（应用数学专业论文）自对偶非阿贝尔涡旋在Φ2chernsimons规范定理中的存在性.pdf

河南大学硕士学位论文 中文摘要 规范场可以描述多种有限能量经典解的谱，比如涡旋、磁单极子、瞬子等的谱根 据原点的稳定性，这些经典解可以分为拓扑和非拓扑情形目前，规范场中的自对偶 结构理论受到了广泛关注 本文的问题出自a n t i l l o n - e s c a l o n a - g e r m a n - t o r r e s 所研究的非阿贝尔c h e r n - s i m o n s 模型，该模型与m t o r r e s 在1 9 9 2 年提出的阿贝尔模型具有相似结构，即规 范共变导数都包含反常磁通项且希格斯位势密度都取二阶形式本文的目的是证 明c h e r n - s i m o n s 规范场中出现的自对偶方程涡旋解的存在性由a n t i l l o n e s c a l o n a - g e r m a n - t o r t e s 的研究表明，我们只需在非拓扑径向对称的条件下证明解的存在性 全文共分为四章第一章简要地介绍了问题的背景，并列出了本文的主要结果；第 二章指出了文1 1 中所给的自对偶方程的错误，并证明该方程解的非存在性；第三章 对文 1 】中的自对偶方程进行了修改，并利用打靶法证明了方程在非拓扑径向对称的 条件下多重涡旋解的存在性和渐近形式；第四章利用移动平面法证明了无涡旋解是 径向对称性的，最后还给出了解的一些性质 关键词：c h e r n s i m o n s 规范场；涡旋解；打靶法 河南大学硕士学位论文 a b s tr a c t g a u g ef i e l d t h e o r i e sp r e s e n tar i c hs p e c t r u mo ff i n i t ee n e r g yc l a s s i c a ls o l u t i o n ；s u c ha sv o r t i c e s ，m o n o p o l e sa n di n s t a n t o n s t h e s ec l a s s i c a ls o l u t i o n sc a nb ec l a s - s i f t e da st o p o l o g i c a lo rn o n - t o p o l o g i c a l ；d e p e n d i n go ft h eo r i g i no ft h es t a b i l i t ym e c h a j l l i s m a m o n gt h e s et h e o r i e s ，t h es e l f - d u a lt h e o r i e sd e s e r v es p e c i a la t t e n t i o n o u re x a m p l eo r i g i n a t e sf r o man o n a b e l i a nc h e r n s i m o n st h e o r yi na a n t i l l o n ， j e s c a l o n a ，g g e r m a na n dm t o r r e sf o r , w h i c ht h eg a u g e - c o v a r i a n td e r i v a t i v e sc o n - t a i na na n o m a l o u si n t e r a c t i o na n dt h eh i g g sp o t e n t i a ld e n s i t yi so faq u a d r a t i c t y p e w h i c ha l s oa p p e a r si na na b e l i a nv e r s i o no ft h em o d e lo fas i m i l a rs t r u c t u r e p r o p o s e db ym t o r r e si n1 9 9 2 t h et h e s i sm a i n l yc o n c e r nw i t ht h ee x i s t e n c eo fv o r t e x s o l u t i o n st ot h es e l f - d u a le q u a t