（凝聚态物理专业论文）非相干空间光孤子对的传输特性研究.pdf

摘要 本文主要研究非相干空间光孤子对的传输和相互作用特性。首先简要介绍了空间光 孤子的特点、研究现状以及应用前景，然后借助k e r r 型的平板波导非线性介质，通过 讨论两光束传输相距较远、相距较近时的情形，分别研究了三种不同类型的空间孤子对 的传输。论文的主体分为两大部分，第一部分忽略两孤子间的相互作用，根据不同类型 空间光孤子各自的边界条件分别对非线性薛定谔方程组进行理论推导求解，得到了亮 亮、暗暗、亮暗三种类型的非相干孤子对解的表达式，由此绘制出了孤子对的包络演 化图像以及孤子强度的分布曲线，分析了孤子对的传输特性；第二部分利用变分法和计 算机作图研究了考虑相互作用时孤子对的传输，讨论了传输过程中孤子间的相互作用对 孤子振幅r 、中心距离、传播速度k 和相对相位等各参数的影响，分析得到了一些 有意义的结果。最后文章对所讨论的情况作了总结，归纳得出一系列有价值的结论，为 空间光孤子用于全光信息处理所需解决的技术问题提供了一定的理论依据。 关键词：空间光孤子对；c n l s 方程；变分法；传输特性；相互作用 a b s 仃a c t t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e st h ep r o p a g a t i o na n di n t e r a c t i o np r o p e r t i e so ft h ei n c o h e r e n t s p a t i a lo p t i c a ls o l i t o n - p a i r f i r s t , w ei n t r o d u c et h ef e a t u r eo ft h es o l i t o n 、t h ep r o g r e s so f r e s e a r c ho ns p a t i a lo p t i c a ls o l i t o na n dt h ea p p l i c a t i o np r o s p e c to ft h es o l i t o n , t h c nw i t ht h e k e r rp l a n n a rw a v e - g u i d e w ed or e s e a r c ht ot h ep r o p a g a t i o no ft h r e et y p e so fs p a t i a lo p t i c a l s o l i t o n - p a i rr e s p e c t i v e l y , d i s c u s s i n gt h et r a n s m i s s i o no ft h et w ol i g h tb e a m sh a v i n gb i g g e ro r s m a l l e rd i s t a n c eb c t w c f nt h e m t h em a i nb o d yo ft h ep a p e ri sd i v i d e di n t ot w op 珊忸：i nt h e f i r s tp a r t ，w eo b t a i ns o l u t i o n so fl i g h t - l i g h t 、d a r k - d a r ka n dl i g h t - d a r ks o l i t o n - p a i r su s i n g b o u n d a r yc o n d i t i o na n dn e g l e c t i n gt h ei n t e r a c t i o n , b y t h i sw a yw ew o r ko u ts o m e p r o p a g a t i o np i c t u r e sa n di n t e n s i t yc u i v 韶o ft h es o l i t o n - p a i r s ，t h e na n a l y z et h ep r o p a g a t i o n p r o p e r t i e s ；i nt h es e c o n dp a r t , t a k i n gi n t e r a c t i o ni n t oa c c o u n t ，w ed i s c u s st h ei n f l u e n c eo f i n t e r a c t i o no ns o l i t o n st r a n s m i s s i o na n dg e tt h ee v o l u t i o n l u a t i o n sf o rt h ep a r a m e t e r s i n c l u d i n ga m p l i t u d e r 、c a n t e rp o s i t i o n a 、t r a n s m