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山东大学硕士学位论文 两类反应扩散方程的配置法 闭海 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 配置法是近二、三十年发展起来的一种数值求解方法，它是以满足纯插值约束条件 的方式，寻求算子近似解的方法配置法具有：不必计算数值积分，逼近方程容易形成， 计算简便且收敛精度高等优点，因此在数值求解椭圆型方程，双曲型方程及拟线性抛物 问题中得到广泛应用f 3 ，9 ，l o ，但对于非线性反应扩散方程还鲜有研究工作 本文对两类反应扩散方程给出一种有限差分与配置相结合的数值求解方法，克服了 非线性项给数值分析带来的困难，得到先验误差估计 本文共分为两章： 第一章处理了f i s h e r 方程的初边值问题，并给出了工o 。模估计本章分为四节 第一节是引言，考虑正规化f i s h e r 方程： 警= 象州叫，。 ) o 0 时有唯一解这一思路来证明的 山东大学硬士学位论文 第四节：误差分析 记“为精确解，u 为配置解，w = 曩6 “，矿= u n 一n ，矿= w n 一驴，将所要 估计的误差u u 变为估计一u 首先，由( 1 1 1 ) ，( 1 3 1 ) 和( 1 3 4 ) 推导出误差方程： = 一 + z a ? ( 巧) 取检验函数z = d r y “，然后由半模的定义以及预备引理分别讨论方程两端，并作归纳假 设：i u “l m ，得到不等式： 眇1 2 a t 一； + ；伊1 1 2 一 + 2 + g ( ) 2 + ( 一 + 2 ) a t + ( 2 + i d t 矿1 2 ) q + c i i v 。l l 备) + ；( 一 + 2 ) t + c m y ( 妒+ 幅。( ) + 肌。( ) + 广”i l u , 幢。) d r ) 由引理1 2 1 4 ，并利用归纳假设：l u “i m ，得到定理2 ： 定理2 设u ( x ，t ) 是( 1 1 1 ) 一( 1 1 3 ) 的精确解，u 是配置解，假定u l 。( o ，丁；h ”3 ( ) n 三2 ( o ，dh r + 3 ( 功) ，t l 2 ( o ，丁；h r + 3 f f d ) ，i = 1 ，2 ，那么对于充分小的 a t ，u 存在唯一，且有如下估计式： 。m 二。a 二x 。1 1 ( u 一刚h d m e | | ”。| | 备- ( ，) + ( t ) 2 + 乏二( 1 | u ij 2 。( 。：? ；日，+ s 仉) ) + l f u t | | i ：( o 丑h ，+ a ( ) ) ) ；+ 2 i = 1 行别地，当h i h ，i = 1 ，2 ，吖时，误差估计为： 。m 。a 。x 。1 1 ( t 一u ) l l * ( ，) s c a t + + 1 】 最后利用误差估计证明了归纳假设：l u “i m 第二章处理了b u r g e r s 方程的初边值问题，并给出误差估计本章分为两节 第一节为引言，在本节中给出b u r g e r s 方程的初边值问题； 丝：a祟一u关，0z1，ott；ot = 一、面一u 瓦， z 1 ，u s； 2 山东大学硕士学位论文 u ( 0 ：t ) = ( 1 ，t ) = 0 ，t 0 u ( z ，0 ) = i p ( o ) ，0 zs 1 其中u 表示速度，a 是粘性系数，妒( z ) 是已知初值函数 第二节给出了方程的配置格式，证明了配置解的存在唯一性，最后得到误差估计 定理4 设u ( x ，t ) 是( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 的精确解，y 是配置解，假定u l 。( o ，t ；h h 3 ( 五) ) nl 2 ( o ，t ；h r + 3 ( 五) ) ，让t l 2 ( o ，t ；h r + 3 ( 五) ) ，i = 1 ，2 ，m ，则有如下估计式： 。m a x 1 1 ( u y ) i i 州d 特别地，当h f h ，i = 1 ，2 ，m 时，误差估计为 l u t 恼( o ，t 日( ) ) ) 矽) m a x 。