（应用数学专业论文）一类时标动态方程的极限圆型判定准则及应用.pdf

曲阜师范大学硕士学倪论文 一类时标动态方程的极限圆型判定准则及应用 摘要 随着自然科学的进一步发展，我们逐渐认识到自然界中有一些过程有时依 赖于连续变量，有时依赖于离散变量，同时我们认识到微分方程和差分方程仅 能孤立的解决其中一种情况，而时标上的动态方程就可恰当的给出这些现象的 数学模型时标上的动态方程理论最早于1 9 8 8 年由s e f a nh i g e r 在他的博士毕 业论文中给出，这一理论的主要目的在于”统一与推广”，特别是在生物数学 方面因此我们在对微分方程和差分方程的性质做了充分的研究之后再将其归 纳到时标动态方程上进行统性的分析和研究将具有重要意义，能够让我们更 全面，更系统的认识自然界中的事物发展的整体过程 本文在现有时标理论的基础上，利用时标上推广的常数变易法及一系列不 等式在新定义的j “2 ( t ) 空间上针对时标微分方程l y = 一防( t ) 俨】+ q ( t ) y 叮= a 旷( p ( t ) d ，q ( t ) g d ，q ( t ) 0 ，a c o ) 的极限圆型的判定问题进行了一系 列的研究，所得结果统一并推广了离散和连续动力系统相应的结论 根据内容本论文分为以下三章， 第一章为绪论概述本论文研究的背景及主要问题 第二章主要讨论二阶动态方程l y = 一n t ) y 】+ q ( t ) y 口= a y 叮，其中p ( t ) d ，q ( t ) g d ，q ( t ) 0 ，a c o 的极限点型与极限圆型的分类问题通过w e y l 圆理论，推导了极限圆半径存在的条件，同时讨论极限圆型的有界扰动问题， 得到了扰动状态下极限圆型的不变性准则 第三章主要研究二阶动态方程忉( t ) 可 + q ( t ) u 口= 0 在特定条件lp ( t ) = t 、 苔：黯，q ( t ) = q ( t ) 多( ) 一严( ) ，q ( t ) 为回归函数，庐( t ) o ，声( t ) g d p ) ) 下解的 有界性以及极限圆型判定，并在此基础上通过一系列不等式的放缩得到了极限 圆型判定的充要条件，从而更进一步得到了带强追项的动态方程的极限圆型判 定准则 曲阜师范大学硕士学位论文 关键词：时标；动态方程；极限圆；强迫项；常数变易法； 不等式 曲阜师范大学硕士学位论文 t h el i m i tc i r c l ec r i t e r i af o r c e r t a i nd y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s w i t ha p p l i c a t i o n s a b s t r a c t w i t ht h ef u r t h e rd e v e l o p m e n to fn a t u r a ls c i e n c e ，w ea r eg e t t i n gt ok n o w t h a tt h ec h a n g i n gp r o c e s si nt h en a t u r ec a nb ea t t r i b u t a b l et oc o n t i n u o u so r d i s c r e t ev a r i a b l e s n e i t h e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sn o rd i f f e r e n c ee q u a t i o n sa r e a b l et oe x p l a i nc o n t i n u o u s l ya n dd i s c r e t e l yc h a n g i n gp h e n o m e n aa tt h es a m e t i m e h o w e v e r ，a l lt h ep h e n o m e n ac a nb ep e r f e c t l ym o d e l e db yt h ed y n a m i c e q u a t i o n so nt i m es c a l e sw h i c hi so r i g i n a t ew i t hs e f a nh i g e r sd i s s e r t a t i o ni n 1 9 8 8 t h et h e o r yo fd y n a m i ce q u a t i o n sn o to n l yu n i f yt h ee x i s t i n gr e s u l t sf o r t h ec o n v e n t i o n