i s s i o nv e l o c i t y k 、r e l a t i v ep h a s e ， c h a n g i n gw i t ht r a n s m i s s i o nd i s t a n c ei nt h e m e t h o do fv a r i a t i o n a lp r i n c i p l ea n dc o m p u t e r d r a w i n g l a s t l y , w ec o n c l u d et h ec o n t e n t st h a td i s c u s s e da b o v et od e r i v eas e r i e so f v a l u a b l e c o n c l u s i o n sw h i c hc a np r o v i d es o m et h e o r e t i c a lf o u n d a t i o n sf o rs o l v i n gt e c h n o l o g yp r o b l e m s o f a p p l i n gs o l i t o nt oo p t i c a li n f o r m a t i o np r o c e s s i n g k e yw o r d s ：s p a t i a lo p t i c a ls o l i t o n p a i r ：c n l se q u a t i o n ；v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ：p r o p a g a t i o n p r o p e r t i e s ；i n t e r a c t i o n 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 论文作者签名：王铭砀 日期：刎年占月2 e t 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的 印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以允许采用影印、缩印、数 字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目的的前提下，学校可以公开学 位论文的部分或全部内容。( 保密论文在解密后遵守此规定) 作者签名：互铭面 i 指导教师签名： 日期砷2 日期：枷7 f 厶 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 1 8 3 4 年，英国的r u s s e l l 首次在运河中发现了波形不变的单个凸起水团，即“孤立 波”现象【l 】o1 9 6 5 年，z a b u s k y 和k r a s k a l 通过研究发现这种孤立波的行为类似于粒子， 因此将其命名为“孤子( s o l i t o n ) ”【2 l 。此后不久，人们在许多不同的学科分支和材料 中观察到了多种类型的孤子现象【3 卅，孤子理论及其在各个领域的应用得到了迅速的发 展。 对光孤子的研究最初是针对时间孤子的。1 9 7 3 年，a h a s g a w a 和t a p p e r t 首先提出在 光纤中存在光脉冲形式的时间光孤子【7 1 ，目前时间光孤子已经处于实用性研究阶段。相 对于时间光孤子，空间光孤子的研究起步较晚。 光学里，局限在一定空间区域传播的光束，如果光场对介质的光学性质没有影响， 光束在衍射效应下会随着传播距离的增加而展宽，并且初始入射的光束越窄，展宽越快。 如果介质是非线性的，光场会引起介质光学性质( 如折射率，吸收等) 的改变，产生自 聚( 散) 焦效应。所谓空间光孤子( o p t i c a ls p a t i f ls o l i t o n s ) 是指光束在介质中传播时能 够保持光波的形态不变( 或基本不变) ，此时光的线性衍射效应和光在介质中的自聚( 散) 焦的非线性效应达到平衡，光束会自陷( s e l f - f f a p p i n g ) 在很窄的空间宽度，称之为空问 光孤子【”。空问光孤子具有平面波波前，因而会保持其横剖面大小不变地稳定传输。 空间光孤子分为：亮空间光孤子、暗空间光孤子和灰空间光孤子。亮空间光孤子的 能量主要集中在光束横截面中心附近狭小的区域内，离开光束中心光场很快下降为零； 与此相反，暗空间光孤子相当于在均匀的背景中嵌入一个暗缺，在光束中心光强趋于零， 离开中心光强快速增大并趋于一稳定值：与暗孤子类似，灰空间光孤子在暗缺横截面中 心点附近光强最小，但不为零。 1 2 空间光孤子的研究状况和应用前景 空间光孤子是光与物质相互作用中线性与非线性效应相互制衡的结果，它是非线性 光学领域中的一个重要研究分支。 