（概率论与数理统计专业论文）几类混合保费收入的二项风险模型的研究.pdf

摘要 完全离散的经典风险模型已经得到了广泛的研究，然而由于它的 局限性，很多学者对其进行了多种形式的推广，本文在已有结论的基 础上，从不同的角度对以下二项风险模型进行讨论 ( 一) 单险种二项风险模型论文第二章讨论了此类单险种风险 模型首先，介绍了将经典风险模型推广为索赔为二项过程的复合二 项风险模型其次，考虑到保险公司在实际经营中，不同单位时间收 取的保单数通常为一个随机变量因此在复合二项风险模型的基础上 推广出两种风险模型：一种为考虑投资收益的带干扰的双二项风险模 型；另一种为混合保费收入的双二项风险模型，即保费的收取有一部 分固定收费和一部分随机收费并利用鞅的方法讨论了这两类风险模 型的破产问题 ( 二) 双险种二项风险模型论文第三章讨论了此类风险模型首 先介绍了经典离散风险模型的推广，即用二项过程描述两个险种的理 赔次数的一般情形的双险种风险模型其次，对保费收取进行推广， 讨论了一类广义双险种二项风险模型，用鞅的方法得到了破产概率的 一般表达式和l u n d b e r g 不等式最后，又将保费收取推广为混合形式， 得到了破产概率的一般表达式及其上界 ( 三) 多险种二项风险模型论文第四章讨论了此类风险模型在 双险种的基础上研究一类含有m 种险种和混合保费收入的风险模型， 得到了该模型的相应的破产概率的表达式 关键词二项风险模型，破产概率，鞅方法，调节系数 a b s t r a c t t h ec l a s s i c a lr i s km o d e li nf u l l yd i s c r e t es e t t i n gh a sb e e ns t u d i e d e x t e n s i v e l y h o w e v e r , b e c a u s e o fs o m e d e f e c t s ，m a n y s c h o l a r s g e n e r a l i z e di tf r o mv a r i o u sa s p e c t s b a s e do nt h ee x i s t e n tc o n c l u s i o n s ，t h e t h e s i sd i s c u s s e st h eb i n o m i a lr i s km o d e l sf r o md i f f e r e n tv i e w p o i n t s ( 1 ) s i n g l e t y p eb i n o m i a lr i s km o d e l t h i sm o d e li sd i s c u s s e di n c h a p t e r2 f i r s t l y , w ep r o m o t et h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，a n dw ec o n s i d e r t h ec o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e lw h o s ec l a i mi sab i n o m i a lc o u n t i n g p r o c e s s s e c o n d l y , c o n s i d e r i n gt h ea c t u a lo p e r a t i o no ft h ei n s u r a n c e c o m p a n y , d i f f e r e n tu n i to ft i m ef o rt h ep o l i c yi su s u a l l yar a n d o mv a r i a b l e ， s ot w ot y p e so ft h er i s km o d e la r e g e n e r a l i z e do nt h eb a s i so ft h e c o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e l ：o n ei st h ed o u b l eb i n o m i a lr i s km o d e l w i t hi n t e r f e r e n c ei n v o l v e di n v e s t m e n tb e n e f i t s ；t h eo t h e ri st h ed o u b