 6 ) 锄d 0 ( 肪) k 呵w o r d s ：m e s h l e s sm e t h o d ；r a d i a lb a s i sm n c t i o n sa p p r o x i n l a t i o n ；c o n s i s t e n tc o m p a c t l y s u p p o n e dr a d i a lb a s i s 如n c t i o n s ；c o l l o c a t i o nm e t l l o d ；p l a n ep i e z o e l e c 仃i cs 仃u c t u r e ；e r r o r e s t i n l a t e w r i t c e nb yl i uf a n g s u p e n ，i s e db yp r o f y a ol i n q u 锄 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明 学位论文独创性声明 小人郧一r 声明：所捉交的学位论义足小人在导帅的指甘卜，独、，：进 研究i ：f l j 所取得的成果。除义，l - 已经沣明引川的内容外，小论义小禽 i | 、他个人或集体已经发表或撰：- j 过的研究成果，也4 = g ( x ) 工r( 1 1 0 ) 其中，是偏微分算子，结是混合边界算子，q 是问题的求解区域，r 是域q 的边 界。 对复杂问题，上式只能近似求解。假设玎是待定函数的一个近似解，称为试探函 数，它可以表示为一组已知函数。的线性组合，。即 虿= q m ( 1 1 1 ) = l 式中c ，为待定系数，刀为试探函数的项数，项数越多，近似解的精度就越高。当项数 玎趋于无穷大时，近似解将收敛于精确解。 显然，近似解( 1 1 1 ) 一般不能满足微分方程( 1 9 ) 和边界条件( 1 1 0 ) ，于是分别产生 内部残量日及边界残量， 蜀= 万) 一0( 1 1 2 ) 径向基函数配点法的应用及其误差估计 第一章无网格方法的基本原理 如= 孵 孑) 一g 0 ( 1 1 3 ) 为了消除残量，引入内部权函数形和边界权函数，并分别与蜀和相乘，从而 得到消除内部以及边界残量的方程式分别如下 l 蜀搬= ( 1 1 4 j j i 矗f ：u ( 1 1 5 ) 通过积分运算，可以得到求解待定系数c 的代数方程组，从而试函数瓦的形式就确 定，即为偏微分方程及边界条件的近似解。 加权残量法按照权函数的形式分类，可得到以下五种基本的加权残量法【2 4 l ，如表 卜1 所示。 表卜1 加权残量法的基本方法 名称消除残量方程 权函数 附注 最小二乘法 fr 堕d q ：o 若俨1 ，2 ， 万( x 一) 为 如 a c ； 狄拉克6 函 配点法 量尺万( x 一_ ) 出= 月( _ ) = o 万 一) ( = l ，2 ，功 数 子域法 l ，尺d q = o ，( j = l ，2 ，刀) 形= 墨篡， q 域分为行 个子域q g a l e r k i n 法 l 哪d q = o 也( 歹= 1 ，2 ，力 万= q 一j j 矩量法 l 戤，d q = o 工7 ( 歹= 1 ，2 ，功 j = l 注：上述方法为一维的，也可以是多维的，r 可为墨或。 径向基函数配点法的应用及其误差估计 第二章径向基函数近似的配点型无网格法 第二章径向基函数近似的配点型无网格法 径向基函数( r a d i a l b a s i sf u n c t i o n ，简称m f ) ，又称距离基函数，是一类特殊的函 数，它以空间距离，为自变量，具有形式简单、空间维数无关、各向同性等优点，适 合在数值计算中应用；而近年来提出的正定紧支径向基函数，在计算中具有带状稀疏 系数矩阵的特点，更适用于大型科学与工程问题的求解。以径向基函数为基础的近似 方法，数学界对其进行了大量的研究雎5 2 钔。