（应用数学专业论文）边界不确定性集合的相似度量的研究.pdf

摘要 台湾学者w ，l g a u 和d 。j b u e h r e r 提出的v a g u e 集理论是对模糊集( f u z z y s e t ) 理论的推广现实世界中，相当一部分具有模糊性的信息是f u z z y 集理论无 法表示和处理的，而v a g u e 集能表示和处理更为丰富的具有模糊性的不确定性信 息v a g u e 集的相似度量为模式识别和人工智能提供了很好的度量工具 本文首先给出了一种度蹙效果较好的v a g u e 集相似度量方法已有很多学者提 出了各种不同的度量方法，但这些方法都存在分辨率不高的缺点，本文将提出 种改进的相似度量方法，由二f 该方法分辨率商，度量效果好，因而它是一种较为 理想的检测v a g u e 集( 值) 之间捐似程度的度量方法：其次由于v a 肆e 集是f u z z y 集的完善与推广，而将模糊集与粗糙集( r o u 曲s e t ) 相结合提出了模糊粗糙集， 那么本文将推广后的f u 盟y 集即v a g u e 集与r o l 讪集相结合定义了一种新的边界 不确定性集合理论v a g i i er o u 曲s e t 理论，并给出了其运算法则和性质如模糊度、 粗糙度以及相似度量将其应用于售房决策中，说明这种理论有很好的应有前景； 最后，由于f u z z ys e t 、v a g i l es c t 和r o u g hs e t 都是边界不确定性集合，它们都有 模糊度、粗糙度和相似度等性质，文章分析研究了这三种边界不确定性集合的相 似度量，利用三种集合都有隶属度函数这一共同特性，统一给出了这三种边界不 确定性集合的相似度量 关键词：相似度量v a g u e 集理论粗糙集理论 a b s t r a c t v a g u es e t st h e o r yp m p o s e db yw lg a ua n dd j b u e l l r e r ， i st h ed c v e l o p m e n t o ff u z z ys e t s1 1 l e o 够ht h en 锄w o r l d ，t h e r ee x i s t sq u i t can u b c ro fi n f b 肋a t i o nt h a t i sf i l z z yb u tc 孤n o tb ee x p r e s s e da dp f o l 沁s d b yf u z z ys e t st h e o r y w h i l ev a g l l es e t s c a i le x p r e s s 粕dh a i l d l em o r ef l l z z yi n f 0 珊a t i o n t h es n l d yo fs i m m i r i t ym e a s u r eo f v h g u es e t sw n lp r o 、，i d eai l e wt o o lt op 砒t c mr e c 0 9 1 l i t i o n f i r s n y an o v e ls i m i l a r i t ym e a s u 咒b e 咐e c nv a g l l es e t si sp r o p o s e di nt l l i sp 印e l s e v c r a ls i m n a r i t ym e 勰u r e sa mi n 拄o d u c e di nt h ep 印e r o nt h eb 硒i so fw h i c h ，an o v c l s i m i l a r i t ym e 硒u r ci sp ”s c n t e d o ) i n p a r 酣w i t ht h em e a 蛐r e so fs i m i l a m yb e t 、c e n v a g u es e t s 舀v c nb yp m s e ma n i c l e s 也em e 也o di s 肿r ed i 儆哪i a t e d ，m t i o n a la l l dc l o s e t op e o p l e su n d c r s t 卸d i n g ；s e c o n d l y ，an e ws e tt h c o r yi sp m p 0 d b 雏e do nt h ef l l z z y r o u 曲s e t t h e o r ) r ，c o m b i n e d 芭l i er 0 u g i ls c t st h e o r yw i t ht l l ev a g i i es e t st h e o 啦a n e w s e t st h e o r y v a 斟er 肌曲s e t st h e o r yi si m r o d u c e d ，s o m ec h a r a d e r i z a t i o i l so ft h i