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均匀介质或全反射平面边界附近荷电试验粒子的布朗运动 摘要 在经典物理学中，真空被认为一无所有但是，量子场论的发展深刻 地改变了人们对真空的认识现在人们不再认为真空是一无所有，而是 有着丰富的内在结构其中最有意义的特征之一就是量子真空始终存在 无数虚粒子的短暂产生与湮灭及它们之间的相互转化过程，即量子真空 始终存在着涨落这种真空涨落会导致许多可观测的量子效应，如：磁 矩反常，激发态原子自发辐射和兰姆移动有边界或者非平庸拓朴的平 直时空与闵可夫斯基时空相比真空涨落效应又表现出许多新颖的特征， 其中c a s i m r 效应就是最著名的例子最近，余洪伟和f o r d 研究了一块全 反射平面附近的真空电磁场涨落他们计算了这种情况下带电试验粒子 速度和位移平方的涨落，发现由于真空电磁涨落，带电试验粒子会存在 布朗运动后来，余洪伟、陈骏、张佳林、谭美华等又对另外几种有特殊 边界条件下的布朗运动进行了研究这些研究成果我们将在本文的第一 章里做简要的阐述 本文的第二章对一块全反射平面边界附近的真空电磁涨落及其对以 垂直于平面的经典非零常速运动试验荷电粒子的影响展开研究我们在 同时考虑涨落的电场力和磁场力时计算了荷电试验粒子的位移和速度平 方的涨落，并对计算的结果进行分析和讨论研究表明，一般情况下， 涨落磁场的影响与涨落电场的相比是高阶小量，因此可以忽略另外我 们发现当粒子沿远离边界的方向运动时，粒子在垂直于边界方向上的涨 落将会减弱，而在平行于边界方向上的涨落将得到加强然而当粒子沿 相反方向运动时，则粒子在垂直于边界方向上的涨落将会加强，而平行 于边界方向上的涨落将会减弱 本文第三章研究了在充满各向同性介质的半空间中处在真空部分的 试验粒子的布朗运动，得出了荷电试验粒子的速度和位移平方的涨落随 介电常数变化的规律我们发现当介电常数为xa1 0 0 8 1 时，粒子在垂直 于边界方向上速度平方涨落值( a 记) 为粒子在导体边界附近所对应值的 9 8 i i 湖南师范大学硕士学位论文 本文第四章总结了我们所做的工作，并对未来的研究进行了展望 关键词：真空涨落，布朗运动，测不准关系，波包扩散 均匀介质或全反射平面边界附近荷电试验粒子的布朗运动 i i i a b s t r a c t i nc l a s s i c a lp h y s i c s ，& c u n n li sr e g a r d e d 鹪n o t h i n g h o w e v e r ，w i t ht h ed e v e l - o p m e mo fq u a n t u mf i e l dt h e o r ya n dt h ev a c i 】_ u ms t a t ei 8n o tc o n s i d e r e d 船n o t h i n g a n yl o n 菪e rb u t 鹪as t a t ew h i c hh a sr i c hs t m c t u r o s o n eo ft h em o s ts i g n i f i c a n t c h a r a c t e r i 8 t i c si st h a tt h e r ee x i s t sc r e a t i o na n da n n i h i l a t i o no fv i r t u a lp a r t i c l e sa n d i n t e r a c t i o n sb e t w e e nt h e mi nt h eq u a n t u mv a c u u n ls t a t e t h a ta l s om e a n st h a tt h e v a c u l n ns t a t ef l u c t u a t e sa l lt h et i m e v a c u u mf l u c t u a t i o n sc a l ll e a dt om a n yo b s e r v - a b l ee f f e c t s ，s u c ha 8t h ea n o m a l o n sm a g n e t i cm o m e n t ，t h es p o n t a n e o u sr a d i a t i o no f t h ee x c i t e ds t a t ea t o m s a n dl a m bs h i f t t l l ee f f e c t sr e s u l t i n gf r o mv a c u u n lf l u c - t u a t i o n sa s s o c i a t e dw i t hn o n = t r i v i a l i t yo fs p a c e t i m et o p o l o g yo rw i t ht h ep r e s