（计算数学专业论文）二阶双曲型方程的交替有限元分析.pdf

摘要 双曲型方程( 组) 在许多数学物理领域有着广泛的麻用，具有深刻的物理背景， 例如波动方程，因而得到广大数学t 作者和t ，程技术人员的普遍关注和蕈视。不论 从理论还是从数值分析上都有必要全面而深入地研究。 本文作者在袁益让教授地精心指导下，就具有广泛应用背景地双曲型方程( 组) 地的数学模型问题利用有限元方法的技巧，构造了具有良好计算效果的交替方向有 限元格式，并对此格式作了理论上的分析 交替方向有限元方法是在交替方向法和有限元的基础上提出的，它继承了交替 方向法将高维问题转化为一系列一维问题，进而简化计算量和存贮量的优点，而且 还具有有限元方法精度高的特点此外由于该方法良好的并行特性，更能适合在现 代的大型超级计算机上进行并行计算。 本文共分三部分。第一部分主要叙述双曲型方程交替方向有限元方法的发展背 景，已有的一些成果以及本文的纲要 在第二部分中将首先对一类二阶非线性双曲型方程组建立三层交替方向有限 元格式这种方法主要思想是通过对方程组适当添加扰动项，使得到的刚度矩阵能 够写成张量积的形式，从而转化为求解多个线性方程组；同时将其余项移至右端， 这样得到的线性方程组系数矩阵不依赖于时间，只需一次分解，因此格式具有较小 的计算量。由于所解线性方程组的系数矩阵都是和一维问题相关的，存储量也就相 应较小。通过分析该格式的误差方程，得到格式的硪模误差估计 在第三部分，我们利用变量替换法对一类二阶线性双曲型方程建立了二层交替 方向有限元格式。通过把等用新的变量妒来代替，然后对碧关于时间t 进行离 散，进而建立二层交替方向有限元格式。该格式不受等时间步长的限制，更具灵活 性；同时减少一个时间层的存储量。理论分析部分则分别给出了该格式的础模和 l 2 模误差估计。 关键词：双曲型方程( 组) ，交替方向法，有限元，误芹估计。 a b s t r a c t a l a r g en u m b e ro fp h y s i c a lp r o b l e m so fs i g n i f i c a n ti n t e r e s t ，s u c ha st h ep r o p - a g a t i o no fw a v e s a r em o d e l e db yh y p e r b o l i ce q u a t i o n s a n d t h ei n v e s t i g a t i o n o fh y p e r b o l i ce q u a t i o n sh a sb e e nt h eo b j e c to fa ni n c r e a s i n gi n t e r e s to fan u m b e r o fs p e c i a l i s t s ，e n 百n e e i 苫a sw e l l 嬲m a t h e m a t i c i a n s a sar e s u l t ，t h et h e o r ya n d t h ec o m p u t e rs i m u l a t i o n ss h o wt h a tt h eh y p e r b o l i ce q u a t i o n sa r ei n t e r e s t i n gf r o ms t m a t h e m a t i c a lp o i n to fv i e wa sw e l la sf r o map h y s i c a lp o i n to fv i e w i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h eh y p e r b o l i ce q u a t i o n sw i t hi m t i a l - b o u n d a r yc o n d i t i o nu n d e rt h ec o n d u c t i o no fp r o f y u a n b yc o m p r e h e n s i v e l ye m p l o y i n gf i n i t e e l e m e n tm e t h o d ( f e m ) a n da l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i tm e t h o d ( a d i ) ，w ep u t f o r w a r dc o r r e s p o n d i n gs c h e m e sa n df i n a l l yg i v er i g o r o u sc o n v e r g e n c ea n a l y s i s a l t e r n a t i n gd i r e c t i o ng a l e r k i nm e t h o di sb a s e