（应用数学专业论文）三维有界区域中非牛顿可压缩流体的广义解.pdf

学位论文数据集 中图分类号 0 1 1 7 学科分类号 1 1 0 4 7 4 0 论文编号 1 0 0 10 2 0 0 7 0 6 5 4密 级 学位授予单位代码 1 0 0 1 0 学位授予单位名称北京化工大学 作者姓名李秋衡学号 2 0 0 4 0 0 0 6 5 4 获学位专业名称 应用数学 获学位专业代码 矿7 夕o 弘 课题来源 徘白渤； 髫物炙目 研究方向 偏微易杰饶；甥嘶 ， 论文题目三维有界区域中非牛顿可压缩流体的广义解 关键词可压缩非牛顿流体 论文答辩日期 2 0 0 7 - 5 - 2 5论文类型 应用研究 学位论文评阅及答辩委员会情况 姓名职称工作单位学科专长 指导教师 撇丁极後l 婚纰大尝俩渤弓锃 评阅人1 最苫铍厕毙次呻科声激磁偏；毁易弓缝 评阅人2 析兰毫豹鸦啦寿忆爻学庙锨易考讫 评阅人3 谚聊牟翻磷後靶春化工太肇倍黝易秀镶 ， 评阅人4 评阅人5 答辩委员会主席 芬苫级溺叛1 j r 斜1 i 妞翱霜易偏饿疡易饧 答辩委员1 蔹归殖缝瓣倪呔謦劾用数劳 答辩委员2 访兰毫襁旋瓣们魑倍缎易为铭 答辩委员3 潮牟翻毅缓4 谤纰文学倍徵易弓争彩 f 。 答辩委员4 答辩委员5 汪：一 四 论文类型：1 基础研究2 应用研究3 开发研究4 其它 中图分类号在中国图书资料分类法查询。 学科分类号在中华人民共和国国家标准( g b t13 7 4 5 9 ) 学科分类与代码中 查询。 论文编号由单位代码和年份及学号的后四位组成。 m 2加 眦0i 眦8帆y 北京化工大学硕士学位论文 三维有界区域中非牛顿可压缩流体的广义解 摘要 本论文主要研究如下描述非牛顿粘性可压缩流体三维流动的非线 性偏微分方程组： f 层+ d i v ( p u ) = 0 ，( 五f ) q ( o ，即， ( 舢) ，+ d i v ( 俨。u ) 一d i v f ：一即+ ，( 刈) q ( o ，d ， n 这里q r 3 为有界光滑区域，丁为时间，z = ( 毛，x 2 ，毛) ，p = p ( x ，f ) 为流体 的密度，u = ( ，“：，鸭) “f ) 为流体流动的速度，f = ( 勺) 为偏应力张量，其 分量依赖于速度梯度张量e _ ( 讣其中勺= 数考鲁) ，并满足强制性 条件： 3 ，3、2 ( f ) 驴( 口) 勺q i i ， ( 2 ) ，户l j 。产i 和增长性条件 ；卜心卜2 其中q ，乞为正常数。 f = ( 彳，正，石) “，) 为体积力密度，p = p ( 刃甜) 为压力，本文所考虑的是等 温完全气体，故其状态方程为： p = 肋常数 o ( 4 ) 边界条件和初始条件为： u i 融( 。t ) = o ， ( p ，- ) i ，i o = ( 岛，u 。) ( 砷 ( 5 ) 并满足相容性条件。 本文的主要结论和证明方法如下： 北京化工大学硕士学位论文 给定初值u 。( 曲r ( q ) ，p o 口( q ) ，f r ( ( o ，t ) ，r ( q ) ) ，方程( 1 ) 广义解 的( p ，u ) 存在性，并且满足： p r ( ( o ，t ) ，l ( q ) ) ，p o ，口巴i n 弭 u ( 【o ，t 】；形1 7 ( q ) ) 凡o t w q ) ) 协戤 忙i u l 2 k ( 。，t 。q ) ) + ：( c 炒叭q ，) + l ( 1 + 以五，) ) l n ( 1 + 从而力) 如 c ( 1 + l l 毗他n 侧) 2 ，常数c o , v t ( o ，t ) 先构造基底，通过基底构造近似解，对近似解做能量估计，最后 取极限的过程得到了广义解的存在性。 关键词：可压缩非牛顿流体；有界区域；广义解 ， 北京化工大学硕士学位论文 g e n e r a l i z e ds o l u t i o no fn o n - n e w t o n i a nv i s c o u s c o m p r e s s i b l ef l u i di n3 d b o u n d e dd o m a i n s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w em a i n l yi n v e s t i g a t et h ef o l l o w i n gn o n - l i n e a rp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fn o n - n e w t o n i a nv i s c o u sc o m p r e s s i b l ef l u i di n3 d b o u n d e dd o m a i n s 踹p t + d i v ( p u ) = o , + d i v ( p u 。