e n c e o fb o u n d a r i e se x h i b i tm a n yn o v e lp r o p e r t i e s t h ec a s i m i re f f e c ti st h em o s tw e l l - k n o w ne x a m p l e r e c e n t l y , y ua n df o r dh a v es t u d i e dt h ee l e c t r o m a g n e t i cv a c n u n l f l u c t u a t i o n sa n dt h eb r o w n i a nm o t i o no fac h a r g e dt e s tp a r t i c l en e a rar e f l e c t i n g b o u n d a r y t h e yh a v ec a l c u l a t e dt h em e a n8 q u a r e df l u c t u a t i o n si nb o t ht h ep o s i t i o n a n dt h ev e l o c i t yo ft h et e s tp a r t i c l e l a t e ro n ，y u ，c h e n ，z h a n ga n dt a ns t u d i e dt h e b r o w n i a nm o t i o nn e a rb o r n es p e c i a lk i n do fb o u n d a r i e s 、v ew i l lg i v eab r i e fr e v i e w o ft h e i rr e s u l t si nt h ef i r s tc h a p t e r i n c h a p t e r t w o w e s t u d y t h er a n d o m m o t i o n o f a c h a r g e d t e s t p a r t i c l e c o u p l e d t o e l e c t r o m a g n e t i cy a c u l n nf l u c t u a t i o n ss e a l ap e r f e c t l yr e f l e c t i n gp l a n eb o u n d a r yw i t h an o n z e r oc l a s s i c a lc o n s t a n tv e l o c i t yi nad i r e c t i o np 盯a l l e lt ot h ep l a n e w bc a l c l l l a t e t h en h 煳s q u a r e df l u c t u a t i o n si nt h ev e l o c i t ya n dp c e i t m no ft h et e s tp a r t i c l et a k i n g i n t oa c c o u n tb o t hf l u c t t m t i n ge l e c t r i ca n dm a g n e t i cf o r c e s t h er e s u l t ss h o wt h a t t h ei n f l u e n c eo ff l u c t u a t i n gm a g n e t i cf i e l d si s ，i ng e n e r a l ，o ft h eh i g h e ro r d e rt h a n t h a tc a u s e db yf l u c t u a t m ge l e c t r i cf i e l d sa n di st h u sn e g l i g i b l e o u rr e s u l t sa l s os h o w t h a tt h ed i s p e r s i o n si nt h en o r m a ld i r e c t i o na r ew e a k e n e dw h i l e t h o s ei nt h ep a r a l l e l d i r e c t i o n sa r es t r e n g t h e n e da 8c o m p a r e dt ot h ec l a s s i c a ls t a t i cc a s ew h e nt h et e s t p a r t i c l ec l a s s i c a l l ym o 啷a w a yf r o mt h eb o u n d a r y h o w e v e r i ft h ec l a s s i c a lm o t i o n r e 、r