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哈尔演理t 人学理学硕i j 学位论文 奇异系统的鲁棒控制 摘要 奇异时滞系统，也称为时滞微分代数方程、隐式时滞系统或广义时滞 系统，它本质上是由矩阵时滞微分方程和矩阵差分方程藕合在一起的系统。 对奇异时滞系统而言，没有类似于正常时滞系统l y a p u n o v 稳定性定理的完 备的稳定性结论，需要将l y a p u n o v 稳定性定理作进一步推广力行。如果得 到的系统状态模型的部分变量关于时间的导数含有一个小参数( 非负) ，则 称此类系统为奇异摄动系统。奇异摄动理论对于分析和建模具有病态数值特 性的系统是一种有效的工具。 本文主要研究不确定奇异时滞系统的保性能控制和不确定奇异摄动系统 的鲁棒状态反馈控制。具体包括以下两个部分： 1 不确定奇异时滞系统的保性能控制 研究同时具有参数不确定性和非线性摄动的不确定奇异时滞系统的保性 能控制问题。假定系统中不确定参数满足范数有界不确定性，非线性摄动是 状态的一般的非线性函数。针对这种情况，将l y a p u n o v 稳定性定理进一步推 广，在满足一定条件的情况下结合不等式处理技巧，把不确定奇异系统的保 性能控制问题转化为求解线性矩阵不等式。分别给出无记忆状态反馈控制器 和有记忆状态反馈控制器的设计方法和可保性能指标。该控制器可使系统鲁 棒稳定并使性能函数具有指定的上界。 2 不确定奇异摄动系统的状态反馈控制 分别研究了具有参数不确定性的无时滞奇异摄动系统和时滞奇异摄动系 统的状态反馈控制。利用传统的l y a p u n o v 方法，通过构造适当的l y a p u n o v 泛函，利用几个相关的不等式，分别导出相应系统的状态反馈控制器存在的 充分条件。并进一步给出相应系统的无记忆状态反馈控制器和有记忆状态反 馈控制器的设计方法，其中的控制器参数可由线性矩阵不等式的可行解给 出。 文中结论大多以线性矩阵不等式形式给出，可用m a t l a b 软件计算，求 解方便易行。相关算例验证了设计方案的可行性和有效性。 关键词奇异系统；奇异摄动系统；保性能控制；时滞；线性矩阵不等式方 法 哈尔演理5 i - 人学理学顾l 学位论文 i m m l r o b u s tc o n t r o lo fs i n g u l a rs y s t e m s a b s t r a c t s i n g u l a rt i m e - - d e l a ys y s t e m sa r ea l s on a m e dd e l a yd i f f e r e n t i a l a l g e b r a i c e q u a t i o n s ，i m p l i c i tt i m e d e l a ys y s t e m s o r g e n e r a l i z e ds y s t e md e l a y , i t i s e s s e n t i a l l y as y s t e mc o u p l e db yt i m e - d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dm a t r i x d i f f e r e n c ee q u a t i o n s t h e r ei sn os t a b i l i t yc o n c l u s i o ni ns i n g u l a rt i m e - d e l a y s y s t e m sa sc o m p l e t e da st r a d i t i o n a ll y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r yi nn o r m a lt i m e d e l a ys y s t e m s t h u sw en e e dt oe x p e n dl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y t h es y s t e m s w h i c hh a v es o m ev a r i a b l e sw i t has m a l lp a r a m e t e r ( n o n n e g a t i v e ) o nt h et i m e d e r i v a t i v ei ns y s t e ms t a t em o d e la r en a m e ds i n g u l a r l yp e r t u r b e ds y s t e m s s i n g u l a rp e r t u r b a t i o nt h e o r yi s a ne f f e c t i v et o o lf o ra n a l y z i n ga n dm o d e l i n g s y s t e m sw i t hi l l - d e f i