（应用数学专业论文）hypergeometric+and+rational+solutions+with+polynomial+coefficients.pdf

a b s tr a c t 7 r h i st h e s i si sm 出n l yc o n c e m e dw i t h ( b 8 p e r sa ：蜘r i t h m ，i t sg e n e r a h z a t i o n ，a i l dr a t i o n 出 s o l u t i o 琳a l s oi ti sc o n c e r n e d 谢t ht h ec o r r e s p o n d i n gp r o b l e m 8f o rt h e 口- c 8 s e h 1c h a p t e r1 ，w e 丘r s tg i v eab a d 呵0 1 l n d 衄c o m p u t e r i z e dp r o o 自o fi d e n t i t i ，t h e n w eg i v e8 0 m en o t a 止i o 璐蛆dd e f l n i t i 咄t h a ta r e 璐e d 址l r o u g h o u tt h ee n t i r et h e s i s a r e rg i v i i l gt h eb 踮i cr e s l l l t so g 0 8 p e r s 柚g o r i t h m ，h y p e r g e o m e t r i cs o l u t i o n so fn e 8 r r e c 嘲e n c 嘴ia n dr a t i o n a l h l t i o n 8o fl i i l e 叫d i 野e r e n c ee q l u a t i o 粥，w ep r e 鲍n tt h eo r i g i n 8 l a p p r o a 出0 fg 0 8 p e r sa l g o r i t l l mf o ri n 捌t eh y p e r g e o m e t r i c8 l l i n m 8 t i o nt o g e t h e rw i t h t h ed e r i 啊北i o no fg o s p e r 8a n 8 8 七z i nc h 叩t e r2 ，w e8 h o wt h a tt h el l n i q u 卸嚼so f 七h eg 0 8 p e r - p e t l 【o v e kr 印r e s e n t 雠i o n o fr a t i o n 蛆f u c t i o n 8c a nb eu t i l i z e dt o 舀v ea8 i m p l e rv e r s i o no fg o s p e r sa l g o r i t h m t 1 1 i sa p p r o a c l la l s 0g e n e r a l i z e d 七。缸dh y p e r g e o m e t r i c8 0 1 u t i o n s0 f1 i n e a rr e c u e n c e e q u a t i o s 而t hp o l y n 删龃c o e m c i e n t 8o f8 丑yo r d e r ，p r o 、，i d e dt h e i r1 朗d i n ga n dt r a i l i n g c o e 伍c i e n t 8a r ec o b s t 钺l t t h e nw e l v et h e8 a m ep r o b l e m sf o rt h eq _ c a s e i c h 印t e r3 ，f o rg i v e nt w op 0 1 y n o m i a l s ，w ed i s c o v e rac o n 、r e r g e n c ep r o p e r t yo ft h e g c do ft h en s i n gf a c t o r i a l0 fap o l y n o m i 出锄dt h e 蹦1 i n gf c t o r i a lo fa n o t h e rp o l y n 0 _ m i a l ，w h i c hs e r v e sa sas i m p l ea p p r o a c ht og 0 8 p e r s 越g o r i t h m 棚1 d 虹l ee x p l i c i tf o r i i 】m a f o ra b r 锄0 v su n i v e r 8 a ld e n o m i n a t o rf o rl i n e a rd i f f e r e n c ee q u a | 七i o n sw i t hp o l y n 哪i a l c o e 伍c i e n t s ，eu s et h i 8e x 衅i c i tf o r m t l l at oc o m p u t er a t i o n 缸s o l u t i o n so fl i n e a rd 正 f e r e n c ee ( 1 u a t i o n sw i t hp o l y n o l i 出c o e 伍c i e n t 8a n dh y p e r g e o m e t r i cs 0 1 u t i o 珊o fl i n e 村 r e c u e i l c ee q u a t i o n sw i t hp 0 1 y n o r n i a lc o e 伍c i e t s ，p r o 、r i d e d 址【e i rl e a m n ga n dt r a i u n g c o e 佑c i e n 七sa r ec o n s t a n t i na d d i t i o 且，w ed e r i v ea b r a m o v su n i v e r s a ld e n o m i n a 七o rf r o m b a r k a 土o u 8e x p l i c i tf o r m u l a f o ras p e c i 出c a s eo f 缸s to r d e r1 i n e 盯d i f k r e n c ee i 弭a t i o n w es h o wt h 8 tt h eu n i v e r 8 a ld e n o m i n a t o r 8g i v e nb yg pa 1 9 0 r i t h m ，a n d 越g o r i t h m 删l t a r ef a c t o r so