（计算数学专业论文）非齐次dirichlet边值问题的hp型有限元方法.pdf

中文摘要 摘要 有限元方法是求解偏微分方程的一种行之有效的数值方法按照有限元解的空间结 构和收敛方式，有限元方法可分为三种基本形态：h 型、p 型和h - p 型。其中h 型和p 型是 h - p 型方法的两种特殊情形 本文将在带j a c o b i 权的s o b o l e v 和b e s o v 空间正则性理论和逼近理论框架下，主要讨 论多角形和多面体区域上带有齐次或非齐次d i r i c h l e t 边界条件的二阶椭圆边值问题的h - p 型有限元方法本文的主要贡献是： 1 针对二维区域上带有齐次或非齐次d i r i c h l e t 边界条件的二阶椭圆边值问题，我们 讨论了光滑解和多角形区域上的奇性解两种情形，在最小正则性要求铭h 知( q ) ，k l 条 件下，获得了拟一致网格剖分上h - p 型有限元法的最优日1 模误差估计 2 针对三维区域上带有齐次或非齐次d i r i c h l e t 边界条件的二阶椭圆边值问题，我 们讨论了光滑解情形，在最小正则性要求u h 知( q ) ，k 1 以及拟一致网格剖分条件 下，获得了齐次d i r i c h l e t 边值问题h - p 型有限元法的最优日1 模误差估计而对于非齐次 d i r i c h l e t 边值问题情形，在解t 日七( q ) ，k ；条件下，也获得了拟一致网格剖分上h - p 型有限元法的最优日1 模误差估计 3 针对三维多面体区域上带有奇性解以及齐次d i r i c h l e t 边界条件的二阶椭圆边值问 题，我们获得了拟一致网格剖分上h - p 型有限元法的拟最优日1 模误差估计 关键词：h - p 型有限元方法。带j a c o b i 权的s o b o l e v 和b e s o v 空间，j a c o b i 投影，局部j a c o b i 算子。非齐次d i r i c h l e t 边界条件，多角形，多面体，奇性解，最优误差估计 第1 页 上海师范大学博士学位论文 a b s tr a c t t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o di so n eo ft h ee f f i c i e n tn u m e r i c a lm e t h o d sf o rs o l v i n gp a r t i a ld i f - f e r e n te q u a t i o n s a c c o r d i n gt ot h es p a t i a ls t r u c t u r ea n dt h em a n n e ro fc o n v e r g e n c eo ft h ef i n i t e e l e m e n ts o l u t i o n ，t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dc a nb ed i v i d e di n t ot h r e eb a s i cf o r m s ：hv e r s i o n ，p v e r s i o na n dh - pv e r s i o n ，i nw h i c ht h ehv e r s i o na n dt h epv e r s i o na r et w os p e c i a lc a s e so ft h eh - p v e r s i o n i nt h ef r a m e w o r ko ft h er e g u l a r i t ya n da p p r o x i m a t i o nt h e o r yo ft h ej a c o b i w e i g h t e ds o b o l e v a n db e s o vs p a c e s ，w es t u d i e dt h eh - pv e r s i o no ft h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rs e c o n d - o r d e re l l i p t i c p r o b l e m so np o l y g o n a la n dp o l y h e d r a ld o m a i n s w i t hh o m o g e n e o u so rn o n h o m o g e n e o u sd i r i c h