l e b i n o m i a lr i s km o d e lw i t ham i x e dp r e m i u mi n c o m e - - i n c l u d i n gb o t h f i x e da n dr a n d o mp r e m i u mi n c o m e t h e nw ew i l lu s em a r t i n g a l e a p p r o a c h t od i s c u s st h er u i np r o b l e mo ft h e s et w o t y p e so fr i s km o d e l s ( 2 ) d o u b l e - t y p eb i n o m i a lr i s km o d e l t h i sm o d e li sd i s c u s s e di n c h a p t e r 3 a tt h eb e g i n n i n g ，g e n e r a l i z et h ep r o m o t i o no ft h ec l a s s i c a lr i s k m o d e l ，u s i n gb i n o m i a lp r o c e s st od e s c r i b et h et i m e so ft h ec l a i mo nt h e t w o r i s k s a d d i t i o n a l l y , w eg i v et h ep r e m i u mi n c o m ef u r t h e r g e n e r a l i z a t i o n h e n c et h eg e n e r a l i z e dd o u b l e t y p er i s km o d e li sg o t t h ef o r m u l a so ft h eu l t i m a t er u i np r o b a b i l i t ya n dl u n d b e r gi n e q u a l i t ya r e o b t a i n e db yt h eu s eo fm a r t i n g a l e l a s tt h ep r e m i u mi n c o m ea sm i x e d o n e st og e tt h eg e n e r a lf o r m u l a t i o no fr u i np r o b a b i l i t ya n di t su p p e r b o u n d s ( 3 ) m u l t i t y p eb i n o m i a lr i s km o d e l w es t u d yt h i sm o d e l i nc h a p t e r4 e x c o g i t a t eat y p eo fr i s km o d e lw h i c hi n v o l v e smt y p e so fr i s ka n dm i x e d p r e m i u m sc h a r g e m e n t0 1 1t h eb a s i so fd o u b l ei n s u r a n c et og e tar e l a t i v e f o r m u l a t i o no nr u i np r o b a b i l i t y k e yw o r d sb i n o m i a lr i s km o d e l ，r u i np r o b a b i l i t y ，m a r t i n g a l e a p p r o a c h ，a d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t i i i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材 料。与我共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明 确的说明。 