u ) 一d i v g - - 咖以勰完 i ( 胛) ， 一 一v p + ，o ，f ) q ( o ，丁) ， w h e r eq r 3i sas m o o t hb o u n d e dd o m a i n , ti sac e r t a i np o i n to ft i m e ， x = ( x i ，而，而) ，pfp ( x , t ) i st h ed e n s i t y , u = ( “i ，u z ，吩) ( 工，f ) i s t h ev e l o c i t y ， fi st h ep a r t i a ls t r e s st e n s o ra n di t s c o m p o n e n t 勺d 印e n d so nt h e v e - 砌哆s r a d ；咄t e n s o r ew h 。s e c o 即。n 肌t ；s 勺= 圭( 考+ 鼍) ，讹曲 s a t i s f i e st h ef o l l o w i n gc o m p u l s o r yc o n d i t i o n l虮,j=lc 岭毛f i ，产l a n dt h eg r o w t hc o n d i t i o n ( 2 ) ( 3 ) 北京化工大学硕士学位论文 f = ( z ，正，石) ( 工，f ) i st h ev o l u m ep o w e rd e n s i t y , p = p ( p ，“) i st h ep r e s s u r e i nt h i sp a p e r , w ec o n s i d e rt h ei s o t h e r m a lg a s ，s oi t ss t a t ee q u a t i o ni s p = p a , 常数p o a n dt h e b o u n d a r y c o n d i t i o na n di n i t i a lc o n d i t i o n - i 铀( o ，t ) = o ， ( p ，u ) l ，卸= ( 岛，u 。) ( 力 t h et w oc o n d i t i o n ss a t i s f yt h ec o m p a t i b i l i t yc o n d i t i o n t h em a i nr e s u l t sa n dm e t h o d sa r ea sf o l l o w s ： ( 4 ) ( 5 ) i fw es e tt h et h r e ei n i t i a lv a l u e s u o ( x ) r ( q ) 。, c o z ( q ) a n d fz l ( ( o ，t ) ，r ( 国) ，t h eg e n e r a l i z e ds o l u t i o n ( p ，u ) o ft h ee q u a t i o n ( 1 ) e x i s t sa n dh a st h ef o l l o w i n gp r o p e r t i e s ： 户r ( ( o ，d ，l ( 哟) ，p o 口幺nq t u e g ( o , t ；w 1 7 ( q ) ) 凡。眦( q ) ) s 协如 忙l u l 2 k ( 。t 。q ) ) + ：( 。t 沙”。) ) + ( 1 + 从而，) ) l l l ( 1 + 从而d ) 出 s c ( 1 + l l f 峨。 。，。q ) ) ) 2 ，常数c o , v t e ( 。，1 ) f i r s tw ec o n s t r u c ta g r o u po fo r t h o g o n a l b a s e sa n dm a k ea l l a p p r o x i m a t es o l u t i o n , t h e nw eu s et h ee n e r g ye s t i m a t em e t h o dt ot h e s o l u t i o na n df i n a l l yg e tt h ee x i s t e n c eo ft h eg e n e r a l i z e ds o l u t i