1 1 ( u 一矿) i i l 一( ，) c z x t + 7 关键词：反应扩散方程，非线性，配置法，误差估计 3 + “ hro 2 l u 试 + 2 0 + 2 h 0 p ，【 g 一 山东大学硕士学位论文 c o l l o c a t i o nm e t h o d sf o ran o n l i n e a r r e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n b ih 撕 ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t t h ec o l l o c a t i o nm e t h o di san u m e r i c a lm e t h o dw h i c hh a s d e v e l o p e d f o ra b o u t t h i r t y y e a r s i ti sam e t h o d w h i c hs e a r c hf o rt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n so ft h eo p e r a t o rf u n c t i o n s b ys a t i s f y i n gp u r ei n t e r p o l a t i o nc o n d i t i o n t h ec o l l o c a t i o ni sw i d e l yu s e df o rs o l v i n g e l l i p t i ce q u a t i o n s ，h y p e r b o l i ce q u a t i o n sa n dq u a s i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n sd u et oi t s e a s eo fi m p l e m e n t a t i o n ，h i g h o r d e ra c c u r a c yb u tt h ec o l l o c a t i o nh a sl i t t l eb e e nu s e df o r s o l v i n gn o n l i n e a rr e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n i nt h i sp a p e r ，l e tt w oc l a s s e so fn o n l i n e a rr e a c t i o n d i f f u s i o nb es o l v e da p p r o x i m a t e l y b van u m e r i c a lm e t h o dw h i c hc o m b i n e sf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o da n dc o l l o c a t i o n t h e d i f f i c u l t i e si nn u m e r i c a la n a l y s i si tb r i n g sa b o u ta r ec o n q u e r e da n do p t i m a le r r o re s t i m a t e a r ed e r i v e d t h i sa r t i c l ei sd i v i d e di n t ot w oc h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e rg i v e sm e t h o d sf o rf i s h e re q u a t i o n ，a n dg i v e sl 。一n o r m e de r r o r e v a l u a t i o n s t h i sc h a p t e ri sd e r i d e di n t of o u rs e c t i o n s t h ef i r s ts e c t i o ni si n t r o d u c t i o n ，w h i c hg i v e se q u a t i o nw h i c ha r e 甓= 象州1 叫i o z 圳 0 i nt h el a s t s e c t i o n ，w ee s t i m a t et h ee r r o ro fc o l l o c a t i o ns o i u t i o n l e tub et h e s o l u t i o no f ( 1 - 1 ，1 ) 一( 1 1 3 ) ，ub et h ec o l l o c a t i o ns o l u t i o n ，wb et h ei n t e r p o l a t i o no fu l e t 矿= u ”一w “，扩= w “一u ”，s ow en e e do n l ye s t i m a t ey f i r s t l y , f r o m ( 1 1 1 ) ，( 1 3 1 ) a n d ( 1 3 ，4 ) ，w ec a nc o n d u c tt h ee r r o re q u a t i o n ： = 一 + z a 2 ( r ，d ) l e t ：= d w n a n dw ec a no b t a i nt h en e x ti n e q u a l i t yb ym a k i n ga ni n d u c t i o n h y p o t h e s i s ： i u “i ma n dd i s c u s s i n ge v e r yp a r to ft h ee r r o re q u a t i o nf r o mt h ep r e l i m i n a r ya n dt h e n o t a t i o n s ： n 一 眇1 2 & 一； + i 1 1 p n + 1 1 2 k=o。 。 n + 1 s 一 + i v o l 2 + e 【( t ) 2 + ( 一 + i p | 2 ) t d r l 7 。 2 ) t 】+ c | 甑”+ ；( 一 + 2 ) f 七= 0 肌( ) + 肌+ 上p t n + 叫( 叫打) l f i n a l l yf r o ml e m m a 1 2 。1 - 4a n dt h ei n d u c t i o n h y p o t h e s i s ： u “l m ，w eo b t a i nt h e o r y2 ： t h e o r y2 ：l e tu ( x ，t ) b et h es o i u t i o no f ( 1 1 1 ) 一( 1 1 3 ) ，ub et h ec o l l o c a t i o ns o - l u t i o n ，a n di f “l 。( o ，t ；h 7 + 3 ( 五) ) n l 2 ( o ，丁；h 7 + 3 ( 五) ) ，t h 上2 ( o ，t ；日+ 3 ( 五) ) ，i = 1 ，2 ，m ，w ew i l lh a v et h ee r r o re s t i m a t i o n ： m a x i i ( u u ) i l l - ( 1 ) m c l l o i j 斋t ( n + ( z x t ) 2 + ( i b l l i 。( o ，t ；h ，+ s ) 】+ | | t i i 2 ：( o ，；打，+ s ( ) ) ) ；+ 2 ) 5 + 2 吁 州脚 + 十 n 札 柏 打； m 湖 e+ 山东大学硕士学位论文 2 2 2 2 2 2 2 3 。5 2 2 2 2 2 2 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = i np a r t i c u l a r i f h t h ，i = 1 ，2 ，m ，t h e n o m 。a x 。1 1 ( 一u ) i i l * ( ，) 冬c 【t + + 1 】 a tl a s tw ep r o v et h ei n d u c t i o nh y p o t h e s i su s i n gt h ee r r o re v a l u a t i o n t h es e c o n dc h a p t e r g i v e sm e t h o d sf o rb u r g e r se q u a t i o n i ta l s og i v e se r r o re s t i m a t e t h i sc h a p t e ri sd e v i d e di n t ot w o s e c t i o n s t h ef i r s ts e c t i o ni si n t r o d u c t i o n ，w h i c hg i v e se q u a t i o nw h i c ha r e 豢：a 笔一缸妻，o z 1 ，o 