作者签名： 聋垂鲴 日期：丑年卫月立日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学 位论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学 位论文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名： 童丝刍导师签名日期：丝年且月卫日 硕士学位论文 第一章绪论 i 1 风险理论简介 1 1 1 风险理论发展史 第一章绪论 风险理论是当前精算和数学界研究的热门话题，作为保险精算的一部分，它 以风险事件为研究对象，以概率论和数理统计知识为基础来构造保险经营中的风 险模型，从而来研究风险发生的索赔事件及索赔额的分布规律、保险人承担风险 的平均损失及其分布规律、保险费、初始准备金、破产概率与调节系数等具体的 风险理论问题近年来，风险理论的研究十分迅速，研究问题的范围也逐渐扩大， 其中破产概率的计算和估计一直是风险理论的核心内容其研究溯源于瑞典精算 师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文n 1 ，至今已有近百年的历史风险 理论中破产论的研究具有很强的实际应用背景，同时在数学上也具有其概率论上 的浓厚兴趣如，一类最重要的随机过程，即p o i s s o n 过程，正是l u n d b e r g 首次 在这篇论文中提出的不过，l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的严格标准，它的 严格化是以h a r l dc r a m e r 为首的瑞典学派完成的砼嘲，是c r a m e r 将l u n d b e r g 的 工作奠立在坚实的数学基础之上，与此同时，c r a m e r 也发展了严格的随机过程 理论现已公认，l u n d b e r g 与c r a m e r 的工作为经典破产理论奠定了坚实的基础 g e r b e r 是c r a m e r 之后，当代研究破产理论的国际领先学者随着随机过程， 随机点过程等理论的发展，g e r b e r 砸1 ，g r a n d e l l 口3 以及a s m u s s e n 1 等人系统的论 述了风险理论的思想其后，波兰的t o m a s zr o l s k i 等人在其著作中口3 对这一理 论进行总结推广完善风险理论的研究已经进入了相对成熟的阶段 1 1 2 风险模型简介 从概率论的角度，风险本身就是一个随机变量( 一般是非负的) 因此，风 险模型就是一个关于损失或索赔x 的随机模型风险模型是保险产品，尤其是非 寿险产品设计及保险经营的理论基础按是否考虑时间因素，而将风险模型区分 为长期风险模型和短期风险模型，按保单是否随机，而将风险模型区分为聚合风 险模型和个体风险模型：按保单总数在所考虑的周期内是否一开始就已知且固 定，而将风险模型区分为封闭风险模型和开放风险模型在此，我们只介绍几类 常见风险模型 硕士学位论文第一章绪论 1 ) 个体风险模型 个体风险模型又称短期个体风险模型，即不考虑时间因素，保单总数非随机 且对个体保单和个体保单理赔分别考虑，而建立的风险模型，是最简单的风险模 型 s - - x , + 五+ + 以= 置 j = l 其中：z 是保单f 的损失和理赔量，r 是保单数或理赔数，称s 为理赔总额对上 述模型通常有如下假设： ( 1 ) z 是独立同分布的， ( 2 ) 每张保单只能理赔一次， ( 3 ) 玎为确定的正整数，即假定模型为封闭型的 在现实生活中，个体风险模型存在很大的局限性例如，在意外事故保险中， 理赔可能多次发生；在周期内保单数确定显然与保险事务的随机性脱节，等等。 对个体风险模型的推广得到短期聚合风险模型 2 ) 短期聚合风险模型 设是给定时期中保单的理赔次数，墨是第一次理赔的理赔量，五是第二 次理赔的理赔量，余依次类推，则 上 s = x l + 爿二+ + 彳= x j j i l 与个体风险模型不同之处在于，理赔次数是随机变量这正是“聚合( c o l l e c t i v e ) 意义之所在对此模型常有如下的假设： ( 1 ) 随机变量序列x j 独立同分布，= 1 , 2 ， ( 2 ) 随机变量序列，五，x 2 ，相互独立 3 ) 长期聚合风险模型 长期聚合风险模型所表示的是承保人在较长时间内的盈余的变动情况所谓 盈余是指启动资金加上保费收入超过理赔那部分，而非财务意义上的为了数学 上的处理方便，我们将不考虑利息和其它除了保费和理赔之外的影响因素，如， 附加费和保单持有人的分红等用数学模型表示，r ( f ) 盈余是一个随机过程 r o ) = u + c t s ( f ) l v ( t ) 其中，“= r ( o ) 是启动资金，c 0 为连续收取保费的速率，s ( f ) = z 为到时 i = l 刻f 为止的理赔总额当理赔次数过程n ( t ) 为齐次p o i s s o n 过程时，上述模型就称 2 硕士学位论文 第一章绪论 为风险模型。