o no ft h e d i s c u s s e de q u a t i o nb yt h el i m i tp r o c e s s k e yw o r d s ：c o m p r e s sn o n - n e w t o n i a nf l u i d ；b o u n d e dd o m a i n ； i v 北京化工大学硕士学位论文 目录 第一章绪论1 1 1 引言1 1 1 1 关于牛顿流体1 1 1 2 关于非牛顿流体1 1 1 3 非牛顿流体和牛顿流体的比较3 1 1 4 可压缩流体和不可压缩流体5 1 1 5 对黏性流体的研究6 1 2 预备知识6 1 2 1 理想流体的状态方程和动量方程的推导6 1 2 2 口空间8 1 2 3r 空间8 1 2 4s o b o l e v 空间8 1 2 5o r l i c z 空间9 1 2 6 常用不等式和使用的定理l o 第二章广义解的存在性1 3 2 1 本文主要结论1 3 2 2 证明过程1 3 参考文献2 3 攻读学位期间发表的学术论文2 6 致谢”2 7 v 北京化工大学硕士学位论文 r n 维e u c l i d 空间 符号说明 c ( 【口，纠)区域 口，卅上连续函数全体 0u 乩 l iu ， k 0 ) q q r q r “的口范数 “的r 范数 u 在s o b o l e v 空间中的范数 “在o r l i c z 空间中的范数 表示q 的闭包 表示q ( o ，乃 是q r 的闭包 y i 北京化工大学硕士学位论文 1 1 引言 1 1 1 关于牛顿流体 第一章绪论 牛顿在1 6 8 7 年发表了以水为工作介质的一维剪切流动的实验结果。实验是 在两平行平板间充满水时进行的，下平板固定不动，上平板在其自身平面内以等 速u 向右运动。此时附于上下平板的流体质点的速度分别为u 和0 ，两平板间的速 度呈线性分布。由此得n t 著名的牛顿粘性定律。 如 弘一p 五 式中，t 是作用在上平板流体平面上的剪应力，d u d y 是剪切应变率，斜率u 是 粘度系数。 斯托克斯1 8 4 5 年在牛顿这一实验定律的基础上【2 l ，作了应力张量是应变率张 量的线性函数、流体各向同性、流体静止时应变率为零的三项假设，从而导出了 广泛应用于流体力学研究的线性本构方程，以及现被广泛应用的纳维一斯托克斯 方程。 后来人们在进一步的研究中知道，牛顿粘性实验定律p ，( 以及在此基础上建 立的纳一斯方程) 对于描述像水和空气这样低分子量的流体是适合的，而对描述具 有高分子量的流体就不合适了，那时剪应力与剪切应变率之间已不再满足线性关 系。为区别起见，人们将剪应力与剪切应变率之间满足线性关系的流体称为牛顿 流体，而把不满足线性关系( 可能是非线性的，也可能是具有记忆特性( 即弹性特 性的) ) 的流体称为非牛顿流体。 i 1 2 关于非牛顿流体 近五十年来，人们对非牛顿流体的兴趣日益增长【4 1 ，这是因为在工业中经常 遇到关于非牛顿流体的问题。早在人类出现之前，非牛顿流体就已存在，因为绝 大多数生物流体都属于现在所定义的非牛顿流体。身上的血液、淋巴液等多种体 液以及像细胞质那样的“半流体一都属于非牛顿流体。现在去医院作血液测试的 项目之一，已不再说是“血粘度检查斗，而是“血液流变学检查一( 简称血流变) ， 这就是因为对血液而言，剪应力与剪切应变率之间不再是线性关系，已无法只给 出一个斜率( 即粘度) 来说明血液的力学特性 北京化工大学硕士学位论文 非牛顿流体在食品工业中也很普遍， 汤，浓糖水，酱油，果酱，炼乳，琼脂， 食品物料。 如番茄汁，淀粉液，蛋清，苹果浆，菜 土豆浆，熔化巧克力，面团，米粉团等 综上所述，在日常生活和工业生产中常遇到的各种高分子溶液，熔体，膏体， 凝胶，交联体系，悬浮体系等复杂性质的流体，差不多都是非牛顿流体。有时为 了工业生产的目的，在某种牛顿流体中，需加入一些聚合物，在改进其性能的同 时也将变成为非牛顿流体，如为提高石油产量使用的压裂液，新型润滑剂等。 非牛顿流体显示出许多牛顿流体里观察不到的现象。由于非牛顿流体，各法 向应力可能不相等。这种法向应力差引起许多现象，其中最著名的也许是 w e i s s e n b e r g 效应，它是不难演示的，在一只盛有粘弹性流体的烧杯里，旋转一根 棒，对于牛顿流体，由于离心力的作用，液面将成为凹形，但对于大多数粘弹性 流体，液面却是凸形。在设计混合器时就要考虑到w e i s s e n b e r g 效应的影响。 非牛顿流体类型依本构方程的不同，可分为3 类： 广义牛顿流体。把粘度作为剪切率的单值函数，从牛顿流体模型推广而得 的一种非牛顿流体。