初中数学竞赛分专题训练试题及解析(10套,76页).doc

1 初中数学竞赛专项训练（初中数学竞赛专项训练（1） （实 数） 一、选择题 1、如果自然数a是一个完全平方数，那么与 a之差最小且比a 大的一个完全平方数是 （ ） A. a1B. a2+1C. a2+2a+1D. a+2a+1 2、在全体实数中引进一种新运算 *，其规定如下： 对任意实数a、b 有a*b=（ab）(b1)对任意实数a 有 a*2a*a。当x2 时， 3*（x*2） 2*x1 的值为（ ） A. 34B. 16C. 12D. 6 3、已知 n 是奇数，m 是偶数，方程 myx ny 2811 2004 有整数解 x0、y0。则（ ） A. x0、y0均为偶数B. x0、y0均为奇数 C. x0是偶数 y0是奇数D. x0是奇数 y0是偶数 4、设 a、b、c、d 都是非零实数，则四个数-ab、ac、bd、cd（ ） A. 都是正数B. 都是负数C. 两正两负D. 一正三负或一负三正 5、满足等式2003200320032003xyxyxyyx的正整数对的个数是 （ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 6、已知 p、q 均为质数，且满足 5p2+3q=59，由以 p3、1pq、2pq4 为边长的三角形是（ ） A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形 7、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（ ） 整除。 A. 111B. 1000C. 1001D. 1111 8、在 1、2、3100 个自然数中，能被 2、3、4 整除的数的个数共（ ）个 A. 4B. 6C. 8D. 16 二、填空题 1、若 2001 1 1981 1 1980 1 1 S，则 S 的整数部分是_ 2、M 是个位数字不为零的两位数，将 M 的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数 N，若 MN 2 恰是某正整数的立方，则这样的数共个。 3、已知正整数 a、b 之差为 120，它们的最小公倍数是其最大公约数的 105 倍，那么，a、b 中较大的数是 。 4、设 m 是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数，则 m 5、满足 19982m219972n2（0mn1998）的整数对（m、n）共有个 6、已知 x 为正整数，y 和 z 均为素数，且满足 zyx yzx 111 ，则 x 的值是 三、解答题 1、试求出这样四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位 数。 3 2、从 1、2、3、4205 共 205 个正整数中，最多能取出多少个数使得对于取出来的数中的任意三个数 a、b、c（abc） ，都有 abc。 3、已知方程03246 22 nnxx的根都是整数。求整数 n 的值。 4 4、设有编号为 1、2、3100 的 100 盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现 有 100 个学生，第 1 个学生进来时，凡号码是 1 的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号 码是 2 的倍数的开关拉一下，第 n 个（n100）学生进来，凡号码是 n 的倍数的开关拉一下，如此下 去，最后一个学生进来，把编号能被 100 整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯 还亮着。 5、若勾股数组中，弦与股的差为 1。证明这样的勾股数组可表示为如下形式： 1222212 22 aaaaa， ， ，其中a为正整数。 5 初中数学竞赛专项训练（初中数学竞赛专项训练（2） （代数式、恒等式、恒等变形） 一、选择题：下面各题的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在括号内。 1、某商店经销一批衬衣，进价为每件 m 元，零售价比进价高 a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为 原来零售价的 b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是（ ） A. m(1+a%)(1-b%)元B. ma%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元D. m(1+a%b%)元 2、如果 a、b、c 是非零实数，且 a+b+c=0，那么 |abc abc c c b b a a 的所有可能的值为 （ ） A. 0B. 1 或-1C. 2 或-2D. 0 或-2 3、在ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，若B60，则 bc a ba c 的值为 （ ） A. 2 1 B. 2 2 C. 1D. 2 4、设 ab0，a2+b2=4ab，则 ba ba 的值为（ ） A. 3B. 6C. 2D. 3 5、已知 a1999x2000，b1999x2001，c1999x2002，则多项式 a2+b2+c2-ab-bc-ca 的值为 （ ） A. 0B. 1C. 2D. 3 6、设 a、b、c 为实数， 2 2 6 2 3 2 222 aczcbybax，则 x、y、z 中，至少有 一个值（ ） A. 