坯t 瓦= a 孬一t 上蕊，t j z l ，u t s 让( o ，z ) = u ( 1 ，t ) = 0 ，t o ； u ( z ，0 ) = 妒( z ) ，0 z 茎1 i nt h es e c o n ds e c t i o nw ea p p l yt h e p r o c e d u r ew h i c hc o m b i n e sf i n i t ed i f i e r e n c ea n d c o l l o c a t i o nt ot h ee q u a t i o n ，t h eu n i q u ee x i s t e n c eo ft h ec o l l o c a t i o ns o l u t i o ni sp r o v e d w e g e tt h et h e o r yo fe r r o re v a l u a t i o n t h e o r y4 ：l e tu ( x ，t ) b et h es o l u t i o no f ( 2 1 ，1 ) ( 2 1 3 ) ，vb et h ec o l l o c a t i o ns o - l u t i o n ，a n di f “l o o ( o ，丁；日7 + 3 ( 五) ) nl 2 ( o ，丁；日7 + 3 ( 五) ) ，u l 2 ( o ，t ；h t + 3 ( 五) ) ，i = 1 ，2 ，m ，w e 耐1 1h a v et h ee r r o re s t i m a t i o n ： 。m s 。a ! x 。j j ( 一y ) j l * ( q 肘 ! c l l o j j 备z ( q + ( 力2 + 乏二( f “f f 2 。( o ，t ；圩，+ 。m ) ) + f j 毗f i = ( o ，r ；日，+ 。似) ) ) ；7 ) t = 1 i np a r t i c u l a r ，i f h i 兰h ， = 1 ，2 ，m ，t h e n 。燃矿) 怯( d c l a t + h 7 】 k e y w o r d s ：r e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n ；n o n l i n e a r ；c o l l o c a t i o n ；e r r o re s t i m a t e 6 第一章配置法求解f i s h e r 方程 1 引言 反应扩散方程涉及的大量问题来自物理学，化学和生物学中众多的数学模型，具有 强烈的实际背景其中著名的反应扩散方程之一是f i s h e r 方程【1 ，2 】这类方程象= d 器+ u ( 8 6 u ) 建立了人口中有利基因的传播以及调节单一双分子化学反应扩散的动 力学模型，其中( d ，。，b ) 是非负系数 考虑正规化f i s h e r 方程 5 ，6 】： 警= 象州1 叫，o 卫 邶 t t 珏( 0 ，t ) = u ( 1 ，t ) = 0 ，t20 ； u ( 。，0 ) = ，( 茁) ，0s z 曼1 ( 1 1 1 ) ( 1 12 ) ( 1 1 3 ) 本文利用有限差分和配置相结合的方法讨论f i s h e r 方程的初边值问题，对给出的 配置格式，不但证明了数值解的存在唯性，并给出完整的数值分析，得到最优的先验 误差估计 本文第- 2 节给出了预备知识，第3 节建立配置格式并证明配置解的存在唯一性，第 4 节讨论格式的收敛性 2 预备知识 对区间i = 0 ，1 】作拟一致剖分，记 0 = z o z i z m = 1 ，占= x o ，z 1 ，t 一，z m ) ； 五= p t l ，z l 】，= o ，l 】，h i2 x i j t i l ，h 。l m i a x f 趣 并记p r ( e ) 表示，上的函数集合，ec ，这些函数限制在集合e 上时是次数不超过 r 的多项式令 人1 ( r ，6 ) = ”c 1 ( ) i v p r ( 五) ，i = 1 ，2 ，m ) ，r 3 并令0 1 2 矗一l 0 k = 1 ，r 一1 ，则有 r l 詹p ) d x 2 k = l p ( 鳓叫k p p 2 r 一3 ( nr 3 ， 山东大学硕士学位论文 ! ! ! ! ! ! ! ! ! 