自然界中大多数浆糊状流体、悬浮液、塑料熔质等都属此类。 广义牛顿流体的剪应力一剪切变形速率的曲线如图l 所示。包括3 种流体：塑性流 体( 较常见的有宾汉塑性流体、广义宾汉塑性流体和卡森塑性流体) 、拟塑性流体 和膨胀流体。 图1 广义牛顿流体曲线 有时效的非牛顿流体。应力不仅同变形速率而且同时间有关的非牛顿流体， 分触交流体和触稠流体两类。大部分胶状液体都是触变流体，其特性是静止时粘 稠，甚至呈固态，但搅动后变稀而易于流动。凝胶漆就是典型的触变流体跟触 2 北京化工大学硕士学位论文 变流体相反，触稠流体的粘度随时间而增加。这种流体比较稀少，也无工业价值。 粘弹性流体。兼有粘性效应和弹性效应的流体。自然界中许多极粘稠流体( 如 沥青) 就是粘弹性流体。粘弹性流体又分为线性粘弹性流体和非线性粘弹性流体。 此外还有广义二阶流体、三阶流体等微分型模型，各种广义麦克斯韦模型，隐 含模型，积分型模型，根据粘弹性分子理论提出的哑铃模型、小球一弹簧模型、网 络模型等。 1 1 3 非牛顿流体与牛顿流体的比较 非牛顿流体流动具有与牛顿流体流动截然不同的特性。 广义牛顿流体流动。塑性流体在管中流动时，轴线附近的塑性流体所受的 剪应力小于它的屈服应力，因此类似固体在管中平移；壁面附近流体则因剪应力 超过屈服应力而处于流动状态( 图2 ) 。拟塑性流体或膨胀流体在管道中流动时， 流量和压差的关系是非线性的，而牛顿流体的这种关系则是线性的。 图2 牛顿流体和塑性流体管流 有时效的非牛顿流体流动。以触变流体为例，若将触变流体装入同心圆筒 式粘度计的环形缝隙中，则在流体静止一段长时间后，让任一圆筒以等速旋转， 就可发现流体的粘度( 表现为另一圆筒上的转矩) 随时间而减小。 粘弹性流体流动。其典型流动有定常剪切流动、拉伸流动和伸缩流动。其 一是定常剪切流动。粘弹性流体在剪切流动时有沿旋转棒向上爬的现象，称韦森 堡效应( 图3 ) 。这种现象是粘弹性流体在剪切流动时产生的第一法应力差引起的。 流丝沿周向张紧而产生的张力需由径向负压力梯度来平衡，而后者使自由面星凸 形。粘弹性流体通过细管形成挤出射流时，射流柬直径显著胀大，称挤出物胀大 或口模胀大( 图4 ) 。 3 北京化工大学硕士学位论文 薜i i ：释器 图3 韦森堡效应 _ _ _ _ 图4 挤出物胀大 例如聚苯乙烯在1 7 5 - - 2 0 0 较快挤出时，直径胀达2 8 倍；而牛顿流体从管中流 出时，则收缩。其二是拉伸流动。流体的拉伸粘度与剪切粘度的比值称特劳顿比。 对于牛顿流体，这个比值是3 ；对于粘弹性流体，由于拉伸粘度随变形速率增加而 增加，这个比值可达1 0 - - - 1 0 量级，因此会产生开口虹吸现象( 图5 ) 。把管子一端 插入粘弹性流体，由于虹吸作 4 北京化工大学硕士学位论文 用，流体经管道流出。如把插入流体的管端稍提出液面，则流体仍会被吸上来。 在纺丝、吹塑、挤出和压延成形等加工过程中，流动的主要成分是拉伸流动；多 孔介质中的流动，其主要成分也是拉伸流动。其三是收缩流动。对于这种流动， 牛顿流体和粘弹性流体也有不同的流场。牛顿流体在中心产生环流，粘弹性流体 则在壁面产生环流( 图6 ) 。塑料通过收缩口挤入铸模的流动，聚合物通过喷丝口 的流动，大小血管之间血液的流动等都属于收缩流动。 - 牛顿浇体 b 鞯搏住泷体 图6 收缩流动 1 1 4 可压缩流体和不可压缩流体 我们知道可压缩流体动力学比不可压缩流体力学更为复杂和困难【6 】。第一， 由于流体质点的密度不再是常数而是随质点的移动而处处改变，并且由与压力与 密度有关，因而必须求助于联系压力p 、密度p 和( 绝对) 温度r 的状态方程。 温度r 的出现需要有能量方程，这正是热力学第一定律的方程或热收支方程。第 二、对于可压缩流体，连续性方程是非线性的，这样排除了即使流动是无旋和速 度势存在时拉普拉斯方程作为基本方程的可能性。第三、如同我们将要看到的， 在某些情况下可能在流动中出现激波，流体质点通过激波，将经受一个熵的急剧 的或至少是一个非常突然的变化，因而密度、压力、温度和速度也都有相应的变 化。 5 北京化工大学硕士学位论文 1 1 5 对黏性流体流动的研究 人们对黏性流体流动的研究已经有一百多年了，从十八世纪伯努利定理的出 现，到以欧拉命名的理想流体的运动方程和连续方程的导出，形成了对流体动力 学的系统的研究。但在欧拉之前的研究并未考虑到由黏性引起的摩擦力的影响。 1 8 2 2 年n a v i e r 发表了关于不可压缩流体的普遍运动方程组的文章，继他之后经 过c a u c h y ，p o i s s o n 等人的分别研究，最后由s t o k e s 根据不同的假设，采用第一 黏性系数导出了相应的方程，于1 8 4 5 年发表。