ft h eu n i v e r s a ld e n o m i n a t o r 酉v e nb ya b r a m a v s 址g o r i t h ma i l dt h e ya r e v h y p e r g e o m e t n ca n dr a t i o n a 王s o l u t i o n sw i t hp 0 1 y n o m i dc o e m c i e n t s h u s a ml hs 舯d e q u a lt oe a c ho t h e r t h e nw es h o wt h a to u rd e r i v a t i o no fg o s p e r sa l g o r i t h ma n dt h e e x p l i c i tf o r m u l af o ra b r 锄0 v su n i v e r s a ld e n o m i n a t o rc a nb ec a r “e do v e rt ot h eg _ c a s e t bi l l u s t r a t et h ea p p l i c a b i l i t yo fo u ra p p r o a c h e s ，8 0 m ee x a m p l e sa r ep r e s e t e d k e y w o r d s ：h y p e r g e o m e t r i cs o l u t i o n ，g o s p e r sa l g o r i t h m ，g pr 印r e 8 e n t a t i o n ，r a t i o n a l s o l u t i o n ，a b r 锄o v sa l g o r i t h m ，u n i v e r s a jd e n o m i i l a t o r ，g _ h y p e r g e o m e t r i cs o i u t i o n ，口一 g o s p e r sa l g o r i t h m ，q g pr e p r e s e n t a t i o n ，q - r a t i o n 越s o l u t i o n v 1 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：h 翔ml 5 凹4 2 毋。歹年弓月8 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 l 指导教师签名：学位论文作者签名： i 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下 _ rr 。”? 一”* 。”“? ! 内部5 年( 最长5 年，可少于5 年) ：秘密l o 年( 最跃1 0 年，可少于1 0 年) 机密2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 堙疑滓者、罩帮p 印 刃垒冀公j 矗。“ 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： h “鳓ml 罗蛔文 旦5 年多月8 日 a c k n o w l e d g e m e n t s 1w o u l d1 i k et ot h a j l kp r o f e s s o r 、v i l l i a my c c h e ，l ys u p e r v i 8 0 rw h oi t r o d u c e d l e t o8 t u d yt h i st o p i c ，f o rh i se ( t e n s i v ec o o p e r a t i o n ，m a n ys u g g e 8 t i o n sa n de n c o u r a g e m e n t w i t h o u th i sc o n s t a n ts u p p o r tt l l 主sw o r kw o u l dn o th a v eb e e np o 鹃i b l e f 、l r t h e r m o r e ，1 w o l l l d1 i k et ot h a n kp r o f e s s o rp e t e rp a u l e 矗o mr 船e 村c hi n s t i t u t ef o rs y m b o l i cc o m - p u t a t i o n ，a u s t r i a ，f o ru 8 咖1d i s c u s s i o n 8a n ds u g g e s t i o n s ih a dt h ep l e a s u r eo fm e e t i n gt h ep e o p l ei nt h ec e n t e rf o rc o m b i n a t o r i c sa tn 舢l 妇 u m 、r e r s i t yt h e ya r ew o n d e r f u la n dt h e i rs u p p o r tm a k e sr e 8 e a r c hl i k et h i 8p o s s i b l e s o ， 1w o u l dl i k et ot h a l l l 【：t h es t a ，m yc l a s s m a t e s ，舡1 dt h ee m p l o ”e so ft h ec e n t e r i n p 盯t i c l l l a r ，i 咖ht ot h a n kd r q i g h uh o uf o rh e l p f i l l 曲c l l s s i o n sa n d8 u g g 朗t i o n s ； d r l i b oy a 喵f o r h i sh e l pa n d f r i e n d s h i p t i 删i n a p r i l2 0 0 5 i v h i 塔锄l s a a d c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1 b a e k g r o u n d t h es u b j e c to fc o m p u t e r i z e dp r o o f so fi d e n t i t i e sb 皤sw i t ht h ep h d t h e s j 8f 12 jo f s i s t e rm 缸yc e l i n er 璩e n m ”r ( w h oi so f t e nc m l e ds i s t e