do na d ia n df e m a n di n h e r i t a l la d v a n t a g ef r o mb o t ho ft h e r q , t h e i re f f e c t i v e n e s sf r o ma d ii sd u et ot h ef a c t t h a tt h e yr e d u c et h es o l u t i o no fam u l t i d i m e n s i o n a lp r o b l e mt 0t h es o l u t i o no fs e t s o fi n d e p e n d e n to n e - d i m e n s i o n a lp r o b l e m s t h ec o r r e s p o n d i n gm a t r i c e sa r ei n d e - p e n d e n to ft i m ea n dr e q u i r eo n l yo n ed e c o m p o s i t i o n t h es t o r a g er e q u i r e m e n t sf o r t h e s em a t r i c e sa r ea s s u c i a t e dw i t ho n e - d i m e n s i o n a lp r o b l e m sr a t h e rt h a nt h ef u l l m u l t i d i m e n s i o n a lp r o b l e m a n d t h es t o r a g er e q u i r e m e n t sa r eq u i t el o w t h e i r h i 曲a c c u r a c yf r o mf e m i sa l s oq m t ei n t e r e s t i n g b e s i d e s ，b e c a u s eo ft h en a t u r a l p a r e l l e l i s m ，t h e ya r ef i tf o rs u p e r - c o m p u t e r st og e tt h es o l u t i o no fl a r g ep r o b l e m d i s s e r t a t i o nc o n t a i n st h r e ep a r t s i nf i r s tp a r t i n t r o d u c et h ed e v e l o p - m e n ta n ds o m er e s u l t sa b o u tt h ea d ig a l e r k i nm e t h o do fh y p e r b o l i ce q u a t i o n t h e b r i e fo u t l i n eo ft h i sd i s s e r t a t i o ni sa l s op u ti n t ot h i sp a r t i nt h es e c o n dp a r t w ef o r m u l a t ea na d ig a l e r k i ns c h e m ef o rn o n l i n e a rb y - p e r b o l i cs y s t e m w h i c hi n v o l v e st h r e el e v e l s t h em 豳i d e ai st h a tw ed i s t u r bt h e s y s t e mw i t ha p p r o p r i a t ei t e m sa n dg e tag o o dl i n e a rs y s t e m s ，t h ec o e f f i c i e n tm a t r i x o f w h i c hi sat e n s o rp r o d u c to f 8 0 m es m a l lm a t r i c e s ，a n df i n a l l yr e s o l v et h e s es m a l l e r s y s t e m si n s t e a d a tt h e d 1 l et i m e ，w ep u tt h eo t h e ri t e m so n 也e l e f ts i d e ，s ot h e c o e f f i c i e n tm a t r i c e sa r ei n d e p e n d e n to ft i m ea n dr e q u i r eo n l yo n ed e c o m p o s i t i o n b e c a u s eb o t ht h