苎! ：=：= = ：= ：= ： 令6 ，= z ，i - t - 趣岛i = 1 ，m ，j = 1 ，t 一，r 一1 ，并冷 酬= 志筹呲一) r - 1 】 易知z = 0 ，1 是耳( z ) = 0 的二重根，记辟( z ) = 0 的r 一3 个单根为仉，且满足 0 r h r 1 2 珥一3 1 令r t i j = 叠“+ 几啦，i = 1 ，m ，j = 1 ，r 一3 定义插值算子砟，d ：c 1 ( ，) a - ( r ，6 ) 满足 ( i ) ( 正，6 口) ( z i ) = ( 。 ) ，( 矸，5 口) ( z i ) = 7 ( z i ) ，i = 0 ，a ， ( i i ) ( 耳，) ( ) = ( ) ，i = 1 ，m ，j = 1 ，r 一3 则耳，6 在l 上被1 上的函数u c 1 ( j ) 唯一确定 规定以下记号： 广1 ( f ，g ) = ，( z ) 9 ( z ) 出，l f ，l l = f f l l l 。( 1 ) = ( f ，) ； 慨h 瓤印州i 州州= ( 勘珈) a ，胁f 血( 岛) 卢( 岛) 屿，雠= ； j = l m q ，盼= q ，胪l ，衅= 其中r 为非负整数 假设对，的剖分是拟一致的，即存在一有限的正数盯，使得l m 。 a 。x m 爵h 盯定义 a 2 ( r ，d ) = u a l ( r ，驯 ( o ) = v ( 1 ) = o ，则由 3 ，4 】知存在正常数c 1 = c 1 ( r ) 及 q = g ( r ，d ) 使得对任一妒a 2 ( r ，6 ) ， g - i 妒isl l 砂| | sc 毫 妒i 对任一砂h 1 ( ，) ，存在常数c ，使 l 妒l f 2 础( ，) + i 妒1 2 g i l 妒 备，( d 由( 3 】可得以下结论： 引理1 1 对任意o ，芦a l ( n d ) ? 有 一 = ( a ，卢7 ) 一。础+ ( 1 一；) 片( 群( z ) ) 2 出堇ma 厦) r 1 o ：( 0 ，凸，) 一詹( 群( 。) ) 2 如m 吲r ) 2 ：2 8 ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) 山东大学硕士学位论文 其中q 5 三a f r ( z ) 引理1 2 对o a 0 ( r ，d ) ，有 ( 0 ，o l s ) = 一 ( 2 - 知酬雕2 引理1 3 令e = u 一耳，则有 i ) m e 彬州i | 1 , 2 ( ) h 。r “； i i ) i e j i i c l l v ( , + 1 ) f l l ：( 厶) h 。r ， 谢) | e ，| i c l l d + 2 ) l l l 2 ( x i ) 坛 i 口) l fi c i i ( m 怯( ) r + i ； u ) l ii c l l d , + ) l l l 2 ( 1 1 ) r + ；，r 4 ； v i ) i ii c i i v ( + 3 ) l l l 2 ( 1 i l r + 其中e 为常数 引理1 4 ( 离散的g r o n w a l l 引理) ：令a ，毋，妒和) ( 是定义在t = n a t ，n = 0 ，1 上的非负函数，并且假定x 是非递减的，如果： k - 1 曲+ 妒s 妒+ a t 乏二口“矿，= 1 ，2 ，一， 并且如果存在一个正常数c 使 一1 越n “c ，k = 1 2 ， n = 1 那么 记 西。+ 妒x k e g 。，k = 1 ，2 ， 配置格式及解的存在唯一性 u “= 扩( z ) = u ( x ，k ) ，a t = 纠，t n = n a t u “+ o = n 【严+ 1 + ( 1 一o ) u 。，0 口 1 ； 也一= ( l 严一u “) l a t 我们建立如下配置格式：求u ： t o ，t l ，抽) - ( r ，6 ) 满足 n ) d t u n u 譬 一扩+ + 扩u “) ( 白) = 0 ( 1 3 1 ) 9 山东大学硕士学位论支 2 = 1 ，- ，m ，j = 1 ，r 一1 ，n = 0 ，n 一1 b ) v o = z ，d ， c ) 扩( o ) = u “( 1 ) = 0 ，n = 0 ， 引入离散的g a l e r k i n 方法 = 0 ，名a 2 ( r ，占) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) 由 的定义知，( 1 3 1 ) 的任一解都是( 1 3 4 ) 的解，下面考虑( 1 3 1 ) 与( 1 3 4 ) 的 等价性 令 毛) 兰，一1 是函数空间a 2 ( r ，6 ) 一组基，扩充为a i ( r ，6 ) 的一组基 盈，i l - m ( o r - 1 “，则 配置解可表为【，( z ，t 。) =、。