e r s 6 t si t sd i r e c t i o n ，t h e nt h ed i s p e r s i o n si nt h en o r m a ld i r e c t i o na r er e i n f o r c e d w h i l et h o s ei nt h ep a r a l l e ld i r e c t i o n sg e tw e a k e n e d w bs t u d yt h eb r o w n i n nm o t i o no fac h a r k e dt e s tp a r t i e hn 舶rad i e l e c t r i c 湖南师范大学硕士学位论文 h a l f - s p a c ei nt h et h i r dc h a p t e r w ec a l c u l a t et h em e a ns q u a r e df l u c t u a t i o n si n t h ev e l o c i t ya n dp o s i t i o no ft h et e s tp a r t i c l ed r i v e nb yt h ef l u c t u a t i n ge l e c t r i ca n d e l e c t r o m a g n e t i c f o r c e s o u rr e s u l t ss h o wt h a t ，o n en e e d sx 1 0 0 8 1f b r ( 谚) t ob ew i t h i n2 o fi t sl i m i t i n gv a l u ew h e nt h ed i e l e c t r i ci sr e p l a c e db yap e r f e c t c o n d u c t o r f i n a l l y , w e w i l l c o n c l u d e w i t h as u m m a r y o f o u r w o r k a n d a l l o u t l o o k f o r p o s s i b l e f u t u r er e s e a r c h k e yw o r d s ：v a c u u mf l u c t u a t i o n s ，b r o w n i a nm o t i o n ，u n c e r t a i n t yp r i n o p l e ， w a v e - p a c k e ts p r e a d i n g 均匀介质或全反射平面边界附近荷电试验粒子的布朗运动 4 5 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本文不含任 何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本 声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 年月日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在一年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打” ”) 作者签名：7 乇响杰日期：如7 年g 月，7 日 导师签名扩鼢移日期：矽严莎月纠日 l 均匀介质或全反射平面边界附近荷电试验粒子的布朗运动 第一章绪论 1 1 量子电磁真空涨落 真空按其本义是指虚空，即空间一无所有在经典物理学( 通常是指 非量子物理学) 中，入们认为物质存在两种基本形态，即实粒子和场 其中实粒子是指静止质量不为零的粒子，如质子、中子、电子等；场是 静止质量为零的物质，如电磁场( 光子) 然而随着量子力学、量子场论 和粒子物理学的发展【1 - 1 3 】，人们逐渐地认识了真空的本质现在人们认 为在量子真空中无数虚粒子( 如虚光子和虚电子对) 在不断的产生和淫 灭尽管这些虚的粒子人们无法直接观察到，但这个过程始终存在着 我们把这种虚粒子的不断产生和湮灭的过程称为真空涨落真空涨落可 以产生许多实验可观测得到的效应，如：真空极化、c a s i m i r 效应1 14 、光 锥涨落【1 5 - 1 8 1 、布朗运动【1 9 - 2 2 等以下我们首先简要的介绍前三种效 应，然后着重介绍布朗运动以及现今已有的研究成果 真空极化 真空极化效应是涨落的电磁真空场与外加的电磁场相互作 用时产生的一种效应真空中始终出现短暂的正负电子对，当有外加电 磁场时，这些正负电子对会受到外加电磁场的作用从而导致真空中虚粒 子云的电荷分布发生改变这种现象很类似于电介质的极化现象，因此 人们把这种现象称为真空极化 c a s i m i r 效应 在经典物理学中，放在真空中的两块中性的导体板除 了万有引力之外不会受到其它力的作用但是1 