n e dn u m e r i c a lc h a r a c t e r i s t i c s i nt h i sp a p e r ，w er e s e a r c hg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lo fu n c e r t a i ns i n g u l a rt i m e d e l a ys y s t e m sa n dr o b u s t s t a t ef e e d b a c ko fu n c e r t a i ns i n g u l a r l yp e r t u r b e d s y s t e m s m a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ri n c l u d et h ef o l l o w i n gt w op a r t s ： 1 g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lo fu n c e r t a i ns i n g u l a rt i m e d e l a ys y s t e m s t h ep r o b l e mo ft h er o b u s tg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o rt h ec o n t i n u o u sl i n e a r s y s t e m sw i t hu n c e r t a i np a r a m e t e r sa n dn o n l i n e a rp e r t u r b a t i o ni s s t u d i e d i ti s a s s u m e dt h a tu n c e r t a i np a r a m e t e r sa r eo fn o r mb o u n d e du n c e r t a i n t y ，a n d n o n l i n e a rp e r t u r b a t i o ni sg e n e r a ln o n l i n e a rf u n c t i o no ft h es t a t e w ec a ne x p e n d l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y t ou n c e r t a i n s i n g u l a rs y s t e m s w i t hi n e q u a l i t y h a n d l i n gt e c h n i q u e ，t h eg u a r a n t e e d c o s t c o n t r o l ( g c c ) p r o b l e m c a nb e t r a n s f e r r e di n t os o l v i n go fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s t h ed e s i g n so ft h er o b u s t g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e rw i t hm e m o r yo rm e m o r y l e s sr o b u s tg u a r a n t e e dc o s t c o n t r o l l e ra r eo b t a i n e d ，a n dt h e nt h ec o r r e s p o n d i n ge x a m p l e sa r eg i v e nt o i l l u s t r a t et h ec a s e 2 s t a t ef e e d b a c kc o n t r o lo fs i n g u l a r l yp e r t u r b e ds y s t e m s w er e s e a r c hb o t ht h es t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e r so fs i n g u l a r l yp e r t u r b e d s y s t e m sa n dt h es i n g u l a r l yp e r t u r b e dt i m e - d e l a ys y s t e m s b a s e do nt h et r a d i t i o n a l l y a p u n o vm e t h o d ，t h ec o r r e s p o n d i n gs u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo f s