l e t b o u n d a r yc o n d i t i o n s t h em a i nc o n t r i b u t i o no ft h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w i n g ： 1 f o rt h es e c o n d o r d e re l l i p t i cp r o b l e m sw i t hh o m o g e n e o u so rn o n h o m o g e n e o u sd i r i c h l e t b o u n d a r yc o n d i t i o n si nt w od i m e n s i o n s ，w ed i s c u s s e db o t hc a s e so ft h es m o o t hs o l u t i o n sa n d t h es i n g u l a rs o l u t i o n so np o l y g o n a ld o m a i n s u n d e rt h ec o n d i t i o n so ft h em i n i m u mr e g u l a r i t y r e q u i r e m e n ti t h 膏( q ) ，知 1 ，w eo b t a i n e dt h eo p t i m a lh 1n o r me r r o re s t i m a t e so ft h eh - p v e r s i o no ft h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dw i t hq u a s i u n i f o r mm e s h e s 2 f o rt h es e c o n d o r d e re l l i p t i cp r o b l e m sw i t hh o m o g e n e o u so rn o n h o m o g e n e o u sd i r i c h l e t b o u n d a r yc o n d i t i o n si nt h r e ed i m e n s i o n s ，w ed i s c u s s e dt h ec a s eo fs m o o t hs o l u t i o n s u n d e rt h e c o n d i t i o n s o ft h em i n i m u m r e g u l a r i t yr e q u i r e m e n tu 日七( q ) ，k 1 ，w eo b t a i n e dt h eo p t i m a lh 1 n o r me r r o re s t i m a t e so ft h eh - pv e r s i o no ft h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dw i t hq u a s i - u n i f o r mm e s h e s f o rp r o b l e m sw i t hh o m o g e n e o u sd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n s a sf o r t h ec a s eo fp r o b l e m sw i t h n o n h o m o g e n e o u sd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n s 。w ea l s oo b t a i n e dt h eo p t i m a l 嚣1n o r m e r r o r e s t i m a t e so ft h eh - pv e r s i o no ft h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dw i t hq u a s i - u n i f o r mm e s h e su n d e rt h e c o n d i t i o n so f u h 知( q ) ，七 3 f o rt h es e c o n d o r d e re l l i p t i cp r o b l e m sw i t hh o m o g e n e o u