et o e m c i e n tm a t r i xa n dt h es t o r a g er e q u i r e m e n ta r ea s s o c i a t e dw i t h o n e - d i m e n s i o n a lp r o b l e m ，t h es c h e m eh a sl o w e ro p e r a t i o n sa n dr e q u i r e m e n t ，a f t e r t h ee i t o re q u a t i o n sa r ea n a l y z e d t h eh - e r r o re s t i m a t ea n de t a b i l i t ya r ed e r i v e d i nt h el a s tp a r t ，b yv a r i a b l es u b s t i t u t i o na na d ig a l e r k i ns c h e m ei n v o l v i n gt w o l e v e l si sf o r m u l a t e df o rac l a s so fs e c o n do r d e rl i n e a rh y p e r b o l i ce q u a t i o nw i t hm i x e d i n i t i a l - b o u n d a r yc o n d i t i o n a f t e r 妒i ss u b s t i t u t e df o r 鲁t h ei t e m 髫i sd i s c r e t i z e d i i i i i j 东大学硕十论文 i nt i m ed i r e c t i o n a n dt h e nw eg e ta l la d ig a l e r k i ns c h e m ew i t ht w ol e v e l s a s ac o n s e q u e n c ev a r i a b l et i m e s t e p sc a nb ee m p l o y e dw i t h o u td i f f i c u l t ya n ds t o r a g e r e q u i r e m e n t si sl o w e rt h a nt h es c h e m ew i t ht h r e el e v e l s t h e o r e t i c a la n a l y s i sp r o v e s t h a tt h es c h e m eh a st h e 硎一a n dl 2 - e r r o re s t i m a t e s k e yw o r d s ：h y p e r b o l i ce q u a t i o n s ，a l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i tm e t h o d ，f i n i t e d e m e n tm e t h o d ，e r r o re s t i m a t i o n i v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名：j l 年上弭 日 期：二塑丘，二l 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本 学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：垫￥l 虱导师签名：褒圣丝日 期：丝：! ：! 第一章研究背景及本文纲要 随着科学技术的快速发展，各种各样的微分方程数学模型相继涌出。双曲型方 程( 组) 模型就是其中重要的一类，它在自然科学方面有着广泛的应用背景比较 常见的是描述弦振动的一维波动方程，类似地我们也可以有弹性薄膜或三维弹性体 的振动导出二维或三维波动方程。另外有声波或电磁波等波动的传播，也可以导出 三维波动方程。例如对描述电磁场的m a x w e l l 方程组进行旋度运算，化简可得标准 的向量形式的波动方程组在研究高频电磁波沿着传输线在时间空间( t ，z ) 中传播 时，可引进电流强度和传输线同轴双线问的电压等概念，且用它们作为表征此种电 磁波传播过程的物理量，用单位传输线的电阻，电感等概念表述介质特性，根据定 律建立电报方程组，在无损耗的情况下可化简为标准的波动方程 但很遗憾，这些数学模型的经典解析解难以求出，或者说不能用我们常见的显 式表达式来表述，人们转而求其一定精度数值解，来满足科学技术发展的需要我 们知道在求解微分方程数值解的过程中，无论是应用有限差分方法，有限元方法还 是基于它们的派生方法，我们都要将计算区域分成无数的小块，设小块的直径阶为 d ( h ) ，微分方程空问变量的维数为正那么问题的规模一般跟成反比，即阶为 d ( 占) 基于微分方程的解，一方面，我们为提高数值解的精度，要不断减少步长t 另一方面由于计算机硬件和数学模型的实际意义，比如时效性的限制，我们则要尽 量减少问题的计算规模，两者相互制约。