st l l e o r y a r e 沓v e na n dp m v c d t h i sn t ；wt t l e o r yp r e s e n t e di 1 1 t l l i sp a p e ri sv e f yi m p o n a l l ti n t h e o r ya n di np m d i c e f i n a l l y s e v e r a ls e tm e 叫e sw i t hu n c e n a i nb o u n d a i i e s ，t h a ti s ，f i l 觋ys e t s ，v a g l l es e t s a n df o u 曲s e t s ，哪d i s c i l s s c d an o v c l t ys i i n i l 硎t ym e 鸹u l ：c0 ft h e mi sm t m d u c e d 1 【e yw o r d s ：s i i n i i a i 岫m 髓s u 托v a 驴es e t st h e o qr 0 u 咖s e t st h e o r y 创新性声明 y858 8 0 8 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含未获得西安电子科技大学 或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同学对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示感谢 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任 本人签名：日期：兰咝，2 幽 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文：学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文( 保密的论 文在解密后遵守次规定) 本人签名： 导师签名 筮丛 社 日期：! 翌! ，三二_ 2 6 日期埘| i i 。“。 第一章绪论 第一章绪论 本章首先介绍了、，a g u es e t 理论的产生背景、发展现状以及应用领域； 之后又简咯介绍了r o u g hs e t 理论的起源发展和应用；最后概述了本文主要工 作与内容安排 1 1 v a 斟e 集的产生发展以及应用 1 1 1 v a g u e 集产生的理论背景 自从1 9 世纪末德国著名的数学家康托( g c 蛐t o f ) 创立集合论以来，在一 百多年的时间里，集合论已经成为数学中不可缺少的基本的描述工具，集合也已 成为数学中最为基本的概念之一经典集合论对数学豹发展起了巨大推动作用， 是现代数学各个分支的基础在经典的集合论体系中，集合有着非常明确的边界， 论域中的元素关于任何集台的隶属情况只有“是”或“否”两种情况因此，可 以用取值范围为 o ，1 ) 的隶属度函数来描述一个集合 但是，客观世界中有很多概念是模糊不清的，无法精确描述，如“高个子”、 “老年”、“青年”等概念，经典集合论显然无能为力1 9 6 5 年扎德( l a z a d e h ) 等对这种模糊性问题进行研，z 提出了模糊集合理论【1 】( f u z z y8 e t 慢r y ) 模糊集理 论最基本的特征是：承认差异的中介过渡，也就是承认渐变的隶属关系，即一个 f u z z v 集f 是满足某个( 或几个) 性质的一类对象，每个对象都有一个互不相同的 隶属于f 的程度，他们是把经典集合论隶属函数的取值范围从 o ，l 扩展到闭区 间0 ，1 】，这样论域中的元索相对于集合的隶属程度再也不是非此即彼的0 和1 ， 而是可以取【o ，1 】中的任意实数从此，集合的边界再也不是原来那么分明后来， 一些科研人员在研究类似“投票模型”的决策问题时发现f l l z z y 集理论存在个 严重的弊病，就是报喜不报忧它只考虑赞成票也就是支持证据，而不考虑反 对票即反对证据，为弥补这种不足，1 9 9 3 年g a u 和b u e h r e r 提出v a 弘e 集理论【2 j ， 它是z a d e h 模糊集的一种推广与改进，与a t 锄a 瞄o v 【3 】提出的直觉模糊集 ( i n t u i t i o n i s t i cf u z z vs e t s ) 在处理不精确数据的描述方面具有相似的表达能力，但 它的形式更为简洁、物理意义更明确且易于被人们所理解它的主要思想事采用 真、假隶属函数来分别予以刻画早在1 9 0 4 年，谓词逻辑的创始入g f r e g e 就提 出了含糊( 德文喀- e ) 一词，并把它归结到边界区域，即在论域上存在这样的个 边界不确定性集合的相似度量的研究 体对象，它既不属于某个子集，也不属于该子集的补集v a g u e 集理 是在f u z z y 集理论只有一个真隶属函数的基础上增加了一个假隶属函数。