sd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n s o np o l y h e d r a ld o m a i n s ，t h eq u a s i o p t i m a lr a t eo fc o n v e r g e n c ew a so b t a i n e df o rt h eh - pv e r s i o no f t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dw i t hq u a s i - u n i f o r mm e s h e s k e yw o r d s ：h - pv e r s i o no ft h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，j a c o b i - w e i g h t e ds o b o l e va n db e s o v s p a c e s 。n o n h o m o g e n e o u sd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，p o l y g o n ，p o l y h e d r a l ，j a c o b ip r o j e c t i o n ， l o c a lj a e o b io p e r a t o r , s i n g u l a rs o l u t i o n s ，o p t i m a lr a t eo fc o n v e r g e n c e 第页 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发 表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在 论文中做了明确的声明并表示了谢意。 作者签名。易舞t ) 务日期。帅岁z _ ) | 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，e p 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名：丝至12 塾导师签名 e l 期：竺! ：三：! z 日期 、 第一章绪论 1 1历史背景 第一章绪论弟一早珀下匕 有限元方法是2 0 世纪6 0 年代发展起来的求解偏微分方程的一种重要的数值方法， 它被广泛应用于弹塑性力学、断裂力学、流体力学和热传导等领域有限元方法的数学理 论最早可追溯到1 9 4 3 年c o u r a n t 的工作【3 2 ，但由于当时计算机尚未出现，这一先驱性 工作并未引起人们的注意随着计算机技术的发展，有限无法已成为大规模科学和工程 计算的有利工具，现已遍及宇航、核电、化工、金融、建筑和海洋等工业与此同时， 各种各样的有限元分析程序包、科研代码和商业软件也雨后春笋般涌现出来，目前比 较流行的有：德国的a s k a ，英国的p a f e c ，法国的s y s t u s ，中国的f e p g ，美国的 a b q u s 、a d i n a 、a n s y s 、c o s m o s 、m a r c 和s t a r d y n e 等，它们已被广泛应用于 工业和教育科研领域，而且功能越来越强大，使用越来越方便 按照有限元解的空间结构和收敛方式，有限元方法可分为三个基本形态：h 型，p 型 和h - p 型h 型有限元法使用低阶的分片多项式，通过改变求解区域的网格剖分尺寸来获 得所需要的精度p 型有限元法使用一个固定的和比较粗的区域剖分，它的求解精度是通 过改变分片多项式的次数来实现的而h - p 型有限元法结合以上二种途径，改变网格剖分 尺寸和改变多项式的次数可以在全区域同时地进行，也可以在局部区域上有选择性地进 行，即使相应的微分方程的解具有很强的奇性，也可使得有限元解快速有效地收敛h 型 和p 型有限元法可以看做是h - p 型有限元法的两种特殊情形 h 型有限元法，即传统的有限元方法产生于2 0 世纪6 0 年代，历经近半个世纪 的发展，它的理论研究已经非常完善，应用也十分广泛，关于这方面的著作可见 【1 8 ，2 8 ，3 1 ，8 4 目前大多数的商业软件都是基于h 型有限元法而p 型和h - p 型有限元 法产生于2 0 世纪8 0 年代，近3 0 年来，它们在理论、算法及应用等方面取得了巨大 的进展，关于这方面的著作可见【3 8 ，4 2 ，5 3 ，7 8 ，8 8 p 型和h - p 型有限元方法至今已经 成为现代有限元方法的一个重要组成部分，被成功应用到工程和科学计算的很多领域 之中，同时也被写入众多商业软件和科研代码，比如美国的a p p l i e ds t r u c t u r e 、m s c ， p r o b e 、p e g a s y s 、p h l e x 、p o l y f e m 、s t r e s s c h e c k 和瑞典的s t r i p e 等 众所周知，拟一致网格上的h 型有限元法具有经典的误差估计式【4 。