（计算数学专业论文）二次矩阵方程及相应特征值问题.pdf

二次矩阵方程及相应特征值问题 摘要 本文考虑二次矩阵方程的两种基本形式：q ( x ) = a x 2 + b x + g = 0 和y + u y 。a + b ：0 。用函数迭代法和连续消去法研究了当a 、b 、a 满足块对角 占优条件忪。删_ 一旧。酬 0 ，b 为非奇m 一矩阵h 寸，最大解的逆小于零，最小解小于零。最后通 过数值实例，验证了理论的正确性，并对几种算法在精度、时间上进行了比较。 关键词：二次特征值；过阻尼条件；块对角占优；m 一矩阵；非负矩阵；最大 毹和最小解。 t h eq u a d r a t i cm a t r i xe q u a t i o na n di t sc o r r e s p o n d i n g q u a d r a t i ce i g e n v a l u ep r o b l e m a b s i 、r a c7 i i nt h ep r e s e n t p a p e r ，w es t u d yt w ok i n d so fq u a d r a t i cm a t r i xe q u a t i o n s ：q ( x ) = 4 x 24 - b x + c = 0a n dy + c y 一1 a + b = 0 b yf im e t h o da n dc em e t h o dw e d i s c u s st h ep r o p e r t i e so ft h es o l v e n to ft h ee q u a t i o n ：y + c y 一1 a4 - b = 0w h e na b a n dcs a t i s f y i b _ 1 al + i i b _ 1 c l 】 0 ，bj s am m a t r i x ，t h e nt h ei n v e r s eo fm a x i m a ls o l v e n ti s l e s s t h a nz e r om a t r i x ，a n dt h em i n i m a ls o l v e n ti s l e s st h a nz e r om a t r i x i nt h el a s tw eg i v e s e v e r a le x a m p l e st ov a l i d a t et h et h e o r i e sa n dc o m p a r et h et i m ea n dp r e c i s i o no fs e v e r a l a l g o r i t h m s ， k e y w o r d s ：q u a d r a t i ce i g e n v a l u ep r o b l e m ；o v e r d a m p i n gc o n d i t i o n ；b l o c kd i a g o n a l l yd o m i n a n t ；m m a t r i x ；n o n e g a t i v em a t r i x ；m a x i m a la n dm i n i m a ls o l v e n t s 第一章背景介绍 1 1问题的引出 2 0 0 0 年6 月的一天，伦敦泰晤士河上的千年步行桥开通了，当成千上万的人 们走在上面时，桥突然开始摆动起来，两天以后，桥被关闭了，而这与我们所讨论 的二次矩阵方程及相应的二次特征值问题有什么关系呢? 要回答这个问题，先要介 绍一下振荡结构系统的知识。当建筑物受到接近其固有频率的外力作用的时候，建 筑物开始变得不稳定，这就是共振现象。千年步行桥的外力是由步行者的运动产生 的。在开放的当天，许多人在桥上随机的走，当他们相互更加同步时，桥振动的越 厉害。后来关于桥的实验表明：桥的固有频率为二次特征值问题的解。 在q b d 马尔科夫链的数值求解中【1 3 】，l a t o u c h e 和 r , a m a s w a m i 运用了三个 重要的矩阵g 、r 和u 满足： g = a 2 + a l g 十a o g 2 r = a o + r a l 十r 2 a 2 u a l 十a o ( 1 一u ) 一1 a 2 三个等式分别是关于g 、i t 、u 的二次矩阵方程。且g 、r 、v 备有如下的概 率解释： g 表示马氏链从初始状态( 1 ，i ) 出发并最终到达第0 层状态( 0 ，j ) 的概率。 忌，表示马氏链初始状态为( 0 ，i ) 并且在返回到第。层之前到达状态( 1 ，j ) 的 期望次数。 - ，表示t a b o o 概率，马氏链从状态( 1 ，。) 