9 4 8 年物理学家h b g c a s i m i r 利用量子场论预言这两个导体板会相互吸引，并且导出了其单位 面积上受到引力的大小为护( 2 4 0 8 t ) f 1 4 ，2 3 其中n 为两导体板的距离， 这个效应就叫c a s i m i r 效应后来物理学工作者又设计了非常巧妙的实验 测量了这个引力的大小，他们测量的结果与c a s i m i r 预言的理论值非常吻 合【2 4 - 2 7 在解释c a s i m i r 效应时人们必须引入电磁真空涨落的观点由 于真空始终存在涨落，这种涨落使两金属板之间能量平均值为负值【2 8 l ， 从而两板受到的压力为负值，所以它们表现为相互吸引这样c a s i m i r 效 应就得到了合理的解释 湖南师范大学硕士学位论文 光锥涨落在爱因斯坦的狭义相对论和广义相对论中，光速不变原理 是一个基本原理，即真空中的光速是不变的，光锥也是完美的锥形。但是 当我们考虑到真空涨落时，时空就会发生几何涨落。即使这种涨落非常 微小，光速就不再是恒定的了，我们称这种效应叫做光锥涨落余洪伟和 f o r d 对光锥涨落进行了研究【1 5 - 1 8 】，其计算的结果为a t = 五万r 。其 中r 表示光源与探测器之间的距离；一l 是一的一阶小量，而一( z ，一) 是z 与一两点之间短程线长度平方的二分之一，它们满足一= a o - t - a + o ( h i ，) 印是平直时空对应的值，h 。，指一个线性微扰越则是指光实际传播一 定距离所需要的时间与没有涨落的情况下光传播时间的差值。从此式中 我们知道a t 可以不为零因此，当测量光脉冲从光源传播到探测器的时 间时，我们会发现这个时间可能比经典的计算值要稍大一点或小一点， 即光速再也不是恒定的了，而是有一定的起伏 1 2 布朗运动 布朗运动是指悬浮微粒不停地做无规则运动的现象。这种现象是1 8 2 7 年英国植物学家布朗( 1 7 7 3 - 1 8 5 8 ) 用显微镜观察悬浮在水中的花粉微粒 时发现的他发现悬浮在水中的花粉及其它的微小炭粒不停地做无规则 的折线运动这种无规则的折线运动被称为布朗运动后来，人们发现 不只是花粉和小炭粒，对于液体中各种不同的悬浮微粒，都可以观察到 布朗运动 那么，布朗运动是怎么产生的呢? 人们长期都不知道其中的原理。5 0 年后，j 德耳索提出这些微小颗粒是受到周围分子的不平衡的碰撞而导 致的运动后来这种现象得到爱因斯坦的研究的证明在显微镜下看起 来连成一片的液体实际上是由许许多多分子组成的。液体分子不停地做 无规则的运动，不断撞击悬浮的微粒。当悬浮的微粒足够小( 一般直径大 小约为1 0 川一1 0 6 7 n ) 时，在任一时刻，粒子受到的来自各个方向的液体 分子的撞击作用一般是不平衡的在这一瞬间，微粒就沿着各个作用力 的合力的方向运动由于分子的热运动是不规则的，微粒受到的撞击力 的合力涨落也是不规则的，因此微粒就不停地做无规则的运动 由于液体分子的热运动是不规则的，并且一个做布朗运动的微粒受 到液体分子碰撞的频率很高，大约每秒1 0 ”次，因此直接计算粒子的速 均匀介质或全反射平面边界附近荷电试验粒子的布朗运动 率和路径是不可能的所以，人们观察的布朗运动只是一种平均运动， 微粒的位移也只是一种剩余的热涨落 当然，科学家们也研究了种种布朗运动f 2 9 - s 2 ，本文研究的内容是在 电磁真空涨落作用下的布朗运动。由于真空中电磁场在不停地且随机地 涨落着，因此放在真空中的荷电试验粒子将会受到这种随机涨落的电磁 力作用，所以试验粒子将不再沿着经典轨迹运动，而是围绕平均路径做 随机运动这种随机运动与经典物理中的布朗运动类似，所以我们把试验 粒子的这种无规则的运动也称为布朗运动只不过这种布朗运动是由于 电磁真空涨落引起的，故我们称这种无规则的运动是量子的布朗运动 余洪伟和f o r d 、陈俊、张佳林、谭美华等研究了有边界条件的时空下的 电磁真空涨落和荷电试验粒子的布朗运动【1 9 一矧，他们计算了这种情况 下荷电试验粒子的位移平方涨落和速度平方涨落下面我们简介二下他 们计算的结果 1 3 特殊边界条件下的布朗运动 我们来研究一个荷电粒子在涨落电磁场中的布朗运动假设一个非 相对论性质量为m 电荷为q 的粒子处在电场e 中，如果忽略磁场力，则 试验粒子的运动方程由下式确定 宰；旦e ( x ，t ) 出m 、 假设粒子初始时刻是静止的，并从t = 0 开始，则粒子的t 时刻的速度为 v 一羔re ( x 姻， ( 1 。) 由于电场的平均值( e ) = 0 ，我们很容易得出粒子的速度的平均值( e ) = 0 ， 但是粒子的速度平方的涨落值 ( v 2 ) = 嘉r z 矽( e d e ( x ，) ) ( 1 3 ) 一般是不为零的，因为( e ( ，t ，) e ( ，) ) 0 我们也可以看出上式由电场 的两点函数的二重积分来确定同样，根据两点函数我们可以得出粒子 的位移的平方涨落： 4 湖南师范大学硕士学位论文 ( x 2 ) = 孑e 2j ( 砒o “出o 出。