3 1 ，8 4 - 0 t 一u n x z ( n ) c ( p ) ，沪一1 i i u 0 h - ( n ) ， ( 1 1 1 ) 其中p = r a i n p + 1 ，七，u h 为有限元解，p 为有限元次数，常数c p ) 不显式地依赖于p 第l 页 上海师范大学博士学位论文 关于p 型有限元法，最早的理论分析可追溯到1 9 8 1 年b a b u g k a ，s z a b o 和k a t z 的文章 【2 3 】，同时也可见相关文章【6 ，4 3 ，4 4 ，工程计算实现方面可见 8 6 ，8 7 文献【2 3 】考虑了 二维多角形区域q 上带有齐次d i f i c h l e t 边界条件的二阶椭圆边值问题当解适当正规时， 对任意小的参数e 0 ，得到拟最优误差估计 i l 仳一t 正p 0 日1 ( n ) c ) p 一伪一1 ) 押0 乱f l h ( n ) ， ( 1 1 2 ) 其中嘶为相应的p 型有限元解，常数c ( e ) 与有关当解具有u r o ，口 0 形态的奇性 时，文献【2 3 】还得到误差估计 | i 札一u , l l x , ( n ) c ( ) p _ 2 口+ 8 ( 1 1 3 ) 然而，计算实例充分表明，上述估计中的及相关因子是不需要的 庆幸的是，几年过后，b a b u g k a 和s u r i 【1 9 】采用新的论证手段对上述结论做了本质的 改进，将去掉了对于光滑解情形，得到最优误差估计 i l t | 一t 正p 0 日1 ( n ) o r , ( k - x ) 0 u 1 1 日( n ) ( 1 1 4 ) 同时他们还考虑了具有严l o rr 形式的奇性解，得到误差估计 0 t 一嘶1 1 日t ( n ) 劬一2 a il o g p1 7 ( 1 1 5 ) 同年，b a b u g k a 和s u r i 又将其结果推广到拟一致网格上的h - p 情形【2 0 ，得到误差估计 h t u - 1 0 t 一i t h p l l h t ( n ) c i i l “i i h * ( n ) ， ( 1 1 6 ) 其中p = m i n 3 9 + 1 ，七 ，“ p 为h - p 有限元解对于具有r a l o g r 形式的奇性解，得到误 差估计 i l i t - u h m l 日t ( n ) 2 情形下，对拟一致网格上仅包含四面体单元的h - p 型有限元法进行了研究直到最近，g u o 在带j a c o b i 权的s o b o l e v 和b e s o v 空间理论框架 下，对三维奇性函数的j a c o b i 投影逼近性质进行了详尽的分析【5 4 ，但仍然没有得到相 应的有限元误差估计不久，文献 6 6 】构造出三维的多项式延拓算子，并将其应用于光滑 解情形的p 型有限元法【5 5 1 在有限元分析和实际应用中，我们经常会遇到带有非齐次d i r i c h l e t 边界条件的 问题关于这方面的研究，h 型有限元法在计算及理论上已经比较完整，可参考文献 【2 7 ，4 5 ，7 9 ，8 0 b a b u g k a 和s u r i 考虑了二维多角形区域上带有非齐次d i r i c h l e t 边界条件的 二阶椭圆边值问题，在对解做适当高的正则性假设，即u h 老( q ) ，k g 情形下，获得 了p 和h - p 型有限元法的最优误差估计，但是他们回避了奇性解及相应的奇性边界条件情 形【1 9 ，2 0 两年后，b a b u g k a 和s u r i 【2 1 】采用新的手段对非齐次d i r i c h l e t 边界条件进行离 散，虽然将解的正则性要求降低为u r e ( a ) ，k l ，但付出的代价是有限元误差估计损 第3 页 上海师范大学博士学位论文 失了o ( 1 0 9 r , ) 阶此外，m u f i o z s o l a 【7 4 】考虑了三维多面体区域上带有非齐次d i r i c h l e t 边界条件的二阶椭圆边值问题，在假定解u 日知( q ) ，忌 2 条件下，对于光滑解情形获得 了拟一致网格上仅包含四面体单元的h - p 型有限元法的最优日1 误差估计 1 2 研究动机 如上所述，尽管p 和h - p 型有限元法在近3 0 年来取得了巨大的进展，而且已经被广 泛应用于实际工程和大规模科学计算，但其中还有许多问题至少从理论上没有得到解决 譬如： 1 对有限元网格剖分的要求能否放松? 