觑n z ( z ) 令 m y = 1 ，m ( r 一1 ) ) = 岛k 2 1 ，m ，j = 1 ，一，r 1 ) 且岛= 0 ， f ( r 一1 ) + 1 = 1 ，由u “( o ) = 扩( 1 ) = 0 可懈出 船z o ( o ) 及口备f r - 1 1 + l z m ( ，一1 ) + l ( 1 ) ，从而由( 1 3 ，1 ) 可得 m ( r - ( 1 一可a t ) 勺( 6 ) 一譬芍( 靠) 】露+ z ； ：芝n 譬巧( 劝”+ 譬胤洲劈一酬芝劈粥) ) ( 篁劈幽) ) 。一1 。 一 ，= 1j = 1 记为f 2 n + 1 = r ，其中矿+ 1 = ( 卢r 1 ：露+ 1 ，卢蒴1 1 ) ) 丁，f = ( 局) ，r = ( ) 向- ( 1 一譬) 舶) 一譬g 幢) ； n ：謦铷- + 铷制劈础c m 著( r - 1 1 驯酬c m 若( r - 黜， 类似地( 1 3 4 ) 可写作g 卢“+ 1 = s ，其中 g ：( 蚓伪= ； s 刊两： 芝【譬州。+ 铷露地( 芝1 1 例( 篙”制加 ；一1 。 一 j = 1，= l i ) 若g 非奇异，则f 亦非奇异 反证法若不然，设存在向量f ，使得f r = 0 ，即 m ( r - 【( 1 一譬) 句豫) 一百a t 学, ( 勺：0【( 1 一等) 句( 黝一虿学( 勺2 j = l 1 0 山东大学硕士学位论文 从而 篝蚋：警”警f ( 1 一譬胤靠卜譬t 邵n - 川- 孵( p ) w p h j 勺= f ( 1 一等) 勺( 靠) 一下引钏j 孵 j = lj = lp = l ：蜀蜀( 1 _ 铷铲譬删咖( 泓如 = ( ( 1 一等) 勺( 靠) 一等笞( 驯巧) 盈( 靠) 郇如 故丁必为g r = 0 的解，若g 非奇异，则f 亦非奇异 i i ) v r r m ( 一，g 非奇异 事实上9 i j = = ( 1 一譬) 一t a t 记 m = ( ) m ( r 一1 ) m ( 卜1 ) ，a = 一( ) m ( r 一1 ) m ( r 1 ) 则由 的定义易知m 是对称矩阵，又由引理1 - 1 及a 0 ( r t q 知a 亦为对称 矩阵，由引理1 2 及( 1 2 1 ) 知 ( 1 - t a t ) 一t a t 壶( 1 一竽川毛1 1 2 + 譬憾酽，y i i 圳备 从而矩阵g 对称正定，故g 非奇异综合i ) ，i i ) 可得 定理1 ( 1 3 1 ) 和( 1 3 4 ) 等价，且当a t 充分小时在0 t t 上均有唯一解 4 误差估计 由定理1 ，我们仅需讨论( 1 3 4 ) 的误差估计记w = 正5 让( ，t ) ) ( z ) ，矿= u “一 n ，扩= w n u n ，其中札为精确解，u 为配置解，所要估计的误差u u 就可变为 估计 由( 1 1 1 ) 可得 则由( 1 3 4 ) 及上式知 = 0 ，z a 2 ( r ，5 ) ： + = ( t 。+ ) + ( t n + ) + 一 山东大学硕士学位论文 从而得到误差方程 = 一 = ( t 。+ ) + + 一 = 一 + z a ? ( r ，j )( 1 4 1 ) 令i l u l l a ，口= s u p 癌l 荽( z ，t ) i ；z ，0 t l 1 ism ，05 k5 o ，osj p ) ，则利 用t a y l o r 展开，有 l d t u “一u t ( t 。+ ；) lse ( t ) 2 i m i o ，3 i 钍= 一u 。( t 。；) f e ( t ) 2 m b 在( 1 4 1 ) 中取检验函数2 = d t u “，并分别讨论( 1 4 1 ) 的两端，利用e c a u c h y 不等式 及上两式，有 d t u 1 2 一 ；l d t “1 2 + g ( t ) 4 + l d 。叩n i z 】+ + ( 1 4 2 ) 考虑( 1 4 2 ) 右端最后一项作归纳假设： i u “ism ，则由u o = b ，5 ，及引理1 3 可得 假设0 兰，( 。) 1 ，则由【6 】知0s 珏( z ，t ) 1 ，因此f 护i 有界，从而j 伊1 有界假设 l u “i 有界，则 ： 一 i d t ”f 2 + e “矿+ j | 2 十】“+ 1 2 + ( f ) 4 + l 让( t 。