后人又将方程加以发展，推广应 用于可压缩流体。现在，对n a v i e r s t o k e s 方程的研究已不单纯是物理学上的一 个问题，也是数学研究中的一个难点，它的提出是建立在偏应力张量分量与速度梯 度为线性关系的假设基础之上，这对于描述速度梯度变化小的牛顿流体( 水、空 气等) 的流动是合适的，但对于速度梯度变化剧烈的区域( 比如边界层等) ，这样 的假设显然是不合理的，为了真实地描述这样的流动，以及研究各种非牛顿流体 ( 血液、泥浆、高分子材料、气液混合物等) 的需要，自6 0 年代末，逐渐开始对 偏应力张量分量与速度梯度为非线性关系的修正的n a v i e r - s t o k e s 方程组展开讨 论【1 2 1 ，对b i n g h a m 流【， 渤、c a s s o n 流峨7 l 等几种非牛顿流体给出了相应流动的性 质和结构。但上述讨论基本上集中于不可压缩非牛顿流体，对于可压缩非牛顿流 体方面的工作很少，文献嘲研究了具有m a x w e l 型本构方程的可压缩流体的流动状 态，其本构方程依赖于速度的高阶导数。本文考虑的流体流动，其本构方程仅依 赖于速度梯度的一阶导数 1 2 预备知识 1 2 1 理想流体的连续方程和动量方程推导过程 对三维情形的流体的理想流动推导其连续性方程和动量方程。 条件：理想流动在流动的过程中可以忽略粘性和热传导。 以下给出一些物理量的数学表达式： 微团速度：霸= ( 1 l l ，1 1 2 ，吩) ，是指流体微元的宏观运动速度，不是指每个流体分 子的不规则运动速度。其中= ( 五，毛，为，) = 咋“，) 为过点“，毛，毛) 处t 时刻的 速度分量，工= ( 五，毛，毛) r 。 p 一体密度：单位体积流体的质量，户= p ( x ，f ) ，x = ( x l ，x 2 ，毛) r ，于是， 在时间t , t + 出1 内沿元方向流过凼的流体质量为： p ( 工，t ) a ( x ，f ) 万d s d t 6 北京化工大学硕士学位论文 p 一压强：单位面积上流体的压力。在各向同性的假设下，即过同一点单位 面积上来自各个方向的压力大小均相等。微元面积凼受到其法线元正向一侧的压 力为： 一厕出 其中负号对应于压力 r 一绝对温度 根据热力学知识，一切热力学量中只有两个是独立的，因此p ，p ，t 这三个热力 学量之间有一个确定的函数关系： p = 厂( d r ) 它对不同的气体具有不同的形式，称为状态方程。 p 一单位质量流体的内能。这是由流体分子的微观振动所具有的能量，即分 子的热运动所具有的能量。 能量密度一胪+ 去2 ，即单位体积中的流体能量。 i 、质量守恒律 在所考察的区域( 流体所占的区域) 内任取一体积元，记所占区域为g ，边 界为s ，任取时间段k ，乞】。根据质量守恒律：从到f 2 时刻区域g 内流体质量的 增加= 在时段【f i ，f 2 】内通过s 流入g 的质量即 j 户( x ，f 2 ) d v - f f f ：( x , t , ) d v = 一f 【j p 协x d s a f 在所考虑的函数连续可微的条件下，由g r e e n 公式得： p 挚队一 d t 班m ，c p f f 渺 再由n ，f 2 】和g 的任意性，质量守恒律可写为如下的微分形式： 害+ 删肪) = 0 该方程称为连续性方程。 、动量守恒律 根据动量守恒律，在时段n ，乞】内， 区域g 中流体动量的增量= 该时段内流入g 内流体的动量+ 该时段内作用在 g 上力的冲量。即 p ( x ，t ：弦( x ) d y 一p ( 工 ) 厅( 工 矽y 7 北京化工大学硕士学位论文 = 一j ：2 g 厅p ( 厅万) d s d f 一【2p p 疗d j d f 其中假设没有外力，只有作用在边界s 上所受周围流体的压力。 再利用g r e e n 公式： 蜉d v - - 州咿邮w 一鼙d t 紫洲 其中d i v ( p 厅厅) = ( 西埙户呸厅) ，d 知( 户吒露) ，d i v ( 矾厅) ) 若假设被积函数均连续可微，则由k ，乞】和g 的任意性，可得动量守恒律的微分形 式： 掣+ a v ( 肪厅) + 跏：o o t 1 2 2 口空间 设( qb 力是一个测度空间，”( 曲是q 上的可测函数，而r l u ( x ) i ，在q 上是 可积的，1 p 佃这种函数“( 功的全体记作口( g j u ) ，叫做( q b ，t u ) 上的p 次可 积函数空间f ( g a ) 按通常的加法和数乘规定运算，并且把几乎处处相等的两个 函数看成是同一个向量，经过这样处理的空间f ( q ) 仍是一个线性空间，并且 定义范数 i ，= ( f “( 圳，纠； 当p = 2 时，r ( g ) 的范数简记为1 1 2 3r 空间 设( q b ，a ) 是一个测度空间，对于q 是仃有限的，“( 曲是q 上的可测函数 如果“( 力与q 上的有界函数几乎处处相等，则称“是q 上的一个本性有界可测 函数q 上的一切本性有界可测函数的全体记作r ( q ) ，在其上规定范数 l u l 。