出发，最终返回到第1 层并且到达 状态( 1 ，j ) ，期间系统不会到达第0 层中的任何状态，同时也不会到达第l 层中 的其他状态。 并且三个矩阵相互之间有下面的关系： g = ( j 一矿) a 2 兄= a o ( i u 1 1 u = a 1 + a o g = a t + r a 2 由上式，如果矩阵g 、r 、u 中知道其中任何一个矩阵，则其他两个矩阵就可以 计算出来。因此，求解二次矩阵方程就成为主要的任务。 在机械振荡领域，考虑如下的二阶微分方程： m j ( t ) + c o ( t ) + k q ( t ) = f ( t ) 这里，mc ，k 为n n 矩阵，q ( t ) ，f ( t ) 为n 阶向量。下面来说明微分方程的解可 以用相应的二次矩阵多项式的特征值来表示 4 。简单讨论当n = 1 ，= 0 时齐次方 程解的情况，因为m 0 ，所以方程化为： u = 螽， = i 彘，在工程上u 称为固有频率，( 称为粘性阻尼因子，齐次方程的 一般解为： 这里a l ，2 = ( 一 p ) ，d 0 。更详细的内容可参考f 1 0 1 。 二次矩阵方程解存在的充要条件及解的性质现在还不是很明确，仍是一个需要 继续研究的课题。在振荡结构系统中，a ，b ，c 均为对称矩阵，且a ，b 正定，c 半正定，l a n c a s t e r 8 证明了当矩阵a ，_ b ，e 满足如下的过阻尼条件( o v e r d a m p i n g c o n d i t i o n ) ： ( 2 ：t 口口) 2 4 ( z r a x ) ( 。t c x ) ，vz 0 4 二次矩阵方程( 1 2 2 ) 存在最大解和最小解，且二次特征值均为负实数且分成两部 分：主特征值( p r i m a r ye i g e n v a l u e ) 和次特征值( s e c o n d a r ye i g e n v a l u e ) ，此两部分之 间有一个间隔( g a p ) 。 bm e i r l i 利用循环消去法( c rm e t h o d ) 研究了方程( 1 24 ) 的特殊形式： y a w x 一1 a ：q ，q 为h e r m i t i a n 正定矩阵，并给出了正定解存在的充要条件： r ( q 一；a q 一) ；，r 表示数值秩。 苏f 1 1 利用循环消去法研究了方程( 1 2 4 ) ，给出了收敛性的充分条件： i l b _ 4 l b 一1 g i l 本文是在此基础上的继续，主要目的是：对于一般的矩阵a ，b ，g ，证明当下面的 块对角占优条件： l l b 一1 a l l + n b 一1 g 1 1 1 满足时，二次矩阵方程( 1 22 ) 也有最大解和最小解。所用方法与l a n c a s t e r 8 中的 方法不同：我们采用构造性的方法找出了矩阵方程( 1 2 2 ) 的最大解和最小解；并用 函数迭代法及连续消去法探讨了解的性质。同时，由二次矩阵方程与相应的二次特 征值问题之间的紧密联系，探讨了二次特征值问题解的性质。本文给出的块对角占 优条件与苏 1 给出的循环约化法收敛条件：归一1 刮 l b 。g j l a n 十l l ， 且对应于 a 。) 娶l 和 a 州2 ：n 。+ 。有两组线性无关的特征向量， u 1 ，v 2 ，- ，”。 和【+ h ，v 2 。 则q ( x ) 存在最大最小解。 1 2 证明：令1 一h ，一， 。 ，0 3 2 = h + 1 ，u ”2 ，”2 。 。由于姚、u 2 非奇异，定 义： s 1 = w l d i a g ( h l ，a 2 ，- ，a n ) u f l ，岛= w 2 d i a g ( h n 十1 ，a 。+ 2 ， 2 n ) u i l 易验证，研为q ( x ) 的最大解，函为q ( x ) 的最小解。 引理5 若二次矩阵方程门2 别有解五且 、”分别为x 的特征值及对应的特征 向量，则a 为二次矩阵多项式r 2 副的特征值。 对于单个矩阵，不同的特征值对应不同的特征向量，但是对于二次矩阵多项式 q ( ) 则不同，并有下面的结论。 定理6 若 1 ， 2 为阻2 - 副的不同的特征值，但它们对应相同的特征向量u ，则 1 4 - 2 为a a + b 的广义特征值， 为其对应的广义特征向量。进一步，若a 】、a 2 均不 为零，则六+ 击为a e 十b 的广义特征值，w 为其对应的广义特征向量。 证明：简单计算即得 考察如下的方程： q c x ，= x 2 + ( i 1 ：) x + ( ! 。：i ) 其特征值分别为- ，z 丑a 对应的特征向量分别为： ( ：) ，( ：) ，( ：) ，( ：) 特征值3 与4 有相同的特征向量，而3 + 4 ：7 为 ，+ f 一1 61 的广义特征值。 