将径向基函数引入配点法求解偏微分方 程具有许多优点，该方法是真正的无网格法，不需要借助于任何网格计算积分，且该 方法与空间维数无关。 2 1 径向基函数近似 2 1 1 径向基函数 一般说来，径向基函数可以分为两大类2 蝴1 ，一类是紧支径向基函数( c o m p a c t l y s u p p o n e dr a d i a lb a s i sf u n c t i o n ，c s i f ) ，另一类是全局径向基函数( g i o b a l l y s u p p o n e dr a d i a lb a s i sf u n c t i o n ，g s 砌j f ) 。相比而言，全局径向基函数在插值计算中 具有较好的精度，但计算量要比紧支径向基函数要大。常见的定义在全域上以节点x ， 为中心的全局径向基函数有【1 8 1 m u l t i q u a d r i c s ( m q ) ：q ( x ) = ( c 2 + 刃) 2 ( 2 1 ) r _ e c i p r o a lm u l t i q u a d r i c s ( i t m q ) ：q ( x ) = ( c 2 + 刃) - 1 7 2 ( 2 2 ) g a u s s i 锄s ：叻( 功= e x p ( 一研)( 2 3 ) t h i n - p l a t es p l i n e s ( t p s ) ：卿( 工) = 刃声l o g 刃 ( 2 4 ) c s r b f l ：q ( ，) = ( 1 一，) ：( 4 + 1 6 ，+ 1 2 ，2 + 3 ，3 ) ( 2 5 ) c s r b f 2 ： q ( ，) = ( 1 - ，) ：( 6 + 3 6 ，+ 8 2 ，2 + 7 2 ，3 + 3 0 ，4 + 5 ，5 ) ( 2 6 ) c s r b f 3 啪) = 三+ ，2 一争协2 m c s r b f 4 ：q c ，= 古+ 詈，2 一莩，3 + 3 ，一等，5 + 吉，6 + 2 ，2 n ， 9 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 径向基函数配点法的应用及其误差估计 第二章径向基函数近似的配点型无网格法 c s r b f 5 ：q ( ，) = ( 1 一，) ：( 3 + 1 8 ，+ 3 5 ，2 ) c s r b f 6 ：q ( ，) = ( 1 一r ) ：( 1 + 8 ，+ 2 5 ，2 + 3 2 ，3 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 式中c 为大于零的常数，为整数。( 2 4 h 2 1 0 ) 式为正定紧支径向基函数。刃= 0 x x 川 为计算点x 到节点x ，的距离，= 刃，是定义在节点x ，处的径向基函数的支 撑域半径。( 1 一，) + 定义为 ”嘎= 竺压1 ( 2 1 1 ) 在二维问题中，上述说明对，的定义是假设支撑域为圆形域的情况。关于，更一 般的定义为 ( 2 1 2 ) 如果叱勘，则对应的支撑域为椭圆。本文中，一般情况下取如= 叱= 。 2 1 2 径向基函数近似 将求解区域q 用个节点离散，设x 为计算点，则函数甜( 曲在域q 中的近似函 数群6 ( x ) 就可以表示为 6 ( 工) = q q ( x ) = 咖r ( x ) 口 其中q 为待定系数， 口= q ，口2 ，口r ，西( 工) = q ) ，哆( x ) ，( x ) r ， 径向基函数q ( 工) 可以取式( 2 1 ) 式( 2 1 0 ) 中的任何一个。 ( 2 1 3 ) 式( 2 1 3 ) 中有个未知数，令近似函数“6 ( x ) 在节点x ，处的值等于函数甜( x ) 在该 节点的值嘶，即“6 ( 而) = 蜥，可得到个线性方程组： 式中， 彳口= 雎 l d ( 2 1 4 ) 径向基函数配点法的应用及其误差估计 第二章径向基函数近似的配点型无网格法 4 = 矿( 毛) 痧7 ( 而) 圣7 ( ) q ( 而)q ( 而) ( 而) q ( 艺) 哆( 而) 纨( 而) ：。