z 虹出，( e ( 划) e ( 削) ) ( 1 4 ) 1 3 1 一块全反射平面附近的真空电磁涨落和布朗运动 真空涨落会引起一些经典物理中所没有的效应，许多物理学工作者 努力去研究这些效应，并且希望通过实验检验这些效应【3 3 _ 删至今我 们还不清楚在闵氏真空中能否观察到这种效应，虽然g o u r 和s r e r a m k a m a x 认为存在观测的可能性】但是正如前面所述，在有特殊的边界条件 下，研究表明这种效应是存在的，并且可以通过试验来测量。在文献【19 】 中，余洪伟和l h f o r d 就详细讨论了一块全反射平面附近带电试验粒子的 真空涨落和布朗运动，研究了试验粒子由于真空电磁涨落而引起的速度 和位置的变化，并对试验测量的可行性做出了具体的探讨。我们令坐标 中的毛轴与平面边界平行，。轴与边界垂直现在我把他们计算的结果 小结一下他们得出各个方向的速度平方的涨落为： 和 镌) 却妒丽e 2 高伽( 兰) 2 一南 ， s ， t 咖嘉南h ( 差) 2 当t z 时，z 、y 和z 方向的速度平方的涨落化为 艇) = ( 嵋) z 一嘉刍一丽8 e 孑2 z 2 ， 和 ( 谚) “岳刍+ 纛壶 ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) 与经典的热噪涨落不同，这里的速度平方涨落不随时间而增加，这是 因为没有使粒子获取动能的能量源，且又要满足能量守恒 均匀介质或全反射平面边界附近荷电试验粒子的布朗运动 同样的方法，他们计算得到z ”和z 方向的试验粒子位移平方的涨 落为。 和 t 嘲邛批未高h ( 等) 2 一嘉中1 ( 警) ，。， c 腊，= 嘉高h ( 兰) 2 + 嘉+ ；- n ( 警) m ， 当t = 时，上面两式可近似写成； ( 膛) = ( l 2 ) “一嘉l n ( f 2 硗 和 ( 户) “嘉 刍+ ；l n ( t 2 z ) + ；+ o ( 刃产) 】 ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 他们对上面的结果作了一些解释首先，值得注意的是，由于速度和 位置涨落在纵向和横向方向都是不同的，由电磁真空支配的荷电试验粒 子的布朗运动是各向异性的最明显的特征是( 谚) 和护) 都是负值， 这显然与直观不相符合他们对它的物理解释是：一个负的涨落必须表 示一个不确定的减少，一种可能性是一个量子粒子的位置和速度的不确 定由于测不准原理，一个粒子的位置和速度是不能同时完全精确确定 的在量子力学中，一个有质量的粒子是用波包来描述的，它满足位置 和动量的不确定原理我们知道，随着时间的推移，波包会扩散，因此位 置的不确定随着时间会增加因此，尽管粒子原来是最小不确定波包， 但是它满足测不准关系，如果我们用( 护) 表示有平面边界与没有平面 边界两种情况下试验粒子平方位置涨落之差，那么负的( 书就可以理解 为：波包的测不准尺度随着时间的演化比没有全反射平面的情况下的测 不准尺度减小了而在垂直于平面方向的涨落( 谚) 是正的，这说明全反射 平面的存在使得在垂直于平面方向的真空涨落相对于闵氏真空中的涨落 是加强的，使平行于平面方向的涨落相对于闵氏真空的涨落是减弱的 6 湖南师范大学硕士学位论文 下面我们具体地讨论了试验粒子传播过程中波包的扩散如果用指 标q 表示试验粒子量子特性所引起的不确定性，设开始时波包的宽度为 细波包的宽度随时间的变化是： 钿：压浮 这里p ：是波包在动量空间的宽度根据最小的测不准关系式：a z 0 乳= 1 2 ，并代入上式我们可以得到 厂r 勺2 墙+ 二4 m 2 azv20三2(114) 那么怎样比较由于真空涨落引起的试验粒子位置的不确定性和由于测不 准关系及波包传播所引起的试验粒子位置的不确定性呢? 对于确定的时 间t ，如果利用波包在t 时刻的宽度，得到这时波包最小的不确定性是 绉= 丽t ， 与之相应的任意方向的最小位置不确定性是 撕= 撕= 候 令 z ，= v 叮i 瓦可， ( l 1 5 ) ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) 是由于真空涨落而引起的z 方向位置不确定性，那么a z f 就表示与之相 对应z 方向位置不确定性。当t 。时，如果试验粒子是电子，可有 是= 2 j va l 斯n ( t 了2 z ) ， ( 1 1 8 ) 上式中a 是精细结构常数，因此上式的比值总是很小的z 方向相应的 比值是 是= 杀候tj l = 3 1 4 x1 0 - 2 a z c m ( 1 1 9 ) 因为z 。