亮空间孤子的研究进展：1 9 6 4 年r y c h i a o 等人开始进行自聚焦方面的研究，至u 1 9 7 2 v z z a k h a t o v 和s h a b a t 提出孤子理论，人们开始认识n k e r r f r 质中的空间亮孤子；1 9 8 5 年a b a r t h d e m y 等人用实验证明k t 盯介质中的空间亮孤子的存在；1 9 8 8 年s m a a e u f 等人 在k d p 晶体中观察到基阶、二阶、三阶亮空间光孤子，并进行数值模拟；1 9 9 3 年， 湖北大学硕士学位论文 g k h i l r o v a 等人在半导体材料中观察到亮空间光孤子。同年g c d t l r e e 等人在光折变晶体 中在光强很低情况下观察到亮空间光孤子【1 2 】；2 0 0 0 年，d e l r e 等则报道了圆形亮孤子与 条状亮孤子相互作用的实验结剿l ；同年，c o s l m m 等在理论上证明了一个非相干的 暗孤子与一束部分非相干的亮光束相互作用，可以使亮光束的强度分布变得尖锐【l ”。 暗空间孤子的研究进展：1 9 8 7 年p i e r r e a n d r eb e l a n g e r 和p i e r r em a t h i e u 第- - 次从理 论上证明了在自散焦k e r r 介质中可能存在暗空间孤子；1 9 9 1 年g r a l l a n 等人利用皮秒光 脉冲在半导体材料z n s e 中观察到基阶和非基阶的暗空间光孤子【l5 j ；1 9 9 1 年y i j i a n gc h e r t 在研究t m 模电场方程时，发现了暗空间孤子解l l6 】；1 9 9 2 年后，g a s w a r t z l a n d e r 在研究 ( 2 + 1 ) 维非线性薛定谔方程时发现，在圆对称条件下光场中可以存在暗空间光孤子； 2 0 0 0 年k i v s h a r 等发表了暗涡旋孤子与暗条状孤子相互作用的实验结果【1 7 】。 目前国内对于空间光孤子的研究主要集中在光折变空白j 光孤子以及非相干空间光 孤子方面，如西安交通大掣1 引、上海大学”蛇“、中山大掣2 2 蝽，他们的研究方法与 g c d u r e e 等人一致。 空间光孤子的研究不仅可以扩展对基本物理现象的理解，而且更重要的是空间光孤 子本身在光子( 全光) 信息处理( 全光空间调制和图象处理，全光开关，全光互连，以 及全光逻辑光路等) 方面有广泛的应用【”- 2 9 。光子信息处理技术是实现高速率、大容量 全光网络和光计算机中必不可少的关键单元技术。随着数字化、信息化社会的来临，高 速率、大容量信息网络体系的发展将是国家信息基础设施的核心内容，如宽带网络中的 信息载体非光莫属，就是说，未来的信息网络必定是全光网络。全光网络不仅是国家信 息基础设施的核心，也是全球信息一体化的基础。光计算是大规模并行计算的首选方案， 是新一代计算机的发展方向。由于全光网络和光计算机的关键是全光控制技术，而空问 光孤子是各种实现全光控制技术的基础原理之一，因此对空间光孤子特性的全面研究和 彻底掌握，显然具有非常重要的学术价值、实用价值和战略意义。 1 3 本文的立项依据 经过4 0 年的研究，空间光孤子已取得了较丰硕的研究成果 3 0 - 3 5 1 ，但是在1 9 9 5 之前人 们对于光孤子理论和实验上的研究绝大多数都采用相干光源，即得到相干光孤子。1 9 9 6 年普林斯顿大学的m m i t c h e l l 和z c h a n 等人首次成功的实现了非相干光束的自陷，孤子 物理学呈现出向非相干孤子这一新方向发展的趋势，人们开始利用非相干光源来产生非 相干光孤子。非相干空间光孤子的发现改变了人们对孤子的传统观念，为孤子科学、非 2 第一章绪论 线性光学以及其他非线性领域开辟了新的研究领域。本文拟对k e r r 介质中的非相干耦合 空问光孤子对的传输展开系统的讨论。 当空间光孤子的尾部在它们之间的空间相互交叠时会发生相互作用，孤子问的相互 作用可分为两种：相干相互作用和非相干相互作用。如果两孤子是相干光，交叠时就会 产生干涉效应，介质对干涉产生响应，使光孤子之间产生相干相互作用力，作用力是吸 引还是排斥取决于它们之间的相对相位，而相位的控制在实际中难以实现；如果两孤子 互不相干，介质只对光强的时间平均值产生响应，无论孤子间相位如何，在两孤子交叠 区没有干涉效应，两孤子间的相互作用为非相干相互作用，相对于前者，这在实际中较 容易控制。非相干空间光孤子对的理论研究能为其实验研究提供重要依据，目前上海大 学有学者对非相干光折变空间光孤子对的研究做过一些工作，由于受到其采用方法的限 制，研究过程中没有反映出孤子间的相互作用对孤子传输特性的影响。 本文借助k e r r 型的平板波导非线性介质研究非相干空间孤子对的传输特性。在空间 传播的两非相干空间光孤子由耦合的非线性薛定谔方程组描述，当两光束相距较远时， 孤子间相互作用可以忽略，孤子包络形状不受到影响，这样根据不同类型空间光孤子各 自的边界条件分别对非线性薛定谔方程组进行理论推导求解，得到亮亮、暗暗、亮 暗三种类型的非相干孤子对解的表达式，由此可以绘制出不考虑相互作用时孤子对的包 络演化图像进而讨论其传输特性：当两光束相距较近至有部分交叠时，孤子对间的相互 作用必须考虑，单个孤子的传输会受到影响，此时由于方程不可积，非线性薛定谔方程 不能精确求解，本文利用变分法对三类非相干耦合孤子对间的相互作用进行分析，讨论 相互作用对孤子传输的影响，并通过画图对结果作进一步描述。