对于二维多角形区域上的二阶椭圆问题，b a b u g k a 和s u r i 【1 9 ，2 0 】在考虑奇性解时， 要求有限元网格剖分由三角形和平行四边形单元构成，这是由他们的论证方法和技巧所 决定的2 0 年后，尽管g u o 和s u n 【“】利用带j a c o b i 权的s o b o l e v 和b e s o v 空间正则性 理论和逼近理论这一有力工具，从方法、技巧和结论上本质地改进了b a b u g k a 和s u r i 【2 0 的结果，对于奇性解得到了h - p 型有限元法的最优日1 模误差的上界和下界估计，但网格 剖分仍然由拟一致三角形和平行四边形单元构成因此，能否将平行四边形单元推广到一 般四边形单元这于理论和实际都具有很大的意义 2 对于非齐次d i r i c h l e t 边值问题解的正则性要求能否降低? b a b u g k a 和s u r i 【1 9 ，2 0 】对于二维非齐次d i r i c h l e t 边值问题，要求椭圆方程的解 u h 南( q ) ，七 ；两年后，他们虽然将解的正则性假设降低为t h 七( q ) ，七 1 ，但是有 限元误差损失了o ( 1 0 9 p ) 阶【2 1 】因此，能否在最低正则性假设u h 詹( q ) ，七 1 以及不 损失有限元误差阶前提下，获得二维非齐次d i d c h l e t 边值问题h - p 有限元法的最优估计， 这个问题仍待解决此外，m u f i o z s o l a 【7 4 】虽然考虑了三维区域上带有非齐次d i r i c m e t 边 界条件的二阶椭圆边值问题的光滑解情形，获得了拟一致四面体网格上h - p 型有限元法的 最优估计，但他对解的正则性也做了适当高的假定，即要求t h 七( q ) ，k 2 因此，如 何将三维非齐次d i r i c h l e t 边值问题的正则性要求降低，而且能够同时得到有限元解的最 优误差估计这也将是一个巨大的挑战 3 对带有奇性解以及相应的奇性d i f i c h l e t 边界条件的问题能否得到h - p 有限元的最 优误差估计? b a b u g k a 和s u r i 【1 9 ，2 0 】考虑了多角形区域上具有严l 0 9 7 r 形式的奇性解情形，但是 他们仅仅只得到p 和h - p 有限元误差的上界估计，而且该估计对于q 为整数情形并没有 达到最优，此外他们并没有考虑由奇性解导致的相应奇性d i r i c h l e t 边界情形g u o 等人 【1 4 ，6 l ，6 4 】虽然得到了多角形区域上关于奇性解的p 和h - p 型有限元解误差的上界和下界 估计，但是他们没有考虑更为重要的非齐次d i r i c h l e t 边界情形此外，对于三维多面体区 第4 页 第一章绪论 域上奇性解情形，由于显而易见的难度，目前这方面研究少有结果，仅有g u o 【5 4 】在带 j a c o b i 权的s o b o l e v 和b e s o v 空间理论框架下，对多面体区域上三种典型的奇性函数的正 则性进行了分析，并得到了它们的j a c o b i 投影逼近性质，但是并没有建立起有限元解的 误差估计 我们前面已经提到，近些年来，在带有j a c o b i 权的s o b o l e v 和b e s o v 空间理论框架 下，p 和h - p 型有限元法取得了巨大的成功，它已被认为是目前最适合高阶有限元研究的 理论工具为此，我们也将在这个理论框架下，围绕上述问题展开研究，试图进一步完善 现有高阶有限元的方法与理论 1 3 主要结果 本文的研究对象为二维多角形和三维多面体区域上带有齐次或非齐次d i r i c h l e t 边界 条件的二阶椭圆边值问题： f a u + t = ， 在qcr n 内， 0 ul ( ) 【i r d 2 口，丽l r n2 夕，、f ，t 1 其中qc 舯，n = 2 ，3 是有界区域，r d 和r 分别表示d i r i c h l e t 边界和n e u m a n n 边界 q = 0 或q 0 分别表示齐次或非齐次d i r i c h l e t 边界条件 我们在带j a c o b i 权的s