： q ( ) q ( x ) ( x ) ( 2 1 5 ) “= 【材i ，”2 ，】r ( 2 1 6 ) 甜6 ( x ) = 咖7 ( x ) 彳一1 口= ( x ) 印( 2 1 7 ) ( x ) = 币7 ( x ) 彳- 1 ( 2 1 8 ) 径向基函数插值满足条件甜6 ( 而) = ( ) = 均，从而形函数满足砌刀p c 娩，沈加 函数性质m ( 而) = 屯，因此很容易施加本质边界条件。这一特性是移动最小二乘近 为了构造七阶一致紧支径向基函数耐”( x ) ，设它为原紧支径向基函数q ( x ) 与七 妨( x ) = q ( x ) ( 工) 6 ( x ) ( 2 19 ) 其中矿( x ) 为待定系数矩阵。对二维问题( z ) 为 f 【1 】 ，后= o ( x ) = 【l ，工一而，y 一咒】 ，七= l( 2 2 0 ) l 【l ，x 一而，y 一 ，( x 一而) 2 ，( z 一而) ( y 一乃) ，( y 一”) 2 】，七= 2 设妨o ( x ) ，耐d ( x ) ，耐2 ( x ) 分别表示具有零阶、一阶和二阶一致性的紧支径向基函 径向基函数配点法的应用及其误差估计 第二章径向基函数近似的配点型无网格法 y 缈；o ( x ) ：l 一 、7 j = t ( 2 2 1 ) nnn 妨1 ( x ) = 1 ， 一而) 耐1 ( x ) = o ，( y m ) 耐1 ( x ) = o ( 2 2 2 ) ，= 1，= l ，= l nn 4 2 ( x ) = 1 ， 一而) 科2 ( 曲= o j = t= l ( y 一乃) 西2 ( 工) = o ， ， 一而) 2 耐2 ( x ) = o ，正l nn o 一乃) 2 耐2 ( x ) = o ， 一一) o 一乃) 科2 ( x ) = o = l，l 将式( 2 19 ) 代入式( 2 2 2 ) 或( 2 2 3 ) ，得 其中 m b = q 肘= q ( x ) 所( 工) ( x ) ， 叮= 【1 ，o ，o ，o ，o ，o r 由式( 2 2 4 ) 解出6 ，并代入到式( 2 1 9 ) 中，得 耐( x ) = q ( x ) p j ( x ) i 彳。g 这就是二维问题的2 阶一致紧支径向基函数。 2 2 配点法离散 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 配点型无网格法是纯无网格法，不需要借助于任何网格计算积分。它的基本思想 是令域内的各节点满足控制方程，边界上各节点满足一致边界条件。考虑求解域内有 个节点，函数甜( 功可以用与一组离散节点而( j = 1 ，) 相对应的紧支函数m ( 工) 的线性组合近似为 ”( x ) 6 ( 工) = ( x ) z _ = w( 2 2 8 ) ，l l 代入式( 1 9 ) ( 1 1 0 ) 有 1 2 径向基函数配点法的应用及其误差估计 第二章径向基函数近似的配点型无网格法 ， m ( 以) ) 约= ( 吒) 以q ，七= 1 ，2 ，n ( 2 2 9 ) ，= 1 够 m ( 毛) ) 吩= g ( ) 吒r ，七= l ，2 ，r ( 2 3 0 ) = l 这里设和够为线性算子。当q + r 时，就是一个超定线性方程组，需用最小 二乘法求解。当n + r = ，则求解节点近似值就是一个线性方程组 尉2f ( 2 3 1 ) 其中，置是一个的系数矩阵， d = 心，心，r ， f = 【( 五) ，( 屯) ，o o ) ，g ( 而) ，g ( 屯) ，g ( “) r 如果和豸是非线性算子，则得到的就是一个非线性方程组，此时需要采用迭代 法求解节点近似值。常用的非线性方程组的求解方法有：直接迭代法，牛顿一拉弗森 法，修正牛顿一拉弗森法，增量法，弧长法等。 