= e s s s 袖u p i ”( 力l 1 2 4 $ o b o l e v 空间 3 北京化工大学硕士学位论文 设q 是掣中的一个有界连通开区间，m 是一个非负整数，l p o 1 ，一i r a 口( f ) = ： ( 2 ) 4 非减，即s t 0 蕴涵口( j ) 口( f ) ： ( 3 ) a 右连续，即若t 0 ，则l i m 口( d = 口( f ) ； 则由下式定义的 0 ，) 上的实值函数 a ( t ) ：l 。a ( r ) d r ) 2 称为一函数 设q 是f 中的一个区域而彳是一个一函数o r l i c z 类( 国是所有定义在 q 上且满足 f 么日“( x ) i ) 出s 的可测函数“的集合 o r l i c z 空间幺( 固被定义为毛( 的线性包，即包含毛( q 的最小向量空间( 关于 逐点加法和数乘) ，在其上定义范数： m 嘶地么( 掣卜 在本文中取a = ( 1 + f ) 坂l + f ) 一t ，j = 一t - 1 ，易知a 和j 是n 一函数，且是互补 的 定义毛( q ) 为q 上的有界可测函数集合在厶( 锄上的闭包，易知( 毛( 锄) = 厶( 固， ( 毛( 锄) = 幺( q ) ，其中( 岛( 哟) 表示乜( q ) 空间的共轭空间 9 北京化工大学硕士学位论文 1 2 6 本文所使用的不等式和定理 引理1 i ( h 。l d e r 不等式) 如果1 p ，g 佃且! + 三：1 ，“口( q ) ，1 ，口( q ) ， 则“v _ ( q ) ，并且 pg f 1l “( x ) y ( x ) l 出- tj “0 pl l y 引理1 2 ( y 0 u n g 不等式) 如果1 p ，g 佃且! + ! ：1 ，则有 pq 口6 s 笙+ 丝 pq 对于正的g ，用g p 口代替a ，用占p b 代替b 可得 一璺 a b 一垡+ 坐e a p + g 一暑b g+ ，+ g ，_ pq 一里 再将，记为q ，即得 a b 占口，+ c b q 引理1 3 ( s o b o l e v 嵌入定理) 设q 是彤中的一个区域，又设甜是q 和f 中 的一个k 维平面相交得到的k 维区域，1 s 七刀设，和m 是非负整数，还设p 满足 l p s 0 0 第1 部分如果q 具有锥性质，那么存在下列嵌入： 情形a 假定m p 刀而且刀一，印 刀 ( 朋一1 ) p 则 矿肭，( 哟一。( 两， o 名所一一n p 情形c 假定n = ( m 一1 ) p 则 形，+ 一，( g 专c ，4 ( 囝，0 名 o ，v f ( o t ) ( 2 7 ) 2 2 证明过程【2 1 - 4 2 1 以上定理的证明分为以下几步： 第一步( 构造近似解) ：为此在内积空间y = 眩，( q ) 中求解如下特征值问题 - d i w ( u ) = a n ， ( 2 8 ) 得到其完全正交系 w t 二构造矿的子空间匕= s p a n w i t - ，w 一 ，分解 u o ( 力：艺c l ( o ) w ，( 力，以及近似解u _ ( x ，f ) = 艺c | ( f ) ( 功，q ( f ) c t ( o , 1 3 ，在c 1 ( 磊) i - i i = i 中求解方程 1 3 北京化工大学硕士学位论文 得到 等+ m 咖v ， 弦9 ， i p “l 。= 岛( 功c 1 ( 西) ，p o ( x ) 0 ，x q p m ( f ，神：岛( y ) e - j = 加_ ( f ，f ) ) d f 其中石”( f ) 和y 为常微分方程( 2 1 1 ) 的解和初值 i 掣卅( f ，川) ) 出 【工”( o ) = y q ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 令v ”“d = b i ( t ) w ( 力，b t ( t ) c 1 ( o ，t ) ，代入以下方程组 p v ”) , + d i v ! p u 增n “m ( v 一删f ( 2 1 2 ) 【包( o ) = ，i = l ，m 得到( 0 ，t ) 上的唯一解 包( f ) ) i 。