（概率论与数理统计专业论文）非lipschitz倒向随机微分方程及其相关问题研究.pdf

原创性声明 f 舢脚f f f f f f f f f f f | 删舢 y 1 7 = e 9 lj | j , 4 | l | l lj 1 j l | l 1 | j ij2|r r | l l 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：2 盘 日期：业：塑j 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：乏亟导师签名：望! 兰! 皇日期：坐! 三：y 论文作者签名：之邀导师签名：望鲨里日期：坐! 三：y b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t h n o n - l i p s c h i t zc o e f f i c i e n t sa n dt h er e l a t e d r e s e a r c h 非l i p s c h i t z 倒向随机微分方程以及相关问题的研究 t h e s i s s u b m i t t e di np a r t i a lf u l f i l l m e n to ft h er e q u i r e m e n t sf o r t h ed e g r e eo f d o c t o ro fp h i l o s o p h y ( f i n a n c i a lm a t h e m a t i c sa n df i n a n c i a le n g i n e e r i n g ) a tt h e s h a n d o n gu n e r s i t y b y y i n gw a n g s u p e r v i s o r ：p r o f s h i g ep e n g m a r c h2 0 1 0 中文摘要 英文摘要 第一章 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 第二章 2 1 2 2 2 3 2 4 第三章 3 1 3 2 3 3 3 4 目录 非l i p s c h i t z 系数的b s d e 引言 预备知识和主要假设 引理与主要结论 比较定理 b s d e 的稳定性定理 b s d e 的单调极限定理和夕- 上鞅分解定理 引言 预备知识 b s d e 的单调极限定理 9 上鞅分解定理 非l i p s c h i t z 系数b s d e 生成元的表示定理及其应用 引言 先验估计和记号 b s d e 生成元的表示定理 表示定理的应用 第四章非l i p s c h i t z 倒向半线性随机发展方程的适应解 4 1 引言 4 2 方程( 4 1 ) 的简化形式 4 。3 方程( 4 1 ) 参考文献 在读期间发表论文 致谢 3 i 1 1 1 3 5 0 3 6 6 7 9 2 5 5 6 9 4 b 8 9 5 b 9 d i 1 1 3 5 加坞 ：呈m 均沈 筋弱；!号约弘 勰驱 鸽 昌宝 山东大学博士学位论文 非l i p s c h i t z 倒向随机微分方程以及相关问题的研究 王赢 ( 山东大学数学学院，山东济南2 5 0 1 0 0 ) 摘要 形如下式的般的非线性倒向随机微分方程( 简记为b s d e ) 玑= + z t 9 ( s ，玑d s 一t 磊d 毗，。z z ( 1 1 ) 由p a r d o u x 和p e n g 9 7 在1 9 9 0 年给出其中g ( t ，y ，z ) 称为b s d e ( 1 1 ) 的系数或生成元， ( zf ) 称为b s d e ( 1 1 ) 的终端条件众所周知，当g ( t ，y ，2 ) 关于y ，z 满足一致l i p s c h i t z 条件，并且和( 9 ( ，0 ，o ) ) t l o ，7 1 平方可积时，方程( 1 1 ) 存在唯适应解从那时起，有关 b s d e 的基础理论研究和应用研究如雨后春笋般地大量涌现首先当然是关于b s d e 基本理论的研究，其中包括在更复杂的形式下( 如带跳的，正倒向的，带反射的，由一般 鞅驱动的等等) 以及或者当系数满足比l i p s c h i t z 条件更弱的假设下建立b s d e ( 1 1 ) 的解的存在唯一性结果具体可参考p 缸d o u x - p