大于 0B. 等于 0C. 不大于 0D. 小于 0 7、已知 abc0，且 a+b+c0，则代数式 ab c ca b bc a 222 的值是（ ） A. 3B. 2C. 1D. 0 8、若1364983 22 yxyxyxM（x、y 是实数） ，则 M 的值一定是（ ） A. 正数B. 负数C. 零D. 整数 二、填空题 1、某商品的标价比成本高 p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数） 不得超过 d%，则 d 可用 p 表示为 c A BC a b 6 2、已知-1a0，化简4) 1 (4) 1 ( 22 a a a a得 3、已知实数 z、y、z 满足 x+y=5 及 z2=xy+y-9，则 x+2y+3z=_ 4、已知 x1、x2、x40都是正整数，且 x1+x2+x4058，若 x12+x22+x402的最大值为 A，最 小值为 B，则 AB 的值等于 5、计算 )441()417)(413)(49)(45( )439()415)(411)(47)(43( 44444 44444 _ 6、已知多项式1547 23 xbxax可被13 x和32 x整除，则ba 三、解答题： 1、已知实数 a、b、c、d 互不相等，且x a d d c c b b a 1111 ，试求 x 的值。 7 2、如果对一切 x 的整数值，x 的二次三项式cbxax 2 的值都是平方数（即整数的平方） 。 证明：2a、ab、c 都是整数。 a、b、c 都是整数，并且 c 是平方数。 反过来，如果成立，是否对于一切 x 的整数值，x 的二次三项式cbxax 2 的值都是平方数？ 3、若 2222 1996199619951995a，求证：a 是一完全平方数，并写出 a 的值。 8 4、设 a、b、c、d 是四个整数，且使得 222222 )( 4 1 )(dcbacdabm是一个非零整数，求证： m一定是个合数。 5、若 2 a的十位数可取 1、3、5、7、9。求a的个位数。 9 初中数学竞赛专项训练（初中数学竞赛专项训练（3） （方 程） 一、选择题： 1、方程018)8( 2 axax有两个整数根，试求整数 a 的值（ ） A. -8B. 8C. 7D. 9 2、方程1) 1( 32 x xx的所有整数解的个数是（ ） A. 2B. 3C. 4D. 5 3、若 0 x是一元二次方程)0(0 2 acbxax的根，则判别式acb4 2 与平方式 2 0 )2(baxM的大小关系是（ ） A. MB. =MC. MD. 不能确定 4、已知acb4 2 是一元二次方程)0(0 2 acbxax的一个实数根，则 ab 的取值范围为 （ ） A. ab 8 1 B. ab 8 1 C. ab 4 1 D. ab 4 1 5、已知 1 x、 2 x是方程0)53()2( 22 kkxkx的两个实根，则 2 2 2 1 xx的最大值是 （ ） A. 19B. 18C. 9 5 5D. 以上答案都不对 6、已知zyx、为三个非负实数，且满足132523zyxzyx， ，zyxu73若，则 u 的最大值与最小值之和为（ ） A. 77 62 B. 77 64 C. 77 68 D. 77 74 7、若 m、n 都是正实数，方程02 2 nmxx和方程02 2 mnxx都有实数根，则 m+n 的最小值 是（ ） A. 4B. 6C. 8D. 10 8、气象爱好者孔宗明同学在 x（x 为正整数）天中观察到：有 7 个是雨天；有 5 个下午是晴天； 有 6 个上午是晴天；当下午下雨时上午是晴天。则 x 等于（ ） A. 7B. 8C. 9D. 10 二、填空题 1、已知两个方程00 22 abxxbaxx与有且只有一个公共根，则这两个方程的根应是 2、若)(0161101611 22 babbaa， ，则 b a a b 10 3、已知关于 x 的方程012) 1( 2 nxnx的两根为整数，则整数 n 是 4、设 1 x、 2 x是方程02) 1(2 22 kxkx的两个实数根，且8) 1)(1( 21 xx，则 k 的值是 5、已知 a、b 是方程04 2 mxx的两个根，b、c 是方程058 2 mxx的两个根，则 m 6、设 1 x、 2 x是关于 x 的一元二次方程2 2 aaxx的两个实数根，则)2)(2( 1221 xxxx的最大值 为 三、解答题 1、关于 x 的方程01) 1( 2 xkkx有有理根，求整数 k 的值。 