t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e r sa r eo b t a i n e d s o m ec o n t r o l l e r so fs i n g u l a r l yp e r t u r b e d s v s t e r n sa r eo b t a i n e db yc o n s t r u c t i n ga p p r o p r i a t el y a p u n o vf u n c t i o n a l sa n db y a p p l y i n gr e l e v a n ti n e q u a l i t i e s t h ec o n t r o l l e rp a r a m e t e r s c a nb eg i v e nb yt h e f e a s i b l es o l u t i o no fl m i s t h ec o n c l u s i o n si nt h i sp a p e ri sm a i n l ye x p r e s s e da sl m i s ，t h e r e f o r em a t l a b c a nb eu s e dt oo b t a i nt h es o l u t i o n s ， c o n v e n i e n t l y t h e n w eg i v er e l a t l v e n u m e r i c a le x a m p l e st od e m o n s t r a t et h ef e a s i b i l i t ya n de f f e c t i v e n e s so f t h er e s u l t s o b t a i n e d k e y w o r d ss i n g u l a rs y s t e m s ，s i n g u l a r l yp e r t u r b e d s y s t e m s ，g u a r a n t e e d c o s t c o n t r o l ，t i m e d e l a y , l m ia p p r o a c h i i i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文奇异系统的鲁棒控制， 是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研究工 作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或 撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以 明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名： 日期：力7 f 年3 月，尹日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 奇异系统的鲁棒控制系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间在 导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理工大学所 有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈尔滨理 工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交论 文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用 影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密日。 ( 请在以上相应方框内打) 作者签名：多芨条7 日期：期f 年3 月1 7 同 导师虢诱谚 日期：驴年岁用9 同 哈尔滨理t 大学理学顾 学位论文 第1 章绪论 1 1 课题来源 本课题属于理论研究范畴，来源于指导教师的国家自然科学基金项目。 1 2 课题研究的目的和意义 鲁棒控制是六十年代兴起的目前仍然非常活跃的一个研究领域，具有非常 广泛的研究内容。鲁棒一词来自英文词“r o b u s t ”的音译。鲁棒控制是一种使 受到不确定性作用的原有系统保持其原有能力的控制技术。稳定性是对一个系 统正常工作的基本要求，关于动态系统的稳定性研究在上世纪就得到了广泛应 用。而鲁棒稳定性就是系统在受到干扰时仍能保持其稳定性的能力，这种扰动 是不确切知道的但是有限的，也就是说在自由系统稳定的前提下，只要不确定 参数在允许的范围内，实际系统就仍然稳定。本世纪五十年代后期，空间技术 的发展和计算机技术的普及对控制理论的发展产生了深刻的影响，这种影响促 进控制理论由经典控制理论向现代控制理论转变。以微分方程描述为基础的时 域方法是鲁棒控制理论研究中最活跃的一个分支，内容十分丰富。