径向基函数配点法的应用及其误差估计第三章平面压电结构的无网格法分析 第三章平面压电结构的无网格法分析 利用压电材料的正、逆压电效应制成的传感器和驱动器在很多领域有广泛的应 用。由于压电结构的机电耦合效应，给问题的求解带来了一定的困难。本章利用径向 基函数进行插值近似，直接配点法对控制方程离散，应用到平面压电结构的控制方程 中，得到无网格离散的线性控制方程组。 3 1 控制方程 考虑一弹性平面应力问题，设坐标面z z 在其中面上。考虑的材料为压电材料， 其极化方向沿z 轴，x z 平面下二维压电材料的连续性方程为【3 1 1 力学平衡方程， 电学平衡方程 警+ 詈= 。c02 几何方程， 乞= 塞，乞= 芸，= 芸+ 鲁甜化出比 本构方程， 或， q lq 3 0 c 1 3岛3 0 o0 o0 p 1 5 白l乞3 o 0 岛l o 巳3 一q 5 o 品 0 o 器斟 电场与电势的关系，巨：一罢，丘：一娑 出02 力边界条件，j 吒唯+ 吃一互= o 【唿+ 吒一z = o 位移，电势和电场边界条件，材= ，w = ，= 死，铆苏= 红 1 4 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) = = 工 正 + + 堡瑟堡玉 + + 堡苏鳖缸 l 3 - 蟊丸o ：。菇 一 0 0丸嚣o 5 5 o o岛一吐0 o o 如 o o “ 吒t鱼砬且乞t垒见2 ，-l-_lil_j、-_-l_-r-_i_i-i_j、-iit_-ii_l 径向基函数配点法的应用及其误差估计第三章平面压电结构的无网格法分析 式中，吒，吒，为应力分量，t ，比为应变分量，口，局( 扛x ，z ) 分别表示电位移和 电场分量，“，w 为x 和z 方向的位移，为电势，( 六，z ) 和( t ，t ) 分别为域内的体力 分量和力边界上已知面力分量，( ，) ，死和办分别为已知边界的位移，电势和电场 值，( 体，) 表示边界法向量，勺，( f ，= l ，2 ，3 ) 分别表示平面弹性刚度系数和平面弹性 柔性度系数。( 巳。，白，q ，) ，( 以。，呜，4 ，) 分别表示平面压电应力常数和平面压电应变常 数。( 品，器) ，( 器，器) 分别表示在常应变介电常数和常应力介电常数。各系数之间存在 若菩量 = 喜言曼 1 ， c 3 z 。台 = ：。 若菩曼 ， c 3 加， 髻曼 = 髻曼 + z 。乏气5 ：三言 r c 3 ， 和电势为基本未知量进行求解。将几何方程( 3 3 ) 及电场电势关系( 3 6 ) 代入本构关系 ( 3 4 ) ，然后再代入力学和电学平衡方程( 3 1 ) 和( 3 2 ) 。最后得到关于位移( 碥w ) 和电势的 ( q 3 + g s ) 掰。+ 乞3 。+ 巳，。+ 巳3 矽。+ 巳5 谚。= o ( 3 1 3 ) ( 巳。+ 乞s ) 够。+ q ，。+ 巳3 。一毵矽。一嚣矽。= o( 3 1 4 ) 这是关于位移和电势应满足的2 阶线性方程组。同理，相应的边界条件( 3 7 ) 用位移表 示为 倦麓鼍羔：三勉二急乏二麓：鬟瓷三乏 c 3 朋， 【( c 5 5w f ，+ 岛5 m ：+ p 1 5 矽，) + ( c 1 3 甜声+ 岛3 ：+ 乞3 矽；) = t 、- 7 径向基函数配点法的应用及其误差估计 第三章平面压电结构的无网格法分析 方程( 3 1 2 ) ( 3 1 4 ) 在边界条件( 3 1 5 ) 及( 3 8 ) 下就构成了平面压电结构的定解问题。 3 2 配点法离散压电方程 假设压电控制方程的求解域q 被节点x ，= ( 而，z ，) ( j = l ，) 离散，根据配点法 的基本思想，域内各节点满足力学和电学平衡方程( 3 。1 ) 和( 3 。2 ) ，边界r ，上节点满足应 力边界条件( 3 7 ) ，边界r 。上的节点满足位移、电势和电场边界条件( 3 8 ) 。