再考虑计算规模o ( 矗) 中的指数因素，可 以看出，在剖分不变的情况下，计算规模随微分方程变量维数呈指数增长，这使得 我们在研究问题从一维向二维乃至高维过渡得过程中，计算规模猛然增大尽管在 计算机硬件方面取得了长足的发展，但它远远不能满足问题的需要。为了解决计算 规模问题，在有限差分和有限元的基础上提出了交替方向、区域分裂、局部网格加 密等技术手段，它们从不同的角度减小了计算量。这些方法与有限差分方法和有限 元方法的结合，很大程度上替代了纯粹的有限差分方法和有限元方法 交替方向法最早应用于有限差分方法，成功地解决了多变量抛物型和双曲型 的初边值问题，成为该方面非常有价值的技术。交替方向法最大的优点在于它将高 维问题转化为一系列的一维问题来求解，可认为计算规模在剖分不变的情况下从 d ( 矗) 降到o ( ) ，极大地减少了工作量，提高了计算效率。最早的交替方1 3 差分 格式有p e a c e m a n 和r a c h f o r d 在关于p - r 格式的奠基性论文中提出【l l ，后来有 d o u g l a s 和g u n n 对交替方向隐格式进行统一性总结1 3 1 。在二阶双曲型有限元方 面，d u p o n t ( 4 1 和b a k e rt 5 1 就不同的初始值和光滑性条件给出了二阶双曲型方程的 有限元格式，并得到最优阶2 模先验误差估计；袁益让和王宏则研究了带阶项 的一般性二阶非线性双曲型方程和方程组，给出一般的有限元格式，并得到相应的 误差估计1 0 - 0 1 交替方向有限元方法则是结合以上两种方法得到的，并集两种方法的优点于一 1 i j i 东大学硕十论文 身。j d o u g j a sj r 和t d u p o n t 于1 9 7 1 年针对非线性抛物型方程和二阶线性双曲 型问题基于矩形区域上规则网格情况将交替方向离散技巧引入到有限元方法中提 出了两类方程的交替方向有限元格式，并进行了严谨的理论分析，得到最优阶硪 模误差估计1 10 l 。利用交替方向的有限元格式可成功地将大型高维问题化为一系列 小型问题，而描述它们的相应离散方程组系数矩阵不依赖于时间，仅需一次分解。 相比而言，直接用有限元方法求解则须在每个时问层构造独立的系数矩阵，并针对 该系数矩阵作相应的分解。此外由于系数矩阵的大小和分解等方面的差异，也使交 替方向有限元方法在存储方面的开销相当低。诸多优点使得交替方向有限元方法更 加适合计算大型非线性的三维问题j e d e n d y 就d o u g l a s ，d u p o n t 针对二阶线 性双曲问题提出的交替方向格式推广至二阶非线性双曲问题，并得到最优阶l 2 模 误差估计l l l l r f e m a n d 伪和g f a i r w e a t h e r 则将一类极特殊的双曲问题转化为 抛物问题，构造了另外一种交替方向格式，并给出了它们的l 2 模和础模的误差 估计式i l2 1 针对实际问题中计算区域的复杂性，后来又有众多学者对交替方向有限元方 法作了计算区域上的推广d e n d y 和f a i r w e a t h e r1 1 3 及h j e i - z o r k a n y 和r b a l a s u b r a x n a n i a n 【1 4 i s 首先将计算区域推广到矩形多面形区域。l j h a y e s i o - 1 9 i 通过等参元变换将曲边区域转化为矩形多边形区域，而后又利用分片逼近的方法完 成等参元变换行列式的分解，从而实现了曲边区域上的交替方向有限元方法至此 交替方向有限元方法能够满足大多实际问题中计算区域的要求 本文考虑了两类方程：一是袁益让和王宏【9 1 中所提及的双曲型方程组，对该类 方程组运用一般的交替方向法思想，得到一个交替方向有限元格式；另一是d o u g 岫 和t u p o n tf l o l 中所提及的线性双曲型方程，对该方程运用变量替换，得到一个与 f e m a n d e s 和f a i r w e a t h e rf 12 1 类似的二层交替方向有限元格式 本文第一部分在d e n d y 关于非线性双曲型方程交替方向有限元方法的基础上， 研究了如下非线性双曲型方程组问题 f 簪一陬州叫) v 州= 日( 叫) u + m ，u ) ，z t e o ，t l j 鬻( 圳) = o ，n ， iu ( o 0 ) = 0 ，z q ， iu ( z t ) ；0 ，z q ，t 1 0 刀， 给出了方程组问题的交替方向有限元格式，利用先验误差f 计的理论和技巧，得到 了格式的砩模误差估计和稳定性。在2 1 的引言中对交替方向有限元作了简单 回顾，2 2 则是提出模型和对模型作一些假定条件和预备t 作。