在时域鲁棒 性分析中，l y a p u n o v 方法得到了广泛应用。其一般思想是针对不确定状态空间 对象，选择一个合适的l y a p u n o v 函数，然后基于范数的概念得到鲁棒稳定性 界限。在工业控制领域中，随着生产过程中工作条件环境变化，控制系统中元 器件老化或损坏，被控对象本身的特性也会随之发生变化，众多因素导致所建 立的数学模型和实际的被控对象之间不可避免地存在误差及不确定性。不确定 因素会对系统的稳定性产生影响。同时，时滞现象也存在于许多系统中。实践 证明时滞往往是系统失稳的重要因素之一。 所谓保性能控制最初是由c h a n g 等于1 9 7 2 年提出的，其基本思想是设计 控制器，使闭环系统鲁棒稳定，且性能指标有一个稳定的上界。上世纪7 0 年 代以来，随着不确定系统鲁棒控制研究的深入，保性能控制问题受到了人们的 极大关注。目前对保性能控制的研究还是主要集中在系统参数的各种不确定性 的结构方面，至今已取得了十分丰富的研究结果，而对系统同时具有参数不确 定性和外界非线性扰动这方面的研究仍就很少。我们知道，在工程实际当中， 控制系统由于种种原因一定存在着这样或者那样的非线性因素，而非线性因素 与线性因素相比较又复杂得多，难处理得多，虽然这些年来，许多学者对各种 参数不确定性系统保性能控制做了积极有效的探讨，但对系统中不确定性存在 哈尔滨理t 人学理学硕十学位论文 非线性的保性能控制的研究却很少，对系统中同时存在参数不确定性和非性线 摄动的保性能控制的研究则更不多见。因此，这方面的问题就更有代表性，值 得我们进一步去研究。 1 9 7 4 年，r o s e n b r o c k 在研究复杂的电网络系统中首次提出了奇异系统模 型 2 1 。奇异系统又称为描述系统、微分代数系统、广义状态空间系统或半状态 系统等。奇异系统是一类更为一般的系统并具有广泛的实际背景，在工业系统 和社会经济系统中均有重要的应用，吸引了众多学者的关注和研究【堋。近年 来，对时滞系统的研究正蓬勃兴起，受到理论与实际工作者的高度重视l o 】。 但关于时滞系统和奇异系统两方面相结合的研究工作比较少。在处理工程实际 问题过程中( 如柔性机器人和航天工程) ，得到的系统状态模型部分变量关于 时问的导数含有一个小参数占( 非负) 称此类系统为奇异摄动系统。奇异摄动 理论对于分析、建模具有病态数值特性的系统被认为是一种有效的工具。 本文分别将时滞和不确定奇异系统、时滞和不确定奇异摄动系统结合起 来，将保性能的概念引入到时滞不确定奇异系统中，以不确定时滞奇异系统为 研究对象，设计系统的控制器，在理论研究和实际应用上都有着重要意义。 1 3 背景描述 由于奇异时滞系统同时含有时滞项和差分约束，故对这类系统的分析比正 常系统要复杂和网难得多。我们既不能仅从时滞系统的观点进行考虑，也不能 仅从奇异系统的观点进行考虑，而应该从两类系统相结合的角度进行研究和分 析。目前，关于奇异时滞系统研究的结果并不多，还存在很多需要解决的问 题。与f 常时滞系统相比，奇异时滞系统研究要克服的两个困难是： 1 奇异时滞系统解的存在唯一性不容易满足，存在初始条件的相容性问 题。早在1 9 8 0 年，c a m p b e l l t l l 】在初始函数无穷次可微的条件下，给出了线性 定常奇异时滞系统存在无穷次可微解的充分条件，但这一条件太强。后来，刘 永清等【1 2 】及蒋威【1 3 】分别在其专著中利用不同的方法讨论过这一问题。徐元胜【1 4 】 对这个问题作了进一步研究将充分条件弱化为奇异系统j 下则，无脉冲模且零解 渐近稳定。 2 对奇异时滞系统而言，没有类似于正常时滞系统l y a p u n o v k r a s o v s k i i 稳定性定理的完备的稳定性结论。在文献 1 2 中，刘永清等将传统意义下的 l y a p u n o v 稳定性定义推广到了奇异时滞系统，给出系统关于解的向量函数稳定 及渐近稳定的定义。在此基础上，解决了线性定常奇异时滞系统在几种特殊情 形下的稳定性问题。 哈尔滨理t 大学理学顾十学位论文 文献 1 5 1 7 1 讨论了非滞后不确定系统的保性能控制，而文献 1 8 2 6 贝j j 研究了 滞后不确定系统的保性能控制。将保性能控制引入不确定奇异时滞系统也是近 来研究的一个热点。文献 2 7 1 研究不确定奇异时滞奇异系统保性能控制，给出了 控制器存在的一个充分条件和可保性能指标，控制器可由线性矩阵不等式求解。 张冬梅，俞立【2 8 】推广了文献 2 7 】的研究成果，针对一类同时具有状态和控制时 滞的不确定时滞系统，研究保性能鲁棒控制问题。利用l y a p u n o v 稳定性理 论，采用线性矩阵不等式的方法，提出状态反馈保性能控制器的存在条件和设 计方法，并给出相应的性能指标上界。将保性能控制的概念引入不确定的时滞 奇异系统是目前一个比较活跃的研究方向。 分析奇异摄动系统最常用的方法是时间尺度分解法【2 9 1 ，主要思想是：首先 忽略系统的快变量降低系统阶数，然后引入边界层方程校正以保证降阶系统逼 近原系统解的相对精确性。通过快慢分解的方法，使用状态反馈控制镇定奇异摄 动系统已经得到了广泛的研究。