对古典风险模型进行各种不同形式的推广，就得到各种具体的长期 聚合风险模型及其变体形式，从而造就了风险理论研究内容的丰富多彩 1 2 经典风险模型的研究及其推广 1 2 1 经典风险模型 经典风险模型是研究历史最长、理论最完善的风险模型，也是最简单的风险 模型它的严格表述如下： 一 令( q ，f ，p ) 是一个完备的概率空间，模型中的所有随机变量和随机过程均 定义在次概率空间上，令 r f f ) r ( t ) = u + c t - 墨，t o ， 七i l 其中r ( f ) 是保险公司在时刻f 的盈余，材是初始资本，c 是公司每单位时间收取的 保费，x i 表示第| | 次的理赔额。( f ) 表示至时刻f 为止发生的理赔次数 上述模型有三个基本假定： 假定1 ( 独立性假定) 设，k = 1 , 2 ， 是取值于( 0 ，) 的独立同分布的随机 变量序列，记 f ( x ) = p ( x x ) ，眠o ， 2e 【x l 】2 王 1 - f ( x ) l d x ， ( f ) ，t o 是服从参数为旯( 2 0 ) 的p o i s s o n 过程；忸。，k = l ，2 ，) 与 ( r ) ，t o ) 相互独立 假定2 ( 相对安全负荷假定) 设c = ( 1 + 目) 舡，其中口 o ，称为相对安全负 荷 假定3 ( 调节系数存在唯一性假设)个体理配额的矩母函数 肘j ( ，) = e p 】= f e d f ( 石) = 1 + ，f e 珂【l f ( x ) a x 卅q 至少在包含原点的某个邻域内存在其次要求方程 硕士学位论文第一章绪论 吮( ，) = 1 + 等， l 具有正解 对于经典风险模型r ( t ) 的破产概率杪( “) 主要结果有： ( 1 ) y ( o ) = 而1 ； ( 2 ) 当x 一服从指数分布时，甲( 甜) 2 丽1 p 胛柑； ! 。 ( 3 ) l u n d b e r g 不等式：y ( “) p 一妇，v u 0 ； ( 4 ) l u n d b e r g - c r a m e r 逼近：存在正常数c ，使得少( 甜) 一，u 专， h i i l 蝉：1 h m c p 一心 古典风险模型除了上述主要结果外，另外还有大量文献对此进行了多方面的 研究，得到了许多很好的结果，如a l f r e d oe g i d i od o sr e i s ( 1 9 9 3 ，2 0 0 2 ) ，d i c k s o n ， d c m ( 1 9 9 2 ) ，h a n su g e r b e ra n de l i a ss w s h i u ( 1 9 7 3 ，1 9 9 0 ，1 9 9 7 ) ，l iw e ia n dr o n g w u ( 2 0 0 2 ) 张春生和吴荣佗0 0 1 ) 等人的研究结果 1 2 2 经典风险模型的推广 经典风险模型是研究最为深入的模型，为风险理论的研究奠定了基础，但 由于经典风险模型的构造中有很多假设，不能很好地反映保险公司的经营状况， 与现实生活操作有着很大的差距，因此很多风险理论研究者将其进行推广，使 之更符合的经营实际这些推广主要有以下几个方面： ( 1 ) 离散风险模型： 考虑在实际中，保险公司对一些重要业务诸如收取保费、支付理赔额的处理 通常是按某个时间段来进行的例如，在人寿保险中，保险公司以年为单位向 投保人收取一定的保费和支付某笔理赔额对保险公司来讲，一年内仅可能发生 两种情况：或有一次理赔发生，或没有理赔发生类似这种情况我们可用复合 二项风险模型来描述： h 1 尺0 ) = u + o n 一x k ，刀= o ，l ，2 ， k = l 其中u 是保险公司的初始盈余：c 是公司每单位时间收取的保费：x 。 = 1 , 2 ，) 4 硕士学位论文 第一章绪论 是第k 次的赔付量，且 x 。，k = 1 , 2 ， 是一列独立同分布的随机变量序列：g ) 表示时间段( o ，力l 内保险公司的赔付次数， ( 刀x 刀= o ，1 ，2 ， 是一列具有参数 p ( o ，1 ) 的二项随机序列 对于此模型，有许多学者进行了研究国外， s h i up 0 1 和w i l l m o t 【l l 】研究了 最终破产概率以及有限时间内的生存概率：国内，c h e n g 和w u 1 2 1 研究了生存 到固定时刻，z g 0 ) 的概率，在时刻刀恰好发生第k 次赔付，且在时刻玎的盈余 为某数x g 0 ) 的概率；龚日朝和杨向群研究了破产时刻前的瞬时盈余、破产时 刻的赤字以及到破产时刻为止赔付次数的概率分布；龚日朝和刘永清【”j 将保单 到达过程进行了推广，讨论了广义复合二项风险模型下的生存概率；孙立娟和 顾岚1 1 4 j 将利率引入离散风险模型，得到了破产前盈余分布、破产持续时间的递 推公式 ( 2 ) 对索赔到达过程的推广： 随着点过程理论的系统和成熟，我们可以采用更一般的点过程来描述索赔到 达。