11 2、设方程01200120032002 22 xx的较大根是r，方程0120022001 2 xx的较小根是s， 求rs的值。 3、确定自然数 n 的值，使关于 x 的一元二次方程076351082 22 nnxnxx的两根均为质数， 并求出此两根。 12 4、已知关于 x 的一元二次方程054)15117()9)(6( 2 xkxkk的两个根均为整数，求所有满 足条件的实数 k 的值。 5、有编号为、的四条赛艇，其速度依次为每小时 1 v、 2 v、 3 v、 4 v千米，且满足 1 v 2 v 3 v 4 v0，其中， 水 v为河流的水流速度（千米/小时） ，它们在河流中进行追逐赛规则如下：（1） 四条艇在同一起跑线上，同时出发，、是逆流而上，号艇顺流而下。 （2）经过 1 小时， 、同时掉头，追赶号艇，谁先追上号艇谁为冠军，问冠军为几号艇？ 13 初中数学竞赛专项训练（初中数学竞赛专项训练（4） （不等式） 一、选择题： 1、若不等式x+1+x-3a 有解，则 a 的取值范围是（ ） A. 0a4B. a4C. 0a2D. a2 2、已知 a、b、c、d 都是正实数，且 d c b a ，给出下列四个不等式： dc c ba a dc c ba a dc c ba b dc d ba b 其中正确的是（ ） A. B. C. D. 3、已知 a、b、c 满足 abc，ab+bc+ac0，abc1，则（ ） A. a+b|c|B. |a+b|c| C. |a+b|=|c|D. |a+b|与|c|的大小关系不能确定 4、关于 x 的不等式组 ax x x x 2 3 5 3 52 只有 5 个整数解，则 a 的取值范围是（ ） A. -6a- 2 11 B. -6a18，则 m4+9+2（k7）即任意大 于 18 的整数均可表示为三个互不相等的合数之和，故 m17 5、解：n2m2399551747， （n-m） （n+m）51747，显然对 3995 的任意整数分拆均可得到 （m，n） ，由题设（0mn1998） ，故满足条件的整数对（m，n）共 3 个。 6、解：由 yz zy yzx 111 及 xyz 得 yz=1，即 y 与 z 是两个相邻的自然数，又 y 与 z 均为素数， 只有 y3，z2，故 x=yz=6。 三、解答题 1、解：设前后两个二位数分别为 x、y，10x，y99。 根据题意有yxyx100)( 2 即0)()50(2 22 yyxyx 当0)992500(4)(4)50(4 22 yyyy yyx yy 99250050 250992500 时方程有实数解 即 由于 2500-99y 必为完全平方数，而完全平方数的末位数仅可能为 0、1、4、5、6、9，故 y 仅可 取 25，此时，x=30 或 20，故所求四位数为 2025 或 3025。 2、解：首先 1、14、15、16205 这 193 个数满足题设条件，事实上，设 a、b、c（abc）这 3 个 数取自 1、14、15、16205， 若 a1，则 abac； 若 a1，则 ab1415210c 3 另一方面考虑如下 12 个数组 （2，25，225） （3，24，324）（13，14，1314）上述这 36 个数互不相等，且其中最小 的数为 2，最大的数为 1314182205，所以每一个数组中的 3 个数不能全部都取出来，于是，如 果取出来的数满足题设条件，那么，取出来的数的个数不超过 205-12193（个） 综上所述，从 1、14、15、16205 中最多能取出 193 个数，满足题设条件。 3、解：原方程解得： 93243 2 932426 2 94324446 2 )324(4366 2 2 2 2 nn nn nnnn x 因为方程的根是整数，所以 4n232n9 是完全平方数。 设 4n232n9m2 （m0） （2n8）255m2 （2n8m） （2n8m）55 因 55155（1）（55）（5）（11）511 1182 582 5582 182 582 1182 182 5582 mn mn mn mn mn mn mn mn 解得： n10、0、-8、-18 4、解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的，所以只有那些 被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那些编号为 1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共 10 盏灯是亮的。 5、证明：设勾长为x，弦长为z，则股长为1z 1) 1(zz， zzx，1是一个基本勾股数组。 