2一g 同时；+ ；= 矗为- 0 一。：) + ( i 1 一- 。6 ) 的广义特征值，向量( ：) 为对 应的特征向量。 对二次特征值问题求解，一种方法是求二次矩阵方程( 12 2 ) 的解x ，利用引 理5 ，x 的特征值即是二次矩阵多项式( 1 25 ) 的特征值；另一种是线性化方法， 即把二次问题化为广义特征值问题来解。对方程： 令g = 蛔，则方程化为 ( a 2 a + ) l 日+ g ) z = 0 ( ! g 一三) ( i ) = ( ：；) ( i ) 于是问题化为求解( 0 一e 一三) 一x ( ：) 的广义特征值问题。求解广义特征 值问题则有许多方法。 2 4主要结果 定理7 对方程c y _ 1 a + y + b = 0 ，如果满足l i b 一1 刮+ 旧1 硎 1 则函数迭代 法收敛。设y 为k 的极限，则y 为方程的解，且成立f f y - 1 a r l l 。 证明：由条件得到l i b - 1 al i 2 或【b 一1 圳 1 2 成立，若怕一1 e l 1 2 成立， 由函数迭代法，对vk n ，通过归纳可得： 故有 】0 1 a 1 1 ( i + b 一1 g l f l 直) 一1 i _ b 一1 a 崾：型 一l i l b 一1 v i l l i y f l ae i 1 b “( y k + 1 瑞圳= 郴 一 一b 。g 百1 a ) 一1 1 幅i 研 s 端峭钏( 圪坼t ) se l l b _ 1 ( k k 1 ) 其中。= 龋 1 ，所以k 线性收敛。另一；b - i g ，若| l b 一1 a l l 1 2 ，由c e 方法，同样可以证明l l b i l 训 l 及r i c k + | | 茎 1 0 k l l l l b ；- 1 圳曼i i c k l l ，这表明i l v k l l 有 界。 由于 故有 b 矗l a k + 1 = ( b a b k c ) 一1 a b 1 a k = ( 一b 一1 a b 1 g ) 一1 _ b1 a b 1 a k b 乏1 a k + l o l l b f l a k 其中a = 躺 1 。因此l k + 一坛 i 曼a | | 瓯m 一翰| | ，这意味着k 线性收 敛，并且得到i l y 一1 a l l = 。里l i 吼a | | 躺 0 , b 为协矩阵，且满足块对角占优条件，则矩阵方程q ( x ) 最大解逆非正，轰小解非 正。 证明：由方程a y _ 1 c + y + b = 0 ，a 0 ，c 0 ，b 为m 矩阵和函数迭代法知： 珩1 c = 一b 一1 c 0 得 由归纳法，对女l j + b - 1 a y e - 1 c 为m 矩阵 k 一1 c = 一( ，十b 一1 a y f l g ) 一1 b 1 c 0 所以 a - 1 y 为逆正矩阵，又a 。y 为方程a x 2 + b x + c = 0 的最大解 15 定理l o 设矩阵多项式q ( a ) = 舻a + b + c 满足：旧- 1 a + l i b “c l ，且a 非 奇异，则q ( a ) 的特征值分成两部分：矩阵方程r 2 纠的最大解的n 个特征值( 在 单位圆外) i 最小解的n 个特征值( 在单位圆内) 。 证明：由定理8 ，方程q ( x ) = a x 2 + b x + c = 0 有两个解：x l 和恐。其中 x 。的特征值的模均小于l ；x z 的特征值的模均大于l 。由引理5 ，矩阵多项式 q ( a ) = 2 a + a b + c 的特征值即为对应于x l 、x 2 的特征值。 1 6 第三章数值实例 下面，用数学软件m a t l a b6l ，当a t 3 ，c 取不同的情况时，用f i ，c e 方法求 解矩阵方程( 1 2 2 ) ：q ( x ) = a x 2 + b x + g = 0 ，以实例验证了理论的正确性， 并比较了多种算法，通过算法的比较，我们得出利用方程( 1 2 3 ) 和( 124 ) 求解方程 ( 1 2 2 ) 的有效性、可行性 例1 当4 ，由，g 满足定理8 的条件时，验证方程( 1 22 ) 存在最大解和晟小解。 