a lc o n t i n u o u ss y s t e ma n dd i s c r e t es y s t e m ，b u ta l s o g e n e r a l i z e t h o s er e s u l t st oam o r ee x t e n s i v ec l a s so fs y s t e m so nt i m es c a l e s ，e s p e c i a l l yf o r t h es t u d yo fb i o m a t h e m a t i c s t h er e s e a r c hi nt h ed y n a m i ce q u a t i o n so nt i m e s c a l e sw i l le n a b l eu st oa n a l y z et h ec h a n g i n gp r o c e s si nt h en a t u r ec o m p r e h e n s i v e l ya n dc o m p l e t e l y i nt h ep a p e r ，u s i n gt h ek n o w nt h e o r i e so ft i m es c a l e ，w ed i s c u s st h e c l a s s i f i c a t i o no fl i m i tc a s eo rl i m i tp o i n tc a s ef o rd y n a m i ce q u a t i o nl y = - p ( t ) y 】+ q ( t ) y 叮= a y 盯，o nas u i t a b l e 汐2 ( t ) ，w h e r ep ( t ) q d ，q ( t ) g d ，q ( t ) 0 ，a c o ，t h er e s u l tg e n e r a l i z ea n du n i f yt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t s o fb o t hd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa i l dd i f f e r e n c ee q u a t i o n s t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e es e c t i o n sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e r i nt h es e c o n dc h a p t e r ，ai l e ws p a c e 影2 ( t ) o nt i m es c a l e sti sd e f i n e di n t h i sp a p e r w i t ht h ea i do ft h e o r yo fw e y lc i r c l e ，w ei n v e s t i g a t et h ec l a s s i f i c a t i o no fl i m i tc i r c l e a l l dl i m i tp o i n tf o rt h ef o l l o w i n gs e c o n d o r d e rd y - n a m i ce q u a t i o n so i lt i m es c a l e sl y = 一囟( t ) 可】+ q ( t ) y 盯= a y 口，w h e r e 曲阜师范大学硕士学位论文 p ( t ) 嘭d ，q ( t ) g d ，q ( t ) 0 ，a c o t h ep r o b l e mo fl i m i tc i r c l ew i t h b o u n d e dp e r t u r b a t i o nf o rt h ed y n a m i ce q u a t i o n sl y = a y 口i sa l s oi n v o l v e d ， a n dt h ei n v a r i a b l ec r i t e r i au n d e rt h eb o u n d e dp e r t u r b a t i o nw a so b t a i n e d i nt h et h i r dc h a p t e r ，b a s e do nt h et i m es c a l e st ( i n ft = 0 ，s u pt = ) ，w e i n v e s t i g a t et