rc e u n e ) a tt h eu n j v e r s i t yo f m i c ! l i g a l lj 丑1 9 4 5 t h e ni nf 1 3 ，1 4 】s h ed e 州0 p e dam e t h o df o r 矗n d i n gr e c u r r e n c e r e l a t i o n sf o rh ) 甲e r g e o m e t r i cp 0 1 y n o m i m sd i r e c t l yf r o m 址l es e r i e se x p 8 n s i o n so f 七h e p o 枷o m i 出a n 雠p 0 8 i t i o no fh e rm e t h o di si nc h a p 屯e r1 4o ft h eb o o k 【3 6 】t h e m e t h o di sq u i t ee f f 色c t i v ea n de a 8 i l yc o m p u t e r i z e d h e ra l g o r i t h mi 8a l s oi i n p o r t a r 此b e - c a u s ei t h a 8y i e l d e dg e n e r a ie ) ( i s t e n c et h e o r e m sf o rt h er e c u r r e n c er e l a t i o n ss a t i s 6 e db y h y p e r g e o l e t r i cs u m s i ns p i t eo ft h a t ，t h i sm e t h o dh a v en o tb e e n1 1 s e dw i d e l yb e c a l l s e o f 七h e 】a c l ( 0 ft 0 0 】s ，s u c h8 sc 伽叩u t e ra l g e b r as y s t e m s ， 断t h en e c e s ：s a 叮c 出c u l a t j o n s g o s p e r sa l g o r i t h mh a 8b e e ne x t e l l s i v e l ys t u d i e d 锄dw i d e l y1 1 s e dt ov e r 姆h y p e r g e o m e t r i ci d e n t i t i e s ，8 e ef o re x a m p l e 1 7 ，1 8 ，2 2 ，2 3 ，2 5 ，2 7 ，2 9 ，3 2 ，3 4 ，3 5 】i tg i v e 8 8d e f i n i t i v ea n s w e rt ot h eq u e s t i o no fw h e t h e ro rn o ta 舀啪h y p e r g e o m e t r i ct e r m c a j lb ei n d 面n i t e l ys u m m e d g o s p e r s 出g o r i t h mi st h e 丘r s t 出g o r i t h mw h i c hp r o b a b l yw o u l dn o th a v eb e e nf o u n dw i t h o u tt h eu s eo f8c o m p u t e ra l g e b r as y s t e m ( a s t h ed e v e l o p e rs t a t e s ) i nt h ep 8 s tf e wy e a r s ，c o m p u t e ra l g e b r as y s t e m sl i k em a p l e h a v ea c 【l i e v e dr e c o g n i t i o nb e c a u s ec o m p u t e r sw i 七h1 盯g ea m o u n t so fm e m o r y 村en o w a _ v a n a b l ec h e a p l yf o re v e r y b o d 矿g o s p e ri m p k m e n t e dh i sa k o r i t h mi nm a c s y m a ， 】 h y p e r g e o m e t r i ca n dr a t i o n a ls o l u t i o sw i t hp o l y n o m i a lc o e 伍c i e n t 8 h u 8 a m 【“s 铷d i m p l e m e n t a t i o n so ft h e 出g o r i t h mw a sg i v e ni nm a p l e ，m a t h e m a t i c a ，龇1 dr b d u c e a sas i d e e 髓c t ，d o r o nz e i l b e r g e rw e n tb a d 【t ot h ei d e a so fc e l i n ef l s e n r n y e r a n du s e dg o s p e r s 以g o r i t h mi nan o n _ o b 、r i o u sw a yt o n dav e r ye m c i e n t 砒g o r i t h mo n d e ：f i i t eh y p e r g e o m e t r i cs u m m a t i o n z e i l b e r g e r sa l g o r i t h m ，o rt h em e t h o do fc r e a t i v e t e l e s c o p i n g ( s e e 阻4 ，4 5 ) j sj n t e r e s t e dj n 丘n d i n ga r e c u n e n c er e l a t j o nf b r 砌) = f ( n ，七) k w h e r ef ( 凡，惫) i sah y p e r g e o m e t r i ct e r mi nb o 也a r g 啪e n t s t h i sr e c u r r e n c er e l a t i o n w a l sf o u n db y6 r s t 矗n d i gar e c u r r e n c er e l a 七i o nf o rt h e8 u m m 雠df ( 竹，七) ，j u s ta si n s i s t e rc e l i n e s 出g o r l t h m s