在实际经营中由于经济形势的变化，任意时刻的投保人数、退保人数都是 随机的，同时由于生活环境的变化、气候的影响及其它的随机因素，因此索赔 次数的强度是随机变化的。例如在机动车中，车辆事故受突发的恶劣天气因素的 影响，因而用强度不便的齐次p o i s s o n 过程描述赔付次数存在很大的局限 性g ，伽如拼s j 中详细描述了非齐次p o i s s o n 风险模型、c o x 风险模型、更新风险 模型、平稳风险模型，这些都是在索赔到达上进行的推广 近年来，很多学者在索赔到达过程上进行了研究。l i j u a ns u n 和h a i l i a n g 场珂”j 讨论了在索赔到达过程为e r l a n g ( 2 ) 过程的更新风险模型的条件下， 破 产前瞬时盈余和破产赤字的联合分布；在 1 5 】的基础上，c c h i l i a n gt s a i 和 l i j u a ns u n 0 6 讨论了贴现因子的因素，得到了破产前瞬时盈余和破产赤字的联 合分布极其边缘分布，并且比较了e r l a n g ( 2 ) 和g r l a n g ( 1 ) 过程( 即p o i s s o n 过程) 条件下的这些分布函数；s h u a nn f i ngl i 和d g a r r i d o 1 7 】讨论了在索赔到达过程为 e r l a n g ( n ) 过程的更新风险模型，得到了贴现罚函数满足的更新方程，以及破产 时刻、破产前瞬时盈余和破产赤字的联合分布：刘再明教授等【1 8 】应用m a r k o v 骨 架过程方法，深入地研究了索赔为一般到达的保险风险模型，得到了破产时间分 布以及破产时间与破产时刻前后资产盈余的联合分布，由此可以计算一些人们关 心的重要风险指标 ( 3 ) 对保费收入过程的推广： 在经典风险模型中，假定保险公司在单位时间内收取的保费为一常数c ，这 5 硕士学位论文第一章绪论 种假设过于理想化了。为此，很多学者在这方面作了推广孙立娟和顾岚【1 9 j 认为 不同单位时间所收取的保单数常常不一样，是一个随机变量，可能服从某一离散 分布，将经典复合p o i s s o n 模型的保单到达推广到和索赔发生独立的p o i s s o n 过 程，在索赔服从指数分布的情况下得出了最终破产概率满足的不等式；龚日朝和 李凤军【2 0 】将此模型定义为双p o i s s o n 风险模型，利用随机过程和鞅方法得出了此 模型破产概率满足的l u n d b e r g 不等式和一般公式，以及当个体索赔服从指数分 布时破产概率的具体表达式；龚日朝【2 1 】在索赔服从指数分布的情况下，得到了 有限时间内生存概率所满足的l a p l a c e 变换公式；向阳和刘再明 2 2 1 考虑了一类具 有马氏过程调制费率的模型，得到了破产概率满足的积分方程，并且推出了在具 有平稳初始分布时，破产概率的递归不等式和零初始资产时破产概率的一个简洁 估计式 ( 4 ) 多险种风险模型： 经典风险模型的一个局限就是只考虑一类同质风险，也就是说模型只经营一 种险种时的情形但随着保险公司经营规模的日益扩大，险种的多元化及新险种 的不断开发，这些单个险种的风险模型对于研究整个公司的破产概率就无能为力 了因此，采用多险种风险模型来描述实际情况，对于保险公司的经营及监管部 门的监管更具有实际意义 如：蒋志明和王汉兴( 2 0 0 0 ) 2 3 1 对两险种的p o i s s o n 风险模型进行了研究， 得出初始资本为零的破产概率的明确表达式并且给出了破产概率的近似估计， p i c a r d ( 2 0 0 3 b ) 2 4 】在离散情形，对多险种的二项风险模型进行了研究，并且在险 种存在相依性作了深入的研究，得到了在特定盈余下有限时间破产概率显示表达 式w a i - s u mc h a n 等人【2 5 】针对有相互依赖关系两个险种的连续风险过程，定义了 三类破产概率，并得到了破产概率上下界 ( 5 ) 考虑随机干扰： 设赢余过程由下面的式子给出： r ( t ) = u + c t 一x k + 形o ) ，r 0 其中n ( t ) 是p o i s s o n 过程，谚( f ) 是w i e n e r 过程，其它符号的定义同式( 1 1 ) ，这 种推广是g e r b e r 首先提出，直到1 9 9 0 年以后才被重视，d u f r e s n e 和g e r b e r ( 1 9 9 1 ) 【2 6 1 发现该模型中生存概率满足亏损更新方程，v e r a v e r b e k e ( 1 9 9 3 ) 2 7 】研究了理 赔额分布为重尾分布时的破产概率，s c h l e g e l ( 1 9 9 8 ) 2 8 】讨论了经典风险过程在 有不同的干扰时的破产概率的上界问题。