相对于：来说是很小的，所以上式的比值是非常小的 均匀介质或全反射平面边界附近荷电试验粒子的布朗运动 1 3 2两块全反射平面的真空电磁涨落与布朗运动 在余洪伟和f o r d 研究了一块平面边界条件下的真空涨落与试验粒子 的布朗运动之后，余洪伟，陈骏，张佳林，谭美华等又进一步做了研究工 作他们研究了几种特殊边界条件下的布朗运动及粒子有初速度情况下 的布朗运动接下来我们将逐个简要地阐述他们的研究成果 首先在文献【2 1 1 中余洪伟和陈骏讨论了两块全反射平面存在时的真 空电磁涨落与真空涨落引起的带电试验粒子的布朗运动他们发现，有 两块全反射平面存在时，试验粒子速度平方的涨落是： t 瞻t 曙，= 嘉 。量= - - o o ， 南一南h f ，型t - 2 1 , 。1 、2 一f ! 。兰毛【8 ( h a + 。) 2 【t 2 4 - i - = ) 2 】 一矗备- n ( 等制) 2 ” n z 这里带撇的求和符号表示求和时去掉n = 0 那一项( 以下同) ， ( 曙) = 南 。皇 南h ，型t - 2 1 - - l 、 2 + 互l 丽t 研k ( 剖制) 2 ) 1 试验粒子位移平方的涨落为 t 嘲邓小嘉 皇南脚阳删h ( 笔) 2 耵h ( 矧) 2 卜黑赢斋卜刊铲 + 1 6 胁+ 。1 3i m c 1 4 - 4 ( h + az + 尸z ) 2 ， 2 十弛( 铽搿) 2 ” 。刁 湖南师范大学硕士学位论文 和 c 醚，= 嘉 。曼7 南m 刚mt 2 _ 4 n 2 a 2 2 们n ( 渊) 2 + 。曼茄砑卜刊产 惭钟n ( 皇啬铲2 - 1 - t 3 1 1 ar 业t - 2 t n 型a + z l 、2 ) ( 1 z 。) 援r 禾又草甲分两柙情况【8 t z 和t a z ) 讨论上向的绪呆 我们将列出其中一种情况的结果 当t n z 时，z ，y ，z 方向速度平方的涨落值近似为 ( 辨( 喈) * 嘉( 一萨1 + 型1 5 t 4 ) ， ( 1 曙) * 嘉( 去+ 孬7 一龄 ( 1 。s ) z 、。方向位移平方的涨落大小为 ( a z 2 ，z 嘉( 一；，n 去一和) ， n 。， 和 ( 园m 未( 翕+ 芸+ i l h 夏t j 2 h 酝t i 2 h 麦) ( ，z 7 ) 把上面的结果与只有一块平面的结果比较就会发现两块平面的结果比只 有一块平面【1 9 l 时要大，要明显所以在测量时，选择测量两块平面下的 速度和位置会明显一些，更加容易被观测到 在文中他们还详细讨论了测量的可行性，指出在相同的条件下，两块 平面之间的涨落效应比只有一块全反射平面存在时要容易观测他们计 算出涨落效应的等效热温度为： t e f f ：皇上：1 7 1 0 6 ( 1 1 m ) 2 k ；1 7 1 0 2 ( 1 a ) 2 k ( 1 2 8 ) 均匀介质或全反射平面边界附近荷电试验粒子的布朗运动 1 3 3空间一维紧致化边界条件下的真空涨落和布朗运动 随后，在文献【2 2 】中余洪伟和陈骏又研究了周期性边界条件下由于真 空涨落而引起的带电试验粒子的位置平方的涨落和速度平方的涨落的变 化，计算结果为 和 ( 昏( 曙_ 嘉薹 丽南丽一硒tk 、t + n 巩l 、( 1 2 9 ) ( 吩茅e 2 。 t 矿h t + n l ) 2 】、 ( 1 3 0 ) ( a x 2 ) - ( 护) = 南2 薹o o 南陋+ 2 ( 3 h ( 错) 2 + t 3 k 汁t - 毗n l 、2 j 1 ， ( 1 3 1 ) ( ) = 豕彬耋即 。2 n l t 2 e 2 1 m 舳( 第) 2 + 扎( 等) 卜s z ) 他们发现试验粒子由于真空涨落而引起的运动类似于经典物理中的布朗 运动他们计算了五t 和l t 两种情况下涨落效应的近似值，计算的 结果表明，原则上有可能通过实验来判断现实的宇宙的空间维是不是紧 致化的，以及现实的宇宙空间是否有额外维 1 3 4 在有平面边界时空下的荷电试验粒子以经典常速度运动时的随机运动 以前的研究都是考虑粒子初始时是静止的，因此磁场涨落对试验粒 子的影响可以忽略不计随后谭美华和张佳林及余洪伟教授对有初速度 的情况进行了讨论，4 剜谭美华和余洪伟教授假设粒子以经典常速度 沿着平面边界运动，计算出了粒子此时的速度和位移的涨落 t 哟= 一e 2 t 2 + 淼h 篇卜， 湖南师范大学硕士学位论文 相应的位移平方涨落为 t 舻，= 丽嘉前n 黼卜丽鲁刃 + 丽孺石e 2 硒i l nm ：( 一1 + 1 6 明z 4 再万 ( 1 3 4 ) 由于所考虑的是非相对论的情况，”1 因此上面的结果可以展开为 和 c 础，z 丽e 2 - 网t 2 + 赤h 磷 + 丝 _ 丽t 2 ( t 2 + 4 2 2 ) + 一th 甾 ( 1 3 5 m 2 7 ，2 1 6 2 2 ( t 24 2 2 ) ：1 2 8 2 32 z ) 2 ) 一一i “一i l 。 ， 峭z 一研e 2 丽t 2 + 而e 2 孺t 3 h 辫卜丽e 2 。 肚1 6 。z 4 四司 + 斟黼+ 幽3 8 4 2 3 + 掣卜。， 值得注意的是上面的结果在t = 2 。处奇异，相应于光在粒子与该粒子在 全反射面上所成的象之间传播时间间隔这可能是我们假设了严格全反 射平面边界的结果，因此可以通过更为实际的处理来消除，例如同时考 虑平面边界位置的量子不确定性和有限的反射。