e n g 1 0 1 ，e ik a r o u i 4 1 1 ，l e p e l t i e r - s a n m a r t i n 7 9 ；8 0 ，k o b y l a n s k i 7 7 ，b r i a n d - h u 【1 0 ；11 ，c h e n 2 7 ，j i a 6 2 ；6 3 ；6 5 ，b r i a n d - d e l y o n - p a r d o u x - h u - s t o i c a 9 ，m a o 9 2 ，h u - p e n g 5 9 ，h u - y o n g 6 0 ，p e n g - w u 11 5 ，m a - p r o t t e r - y o n g 8 8 ，m a - y o n g 8 9 ，p a r d o u x - t a n g 9 9 ，p e n g - s h i 11 6 ，w u 1 2 1 ；1 2 2 ；1 2 4 ， e ik a r o u i - k a p o u d j i a n - p a r d o u x - p e n g - q u e n e z 4 5 ，k o b y l a n s k i - l e p e l t i e r - q u e n e z - t o r r e s 7 8 ， m a t o u s s i 9 3 ，h a m a d 色n e - l e p e l t i e r - m a t o u s s i 4 9 ，h a m a d b n e 5 1 ，h a m a d 宅n e - l e p e l t i e r - w u 4 9 ，l e p e l t i e r - m a t o u s s i - x u 8 1 】等等这一部分还包括关于b s d e ( 1 1 ) 各种重要 性质的研究( 如比较定理，逆比较定理，生成元的表示定理，j e s s e n 不等式等) 具体可 参考p e n g 1 0 4 ；1 0 5 ，e 1k a r o u i p e n g - q u e n e z 4 2 ，b r i a n d - c o q u e t h u - m d m i n - p e n g 8 ， c o q u e t - h u - m d m i n p e n g 3 1 ，c a o - y a n 1 4 ，l i u r e n 8 5 1 ，w u 1 2 3 1 ，c h e n - k u l p e r g e r - j i a n g 2 0 ； 2 1 ，j i a n g 6 6 ；6 7 ；6 8 ；7 0 ；7 1 ，j i a 6 5 】等等与此同时，随着不断深入的研究，人们发现 b s d e 理论不但成为了概率论随机分析领域一个非常重要的研究分支，更为可喜的是这 一理论还可以被广泛地应用于许多其他领域，比如随机最优控制( 如p e n g 1 0 4 ；1 0 6 ；1 0 8 ； 1 0 9 ，h a m a d 爸n e - l e p e l t i e r p e n g 5 2 1 ，h a m a d 爸n e - l e p e l t i e r - w u 4 9 ，h a m a d 皂n e 5 0 ，l i m - z h o s 2 ，k o h l m a n n - t a n g 7 4 ；z 5 ，k o h l m a n n - z h o u 7 6 ，l i u - p e n g 8 7 等) ，金融数学( 如 山东大学博士学位论文 e 1k a r o u i - p e n g - q u e n e z 4 2 ，k a x o u i - q u e n e z 4 4 ，c h e n - e p s t e i n 1 8 ，d u f l i - e p s t e i n 3 8 ，c v i - t a n i d - k a r a t z a s 3 4 ，y o n g 1 2 5 等) ，偏微分方程( 如p e n g 1 0 2 ，p a r d o u x 9 5 ，e 1k a r o u i - k a p o u d j i a n - p a x d o u x - p e n g - q u e n e z 4 5 ，p a r d o u x - p e n g 10 1 ，b a r l e s - b u c k d a