h ef o l l o w i n gs e c o n d o r d e rd y n a m i ce q u a t i o n 囟( t ) y 】+ q ( t ) y 盯= 0 w i t ht h ec o n d i t i o no fp ( t ) = e - 烈y 们( 6 ，q ( t ) = o ( t ) 庐( t ) 一萨( ) ，q ( ) i sr e g r e s s i v e ， f ( ) 0a n d 痧( t ) g d ( t ) ，w ec o n s i d e r e dt h eb o u n d e d n e s s o ft h es o l u t i o n a n dt h el i m i tc i r c l ec r i t e r i ao ft h el a s ts e c o n d - o r d e rd y n a m i ce q u a t i o n t h u sa s u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o no ft h el i m i tc i r c l ec a s ea b o u tt h es y m m e t r i c d i f f e r e n t i a le x p r e s s i o nl ( y ) = 一囟( t ) y 】+ q 0 ) 可盯i se s t a b l i s h e d f u r t h e r m o r e ， w eo b t a i nt h el i m i tc i r c l ec r i t e r i ao fd y n a m i ce q u a t i o n sw i t hd a m p i n gt e r mo n t i m es c a l e s k e y w o r d s ：t i m e s c a l e s ；d y n a m i ce q u a t i o n s ；l i m i tc i r c l e ；f o r c e dt e r m ； v a r i a t i o no fp a r a m e t e r s ；i n e q u a l i t y l l 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文：一类时标动态方程的极限圆型判 定准则及应用，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独 立进行研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰 写的研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已 明确的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名2 彳彬卅i 日期：印口虮沙 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 一类时标动态方程的极限圆型判定准则及应用系本人在曲阜师范大 学攻读硕士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果 归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完 全了解曲阜师范大学关于保存使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关 部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师 范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或 部分内容 作者签名：3 也眨日期：卵。倾跏 7 导师签名：却晷彳 日期： 口7 。