o b o l e v 和b e s o v 空间理论框架下，利用所谓的局部j a c o b i 算子 这一重要理论工具，对问题( 1 3 1 ) 在拟一致网格剖分上h - p 型有限元法的理论和方法进 行了研究 本文的主要结果是： 1 对于二维区域上带有齐次或非齐次d i r i c h l e t 边界条件的二阶椭圆边值问题，我们 在最小正则性要求t 日詹( q ) ，k 1 条件下，无论是光滑解，还是多角形区域上的奇性解 及相应的奇性d i r i c h l e t 边界情形，我们都获得了拟一致网格剖分上h - p 型有限元法的最优 日1 模误差估计 2 对于三维区域上带有齐次或非齐次d i r i c h l e t 边界条件的二阶椭圆边值问题，我们 讨论了光滑解情形在最小正则性要求u h 七( q ) ，k 1 条件下，获得了齐次d i r i c h l e t 边 值问题拟致网格剖分上h - p 型有限元法的日1 模最优误差估计而对于非齐次d i r i c h l e t 边界条件情形，在解u h 知( q ) ，k l 条件下，也获得了拟一致网格剖分上h - p 型有限元 法的最优h 1 模误差估计 3 对于三维多面体区域上带有齐次d i r i c h l e t 边界条件的二阶椭圆边值问题，获得了 拟一致网格剖分上 p 型有限元法的拟最优日1 模误差估计 本文接下来的写作安排如下： 第5 页 上海师范大学博士学位论文 第二章，先介绍s o b o l e v 空间的一些基本知识然后重点介绍了带j a c o b i 权的 s o b o l e v 和b e s o v 空间及j a c o b i 投影逼近性质 第三章，主要讨论了二维拟一致网格剖分上带有齐次或非齐次d i r i c h l e t 边界条件的 二阶椭圆边值问题的h - p 型有限元方法 第四章，主要讨论了三维拟一致网格剖分上带有光滑解以及齐次或非齐次d i r i c h l e t 边界条件的二阶椭圆边值问题的h - p 型有限元方法 第五章，主要讨论了三维拟一致网格剖分上带有奇性解和齐次d i r i c h l e t 边界条件的 二阶椭圆边值问题的h - p 型有限元方法 第六章，对全文进行总结，并对下一步可能进行的工作做出展望 第6 页 第二章带j a c o b i 权的s o b o l e v 和b e s o v 空闻及j a c o b i 投影逼近 第二章带j a c o b i 权的s o b o l e v 和b e s o v 空 间及j a c o b i 投影逼近 本章首先简要介绍了s o b o l e v 空间的基本概念及几个重要结果随后重点引入了带 j a c o b i 权的s o b o l e v 和b e s o v 空间，这是我们研究高阶有限元的有利工具在此基础上， 我们介绍了j a c o b i 投影及其对光滑函数和奇异函数的逼近性质 2 1 预备知识 2 1 1s o b o l e v 空间 s o b o l e v 空间是研究近代偏微分方程的重要工具为了以后的应用，我们在此给出 s o b o l e v 空间的一个简短介绍关于该方面的详细内容，请参考专著【2 ，7 3 】 设q 为n 维e u c l i d 空间r n 中的有界开域，其边界为鼬，闭包q = q + a q 对任何 实数p 1sp 。，定义空间z e c f z ) ，它是q 上所有p 方可积函数的全体，并规定范数 f ( 厶i f ( z ) l p 如) ；，1 p o o ， “引b 。k8 u pi m ) i p 一 我们记w k p ( q ) 为通常的s o b o l e v 空间，即 w 7 砖，( q ) = t i ：d a 铭l p ( f 1 ) ，l 口l 七 ， 其中k 0 为整数，l p 0 0 ，重指标n = ( q l ，q 2 ，o n ) ，整数o ，j = 1 ，2 ，n ，其模川= 口1 + q 2 + + q n ，记分布导数为d 口t 该空间依范数 i l u l l w t p ( n )= ( 1 墓肌) l 绑o 。， m a x i i 俨u 怯( n ) ， p2o o 第7 页 上海师范大学博士学位论文 构成一个完备的线性赋范空间此外，我们还常用其半范 m 舭卿，一鐾 卵( q ) 按照范数1 1 1 1 w ( q ) 完备化后的空间记为咐p ( q ) 此外，当p = 2 时，我们还简记 h 知( q ) = 奄，2 ( q ) ，罐( q ) = 瞄2 ( q ) 显然，它们依范数| f 1 1 日t ( n ) 构成i - i i l b e r t 空间 我们还依k 方法插值空间理论【2 5 】，引入分数次空间h 。