在2 3 ，首先构造 了交替方向有限元格式，然后利用先验误差估计的理论和技巧，得到格式的础的 先验误差估计。 2 i “东大学硕十论文 在第。：部分考虑了如下：+ ：阶线性双曲方程 貉( z ，) 一2 j ：。差( ( 司考( 州) ) = ，( z ，) ， o nr ( o ，卅 u = 0 ， o n 0 r ( 0 ，刀 u = u o ( x ，掣) ，象= u l ， o i l 尺a t t = 0 它不具备f e r n a n d e s 和f a i r w e a t h e r 中双血型方程的变量分离特性通过变量替换， 将问题转化为一个方程组，构造了一个二层的交替方向有限元格式，从而在时间步 长上具有更大的灵活性。最后通过分析该计算格式，得到嘲模和己2 - 模的收敛性 估计a 在这部分的3 1 和3 2 我们提出问题的数学模型和假设条件，并为误差估计 的证明作了一些准备工作双曲型方程的交替有限元格式是在3 3 中构造的，3 4 中则推导了该格式的l 2 模和础模先验误差估计 3 第二章非线性双曲型方程组的交替有限元方法 2 1 引言 交替方向的有限元方法是在交替方向法和有限元方法的基础上提出的，它继承 了交替方向法将高维问题转化为低维问题，进而简化计算量和存储量的优点，而且 还具有有限元方法精度高的特点两种方法的结合使它在微分方程的求解中具有了 很大的应用价值 d o u g l a s 和d u p o n ti l o 】在分析交替方向差分格式的基础上，提出线性双曲型 方程的交替方向有限元方法，并给出了它的收敛性估计，但没有对非线性闯题和方 程组问题给出分析袁益让和王宏嘲提出了非线性双曲型方程组的有限元格式， 给出了它的收敛性估计和稳定性分析但计算过程中，我们必须对每个时间层形成 各自的刚度矩阵，然后求解线性方程组，具有庞大的计算量，这是非常耗时的，尤 其对高维问题和方程组问题。f e m a u d e s 和f a i r w e a t h e r 【1 2 i 亦仅研究了线性抛物型 方程和双曲型方程的交替方向有限元方法 本文在上述工作的基础上，考虑到很多生产实际问题均是非线性双曲型方程组 的形式忙o 2 1 1 提出非线性双曲型方程组的交替方向有限元方法，使它既具有较少 的计算量，又具有较高的精确度，是一类实用的工程计算方法。应用微分方程先验 估计的理论和技巧，得到收敛性估计和稳定性分析结果，使计算格式具有坚实的理 论基础 2 2 预备知识 考虑初边值问题： f 貉一限，州z u ) v 州= b ( z ，t i ) 吼u + ，( z ，咄z q ，健【o ，明， 铙( 圳) = o ，z n ， ( 2 1 ) lu ( z ，0 ) = 0 ，z q ， iu ( z ，t ) = 0 ，z q ，t 【o ，刀， 其中，n 是r 4 中的有界区域，函数= u ( 毛t ) = ( u l ( z ，) ，u l ( z ，) ) t ，譬= ( 警，鲁) t ，【v 。，q 毛u ) v ；u 1 表示一个l 元组，它的第f 个元素为 ( 2 2 ) ld 同样，b ( 马u ) v z u 也是一个l 元组，第7 个元素为b e 。e ：tb , ；i ( z ，u ) 磬，而函数 ，( z ，u ) 和u ( z ，o ) 则相应为( f l ( x u ) ，一九( z ) ) r 和( “l ( z ，0 ) ，u l ( z ，o ) ) t 5 丝眠 町忙 旦 。怛 。m d l 东大学硕七论文 设岛= ( f ，j ) ：l z l ，1 j n 我们将在 叫 = q j ，l f l ，l j n ) 上定义两种r j 量内积假定s = ( 1 ，j ) ：l l l j 岛，那么对于 冒= ( v t 。) 和坩= ( 铆j ) 定义扣，叫为一l 元组t 卜， l = ( p ，伽1 l ，- ，陋，仰l c ) t ， 扣，埘】l = 铆j t 仇j ，【l 口，t 川】= 饥。铆j ，最 s ， 以及它的导出模 i 扣0 = 【p 叫】l 2 那么，问题( 2 1 ) 等价于变分问题 口( u ；u ，1 1 7 ) = ( b p ，u ) v 。u ，) + ( ，( z ，让) ，口) ， = o ，。l o 刀，( 础) ( 2 3 ) 0 ，v 留( 皤) ， ， 其中( 埘，冒) = ( ( ，冒) l ，( ，冒) 2 ，坩，口) 工) t ， ( 仰，咿) l = j 五们l ( z ) q ( z ) 血， 口( 钮；u ，口) = 厶1 4 ( 。， ( z ) ) v ，u 扛) ，v ；口( z ) l 缸a ( w ；u ，冒) 是一向量，可记为 o ( u ；伽， ) = ( 口1 ( ：仰，口) ，a l ( t i ； ，田) t 下面我们对方程组的系数作一定的假设： 1 对( z ，p ) q 舻，矩阵q z ，p ) = ( a t 。