“23 第一章绪论 时标( t i m es c a l e s ) 作为测度链的一种特殊情形，受到很多学者的广泛关 注，所谓时标丁就是实数r 的任意非空闭子集，并且具有由月诱导的拓扑及 顺序关系例如月，z ，c a n t o r 集等都是时标，设a ，b 0 ，则 a o r 6 = u k ( 2 a + 6 ) ，k ( 2 a4 - b ) 4 - 6 】 k = o 也是时标 在以下的讨论中引用【1 】中的表示方法，r 表示实数，z 表示整数，c o 表示h i g e r 复数集中当h = 0 时的集合现在我们先介绍一些时标理论上的基 本概念： 定义1 1 设t 是一时标，对t t ，定义前跳算子叮为 盯：t _ zo ( t ) = i n f s t ：8 班 后跳算子p 为 p ：t _ t ，p ( t ) = s u p s t ，8 0 ，存在t 的邻域u ( 即存在6 o ，u = ( t 一6 ，+ d ) nt ) ，使得 l f ( t ) 一，( s ) 一厂( t ) ( 盯( t ) 一3 ) l l 盯( t ) 一8 1 ，v s 配 第一章绪论 则称，在点t 处( 或h i l g e r ) 可微，并称f a ( ) 为i 厂在t 的( 或h i l g e r ) 导 数易证，当t = r 时，s a ( t ) = ，币) 与通常的导数一致；当t = z 时， f a ( t ) = f ( t + 1 ) 一f ( t ) = a f ( t ) ，为前差分算子 定义1 6函数，：t c o 称为7 d 连续的，如果它在右稠密的点处连 续，左稠密的点处极限存在，r d 连续的函数集记作g d ( t ) 函数f ：t _ c o 若满足条件f ( t ) = ，( t ) ，则称为是函数，：t _ c o 的反函数，如果对任意 的t t 七，在此基础上我们定义，的积分为 i b f ( t ) x t = f ( 6 ) 一f ( 口) ，o ，b z - ，口 若s u p t = 。，则定义f f ( t ) a t = 恕f ：f ( t ) x t 定理1 1 若，9 ：t c ，在t k 点一可微，则 ( i ) 对任意的常数o t ，卢c ，a f + p 9 ：t c 在t t k 点一可微且 ( q ，+ p 9 ) ( z ) = q ，( t ) + f i g ( t ) ； ( i i ) f g ：t _ c ，在t t 耳点一可微且 ( f g ) ( z ) = ， ) 夕( ) + ，叮( t ) 9 ( ) = s ( t ) g ( z ) + ，( ) 夕矿( t ) ； ( i i i ) f 叮( t ) = f ( t ) + 卢( ) ，( t ) 定理1 2 设a ，b t 且，( t ) g d ( t ) ，则 ( i ) 若t = r ，则 1f ( t ) z 全t = l f ( t ) d t ， 此时，( t ) 的一可积即为，( ) 在f a ，6 】上的r i e m a n n 可积； ( i i ) 若t = z ，则 rb - 1 i f ( t ) 口 b 2 曲阜师范大学硕士学位论文 定理1 3 若a ，b ，c t ，a r 且，( t ) ，g ( t ) g d ，则 ( 1 ) e 邢) + g ( t ) a t = f ? f ( t ) a t + j ? g ( t ) a t ； ( 2 ) e ( o ，) ( t ) 江q f ( t ) a t ； ( 3 ) ef ( t ) a t = 一片f ( t ) a t ； ( 4 ) f ? f ( t ) a t = l ：f ( t ) a t + f ：f ( t ) a t ； ( 5 ) ? ，( 盯( t ) ) 夕( t ) a t = ( 乃) ( 6 ) 一( f g ) ( a ) 一r 厂( ) 夕( t ) t ； ( 6 ) r f ( t ) a t = o ； ( 7 ) 对vt 【0 ，6 ) ，若i ，( ) s 夕( t ) ，则ij ：f ( t ) a t f j ? g ( t ) a t 对于时标动态方程的极限圆型的判定的研究，要比孤立的讨论微分方程或 者差分方程的极限圆型要复杂的多，主要原因就是它并不是简单的将微分方程 和差分方程组合在一起，而是需要一套新的能够连接连续与离散的理论虽然 近几年时标动态方程引起了大量应用数学家的广泛关注，但在此领域由于其发 展时间比较短，仍有广阔的研究空间同时，由于对动态方程的极限圆型的研究 并未引起人们太多的关注，因此将时标动态方程的极限圆型的判定作为个研 究课题将具有其重要的意义虽然微分方程和差分方程都存在极限圆型的判定 准则，并且在此两个领域已经有很多的学者对此问题做了大量的研究工作( 4 - 7 】) ，但很自然的我们会想到可以将微分方程和差分方程的极限圆型的讨论归一 到时标动态方程上进行研究 本文利用时标上推广的常数变易法及一系列不等式在新定义的影2 ( t ) 空 间上对时标微分算式l y = 一眵( t ) 可】 + q ( o y 矿，其中p ( 亡) q d ，q ( t ) g d ，q ( t ) 0 的极限圆型的判定问题进行了一系列的研究，得到一些新的结 果 根据内容本论文分为以下三章， 第一章概述本论文研究的主要问题 第二章在这一章中，我们主要给出二阶动态方程l y = 一眵( t ) 可】+ q ( t ) y 盯= 入旷，其中p ( t ) 嘭d ，口( ) g d ，q ( t ) o ，a c o 的极限点型与极限 圆型的分类问题，并研究了有界扰动状态下极限圆型的不变性准则 3 第一章绪论 第三章在这一章中，我们主要研究二阶动态方程眵( ) 可】+ q ( t ) y 盯= 0 在特定条件( p ( t ) = 尝，g ( t ) = q ( t ) 声( t ) 一声( 轨。