当t z 时，可得 和 t 哟z 一嘉壶一丽8 e 2 可z 2 一篇 壶+ 可2 4 2 2 。力 c 世，z 丽e 2 融弘1 踟+ 瓣e 2 u 2 睁；- n 踟 m 。s ， 由于涨落磁场力的贡献式篇幅过长，我们就不再列出其详细的结果， 如有兴趣请参考文献【4 5 】他们的结果表明，一般地，涨落磁场对全反射 平面边界附近的试验粒子速度和位置涨落的影响与涨落电场的影响相比 是高阶小量，因此可以忽略 均匀介质或全反射平面边界附近荷电试验粒子的布朗运动 1 1 1 3 5 粒子有初速度的布朗运动和罗伦兹变换关系 后来余洪伟和张佳林利用洛伦变换关系，用代数法就可以从以 前f 1 9 】的结果方便地得出1 同样的结果，避免了复杂的积分运算现在 我们来简介一下他们的一些思路对于粒子平行于无限大的平面边界沿 。方向以初速度”运动时，可以等效为粒子静止，而观测者沿z 方向以一” 运动以表示静止参考系，e 表示运动参考系在文献f 1 9 1 中静止情 况的速度平方涨落为 ( 砰( t ) ) = 杀z 0 t ( e ( x - ) 置( x 2 ，如) ) 出z 出。 = 嘉z z g “( 毛t ) 出- 奶， ( ，瑚) ，在文献中运动情况下的速度平方涨落公式为 、，2 ) = 嘉rr i e ( m 意) + v c b ( 轧山l r e ( x 2 ，t 2 ) + h b ( x 2 ，t 2 ) 1 d t l d t 2 ( 1 4 0 ) 并且通过明显的积分运算得到了速度平方涨落和位移平方涨落为了绕 过复杂积分，可以得到运动参考系中的速度平方涨落为 ( v ，2 ) = 禹ff 田( x ：，) + tx b ( 砌 ( 1 4 1 ) 【e ，t ：) + t b ，t ：) 】耐疵： 坐标的罗仑兹变换关系为 0 ：型，一：三丝，：”，。：。， ，y，y ( 1 4 2 ) ：! ! ： 塑塑堕苎盔兰塑主兰垡羔l 生一 其中7 ：以= ，速度v ：( o ，o ，o ) 变换为v 7 = ( 仉o ，o ) 以及电磁场的变换关 系为 或( z ) = 既扛) ， 或0 ) = 鼠扛) ， 巧( z ) = l 日( z ) + ”b ( z ) 】n ， 或( z 7 ) = 吼( z ) 一”易( 训7 ， 或( z ) ；慨0 ) 一目岛缸) 1 磋( z 7 ) = i _ b 。0 ) + ”目缸) 】7 ，( 1 a 3 ) 将这些变换关系代入式子( 1 4 2 ) 中，可得 ( 孝) = 岳f o 。z d t l d t 2 e v ( z ) + 如b ( 砌一( 皿( z - ) + 如易( z - ) ) 】 岛( 。：) + p 境( 。2 ) 一铷( 昆( 。2 ) + 岛( 。2 ) ) j = 嘉z 。j ( 2 础扩( 驰t 蚓圳) = 嘉z z 出：出扩g 以a 7 们 = 嘉fz 巾础础私，) = 嘉ff 出t 也。g w ( 柚。 = ( 嵋( “) ， ( 1 。4 4 ) 其它的类似可得，在文献【4 7 】中给出的结果为 ( 舢孑( t ) ) = ( ”；( 竹) ) ， ( a u 乜( t ) ) = 刍( 护( 竹) ) ， ( ? ( t ) ) = ( 谚( 竹) ) ，1 ( z 2 ( ) ) = 去( ( 钾) ) ， ( q ) ) = 去( 谴( 奸) ) ， ( 缸2 ( t ) ) = 击( ( 钾) ) ( 1 4 5 ) 均匀介质或全反射平面边界附近荷电试验粒子的布朗运动 1 3 利用这些公式就可以用文献【19 】中的结果经过简单的代数运算得到文献 【4 5 】中同样的结果他们还把上面的关系应用到两块平行平面边界的情况 中，得到当在n t z 和t n z 的两种情况下时，文章的结果与文 献【2 1 】的结果一致，本文不再赘述 均匀介质或全反射平面边界附近荷电试验粒子的布朗运动 1 5 第二章平面边界时空中以经典垂直于边界的常速 运动的荷电试验粒子的布朗运动 本章是本文的重要部分，也是我在研究生阶段的主要研究成果之一 在本章中我们将研究平面边界条件下以垂直平面经典常速度运动的荷电 试验粒子的布朗运动，并计算粒子速度和位移的平方涨落我们发现磁 场涨落对粒子的影响远小于电场涨落的影响，另外发现粒子的涨落与粒 子的运动方向有关并且我们也得出了当粒子的运动距离远小于它初始 时刻离边界的距离时，我们的结果是文献( 1 9 j 中各个涨落的高次近似我 们也发现当粒子远离边界时，粒子的z 方向上的涨落将会减弱，而z ，方 向上的涨落将得到加强；当粒子的运动方向反向时，则粒子z 方向上的 涨落就得到加强，而z ，耖方向上的涨落将会减弱 2 1引言 量子场论已经深刻地改变了我们对真空的认识由于量子性质的本 征属性和测不准原理，在真空中量子场存在涨落因此我们可以期望， 由于量子场的涨落试验粒子将不再沿着真空中的经典轨道运动，而是沿 