压电材料的 边界约束条件为： 甜= ，w = ，矽= 唬，却缸= 鹩，吒i r ，= c r o ，吒ir ，= q ，h = ( 3 1 6 ) 将无网格近似函数( 2 17 ) 代入平衡方程和边界条件可得 式中 q ，( 黾，乙) = r 珥( ，磊) 嘭= 五，( 砟，气) q ，七= l ，2 一，心 ( 3 1 7 ) q ，( 工 ，z i ) d ，= 靠，q i ，z 。) r ，七= l ，2 ，m ( 3 1 8 ) = l m ( & ，乙) 嘭= 矾，魄，乙) r 。，七= 1 ，2 ，m ( 3 1 9 ) ，宣l q t 爷+ 事 ( ”嘲婴 心。鸲，) 婴 心，蚝) 婺 o x o z 8 | n ta z n l 蒂+ 岛3 才 a 2 ，a 2 ， q 5 紊+ 巳3 事 q 1 言q ，言岛l i a n a n a n 、 q 3 言i 岛，i 8 n 。a n 。a n 。 气5 i 蔷色s i ( ”叫婴 a 2 i = ，2 q 5 亨+ 巳，才 z 盟一笆盟 ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) m ( 以，乙) = d i a g m ( ，乙) ，m ( ，气) m ( 以，乙) ，皇型掣) ( 3 2 2 ) 1 6 径向基函数配点法的应用及其误差估计 第三章平面压电结构的无网格法分析 嘭= ，以= 孟受：耋； ， 矾= ( 吒，乙) w o ( 五，乙) 唬( ，乙) 破( 毛，乙) ( 3 2 3 ) 将式( 3 1 7 卜( 3 1 9 ) 写成矩阵的形式， 删= ， ( 3 2 4 ) 其中 d = 【甜l ，w l ，办，w 2 ，改，办r( 3 2 5 ) 置7 = 【丑7 ( 五，毛) ，臀r ( ，) ，q 7 ( 五，乙) ，矿( h ，钆) ，? ( 西，毛) ，r ( 九，钆) 】 p = m 7 ，氏r ，r ，k r ，酊，；g 毛】 日( 再，刁) = 【q ( 五，刁) ，码( 薯，毛) ，j e l 0 ( 五，弓) 】 q ( 薯，刁) = 【q l ( ，刁) ，q j ( ，乙) ，q ，刁) 】 ( 薯，刁) = 【l ( 毛，刁) ，2 ( 薯，刁) ，- ( 薯，z i ) 】 ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) 1j )乙乙乙坼以稚似q 。l = 径向基函数配点法的应用及其误差估计第四章数值算例 第四章数值算例 为了验证径向基函数配点法的可行性和精确度以及各个参数对结果的影响，本节 对下述类型的边值问题进行了数值计算。( 1 ) 广义非线性p o s s i o n 方程，( 2 ) 受电压 和载荷作用的平面压电材料，( 3 ) 不同的参数、节点数目与支撑域半径对计算结果的 影响。 在算例中，为了比较不同径向基函数对数值结果的影响，计算中分别采用基函数 c s i f 2 、m q 、c c s i m f 插值，其中c c s r b f 是由c s r b f 2 导出的二阶一致紧支径 向基函数。 近似解各导数相对误差定义为： 气= 毪铲， ， 其中，| j i l ：表示向量2 范数，( ) ，分别表示对f ，( f ，- ，= 1 ，z ，y ) 的偏导。当，= l 时，表 示近似函数的相对误差： p = 毪茅 4 1 非线性泊松方程 考虑下列广义非线性泊松方程的第一类边值问题 v 2 “c x ，y ，+ ( 考) 2 = 2 y + x 4 ，c x ，力t 。，x t 。，t ， “( 0 ，y ) = o ，材( 1 ，y ) = y + 口 “( z ，o ) = 似，“( x ，1 ) = z ( 石+ 口) ( 4 3 ) 上述泊松方程的解析解为 材( x ，y ) = z ( 砂+ 口) ( 4 4 ) 在计算中取口= 0 。对求解区域用= 8 8 个规则节点均匀划分，支撑域半径为 s c a l e 2 7 ，m q 中参数c = 2 0 。