( t ) 为回归函数，声( t ) o ，多( t ) g d ( t ) ) 下解的有界性以及极限圆型判定，并在此基础上得到了极限 圆型判定的充要条件，从而更迸一步得到了带强迫项的动态方程的极限圆型判 定准则 4 第二章一类二阶动态方程的极限圆型判定 2 1一类二阶动态方程的极限圆型和极限点型分类 对于时标动态方程的h w e y l 极限圆型的判定的研究，要比孤立的讨论 微分方程或者差分方程的极限圆型要复杂的多，主要原因就是它并不是简单 的将微分方程和差分方程组合在一起，而是需要一套新的能够连接连续与离 散的理论，这套理论就是时标理论本文就是在已有的微分方程和差分方程的 极限圆型的判定的基础上，在时标理论上重新考虑极限圆问题首先我们建立 了一个与定义在连续空间上的l 2 空间和定义在离散空间上的2 2 空间类似的 = 护( t ) ( t 为时间刻度) ，并在此基础上通过w e y l 圆理论考虑其半径，从而得出 算子l y = 一囟( t ) 户】+ q ( t ) y 叮对应的动态方程 一( z ) y 】+ q ( t ) y 口= 入秒伊( 2 1 ) 的极限点型与极限圆型的分类问题，其中p ( t ) g d ，q ( t ) 口d ，q ( t ) 0 ，a c o 定义2 1 1 设s u p t = + 。o ，在时标丁上定义空间、 ，o o ， 彤2 ( t ) = 邢) l m ) 而a t = 忡) 1 2 a t 0 ，t 研 、 定义2 1 3 若h 0 ，定义柱变换如：c h 一磊，磊= ( t l o g ( 1 - - t - z h ) ) 当h = 0 时，岛( z ) = z ，石c o 若p r ，定义指数函数勺( ，s ) = e x p r 如( f ) ( 7 - ) ) 7 ， s ，t z 定义2 1 4 若z ，可：t c o 在t k 上可导，则z ，可的l a g r a n g e 括号定 义为 z ；! ，) ( t ) = p ( t ) ( 巧一z 可) 定义2 1 5 若方程( 2 1 ) 的任意解目乡2 ( 丁) ，则称方程( 2 1 ) 为极限圆 型，否则称( 2 1 ) 为极限点型 2 1 2 主要结果 讨论定义于t ( s u pt = + o o ，i n ft = p ( a ) 0 ) 上的奇型动态微分算式 l y = 一囟( t ) 可】+ q ( t ) y 口 所生成的算子，其中t 【a ，o o ) n 丁且t t ；a ，p ( 6 ) ，j 口( o ) t ； 0 o c ，p 7 r ；q ( t ) ：t _ r 且q ( t ) 口d ，q ( t ) o ；p ( t ) ：t 一冗且p ( t ) 嘭d 首先考虑i n f t = p ( a ) t ，b s u p z 口，b t 时的正则的微分算子，然 后令b _ 。o ，来求得奇型算子相应的性质 考虑i n f t = p ( 口) ，b s u p z b t 时的算子 ll y = 一囟( t ) 可】+ q ( t ) y 叮； l ： s i 1 1q y ( p ( 口) ) 一c o sq p ( j d ( a ) ) 可( j d ( o ) ) = o ； ic o s ，y ( p ( b ) ) 一s i n 励( p ( 6 ) ) 可( p ( 6 ) ) = 0 6 曲阜师范大学硕士学位论文 通过文献【1 ，乒7 可知l 为s t u r m - l i o u v i l l ei 司题，我们利用艾瞅1 4 j 甲阴w e y r 圆理论进行如下讨论；设1 5 l ，如为方程( 1 1 ) 满足初值条件 jp 1 ( p ( 。) ，a ) = s i 峨p 妒( n ) ) p m 。) ，a ) 一c 咖；( 2 2 ) l 臼2 ( 1 | d ( o ) ，a ) = c o so r ，p ( p ( o ) ) 管( p ( o ) ，a ) = s i n 的线性无关解令l y = a y 9 满足边条件c o sz m p ( b ) ) 一s i n1 3 p ( p ( b ) ) y ( j d ( 6 ) ) = 0 的解为： x ( t ，a ) = 目1 ( t ，a ) + m ( 入) 如( t ，a ) ， 则可求得： c o tx 3 0 1 ( p ( 6 ) ，a ) 一p ( p ( 6 ) ，) ) 曰p ( p ( 6 ) ，a ) r e ( x ) 2 一c o t 3 8 2 ( p ( b 丽) f 面瓦丽瓣。 ，a ) 一p ( p ( 6 ) ，入) 目笋( p ( 6 ) ，a ) 以下考虑固定端点p ( 6 ) 的情况，令 c o t f l = 名，口1 ( p ( 6 ) ，a ) = a ，p ( p ( 6 ) ，a ) 口p ( p ( 6 ) ，a ) = b ， 目2 ( p ( 6 ) ，入) = c ，p ( p ( 6 ) ，入) p 拿( p ( b ) ，a ) = d 则 卅一端， c 2 3 ， 仇( 入) = 一赫， ( ) 注意到d 二( 三暑) = 1 ，且z 在实轴上从+ 。单调的变为一。o 时，m ( a ) 的图像在平亩c o 上南一个圆，记为巳( 6 ) 并称o ( 6 ) 为算子l 的w e y l 圆，下 面给出它的解析描述 定理2 1 1 当a 0 时( a 表示a 的虚部) ，对于w e y l 圆0 ( 6 ) 有： ( a ) 酣一黼； 胖觚。沥莉； 7 第二章一类二阶动态方程的极限圆型判定 ( c ) 圆方程为舶p ( ，b 1 0 1 + m 0 2 i z a t j ：矣 ( c ) 圆方程为 1 2= 二并 p ( o ) ()圆内部为穰ozd o z + t 0 0 2 1 j z 出务p ( a a ( ) 圆内部为 + 2 t 竿 、 证明由( 2 3 ) 式可得 b + d m z2 一a + c m 因为仇6 ) 的充要条件是z r ，所以，当, y z = o 时可得圆0 ( 6 ) 的方程 为： ( 再+ 虿丽) ( b + d m ) 一( a + c m ) ( 百+ 面碗) = 0 ( 2 4 ) 另一方面，若设c p ( 6 ) 的中心为0 p ( 6 ) ，半径为( 6 ) ，则它的方程为； 即 m 一0 矧2 = 7 狲 m 丽一o p ( b ) m o p ( 6 ) 而= 砟( b ) 一l o p ( 6 ) 1 2 ( 2 5 ) 比较方程( 2 4 ) 和方程( 2 5 ) 可得t q ( 6 ) = 丽a d - b c = ， = l 。矧2 + 丽a b - a b 8 曲阜师范大学硕士学位论文 厦用引理2 1 1 司得： 8 1 ；万) ( p ( 6 ) ) = 护1 ；瓦) ( p ( o ) ) + ( 卵( 如) 一鲤朋1 ) t r p o j = p ( p ( o ) ) ( 6 l 喾一口拿口2 ) + ( a 一灭口；6 ；) t ，烈0 j j p ( 口) = 1 如；目2 ) ( j d ( 6 ) ) ： 口2 ；如) ( p ( 。) ) + 厂p ( b ) ( l 8 2 酽一8 ；一l 0 2 ) a t j p ( a ) r p ( b 1 = ( a 鳄酽一页锈酽) 亡 j p ( a ) ：( 入一天) 厂触鳄酽a t= ( 入一天) 鳄醪 p ( o ) r p ( b ) = 2 i j a 吲2 a t 则可求得w e y l 圆的半径为 1 2 万磁颞面 此时定理中( a ) ，( b ) 得证 又因为 a + c 仇= o l ( p ( b ) ，a ) + m 如( 6 ) ，a ) = x ( p ( 6 ) a ) ； b + d m 印( p ( 6 ) ) 拿( p ( 6 ) ，a ) + m p ( p ( b ) ) 0 2 ( p ( b ) a ) = p ( p ( 6 ) ) x ( 1 | d ( 6 ) ，a ) ， 于是将上式带入方程( 2 3 ) 就可得 ( x ；x ) ( p ( 6 ) ) = 0 ， 9 第二章一类二阶动态方程的极限圆型判定 利用同样的方法，方程( 2 5 ) 变为 茎i 茎! 竣1 2 一n 0 2 ；如) ( p ( 6 ) ) 一 因为方程( 2 5 ) 的首项系数为1 ，这就推出圆0 ( 6 ) 的内部为 鼢勰 。 。 