ot h em e t h o dd c r e a 虹v et e l 唧i n gi 8b a 8 i c a l l ya n 出e t n 舡 t i v em e t h o do fd o i gt h e8 a m ej o bt h a ts i 8 t e rc e h n 稻a 1 9 0 r i t h md o 鹪b u ti td o e 8t l l a t j o bag r e a td e 时f a 8 t e rh 1 1 p 1 眦e n t a t i o 璐o ft h ez e i l b e r g e r8 l g o r i t h mw e r eg i 、，e ni n 【2 1 】 i n 麟d u c e ，a n di n 阻，4 4 】i nm a p l e ，a n di n 【3 1 】i nm a t h e m a t i c a t h ew za l g o r i t h mi 88 n 锄a z i n 百ys h o r tm e t h o df d rc e r t i 移i n gt h et r u t ho fc o m b i - n a t o r i a li d e n t i t i e 8 ，“et ow i l fa 以z e i l ：b 髓g e r 【4 1 】，s e ea 协【4 0 w i 乇ht h i sm e t h o d ，七h e p r 0 0 fc e r t m c a t ef o ra ni d e n t i t yc o n t a i n sj l l s ta s i n 西er a t i o n a l 矗l n c t i o n t h a t si t 7 r h l l 8 w ew i ub ea b l e ，f o ri s t 晒c e ，t og i v ep r o o 南o fe v e r yi d e n t i t yi t h eh y p e r g e o m e t r i c d a t a b a 8 e e a c hp r o o fw i l lc o n s i s to fj u s tac e r t a i nr a t i o n a lf 1 1 n c t i o n 兄，七) s ot h e w z 出o r i t h m c a nd ot h ef 0 1 l o w i n g ： i tc 姐p r o v i d e t r e m e b8 u c c i n c tp r o o f so fk o w ni d e n t i t i e s _ i ta u o w su st od i s c o 、r e rn e wi d e n t i t i 船w h e n e v e ri ts u c c e e d si n 丘n d i n gap r 0 0 f c e r t i 矗c a t ef o rak n o w ni d e n t i t y 8 e ef 1 6 】 h e n c et h eo b j e c t i v e so ft h i sm e t h o da n d0 ft h eo t h e r sa r es o m e w h a td i 往j r e n t 2 h y p e r g e o m e t r j ca _ 1 1 dr a t i o n a ls o l u t i o n sw i t hp 0 1 y n o m i dc o e m c i e n t s h u 8 a ml s a a d 1 2 n o t a t i o n s ，d e f i n i t i o n s ，a n db a s i cr e s u l t s l e tnb et h es e to fn a t u r 出n u m b e r s ，腋b eaf i e l do fc h a r a c t e r i 8 t i cz e r o ，聪( 礼) b et h e 6 e l do fr a t i o n a j 知n c t i o n so f 礼o v e rk ，k 礼 b et h er i n go fp o l y n o m i a bo fna v e rk ，f b et h et r a n s c e n d e n t a ie x t e n s i o no fkb yt h ei n d e t e r i l l i n a t e 口，i e ，f = 艇( q ) ，a n dd e g ( p ) d e n o t e st h ep 0 1 y n o m i a ld e g r e e ( i nn ) o fa n y p k 旧o r p f 【叫，p o w ed e 6 n e d e g ( o ) = 一1 b yew ed e n o t et h es h m 叩e r a t o ro nk m ，j e ( i 劲) ( n ) = p + 1 ) f o r a n yp k m w ea s 8 u m et h a t8 u b j e c tt on o r m “z a t i o nt h eg c d ( g r e a t e 8 tc o m m o n d i v i 8 0 r ) o f 七w 0p 0 1 y n o i i l i a l 8i 工lk m o rf ma l w a y 8t a k e 8av 8 l u e 蹈am o n i cp 0 1 y n o m i a l ， n 锄e l y 】p 0 1 y n o m i a l sw i t ht h el e a d i n gc o e 盘c i e n tb e i n g1 _ r e c a ut h a tan o n z e r ot e r m t ni sc a l l e dah y p e r g e o m e t r i ct e r mo v e rk i ft h e r ee ) ( i s t sar a t i o n 出f u n c 七i o nr k ) s u d ht h a 上 孥：r ( 竹) k 、7 i fr ( 竹) = 口( n ) b ( n ) ，w h e r e8 ( n ) ，6 ( n ) 【 n 】，七h e nt h ef u n c t i o n 口( 他) 6 ( n ) i sc a l l l e da ra ：七：妇a lr 印r e s e n t a t i o no f t h er a t i o n a l f l l n c t i 0 