这为改进、完善和推进 空间孤子用于光通信和光学器件的研究提供了必要的理论依据。 3 湖北大学硕士学位论文 第二章非相干空间光孤子对的传输 在空问传播的两非相干光束自陷而形成耦合孤子对，孤子对的演化特性可以由耦合 的非线性薛定谔( c n l s ) 方程来描述，已有学者做过类似这方面的研究 拍- a g l 。当两光 束相距较远时，孤子问的相互作用可忽略，传输过程中孤子包络形状不受影响，这样根 据不同类型的空间光孤子各自的边界条件分别对非线性薛定谔方程组进行理论推导求 解，得到亮亮、暗暗、亮暗三种类型的非相干孤子对解的表达式，由此可以绘制出不 考虑相互作用时孤子对在空间的传输图像。 2 1 耦合非线性薛定谔( c n l s ) 方程的导出 在非线性光学中，人们把折射率的变化与光强成线性关系的介质称为k e r r y r 质。设 k e r r 介质中，两束具有相同的初始振幅和光束宽度的强光同时传播，其电场分别为巨、 e ，则有 亏= 易( r ，q ) 唧( 一奶f ) + c c ( _ ，= 1 ，2 ) ( 2 一1 ) 为讨论问题方便，假设两束光都是单色线偏振光，且偏振方向一致，由麦克斯韦方程组 可以得到传播方程 w 2 e i + 磕矛b ，y ，e i e o e j = o ( 2 - 2 ) 如果两束光的频率相同，折射率一可以写为 厅= + 玛i 互1 2 + 也| e 2 1 2 + 心( e e + 耳易) ( 2 - 3 ) 其中。n 2 = 3 x 8 。而( 2 - 3 ) 式的最后一项惕( 巨e + 日易) 代表了同频率下光场的相 干叠加对介质折射率的影响，因此两光束的相干相互作用对初始相位差十分敏感。当两 束光的频率不同时，由于两光束之间没有恒定的相位差，这一项对时间的平均值为零， 故折射率n 可以取 n = n o + n 2 阱+ n 2 1 e , 1 2 ( 2 - 4 ) 两者比较而言，不同频率的光束间的相互作用对相位不敏感，在实验上容易控制，因此 研究更方便。 本文中我们考虑两同向传输的非相干自陷光束，即非相干空问光孤子对，在k 盯介 质构成的平板波导中沿z 方向的传输，此时y 方向上的衍射被全反射抑制， 4 第二章非相干空间光孤子对的传输 设易= 4 ( 工，z ) e x p ( j k j z 一0 7 ，t ) ，代回到传播方程( 2 2 ) ，得 z 誓+ 击等+ 勺i n 2 州2 + 蚓2 妒。 像s ， 对方程中的各项归一化，方程( 2 5 ) 可化为下面的耦和非线性薛定谔方程组 i 警+ j 1 可0 2 。j “毗) 帆1 2 州m ( 2 - 6 ) ；警畦等+ s i 鲥咧w + 咖= 。 若讨论k e r r 自聚焦介质，有s i g n ( 他p l ；对于自散焦介质，s i g n ( n 2 ) = 1 。方程中 w j ( 2 = l ，2 ) ，z ，j 分别表示光孤子的归一化振幅，传输距离和横向坐标一般情况下，方 程( 2 - 6 ) 是不可积的，下面我们在特定条件下利用边界条件来讨论方程的解。 2 2 非相干耦合孤子对的解 在不同的边界条件下，非线性薛定谔方程具有亮孤子和暗孤子两种基本类型的解析 解，因此在求解耦合方程组时，根据可能的组合，我们可以得到三种不同类型的耦合孤 子对的解。 2 2 1 亮亮空间孤子对 首先我们来考虑亮亮孤子对的情况，孤子对由两束亮孤子光束构成，总光强在光 束中心处最大，横向无穷远处( x + 士m ) 光强趋于零，在这种情况下，动态演化方程( 2 - 6 ) 式变为 ；警畦等+ 蚶+ 帅= o i 誓畦等州w 肛。 q 。7 现在来寻求( 2 7 ) 式的解。假定归一化的包络和以下面的方法展开【柏】 式中：j 7 是与孤子振幅相关的量；k 是光波传播常数的非线性移动；0 是投影角，反映 两束光波的振幅之比，可为任意值；( x 一舷) 是表示光强分布的归一化实函数， 5 叫嘲咖咖 o o卜心舞 o o 印印扣函 虮 湖北大学硕士学位论文 o 尹1 如果能确定出妒。一k ) ，就获得了方程( 2 - 8 ) 的孤子解，当口三时，得 到的是光孤子对的非对称解，其特征是两孤子具有相同的宽度，但振幅不同；当p = 三 时，得到的是具有相同的宽度、相同振幅光孤子对的对称解。亮亮孤子对的边界条件 为： 矿( x = o ) = 1 矿( x = o ) = o ( 2 9 ) 声( 工一o o ) = o 町o 一蜘) = o 令善= x - k z ，这样( 2 - 7 ) 式变为 。= 2 口一2 r # 3 ( 2 1 0 ) 其中， 口= 国一七2 。”