本科毕业论文-数学分析中极限的化归.doc

本科毕业论文题 目: 数学分析中极限的化归 院 系： 数学与信息科学学院 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 学 号： 指导教师： 教师职称： 讲 师 填写日期： 2013年 5月 12 日贵阳学院毕业论文摘 要化归法是数学中最基本的思想方法之一，在数学研究和学习中有着广泛的应用.在数学分析中，导数概念，连续概念，积分概念等都是化归为极限来定义的，可见数学分析中的化归思想是很明显的，而极限的化归在数学分析中扮演了最基本的角色.本文首先对化归的意义和作用做了简要的论述；其次，对极限中含有化归思想的一类数学问题“数列极限与函数极限的化归”、“化归为两个重要极限”、“多元函数极限化归为一元函数极限”等进行解决.揭示了极限求解过程中化归的思想.关键词：化归思想；极限；数学分析Abstract Reduction method is one of the most basic ways of thinking in mathematics, which is widely used in mathematics study and learning. In mathematical analysis, the derivative concept, continuous concept, and integral concept are defined by limit. Visibly, the thought of reduction is obvious in the mathematical analysis, but the limit of reduction plays a fundamental role in mathematical analysis. In this article ,Firstly, a brief discussion about the significance and role of transforming is made; Secondly, to limit contained in transforming ideas of mathematics problem sequence limits and transformation of function limits , as the two important limit, multiple function limit as a dollar function limit to solve. Those discussions reveal the solving process to the thought of reduction.Keywords: Ideology；Limit；Mathematical Analysis 目 录摘 要IAbstractII第一章 前言1第二章 化归的意义及作用2第一节 化归的意义2第二节 化归的作用2第三章 极限化归的分类及举例3第一节 数列极限与函数极限的化归3第二节 化归为两个重要极限5第三节 化归为或型极限6第四节 多元函数极限化归为一元函数极限9第四章 归纳总结11致谢12参考文献13III 第一章 前言对于化归思想，匈牙利女数学家罗莎彼得 (Rozsa Peter)在她的无穷的玩艺中有一个精彩的比喻：“假设在你面前有水龙头、水壶、煤气灶和火柴，你想烧开水应该怎样去做?”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放在煤气上.”提问者肯定了这一答案：但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已有了足够多的水，那你又应该怎样去做?”罗莎又提出.这时被提问者往往会很有信心的说：“点燃煤气 ，再把水壶放到煤气灶上.”但是，提问者指出，他对这样的回答并不满意，因为，“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称把最后一问题化归为前面所说的问题了”.也许这种比喻有些夸张，但却形象地道出了化归的根本特征：在解决一个问题时，人们不是直接寻找问题的答案，而是寻找一些熟悉的结果，设法将面临的问题化归为某一规范的问题，以便运用已知的理论、方法和技术使问题得到解决.数学分析是有关无穷小量的分析的学科，通过他首先建立了极限的概念，当极限的概念一经找到后，整个学科的基础概念，如导数概念，连续概念，积分概念等都以极限来定义，这就是将基本概念、基本理论都转化为已知概念-极限.可见数学分析中的化归思想是很明显的，而极限的化归在数学分析中扮演了最基本的角色.第二章 化归的意义及作用第一节 化归的意义 所谓“化归1”，从字义上说，就是转化和归结的意思.数学中的化归，就是将数学问题进行规范化，将一个新的、有待解决的或未能解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中，从而最终求得解答的一种手段或方法 .