i o ni nt h en o n - - a b e l i a nc h e r n - - s i m o n sg a u g et h e o r y w e s h a l lp r o v et h ee x i s t e n c eo fn o n t o p o l o g i c a lr a d i a l l ys y m m e t r i cs o l u t i o n sa c c o r d i n g t oa a n t i l l o n ，j e s c a l o n a ，g g e r m a na n dm t o r r e s t h eb a c k g r o u n do ft h ep r o b l e m sw ec o n c e r n e di si n t r o d u c e di nc h a p t e r1 t h e m a i nr e s u l t so ft h et h e s i sa r ea l s og i v e ni nt h i sc h a p t e r i nc h a p t e r2 w ep o i n to u tt h e e r r o re q u a t i o ni n 1 a n dp r o v et h en o n - e x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n sf o rt h ee q u a t i o n i n ”i nc h a p t e r3 , s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e df o rt h ee x i s t e n c eo fn o n - t o p o l o g i c a lr a d i a l l ys y m m e t r i cn - v o r t e xs o l u t i o n sf o rt h es e l f - d u a le q u a t i o nw h i c h w eh a v ea m e n d e db yu s i n gt h es h o o t i n gm e t h o d i nc h a p t e r4 t h er a d i a l l ys y m m e t r y p r o p e r t yo ft h eb a r es o l u t i o n si ss t u d i e db yu s i n gt h em o v i n gp l a n em e t h o da n d f i n a l l ys o m er e s u l t sa r eo b t a i n e df o rt h eb a r es o l u t i o n s k e y w o r d s ：c h e r n s i m o n sg a u g ef i e l d ：v o r t e xs o l u t i o n s t h es h o o t i n gm e t h o d i i 关于学位论文独立完成和内客创新的声明 本人向河南大学提出硕士学住申请。本人郑重声明：所呈交的学位论文是 奄人在导师白勺指导下独立完成的，对所研究的课题有新的见解。据我所知，除 支中特别加以说明、标注和致谢的地方外，论文砷不包括其他人已经发表或撰 写过的研究成粟，也不包括其他人为获得任何教育、科研机构酌学住或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同事对本研究所儆的任何贡献均已在论史中作 了明确的说明并袁示了谢意。 学位中请人( 学位论文作者) 釜名：垒浆 2 d 印年占月箩目 关子学位论文著作权使用授权书 本人经河南大学审核批准授予硕士学位。作为学位论文的作者，末少、完奎 了解并同意河南大学有关保留、使用学住论支的要求。即河南大学有杈向国家 图书馆、科研信息机构、数据收集机构和本校图书馆等提供学位论文( 纸质互 本和电子文本) 以供公众检索、奎阅。苯人授权河南大学出于宣扬、展览学校 学术发展和进行学术交流等目的，可以采取影即、缩印、扫描和拷贝等复制手 段保存、汇编学位论文( 甄质文本和屯子文本) 。 ( 涉及保密内晷畸勺学位论文在解番后适用末授权书) 学位获得者( 学位论文作者) 釜名： 至塑 2 d 万年月j 日 学住论支指导救师签名： 20 第一章引言 1 1背景介绍 众所周知，c h e r n - s i m o n s 规范场理论已经广泛的应用于任意子超导体理论f 4 1 但 为了解决c h e r n s i m o n s 场方程分解过程中遇到的困难，人们试图改变场理论，使得 b p s 结构和阿贝尔希格斯定理中出现的形式相似h o n g - k i m - p a c 和j a c k i w - w e i n b e r g 在这方面做了大量的基础工作，其研究表明在c h e r n - s i m o n s 规范场中，利用自对偶结 构方程可以使二阶运动方程转化为一阶自对偶方程组【6 ，8 】显然，后者要比前者更容 易解决 近十年来，- 3 中新型自对偶结构受到关注即2 + 1 维空间的c h e r n - s i m o n s 自对偶 定理其中的磁通标量场和质量规范场之间是耦合关系，质量规范场只含有c h e r n s i m o n s 项，不含有m a x w e l l 项有人提出，如果在包含c h e r n s i m o n s 项$ 口m a x w e l l 项的 拉格朗日的规范场中，自对偶结构是否仍然存在? 后来，m t o r r e s 研究指出，如果在 磁通标量场和质量规范场之间增加磁矩的相互作用项，那么自对偶涡旋解就可以 在m a x w e l l c h e r n s i m o n s 规范场存在 7 1 1 9 9 2 年，m t o r r e s 研究了阿贝尔c h e r n s i m o n s 模型他在解是径向对称的假设下，推导出的方程和我们所研究的非阿贝 尔c h e r n s i m o n s 模型中的方程是完全等价的由此，我们发现a n t i l l o n - e s c a l o n a - g e r m a n - t o r r e s 在1 9 9 5 年发表的文f 1 1 中所给的方程是错误的随后， a n t i l l o n e s c a l o n a - g e r m a n - t o r r e s 于1 9 9 7 年在文2 1 中纠正了文f 1 1 中方程符号的错误，并且对 方程解进行了更深一步的讨论，利用数值计算的方法给出了非拓扑条件下n 重涡旋 解和无涡旋解的渐近形式在国内，目前涉及非阿贝尔c h e r n - s i m o n s 规范场问题的 研究还不多见，本文的结论为数值计算提供了有力的理论依据 1 2非阿贝尔c h e r n s i m o n s h i g g s 模型和自对偶方程 回顾 1 中，在s u ( 2 ) c h e r n s i m o l l s 规范场定理的模型中，闵可斯基空间矩阵取 为钆p = ( 1 ，一1 ，一1 ) ，其中p ，= 0 ，1 ，2 我们要研究的拉格朗日密度函数为 驾1 即一净1 帅恤咐丢譬狰a 争黜 河南大学硕士学位论文 其中圣，皿，a “是s ( 2 ) 的向量三元组的联合表达式在同位旋空间中，g “p 是具有以下 形式的曲率张量 g p p = 钆a 一乱a p + e a pa a u 另外，作用在圣上，包含反常磁通间相互作用的规范共变导数d “记为 仇圣= 钆圣+ e 4 八圣+ 弘g p 口g p 口八圣 以上公式中，耦合常数e 和9 都是正数，尼是c h e r n s i m o n s 参数 在 1 中已经证明，当位势密度函数y ( 圣，皿) 取特殊形式： y ( 圣，皿) = k ( 圣) + k ( 皿) + a ( 圣皿) 2 ， 且k ，e ，夕满足临界条件 k ：2 e 夕 时，同时下面的一阶自对偶方程 s a = 4 - 考舞虬 三阻圣2 = 面了兰笔舞面口a 呈 被满足时，求使整体能量达到最小的二阶运动方程的静态解，可转化为求一阶自对 偶方程组的解弓i 入新变量 o r = e 2 ( i ) 2 则自对偶方程就转换成二阶椭圆方程 = 0 ( 1 2 ) 在 2 】中，作者研究了阿贝尔m a x w e l l c h e r n s i m o n s 模型中涡旋的结构和性质， 在相似的条件下，他们得到了下面的自对偶方程组 肚士考ke 2 ，【2 一2 圭7 2厶 河南大学硕士学位论文 抄ip i = 秽i i 缸n 一r t 1 j 一 4i r o p - l l o l2 进而可化为下面的二阶方程 r 通过详细地推导我 在方程( 1 3 ) 中除了有限 足 吵 盯 0 ，那么方程( 1 5 ) 存在有限能量 解u ( 口) ，其中z = 岔是u ( a ) 唯一的零点，且重数是7 , 进而，矿( 口) 关于点z = 矛是径向对 称的，并满足 础m a x 。 