护2 ；目2 ) ( p ( 6 ) ) 而应用引理2 1 1 可得： 【x ；x ( p ( 6 ) ) = ( x ；x ) ( p ( o ) ) + ( l x 酽一x 盯z 夏) t j p ( a ) r p ( b ) = x ；x ) ( p ( 口) ) + ( a x 叮妒一a x 盯酽) o j p ( a ) ，p ( 6 ) = ) ( ；x ) ( p ( 口) ) + ( a 一页) x 口酽t ，p ( d ) = x ；x ) ( p ( o ) ) + 2 i j a i x 盯f 2 a t j p ( a ) 再根据初值条件( 2 2 ) 可得： x ；x ) ( p ( 口) ) = - 2 i j m ， 则由( 2 6 ) ，( 2 7 ) ，( 2 8 ) ，( 2 9 ) 式可得一 圆0 ( 6 ) 的方程为 ，p ( 6 ) f p ( b ) l x l 2 x t = i 目l + r n 0 2 1 2 x t = j p ( o ) ，0 ( 口) 圆0 ( 6 ) 的内部为 厂州l x l 2 t ：厂“们i o l + m 0 2 1 2 a t p ( 6 ) ，则白包 含于颤6 ) 内部 证明任取m 白，则由定理2 1 1 中( d ) 及时间刻度丁上的积分性质可 知 朦0 1 + t 0 0 2 ( ，1 0 1 + t 0 0 2 胁万j m 所以m 在0 ( 6 ) 的内部或者仇c p ( 6 ) ，即c 6 ，包含于锦( 6 ) 内部，得证 由定理2 1 2 可知，当p ( b ) 一。( 即b _ o o ) 时，0 ( 6 ) 的极限集合有两种 可能的情况： ( 口) 极限集合是个圆，记为c o 。，称为极限圆 ( b )极限集合是一个点，记为么毛，称为极限点 定理2 1 3 对任意a c o ( 夕a o ) ，方程( 2 1 ) 至少有一个属于髟2 ( 丁) 的线性无关解方程( 2 1 ) 仅有一个属于p 2 ( t ) 的线性无关解的充要条件是： 趋于极限点；有两个属于p 2 ( 丁) 的线性无关解的充要条件是；0 ( 6 ) 趋于 极限圆 证明在c p ( 6 ) 的极限集合上任取固定一点m ，则由定理2 1 2 可知m 7 在 一切c p o ) 的内部，则由定理2 1 1 中的( d ) 及定理2 1 2 可知 仨协“牡 妥， - ，p ( 口) ，、 显然上式右端与p ( 6 ) 无关，因此当p ( 6 ) _ o 。( 即b _ o 。) 时，有 二0仇包12atj 妥：p ( a i1 + 仇7 p 2 1 2 豢： ) ，、 即秒l + m 7 如= x = 护( t ) ，这就证明了方程( 2 1 ) 至少有个属于2 2 ( t ) 的 线性无关解 第二章一类二阶动态方程的极限圆型判定 同时由定理2 1 1 中的( b ) 可知 6 ) 5 沥赫 。j 则当c 众6 ) 的极限集合为圆时，0 0 ，a c o 定理2 2 1 若存在有界函数q o ( t ) g d ，则方程 一0 ) 】+ q ( t ) y 口= a y 口 ( 2 1 1 ) 为极限圊型当且仅当方程 一囟( t ) y 】+ ( g ( ) + q o ( t ) ) u 口= a y 叮( 2 1 2 ) 为极限圆型 证明由于q ( t ) = q ( t ) t - q o ( t ) 】一q o ( t ) ，故方程( 2 1 1 ) 也可以看作是方程 ( 2 1 2 ) 的有界扰动，所以我们只需证明方程( 2 1 1 ) 是极限圆型时，方程( 2 1 2 ) 亦是即可 1 3 第二章类二阶动态方程的极限圆型判定 。 设方程( 2 1 1 ) 中满足矿( t ) 矽笋( t ) 目1 ( t ) 一p 拿( t ) p 2 ( ) 】圭1 的线性无关解为 0 1 ( t ) ，矽2 ( 亡) ，则对于方程( 2 1 2 ) 的任一非零解秽( t ) ，由时标意义下的常数变易法 可求得为： 9 ( t ) = c l p l ( ) + c 2 t ；2 ( t ) + p 1 ( 7 _ ) 口2 ( t ) 一目1 ( t ) 口2 ( 7 ) 9 0 ( 7 - ) 酽( 丁) 7 - ， 其中c 1 ，c 2 为常数，所以有 l 旷( t ) i i c l l i 卵( t ) i + i c 2 ( t ) l i 鳄( ) l + f 目1 ( 7 - ) 锈( t ) 一卵( ) 口2 ( 7 一) l 1 9 0 ( 丁) i i 酽( 1 - ) i 7 ， 由于护1 ，0 2 不同时为零，所以防( ) l + l 铝( t ) i 0 令 如= 揣，剀，的2 而可厕眨u ， 则o a 0 且有下式 t ；a ( t ) i c l i - t - l c 2j + ( j 口1 ( 7 ) j + 如( 7 ) | ) ( j 口；( 7 - ) j + t ；( r ) 1 ) l q o ( r ) l o a ( r ) z x r 由引理2 2 3 可得； t ；a ( t ) ( i c , i - i - i c 2 i ) e ，l ( ，) ( t ，o ) ， 其中m ( 7 ) = ( i 口1 ( 7 ) l + i 如( 7 - ) i ) ( i 钾( 丁) l + f 鳄( 7 - ) i ) 1 9 0 ( 7 ) i r 而 酬硼，= 唧洲m 胁) = 唧警丁) = e x pi 厂“型型世此地掣婴刿堑业蛐剑丁 ij op 1 7 j e x p 0 有i q o ( t ) i 州i c l 酬糍纛辫1 f a ( t ) 。 