其基本思想是：人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题A，通过某种转化手段，归结为另一个问题B，而问题B是相对较易解决或已有固定解决程式的问题，且通过对问题B的解决可以得到原问题A的解答.用框图可直观表示如图2.1.其中，问题B常常被称作化归目标或方向，转化的手段则被称为化归途径或化归策略.“问题是数学的心脏”，数学问题的解决是教学中的一个重要组成部分，而几乎所有的数学问题的解决都离不开化归，只有所体现的化归形式不同而已2.复杂的计算题可以利用性质化归为简单的计算题或已经解决的计算题；证明题可以利用定理、公理、推理化归为已解决了的命题.因此可以说，离开化归，数学问题的解决将寸步难行 .转化待解决问题A容易解决的问题B（化归途径）（化归目标）（化归对象）问题B的解决问题A的解决还原 图2.1 化归示意框图第二节 化归的作用化归的作用分为以下几个点：1、利用化归法可以学习新知识：数学中许多概念的形成过程或数学定义，就是渗透着化归的思想.例如，实数的引进以及运算法则和大小比较的确定，又是建立在有理数运算和大小的比较基础上的，他是借助于极限来实现这种转化的.例如，在掌握了数列极限的性质及计算后，要计算函数极限我们可以将它转化为数列极限来算.在掌握了一元函数极限的性质和计算之后，要计算多元函数极限我们可以将它转化为一元函数极限来算.2、利用化归法可以指导解题：例如，求边形的内角和可以转化为求三角形的内角和. 3、利用化归法可以使我们理清知识的结构：运用化归思想方法可将零星纷乱的知识编织成一张有序的主次分明的知识网络，做到易懂、易记、易用.例如，在数分中利用海涅定理，函数极限可以化归为数列极限，利用变量替换法，多元函数极限和化归为一元函数极限.4、利用化归不仅能有效地帮助学生理解数学分析理论，而且还为学生提供了另一种思维策略. 例如：把未知化为已知，把难化为易，把不熟悉化为熟悉等等.第三章 极限化归的分类及举例我们知道，数学分析研究的对象是函数，研究函数的方法就是极限.数学分析中几乎所有的概念都离不开极限，而极限概念是由某些实际问题的精确求解而产生的，而求这些实际问题的过程中用到了化归法.我国古代数学家刘微的割圆术是正确理解极限概念的具体实例，其方法是：要求圆的周长，而圆的周长是一条封闭曲线，其长是可求的，已知的.当无限增大时，内接正边形的周长就是圆的周长.其过程是，首先把它分割、转化为求内接正边形的周长，然后化归为求正边形的边长.这个过程就是以直代曲的过程.把未知的曲线的长化为已知的直线段的长，这是化归法的具体应用，可见极限定义中就含有化归思想.第一节 数列极限与函数极限的化归数列极限和函数极限是分别定义的，形式上没什么联系，但本质上两者之间却可以相互转化.海涅定理3（实现了两者之间的化归）：对任意数列，且，有.例13 证明.思考与分析：因为数列极限可以直接求出来，而利用海涅定理可以化为，然后利用夹逼原则求出函数极限.证明 对于任意的，都有，从而；由幂函数（底数大于1）严格增加，有，因为表示的整数部分.所以令时，不等式左右两侧表现为两个数列的极限，即在利用函数的夹逼性得到成立.证毕.这个过程应用了以已知代未知的过程，利用海涅定理把未知的函数极限化归为与之相对应的已知数列极限，再利用数列极限的性质即可求出函数极限.例24 证明函数在不存在极限.思考与分析：要证明函数在不存在极限，可以化归为求数列，只要存在某两个数列与，与，且与，而则函数在不存在极限.证明 取，,显然，与，且与，从而,于是，函数在不存在极限.这个过程应用了以已知代未知的过程，利用数列极限的性质及海涅定理，把未知的函数极限化归为与之相对应的特殊数列极限，再利用数列极限的性质即可求出函数极限.例38 设，求.分析:首先进行代换，然后根据海涅定理把数列化为函数，又因为，变为型后利用洛必达法则.解 ，数列极限转化为函数极限，=.这个过程应用了以已知代未知的过程，数列没有导数的概念，因此对数列直接求导是错误的，一定要先根据海涅定理把求数列极限化归为求函数极限，然后再用洛必达法则.第二节 化归为两个重要极限在某一类极限问题的解决中，我们都可以通过变形，化归为第一重要极限3（或）和第二重要极限3(或)的形式来解决.例4 计算.思考与分析：在运用第一重要极限计算一些极限时，化归目的是把所求的函数向标准形式或转化.而这种转化的关键是使得化归的结果符合第一重要极限的两点特性：当或时所求函数呈型及型.因此，首先对进行变形，利用三角函数公式转化为正弦函数，再通过适当的变形，把问题化归为第一重要极限处理，即.当我们把所求极限化归为模型解题时，符号（弧度与分母）必须统一，包括系数、正负符号等.在大多数解题过程中，更多情况是弧度与分母不完全统一，但是可以通过简单的拼凑、变形将其统一，我们可以试着参照例4.例5 计算.思考与分析：在运用第二重要极限计算一些极限时，目的是把所求的函数向标准形式或进行化归.而这种化归的关键是使得化归的结果符合第二重要极限的两点特性：当或时所求函数呈型及型.因此，=.