h n - p a r d o u x 4 ， p a r d o u x - t a n g 9 9 ，b u c k d a h n - h u 1 3 ，k o b y l a n s k i 7 7 】等) ，非线性期望( 如p e n g 1 0 5 ； 1 0 7 ；1 1 1 ；1 1 2 ，b r i a n d - c o q u e t - h u - m d m i n - p e n g 8 ，c o q u e t - h u - m d m i n - p e n g 2 9 ，c h e n - p e n g 2 6 ，c h e n - e p s t e i n 1 8 ，c h e n - c h e n - d a v i s o n 17 ，c h e n - k u l p e r g e r - j i a n g 2 0 ；2 1 ，c h e n - w a n g 2 4 ，j i m a g 6 6 ，r o s a z z a 1 1 8 】等) 而且在处理许多问题的时候b s d e 的理论与技术 都成为了非常好用的研究利器，可以起到事半功倍的作用( 如大家熟知的著名的b l a c k - s c h o l e s 公式就是b s d e ( 1 1 ) 的线性形式) 本文主要致力于b s d e 基础理论的研究，首先是关于b s d e 解的存在唯一性问题 的研究这一理论研究已有的工作可大致分为两个方面：一维情形和多维情形对于一 维情形，比较定理起了决定性的作用k o b y l a n s k i 【7 7 ，l e p e l t i e r - s a nm a x z i n 7 9 ；8 0 1 等 工作都属于这种情形在多维情形下，由于没有比较定理，一般需要用到单调性假设或 者其他一些假设，比如b r i a n d - c a r m o n a 7 和m a o 9 2 1 的工作然而，无论是一维情形 还是多维情形，研究者般在非l i p s c h i t z 条件中都不考虑时间变量t 本文中，我们给 出了一种含有时间变量z 的非l i p s h c i t z 条件，在此假设下证明了b s d e ( 1 1 ) 解的存 在唯性并以此为理论基础讨论了一些相关问题包括b s d e 的单调极限定理和夕- 上 鞅分解定理，生成元的表示定理以及h i l b e r 空间中方程解的存在唯一性问题 本文主要包括以下4 章内容： 第一章非l i p s c h i t z 的b s d e 适应解的存在唯性； 第二章b s d e 的单调极限定理和旷上鞅分解定理； 第三章b s d e 生成元的表示定理及其应用： 第四章非l i p s c h i t z 条件下倒向半线性随机发展方程的适应解 ( i ) 在第一章，我们假设9 满足如下非l i p s c h i t z 条件： d p d tn 8 ，1 9 ( t ，! ，l ，z 1 ) 一9 ( t ，y 2 ，勿) 1 2 p ( t ，l y l 一妇1 2 ) + c z l 一勿1 2 ( h 1 3 ) 这里c 1 并且p ( t ，让) 满足： i i 山东大学博士学位论文 对固定的t 【0 ，卅，p ( t ，) 是连续非降凹函数且p ( t ，0 ) = 0 对给定的也，f p ( t ，u ) d t + o o 如下常微分终值问题 有唯一解u ( t ) = o ，t 【o ，卅 u = - 菇p ( t 存在a ( t ) 0 ，b ( t ) 0 ，使得p ( t ，t 1 ) a ( t ) + 6 ( ) 缸，且 小伽o o ? t b ( ) 认慨 本章的主要结论是定理1 3 1 定理1 3 1 设l 2 ( q ，乃，p ) 且( h 1 2 ) ，( h i 3 ) 成立，则b s d e ( i i ) 存在唯一 适应解( y t ，z t ) o _ t 0 的b s d e s ， 诉= 汀t g e ( 嘣，削s 一t d 儿，。