文献【3 0 】使用线性矩阵不等式( l m i ) 作为解决奇 异摄动系统问题的方法，定义了一个带参数不确定的奇异摄动系统，研究了通 过静态状态反馈镇定系统的条件，通过一个引理把题归结为解一组独立的矩阵 不等式，并给出了一种算法通过l m i 解决这组线性矩阵不等式。这种方法对 于标准和非标准奇异摄动系统都适用。但文献 3 0 1 是有局限的，它假设g 0 去 掉了一种重要的情况。并且当占很小时计算量变得很大，不利于用计算机计算 线性矩阵不等式。但利用l y a p u n o v 稳定性理论把研究奇异摄动系统的稳定性 转化为解一组线性矩阵不等式的确是一种行之有效的方法 3 1 - 3 8 1 ，s h a o 进一步 发展了这种方法1 3 9 - 4 2 1 。s h a o l 4 3 1 在2 0 0 4 年给出了奇异摄动时滞系统的稳定界。 s h a o 将系统用状态变换改写成较简单的形式，然后引入包含f 项的l y a p u n o v 函数，利用解线性矩阵不等式的方法求出稳定界。2 0 0 5 年蔡晓晨、邹云给出了 线性奇异摄动系统的矩阵不等式方法的h 。控制m 】。在2 0 0 6 年s h a o 4 5 1 又给出了 不确定奇异摄动系统的状态反馈控制器设计方法，同样是将系统用状态变换改 写成较简单的形式，然后引入包含s 项的l y a p u n o v 函数，再利用解线形矩阵 不等式给出状态反馈控制器的设计方法。刘丽丽【4 6 1 研究了奇异摄动系统状态反 馈h 。控制。给出关于时滞系统和奇异摄动系统两方面相结合的研究目前还比 较少，还有许多问题有待解决。 1 4 本文研究的主要内容 本论文是根据所研究系统的不同划分为两章，分别是不确定奇异时滞系统 和不确定奇异摄动系统： 哈尔滨理t 人学理学硕f ：学位论文 第二章讨论了两类带有非线性不确定性的奇异系统 臌( f ) = ( 彳+ 鲋) x ( f ) + ( 鸣+ a a d ) x ( t - d t ) + ( b + a b ) u ( t ) + f ( x ( t ) ，t ) x ( t ) = 少( f ) ，f l - r ，0i 和 e 2 ( t ) = ( 么+ 彳) x ( f ) + ( 4 + 以) 石( f 一4 ) + ( 曰+ a 曰) “( f ) + ( b + a b a ) u ( t - d 2 ) + f ( x ( t ) ，t ) x ( t ) = 沙( f ) ，f - f ，0l 的保性能控制器设计问题。首先给出保性能鲁棒控制器存在的一个充分条件， 但这个充分条件含有不确定性。进一步利用s c h u r 补引理，使此条件转化为不 含不确定性的充分条件，并同时给出保性能鲁棒控制器的设计方法。最后，利 用m a t l a b 的l m i 工具箱验证上述理论的正确性。 第三章给出了不确定奇异摄动系统 毫( t ) = ( 4 。+ 4 ，) 五( f ) + ( 4 ：+ 4 ：) 砭( t ) + b l u ( t ) p 岛( t ) = ( 4 。+ 4 。x l ( f ) + ( 4 ：+ a 4 ：) 而( t ) + b 2 u ( t ) 的状态反馈控制器设计方法。首先给出状态反馈鲁棒控制器存在的一个充分条 件，但这个充分条件含有不确定性。进一步用线性矩阵不等式方法给出状态反 馈鲁棒控制器存在的一个不含不确定性的充分条件及状态反馈鲁棒控制器的设 计方法，并给出算例用m a t l a b 的l m i 工具箱验证上述理论的正确性。然后 再将结论进一步推广到不确定奇异时滞摄动系统 毫( t ) = ( 4 。+ 4 。) _ ( f ) + ( 4 ：+ m ：) 恐( f ) + ( 4 。+ 以。) 一( f r ) + ( 4 1 2 + 弛1 2 ) 恐( t - v ) + b t u ( t ) s 岛( t ) = ( 4 + 4 。) _ ( f ) + ( 4 ：+ 4 ：) 屯( f ) + ( 4 ：。+ 以：。) x 。( f f ) + ( 以2 2 + 以2 2 ) 砭( f f ) + 垦“( f ) 在结论部分，我们对不确定时滞系统的保性能控制问题和不确定奇异 摄动系统的状态反馈控制问题做了总结，并提出了进一步研究的问题。 1 5 相关理论 为了研究方便，先对以下概念进行论述： 定理1 i t 4 7 】( 李亚普诺夫主稳定性定理) 对连续的非线性系统 戈= ( x ，t ) ，t l t 0o 。) ( 1 一1 ) 若可构造对x 和t 具有连续一阶导函数的一个标量函数v ( x ，t ) ， 哈尔滨理t 大学理学硕f ：学位论文 v ( o ，t ) = 0 ，且对状态空间尺”中所有非零状态点x 满足如下条件： ( 1 ) v ( x ，t ) 正定且有界，即存在两个连续的非减标量函数口( ix 1 1 ) 和 p ( 1 l x l l ) ，其中口( o ) = o 和( o ) = o ，使对所有f 【t o , ) 和所有工o 成立： a ( 1 l x l l ) y ( x ，t ) - 口( i x l ) o ( 2 ) v ( x ，t ) 对时间f 的导数v ( x ，t ) 负定且有界，即存在一个连续的非减标 量函数7 ( ) ，其中厂( o ) = o ，使对所有f 【t o , ) 和所有x o 成立： 矿( x ，f ) 一r ( u x l l ) o ( 3 ) 当专，有口( ) o o 即y ( 五f ) 一。 