；b ( z ，p ) ) 是对称正定的且有界，即存 在常数c o ，c t 使得对任意的= ( 6 。) 有下式 c o1 1 e 1 1 2 卿棚钆，。c 11 1 1 1 2 成立同时似以纠关于p 是l i p s c h i t z 连续的且有界，即 i i a ( z ，p x ) 一q z ，p 2 ) | f l t p l p 2 i 这几= 队- 1 】1 ，2 2 对( z ，p ) nxr ，矩阵b ( x p ) 关于p 是l i p s c h i t z 连续的且有界a 3 右端函数，( z p ) 关于pl i p s c h i t z 连续且有界。 设u 是定义在空间n 【o ，卅上的函数。定义它在相应空间上的各种模： i l u 慨n 心) = i i 毗= 办u ( z f ) 1 1 2 d z 6 +、，： t弘一归北一吣一鳓批矿孰删“ ，i“r u ，_ll_，iii_ l l i 东大学坝十论文 忙膨忡i l = 上若，f ) 卜 1 1 t , 1 1 娜舢( n ) ) 2 o 触“( 毛d 0 2 d xd t , 为了书写的方便定义下述记号 ， 如n = e n + 面l - - 一e n ，a e n = e - + 矿l _ _ e n - 1 ， 五f e “=a e “+ 1 一a e ” e “帕一e ”+ 1 一e “+ e n 一1 五广一2 砸河 ，t n = f l 竹( z ) ，埘( z ) 】血 2 3 交替方向的g a l e r k i n 格式 在这篇文章中，我们限定q 为一矩形区域，从后面的证明可以看出交替方向的 g a l e r k i n 方法不因空间的维数的大小而产生大的变化，因此我们只分析二维问题。 设朋为我们求解的有限元空间，u = ( 巩，魄) t 为所求问题的解，那么将变 分问题( 2 3 ) 离散并添加扰动项，可得交替方向计算格式 ( u * + 1 - 弋2 硒u 一+ u n - l ，y ) + a v ( 扩“一z 扩+ 扩q ) ，v y 柑( f ) 2 ( 磊( 伊1 一z 矿+ ) ，磊y ) + o ( 叭 = b ( u “) v u “，v ) + i ( u “) ，) ， f o ra l lv ( m ) ( 2 4 ) 假定基函数是变量分离的，即朋= 朋。固朋p ，这里m 。和m ，都是础( ，) 的 有限维子空间，并且分别以 识( z ) 生和 奶( ，) 篇为基底，那么相应地朋以 、 也奶) 皇凳l 为基底，函数u ( x ，p ，f ) 写为 u ( x ，p ) = ( 6 ，( f ) a ( z ) 奶( ) ，缸；。( ) 以( z ) 也( f ) ) t 若在( 2 4 ) 中取v = 仉，也，e l ，这里i = 1 ，k ，= 1 ，以，l = 1 ，一，l e z 为第z 个元素为1 的单位向量，那么 砉誊 m 奶旗咖，+ 水矿 ( 嚣奶，面t g o ：, 奶，) + - 筹 等) 】 柑c 州瓮，等) 卜也， 仁s a ， 氓= 锚1 2 + 1 ( 25 b ) 7 g = ( ( m 仉) 麓。，q = ( ( 仍胁) 。) 止= ( ( 警，等) 。) ：a = ( ( 等，等) ，) 二。 ( 删) 。= z 地) 雌) 虹( 刈) ，舶) 弛) 屯j j r = 暖兰j i 至兰兰。j i ! 至兰芝) 二机j 【( c 2 + a ( ) 2 a ：) oj _ l 】【五固( c ；+ ( ) 2 a ，) 】r = 壬“ r = p + 1 2 专“+ “一1 圣4 = 俾( 矿) v c ，”，y ) + ( ，( 【，1 ) ，v ) 一o ( 扩；u ”，y ) 这里j 也和j 机表示 l | 阶和虬阶的单位矩阵我们将求解上述方程组化为先求 解 【( c 乙+ a ( ) 2 a 。) oj 砘】彳”= 圣4 然后求解 【饥8 ( q + a ( & ) 2 ) 】r = 矿 注意到通过求解方向 乙l 个独立的一维相关方程，可得到甲，然后再解y 方 向l 个独立的一维方程得到一r “而“和1 “的求解有着明显的并行特性，再 加上方程本身个数的增加，使得该特性更加突出。 2 4 误差分析 在这部分，我们利用标准的误差估计方法，就上文得到的交替方向g a l e r k i n 格 式进行分析。将变分问题( 2 3 ) 离散，变形得 ( 竺：二：铲+ 6 。”) + a v ( i l n + l - - 2 t i n + u n - i ) ，v t ， 错( ) 2 ( 彘( u 地州) ，磊t ，) + 0 ( 以u h ) 8 l i i 东大学硕十论文 = ( b ( z ，u “) v 。