( q ) ，8 = 2 + p ，整数0 ， 实数0 p 詈时，日8 ( q ) 还嵌入到连续函数空间c ( f i ) 同样，我们还定义b e s o v 空间既( q ) 假设8 1 ，8 2 r ，0 8 1s8 2 。且s = ( 1 一p ) s 1 + 8 s 2 ，0 口 o 有时，还简记比( q ) 为b 。( q ) 特别地，我们对一维的某些特殊空间感兴趣假定q = i = ( - 1 ，1 ) ( 通过仿射变换可 以推广到一般区间) ，通过k 方法插值理论，我们还引入空间 一百= ( l 2 ( n 塌( 去，2 1 2 s 1 它通常也被记为硪( ，) ，且与以下范数等价( 见【7 3 】) 麓2 ) + 1 1 ( 1 - x 2 ) 一1 2 。( ，) ， 笛8 贾 第二章带j a c o b i 权的s o b o l e v 和b e s o v 空间及j a c o b i 投影逼近 其中范数l l u l l 胃女( 具有显示表达式 峙j ( ，小悒。+ 訾d x d x ) 5 此外我们还记对偶空间 h 一( j ) = ( 啻( j ) ) 7 ，雷一( ，) = ( ；( ，) ) 下面我们介绍关于s o b o l e v 空间的一个重要结果，即迹定理，它在下文中将被反复用 到关于其详细内容可参考专著 2 ，4 7 。7 3 】 定理2 1设q 为r n 中的有界开域，它具有c 知1 类边界硼假定s 一不是整 数，s k + 1 ，s 一 = p + 盯，0 口 1 ，整数p 0 那么对v 仳伊 1 ( q ) 映射 t h 加u ，7 l u ，让) 可按连续性扩张为h s ( q ) 一日卜 ( a q ) 俨一l i ( 锄) 俨一p 一( a q ) 的连续线性映射 t h 加t 上，7 x u ，u ) 而且该映射是满射，并且存在乘积空间h 一；( 触) h s l i ( o a ) x h 。一p 一 ( 施) 到 日a ( q ) 的连续的右逆其中迹算子u = 翥i 御，为边界a q 的单位外法向量 以下介绍更广的b a n a c h 空间上的一个内插理论结果【2 5 ，7 3 定理2 2设鼠ca ，i = 0 ，1 为两对b a n a c h 空间，且设t 为：a _ 鼠的线性算 子，并装备有算子范数 i i t i i , = i i t i i , t 。夙，i = 0 ，1 那么t 也是山_ 岛的线性算子，且有 i i t i i a 。岛i i t i t 0 1 一i i t i i ， 其中0 ( 0 ，1 ) ，山= ( a o ，a 1 ) 口，2 和岛= ( b o ，b 1 ) p ，2 为依通常k 方法所定义的插值空间 在有限元理论分析过程中，当我们将逼近结果从带权或不带权的整数阶s o b o l e v 或 b e s o v 空间推广到分数次空间时，上述内插定理就为此提供了强有力的工具通常该性质 也被称为口指数精确( e x a c t n e s so fo - e x p o n e n t ) 【2 5 1 第9 页 上海师范大学博士学位论文 2 1 2 几个引理 我们接下来介绍几个重要的引理，它们在二维和三维p 和h - p 型有限元法理论分析中 起重要作用 方便起见，首先引入几个多项式子空间记号我们令磁( q ) 为q 上的p 次多项式集 合，该集合中的多项式在所有空间方向的次数和不超过p 我们又令硬( q ) 为q 上的完全 p 次多项式空间，此时，多项式在每个空间方向的次数都不高于p 通常在一维情形，我 们统称p 次多项式空间为砟( q ) 类似地，我们可以定义中间空间族碍( q ) ，1 ，k 亿2 固 其中t d 口+ 七，p + k ( x ) = ( 1 一z ) a + 七( 1 + z ) p + 七，且 谍= 写2 n 裟若岛1 等娑k 篙f z ( n 等o t 譬铲 亿2 d 7 n ，七一 (+ 口+ p + ) r ( n + l 一) + + p + 1 ) p 叫 第1l 页 上海师范大学博士学位论文 利用s t i f l i n g 公式 4 6 】 我们有渐近估计 r ( s + 1 ) = 俪s 口e 一。( 1 + 诱1 + o ( s - 2 ) ) ， ( 2 2 1 0 ) 廿p 。 兰：! ： 口，p 。! ：! ：! ：! 一v a ，p 。竺 。口，卢竺：! k 一( 2 n + o t + p + 1 ) l n , k 一( 2 n + q + p + 1 ) 嚣，卢( z ) i c ( n + 1 ) 。