r ( n ) i f a d d i t i 0 a 坶g c d ( o ( n ) ，b ( n ) ) = 1 h o l d s ，t h e n ( 佗) 6 ( n ) i 8c a u e dar e d u c e dr a t i o n a lr e p r e s e n t a t i o no fr ( 礼) t h ep 出 ( a ，6 ) ，口，6 k 【n 】，i sc a u e dt h er e d u c e df o r mo fr k ( 扎) i fr = n 6 ，6m o n i c ，a n d g c d ( n ( 扎) ，6 ( 扎) ) = 1 ak e yi d e ab e h i n dg o s p e r sa l g o r i t h m1 i e si nt h er 印f e s e n t a t i o no far a t i o n a l d t i o n g o s p e rs h o w e dt h a t 趾1 yr a t i o n a lf u n c t i o nr ( 佗) c a nb ew r i t t e ni n 址l ef o l l o w i n g f o r m ，c 越l e dg o s p e rr e p r e s e n t a t i o n ： 咖) = 器帮， ( 1 z 1 ) w h e r e0 1 6a 皿dca r ep o l y n o m i a l so 、陀rka n d g c d ( n ( 礼) ，6 + ) ) = 1e ) r 出ln o n n e g a t i v ei n t e g e r s 九 ( 1 2 2 ) p e t k o v 香e k1 3 3 1r e a h z e dt h a tt h eg o s p e rr e p r e s e i l t a 舡o nb e c o m e 8u n i q u e ，w h i e hi sc a u e d t h eg o s p e r - p e t k o v e kr e p r e 8 e n t a t i o n ，o rg pr e p r e s e n t a t i o n ，f o rs h o r t ，i fw ef u r t h e r 3 h y p e r g e o m e t r i ca n dr a t i o n a ls o l u t i o n sw i t hp o l y n o m i a lc o e 毋c i e n t s h u 8 a mls a a d r e q u i r et h a t6 ，ca r em o n i cp o l y n o m i a l ss u c ht h a t g c d ( o ( 几) ，c ( n ) ) = 1 ， g c d ( 6 ( n ) ，c ( n + 1 ) ) =1 i nt h es 锄ep a p e r ，p e t k o v e kg a ea nd g o r i t h mt oc o m p u t eg pr e p r e s e n t a t i o n s ；s u b - s e q u e n t l yw ew i l lc m li ti i ls h o r tt 1 1 e “g pa l g o r i t h m ”g i v e nah y p e r g e o m e t r i ct e r mt n ， g o s p e r sa l g o r i t h mi sap r o c e d u r et o 丘n dah y p e r g e o m e t r i ct e r m s a t i 8 研n g + 1 一= k ，( 1 2 3 ) i f i te ) ( i s t s ，o rc l 缸r 1 1 i n gt h en o n e ) 【i s t e n c eo f 跗l ys 0 1 u t i o no f ( 1 2 3 ) i n 【3 2 】，p a l l l ea i l d s t r e h lg i v ed e r i v a t i o no fg o s p e r s 出g o r i t h mb yu s i n gt h eg pr e p r e 8 e n t a t i o n ，a j s os e e 【2 踟 i na n o t h e rp a p e r ，e q u i p p e dw i t ht h eg r e a t e 8 tf a c t o r i a lf a c t o r i z a t i o n ( g f f ) ， p 8 _ u l e 2 9 】p r 朗e n t e dan e wa p p r o a c h 七oi n d e 6 n i t eh y p e r g e o m e t r i c8 u m m a t i o nw h i c h l e a d st ot h es 锄e 出g o r i t h ma sg 0 8 p e r s ，b u ti nan e ws e t t i n g i nf 2 q ，l i s o n 吾ka n d 以o f ，g a v ead e t 出l e d8 t u d yo ft h ed e g r e es e t t i n gf o rg o s p e r 8a 1 9 0 r i t h m i n 3 8 ， m e s ep r e s e n t e da na 垮b r a i c 础ym o t i 、僦e dg e n e r a l i z a t i o no fg 傩p e r sa ：【g o r i t t o i n d 胡n i t eb i b a s i ch y p e r g e o m e t r i cs u 衄a t i o n i n 【8 】，b a u e ra n dp e t k o v e ke ) ( 七e d e d g 嘴p e r sa l g o r i t h mt ot h ec a s ew h e nt h et e r l s 盯e8 i m _ 1 1 1 t 8 _ i l e o l l s l yh y p e r g e o m e t r i ca n d 皿t i b 鹳i ch y p e r g e o m e t r i c t h e ya j s op r o v i d e d8 1 9 0 r i t h m 8f o r 触d i n gp o l y n o n l