u 口= e a ( - a ) 其中g ( z ) 是函数夕( z ) = 譬 r _ 尹d 伽的反函数 1 u ( a ( z ) i = d ( r 川) ( 7 _ ) ， 3 ( 1 6 ) ( 1 7 ) 河南大学硕士学位论文 其中盯 礼- i - 2 是依赖于q 和2 的常数 由于方程( 1 5 ) 的解u 在空间变换下是不变的，因此对不同的q ，就会产生不同 的规范解所以，解不具有唯一性 令u 是方程( 1 5 1 的有限能量解，若u 在冗2 上非零，则u 被称为是无涡旋解对于 无涡旋解，本文有以下结论 定理2 如果u 是方程( 1 5 ) 的有限能量非拓扑解，且在r 2 上u 0 ，那么u 关于 点孟r 2 是径向对称的，且 i u ( 童) i = m z a r x 。l u ( z ) i ，l u ( 孟) i 0 ，那么方程( 1 5 ) 都有唯一解矿( a ) ，该解关于面是 径向对称的，且 z m a xl u 。l = i u 口l = e g ( - a ) ( 1 8 ) 其中g ( z ) 是函数夕( z ) = 后f 乏鳓叫的反函数 1 u ) ( z ) i = o ( r 可) ( r _ ) ，( 1 9 ) 其中o r 2 是依赖于q 和孟的常数 因此，我们可以找到自对偶c h e r n s i m o n s 方程( 1 5 ) 所有可能存在的无涡旋解 本文在第二章证明了自对偶方程( 1 2 ) 的解的非存在性；在第三章利用打靶法证 明了方程( 1 3 ) 在非拓扑径向对称的条件下多重涡旋解的存在性，并给出了解的渐近 形式；在最后一章利用移动平面法证明了无涡旋解的径向对称性，并得到解的一些 性质 4 第二章 方程( 1 2 ) 解的非存在性证明 众所周知，利用自对偶方程的结构，盯的零点都是整数重根换句话说，如果p r 2 是盯的零点，那么可以令 盯= j z p i n ，( z ) ，( 2 1 ) 其中z 位于p 的小邻域内，( z ) 是正值光滑函数 由f 1 1 知，方程( 1 2 ) 如果有解，其解应该是径向对称鲣对于所有的z 0 ，都 。二：一1 r 口一、 有v r ( x 1 0 ， 。 o ( x ) _ 0 ，p = 蚓_ 0 ；o ( x ) 一0 ，p = h _ ( 2 2 ) 也就是说，解的唯一涡点位于平面原点z = o r 下面说明满足以上要求的解不可能存在为此，令珏= i n a ( e 缸 0 ，s = 1 ，2 ，m ， 其中z 位于p 。的附近。 由分解式 u ( z ) = n 。1 nl z 一仇l + u ( z ) ，( z ) 是r 2 上的光滑函数) ， s = l 我们可以得到方程： 叫= 2 v ( z ) e u + 危( z ) ，z r 2 ， ( 2 4 ) 5 河南大学硕士学位论文 其中系数函数y ( z ) 有如下表达式 y ( z ) = n i x p 。n ( z ) = ( 乏；：；毛+ 互詈善# 圣兰去) ( z ) o ， ( 2 5 ) 显然它属于厶( r 2 ) 空间 下面我们来说明方程( 2 4 ) 不存在解为此，作极坐标变换( p ，p ) 或者( r ，p ) 对方 程( 2 4 ) 两边进行积分： o o 斯( u ) p d o d p = o r o 孙( 2 y + 删目和 ( 2 6 ) 定义角平均函数 w ( r ) = i lf 0 2 丌u ( r ，臼) 枷 ( 2 7 ) 从( 2 6 ) 式和( 2 7 ) 式可以得到： 删归丽1 o 丌( m + 石1 丽0 2 w 脚驴芴1 一o 霄( 2 彤州胛州2 8 ) 由于e v 是凸的，使用j e n s e n 不等式，有 去序 利用( 2 5 ) 式，并对方程( 2 8 ) 进行求导 删蛇磊1 7 序坩州o d p 2f o o 斯删帅2 o r 矿虮 如) r 2 自r r 兄， 其中r 0 ，且当r 时，有y ( x ) 1 利用变换t = i n r ，7 = i n r ，则不等式( 2 1 0 ) 可化为 眠2 