由z为奇数知：1z为偶数，从而x为奇数，设12 ax（a 为正整数） ，则有 222 ) 1() 12(zza，解得 122 2 aaz，故勾股数组具有形式 1222212 22 aaaaa 4 数学竞赛专项训练（数学竞赛专项训练（2）参考答案）参考答案 一、选择题 1、解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件 m（1a%）元，因调整后的零售价为原零售价的 b%，所以 调价后每件衬衣的零售价为 m（1a%）b%元。 应选 C 2、解：由已知，a，b，c 为两正一负或两负一正。 当 a，b，c 为两正一负时： 0 | 1 | 1 | abc abc c c b b a a abc abc c c b b a a 所以，； 当 a，b，c 为两负一正时： 0 | 1 | 1 | abc abc c c b b a a abc abc c c b b a a 所以， 由知 |abc abc c c b b a a 所有可能的值为 0。 应选 A 3、解：过 A 点作 ADCD 于 D，在 RtBDA 中，则于B60，所以 DB 2 C ，ADC 2 3 。在 RtADC 中，DC2AC2AD2，所以有（a 2 C ）2b2 4 3 C2，整理得 a2c2=b2ac，从而有 1 )( 2 2222 bbcabac bcabca bcba abacbc bc a ba c 应选 C 4、解：因为(a+b)2=6ab，(a-b)2=2ab，由于 ab0，得abbaabba26，故3 ba ba 。 应选 A 32) 1() 1( 2 1 211 )()()( 2 1 5 222 222222 原式 ， 又 ，、解： accbba accbbacabcabcba 应选 D 0 03) 1() 1(1)-(azyx6 222 中至少有一个大于、 则 、解：因 zyx cb 应选 A 5 3 )()()( )()()( 7 c c b b a a b c a c c b a b c a b a ab cba ac bca bc acb 、解：原式 应选 A 。，所以这三个数不能同时为， 且 ， 、解：因为 0M0322 0)3()2()2(2 13649838 222 22 yxyx yxyx yxyxyxM 应选 A 二、填空题 1、解：设该商品的成本为 a，则有 a(1+p%)(1-d%)=a，解得 p100 p100 d 2、解因为1a0，所以。，且，即0 1 0 1 a-1 a 1 a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 2 ) 1 ( 1 | 1 | 1 |) 1 () 1 ( 1 2 1 24) 1 4) 1 22 2 2 2 222 （ 3、解：由已知条件知（x+1）y=6，(x1)y=z29，所以 x1，y 是 t26tz29=0 的两个实根，方 程有实数解，则（6）24（z29）4z20，从而知 z=0，解方程得 x+1=3，y=3。所以 x+2y+3z8 4、解：494。因为把 58 写成 40 个正整数的和的写法只有有限种，故 2 40 2 2 2 1 .xxx的最小值和最 大值是存在的。不妨设 4021 .xxx，若 1 x1，则 1 x+ 2 x（ 1 x-1）+( 2 x+1)，且（ 1 x1） 2+（ 2 x+1）2 1 x 2+ 2 x 22（ 2 x- 1 x）+2 1 x 2+ 2 x 2，所以，当 1 x1 时，可以把 1 x逐步调整到 1，这 时 2 40 2 2 2 1 .xxx将增大；同样地，可以把 2 x， 3 x， 39 x逐步调整到 1，这时 2 40 2 2 2 1 .xxx将增大。于是，当 1 x， 2 x， 39 x均为 1， 40 x19 时， 2 40 2 2 2 1 .xxx取得最大值，即 A 个39 222 1.11+192400。若存在两个数 i x， j x，使得 j x i x2（1ij40） ，则（ i x1）2+（ j x-1）2 i x 2+ j x 22（ j x i x1） i x 2+ j x 2，这 说明在 1 x， 3 x， 39 x， 40 x中，如果有两个数的差大于 1，则把较小的数加 1，较大的数减 1，这时， 2 40 2 2 2 1 .xxx将减小。所以，当 2 40 2 2 2 1 .xxx取到最小时， 1 x， 2 x， 40 x中任意两个 6 数的差都不大于 1。于是当 1 x 2 x 22 x1， 23 x 24 x 40 x2 时， 2 40 2 2 2 1 .xxx取得最小值，即942.221.11 18 222 22 222 个个 B， 故 AB494 353 1 142 12 142140181614 140138161412 1) 1(1) 1( )22)(22()2()2(45 2 2 22222 22222 22 222224 ）（）（）（ ）（）（）（ 原式 、解： xx xxxxxxx 6、解：由已知可知，0) 2 3 (0) 3 1 (ff， 得 015 2 141 4 9 8 22 015 3 47 927 ba ba ，解得 2 24 b a ab24226 三、解答题 1、解：由已知有 x a dx d cx c bx b a 1111 2