更多探讨参见 2 9 3 5 1 6 硕士学位论文第一章绪论 ( 6 ) 考虑利率、分红因素的影响： 在保险公司日常的经营活动中，除了保费收入和索赔支出对经营状况有很大 影响外，还有一些不可忽略的因素，如利率、分红设利率万为常数，则常利率 风险模型可表为 r 6 ( t ) ：u e 厨+ 一一卜帕n ( 关于量的含义参阅【3 6 】) b s u n d t 和，l t e u g e l s 3 6 1 在常利率的复合p o i s s o n 风险 模型的条件下，得到了破产概率满足的方程，并且给出了其上、下界，对于“= 0 和索赔额指数分布的情形，给出了破产概率的具体表达式吴荣和杜勇宏【3 7 】在常 利率的更新风险模型下，利用转移概率得到了风险问题中的几个重要的量和分 布，如破产概率、破产时盈余分布以及破产前瞬时盈余分布的级数展开式和积分 方程；j u nc a i 和d c a t d i c k s o n l 3 8 】在常利率的更新风险模型下，分别利用鞅方法 和递推法给出了破产概率的上界估计，并且对由这两种方法得到的上界进行了比 较；j u nc a i 和d c 3 k 1 d i c k s o n 【3 9 】利用 3 8 】中的方法，讨论了一类离散风险模型的 破产概率问题，其中假设利率变化满足一个马氏链关于这方面更多的文献可参 老 4 0 4 3 ) ， 对于分红的情形，也有很多学者进行了研究。研究的最多的是两类分红：线 性分红和常数分红t h o ma ss e g t 和r o b e r tf i i c h y 考虑了复合p o i s s o n 风险模 型在线性分红、索赔额满足g a m m a 分布的条件下，模型的生存概率、分红期望 以及破产前达到分红值的概率；s h u a n n f i n gl i 和j o s eg a r r i d o 4 5 】对于广义 e r l a n g ( n ) 风险过程在常数分红的假设条件下，得到了g e r b e r s h i u 贴现罚函数 满足的积分方程，并且证明了方程的解与不带分红情形下的贴现罚函数之间的关 系 在我国保险公司的运作过程中，保费收入是主要收入来源，理赔则是主要风 险因素，保险公司最基本的经营目标就是提高它的偿付能力，确保稳定地运作 因此，科学地预测保险公司未来的收入、可能发生的理赔额，以及估计保险公司 的破产概率等等都是十分重要的课题通过分析已有的破产模型，发现以往所讨 论的模型中保费要么以常速率到达收取，要么就以随机变量序列收取而事实上， 保险公司的保费收入可由两部分组成，一部分是固定收费，一部分是随机收费。 基于这一事实，本文提出了保费收入为混合形式的破产模型，并进行了相关结论 的讨论 1 3 本论文内容和主要结果 完全离散的经典风险模型已经得到了广泛的研究，然而由于它的局限性，很 7 硕士学位论文第一章绪论 多学者对其进行了多种形式的推广，本文在已有结论的基础上，从不同的角度对 以下二项风险模型进行讨论 ( 一) 单险种二项风险模型论文第二章讨论了此类单险种风险模型首先， 介绍了将经典风险模型推广为索赔为二项过程的复合二项风险模型其次，考虑 到保险公司在实际经营中，不同单位时间收取的保单数通常为一个随机变量因 此在复合二项风险模型的基础上推广出两种风险模型：一种为考虑投资收益的带 干扰的双二项风险模型：另一种为混合保费收入的双二项风险模型，即保费的收 取有一部分固定收费和一部分随机收费。并利用鞅的方法讨论了这两类风险模型 的破产问题。 ( 二) 双险种二项风险模型论文第三章讨论了此类风险模型首先介绍了经 典离散风险模型的推广，- 即用二项过程描述两个险种的理赔次数的一般情形的双 险种风险模型其次，对保费收取进行推广，讨论了一类广义双险种二项风险模 型，用鞅的方法得到了破产概率的一般表达式和l u n d b e r g 不等式最后，又将保 费收取推广为混合形式，得到了破产概率的一般表达式及其上界 ( 三) 多险种二项风险模型。