产+ 2 e 2 r 固t 7 _ 6 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 河南大学硕士学位论文 从方程( 2 8 ) 知，对于所有的亡，都有眦( t ) = 7 孵( r ) 0 由e w k 2 ，可得 w ( 7 ) 7 - ( 2 1 3 ) 当t 充分大时，( 2 1 2 ) 式和( 2 1 3 ) 式矛盾 至此，我们证明了方程( 1 2 ) 解的非存在性口 7 第三章定理1 的证明 文 1 已经说明方程( 1 5 ) 存在径向对称的非拓扑解，即对于所有的z o ，都 有u ( x ) 0 ，且 u ( x ) 一0 ，l x i _ ( 3 1 ) 因为u ( z ) 在空间变换下是不变的，所以可以取矛= o 是u ( z ) 的零点故当z 位于冗2 原 点附近时，有 ) - l 卵警 令 u = i n 以入= 2 k 2 ， ( 3 2 ) 则方程( 1 5 ) 变为 0 j ( 饥- e u ) + 羔- 0 ， ( 3 3 ) 其中在原点附近u 的形式为 乱( z ) = n l ni x i + u ( z ) ， 这里u ( z ) 为光滑函数 在方程( 3 3 ) 中，为了避免由拟线性所带来的困难，我们引入变换 ( 3 4 ) ，t 口= 夕( u ) = 讥孤，钆 o 和合适的初始值，可将边值问题( 3 9 ) 一( 3 1 1 ) 转化为初值问题， 然后用打靶法证明其解的整体存在性 首先给出一个简单结论 引理3 1 如果u ( r ) 是方程( 3 9 ) 的解，且满足条件：l i 啤u ( r ) = 一o 。，l i mu ( r ) = 一o o ，那么对于所有的r o ，都有v ( r ) o r & 取得整体最大值v o = 一q o ，q o 选择的合适，在初值条件v ( r o ) = 一q ，v r ( t o ) = 0 t 方程( 3 9 ) 的 唯一解将满足边界条件( 3 1 0 ) 和( 3 1 1 ) 下面我们来证明这一点 为了进一步简化问题，我t l 6 i 用欧拉变换 则方程( 3 9 ) 就变成 t = l n r ( r o ) ， 一e 2 。蕊1e g ( ，一o o 0 ，则初值问题( 3 1 2 ) 、( 3 1 3 ) 存在唯一 的整体解u ( 亡) ，且该解满足条件v ( t ) t oi 钉( t ) 存在且u ( 亡) o ) ， 则满足f t o 且u ( 幻= o 显然，对于所有的t o t ，都有v ( t ) 0 然而， 从( 3 1 4 ) 式可以看出u ( 亡) 存在，且对于所有的t o t 琊有钌也) o 因此u ( d v ( t o ) 0 矛盾 类似地，如果存在f ，当f t o 时，有钉( 幻= o 当善 t t o 时，有v ( t ) 0 那么 当云t o 因此u ( 两 v ( t o ) o 矛盾 由g ( u ( 亡) ) 0 ， c 为正常数 对u ( ) 应用拉格朗日中值定理可知，存在 0 任取t t o ，在i t ，蜀】上，当t _ 一时，有 或者 u ( 死) 一v ( t ) = u 7 ( ) ( 蜀一亡) ， u ( t ) = 口( 蜀) + u 7 ( ) ( 一t o ) u ( 而) + 导( z 一死) 一一，( 当一一时) 1 0 河南大学硕士学位论文 最后证明：当亡_ 。o 时，u ( 亡) 一一0 0 利用仃( t ) t o 时，u ) o i n 此n t _ 时，或 者口( t ) _ 一，或者u ( 亡) _ 有限数a 一o t 0 ( 3 1 5 ) 式表明当t _ 。时，u ( t ) _ 一c x ) 这和假设矛盾口 利用新变量t ，边界条件( 3 1 0 ) , - 7 i 己为 1 i m 掣：佗 ( 3 1 6 ) 引理3 3 对于给定的口 0 ，存在幻= 芒o ( q ) 使得初值问题( 3 1 2 ) 、( 3 1 3 ) 的唯一 解满足条件( 3 1 6 ) 证明：对于亡o ( - - ( x 3 ，o o ) 和q 0 ，令u = 口( t ；t o ，q ) 是初值问题( 3 1 2 ) 、( 3 1 3 ) 1 拘 唯一整体解当t 一一。o 时，有口 o n v 一一o o 使用洛比达法则，( 3 1 6 ) 式变成 v ( t o ，q ) 三。