v a 即e 集 相比f u z z y 集是一种更加符会人们思维的新型理论，其概念的特点是同时考虑隶 属与非隶属两方砸的信息，这使得v a g i l e 集在处理不确定信息时比传统的模糊集 有更强的表现能力且更具灵活性，对于数据本身未知性的描述也更有效f u z z v 集 和v a g i l e 集都是边界不确定性集合，v a g u e 集本质仍为f u z z y 集 1 1 2v a g u e 集的应用与发展前景 v a g i l e 集理论的应用还比较少，国内介绍v a g i l e 集理论的书只有李凡的模糊 信息处理系统，书中只介绍v a g l l e 集的定义、并集、补集等性质，并未将其应用 v a g i l e 集是f u 跪y 集的发展与完善，所以许多学者将可以用f h z z y 集解决的 问题，试图用v a g t l e 集解决，取得了很好的效果 ( 1 ) v a g u e 集在决策领域中的应用 h o n g 等1 首次将v a g u e 集应用于多目标决策，主要利用v a g i l e 集之间的相似 度进行决策，但对于相似度量相同的情况，此方法就无能为力了李凡等旧针对h o n g 提出方法中存在的缺陷进行了改进 a t a l i a s s o v 等0 1 提出多专家问题，考虑到每个专家具有不同的特长且对不同日 标所具有的知识程度也不一样，对他们分别赋予不同的权值，运用邺e 集进行多 目标决策，使得问题的表示简洁，并且决策效果较好 ( 2 ) v a g i i e 集应用于模式识别 在人工智能领域，智能系统的推理过程中经常需要将两个知识模式( 如两个模 糊断言、两个谓词公式、两个框架片断或两个语义网络片断) 进行比较和耦合，即 检查这两个知识模式是否完全一致或近似一致文献 8 中将v a g 集用于该领 域，通过计算各标准模型与待识别模型之间的相似度量进行模式识别，相似度量 大者，则说明待识别模型属于该标准模型这为v a g u e 环境下知识模式的比较与耦 合提供了一种新的更加合理的方法 ( 3 ) 近似推理中的应用 些学者将v a g l l c 集应用到近似推理领域，可看作是模糊推理的一种延伸。文 献 3 5 针对在智能系统中实现基于v a g 集的近似推理，提出了一类蕴涵算子 后来近似推理由单向发展到双向推理，如：文献 9 将v a g u e 集应用于双向近似推 理，利用v a g u e 集信息的精确性，提高了推理的精确性和适用性 ( 4 ) 其它应用 v a g l l e 集还可用于医疗诊断系统1 由于、，a g l l e 集可以同时表示“支持” 第一章绪论 “反对”和“不确定”的信息，这使得在采用v a g i l e 集的医疗诊断系统中得到的推 理结论更符合实际情况 由于v a g i l e 集是f u z z y 集的完善，所以f u z z y 集可以解决的问题，有望运用 v a g u e 集得到更好的解决r o g h 集作为种不可确定集合，与f u z z y 集联系紧密， 当然与v a g i l e 集也必定有很大的关联，已有学者将v a g i l e 集与r o u g l l 集结合用以解决 r o u g h 集不能解决的问题，如应用于专家系统、模式识别等方面。 1 2 粗糙集理论( r 0 u g hs e tt h e o r y ) 起源发展以及应用 1 2 1 粗集起源与发展 粗集理论最初是由波兰学者p a w l a k 予1 9 8 2 年提出的，当时由于大部分研究成 果均以波兰文字发表，所以未能引起国际计算机界的足够重视，研究地域也仅局 限于东欧一些国家直到1 9 9 0 年前后，由于该理论在数据的决策与分析、模式识别、 机器学习与知识发现等方面的成功应用，才逐渐引起了世界各国学者的广泛关 注1 9 9 1 年，z p a w l a l 【出版了部专著粗糙集一关于数据推理的理论( r 0 u 曲 s e t s 仙e o r e 雠a la s p o c t so f r e 瞄o n i n g 百b o u td a t a ) 的问世，奠定了租集理论的基 础，并从此掀起了粗集理论及应用的研究高潮 当前，对粗集理论的研究主要集中在：粗集模型的推广，问题不确定性的研 究，与其它处理不确定性、模糊性问题的数学理论问的关系与互补，纯粹数学理 论方面的研究，粗集算法的研究和人工智能其它方关系豹研究等不过有的只是纯 理论方面的，还未实际应用 1 2 2 粗集理论的应用发展 粗集理论是一种处理含糊和不精确性问题的新型数学工具，其基本思想是在 保持分类能力不变的前提下，通过知识约简，导出概念的分类规则，它自问世以 来，无论是在理论或应用上都是一门新的、7 最重要的并且是迅速发展的既有理论 又有应用的研究领域 1 ) 医疗诊断系统个患者经诊断后需要做出治疗的决策，将各症状当作决策表 的属性，就各个属性利用粗糙集理论迸行约简，除去冗余属性，制定合适的治 疗方案。 