论文第四章讨论了此类风险模型在双险种的 基础上研究一类含有m 种险种和混合保费收入的风险模型，得到了该模型的相应 的破产概率的表达式 1 4 预备知识 1 4 1 二项随机序列 定义1 4 1 设z 是非负整数的集合，z + 为正整数的集合设 n 羞 r ( 玎) ，r t = 0 ，l ，2 ，) 为定义在某概率空间( q ，f ，p ) 上的非负整数值随机序列， 如果满足以下条件： ( 1 ) 零初值：( o ) = 0 ； ( 2 ) 独立增量：0 刀l 玎2 仇，知z + ，n ( n 1 ) ，n ( n 2 ) 一n ( n 1 ) ， n ( n 。) 一n ( n ) 是独立的随机变量； ( 3 ) 平稳增量：对力0 ，册1 ，n ( n + 历) 一( 刀) 的分布与以无关； ( 4 ) 二项分布：对刀0 ，聊l ，n ( n + 肌) 一( 一) 有二项分布b ( m ，p ) ，其中 p ( o ，1 ) 称n = ( 甩) ，刀0 ) 是具有参数p 的二项随机序列 当p = 1 时，二项随机序列n 是决定的，因而是平凡的，记q = 1 一p 1 定义1 4 2 设x 是一非负随机变量，它的概率分布是e ( x = k ) = p 。， k = 0 ，1 ，2 ，则这随机变量的母函数是： g ( s ) = p i s k = o 8 硕士学位论文 第一章绪论 由数学期望的定义知g ( s ) = e s 】，有时人们也把它称为x 的s 变换或集合变 换 设五，五，以是任意刀个相互独立的非负整数值随机变量，它们的概率母 函数分别为g l ( 5 ) ，g 2 ( s ) ，q ( s ) ，则z = 五+ 五+ + 五的概率母函数是： g z ( s ) = g l ( s ) g 2 ( j ) g ( j ) 命题1 4 3 设 置) 是一串相互独立同分布的非负整数值的随机变量，它们共 同的概率母函数是g ( s ) ，又设是一个独立于 z ) 的非负随机变量，则随机变 量z 0 = 五+ 五+ + 瓦( 当n = o 时令z o = 0 ) 的概率母函数是g z ( j ) = g 【g ( s ) 】， 这里吼o 】是的概率母函数 1 4 2 条件期望 概率空间记为( q ，f ，尸) ，g 是f 的某一子仃代数，gcf 。孝( 国) 是满足 f i l l 定义1 4 4 具有下列两性质的随机变量e ( 孝i g ) 称为孝( 国) 关于g 的条件数 学期望( 简称为数学期望) 如果 ( i ) e f 孝i g ) 是g 的可测函数； ( 2 ) 对任意彳g 有： 工e ( 孝i g ) 尸( d 国) = 工孝p ( 如) 定义1 4 5 设c f 为任一事件，则它的示性函数，即：l ( 国) = 1 ，如果 仞c ，否则t ( 国) = 0 ，关于g 的条件期望称为c 关于g 的条件概率，记为 p ( c i g ) p ( c i g ) 是满足下列条件的随机变量： ( 1 ) p ( c i g ) 为g 的可测函数； ( 2 ) 对任意彳g 有：工户( c i g ) 尸( d 刃) = 尸( 彳c ) 注：在本文中，如无特殊说明，所有i 表示示性函数，即：l c ( r o ) = 1 ，如 果国c ，否则t ( 国) = 0 条件期望的性质：以下等式、不等式或极限关系都是以概率1 成立的，孝， 专，7 7 都是随机变量且e 蚓 e ( 刁l g ) ； ( 3 ) i e ( 孝i g ) i - e ( i 孝ii g ) ； ( 4 ) 设o 毒个孝，e 陪i ，则e ( 专i g ) 个e ( 孝l g ) ； ( 5 ) 设专一孝，陆i 刁，e r o o ，则e ( 专l g ) 专e ( 孝i g ) ； ( 6 ) 如刁对g 可测，e 陟7 7 l ，e 旧i ，则e ( 孝刁i g ) = 刁e ( 孝i g ) ； ( 7 ) 如乎对g 可测，则e ( 善l g ) = 善； ( 8 ) 若孝与g 独立，则e ( 纠g ) = e 孝； ( 9 ) 如g lcg 2cf ，则e ( e ( 善l g 2 ) lg 1 ) = e ( 纠g 1 ) = e ( e ( 引g 1 ) l g 2 ) ； ( 1 0 ) e ( e ( 孝i g ) ) = e 孝 在上述各性质中，取随机变量为事件的示性函数，就 。