i a la s w e l la sh y p e r g e o m e t r i cs o l u t i o i l 8o fr e c u r r e n o e 8i nt h em i ) ( e dc a 8 e c u r r 印ti n t e r e s ti ng o s p e r 8a l g o r i t h mi sm a i n l yd u et ot h ef a c tt h a ti tc a na l s 0b e u s e df o rd e 丘n i t eh y p e r g e o m e t r i cs u m m a t i o ni an 加一o b v i o u s8 1 1 dn o n t r i v i a lw a y ( s e e z e i l b e g e r 4 3 ，1 4 4 ， 4 5 】， 4 6 】，w i l fa 丑dz e i l b e r g e r 【4 2 】) i n 【3 3 ，p e t k o v 吾e kp r e s e n t e d 出g o r i t h mh y p e rt o6 n da 1 1h y p e r g e o m e t r i cs o l u t i o n s o ft h er e c u r r e n c e d b ( 仉) - 扣= o ， t = 0 4 墅p e r g e o m e t r i ca n dr a t i o n a ls o l u t i o i l sw i t hp 0 1 y n o m i a lc o e m c i e n t s h u s a ml s a a d w h e r ep o ( n ) ，p 1 ( 礼) ，p d ( 礼) a r e 舀v e np o l y n o m i a l so v e rk g i v e nah y p e r g e o m e t r i c t e r mt n 。e r 聪，a l g o r i t h mh y p e rc a nb eu s e dt o6 n da uh y p e r g e o m e t r i cs o l u t i o n so f t h er e c u r r e n c e d a ( n ) - 十f k ，( 1 - 2 4 ) i = 0 8 i n c ea n ys o l u t i o no fan o n _ h o m o g e n e o u sr e c u r r e n c e 们t hh y p e r g e o m e t r i cr i 曲t _ h a n d s i d es a 土i s e sah o m o g e n e o u sr e c u r r e n c eo fo n e h i g h e ro r d e r i nt h es 锄ep a p e r ，h e g 忧a na k o r i t h mw h i c hf i n d sa l ls o l u t i o i l so f ( 1 ，2 4 ) t h a 七8 r el i n e 缸c o l b i n a t i o n s o fh y p e r g e o m e t r i ct e r m 8 t h e s e 献g o r i t h m 8r e q u i r ef a c t o r i z a t i o no ft h el e a d i n ga n d t r a i l i n gc o e 伍c i e n t so ft h er e c u r r e n c e ，8 0i ti sn o tp r e f e r r e d i na n o t h e rp a p e r ，p e t k o v 莒e k 【3 4 】g e n e r a h z e sg o s p e r sa l g o r i t l l mt o i dm lh y p e r g e o m e t r i cs o l u t i o n so f t h er e c u r r e n c e ( 1 2 4 ) ，w i t ht h ea d d i t i o n a lr e s t r i c t i o nt h a t 伽a n dm a r ec o n s t a n t f i n d i n gr a t i o n 出s o l u t i o n 8i 8i m p o r t a i l ti c o m p u t e r 出g e b r ab e c a u 8 em 舡l yp r o b l 锄s c a nb er e d u c e dt or a t i o a l8 0 l u t i o 瑚f b re ) ( a m p l e ，w em a yc o i l 8 i d e r 七h eg e n e r a l i z a t i o n o fg o s p e r s 越g o r i t h m g i v e na1 i e a rd i 脑e n c ee q u a t i o n d 鼽( n ) 可m + t ) = p ( 礼) ， ( 1 2 5 ) i = 0 w h e r ep 0 唧) ，p 1 ( n ) ，p d ( n ) ，p ( n ) 【ma r e 昏v e np o l y n o m i a l ss u c ht h a tp o m ) o ， p d ) o ap 0 1 y n o m i a lg ) k h 】i sc 出1 e dau n i v e r 8 啦d e n o m i n a t o rf o r ( 1 2 5 ) i f 锄do n l yi ff o re v e r ys o l u t i o n 可( n ) 琏( n ) t 0 ( 1 2 5 ) t h e r e 喇s t 8a ，( 几) 聪( n 】s u 出 t h a t 可( 礼) = ，( 礼) 夕( n ) o n c ea u i l i v e r s a ld e n o 吼i n a 土o ri sf b u n d ，t h e ni ti s e a s yt o 丘n d t h er a 七i o n a ls 0 1 u t i o n so ft h el i n e a rd i f f 打e n c ee q u a i o n ( 1 2 5 ) b y6 d i n gt h ep o l y n o m i d s 0 1 u t i o n su s i n gt h et e