u “，l ，) 十( fc u “) ，t ，) + a v ( u “+ 1 2 u “+ u n - 1 ) ，v v + a 2 ( , , t ) 2 ( 毛c i i i _ _ 2 i , 1 n - - i i n - i ) 去钌) ，f o r a l lve ( 郴炉 ( 2 6 ) 其中6 l 是截断误差项设w 是在有限元空间的投影，令e “= u 4 一“， 矿= w “一“，t ，= v ，将方程( 2 4 ) 和( 2 6 ) 相减，得到误差方程 ( e + 1 1 - - 2 r e n + e “- i - 6 t , v + a v ( e n + l - - 2 e n 4 e n - 1 ) ，v y 棚研( 磊c 1 一矿矿飞磊y ) + o ( 【严；e n ，y ) + ( a ( 【严；u 一，) 一a ( u n ；u n ，y ) ) = ( b ( x ，扩) 也扩一b ( x ，矿) v u “，) + ( ，( 【，f i ) 一i c - ) ，v ) 一a v ( 矿+ l 一2 u 4 + o n - 1 ) v y 一, 、2 ( z x t ) 2 ( 彘( u n + l _ 2 u n + 矿“l 磊，y ) ，f o r a l ly ( 朋) ( z 7 ) 记方程右端前两项为矸，后两项为霹，取v = e ”1 一e n 一1 + 矿+ 1 一矿， n 绑- i e n + l _ ( c ) 2 e 。+ e n - i - ”叫一1 ) = ( o 画e “o 知一i i 五e “一1 0 各) = l l a , e - 1 i i 刍一i i d t e 0 0 刍( 2 8 ) n 纷- i e n + 1 - - ( c ) 2 e n ：+ e n _ l 矿1 叫一1 ) 一i ( d t e n - l , a 町一1 ) 一( 画e o ，a l 叼1 ) 一( 画e n ，如，“) n ；l 一k ( 1 l o m n - 10 知+ 1 1 4 e 0 0 2 z + i l o m li l ：) n 一2 一l l d , e 一1 0 i ：一a t ( 1 l d , e “1 1 2 驴+ o 也t 矿。知) ( 2 9 ) n = 1 董n = i ( 毛( e n + l - - e n4 - e n - i ，磊”一矿1 ) 9 i l i 东大学硕十论文 一 删i 磊o - 画e n - i 怯圳磊o - ( 2 1 0 )一) 2 掣丽删纠丽画岍“丽2 z ) ( 2 1 0 ) 其次， 协v ( e ”1 2 e “+ e ”1 ) ，v ( 矿“一矿- 1 ) i = l + d ( u ”；e n , 叼“+ 1 一矿一1 ) + a ( u “；u “，叼1 一矿一1 ) 一n ( u “；矿，矿+ 1 一t 广一1 ) j n n - ! 一k & ( - - n2 一瑶+ i l a m l l x ；) ( 2 1 1 ) ( 口( u “；l g n ，e “+ 1 一e “一1 ) 一g ( u n ；u n ，e 件1 一e “一1 ) ) 五 = ( ，4 ( z ，u 一1 ) 一，4 扛，i , n - i ) ) v n - iv ( e + e n - i ) 一( 。4 ( z ，u o ) 一似z ，u o ) ) v u o ，v ( e 1 + e 0 ) n - 1 + ( 州毛，”1 ) 一州毛矿“) ) v 矿- 1 口1 一( 4 ( z ，u ) 一4 ( z ，t n ) ) v 矿，v ( e ”+ 矿一1 ) 一s ( 0 e 0 4 - l i e n - t i i 麓) 一( o e 肛1 i l 知+ i i e 。0 + 0 e 1 i l + t ( 1 l d t g 1 嵫+ l i e “嘞) ) ( 2 1 2 ) ，t = l 从而左端l 可化为l i i 画e n - 1 i l 刍+ a v ( 矿+ 1 - 2 e ”+ e n - 1 ) ，v ( e ”1 一矿“) + 穿( ) 2 ( 磊( 矿”一2 e “+ e ”1 ) ，器( e “+ 1 _ e n - i ) ) 一露的形式，其中詹为 一些初始项和小项 下面估计左端的剩余项， 一l a v ( e 州一2 e “+ e ”1 ) ，v ( e 州一e - - 1 ) + 。( 扩；e ”，矿“一e n “) n = l 一( 川z ，u o ) 一2 a 1 ) v e o ，e 1 1 0 一 矿 一 “ ev 矿vr2一 ， uz月 l ：啡 驴 e o 咏 叶 ea 1 l = e 一 evra2一 n u石a + 2 h n e 一 +n ea j | 矿v 一 矿v 一 矿za n ufa m 脚 + 尘奎奎兰竺圭丝圣 a ( 1 l e 0 + l i e n - 1 l l 乙) 一互1i i - 4 ( ，u ”1 ) 一2 m 1 11 1 1 e i l 麓+ l i e n - , 0 ) 一k ( 1 i e l0 乙+ l l e o l l ) 一0 a ( z ，u “) 一州u ”1 ) 1 1 ( i l e ”1 | | 毛+ i l e 刈) ( a p ) ( i i e i | 毛+ i l e “0 麓) 一k ( 1 l e 0 + i l e o j l 毛) 一l i u “一u ”1 0 ( 1 i e - 1 i i + o 矿) ( a p ) ( 1 i e i i 蛳2 + 0 e 。