+ ) 2 一( 己”) 2 1 2 ) i i d t u 1 2 + g h “+ 2 + f p 4 + 1 2 + ( t ) 4 + i “( 。+ ) + u 1 2 “矿1 2 + l p “1 2 + ( t ) 2 ) ) s ；l d t “1 2 + c i 矿+ 1 2 + i p ”+ 1 2 + ( t ) 2 】( 1 4 3 ) 1 2 u+ 1 ， + 打： k o 弘 + ， u m 汹 ，【 e 一 u+ 0 u 0 u 五 = 0 u+u 矿 1 4 v l 略h 沪 也 + 12沪 声 儿 一 邢 孝 一 咖 磋 礞噍 矿 也 小 z睦 山东大学硕士学位论文 由引理1 2 可得 同理 i ；( 一 帅州1 2 ) + e 叁州肌艚 i s 尹i 艄2 ) + e 叁卅胁帆艚m s c 1 1 o n + e 胁+ 。( ) 舻+ 2 类似上面的推导可得 。 t 1 ；( 一 k 幻砷伽善醒h 2 o m恻限) 打k 1 n 一n + l = o l = l 以上结果代入( 1 4 5 ) 得 n 桫陋一互1 + 抄十1 1 2 s 一 o o + 妒1 2 + ；砉( 一 m 2 皿 + g 【( t ) 2 + 2 a t + ( 叼1 2 + l d t 7 7 1 2 ) t 】+ g | i p 。| i 备t i f ) k = ok = o m k + 1 + e y 2 ( i i “州弧) + l l u 。l l 备一( 厶) + y o 叫肌( ) 打) 一 + 】0 1 2 + e 【( t ) 2 + ( 一 + l p 。1 2 ) t n + i 1 r + 篆( i 矿j 2 + 恸晌酬+ 硎扩j i 备) + ；篆( 一 扣2 1 2 ) 出 m f i n + 1 + c ( 1 l u 州临一( 厶) + 肌( ) + 上r r u , l l ；, 一( ) 打) ( 1 删 根据引理1 3 有 州= i 瓦1 厂f t 掣圳2 1 4 山东大学硕士学位论文 壶广l 丛写导1 2 d t c h 2 k m 陋l r + 1 ) f 艮 ( 1 4 7 ) 又由 3 】得到关于卵的估计： l l q l i l * ( ，。【o 卅) e ( 邮卫胛：( 驯h ；2 州) ； ( 1 4 8 ) 当a t 充分小时，对( 1 4 6 ) 利用g r o n w a l l 引理，并利用引理1 2 1 3 及( 1 4 7 ) ，( 1 4 8 ) 就可得到 一l i d w k l 2 a t + 。m 。a x 。 1 扩k 幢) k = 0 一一 m c i l l , o i l 备，( ，) + ( t ) 2 + ( 1 l u 1 2 。( o 疋日，+ 。帆) ) + i j u t i i 玉( o 丑日，+ s 怔) ) ) ；7 + 2 i = 1 又由嵌入定理知日1 ( j ) 一l ”( 驯1 2 】，从而 圳c * ( ，【o ，t d 。 + j p o | 日t ( ，) + 司 ( 1 4 9 ) 利用三角不等式1 1 0 一u ) i i l * ( osj f 矿i i l * c 1 ) + i i 扩i f l ( i ) ，可得 0 m k a x nl i ( t 一u ) l l * ( n m s g | j 二，o | i 备t ( d + ( ) 2 + ( | | uj f 2 叫。疋日，+ a ( ) ) + i i u t f 屋：( 。卫日，+ 。) ) ) ；7 + 2 ) i = 1 而u o = 乃，d ，沪= 0 ，若h i 墨h ，l u l l 2 ，2 + i f lr l r + 1 o o ，则有 。m a x 。1 1 ( u 一矿) 怯( 茎c a t + h 】 以下证明归纳假设：f u “m 由( 1 4 9 ) 及引理1 3 有 sl 2 “+ 1 l + l w “+ 1 一u ”+ 1 l + i u n + 1 i m s e l l ”。i i 备- ( ，) + ( t ) 2 + 芝：( | | u | | 2 。( o 疋日，+ a ( ) ) + f 钍t f | 知( 。疋日，+ 。似”) ；+ 2 ) ； = 1 m + e j l ( u 州) 州怩( 丑) 舻+ 2 ) + j 札州i = 1 即i u ”1 i 亦有界，归纳假设成立综上可得： 1 5 、， 2+ 扑； + 日r02 l +