2 ) 模式识别8 ”应用r s 方法研究了手写字符识别问题，提取出了特征属性 3 ) 从数据库中知识发现( k i i o w l e d g ed i s c o v e f yi nd a t a b 勰e ，k d d ) ，k d d 又称数据挖掘 ( d a c am i n i l l g ) 。是当前人工智能和数据库技术交叉学科的研究熟点之一r s 方法现 4 边界不确定性集合的相似度量的研究 已成为k d d 的一种重要方法，其导出的知识精炼且更便于存储和使用 4 ) 粗糙控制r s 根据观测数据获得控制策略的方法被称为从范例中学习，属于智能 控制范畴基本步骤是：把控制过程中的一些有代表性的状态以及操作人员在这 些状态所采取的控制策略都记录下来， 形成决策表，然后对其分析化简，总结 出控制规则r s 方法是一类符号化分析j 亨法，需要将连续的控制变量离散化， 为此z p a w l a k 提出了粗糙函数的概念，为粗糙控制打下了理论基础文献泓“5 1 中应用粗糙控制研究了“小车一倒立排系统”这一经典控制问题，取得了较好的 结果。在过程控制颁域，文 2 6 应用r s 方法成功地取得了水泥窑炉的控制规则 粗糙控制的优点是简单迅速、容易实现、不需要象f u z z y 控制那样进行模糊化和 去模糊化，因此在特别要求控制器结构与算法简单的场合，采取粗糙控制较为 合适另外，由于控制算法完全来自观测数据本身，其决策和推理过程可以很容 易被检验和证实一种新的有吸引力韵控制策路“模糊一粗糙控制( 垂l l j 琵y - m n g l l c o 仃0 1 ) ”正悄然兴起，其主要思想是利用r s 获取模糊控制规则 5 ) 专家系统粗糙集抽取规则的特点，为构造专家系统知识库提供了一条崭新的 途径 6 ) 基本研究工具的开发 ( 1 ) 逻辑在近似推理中应用逻辑的方法将体现在一下方面： 对于近似推理模式采用综合方法 对于合成基本相关性提取关联规贝f j ( 2 ) 代数r 0 u 曲s e t 理论中研究的代数结构包括各种集合类型它可通过提取这 些必然的结构来研究所推测的结构是否是合适的 ( 3 ) 拓扑个体空间上的拓扑表示通常隐藏在数据中，并且为了近似化一个决 策函数，通常要显示它们在数据中的存在性这里的重要问题是从数 据中提取适当的函数，它将为构造决策函数的近似提供相关的启发 信息 从数据中提取信息g f 删l e 的逻辑结构，这是属于探索逻辑中是否存 在一种拓扑模型的表达方式 构造各种知识结构中的界面，这种问题的组成形式是与g r a n u l e 计算 相关的 从数据中提取相似性侧度函数，我们希望有一系列的测度方法，依 次构造这种拓扑模型 1 3本文的主要工作与内容安排 本文首先介绍了v a g u es e t 的理论知识，然后给出了一种改进的v a g i l e 集相似 第一章绪论 度量方法之后研究分析v a g u es e t 与r o u 曲s e t 的联系，给出一种新的集合理论 一v a g u er o u g i l 集，并通过实例验证这样定义有意义r o u 吐集和f u z z y 集都是边界 不确定性集合，v a g i l e 集作为f u z z y 集的扩展与完善，也是一种边界不确定集合， 已发表的文献都分别介绍了它们的相似度量，假没有统一给出在此将给出一种边 界不确定性集合的相似度量，将以上三种集合的相似度量进行统一本文的主要工 作包括： 1 ) 介绍v a 斟es e t 理论r o u 曲s e t 理论的基本理论v a g u e 集理论是为了弥补 f u z z y 集理论的缺陷而提出的一种模糊信息处理理论，是f u z z ys e t 理论的基础上增 加了一个假隶属度函数，用一对真隶属度函数和假隶属度函数表示，是f u z z y 集 理论的推广与完善 2 ) 文章针对已有的v a 群i e 集相似度量方法存在的缺陷，提出了一种改进了的 新的分辨率更高的相似度量：孑法 3 ) 将v a g i l es e t 与r d u 庐s e t 相结合，提出一种新的不确定性集合理论v a g u e r o u g i ls e t 文章首先提出了v a g i l er o u 曲的定义，然后给出了其性质，模糊度量， 最后将其应用，以验证其有效性 4 ) 提出几种不确定性集合的相似度量统一表示v a g i l e 集、f i l z z y 集和r o u 曲 集都是边界不确定性集合。