= 1 下面证明 岛( f ) ) 二是列紧的，由k r z e l a - a s c o li 定理，只要证明 岛( f ) ) ：是一致有界 且等度连续的 在( 2 1 2 ) 第一个式两端同乘以、，- ，并对得到的式子两边同时在q 上积分得 r 矿v 1 ) iv ”出+ 卜“d i v ( p u “。v _ ) 出一卜”d i v t ( v 。) d x = - ，v ”p v p ”出+ ，v 4 p f d x 进一步化简上式： r 矿旷lv “出一伊4 。、，_ i v 旷出= 一夕v 用f ( v “) d x - i v 。# v p ”出+ 卜”p = f d x sj 1 v v ”1 2 出+ j l f ( v m ) 1 2 出一v ”, 6 v p = d x + i v p 触 qnqq 对上式利用增长型条件( 2 3 ) 有 r 矿v 肿) iv m 出一伽。固v 厨v v 席出= 一卜矿f ( v 。) 出一卜。历。出+ 卜4 p f d x qqnqq s 月v v _ 1 2 出+ 乞且1 + 芝弓) 7 出一i v 麻历用出+ v 肘p ”f 出 r 矿旷) l v _ 出s c 月v v 1 2 出+ 岛扣+ 艺弓) ，出一卜。肌“出+ 卜一 q qq# 。i - - tqqpfdxl=1 得到的上式中只把2 j l ( f ) 当成未知数，关于q ( f ) 的均为已知数，即 1 4 北京化工大学硕士学位论文 艺掣岛( f ) q 艺( 6 ，( f ”2 + e 芝2 5 i ( f ) 1 = 1 u 1 = 1t = 1 对足够小的t i 掣| = c i 驰) - 6 ： ( o ) + q l r q l b , ( f ) - 删r + c l l 6 f ( o ) + q l 所以限( f ) 一包( o ) l 1 ，取合适的t 即m a xb i ( t ) - b t ( o ) l l ，所以 岛( f ) ) 兰一致有界 对任意的占，总能找到万( 占) ，使得愚( 岛) 一岛( 岛) i s 成立，其中j f i - t 2j 万，则 包( f ) ) 二 等度连续，只要取合适的t ，就有以上结论 对于映射f ：m a x l q ( t ) - c j ( o ) l m a x l b i ( t ) - b , ( o ) l l 利用s c h a u d e r 不动点定理， 可以得到3 t e o ，t 】足够小，在【o ，t 】上方程组 j ( p u “) 。+ d i v ( p u 卅。u ”) 一d v t ( u 研) = 一f l v p + p m f ( 2 1 3 ) l q ( o ) = f ，i = l ，功 有解 第二步( 对近似解做能量估计) ：把近似解代入( 2 1 ) 第一个式子有 p ”。+ d i v ( p m u ”) = 0 ( 2 1 4 ) 对( 2 1 4 ) 在qx o ，f 】上积分： fl 矿，d x d f + l d i v ( 矿u 一删f = 0 fl 矿，蒯什fi q 矿一砒忙o l p _ ( t ) d x l p o , a = o l p ”q ) d x = l 岛出 所以户”f ( 0 ，乃z ) 其中二是曲面a q 的外法线单位向量。 把近似解代入( 2 1 ) 第二个式子有 ( p ”u ”) l + d i v ( p u o u “) 一d i w ( u _ ) = 一p v p + 矿f 两边同时乘以u _ ( 矿u 矗l u m + u 一d i v ( p u _ 。u _ ) 一u m d i w ( u 朋) = 一肛4 咿+ u _ 矿f 矿。l n _ 1 2 + p l l m t u = + u m d i v ( p u 。u 一) - u d i w r ( 矿) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 北京化工大学硕士学位论文 = 一u 1 v p + u “。p ”。