1 i m 勘俅；t o ，o t ) = 佗( 3 1 7 ) 利用( 3 1 4 ) 式，函数叩( 亡o ，q ) 就有以下表达式 f r o 口a ( , 4 s ；t o ，口) ) 叩( q ) = a 上e 2 s 者三c - - 丽蒜d s ( 3 1 8 ) ，一 v l 一 、77 因为u 一a e 2 t 。( e g ( ”( 。) ) 一e g ( 口( ) ) 一入e 2 t o + g ( 一a ) 所以当t 钿时，( u 他) ) 2 2 a e 2 t o + g ( 一训故 0 口印；幻，a ) 讵硒丽三k ，t t o 从( 3 2 0 ) 式我1 r , - - p a 得到一个很有用的不等式： 一o z k ( t o t ) a ke 2 s + g c 一口一耳( 。一s ”i 竺o o - 2f t 一0 。 k + 2 e 2 t o + g ( 一训 1 2 2 + g 7 ( 一q k ( t o s ) ) k d s ( 3 2 2 ) s 一 “取 一 2 口 l 叫 g+s 2 ed rlll一 0 ，我们能找到合适的t o = t j ，使得叩( t j ，q ) o ，总存在= 亡：，使z ，、t 。l l ，a ) 竹总之，在亡；和亡：之间存在点亡o = ( q ) 使 得叩( ，a ) = 礼成立口 引理3 4 存在常数p m a x 2 ，n ) ，使得 l i r a , 0 1 ( 亡) = 一p ( 3 2 4 ) 证明：由于 耐，u 俅) 耐，v ( t ) 0 2 = 够大，使得g ( - a s + c ) + 2 s 一尚e 2 s 删抽峒i 芦 尚e 2 m w ， 一 矛盾因此，存在p 0 ，使得( 3 2 4 ) 式成立 下面证明：p m a x 2 ，n ) 由于当t t o 时，u ) 是减函数，所以当t t o 时，u ) 一卢，v ( t ) 一肛+ c ，其 中c 为常数显然，当亡叶o 。时，v ( t ) _ 一o 。，口他) _ 一 1 3 河南大学硕士学位论文 下面将用到结论 j i ee 2 t e g ( 删= l i me t ( 2 + 掣l 0 ( 3 2 5 ) g - - - , c 欲使上式成立，必须要求 l i m ( 2 + 掣) 0 利用洛比达法则，有 1 i mg 如( t ) ) u 协) o ， 1，p 。 j - - o oj 一 因此口 n 综上可知p m a x 2 ，n 1 口 定理l 的证明：令u 为初值问题( 3 1 2 ) 、( 3 1 3 ) 满足引理3 3 3 4 的解返回最初变 量r ，函数u 是问题( 3 9 ) 一( 3 1 1 ) 的解从以上的讨论可知，u 实际上是方程( 3 6 ) 关于z 的 径向对称的经典解 1 4 河南大学硕士学位论文 n n v 关于7 o 是整体严格凹函数，所以m 觚u ( 7 ) = v ( r 0 ) ， 。m 鲋a x u ( z ) i = e a ( v ( r o ) ) = e c c - a ) 这就得n ( i 6 1 式 再看u 的渐近形式取盯满足= m a x 2 ，n ) 0 定义 u ( z ) = 爵1 上。( 1 n 卜小l n 川) m ) 衄 利用位势理论，有 u = 去上。( 1 ni z 一蛐，( 钞) 咖= 去正：6 ( z y ) 厂( ) 咖= ，( n 由于 l 慧端= 去上：i 型兰掣，( 可) 咖= 去上。，( 可) 却 1 l 磊止： 所以当r = 一o o 时，有 a e g ( t ，( z ) ) d x = 一( 一p ) = p ， f r _ 8 取h = u + 口，则有h u c ( 1 n + 1 ) 和 = 0 因此，h = 常数引理得证口 下面估计引理4 1 2 中口的值 引理4 1 3 不等式 成立，从而口 2 丌p 2 af r ：差斋出砌p( 4 5 ) 证明：利用著名的p o h a z a e v 等式的证明思路对于任何r 0 ，在方程( 4 2 ) 两边 同乘以( z v u ( z ) ) 后，在球b r 上积分可得： 即 f b 且a v ( 州z 。