= d 2 d 善2 ( 2 1 1 ) 把( 2 1 0 ) 式积分，同时运用( 2 9 ) 式的边界条件，得到 ( 矿) 2 = 2 a # 2 一叩4 ( 2 - 1 2 ) 口= 里2 ( 2 1 3 )、 对( 2 1 2 ) 式进一步积分可得到 贴) - 2 蒜= s 劬( 两 亿 很容易证明( 2 1 2 ) 式右边大于零，所以亮孤子总是存在的，这样把( 2 1 4 ) 式代入到 ( 2 8 ) 式。得到亮亮孤子对解为 且口= t o 一| | 2 = 材2 为了形象地描述结果，我们用m a t l a b 作图工具绘制出孤子对传输的图像，对于： 6 厶 1 j 1 j z z 缈 国 + + 、，、j 拓 拓 一 一 z 工 l-、 后 七 l pl p p x x e e 1 j 1 j 、，、， 拓 拓 一 一 工 x ，l打打 pl pl h h c c e e s s 口 口 蜀 c s 万打 = | l 矿 y 第二章非相干空间光孤子对的传输 ( 1 ) 非对称的亮亮孤子对p ：三r = 1 七= 0 o l 6 图2 1亮一亮非对称孤子对包络的传输图像 图2 2亮一亮非对称孤子对强度分布曲线 ( 2 ) 对称的亮亮孤子对口= 三，7 = l 七= o o l 7 湖北大学硕士学位论文 图2 - 3 亮一亮对称孤子对包络的传输图像 图2 1 、图2 3 分别描述归一化的非对称、对称亮亮非相干孤子对包络的传输图像。可见， 非对称孤子对的两个孤子具有相同的宽度，但具有不同的振幅，而对称孤子对的两个孤 子的宽度和振幅都相同。图2 2 描述了归一化亮亮非相干孤子对的强度分布理论曲线， 实线、虚线分别对应振幅较大、振幅较小的孤子。由图可看出两孤子均在包络峰值处出 现强度峰值，且强度相对包络峰值中心对称分布。 2 2 2 暗暗空间孤子对 暗暗型空间光孤子对也是耦合方程组( 2 - 6 ) 的解，也能利用与亮亮孤子对相似的 方法来分析对于暗暗孤子对，光强分布相当于在均匀背景中嵌入一暗缺，总光强在 无穷远( x + 蜘) 是一个有限的值。暗培孤子对的包络和演化方程变为 ；警弓警一( 慨1 2 懒i j 2 ) = o t 警专等制2 w 肛。 q j 6 为了获得( 2 - 1 6 ) 式暗一暗孤子对的解，同样我们以( 2 - 8 ) 式展开包络奶和，令 善= 工一舷，将包络和的这种展开形式代入( 2 - 1 6 ) 式得 矽。= 2 a 4 - 2 r 3 ( 2 1 7 ) 其中口= m 一七2 ，妒。= d 2 d 尹。上式满足下面的边界条件： 8 第二章非相干空间光孤子对的传输 妒( 工= o ) = o ( 工 ) = 1 ( 2 一1 8 ) 矿佃o 寸如) = o 将( 2 1 8 ) 式中工寸代入( 2 1 7 ) 式，并使用边界条件矿o 一) = 1 ，得 口= 一卵 ( 2 - 1 9 ) 对( 2 1 7 ) 式积分得 ( 工) = t a n h ( 叩功 ( 2 2 0 ) 把( 2 2 0 ) 式代入( 2 1 7 ) 式即得到暗孤子对的解 矿。= 打c 。s o t a n h 打( 工一舷) e x p i k ( x 一舷) + 国z ：= 万s i n 纰n h 打( x 一乜) e x p i k ( 工吨) + 彩z q 。2 d 这样，这类孤子对能够看作基本暗孤子包络妒o 一垃) 的投影。 。 同样，为了更加清楚的看出此时孤子对的传输特性，我们用与亮孤子类似的方法作 出特定参数情况下暗暗孤子对传输的图像，如图2 - 4 。 图2 - 4 暗一暗孤子对包络的传输图像 ( 0 = 州6 r = l k = o 0 1 ) 图2 5 描述归一化暗暗孤子对的强度随x 变化的理论曲线。 9 湖北大学硕士学位论文 图2 - 5暗一暗孤子对的强度随x 变化的理论曲线 ( 口= 州6 玎= 1 k = o 0 1 ) 2 2 3 旯一晤空l 司孤子对 前面我们研究了同类型的空间光孤子形成的孤子对，最后我们来讨论不同类型的亮 暗耦合孤子对的传播特性。根据亮、暗孤子光束的光场分布特点，孤子对的演化方程 为 ；誓畦警撕1 2 + i ：1 2 阶o t 警畦等州懒i i 2 纠 q 。2 2 耦合方程组( 2 2 2 ) 有稳态的空间非相干亮- 暗孤子对解，将归一化包络奶和下 面的形式展开： y 。= _ c o s 口死( 工一k z ) e x p i k ( x - 妇) + 国z ：打s i n 口矿：( 工一乜) e x p i l k ( j 一舷) + 彩z ( 2 - 2 3 ) 其中藕( 工一b ) 表示亮光束包络，而也卜一乜) 表示暗光束包络。因此， 磊( 工= o ) = l 磊。( z = o ) = o 磊( x 专蛔) = o 且 破o ( 工一蛔) = o 1 0 晚( 了= o ) = o 欢( 工专o o ) = 1( 2 2 4 ) 晚“( 工寸蛔) = o 笙三兰j ! 