当我们把所求极限化为模型解题时，要注意形式上一定要统一，正负符号之差是常见错误，且括号内必须是“”号，如果是“”号需变形后放在分母上去.第三节 化归为或型极限在求极限的问题中，洛比达法则是求或待定型极限的简便方法，同时对于其他五种待定型极限，等类型,可以分别通过做商，通分，取对数，转化为或两种基本类型，然后化归为洛比达法则来求解.例6 求极限. 思考分析：极限是的待定型，此极限可以通过对函数进行恒等变形，化归为或者是型，但那种更简单下面我们进行对比，解：第一种：把函数化为，即，第二种：把函数化为，即.我们可以发现对第二种求导比第一种更简单，所以选择第二种.例7 求极限. 解：第一种化为，即,第二种：把函数化为，即变为了型，此类型的极限不存在.我们可以发现第一种和第二种相比，如果选择错了化归的方式此题就无解了.由例6、例7可知，它们都是型可以化成或型，如果选择不当把例6错化成了第一种型，而把例7错化成了第二种型则解题过程将会比较复杂.一般的规律是选择容易求导并且求导后式子简单的那种类型.例87 求极限. 思考与分析：这是待定型，为了把所求的函数转化为或，需要对函数进行恒等变形，化归为运用洛比达法则解决.通常采用取对数法进行变形.因此， 设，取对数得化简为所以，其中，当时，上式中的是待定型，把它化为得，从而有.例9 求极限. 思考与分析：这是待定型，为了把所求的函数转化为或，需要对函数进行恒等变形，化归为运用洛比达法则解决.通常采用取对数法进行变形.因此，设,取对数得化简为所以，其中，当时，上式中的是待定型，把它化为得 ,从而有.例107 求极限 . 思考与分析：这是待定型，为了把所求的函数转化为或型，需要对函数进行恒等变形，化归为运用洛比达法则解决.通常采用取对数法进行变形.因此，设,取对数得化简为所以其中，当时，上式中的是待定型，把它化为得，从而 .例8、例9、例10可知，求待定型，的极限都可以通过取对数，把它化为、或型 .其中若是或型，则直接化为洛必达法则求解；若是型，则可以进一步采用通分或有理化方法化简为或型，再求解.例11 求极限. 思考与分析：这是待定型，为了把所求的函数转化为或，需要对函数进行恒等变形，化归为运用洛比达法则解决.通常采用通分或有理化方法等进行变形，因此，.第四节 多元函数极限化归为一元函数极限极限的概念首先是在一元函数中定义的，而在解决问题中，多元函数极限的所有问题都可以通过适当的放大缩小法或变量替换法化归为简单的极限或一元函数极限的问题.然后根据一元函数极限的性质、定义、以及定理求解题. 例126 证明极限不存在.思考与分析：先考察沿不同的直线趋于时的极限.若不同，则得证；若相同，再考察沿其他特殊的路径-曲线趋于时的极限.证明 令，沿不同的直线趋于，则 ，它随而变，如时该极限为,时该极限为.因此该极限不存在.例13 求.解 .在解决多元函数极限时化归方法进一步得到应用，它的思路是将多元函数极限化归为一元函数极限，而化归的方法则是变量替换.第四章 归纳总结通过以上例题可以看出，掌握化归思想和方法，对于学好数学(特别是在解题中)有着十分重要的意义和作用.化归的思维特点就是以已知的、简单的、具体的、特殊的、基本的知识为基础，将未知的化为已知的，复杂的化为简单的，抽象的化为具体的，一般的化为特殊的，非基本的化为基本的，从而使问题得到解决.在应用化归思想时应注意下面三个基本原则：1.简单化原则：将原问题中比较复杂的形式、关系结构，通过化归，将其变为比较简单的形式，关系结构，或者通过问题的简单化，获得解决复杂问题的思路.2.熟悉化原则：将我们感到陌生的问题通过变形化归成比较熟悉的问题，从而使我们能够充分利用已有的知识和经验来解决问题.3.和谐化原则：化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形关系方面趋于统一的方向进行，是问题的条件与结论表现的匀称和恰当.化归在极限具体应用中的归纳总结或注意事项：1.当求数列极限（函数极限）比较困难时，我们可以通过海涅定理把它转化为求函数极限（数列极限）.2.化归为极限时，注意符号必须统一，包括系数、正负号等，而在具体的解体过程中，更多情况是弧度与分母不完全统一，但可以通过简单的拼凑、变形将其变成统一.3.化归为时，要注意形式上一定要统一，正负符号之差是常见错误；且括号内必须是“”号，如果是“”号需变形后放在分母上去.4. 在求极限的问题中，其它五种待定型极限，等类型,可以分别通过恒等变换做商，通分，取对数，转化为或两种基本类型，然后化归为洛比达法则来求解.注意：型可以化成或型，但如果选择不当，解题过程将会比较复杂.一般的规律是选择容易求导并且求导后式子简单的那种类型.5.在解决多元函数极限时，都可以通过变量替换把它转化为一元函数来解.致谢经过半年的忙碌，本次毕业论文已经接近尾声，作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有导师的督促和指导，以及一起学习的同学们的支持，想要完成这个论文是难以想象的.在这里首先要感谢我的导师周洪波老师.周老师平日里工作繁多，