b = i 满足 x l - 0 0 9 9 2- 00 1 7 400 5 4 5- 00 2 3 7 - 00 0 9 10 0 0 6 5 - 01 3 9 6- 00 5 0 5- 01 0 5 0 - 02 3 8 7- 00 7 9 2- 0 0 4 2 7 - 0 0 1 3 9 一o0 0 9 200 0 4 2o0 1 5 4 0 1 1 9 0 - 0 0 5 4 0 - 0 0 0 7 601 7 8 4- 0 0 7 2 901 8 5 1- 0 1 4 3 40 0 4 3 1 00 5 6 4- 0 0 7 0 50 0 6 2 201 1 8 3 0 0 3 3 60 0 8 4 6 - 0 0 6 9 2- 0 1 5 6 500 6 4 201 8 3 6 - 0 0 4 9 90 ，2 4 5 4 - 0 1 5 7 70 1 8 0 50 1 3 2 40 0 6 4 0 - 0 0 3 7 30 0 1 3 2 - 011 8 8o0 8 2 2- 0 0 2 4 501 2 7 801 4 3 70 0 4 4 1 0 1 2 0 60 ，2 2 7 40 1 3 8 300 t o o- 0 0 7 3 301 0 9 7 一d 0 4 5 30 0 5 8 6- 0 1 2 9 7 - 0 2 3 2 9 - 02 7 0 2 0 2 4 6 4 01 6 0 50 2 1 6 60 0 7 3 80 0 5 7 301 4 3 1 一o 0 7 4 9 o 0 3 6 7- 0 0 3 9 5- 0 0 6 9 90 0 5 3 70 1 2 2 70 0 8 1 8 l + i i c l l = o 9 8 0 1 l 由算法求得方程的最大解为： 8 4 1 3 94 4 3 7 9- 3 1 0 3 92 。4 0 3 346 6 9 3 1 8 7 0 6 - 0 6 1 0 46 0 6 0 42 1 9 1 lo5 5 3 81 0 7 5 1 3 1 7 0 6 6 - 4 8 3 4 98 6 7 2 3- 4 6 5 0 33 0 1 9 380 4 5 0- 2 3 5 0 9 2 4 1 1 93 0 5 9 60 4 1 9 525 0 8 580 2 4 4 2 3 3 5 9 一1 4 9 3 610 3 2 37 0 0 9 81 1 1 4 616 7 3 01 8 6 2 7 12 0 2 8 04 1 3 i3 4 9 3 7一l9 2 5 5 一o 2 1 9 5 29 6 6 3 其特征值全部在单位圆的外部，为： 9 4 7 6 8 十3 0 0 0 2 i 、9 4 7 6 8 3 0 0 0 2 i ，一l6 0 9 9 十36 9 5 3 i l6 0 9 9 3 6 9 5 3 i 一82 3 6 1 一4 8 2 1 6 最小解： 1 7 x 2 0 1 5 8 6 一0 1 9 0 9 0 1 3 3 5一o0 6 7 30 0 4 1 700 1 3 6 01 2 4 001 0 5 70 ( 1 2 8 10 1 2 7 60 1 1 2 100 2 2 4 o1 1 9 3一o2 2 9 101 3 5 2o0 1 4 50 0 7 7 101 0 6 6 00 4 5 0- 00 4 0 50 1 2 3 702 2 1 50 2 5 8 002 3 4 9 01 5 9 20 2 0 6 8 一o0 7 2 100 5 8 00 1 3 3 400 6 7 0 00 2 2 60 0 1 2 600 8 0 600 4 4 8- 0 0 9 1 001 0 4 2 其特征值全部在单位圆的内部，为： 一o 2 5 5 0 、0 0 0 4 8 + o 2 1 9 4 i 00 0 4 8 一o2 1 9 4 i 02 2 2 8 + 01 6 1 5 i 0 2 2 2 8 0 1 6 1 5 i 0 1 7 6 6 算法比较 算法 f p ib e r n o u l l if ii f f ic r 误差( ”怯) 4 1 6 6 6 e 一0 1 21 5 3 2 6 e 0 1 277 1 2 4 e 。0 0 81 0 8 7 2 e 一0 1 4 时间( s ) 0 0 1 0 00 0 1 0 0 57 2 9 00 0 1 0 0 迭带步数 1 ll o 5 0 0 2 54 例2 当a ，b ，c 满足定理9 的条件时 b c = 75 0 6 20 9 2 1 8 一o 0 1 3 4 验证其最大解的逆小于零 0 1 2 3 8 - 07 6 2 7 一o 5 1 0 4 06 1 3 47 6 0 5 6- 00 0 4 600 9 6 1- 00 7 1 4o3 4 5 0 0 3 7 4 1- 0 6 6 2 37 0 1 2 2一o 5 5 1 5- 07 1 8 2 0 0 8 4 8 0 1 9 8 3 05 4 0 1 08 1 1 879 9 3 5- 01 4 0 4 一o 2 5 5 8 0 8 9 5 1 0 2 1 ll 一0 7 7 0 4 - 0 1 2 5 77 3 8 4 3 一o5 2 5 6 o 9 8 