v 巾) ) d z 一上r a e g ( u ( z ) ) ( z v v ) d x ， o o r ( r 坼) ( 坼，+ 昙坼+ 害；u 口一) r d r d 8 = - a 0 2 霄0 re g c v ( r ) ) ( g ( u ( r ) ) ) 7 r 阱r d r d p ， 1 7 河南大学硕士学位论文 , 2 7 r r r 2 v r v r r d o o o o r 2 v r + r v 2 + v r v o o ) d r d o = - a 2 丌j o r r 2 d e g c t ，p ，d p r 2 出g ( t ，( r ) ) 硼 0 2 丌j o r 互1 、，2 砖) r + ( u ，秒。) 8 - - v o r y o d r d 8 = - aj ( 0 2 丌o 凡r 2 d e g c r ，d p ， 2 霄r 2 萼d p 一0 2 丌萼d o = - af 0 2 丌 r 2 e g c c r ，l 孑一2f o re g ( v ( f ) ) r 咖 d 9 ， 去z 日rr 谚如= 三z 日r 孚d s + 2 a j f b r e g ( 口( 王) ) d z 取充分小的正数o ( o ；) ，使当_ 时，e g ( t ，) 1 于 是 扳似d s _ _ a b r 令r o 。，使用引理4 1 2 ，可得( 4 5 ) 式，即p 接下来我们证明这部分的主要结论 e g ( t j ( 训 2 口 推论4 1 1 若u 是问题“剀、似剀满足条件“的解，则u 关于某些点孟冗2 是径向对称的，且在z = 岔处达到最大值另外，v & i - r = i z 一岔i 是严格递减函数 证明：我们需要说明解在任何方向都是对称的，比如u 关于z 1 方向是对称的选 择坐标原点，使得对于x 1 0 ，有a u 0 选择合适的坐标系，使得a u ( 一3 ，0 ) 0 由引n 4 1 2 可知，这是可以得到的， 且使最终的对称线z 1 = 入。满足a o 一3 对于入r ，使用记号z = ( x l ，z 2 ) ，z 入= ( 2 a x l ，x 2 ) ， 入= z i z l 0 ，使得如果岔是氓达到负的最大值点，那么吲 2 + 已 由引理4 1 2 和引理4 1 3 ( p 2 ) ，对于充分大的风，若吲 风，则 ，能( 孟) ) + a _ 。2 0 y 因此，由方程( 4 7 ) 和最大值原理可以证明论断成立 第二步：取第一步中的风，对于z a ，a 0 , v x a ( 入 0 ，v z 入o ； b ) u 知( z ) 三0 ，v x a o 证明a ) ：由u a 0 知，当z 1 a o 时，o l v 0 在r 入上，u a 三0 ，当且仅当0 1 v = 0 时成立这可以通过最大值原理和h o p f 引理得到 假设存在6 o ，使得u x o - - 5 三0 ，那么对于a o 一2 6 z 1 a o ，有a t ，( z 1 ，x 2 ) = o 则 在r a o 一2 6 上，有0 1 v = 0 ，因此u a o 一2 5 = 0 重复以上的讨论，就有对于z 1 入，a u 兰0 1 9 河南大学硕士学位论文 ，这与引理4 1 2 矛盾因此对于z a ，a 0 通过h o p f 引理，在r a 上， 入 0 断言a ) 得证 证明b ) ：注意到当z 1 0 由于对坐标原点的选择时，要求入o 0 ；在r 抽上，a u h 0 另一 方面，的定义蕴含着存在序列入凫h ，对于zf t a 。，有矾。( z ) 0 令x k 是使得氓。在a 。内达到负的最小值点由第一步，i z 七l 0 ，此时我们有下面的 结论： 推论4 2 1 对于任何q 0 ，初值问题“纠存在唯一的整体解u ( r ) ，且该解满 足u ( r ) 0 ， ( r ) 存在时，有u ( r ) 2 ，可以看出 对于某些盯 2 时，( 1 9 ) 式也成立同时，该解也是有限能量解这样，我们就完成了定 理2 的证明 2 1 参考文献 【1 a a n t i l l o n ，j e s c a l o n a ，g g e r m a n ，a n dm t o r r e s ，s e l f - d u a ln o n - a b e l i a nv o r t i c e s i na 圣2c h e r n - s i m o n st h e o r y j ，鼽驴l e t t b3 5 9 ( 1 9 9 5 ) 3 2 7 3 3 3 2 】a a n t i l l o n ，j e s c a l o n a ，g g e r m a n ，a n dm t o r r e s ，