弋 l 上( 1 口f ( 7 - ) 1 2 + 鬲；( 丁) 1 2 ) 丁) 5 。 1 5 d 玎 彳z 卧 ，f1l， 0 ，p ( t ) 辞d ，q ( t ) g d ( t ) 下属于极限圆型的判定中去，给 出了个判定极限圆型的充要条件，从而更进一步得到了带强迫项的动态方程 l ( y ) = 一( t ) 可】+ q ( t ) y 矿= f ( t )( 3 3 ) 在条件p ( t ) o ，p ( t ) d ，q ( t ) g d ( t ) ，f ( t ) 乡( t ) 下的极限圆型判定准 则，运用此判定准则可以解决类二阶动态方程属于极限圆型的判定问题 定义3 1 函数f ：t _ c o 称为7 d 连续的，如果它在右稠密的点处连 续，左稠密的点处极限存在，r d 连续的函数集记作g d ( 丁) 若s u pt = 。，则 定义f f ( t ) a t2 熙f ：f ( t ) a t 定义3 2 设s u pt = + o o ，在时标t 上定义空间 厂o o p ( t ) = ，( t ) l f ( t ) x t 0 ，定义柱变换靠：c 一磊，z h = i l o g f ( 1 + z h ) ) 当h = 0 时，o ( z ) = z ，z c o 若p r ，定义指数函数( t ，s ) = e x p ( r 肛( t ) p ( 7 - ) ) 7 ) ， s ，t z 定义3 5 若方程( 2 1 ) 的任意解口髟2 c t ) ，则称方程( 2 1 ) 为极限圆 型，否则称( 2 1 ) 为极限点型 引理3 1 设a ( t ) 为回归函数，痧( t ) 0 ，痧( 亡) g d ( t ) ) ，令 础) = 器 g ( 归嘶彳， 则自伴方程 眵( ) ! 】+ q ( t ) y 。= 0 的通解为： 绯) = 础南) + q 石器“丁瑚e d ( 丁 ) 丁， 其中g ，q 为常数，t o t 引理3 2 ( c a u c h y s c h w a r z 不等式【1 】) 令a ，b t ，对于r d 一连续函 数，g ：【a ，6 】h 冗，有 b l f ( 咖出手( bl ( 圳2 z 肛圳2 t ) 5 引理3 3 ( g r o n w a l l s 不等式【1 1 0 】) 令2 ，( t ) ，f ( t ) g d ，p r + 且p 0 ， 若有 y ( t ) ( t ) + ! ，( 下) p ( 丁) 丁， nt 正 则y ( t ) f ( t ) + f ：e p ( s ，盯( 丁) ) ，( 7 - ) p ( 7 ) ) 丁 1 7 第三章一类时标动态方程的极限圆型判定准则及应用 3 2 主要结果 定理3 1 对于方程3 1 在条件vt t ( i n f t = 0 t ，s u pt = o o ) 下， 若存在回归函数口( t ) ，非零函数声( t ) g d ( t ) ) ，且满足如下条件： ( i ) p ( t ) = 器，q ( t ) = a ( t ) 痧( o ) 一p a ( t ) ； ( i i ) e e a ( o o ，0 ) m 1 ( 尬为常数) ； ( i i i ) 伊i 器| e 口( 7 ，o ) z b - o o ， 则方程( 3 1 ) 的解y ( t ) 满足估计式 可( t ) l = d ( 1 ) 证明条件( i ) 放引理3 1h j 知，方程( 3 1 ) 的遁解力： 绯) = 以 o ) 石器“丁7 c ) “丁o ) 觚 其中c 1 ，q 为常数，而对u ( t ) 进一步化简可得： 绯) = 以，0 ) + q 2 器砒下) e 打0 ) 缸 即 l y ( 圳粥| e e 口0 ) + 倒z 。i 器l e q 咖如 o ) 丁， 则当t _ 。时，由条件( i i ) ( i i i ) 可得： l 掣i = d ( 1 ) 定理3 2 对于微分算式( 3 2 ) 在条件vt t ( i n f t = 0 t ，s u pt = 。) 下，若存在回归函数q ( t ) ，非零函数痧( t ) g d ( 丁) ) ，且满足如下条件： ( i ) p ( t ) = 器，q ( t ) = 口( t ) 庐( t ) 一萨( ) ； ( i i ) e 苔口( o ，0 ) o ，p ( t ) ，g ( ) g d ( 丁) ( = 1 ，2 ) ，假设对l i ( y ) = 0 的任意两解! l ( t ) ，可2 ( ) 满足条件：