6 80 3 0 5 3 - 0 9 0 3 3- 0 0 5 5 8- 04 7 1 578 5 9 5 00 8 2 00 2 1 1 40 1 4 6 50 2 7 1 90 2 5 9 702 3 7 6 o 1 5 4 00 0 1 3 2o 1 2 2 0 0 0 8 2 60 1 7 3 90 2 2 3 0 0 0 9 1 30 1 7 9 202 3 3 602 2 5 00 0 0 3 502 3 6 8 0 0 5 3 10 0 9 7 902 6 0 202 1 2 60 0 6 9 601 9 9 4 0 2 2 7 7 0 1 7 0 601 5 0 002 6 7 20 0 3 6 101 8 2 6 0 2 3 6 50 2 6 6 80 1 1 3 900 3 1 00 2 5 7 401 0 7 6 00 6 8 30 0 1 6 30 1 5 5 20 2 0 9 402 8 0 90 2 6 7 4 00 9 2 60 2 6 1 80 2 6 2 60 1 7 3 700 0 3 70 0 2 2 7 01 6 2 101 8 6 30 1 6 5 602 7 4 40 0 1 6 30 1 0 4 4 0 1 3 4 70 0 2 2 80 2 3 4 20 1 6 4 70 1 6 8 80 1 1 4 5 02 3 6 401 6 7 10 3 3 1 70 2 4 6 30 0 9 8 20 2 7 5 0 0 1 0 8 20 2 8 1 50 1 1 8 90 2 3 9 20 0 0 4 60 0 0 1 5 最小解小于零。 为m 一矩阵 为非负矩阵 为非负矩阵 满足条件：l l b _ 1 圳+ j 【b 。c l i = 0 3 7 6 3 l 。由算法求得方程的最大解为 x l 2 5 6 8 0 0 8 3 2 9 0 2 53 6 1 6 一1 95 0 2 6 一1 65 2 3 5 8 1 7 6 7 1 4 3 7 1 9 2 39 3 2 8 1 03 2 0 7 1 6 9 2 1 8 一l9 5 2 6 3 59 0 2 3 2 3 6 5 4 8 4 05 6 3 2 2 89 2 1 2 3 66 9 7 6 3 6 7 3 2 0 7 18 4 8 9 3 9 7 3 2 3 42 7 8 9 7 04 9 2 3 2 14 0 2 9 2 6 3 5 7 3 6 8 3 1 5 8 其特征值全在单位圆外部，为： - 3 92 0 1 3 十3 8 9 1 1 4 i ，3 9 2 0 1 3 3 89 1 1 4 ，一52 8 5 1 6 8 3 8 1 6 ，4 0 9 9 2 3 ，4 9 0 0 0 3 f x 1 ) 一1 = 最小解 x 2 0 0 2 1 7 0 0 2 4 9 0 0 2 2 9 0 0 1 3 7 00 4 0 6 00 3 9 4 00 1 8 0 一00 1 5 9 00 3 2 5 0 0 2 3 6 一o 0 4 0 7 - 00 2 3 6 0 0 3 7 1 0 0 0 8 0 0 0 3 4 8 00 2 0 0 0 0 3 6 1 0 0 4 5 7 0 0 1 4 6 00 3 8 8 0 0 3 6 6 0 0 1 2 2 0 0 3 3 5 0 0 4 6 2 0 0 2 8 9 0 0 2 1 1 00 4 4 6 0 0 4 1 3 0 0 3 2 8 0 0 2 6 9 一o0 3 5 6 00 4 0 6 一o0 3 9 8 0 0 3 9 8 一o 0 5 8 4 - 0 0 3 0 5 0 0 4 6 3 o0 1 7 1 00 4 5 2 0 0 3 5 7 00 5 0 2 o 0 1 9 4 0 0 4 1 7 0 0 3 0 1 00 5 3 4 - 0 0 3 2 3 00 4 9 8 一o 0 4 7 2 是小于零的矩阵，其特征值全在单位圆内部， 一0 1 7 8 400 1 3 2 + 00 1 1 4 i 00 1 3 2 00 1 1 4 i ： 00 1 2 1 一0 0 1 1 2 + 00 0 8 7 i 一00 1 1 2 0 0 0 8 7 一3 43 7 8 4 1 86 7 5 5 35 7 3 2 3 34 9 8 1 38 3 4 2 3 0 4 9 8 5 0 0 4 3 60 0 4 3 8 0 0 2 9 10 0 3 5 8 0 0 0 9 50 0 4 7 6 00 1 4 90 0 3 5 7 o 0 1 6 l0 0 4 0 1 00 4 1 90 0 2 9 3 0 0 4 1 7 00 0 5 1 一o0 0 9 6 - 0 0 2 4 5 0 0 2 1 0 - 00 0 9 0 为： 