图4 - l 比较了不同基函数得到的y = 0 4 上各点解的近似 1 8 径向基函数配点法的心用及其误差估计 第四章数值算例 解。图4 2 给出了精确解和m q 近似解。计算结果表明，几种基函数近似解与解析解 吻合得比较好。另外，计算中发现，即使将各紧支径向基函数的支撑域取得足够大， 甚至各支撑域中包含所有的节点，紧支径向基函数插值的精度仍然低于全局径向基函 数的插值精度。显然，强迫紧支径向基函数满足一致性条件可以显著提高近似的精度。 1 0e 主o 6 吾 主o 4 02 图4 - l广义非线性泊松方程在y = o 4 上数值结果和精确值比较 n u m e n c a l5 0 l 州i o n 至然 1 o8 运o 6 乏 主o 4 图4 - 2 精确解与m q 近似解比较 径向基函数配点法的应用及其误差估计 第四章数值算例 4 2 平面压电结构 问题一考虑长为l = 1 0 m m ，宽h 2 = 1 o m m 的正方形压电板，上下两边受均 布压力c r 0 = 5 0 1 0 6 聊2 作用，左右边分别有电势= 1 0 0 0 y 作用，极化方向沿z 轴 正向，左边边界固定，右边边界自由，如图4 3 所示。取压电材料为p z t - 5 ，材料属 性见表4 1 。 表4 1p z t 5 压电材料系数 弹性系数压电系数介电系数 岛l 1 6 4 1 0 1 2 聊2 吃l 1 7 2 1 0 - 1 2 历y 靠 1 5 3 1 0 5 xl o 。8 y 2 墨3 7 2 2 1 0 一1 2 m 2 弓3 3 7 4 1 0 啦所y 鬣 1 5 0 5 l o 。7 矿2 岛31 8 8 1 0 1 2 搬2 吐55 8 4 1 0 1 2 掰矿 屯 4 7 5 x 1 0 1 2 肌2 l- 喁 lllllll i 饿 z a t j e c n h 一 1j fflf ff7 图4 3 上下边作用均布压力、左右边作用电势的正方形压电板 边界约束条件可表示为 矽：( z ，z = 厅) = o ， 吒( 工，z = 厅) = ，( x ，z = 办) = o ， 矽( z = 三，z ) = 一，吒( x = 三，z ) = o ， k ( x = 三，z ) = 0 ， ( 4 5 ) 夕( z = 0 ，z ) = + ，“( 工= o ，z ) = 0 ，w ( 石= 0 ，z = 0 ) = 0 i “2 而3 吼z w = 西5 工办+ 岛3 c r o z 【= ( 1 2 x 上) ( 4 6 ) 径向基函数配点法的应用及其误差估计 第四章数值算例 用= 1 0 1 0 个规则节点对区域进行离散，径向基函数c s i 迎f 2 插值中取支撑域 半径为s c a l e = 7 ，m q 中参数c = 3 。表4 2 给出了不同基函数插值在所有节点上的相 对误差结果。图4 4 给出了在板的下表面上甜，w ，的解析解与c s i f 2 、m q 、c c s r b f 配点无网格法的数值解结果比较。显然，c c s r b f 插值和m q 插值的结果都比c s r b f 2 插值结果好。 表4 - 2 不同插值函数的位移、电势的相对误差( ) ( a ) 位移材 ( b ) 位移w 雪_l工-ice等_劈石， 径向基函数配点法的应用及其误差估计第四章数值算例 ( c ) 电势矽 图4 - 4 问题一的无网格解 问题二考虑了一个几何尺寸与问题一相同的压电平面问题。在板的右端受面内 线性变化载荷+ q z ，= 5 0 1 0 6 肌2 ，q = 2 0 0 1 0 9 ( 所) 3 作用，上下表面受 电势作用，如图4 5 所示。材料参数与问题一相同，见表4 1 。边界约束条件表示为 ( 石，z = 厅) = 圪，吒( 工，z = 办) = 0 ，气( z ，z = 办) = 0 ， 妒，( z = 三，z ) = o ，吒( x = 三，z ) = a r o + q z ，k ( x = 三，z ) = o ，( 4 7 ) 痧，( x = 0 ，z ) = o ，”( z = o ，z ) = o ，以z = o ，z = o ) = o 该问题的解析解为3 1 】 嘲。