0 乙) 一k ( 1 l e j i 乙+ i i e 。i l ) 一k a t ( 1 + _ i i 。1 i i 函e 一i i 驴) ( 1 | e n - - 1 喻+ l i e “呦 ( 2 1 3 ) a = l 这里p 为p 2 ；s u p 1 1 州茹，c ，“) 一2 a j i i 篓( 南c e n + l - - 2 “，南”一1 ) 刊2 鄞磊桫1 1 5 刈磊q - ( 矿0 南矿1 卜。磊瑚l q ( 2 1 4 ) 至于右端项则有如下估计； ，一1 n 一1 7 矸& 删e “即e 吣十惭帅) ( 2 1 5 ) 正k a a t ( ) 4 + i i 西e n l l 2 口+ i i a 矿i l b + ( ) 4 0 ；o i x 竺。丁y 反e ”i i p + ( 绷否赫a 矿i i 驴) ( 2 1 6 ) 综合以上各估计式，得 ( 1 一s ) | | d l e 1 1 2 ：+ ( a p 一洲e 喻+ 秽1 埘( 硼彘西e 肛 ( 1 l e 。i i 乙+ 0 e l l l + i i d , e 。o b + o 馥叼。幢2 + o a 叼1 o ：。) + k a t e ( 1 + h - l i l d t e - l l 硎i e n - i 嗡+ 桫呦+ k a t l i d , t 町“怫 + 础勘2 础+ ( | i 彘例i 。+ ( 矿。彘删时( 啪 ( 2 1 7 ) 山t - 大学硕士论文 令a c l ，则a p 0 ，进而 ( 1 一e ) o f f e _ 一1 旺：+ ( a - 。- e ) ( i | e i | + i i e 一1 0 毛) + a ( ，) 4 l l 彘五e 一1 i i 易 2k o ( h d e e n 以。驴+ 1 1 ：+ 秽。1 嗡+ ( a 0 4 0 彘d l e 肌1 悯( 2 1 8 ) 设朋是指标为k 的有限壳空间， 慨训k t 明刊a 硎各，删d c t 训p t 胪，+ ( 矿l l 喾茜a 矿k 。护，= 。( 胪+ ( f ) 2 ) ( 2 1 9 ) 若假设 0 e 1 i i 础+ f f e o i i 础+ j i 也e 0 0 驴= d ( 胪+ ( ) 2 ) ， ( 2 2 0 ) 估计式( 2 1 7 ) 可化为 1 1 4 e n - 1 胁( 1 i e | 印i i e m 瞄+ ( ) 4 | l 磊如粕0 2 ， k a t ( 1 + l l a , e - 1 l l 酬i e n - 1 喻+ i i g l l 备o , ) + o ( h 2 + ( ) 4 ) ( 2 r 2 1 ) 这里时间和空间离散参数满足限定性条件( a t ) 2 = o ( h ) 我们对0 也e ”10 l 。作归 纳假设 i l 以e n - - 1 0 驴= o ( h k + ( a t ) 2 ) ，r , = 1 ，2 一1 对，l = 1 ，由( 2 2 0 ) 知是正确的当n 1 时，结合h - 1 1 1 4 e - 1 0 驴有界，对估计式 ( 2 2 1 ) 利用g r o n w a l l 引理可得 即归纳假设得证。故最终有 出e 。l i l ：= o ( h + ( f ) 2 ) ，( 2 2 2 ) i i ：i i 崛= o ( 胪+ ( 呐 ( 22 3 ) 定理2 1 假设系数满足前文所述的连续性条件，且解是正别的，那么方程组( 2 1 ) 的近似解与真解满足关系式f 22 3 1 在定理的证明中，我们没有对投影 矿作很特殊的限定，它只要满足关系式 ( 2 1 9 ) 即可，例如我们可取i y 为二次b 样条插值函数，可得到收敛阶d ( + ( ，) 2 ) ， 当然也可取相应的椭圆投影。为了满足( 22 0 ) ，我们可采用d o u g l a s ，d u p o n t1 1 0 l 中 双曲方程一节的处理步骤，从而达到阶估汁d ( 3 + ( a t ) 2 1 。 在离散方程( 2 4 ) 中取t ，：a u n ，采用相似的方法可以得到稳定性结果： 1 2 i i l 东大学硕十论文 定理2 2 在定理2j 成立的条件下，有关系式 i l 也扩1 胁i i u 峨+ 一1 嗡+ ( 绷磊画泸- 乞 川也r 旺。+ i i u 。l g + u o 参+ ( t ) tj i 石象也【，。l i b + ，董i i ，( u n ) 蛇。 ( 2 2 4 ) 成立，从而解具有唯一性 1 3 第三章线性双曲型方程的交替方向有限元