，1 0 相应的条件概率的 性质 一个常用记号，孝关于仃代数f ，f 丁) 的条件期望，e ( 孝l f ，t 丁) ) 记 为e ( 引，fe t ) 1 4 3 随机和 设置，五，鼍是独立同分布的随机变量，并且有相同的分布函数f 和相 同的矩母函数m ( 厂) = e ( e 血) = t x d f ( x ) 它们的和的分布是f “，其中f 一在 本文中表示，的刀重卷积。( m ( 广) ) 一则是它们和的矩母函数 设是一个仅取非负整数值的随机变量，记 扰( ，) = ：。p 朋岛 其中见= 尸( = n ) ，n = o ，1 ，2 ，它是的矩母函数。再假定诸墨和也 是相互独立的，并记 1 0 硕士学位论文第一章绪论 s = x l 七x 2 + + xn 当n = 0 时，约定s = 0 。以下称s 为随机和，并称为求和次数，而诸z 为s 的加项 s 的分布函数计算如下： 只( j ) = p ( s j ) = e p ( s s l ) 】 = ：。p ( s s i n = n ) p = ：。f h ( s 咖玎( 1 - 1 ) 类似地，可得到矩母函数的表达式： m ( ，) = e ( 矿) = e e ( e 册i ) 】= 研( m ( ，) ) 】= m ( 1 0 9 m ( r ) ) 其中m 是由前面定义的n 的矩母函数这样， 船胁( 1 。g 脚) ) 哿 ( 1 2 ) 特别的 ( o ) = m ( o ) m ( o ) 这表明 e ( s ) = e ( ) e ( x ) ( 1 - 3 ) 将( 1 2 ) 式再微分一次，并置r = 0 ，可得 ( o ) = m 。( o ) m ( o ) 2 + m 。( o ) m 。( o ) 一m ( o ) 2 ) 即有 e s 2 】- e ( n 2 ) 但 x 】) 2 + e n v a r x 】 最后，在上式两端再减去( 1 - 3 ) 式两端的平方，便得： v a r s 】= 砌，【n 】( e x 】) z + e n v a r x 】 当求和次数服从二项分布时，假设其参数为p ，这样由方程( 1 - 1 ) 知 只( s ) = f h ( s ) c ：p ( i - p ) ”i 这便是非齐次复合泊松分布 注： ，h o ，表示f c x ，的，z 重卷积， ，叼c x ，= 0 二主三， f o ( x ) f 厅( x ) = f ( x ) ，在本文中，如果无特殊说明，“均表示函数的卷积 硕士学位论文第一章绪论 1 4 4 鞅 设( q ，f ，p ) 为一概率空间， e ，f o ) 为一单调增的f 的子仃一代数流， 】，= ( z ，f o ) 是任意的随机过程，令f y = 仃( 【，s f ) ，则f y = o r ( r , ，f o ) ， 则f y 是由过程】厂在时间段 o ，r 生成的仃一代数流，表示过程】，到时刻f 的历史 如果对每个f 0 ，z 为e 一可测，那么过程】，称为e 一适应的，显然，y 是e 一适应的当且仅当对所有的f 0 ，z y f 成立 定义1 4 6 实值过程m = m ，f 0 ) 称为c 一鞅，如果满足： ( 1 ) 对于任意的f 0 ，m 为e 一可测； ( 2 ) 对于任意的f o ，e i g , 1 0 ， f = 1 ，刀一1 ； a 叉b ( 1 - 4 ) 其中【口，b 】是某一区间。通过逆转增量的次序构造一个置换j z = 以，墨= 以书，z = 墨 在相应的过程中，s o = 0 g = 墨+ + z f = 1 ，刀 这样，事件( 1 4 ) 和下述事件具有相同的概率： g 0 ， f = 1 ，”一1 ； 口s ：6 ( 1 - 5 ) 但是，由于= & 一最一l ，事件( 1 5 ) 便可借助原有的过程表示如下： 最 邑， j = 1 , - - , n 一1 ；口- 曼6 。 故有 p 【墨 墨，f = 1 ，”一1 ；a 邑b 】 = 尸 - o ，f = 1 ，n 一1 ；a 叉b 】 ( 1 - 6 ) 现要推导一个结果，为此需假定 最) 具有可交换的增量和离散的状态空间 再假定它不是向上自由跳动的后一条件指的是增量仅可能取如下的值：l ，0 ，1 ， - 2 ，。再设s o = z 是一整数，则对任一整数y 石，属于d w a s s 与d i n g e s 的 一个结果声称： 尸【最= y ，s ，如果对每一个聆，随机变量磊服从参 数为p 的0 1 分布b ( 1 ，p ) ，即 p 六= 1 = p ，尸 六= o ) = q = i p 其中0 = p ，p 磊= 0 ) = q = l p ， 其中0 p 0 ，即c p a t 定义相对安全负荷系数为 秒：三一1 0 p i t 破产时亥0 ：t = i n f n l ，u 0 ) ，