7 4 4 5 5 1 8 1 1 8 3 - 1 64 5 1 5 2 0 7 1 3 6 5 7 5 0 3 1 37 2 1 2 是非负矩阵 一0 0 4 3 4 0 0 0 8 2 0 0 2 5 1 0 0 2 0 2 0 0 4 7 2 - 0 0 1 2 4 算法 f p ib e r n o u l l if ii f f ic r 误差( j f ) 1 6 2 1 5 e 0 1 21 8 9 0 1 e 一0 1 212 4 4 6 e 0 0 61 7 4 1 0 e 一0 1 2 时间( s ) 0 0 1 0 00 0 1 0 049 2 7 00 0 1 0 0 迭带步数 884 0 0 2 04 例3 为了观察矩阵高阶时的情况，用r a l d n 函数生成三个1 0 0 1 0 0 阶的矩阵a ，b ， c 满足：忙- 1 创+ i b 一1 g l | = o 9 2 l ，a 可逆。二次a - 矩阵( 1 25 ) 的特征值问题 的解( 二次矩阵方程的解的特征值) 明显的位于单位圆( 图中圆圈) 的两侧：最大解 的1 0 0 个特征值在圆外；最小解的1 0 0 个特征值在圆内，其分布情况如下图。 图1 特征值的分布情况 图2 放大的单位圆附近特征值的分布情况 参考文献 1 y f s uc y c l i cr e d u c t i o nm e t h o df o rm a t r i xe q u a t i o kx = b c x a p r e p r i n t 2 b m e i n ie t * c i e n tc o m p u t a t i o no ft h ee x t r e m es o l u t i o n so fx + a 4 x 一1 a = 0a n dx + a + x 。a = q m a t h e m a t i c so lc o m p u t a t i o n 7 l ( 2 3 8 ) ：1 3 8 7 - 1 7 0 4 ( 2 0 0 2 ) 3 】n jh i g h a ma n dh 一mk i mn u m e r i c a la t t a l y s i so faq u a d r a t i cm a t r i xe q u a t i o ni m a j o u r n a l 吖n n r a e r i e a la n a l y s i s2 0 ：4 9 9 5 1 9 ( 2 0 0 0 ) 4 】f t i s s e u ra n dkm e e r b e r g e n t h eq u a d r a t i ce i g e n v a l u ep r o b l e ms i a mr e v i e w4 3 ( 2 ) ：2 3 5 2 8 6 ( 2 0 0 1 ) f 5 1 igi v a n o v vi h a _ s a n o va n db vm i n c h e v o nm a t r i xe q u a t i o n sx 士4 + x 一2 a = i l i n e a ra l g e b r aa p p i3 2 6 ：2 7 4 4 ( 2 0 0 1 ) 6 j igi v a n o v ，s a l a hm e l s a y e d p r o p e r t i e so fp o s i t i v ed e f i n i t es o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n x + a x 一| a = il i n e a ra l g e b r aa p p l 2 7 9 ：3 0 3 3 1 6 ( 1 9 9 8 ) i7 j ce n g w e r d ao nt h ee x i s t e n c eo fap o s i t i v ed e f i n i t es o l u t i o no ft h em a t r i xe q u a t i o n x + a 7 x 一1 a = l i n e a r a l g e b r aa p p l1 9 4 ：9 1 1 0 8 ( 1 9 9 3 ) 8 】p l a n c a s t e rl a m b d a m a t r i c e sa n dv i b r a t i n gs y s t e m s p e r g a m o np r e s s ，1 9 6 5 9 】w a l t e rg a n d e r ，g e n ehg o l u b ，u r s v o nm a t t ac