( c r o 一学肘“一籍阳 w 呐，c 一等灯以一甏，q 手砜”箍，q 萼 ， 矽= 云一蟹渺) 图4 - 5 上下边作用电势、右边作用分布载荷的正方形压电板 径向基函数配点法的应用及其误差估计 第四章数值算例 同样地，用= 1 0 1 0 个规则节点对区域进行离散，径向基函数插值时的参数取 法与问题一相同。表4 3 给出了不同基函数插值在所有节点上的相对误差结果。图4 6 分别给出了板对角线上位移材，w 的解析解以及沿z 轴的解析解与c s r b f 2 、m q 、 c c s r b f 配点无网格法的数值解结果比较。结果再次表明了，c c s r b f 插值比 c s i 也f 2 插值结果好。 表4 3 不同插值函数的位移、电势的相对误差( ) ( a ) 位移“ ( b ) 位移w 径向基函数配点法的应用及其误差估计 第四章数值算例 4 3 参数影响分析 日c 圻cp o t 州叫( v o b ( c ) 电势矽 图4 6 问题二的无网格解 对于同一基函数，节点的数目、支撑域半径的大小以及参数c 对计算结果都是有 影响的。为了考察它们对数值结果的影响。针对问题二用c s i m f 基函数计算了关于 节点数目、支撑域半径大小( s c a l e ) 的相对误差( 见( 4 2 ) ) 结果，如表4 4 所示。表4 - 5 给出了m q 基函数中参数c 对结果的影响。 根据以上计算结果，可以得出以下结论： 1 ) 不同的径向基函数，对数值结果影响很大，本文所用三种基函数中c s r b f 较差， 而m q 、c c s r b f 的结果相对较好； 2 ) 对于同一基函数，节点取得越密，计算精度越高，但是计算量也相对的增加很多； 3 ) 支撑域半径的大小，对计算结果有明显影响，半径越大支撑域内包含的节点数目 就越多，它的精度也越高：但当支撑域半径达到一定程度时，增加节点数目对精 度的影响变小，如表4 4 中取s c a l e = 4 ，5 ，7 时，1 0 l o 与1 5 1 5 节点数据所示； 4 ) m q 径向基函数具有很好的属性，正如文m 1 述说的那样：计算精度严重依赖于参数 c 的选取，且随着参数c 的增大误差越小，但存在一个最佳的取值。表4 5 结果显 示出与文m 1 中得到的关于基函数的数值计算结论是一致的，很显然本文问题 二中的m q 最佳参数为c = 2 0 。关于参数c 对精度的影响在下一章中将进一步讨论。 径向基函数配点法的应用及其误差估计第四章数值算例 表4 4 节点数目和支撑域半径对问题二的影响( 相对误差p ( ) ) 表4 - 5 节点数目和参数c 对问题二的影响( 相对误差p ( ) ，m q ，s c a l e = 7 ) 径向基函数配点法的应用及其误差估计 第五章误差估计 第五章误差估计 本章针对r m q 径向基函数( 2 2 ) 配点法求解偏微分方程( p d e s ) 进行误差估计， 利用r m q 或m q 径向基函数配点法求解p d e s 是一种高效的数值方法。它具有以下 特点3 2 】： 1 ) 此方法是真正的无网格法，克服了需要重新划分网格带来的繁重工作和额外费 用。如，移动边界问题，大挠度问题，接触问题等。 2 ) 具有很高的指数收敛率，占一p ( 五圹1 ) 。这里办最大网格间距，o 0 ，o 允 l 是与边界条件及几何形状有关的常数。在确定这些参数的数值计算 过程中，假设计算机有足够大的精度，以防止矩阵条件数的增大而使结果不稳定。可 使用m a t h e m a t i c s 和m a p l e 软件，它们可设任意位精度( 文中取1 0 0 ) 。 l 、误差估计参数的确定 a ) 寻找也。固定参数c ，设有三种不同的网格划分 ，吃，呜，它们的关系为：如= 岛向， 缟= 啊。