已有的文献分别介绍了其相似度量，但没有给出一个 统一方法，本文将完成这一任务 本文的内容安排如下： 第一章介绍了v a g i l es e t 的理论背景、发展状况及前景；第二章概述了v a g u e 集理论和r o u 曲集理论的基本概念、性质以及相关的运算规则；第三章分析研究已 有的v a g u es e t 相似度量后，提出一种新的v a g i l e 黝相似度量：第四章根据已有睁 模糊粗糙集以及v a g t l es e t 与模糊集的关系，提出了一种新的集合理论一v a g i l e r o u 曲s e t 经实例分析，它是合理的；第五章将各种不确定性集合的相似度量进行 统一，提出不确定性集合的相似度量：最后总结全文 边界不确定性集台的相似度量的研究 第二章v a g u es e t 与r o u g hs e t 理论概述 v a g t l es e t 理论是处理模糊信患的一种新的集合理论是模糊集合理论的 推广与完善，本质上仍是模糊集粗犍集( r o u 醵s c t ) 理论是也是一种处理模 糊和不确定性知识的数学工具其重要思想就是在保持分类能力不变得前提 下，通过知识约简，导出问题的决策或分类规则本章首先介绍了v a g i l es e t 的基本概念、性质以及有关的运算规则之后概述标准粗糙集理论( p a w l a l 【 粗糙集模型) 基本概念 2 l1y a g u e 集基本概念 2 1 v a g u es e t 理论 定义2 1 令u 是点( 对象) 的空间，其中盼任意一个元素用x 表示，u 中 的一个v a g i l e 集a 用一个真隶属函数 ) 和一个假隶属函数， ( 力表示，0 ) 是 从支持x 的证据导出的x 的隶属度下界， ( 砷则是从反对x 的证据导出的否定 隶属度下界，和厶o ) 将区间【o ，1 】中的一个实数与u 中的每个点联系起来， 即 ：u 一【o 1 】， ：u 一【o ，1 】，其中0 ) + ，a 0 ) 墨1 这样一个v a g i l e 集a 可表示为：a - ( x ，f 。o ) ， o ) ) 卜u u 上的全体 v a g u e 集所成集合记为v ( u ) 并且称c f a 0 ) ，1 一，a o ) ，为x 在a 中的v a g u e 值，仍记为x 也可将f 。 ) 和，a ) 分别简记为f 。、，a 由上述定义可知，在y a g u e 集中，x 的隶属度被限制在【o ，1 1 上的一个子空间 k 仁) ，1 一，a g ) 】内其中0 ) 是v a g u e 集a 的真隶属函数，表示支持x u 的证据的 必要程度，而1 ， ) 刚表示了支持x u 的证据的可能程度这样关于x 的不确定 性可以用差槐0 ) - 1 一o ) 一， o ) 来表示，如果该差值小，这表明我们相当精确地 知道x ：如果该差值大，则表明关于x 我们知道得很少：如果1 一，a 0 ) 一f 0 ) 则表明我 们精确的知道x ，此时v a g u e 集就退化为n z z y 集：如果1 一厶 ) 和o ) 同时为1 或o ， 这取决于x 属于还是不属于v a g u e 集，此时我们关于x 的信息是很精确的，也就是说 v a g u e 集己退化为普通集合 第二章v a g l i es e t 与r 0 u 曲s e t 理论概述 假定一个v a g l l e 集，其：苠隶属度函数和假隶属度函数分别用f 。和， 表示， 设v a g u e 值为 ，即可：功0 ) 一q 6 ，a 0 ) = 1 0 9 = o _ 1 此时，可理解为： u 属于a 的程度为0 6 ，不属于a 的程度为o 1 而m 。“) 。1 一o 6 一o 1 。o 3 ，即u 是否属于a 的未知程度为0 3 可以用投票模型( 假设投票总数均为1 0 ) 来解释： 即赞成票为6 票，反对票为l 票，弃权票为3 票f 1 0 1 设a 为一个v a g i l e 集 当u 连续时， a = i = = i a 0 ) ，1 一，a 0 ) 茗，z u 当u 离散时，a = 【t ，。( x i ) ，1 。f a ( x i ) 】t ，葺u 从上述定义可知，v a g u e 集的定义是模糊集和普通集合相应定义的扩充。 例如，假定x = f o 1 ，2 ，3 ，1 0 】，s m a l l 是x 的一个v a g i l e 集，它定义为： 踟。f f ；生堡+ 兰坠! 三+ 三q ：垒堕兰+ 三坠竺：盐+ 三q ：兰旦：垒 123 4 5 定义2 2 一个v a g u e 集：黾空的，当且仅当它的真隶属函数和假隶属函数在 x 上恒等于0 定义2 3 如果xa c o ) ，1 一，a 0 ) 为是v a g i l e 集a 中的一个郫e 值，则 x 一c f _ 0 ) ，1 一，_ 0 ) 称为x 约补 定义2 4 设u 是一个论域，一个v a g u e 集a 的补a 定义为：v u u ， 嘧 ) 一，a ，1 一，_ 0 ) = 1 一 ) - 定义2 5 设u 是一个论域，v a g u e 集a 为b 所包含，即a b ，当且仅 当兰f 。，1 一丘s 1 一，b 时 上述定义没有采用常见豹子区间包含( 即f a5 f b ，1 一，a 苫1 一，b ) 是因为根据 真段隶属函数的下界定义，采用前者比后者合理例如a b 的意思是a 的真隶属 度的下界也是b 的真隶属度的下界，即s f 。，而b 的假隶属度的下界也是a 的假隶 属度的下界，即，bs ，a 一1 一，as 1 一，b ) 当真假极限定为1 或0 时，那么关系 a b 便返回到传统的定义，即x a x b ，以及x 薯b x 圣a 定义2 6 设u 是一个论域，两个v a g u e 集a 和b 是相等的，即a ；b ，当 且仅当a b ，和b a ，即o ) t 0 ) ，1 一，a 0 ) 一1 一，b o ) 定义2 7 设u 是一个论域，两个v a g i l e 集a 和b 的并集是v a g i l e 集c ， 边界不确定性集合的相似度量的研究 c ；a u b ，其真、假隶属度函分别为： f 。