则系统的原点平衡状态x = 0 为大范围一致渐近稳定。这里称v ( x ，t 1 为连续非 线性系统( 1 - 1 ) 的l y a p u n o v 函数 引理1 1 【2 7 】7 1 1 - 7 1 4 给定适当维数矩阵r ，兀，f ( t ) y f 【im ，其中m 是对称矩 阵，则 m + r f ( t ) n + n r f7 ( f ) r 7 0 ，使得不等式 m + d _ r r + s 一1 兀r 兀 0 成立。 引理1 2 【4 8 c h u r 补弓i 理) 对于对称矩阵肛陵乏 ，其中 s ：= 。下面三个条件等价 1 ) s o 2 ) s i l 0 ，2 一酸西1 s 2 0 3 ) & 2 0 ，s i - s , 2 s t 2 0 引理1 3 对于适当维数的任意矩阵x 和】，有 x r y + y 7 x 0 哈尔滨理t 人学理学顾十学位论文 p a 七管p t 七q + p a , q 、- 、p 0 则对任意满足相容性初始条件的函数缈( f ) 有唯一连续的解，且零解渐近稳定。 哈尔滨理工人学理学硕i ：学位论文 第2 章不确定奇异系统的鲁棒保性能控制 2 1 引言 奇异系统又称为描述系统、微分代数系统、广义状态空间系统或半状态系 统等。奇异系统是一类更为一般的系统并具有广泛的实际背景，在工业系统和 社会经济系统中均有重要应用，并且在理论研究上已经取得一些成果。保性能 控制最初是由c h a n g t l 】1 9 1 撇等于1 9 7 2 年提出的，其基本思想是设计控制器，使 闭环系统鲁棒稳定，且性能指标有一个稳定的上界。冯俊娥，程兆麟【2 7 】7 1 1 j 1 4 研 究了不确定奇异时滞系统保性能控制，给出了控制器存在的一个充分条件和可 保性能指标，控制器可由线性矩阵不等式求解。张冬梅，俞立【2 8 】1 0 5 以0 9 推广了冯 俊娥，程兆麟的研究成果，针对一类同时具有状态和控制时滞的不确定时滞系 统，研究保性能鲁棒控制问题。本章进一步推广文献 2 7 2 8 的研究结果，研 究带有非线性扰动的不确定奇时滞异系统的保性能控制问题，给出控制器存在 的一个充分条件和保性能指标，控制器可由线性不等式求解。 2 2 无记忆状态反馈保性能控制 2 2 1 问题描述 考虑带有非线性扰动不确定奇异系统 晟( f ) = ( 彳+ 鲋) x ( f ) + ( 以+ 毛) z ( f z ) + ( b + 功u ( 0 + s ( 4 0 ，t ) ( 2 - 1 ) x ( t ) = 沙( f ) ，t | - f ，0i 其中，e r “”是奇异矩阵，并且r a n k ( e ) = ， 0 是给定的对称正定加权矩阵。 本节的目的是设计系统( 2 1 ) 的保性能鲁棒控制器 u ( t ) = 戤( f ) ，k r ” ( 2 4 ) 为此，首先给出系统( 2 1 ) 的保性能鲁棒控制器定义。 定义2 1 对于不确定系统( 2 1 ) ，若存在控制律( 2 4 ) 和一个正数，使得对 满足式( 2 2 ) 所有允许不确定性，闭环系统都是渐近稳定的且性能指标函数( 2 3 ) 满足j j ，则称+ 为系统( 2 1 ) 的一个可保性能而控制器( 2 4 ) 称为系统( 2 1 ) 的 一个保性能鲁棒控制器。 2 2 2 定理及其证明 定理2 1 对不确定奇异时滞系统( 2 一1 ) 和性能指标( 2 3 ) ，若存在适当维数的 矩阵p ，k ，正定矩阵r ，使得对所有允许的不确定性都有 p e = e 7 p 7 0 ( 2 5 ) ho r 川a d 一+ 蜀 ol ( 4 + 弛) 7 p 7 一蜀 j 则控制器( 2 4 ) 为系统( 2 1 ) 1 钓- - 个状态反馈保性能鲁棒控制器， 不确定性，性能指标满足 j c p r ( o ) 朋伊( o ) + ，妒r ( s ) e 妒( s ) 凼 ( 2 6 ) 且对所有允许的 ( 2 7 ) 其中a 。= 以+ p 7 + q + k r r k + r i + p p 7 + 口2 ，4 ；彳+ a a + b k + a b k 证明由引理1 4 知，由控制器( 2 4 ) 和系统( 2 1 ) 构成的闭环系统零解渐近稳 定。下面证明控制器( 2 4 ) 是一个保。蚪i z t 厶匕i ：1 f _ , 控制器。 