塑王至旦堂翌王翌堕生塑 我们直接把归一化包络和的这种形式代入( 2 - 2 2 ) 式并令f = z 一垃，得到下面的 结果： 衍= 2 口矽一2 刁矿3 ( 2 2 5 ) 旌= 2 0 r # + 2 r 口1 3 ( 2 2 6 ) 其中口= 国一k 2 ，= d 2 # , d e 2 0 = l ，2 ) ，在特别的条件办( 工一舷) + 唬( 石一b ) = l 下， 我们寻找( 2 2 5 ) 和( 2 - 2 6 ) 式的特解，积分上两式并利用边界条件得到 ( 爿) 2 = 2 口2 一刁矿( 2 - 2 7 ) 口= 罟 ( 2 2 8 ) ( 旌) 2 = 一2 a # 2 + 玎矿4 ( 2 - 2 9 ) 口2 一r ( 2 。3 0 ) 积分( 2 2 7 ) 和( 2 2 9 ) 式得、 确( 工) = s c c h ( 刁工) ( 2 - 3 1 ) 唬( 工) = t a nh ( 军工) ( 2 3 2 ) 这样，( 2 2 2 ) 式的近似孤子对的解为 。= 打c o s o s e c h x 厉( 工一k z ) e x p i k ( 石一乜) + m z 矿：万。i n 秒t a | 血 万( x 一舷) e x p i 七( x 一乜) + 国z ( 2 - 3 3 ) 上面的公式清楚地表明：在特定的条件确( 工一舷) + 唬( x - h ) = l 下，即把两孤子看成一个 矢量孤子的两个分量孤子，方程( 2 - 2 2 ) 具有稳定的亮- 暗孤子对解。此时孤子对的传输 图像参见下图： 湖北大学硕士学位论文 图2 - 6亮一暗孤子对包络的传输图像 ( 0 = 州4 刁= 1 k = 0 0 1 ) 归一化亮暗孤子对的强度随x 变化的理论曲线如图2 7 所示，实线、虚线分别表示的是亮、 暗两孤子的强度，由图可以看出在前面采用的条件下，两孤子的强度之和处处相等即守 恒，这符合矢量孤子的两分量孤子的特征。 第三章非相干空间光孤子对的相互作用 第三章非相干空间光孤子对的相互作用 随着人们对空间光孤子研究的深入，发现当介质中传输的两束自陷光( 即空间光孤 子) 有部分交叠时，光束间会产生相互作用。空间光孤子问的相互作用在信号处理及全 光开关方面有重要应用，因此受到了广泛的关注【4 h 刀。两非相干空间光孤子问的相互 作用是非相干的。1 9 9 6 年，s h i h 等【椰1 对非相干孤子碰撞过程进行了实验观测，发现若 两个光孤子之间互不相干或是其位相差之涨落远快于介质的响应，那么它们之间无干涉 效应，中央重叠区的光强只能简单地叠加，结果两个互不相干的光孤子总是相互吸引。然 而，1 9 9 8 年k r o l i k o w s l 【i 等发现了介质中非相干孤子的反常相互作用，即两非相干孤子 可以相互吸引，也可以相互排斥，随后的理论和实验都表明非相干孤子间存在反常相互 作用。在这一章中，我们将借助k e r r 型的平板波导非线性介质，利用变分法研究三类 空间非相干耦合孤子对的相互作用，讨论它们各自相应的相互作用特性以及相互作用对 孤子传输的影响。 3 1 亮亮非相干空间光孤子对的相互作用 在k e r r 型的平板波导非线性介质中，孤子对的传输可以由以下非线性薛定谔方程来 表达 i 等畦等+ s i 毗m 竹= 。 ( 川，2 ) ( 3 - 1 ) 其中，s i g n ( n 2 ) = - ) - 1 分别对应k e r r 自聚焦和自散焦介质；z ，j 分别表示归一化孤子的传输 距离和横向坐标；1 缈l 表示波函数缈，的模。当介质中传输的两个孤子相距较近时，孤子 问存在相互作用，它们的波函数可以表示为= + ，对于非相干的空间光孤子对， 孤子间的相互作用仅仅通过强度i 引的叠加来实现，所以可以得到以下耦合方程： i 警磅警划洲2 州肿。 b 2 ， i 警+ j 1 鼍争埘印魄) ( m 1 2 + k 1 2 慨= o 一般情况下，方程是不可积的【舡5 2 1 ，因此很难得到严格精确的解析解。下面我们利用近 似的方法变分法【鲥1 ，通过研究孤子各个参数的演化来讨论孤子对的相互作用特性。 湖北大学硕士学位论文 3 1 1c n l s 方程组的变分描述 不考虑损耗，平板波导中非相干的亮亮空问孤子对的传输由本文第二章的方程 ( 2 7 ) 描述。为了讨论孤子对的相互作用特性。我们取尝试解删 篡三裂s e c h 吣, 是( x ：a 涮篙篇a 州， ， = 珑一2 ) 】e x p 【i 岛( 工一2 ) + i 】 。 其中r 、a 、k 、分别为两孤子的归一化振幅、中心距离、传播速度和相对相位，它们 都是传输距离z 的函数。为便于分析，考虑对称传输的两孤子； 2 r h 2 玎 i = 一2 = 2 ( 3 - 4 ) 毛= 一岛= k 上式来自工轴反演下方程( 2 - 7 ) 的不变性。 方程( 2 - 7 ) 所描述的系统的拉格朗日密度可以表示为 l = 厶+ 厶+ 厶2 ( 3 5 ) 7 i , i a v i 一* i o y t 一引刮2 咖i 厶7 i i 8 y z 一等旷割剖2 + 狮。，石， 厶：= 川2 l 1 2 这里厶：为相互作用的拉氏密度，其正确性可以通过由变分原理艿e 触= o 导出方程 ( 2 7 ) 而获得验证 定义平均拉格朗日密度 犯 = f l d x 结合( 3 3 ) ( 3 - 6 ) 式，计算得 ( ) = 2 r k 矿吾r 3 - 2 r k 2 - 2 r q ： 砌4 ( 器睁t a n h ( 叩a ) 计算积分时用到了下面用留数定理得到的公式 ( 3 7 ) ( 3 8 ) 第三章非相干空间光孤子对的相互作用 出= 4 【。