g ) = m a x ( f a 扛) ，t 。 ) ) ， 1 。，c 0 ) t m a x ( 1 一，a o ) ，1 一，b 0 ) ) = 1 一面n ( ，a ) ，b g ) ) 定理2 1 爿u b 是包含a 和b 的最小v a g t l e 集 证明：c 是由定义2 7 所得的包含a ：和b 的v a g i l e 集，由于m 麟以，) 苫f a ， m 题以，) 芑，m a 【( 1 一，a ，1 一，b ) 苫1 一，a 和l l m ( 1 一， ，1 一，b ) 之l 一，b ，因此，如 果d 是任意一个包含a 和b 的v a g u e 集，那么七乏，f d2 名，1 一，d 1 一，a 和 1 一，d 1 一，h ，所以七苫m a 】【以，) 一f c ， 1 一，d 苫m a x ( 1 一，a ，1 - ，b ) 。1 一，c 上式隐含c d 定义2 8 设u 是一个论域，两个 ；t l e 集a 和b 的交集是v a g u e 集c ，即 c = a n b ，其真、假隶属度函数分别为： f c 0 ) ；m i n ( 0 ) ，f b 0 ) ) ， 1 一，c 0 ) = m i l i ( 1 一，a o ) ，1 一，b 0 ) ) ；1 一m a x ( ，a 0 ) ，b 仁) ) 定理2 2a n b 是包含a 和b 的最大v a g i l e 集 证明：设c a n b ，由于m i i l o ，f b ) s ，m i n 以，屯) s f b ， 以及 m i n ( 1 一，a ，1 一厶) s ，a ，l i n ( 1 一，a ，1 一，b ) 量，b ， 因此，如果d 是包含a 和b 的任意一个v a g u e 集，那么气s f ，屯量f b ， 以及1 一，d 墨1 一，a ，1 - ，ds 1 一，b ， 所以 f ds m i i l o a ，f b ) t f c ，1 一，ds i n i i i ( 1 一， ，1 一，b ) 一1 一，c 显然d c 定理2 3 ：a b 一百x 第二章v a g u es e t 与r o u g l l s e t 理论概述 定理2 4 ：a b a f l b = a a u b = b 定义2 9 论域u 上的一个v a g i l e 集a 是凸v a g u e 集，当且仅当对x 中的所 有x 。和x ：以及 o ，1 中的所有 ，下式均成立： t a x 1 + ( 1 一) x 2 ) 之m i n ( t a ( x 1 ) ，t a ( x 2 ) ) ， 1 一f ( a x l + ( 1 一a ) x 2 ) 苫m i n ( 1 一f a ( x 1 ) ，1 一f a ( x 2 ) 定义2 1 0 论域u 上的一个v a g u e 集a ，a ；z ct a ( x t ) ，1 。f a ( x t ) ，x t ，如果 j x 。u ，有1 - f a ( x 1 ) 一1 ，即( x 。) = o ，则称a 是正规的v a g u e 集 定义2 1 1 令x = 是一个v a g u e 值，如果t 。= 1 ，= o ，那么将x = 称 为单位v a g u e 值 定义2 1 2 令x = 是一个v a g u e 值，如果t 。= 0 ，f x = 1 ，那么将x _ 称为零v a g u e 值 定义2 1 3 令a 是论域u = x 。，x ：，x 。) 上的一个v a g u e 集，其中 爿。! 生f 兰! 羔! 互堡；坦+ 啦蔓! 互f 苎z 生+ + 韭也型垃，如果v i ，1 墨i ；n ， x l x 2 x “ t 。( x i ) = 1 且f a ( x i ) - o ，那么将a 称为单位v a g u e 集 定义2 1 4 令a 是论域u ： x 。，x ：，x 。) 上的一个v a 9 1 j e 集，其它：如果v i ， 爿：生亟蔓! ：弛匕三选迪缝也+ + 旦虹型迎也1 s i ；n ，t 。( x 。) ：o x 1x 2 x o 且f a ( x ，) = 1 ，那么将a 称为零v a g u e 集 定义2 1 5 令a 是论域u ： x 。，x ：，x 。 上的一个v a g u e 集，其中 爿：型坐! ：生垡l 坐+ 二心2 ：! 抛+ + 旦亟造堑业，如果v i ，1 ；i s n ， x l x 2 x “ t 。