由控制器( 2 4 ) 矛t l 系统( 2 一1 ) 构成的闭坏系统为 e x c ( t ) = ( 彳+ 4 + 脒+ 雠) x ( f ) + ( 以+ 4 ) x ( f d 。) + ( j f ( f ) ，t ) ( 2 - 8 ) z ( f ) = 缈( f ) ，f 卜f + ，0i 选取l y a p u n o v 函数为 y ( x ( f ) ) = x r ( f ) 胁( f ) + f - d ( j ) r x ( s ) 凼r x t 沿闭环系统的任意轨线，矿( x ( f ) ) 关于时间的导数是 矿( x ( f ) ) = ( t ) p e x ( t ) + x 7 ( f ) 脲( f ) + z7 1 ( , ) r , x ( o - x7 1 ( t - d 。) r 。x ( t - d ) = ( 戤) 7 尸r x ( o + x r ( f ) 脲( f ) + x7 1 ( f ) 蜀x ( f ) 一工r ( t - d 。) r 。x ( t - d ，) = 哈尔滨理t 大学理学硕士学位论文 l ( 么+ 彳+ b k + 雠) x ( f ) + ( 4 + 4 ) x o d 。) + 厂( x ( f ) ，f ) 1 1 ，x ( f ) + ，p l ( 么+ 鲋+ 丑k + 雠) z ( f ) + ( 以+ 包) x ( f 一吐) + 厂( 工( f ) ，t ) i + x t ( t ) r i x ( t ) - x r ( t - d i ) r l x ( t - d i ) ( 2 9 ) 由于6 厂( 工( f ) ，f ) i i 口忙( f ) 0 等价于广( x ( f ) ，f ) 厂( x ( f ) ，f ) 口，( f ) x ( f ) ，并且 r ( z 0 ) ，f ) ，x ( ；) + ，( f ) 可( 工( f ) ，f ) = 2 x 7 ( f ) 彤( z ( f ) ，f ) ，( f ) p p 7 x ( f ) + 厂r ( x ( f ) ，f ) 厂( x ( f ) ，t ) 所以 矿( x ( f ) ) x r ( f ) g e x ( t ) + x r ( f 一吐) ( 以+ 以) 7p r x ( f ) + 石r ( f ) 尸4 工( f ) + ，( f ) 尸( 坞+ 旬) x ( f 一4 ) + x r ( t ) r i x ( t ) - x r ( f 一盔) 足x ( f 一盔) + ，( f ) 尸p 7 z ( f ) + 口2 ，( f ) x ( f ) = x ( f ) 引必+ 衫，+ r + + 口2 ，尸( 以+ 地) 旷工( f ) l - x ( f 一面) j l( 4 + 屯) r p r 一墨 i 【- x ( f 一吐) j 由式( 2 6 ) 可得 矿( x ( f ) ) 一，( f ) ( q + k r 麒) 石( f ) 0 ， 矩阵w r ”，非奇异阵x r 肼”及一个正定矩阵r l r “”，使得对所有允许 的不确定性下面的线性矩阵不等式 e x = x7 e r 0 ( 2 11 ) 哈尔滨胖t 人学理学顾l ：学化论文 y e l x + e r 形 r i x i a p r c d 7 a dx t 磷+ w te ： 一蜀彰 e d 一l oo oo oo oo oo oo x tqw trx t r i ia x td 000000 ooo00o o 00000 oro0oo 0 0一兄0 00 oo o 一，oo o0 0 0 一，0 oo oo0一s ， o 【z 。1 2 ) 成立，则系统( 2 1 ) 足鲁棒渐近稳定的。系统的状态反馈保性能鲁棒控g , a a ：t h u ( t ) = w x 。1 x ( t ) ( 2 1 3 ) 给出。相应的性能指标满足 j t p 丁( o ) x 叮e 妒( o ) + e 妒( s ) 7 1 r 缈( s ) 凼= j i + ( 2 - 1 4 ) 其中 】厂= 彳x + b + ( 彳x + b 缈) 7 证明矩阵不等式( 2 6 ) 可以等价地写成 iq + k 7 r k + 削+ 脒+ a n p + b m p + p p 7 + 置+ 口2 ， 1 1衙一曩j 十 i 心 雠筘t i 越，心0 l 枷 ( 2 - 1 5 ) 喇j r 7 等价于 la + q + k r r k + r l + p p 引2 i + 【- 衙p 7 一r j 阱m 易k 讣r 譬矸弘甲0 0 使得 p 似r 鬈p 璺脚、引2 射r【- 彰7 一。j 1 0 哈尔滨理t 人学理学硕l ：学位论文 g 阱叫州巨妒r p 纠瓦- i 。陋忉 + 口1 2 + e p d d r ，+ ( 巨+ e 2 k ) r ( 巨+ e 2 k ) 占 。 誓州瓦 。 却 彰乞j 这里，符号“p 代表矩阵的对称项。 应用s c h u r 补引理，式( 2 - 1 8 ) 成立等价于 j + q + k r r k + 墨+ r ( 2 19 ) 式成立等价于 彳， e l + e 2 k q r k 墨 p r 0 c i d r p r 七叠i + 6 p d d tp a p a t 一墨 奉 崴+ k 1 琏 磁 一s i o o o o o o ( 2 - 1 8 ) 料棚， 躲她( ，1 为 ，对上式分别左瓤右衬，得 o ( 2 - 2 0 ) p即+ r +k尺 髟+ q +f 一陌 一 价等 d r o 0 o o 0 0 o 苫 占 一 玎0 0 0 0 o o j o c p 0 0 0 0 o o o 0 砰o o o o珥o o o 礓o o o o o o o k 一 矿o o 谚o o o o o 吨e o o o o o o 哈“i , l ”, 理t 人学删学硕f ：学位论文 舡一七p 。 