讪h _ - a 士) c ，母， 利用约化的变分原理万j 扛 出= o 可导出孤子参数演化的变分方程 等一盟a y , 旦d z ( 耥d ( a r 出 _ o 蚴 以 1) j d w 其中y j 表示r 、k 、等参数。 将( 3 8 ) 式代入( 3 1 0 ) 式可以得到孤子参数孙、七、妒随传输距离z 变化的演化方 由警= o 缛 由警= o 得 由等嘲 盟： dz 6 ，7 2 s i n h2 ( 7 7 ) d 七 d z2 号+ 叩2 r 1 7 a 瓦丽 蒜t 3 c o s h c 叩，一蹿三二- 赭 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 3 1 2 亮亮孤子对的相互作用特性 1 ) 式( 3 1 1 ) 表明两孤子的归一化振幅在传播过程中不变。从式( 3 1 4 ) 可以看出， 一 m 得 0 = 纨犯一髟 程 由 o = 卸石 + + 湖北大学硕士学位论文 两孤子的初始相对相位随传输距离z 的变化率掣同时受到振幅和非相干相互作用 n z 项的影响，如图3 1 所示相位随传输距离的变化率在a 1 2 时趋于零，这说明两孤子靠得越近，相互作 用对相位的影响就越大。从图3 - 1 同时可以看出随归一化振幅刁的增大，相位变化 剧烈程度也增大。 3 劫 卸 薯，5 0 口 1 5 0 0 00 20 40 60 ，e1 2 1 416 b 2 图3 - id a z 随a 的变化曲线 ( 其中a , b , c 三条曲线分别表示卵= l ，1 5 , 2 时的变化曲线) j i 【西o a ) + 【，( ) = o ( 3 - 1 5 ) 一2 张盖黟一( 删】 一2 矿s c l n h o s h ，( 1 r 私a ) ) 【社t a n h ( r a ) 、 “ 1 6 第三章非相干空间光孤子对的相互作用 f ：= a u ( a ) 铆 咤铲附蝴小赤 。1 7 图3 - 2f 随的变化曲线 ( 其中a , b 两条曲线分别表示玎= l ，2 时的变化曲线) 如图3 - 2 所示，f 的绝对值先增大后减小，并且当，7 = l 时，在* l 时达到最大值，表 明此时它们之间的吸引力最强，这时的孤子问的相对距离是一个临界值，当继续增大， 相互作用减弱，当 5 时，两孤子会互不干扰的独立传输。从图3 2 同时可以看出随归 一化振幅玎的增大，相互作用力随相对距离变化的剧烈程度增大，临界相对距离的值减 小，这说明增大孤子入射强度的会使孤子问的相互作用增大。 3 2 暗暗非相干空间光孤子对的相互作用 3 2 1c n l s 方程组的变分求解 暗暗非相干空间孤子对在k e r r 自散焦介质中传输时，孤子对的传输特性由耦合方 程组( 2 1 6 ) 描述，用变分法求解方程，取方程的尝试解为【驯 i = r it a l l h 【巩( 工一a 1 ) c x p i k l ( x a i ) + i 旃】 y 2 ：仉t a l 山【仍o 一：) 】e x p 【i 屯o 一：) + i 珐】 3 - 1 8 这里不作式( 3 - 4 ) 的两孤子对称传输的假设，而进行更一般性的讨论。形式上，系统 1 7 湖北大学硕士学位论文 的拉格朗日密度可以表示为( 3 5 ) 式，但是由于方程( 2 1 6 ) 与( 2 - 7 ) 不同，其中 厶= 喜c 警一誓 厶= 圭c 誓以一警蚴毛 厶：= 蚶叫2 一却4 i 剖2 书i 其正确性可以通过由变分原理万j i 上触= o 导出方程( 2 - 1 6 ) 而获得验证。 去掉背景拉氏密度，由( ) = j 髓x 计算得到系统的平均拉氏密度为 ( 上) 卅碣f 盘堕d z 一盟d z ) + 仇1 r 1 2 + 毛2 ) 嘲f 毛尘d z 一警) + 珑1 1 2 2 + 岛2 ) + 2 r , r h ( r , + 仉) 吲刮糍群一而瓣1 由此x 1 4 孤子参数演化方程组 堕：o 竺：七： d z d o , ) = 却。2 仉2 d i ( 2 一a i ) c o s h r 2 ( a 2 一a 。) 】 1 一【 a a ，ls i n h 3 魄( a 2 - a 。) 】砩s i n h 2 i 2 ( a ：- a , ) i j - ( 兽= j 1 ( _ + 矿) + 南k 咤端畿产一 1 8 豇 ，7 is i n h 2 【玎2 ( a 2 一a ( ，= l ，2 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 第三章非相干空间光孤子对的相互作用 3 2 2 晤一晤傩干珂耵午h 皇作用待任 1 ) 由( 3 - 2 1 ) 式可以看出，两孤子幅值保持不变。