m x 口，卢, - 1 2 vz 一1 ，i 】 以及 憎印) l 斋b ( 佗+ 1 ) a ，憎卜1 ) i 斋( n + 1 ) 口， 其中正常数c 不依赖于q ，p ( 2 2 11 ) ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) 2 2 2 q = ( 一1 ，1 ) n 上带j a c o b i 权的s o b o l e v 和b e s o v 空间 设w a ，口0 ) 为q = ( - 1 ，1 ) n ，1 佗冬3 上的j a c o b i 权函数： t ，卢( z ) = 1 - ( 1 + 观) a + 风( 1 一戤) a + 风棚， 其中o t = ( 口l ，q 忭) ，o t i 0 为整数，且p = ( 尻，岛n ) ，实数屈 - 1 ，1 is2 n 简 单起见，若屈= 屈+ n ，1 i n ，则我们记p = ( 风，风) ，又若屈= c ，1 i 2 n ，则 记移= c 带j a c o b i 权的s o b o l e v 空间h k , p ( q ) ，七0 作为c 函数空间的闭包，我们给它装配 范数 删h q ) = e 厶眇钍( z ) 口( z ) 如， 0 l a l。v_k 相应地，其半范记作川肚卢( 口) ，其积分项只包含七次导数我们又简记l ( q ) = 上产，口( q ) 显然，日七，卢( q ) 是一个内积空间，其内积可定义为 一) h a ( q ) - - 吲e 妪七二肫 ) d 月。 依k 方法插值空间理论，我们定义插值空间 毽s ，, 。o ( q ) = ( ，p ( q ) ，h 郴( q ) ) 铀， 其中，0 0 0 却不满足该性质文献【1 1 】证明了空间 e ，卢( q ) ，p 0 具有弱意义下的口一指数拟精确性质( q u a s i - e x a c m e s so f 0 - e x p o n e n t ) ，即对任 意线性算子：t ：a 一最，i = 0 ，1 ，有 i i t i i 小岛s ( 1 + l 昭i i t i i 。1 5 p 跏丁眼 ( 2 2 1 7 ) 其中算子范数i i t i i , = i i t i i 。- + 夙，p ( 0 ，1 ) ，山= ( a o ，a 1 ) p 。2 和岛= ( 岛，b 1 ) p ，2 为依k 方法所定义的插值空间关于修正的b e s o v 空间髟，芦( q ) ，| ，0 的更多性质可参阅文献 【1 l 】该空间的引入主要是为了分析产l o g t ，型带有1 0 9 因子奇性函数的正则性及最优逼 近性 第1 3 页 上海师范大学博士学位论文 2 2 3 q ，l = ( 一h ，九) n 上带j a c o b i 权的s o b o l e v 和b e s o v 空间 我们接下来在边长为 的n 方体q h = ( 一h ， ) n ，1 死3 上引入带j a c o b i 权的 s o b o l e v 空间和b e s o v 空间 我们定义q h = ( 一h ， ) 竹上的j a c o b i 权函数h ，口 ) 为 蚴h ，= f l i = 1 ( 警) 伽帕= 垂( 1 一( 硝+ 反， 其中q = ( a l ，q n ) ，整数啦0 ，1 i 亿，且p = ( 夙，岛n ) ，实数屈 - - 1 ，1 i 2 n 我们定义带j a c o b i 权的s o b o l e v 空间h k , p ( q ) ，k 0 的范数为 h = 厶i d a u ( x ) 1 2 h ，口( x ) d x ， o 。vh_ a 1 1o i “之a n = l 其中以l i t , a 阻t n = i 竺a t 专# t 孑+ n , b 竺t a 1 2 ( 1 一观) 如邻+ 研) 及+ 锄妞 另外，我们分别引入空间h k , 卢( q ) 的离散等价半范和范数： 以及 l u 一( q ) 掣，k 1 2 1 7 话a i a l = ki a a 1 i o i i n o i f i = 1 ，；。1 2n 话& ( 壹t ；) 七= f 叫h 口， t l + 屯+ + i n 七 = lf = 1 n t l u l l 刍( 铆笺 ，t 。1 2f i o s j s 七l i + b + + n 之l o on k ，t 。1 2 l ，t 2 ，k = 0 = 1 话机m ( = l n 话押风( 1 + f = 1 值得指出的是以上等价关系中的常数