圣+ r t 姆o - r + f 。毽。 筏 甲七脚秽 矿7 田丑 墨， i 护7 d 4 乓 o p 吱+ p 挝睦r 1 q p - j 瑶r p - 式i 一国 e 000000 屹ro0oo0o 0影00000 00捌0000 000喇00 0 oooo 一 0o 0o0oooo oooooo 吨， o 记x = p - t = k p ，则不等式( 2 2 0 ) 成立等价于式( 2 1 2 ) 有解。此时，保 性能鲁棒控制器由式( 2 一1 3 ) 给出，且 j 9 7 ( o ) x 一7 e 缈( o ) + 。矿( j ) 墨妒( j ) 凼 定理得f 。 e f c ( t ) = ( 彳+ 儿4 0 ) x ( f ) + ( 4 + s a 。) x ( f d 。) + ( b + g 鼠) “( f ) + 厂( x ( f ) ，t ) ( 2 2 1 ) e = 三三 彳= 二，三 4 = 三三 b = ； 4 = c ：? ，0 。 4 。= l 三三l 鼠= l ，：l r * = 1a = 0 0 1 l ，i 。ji s l 。ji q 。_ q = i 三? l r = 【】_ ( r ) = r ，恐( r ) = 。r 一，。】 定义 。 。= e o 0 1 ；之1 巨= 壹壹 点乏= 三 五乙= ；莩 e d c ( t ) = ( a + d f e , ) x ( t ) + ( a a + d f e 。) x ( t - d , ) + ( b + d f e 2 ) u ( t ) + f ( x ( t ) ，t 1 ( 2 2 2 ) 1 2 哈尔滨理t 人学理学顺f 。学位论文 且系统的性能指标上界为j = 0 3 1 9 4 。 2 3 有记忆状态反馈保性能控制 2 3 1 问题描述 考虑带有非线性扰动不确定奇异系统 e 2 ( t ) = ( 4 + 4 ) 石( f ) + ( 4 + 以) x ( f d 。) + ( b + b ) “( f ) + ( 2 2 3 ) ( b + 毋) “( t - d 2 ) + 厂( j f ( f ) ，t ) x ( f ) = ( f ) ，t i _ f + ，0 其中，e r “”足奇异矩阵，并且r a n k ( e ) = ， ，z ；x ( f ) 尺”，“( t ) r ”分别是 系统的状态向量和控制输入向量；e ，a ，以，b ，岛是适当维数的已知常数矩阵； d ，d ：是系统的滞后常数满足d 。，d ： 0 是给定的对称正定加权矩阵。 本节的目的是设计系统( 2 2 3 ) 保性能鲁棒控制器 “i t ) = k x i t ) ，k r ” ( 2 - 2 6 ) 为此，首先给出系统( 2 2 3 ) 的保性能鲁棒控制器定义。 定义2 2 对于不确定系统( 2 2 3 ) ，若存在控制器( 2 2 6 ) 和一个正数，+ ，使得 对于满足式( 2 2 4 ) 的所有允许不确定性闭环系统都是渐近稳定的，且性能指标 函数( 2 2 5 ) i n 足j j ，则称，为系统( 2 2 3 ) 的一个可保性能而控制器( 2 2 6 ) 称 为系统( 2 2 3 ) 的一个保性能鲁棒控制器。 哈尔滨理t 人学理学硕： 学位论文 2 3 2 定理及其证明 考虑系统( 2 2 3 ) 。由系统( 2 2 3 ) 和控制器( 2 2 6 ) 构成的闭环系统为 五戈= ( 么+ 彳+ 占k + b k ) 石( f ) + ( 4 + 呜) z ( f 一面) + ( 2 2 7 ) ( 饬k + 蛾k ) x ( f 一畋) + 厂( x ( f ) ，t ) x ( t ) = 缈( f ) f 卜f ，0l 定理2 3 对不确定奇异时滞系统( 2 2 3 ) 和性能指标( 2 2 5 ) ，若存在适当维数 的矩阵p ，k ，正定矩阵墨，足，使得对所有允许的不确定性，满足 p e = e r ，0 ( 2 2 8 ) 以 ( 4 + 鲍) r ， ( 饬+ 峨) r p r p ( 以+ a a d ) 一r o 尸( 岛+ a b d ) o 一足 0 ( 2 2 9 ) 则控制器( 2 2 6 ) 为系统( 2 - 2 3 ) 的一个状态反馈保性能鲁棒控制器，且对所有允许 的不确定性，闭环系统性能指标( 2 2 5 ) 满足 j r p r ( o ) 咫妒( o ) + 。矿( j ) 墨缈( s ) 出+ l 2 矿( s ) k r 恐k 缈( s ) 出 其中 a 。= q + k 。f 足+ 尺l k + 尺+ 尸么，+ 彳：尸1 + p p 。+ o f 2 i 、，iol 4 = a + a a + b k + a b k 证明由引理1