( x i ) = o 且f a ( x i ) = 0 ，那么将a 称为空v a g u e 集 2 2 v a g u e 集的性质与运算 2 2 1 v a g l l e 集的性质 1 0 边界不确定性集合的相似度量的研究 令a 、b 、c 分别是论域u 上的三个v a g l l e 集，它们的交、并运算分别定义 为n 和u ，那么，由定义2 7 以及2 8 可以得到关于v a g u e 集的如下性质： ( 1 ) 交换律：a u b = b u a ，a n b = b n a 由m i n 和m a x 的交换性很容易得出上述结果 ( 2 ) 结合律： a u ( b u c ) = ( a u b ) u c ，a n ( b n c ) = ( a n b ) n c 由m i n 和m a 】【的结合性很容易得出上述结果 ( 3 ) 幂等律：a n a = a ，a u a 。a 由m i n 和m a 】【的幂等性得出上述结果 ( 4 ) 分配律： a u ( b nc ) = ( a ub ) n ( a uc ) ，a n ( b u c ) = ( a nb ) u ( a nc ) 由m i n 和m a x 的分配性很容易得出上述结果 ( 5 ) 当g = ，x = 时，a n 0 一彩，a u x = x 证明： n 。；l l l i n ( t a ，o ) ；0 ，1 一f n 。a m i l l ( 1 一f a ，o ) z o t a u x = m a x ( t a ，1 ) ；1 ，l t 她一m a x ( 1 一f a ，1 ) a 1 ( 6 ) 同一律：a u 彩一a ，a n x ；a ，其中乃= ，x = 证明：t a * m a 【( t a ，o ) = t a ，1 一。；m 缸( 1 一f a ，o ) 一l f a ( 多t a n x m 血p 。，1 ) t f a ，1 一强；m j n ( 1 一f a ，1 ) - 1 一f ( 7 ) 吸收律：a u ( a nb ) = a ，a n ( a u b ) a 证明：t a u ( a n b ) = m a x ( t a ，m i n ( t a ，t b ) ) = t a 1 i u ( a n b ) ；m a x ( 1 一f ，m i l l ( 1 一f a ，1 一f b ) ) = 1 一f a n ( a u b ) 一i n i n ( t a ，m a 】【( t a ，t 3 ”一t a 1 一( a u b ) 一m i n ( 1 一f a ，m a x ( 1 一f a ，1 一f b ) ) = 1 一f a ( 8 ) 摩根律：而= 五n 百，j _ 而= 五l j 五 证明：t u b = m a 】【( t a ，t b ) 第二章v a g l l e s e t 与r o u 曲s e t 理论概述 1 1 1 一f a u b = m 越( ( 1 一f a ，1 一f b ) ；1 一m i i l ( f ，f b ) 硒；础i ( f a ，f b ) = 丽 1 f 蠢一1 一m a x ( t a ，t b ) = m i ( 1 一t a ，1 一t b ) ；f a n b = 埘n ( t a ，t b ) 1 一f a n b = m j i l ( 1 一f a ，1 一f b ) ；= 1 一m a x ( ，f b ) 旆。m 缸( f a ，f b ) = 硒 1 一f 每面一1 一m i n ( t a ，t 日) 。皿腿( 1 一t a ，1 一t b ) 一f 矗j i ( 9 ) 二重补律：蓑。a 证明：x ；f a ，1 一f _ = l t a x = t a ，1 一f = 1 一f a 2 2 2 v a g u e 集的运算 令a 和b 是论域u 上的两个v a g u e 集，其真隶属度函数和假隶属度函数 分别为t 。、b 、f a 和f b ，令x 、y 、z 是论域u 中的实数，” ”和”v ”分别表示取 小和取大算子v a g i l e 集的加法、减法、乘法和除法运算规则分别定义如下 定义2 1 6a 和b 相加所得到的和c 仍是一个v a g u e 集，写作c ；a o b ， 它的真隶属度函数和假隶属度函数分别为t 。和f c ，且有弦 t c ( z ) 日：- v + ，( “x ) t s ( y ) ) 1 - f 。( z ) = v ( ( 1 一f a ( x ) ) ( 1 一f 。( y ) ) ) 定义2 1 7a 与b 的差( ：仍是一个v a g l l e 集，它的真隶属度函数和假隶属度函 数分别为t 。和f c ，且有 t c ( z 卜：z 。( t 一( x ) t b ( 瑚 1 乜( z ) _ ：羔( ( 1 一f a ( x ) ) ( 1 f b ( y ) ) ) 定义2 1 8a 和b 的积( ：仍是一个v a g u e 集，写作c a b 它的真隶属度函数 和假隶属度函数分别为t 。