t z ( 1 1 。) i l l 山东大学博士学位论文 当旷满足非l i p s c h i t z 假设( h 1 3 ) 时，我们得到了个稳定性定理 定理1 5 1 假设( h 1 6 ) ，( h 1 7 ) ，( h 1 8 ) 成立，则我们有 v t 1 0 ，刁，e 1 y 一y o l 2 】+ e 【l 苟一哿1 2 d t 】一0 ，a 8e _0t ， ，0 ( i i ) 在第二章中，在非l i p s c h i t z 框架下我们研究了b s d e 的单调极限定理和9 - 上鞅的分解定理主要包含以下内容 对b s d e s 馥= 谚+ t g ( s ，虻，之) d s + a 一a ：一t 之d 眦，i = 1 ，2 ，(27jj )玩= 许+( s ，虻，) d s + 一a ：一艺d 眦， i = 1 ，2 ， ( 2 ) 我们有 t h e o r e m2 3 2 ( 单调极限定理) 假设g ( t ，y ，z ) 满足( h 1 2 ) a , n d ( h 1 3 ) ，( a ) 满足 ( h 2 1 ) ( y ，) 为b s d e ( 2 7 ) 的解，并且e 【s u pi y l l 2 】 o o 如果( ：) 单调递增收敛 到( y t ) 且e 【s u pi y t l 2 】 ，则( y t ) 是一个夕- 上解即，存在( 忍) 彳2 ( o ，丁；r d ) 和 一个右连左极平方可积的增过程( a t ) 使得( y t ，忍) 是如下b s d e 的解 玑= f + t 夕( s , y o , z a ) d s + a t - - a t - t z , d 眠，。e ( 2 8 ) 其中( 蔬) o t t 是 ( 之) 在m 2 ( o ，丁；r d ) ( 相应的在m p ( o ，t ；r d ) ，p 2 ) 中的弱( 相 应的强) 极限，并且对每个t ，a t 是【a ) 在l 2 ( q ，五，p ) 中的弱极限 定理2 4 3 ( g - 上鞅分解定理) 假设( h 1 2 ) ，( h 1 3 ) ，( h 2 3 ) 成立设( m ) 是【0 ，7 1 上强意义下的右连续夕- 上鞅且 也s u s p iy,it 2 10 t i 则( k ) 是一个【0 ，刀上的9 上解：即存在唯一的右连左极的增过程( 月t ) 满足a o = 0 且e ( a t ) 2 使得( k ) 是如下b s d e 的解 纨= 埽+ t 夕( s ，y s ：z s ) d s + a t - - a t - t z 。d m ，。t z( 2 1 5 ) ( i i i ) 在第三章中，在非l i p s c h i t z 框架下，我们证明了b s d e 生成元的表示定理 利用此表示定理，我们还证明了驴期望的唯性道理和b s d e 的般逆比较定理用 r 山东大学博士学位论文 ( 矿，账，护，t ) 表示b s d e ( 1 ) 的解，第三章的主要结论是如下定理 定理3 3 5 ( 表示定理) 设g 满足( h i 1 ) ，( h 3 1 ) ，1 p 1a n dp ( 1 ，t 正) s a t i s f i e s ： f o rf i x e dt f 0 ，卅，p ( t ，- ) i sac o n t i n u o u sc o n c a v en o n d e c r e a s i n gf u n c t i o ns u c ht h a t p ( t ，0 ) = 0 f o rf i x e dt ，f p ( t ，u ) d t + t h ef o l l o w i n go d e u = - 等p ( t 曲 h a sau n i q u es o l u t i o nu ( ) = 0 ，t 【0 ，刀 t h e r ee x i t sa ( t ) 0 ，b ( t ) 0 ，s u c ht h a tp ( t ，t ) a ( t ) + 6 ( ) 牡，a n d z t n ( ) 出 + ，z r b ( d 出 0 ， 垢= r + z t 矿( s ，虻，艺) d s z t d 眦， 。z ( 1 1 。) w h e n 旷s a t i s f i e so u rn o n - l i p s c h i t za s s u m p t i o n ( h i 3 ) ，w eg e tas t a b i l i t yt h e o r e m t h e o r e m1 5 1 u n d e ra s s u m p t i o n ( h i 6 ) ，( h 1 7 ) a n d ( h 1 8 ) ，w eh a v e v t 【0 ，刀，e 【| 垢一贸1 2 】+ e 【i 一窖1 2 d t 】_ 0 ， a 8 _ 0 f t ，o ( i i ) i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h em o n o t o n i cl i m i tt h e o r e ma n d n o n l i n e a rd e c o m p o - s i t i o nt h e o r e mo fg - s u p e r m a r t i n g a l eu n d e ro u rn o n l i p s c h i t za s s u m p t i o n t h ef o l l o w i n g f i r et h em a i nr e s u l tc h a p t e r2 f o rb s d e 8 ，t，t 玩=游+(夕(s，班，z：)ds+辟一4一正z：dwsj j ，江1 ，2 一 ( 2 7 ) tt w eh a v e t h e o r e m2 3 2 ( m o n o t o n i cl i m i tt h e o r e m ) w ea s s u m et h a tg ( t ，y ，z ) s a r i s - t i e s ( h i 2 ) a n d ( h i 3 ) a n d ( a ) s a t i s f i e s ( h 2 1 ) l e t ( y ，z ) b et h es o l u t i o no fb s d e ( 2 7 ) ，w i t he ( s u p 蚓2 】 e o i f ( 鲥) i n c r e a s i n g l yc o n v e r g e st o ( y t ) w i t he 【s u pl y t l 2 】 ，t h e n ( y t ) i sag - s u p e r s o l u t i o n i e ，t h e r ee x i s ta ( z t ) m 2 ( o ，t ；r d ) a n dar c l l i x 山东大学博士学位论文 s q u a r ei n t e g r a b l ei n c r e a s i n gp r o c e s s ( a t ) s u c ht h a tt h ep a i r ( y t ，z t ) i st h es o l u t i o no ft h e b s d e 轨= + t 9 ( s , y s , z a ) d s + a t - - a t - t 磊d 眦，。z l ( 2 8 ) w h e r e ( 忍) 蜓t ti s t h ew e a k ( r e s p s t r o n g ) l i m i to f ( 乏) ) i na p ( o ，丁；r a ) ( r e s p i n m p ( 0 ，t ；r d ) ，f o rp 2 ) a n d ，f o re a c ht ，a ti st h ew e a kl i m i to f 月i i nl 2 ( q ，五，j p ) t h e o r e m2 4 3 ( d e c o m p o s i t i o nt h e o r e m ) a s s u m et h a t ( h 1 2 ) ，( h 1 3 ) a n d ( h 2 3 ) h o l d l e t ( k ) b ear i g h tc o n t i n u o u sg - s u p e r m a r t i n g a l eo n 【0 ，刀i ns t r o n gs e n s e w i t h r1 e l s u pm 2 l l o s t s l j t h e n ( k ) i sag - s u p e r s o l u t i o no n 【0 ，卅：t h e r ee x i s t sau n i q u er c l li n c r e a s i n gp r o c e s s ( a t ) w i t ha o = 0a n de ( a t ) 2 o 是右连续并且是完备的 令t 0 为终端时刻对欧式空间中的向量可i p ，我们用表示的范数对于 一个nxd 的矩阵z ，我们定义其范数为z = 、再孑歹，其中z 表示z 的转至对于两 个n 维向量z ，可r n ，我们用( z ，耖) 表示它们的内积 下面我们给出一些文中常用的空间： 用l 2 ( q ，乃，p ) 表示所有取值于r ，的厅可测的随机变量所构成的空间，其范数 为 羔2 = e 2 ，o ，p ：r + _ r + 是连续非降的凹函数，满足p ( o ) = 0 ，当乱 0 时，p 扣) 0 并- 且厶+ j 际= 在此假设下，他证明了b s d e ( 1 1 ) 存在唯一解从( h 1 1 ) 我们可以 看出函数p 是与时间变量t 无关的，我们将在此基础上将时间变量t 考虑进去，提出一 类新的非l i p s c h i t z 条件，从而推广了m a o 9 2 的相应结果 下面我们给出本文的主要假设b s d e ( 1 1 ) 的生成元 g ( t ，y ，z ) ：q 【0 ，卅x d _ 满足 对任意的( y ，z ) 础r “d ，有夕( ，y ，z ) m 2 ( o ，丁；r “) 成立( h 1 2 ) 对任意的( ! ，1 z 1 ) ，( y 2 ，z 2 ) r “r “x 4 ，有 d p d tn s ，i g ( t ，y l ，z 1 ) 一g ( t ，y 2 ，z 2 ) 1 2 p ( t ，i y l 一耽1 2 ) + c 1 2 1 一勿1 2 ， ( h 1 3 ) 其中c 1 且p ( t ，u ) 满足： 对固定的t 【0 ，卅，p ( t ，- ) 连续非降的凹函数，使得p ( t ，0 ) = 0 ，当u 0 时， p ( t ，0 ) 0 对固定的t | ，片p ( t ，u ) d t 0 ，由g r o n w a l l 不等式我们可以得到 证毕 e l 聍+ m 一订1 2 三e c m ) t p ( s ，e l y e + m - 1 _ 鳕i ) d s 引理1 3 3 假设f l 2 ( q ，疗，p ) ，g ( t ，y ，z ) 满足( h 1 矽和( - i 剀，则存在冗【0 ，t ) 与常数m 0 使得对任意的t 陬，刀，n 1 ，有e i 聍1 2 m 成立，并且乃的值与 终端条件无关 证明v n 1 ，t 【0 ，t i ，对l 卯1 2 应用i t 6 公式，可以得到 e i 聍1 2 + e r i z ? 1 2 d s5e i 1 2 + 石1e t 。2 d s + 口e tl ，( s ，鳕- 1 , z ? ) 1 2 d s s e i f l 2 + 吾e tj y ? j 2 d s + 2 0 e t i f ( s ，。，。) 1 2 d s + 2 口c ef t i z 2 1 2 d s + 2 0 t p ( s ，e i 鳕一1 1 2 ) d s 令口= 麦 0 ，则有 e i 订1 2 e 1 f 2 + 2 c e 丁i 贸1 2 如+ 三1e ti ，( s ，。，。) 1 2 + 三t p ( s ，e i 鳕以1 2 ) d s 由g r o n w a l l 不等式，我们可以推出 e i 聍1 2 e 钯f - t 【e 陈1 2 + ：1e ti f ( s ，。，。) 1 2 d s 】+ 三e - ( t - t ) t p ( s ，e l y 7 1 1 2 ) 幽， 取元= m a x t - 麦l n c ，o ) ，我们有 e l 聍1 2 触+ t p ( s ，e i 谚- 1 1 2 ) 如，院，卅， 6 ( 1 3 ) 山东大学博士学位论文 这里地= c e l 1 2 + e ri f ( s ，0 ，o ) 1 2 d s 令 m = 2 # o + 2 j ( o t = 2 + z ri ，2 + f c ta(s)ds2 c e k i 2 e g ( s0o ) 1 d s 2a(s)ds0j ( 1 4 ) = 2 + i， 2 + ( 1 4 ) ，o 选取矗使得 脚+ p ( s ，m ) d s 1 1 1 ，t 匝，卅 ( 1 5 ) 再取7 1 = m a x t a ，矗 由于对所有的z 【7 1 ，卅，p ( t ，) 是非降的且p ( t ，0 ) = 0 ，由不 等式( 1 3 ) 和( 1 5 ) ，我们有 e l y a t1 2 地 毛 e l y ；1 2 p t + p ( s ，e m l 2 ) d s p o + p ( s ，m ) d s m ， 2p。