则由( 5 5 ) 式可得 l o g 旦：一l o g 兄砰( 1 一砰) ，l o g 皇：少l o g 名砰( 1 一碜) ( 5 6 ) 岛 从而得 删；尝 ( 5 7 ) l o g ( q 毛) 1 一磅 、7 根据数值计算可确定毛一1 b ) 确定毛，岛。 对于固定乞= 一l ，令办= l 5 ，l 1 0 ，l 2 0 ，参数c = 0 1 5 0 ，间隔为o 1 ，得到大量的 数据。根据( 5 5 ) 和( 5 6 ) 式，利用非线性拟合可确定：局= 1 2 ，岛= 3 2 。同时还得到： 口o 7 2 ，h a = - o 8 9 6 ，它们与边界有关。 c ) 最大参数c 根据以上确定的参数，误差估计式( 5 5 ) 式为： 占d 0 ”五协。) ( 5 8 ) 上式关于参数c 求极值得 ：一罢 ( 5 9 ) 一面 ( 5 9 ) 这是在机子精度允许的范围内，参数c 应取的最大值。将( 5 9 ) 代入( 5 8 ) 式可得 占一d ( 7 一”) ，7 = 州百( 5 1 0 ) 在本算例中，7 = 0 6 8 。 径向基函数配点法的应用及其误差估计第五章误差估计 2 、残量误差 以上误差分析是根据最大值误差( 5 1 ) 式和均方根误差( 5 2 ) 式进行的。在这些误差 式中是根据近似解与解析解之间的差得到的。但是，在实际问题中预先不可能知道解 析解! 为此可利用残量方法重新定义误差。根据插值配点法知，所求方程的近似解在 区域内部和边界上的所有节点是强迫满足微分方程和边界条件的。但在区域内的非节 点( 计算点) 一般不满足微分方程，即： b ( 毛) = ( 群( 薯”一厂( 薯)( 5 1 1 ) 一般不等于零，上式被定义为残量误差。根据h s i a o 等人( 文1 3 2 1 中所引的啪) 给出的 结论知，解的近似误差被限制在某常数与残量误差乘积之间，即： c l 占e q( 5 1 2 ) 其中，c l ，c 2 是与解无关且通常不能确定的未知常数，占是近似误差，可以是最大值 误差、均方根误差或其它方式定义的误差。因此，虽然残量误差不能给出误差的大小， 但可以很好地用来描述误差的趁势。根据以上的描述，残量误差估计可以表示为 一c 占( 5 1 3 ) 其中，c 是未知常数。 设q ，c 是两个不同的基函数形状参数，对于给定的网格而，可以获得两组不 同的残量误差 ) 和( q + 。) ，由( 5 8 ) 式可得 h 端钟诸渺华h 旯 ( 5 1 4 ) 这是一个关于口和l n 五的线性方程，理论上只需取三个不同的参数c 得到两个线性方 程就可求出口和l n 允。实际计算中，在粗糙网格下取一组c 得到一组数据，然后用最 小平方近似求出口和l n 五。从而可由( 5 9 ) 式得到。 3 、有限精度计算 以上的计算和结论都是在高精度( 1 0 0 位精度) 下得到的。然而，实际的计算通 常基于f o r t 啪、c 等计算机语言编程计算的，一般在单精度( 8 位) 或双精度( 1 6 位) 下进行计算。故需要考虑有限精度对径向基函数配点法稳定性的影响。 径向基函数配点法的应用及其误差估计第五章误差估计 一般地，由于基函数的全局性，配点法的解矩阵是病态的，所以由有限精度引起 的截断误差可能会使矩阵解不稳定。数值试验显示，在有限精度( d ) 下的最佳参数c 要 比高精度下的要小，而且就取矩阵条件数达到双精度量级要求( 1 0 d ) 时( 有效条 件数) 的值。因此，在实际计算过程中首先在粗糙网格下，得到有限精度下的最大参 数c ( 观察有效条件数) ，然后，在确定的参数c 下，再细化网格以达到最好的精度。 按这个过程得到的有效收敛率仅为占d ( 五一仃) ，而不是高精度下的d ( 7 一”) 文【3 2 】中的数值计算结果验证了以上所有关于误差估计的猜想和结论。 5 2 非线性泊松方程的误差估计 文【3 2 】和文【3 4 】的误差估计是针对线性p o i s s o n 方