由( 3 - 2 2 ) 式和( 3 - 2 3 ) 式可得到关 于两孤子相对间距( a - - a l - a ：) 的运动方程 石d 2 a 屯( 碣训碣仍ia 。i 1 1 l i c o s h ( r 2 ) a 一南 - o ( 3 2 5 ) 从而得到空间光孤子对之间由于非相干耦合而引起的势函数 ) = - 2 ( r i + r 2 ) 仉堤i s i a c 州o s h ( 酬r 2 a ) 。一南 ( 3 _ 2 6 ) 图3 - 3 u 随的变化曲线( ，7 = 1 ) 从图可见势函数为负值，即两孤子问是相互吸引的。 q 图3 - 4u 随叩的变化曲线( a = 1 ) 1 9 湖北大学硕士学位论文 2 ) 由( 3 - 2 4 ) 式可见，当两孤子的相对相位随传输距离的变化率皇! 兰型为常数或与 q z 孤子的间距无关时，非相干作用势函数【，( ) 与孤子的相对相位无关。 3 ) 图3 3 为两孤子的相互作用势随两孤子间距的变化曲线，由图可以看出随着孤子间 距的增大，孤子问的相互作用势迅速减小，且当孤子间距大于5 时，相互作用可以 忽略。 4 ) 图3 4 为相互作用势随孤子入射幅值的变化曲线，当孤子的入射幅值增大时，相互作 用势函数先增大后减小。 3 3 亮暗非相干空间光孤子对的相互作用 3 3 1c n l s 方程组的变分求解 描述亮暗空间光孤子对的耦合非线性薛定谔方程为( 2 2 2 ) 式，同样我们采用变分 法来研究孤子问的相互作用，取方程( 2 - 2 2 ) 的尝试解为 妒- 2 1 7 1 s e c ：h 7 1 ( x - a ) e x p i k , ( x - - ) + i 哆】， ( 3 2 7 ) 2 = r 2 t a n h r 2 ( x 一2 ) c x p i k 2 ( x a 2 ) + i 丸】 “ 、分别对应亮、暗孤子的波函数，各参数的物理意义与上节相同。 相应方程( 2 2 2 ) 所描述系统的拉格朗日密度可以表示为 三2 厶+ 厶+ 上1 2 ( 3 - 2 8 ) 其中 厶= 圭c 铷一等驴剖斟咖1 4 厶= i i 。i 0 v 2 。i 0 吵2 ) 一土2 1 f 盟a 舅l 一坩( 3 2 9 ) 厶：= 2 i | z 其正确性可以通过由变分原理万i i l d z d x = 0 导出方程( 2 - 2 2 ) 而获得验证。 根据( 3 2 7 ) - ( 3 - 2 9 ) 式，由( ) = 出计算得到系统的平均拉氏密度为 第三章非相干空间光孤子对的相互作用 ( 咖2 b 鲁一兽) + 仍( 毛2 ) 嘞( ，专_ ：卦螗蟛 ，。， 毪瓮粼一两lsinh a-a 怜_ ，- )i 仉3 碣( ：。) 】s i n h 2 【玩( 2 一) 】j 在上式的计算中去掉了无穷大积分项，即去掉了背景拉氏密度，并且利用了留数定理得 到的公式： ! 赢1 h ；( h _ 口) d r 一【6 c 。o i n h s h ，a ：一面1 万) ( 3 - s 。 公式( 3 3 1 ) 在6 = 堡z l 才成立。 砚 把( 3 3 0 ) 式代入( 3 1 0 ) 式，利用约化的变分原理，可导出孤子参数演化的8 个方程， 由警= 。得 由警= o 得 兰( 2 碣) = o 五d ( 2 砚) = o ( 3 3 2 ) 兰( 2 柏) = 嘲击 毪觜一7 1s i n h 2 j ( a 2 - - a i ) t 。m 。 芸( 2 叩2 岛) = 吲磋x 云 毪瓮拦铲一丽1) 。锄 由警= o 得 2 1 湖北大学硕士学位论文 d 。z ( 3 3 4 ) 坠一l ：0 “ 由警= ，并将( 3 3 4 ) 式代入得 一盟+ 互+ 壁+ 者：旦。 d z22 “ d 臻 h 粼一南 ) 。3 5 。 訾+ 手一譬嘲仍= 击 h 觜一南 ) 。3 3 3 2 亮暗孤子对的相互作用特性 由( 3 3 2 ) 式可以看出，两孤子幅值保持不变。由( 3 3 3 ) 和( 3 3 4 ) 式，可得 参= 嘲谚 d ：一，) c o s h 【仉( ：一。) 】 l 1 3 - 3 6 8 a a l1r 2s i n h 3 r i ( 2 - a 1 ) 】 r is i n h 2 r i ( a 2 一1 ) 】j 可d 2 a 2 = - 2 r , r ； d f 确( ：一) c o s h ( ：一) 】 1 1 3 - 3 6 b d 21 r 2s i n h l 刁i ( a 2 一a 1 ) 】 仇s i n h 2 叩l ( a 2 一i ) 】j 由上式可以得到关于孤子间距= l - a 2 的运动方程 4 ( 仍训玩珑 r , a c 址o s h m ( r , 万、) 一南) _ o 海s 7 ) 从而可得亮暗孤子对由于相互作用而引起的势函数 吣) “( 玩+ 7 7 2 ) 吼一叩巩, a 。c i n h o s h ( r i 万a ) 一南 ( 3 ，s ) 第三章非相干空间光孤子对的相互作用 图3 - 5u 随和r 的变化曲线 仍2 仉2 ，7 图3 - 5 是相互作用势随孤子间距和入射振幅的变