+(r，2+(tely?i p ( se i y 2 , i ) d s p o p ( s ，m ) d s m jj 2 p t + ， 2 + p ( s ， it 由数学归纳法我们可以证明，对所有的n 1 ，t i t , ，7 1 ， e i 聍1 2 m 现在我们来证明磊是确实存在的并且其取值与终端条件f 是无关的注意到由假设 ( h 1 3 ) ，( 1 5 ) 式成立如果 伽+ z r n ( s ) d s + m z t 6 ( s ) d s m ，【矗，刀 s t , - r 而由不等式( 1 4 ) 知，上式成立如果 z t 6 ( s 肌1 啦，卅 成立由假设( h 1 3 ) ，j ：；fb ( t ) d t 参，由fb ( s ) d s 的连续性可知， 存在矗【0 ，t ) 使得层6 ( t ) d = 参显然矗( 进而l 1 ) 的取值与b s d e ( 1 1 ) 的终端 条件f 是无关的证毕 由引理1 3 2 和l e m m a1 3 3 ，我们可以证明定理1 3 1 存在性： 7 山东大学博士学位论文 对n 1 我们定义一列函数列 ( ) ) n 1 如下： 啪) = t 小雕； 小) = t 小，姒s ) ) 瓠 则对所有的t 【乃，7 1 ，由引理1 3 3 的证明，我们可以推出 ( z ) 2 上p ( s ，m ) d s m f t ， 州归t 小，( s ) ) d s t 小，m ) d s = i ，o o m ) d m ， 州归小，( s ) ) d s 。小， m ， 纵归f t t p ( s ，洲s ) ) d s t 小，( s ) ) d s = 州雌m ， 由数学归纳法可以证明对所有的佗1 ，妒n ( ) 满足 0 + l ( t ) 妒。( ) 妒1 ( ) t ( ) m 即 ( ) ，t 【7 1 ，卅) 。l 是一致有界的另一方面，v 佗1 ，vt l ，t 2 【7 1 ，卅，我们有 ，1 2，t 2 i 妒。( 1 ) 一妒n ( 2 ) i = i p ( s ，一1 ) s ) d s i i p ( s ，m ) d s j t l j t l 由定理1 3 1 的假设知，对固定的乱，启p ( t ，u ) d t + ，所以s u pl 妒n ( t 1 ) 一( 2 ) i o ， a si 1 一t 2 i _ o ，即 p n ( ) ，t 【7 1 ，卅) 。l 是等度连续函数列因此由a s c o l i - a r z e l a 定理， 我们可以定义函数列( ) 的极限函数妒( ) 由假设( h 1 3 ) 可知妒( ) = 0 ，t 【t a ，卅 于是，对所有的m ，7 1 ，扎，d g , 1 ，由引理1 3 2 和引理1 3 3 ，我们可以推出 跳p 一卅：1 e 俨t r 小，e l u ； 1 2 ) d s t 小m d 8 = 妒o 旭 e l y 2 t + m - - 贸1 2 三e c ( t t t p ( s ，e i 玩+ m 一记1 2 ) d s p ( s ，妒o ( s ) ) d s = 妒1 ( ) m ， j t e l u p ”一费1 2 丢e c ( t t ) fp ( s ，e l 谚+ m 一谚1 2 ) d s r 小，洲s ) ) 幽= 吃m 山东大学博士学位论文 由数学归纳法我们可以得到e i y p + m 一聍1 2 一1 ( t ) 因此我们有 s 婴，e l y 2 + m 一鲸1 2 唑9 1 ( t ) = 一l ( 乃) _ 0 ，n 一 n s t tt i s t s r 上式表明 卯) 空间m 2 ( 丑，t ；r n ) 中的是c a u c h y 序列，同时 露) 也是空间m 2 ( 正，t ；r 脒d ) 中的c a u c h y 序列我们用玑和忍定义它们相应的极限，在( 1 2 ) 两端令n 一取极 限可以得到 ，t，r y t = + 夕( s ，y o ，z ) d s 一z o d w o ， 五t z ( 1 6 ) j tj t 由假设条件( h 1 2 ) 以及施舻( 丑，t ；舯x d ) ，我们有 ，t，t e 1 9 ( ，y t ，忍) 1 2 d t ，e ( s u pi z o d w o 2 ) 根据这两个不等式，通过( 1 6 ) 式容易验证e ( s u pi y t 2 ) 并且轨是连续的，即 乃s t t 玑5 2 ( 乃，r ；r n ) 于是，我们已经证明当t 陬，卅时方程( 1 1 ) 存在解根据引理 1 3 3 我们注意到乃的取值与终端条件f 的值是无关的因此，我们可以类推出对每个 z ，当t 【t l ( t 一正) ，卅时放程( 1 1 ) 存在解，从而得到其在整个区间【o ，刀上存在 解解的存在