和1 c ，且有 t c ( z ) 皇：( t 一( x ) t e ( y ) ) 边界不确定性集合的相似度量的研究 1 - f c ( z ) 一v ( ( 1 一f a ( x ) ) ( 1 一f b ( y ) ) ) 定义2 1 8 a 和b 的商c 仍是一个g u e 集，写作c = a 口b ，它的真隶属度函 数和假隶属度函数分别为t ，和f r ，且有 t c ( z ) - ：二( t 一( x ) t - ( y ” 1 - f c ( z ) 一v ，( ( 1 一f a ( x ) ) ( 1 一f b ( y ) ) l 可以看出：与模糊集相比，v a g u e 集所能表示和处理的具有模糊性的不确定 性含有更为丰富的信息可以预见，随着? i i 的迸一步研究与发展，v a g u e 集的用途 也将会越来越广目前，我们正着手从事这一领域的研究，希望能不断的发展和完 善v a g u e 集的基础理论，并把v a g u e 集的理论，技术和方法用于各种智能系统和控 制领域 2 3r o u g h 集理论 r o u 曲集理论主要兴趣在于它恰好反映了人们用r o u g h 集方法处理不分明问 题的常规性，即以不完全信息或知识去处理一些不分明现象的能力，或依据观察、 度量到的某些不精确的结果而进行分类数据的能力它自提出以来就一直得到模 糊数的创始人z a d e h 的重视，并给予很高的评价，把它列入他新提倡的软计算的 基础理论之一可见无论是在理论或应用上，r o u g h 集都是一种新的、最重要的并 且是迅速发展的一门既有理论又有应用的的研究领域 知识表达是智能信息系统的关键部分所谓知识获取，就是要从大量的原始 数据信患中分析发现有用的规律信息，即是将知识从一种原来的表达形式( 原始 数据表达形式) 转换为一种新的目标表达形式( 人类或者计算机便予处理的形式， 如逻辑形式) 等基于r o u 曲s e t 理论的知识发现，主要是借助于信息表这样一种 有效的数据表知识表达方式 信息表知识表达系统的基本成分是研究对象的集合，关于这些对象的知识是 通过指定对象的属性( 特征) 和它们的属性值( 特征值) 来描述的一般地，一个 信息表知识表达系统s 可以表示为s = ( u ，r ，v ，f ) ，这里，u 是对象的集合，也称为论 域，任何子集x u ，成为u 中的概念或范畴；r = c u d 是属性集合，子集c 和d 分 别称为条件属性和决策属性，v = uv r 是属性值的集合，v r 表示属性r r 的属性 m 值范围，f ：u r v 是一个信息函数，它指定u 中每一个对象x 的属性值一 定义2 3 1 对于每个属性子集b r ，我们定义一个不可分辨关系( 或等价 第二章v a g 【l e s e c 与r 0 u 曲s e t 理论概述 关系) i n d ( b ) ，即 帕( b ) 一 ( x ，y ) ( x ，y ) u 2 ，v b b ( b ( x ) _ b ( y ) ) ) 显然，i n d ( b ) 是个等价关系( 满足自反性，对称性和传递性) ，且 玳d = ni n d ( b ) ) 日 定义2 3 2 个决策表是一个信息表知识表达系统s 邓，r ，v ，f ) ，r = 双 是属性集合，子集c 和d 分别称为条件属性和决策属性，d d 令x u ，当x 能用属性子集b 确切地描述( 即是属性子集b 所确定的u 上的不分 明集的并) 时，称x 是b 可定义的，否则称x 是b 不可定义的b 可定义集又称作精确集， b 不可定义集又称为b 非精确集或br o u 曲集 根据一个条件属性子集所确定的不可分辨关系，我们有可能能够准确的判定 一些样例是否属于该概念，乜有可能不能够判定某些样例是否属于该概念为了描 述这个问题，r o u g h 集理论采用了上近似集、下近似集的概念。 定义2 3 3 给定知识表达系统s 一( u ，r ，v ，f ) ，对于每个子集x u 和不可分 辨关系b ，x 的上近似集和下近似集分别可定义由b 的基本集定义如下： b ( x ) e u x i ( x u f d 旺砌野 x x 汀 b ( x ) t u x l ( x 仨u i 玳d ( b ) x n x a ) 其中，u i i n d ( b ) - x i ( ) ( t f v x v y v b ( b ( x ) 一b ( y ) ) ) 是不可分辨关系b 对u 的划 分，也是论域u 的b 基本集的集合 b ( x ) ； x f ( x u f x 】b ) 【) b ( x ) 一 x ( 】【u 【x 】b n x # 彩) ) 即当且仅当【x 】b x ，x b 僻) ：当且仅当【x 】b n x g ，x b ( x ) 定义2 3 4 集合b n 。( x ) ，b ( x ) 一b 。( x ) 称为x 的b 边界；p o s 。( x ) 一b ( x ) 称 为x 的b 正域：n e g 。( x ) - u - b ( x ) 称为x 的b 负域 b ( x ) 或p o s 。( x ) 是根据知识b ( 属性子集b ) ，u 中所有一定能归入集合x 的元素构成的集合，即所有包含于x 的基本集x 的并，b ( x ) 是根据知识b ，u 中所 有一定能和克能归入集合x 的元素构成的集合，即所