f t , z l ，j 对( 2 1 7 ) 右边第三项进行化简有： u ”d i v ( p ”u ”0u ”) = ( d i v ( p ”u t u “) ，d i v ( p ”“? u ”) ，d i v ( p ”心u ”) ) u ” = u t d i v ( p ”“：，l u “) + “2 d i v ( p ” ? u “) + “3 d i v ( p u ； u “) =“：，l(曼生掣ox+掣+里生掣)+,o x a仂l 以掣+ 篙产+ 筹产，+ 埘c 笔竽+ 篙竽+ 篙竽， 叫州砰等+ , , 7a _ - 7 - 7 + u o 甄u 3 + 婶鼍川篆+ 心菩) + 帕：，l 印等+ 砰蟛瓦o p + 砰曰誓) + “7 p ( u 7 - 誓+ 篆+ 曰蔷+ u , 砌- - i ；埘篆+ 曰等) 卅( 曰“f 鼍+ 心篆+ 心心静 + 心州等+ 心篆+ 誓+ 印等川篆+ 心菩， + 心( 曰“，百o a - + 心曰篆+ 心等) = 矿( 材f 矸+ 曰“；+ 心嵋) d i v u 霹+ ( “f “f + 曰”罗+ 心曰) ( “70 q p - - 2 + 霹篆 + 心誓) + 矿 ：，i 矿v 矸+ p ”“；l 矿v “；+ 矿心矿w 7 = i u ”1 2 ( p d i v m + l i r a v , o ”) + 口l 。 矿印u _ v 婶+ 矿心u _ 叼+ 矿心_ v 心 而矿。+ d i v ( f f u _ ) = 0 ，即矿。+ 矿d i v u 一+ u _ v 矿= 0 1 6 北京化工大学硕士学位论文 u 椭d i v ( p u m 。u ”) = 一p m ，h 2 + 户m u l u m v 婶+ p “霹矿v q + 矿霹u ”v 曰( 2 1 8 ) 将( 2 1 8 ) 代入( 2 1 7 ) 得。 p ”u “，u ”+ p 所材，u ”v “：，i + p ”罗u “v 7 + p “曰u ”v “f u ”d i v x ( u “) = u ”v p 埘匹 对( 2 1 9 ) 在q 【o ，幻上积分： ( 2 1 9 ) lf u ”，u m j f 出+ f ( 矿砰u m v “i ，l + p ”“；u ”v “? + “f u m , v “；i ) 捌f f 互a u - d i v t ( u “ ) d x d f = 一r 伽“即4 捌什ffu p “f d x d f ( 2 2 0 ) 对( 2 1 9 ) 第一项化简： f u ”，矿d 硪2 互1 f p ”p 1 ：d r d x = 三p ”邮i ：出一i 1 f 矿，i u 胛id 础= 三( ，) m ) 1 2 加- 。1 l p ol u 。1 2 出一三1 f 矿，wd 础 ( 2 2 1 ) 将( 2 2 1 ) 代入( 2 2 0 ) 中有： 三l 户”( ，) | u “( r ) 1 2 出一! l p o l u 1 2 出一三1 f p ”，l u ”1 2d f 出+ fl p - 脯跏”捌f + 互( p 1 “f u ”v z 彳+ 叼u 。v t e + p 辨u ； i i m v u ；) a x a f = u “d i ( u “) 西耐f + f u ”矿f d x d f ( 2 2 2 ) ， ， 、2 3 ， 由强制性条件q ii , j - i j s 善( f l ( 鹕，即6 俐，嘉( r l 有： 三户“o ) i u ”o ) 1 2 出一i 。l ：o l u o l 2 出+ f 伽。即”捌f + fl ：, l e ( u 。) l ，谢f + f ( 矿卵u v u 一w + 加u m v u ；| ) 捌f s 昙f p _ ，h 2 d r d x v u + p u t u 1 d r d x + j ：l ( 矿卵 一w + 矿甜；| ) 捌f s 孑上上p _ ，h 。 + fl n d i v r ( u 4 ) 捌f + f 一p f d x d f + f 杰勺捌f ( 2 2 3 ) ，j = l 对( 2 2 3 ) 右端第二项进行化简： 叶枷”黼；肘c 掣+ 掣+ 掣翮f + 肚c 掣+ 掣+ 掣蚴+ 1 7 、 北京化工大学硕士学位论文 胎c 掣+ 掣+ 掣融 ；e 【( 掣盐+ 掣盐+ o ( u t r , o 飞荽飞竽飞警) , t r a f + 与b 、鼠纰甄“觑“戤”如 f ( 掣+ 掣+ 掣嘞缸缸挚f + b 、氟砒戤“觑“钆 ”敢。 fl ( 掣+ 掣+ 掣飞釉缸- - 菩) d x d f 七如、觑阮敢”觑“戤 ” = 心m 群施f 一蜘筹誓- - 筹) d x d 丁+ fl ( 吼。心吃心砂砌f 一肛- 等+ 篆岷篆) 捌f + fl n ( ，心吼) 砌f f 扣善+ 等筹删f 因为u i 融( o t ) = o ，所以上式化为： 从n 撕( 州捌f = 一f 如等篆等删fq。1。一2。1 一f 肛筹+ 吃筹+ 篝，捌f 一蜘筹+ 誓- ) a x a f 又因为勺= 糖+ 封所以上式