着平均轨道进行随机运动这种随机运动可以通过表征偏离经典平均轨 道的一些物理量( 例如，速度和位移平方的涨落) 来描述本文的第一章 已经介绍了几种特殊边界条件下的真空涨落和布朗运动【1 9 ，2 1 ，2 2 ，4 5 ，4 6 】， 但文献【4 5 1 所考虑的是粒子与平面之间的距离没有发生变化，即粒子以 常速平行于平面边界运动时的规律因此我们有兴趣去研究当粒子以垂 直边界的常速运动时布朗运动的规律这正是本章所要研究的我们研 究在有全反射平面边界存在的情况下真空量子电磁涨落所引起的荷电试 验粒子的布朗运动全反射平面边界位于z = 0 处试验粒子以垂直于平 面边界以经典常速度”( 本章中粒子沿着z 方向运动) 运动，同时我们将考 虑真空电场涨落和磁场涨落对试验粒子运动的影响 湖南师范大学硕士学位论文 2 2 真空涨落和试验粒子的布朗运动 现在，我们讨论一个全反射面附近真空中荷电粒子在受到电、磁场 涨落影响下的布朗运动。该粒子在z 轴方向上以一经典常速运动，如上 图2 1 ，在时刻t = 0 时，其位置为( 0 ，0 ，劲) ，时刻r 、粒子所处的位置 分别为( o ，0 ，一) ，( o ，0 ，) y 图2 1 ：无穷大边界示意图 对于真空态l o ) 和量子化了的电磁场，我们有( e ) = 0 ，( b ) = 0 但是，在量子场论中，一般来说，由于真空涨落( e 2 ) 0 ，( b 2 ) o 我 们假设粒子质量为m 电荷量为e ，平面边界位于z = 0 处，在速度很小的 极限下，其速度为： v = v c + j ( 2 1 ) 此速度可表示为经典平均部分v c 与量子涨落部分之和然而我们所 感兴趣的是因此一般情况下与v c 相比，v q 的磁场力贡献可以 忽略。所以在考虑电场力和磁场力的情况下，以低速运动的粒子其速度 满足非相对论力学方程： 象= 鲁= 鬲e 【e ( 刈) + v c b ( 州) 】 ( 2 2 ) 均匀介质或全反射平面边界附近荷电试验粒子的布朗运动1 7 由于非常小，我们认为该粒子没有明显地偏离经典轨道，所以我们认 为位置x 为没有考虑量子真空涨落时的经典平均路径如果粒子从t = 0 开始以初速度v c = ( o ，0 ，”) 运动，那么在任何时刻t 速度的量子部分满 足以下方程： v 。= ：8 o 【e ( x ，t ) + v c b ( x ，t ) 】出 此式我们可认为是电场与磁场涨落的贡献之和 那么速度平方的期望值为， ( 2 3 ) ( v 2 ) = ( ) = ( 吒) 一) 2 = ( q ) = 嘉j ( j ( 。( 州e ( 以州矽 + 嘉rr ( v c b ( t t ，) 】 v c b ( 一，矿) ) 舻 + 嘉z j ( ( 州 v c b ( 削) 】) 矽 + 嘉z j ( 。( v c b ( 削) e ( 一，哪出d r ( 2 t ) 上式可认为是涨落的电、磁场及它们的耦合项的贡献之和在上式中每 项对应着重整化了的格林函数此格林函数可以用下述途径得到真空 中光子场的格林函数是： d 炒( z ，一) = 0 渺( ) ( ) 1 0 ) = 璐”( 一) - i - d 管( z ，) ， ( 2 5 ) 这里d 伊( 一一) 是真空时的格林函数，即m i n k o w s k i 时空中的格林函数 d 管( 一，) 则是存在全反射平面时重整化之后的格林函数，可以通过镜像 法【鹪1 得到在f e y m n a n 规范中，我们有： 和 d 皆t t l l 、z 竺 4 丌2 ( 出2 一x 2 ) ( 2 6 ) 硝( “) = 一研矿若等等两丽， ( 2 7 ) 1 8 湖南师范大学硕士学位论文 其中矿，= d i a g ( 1 , - 1 ，1 ，1 ) ，扩= o ，0 ，0 ，1 ) 是平面z = 0 的单位法向矢量，( 这 里用到自然单位制c = 危= 1 ) 。通过求( 2 7 ) 式的四维旋度，我们可以得到 电场在z ，z 方向的函数形式： ( 易( ，) e ( x ，州= 可f 了f 方再万甄而， ( 2 8 ) ( b ( ，矿) b ( ，) ) = ( 目( x 7 ，t j ) 易( x n ，) ) ( 一) 2 + ( u + 亡，口+ 2 z o ) 2 2 一万而正可f 了万葺瓦了研 同样可以得到磁场的表达式： ( 2 ，9 ) ( 1 3 ( x ，矿) b x ( ，) ) = ( b y ( x ，亡，) b y ( 一，) ) ( 2 1 0 ) = 亲昌等舞端2 z o ，一f ( 一# ) 2 一( 。+ 亡，口+) 2 ) 3 以及 ( b ( 一，t 7 ) 岛( x ，t ”) ) =一( 岛( ，) 晚( ，) ) ( 马( x ，) b x ( ，) ) = 一( 艮( x ，) 日( ，t ”) ) = 采黔t t 篱2 等揣2 z o 3 协 仃2 f ( 一) 一( 和+ 亡，u +) 2 1 、叫 将上式代入到( 2 4 ) 式且计算出其积分，我们将得到为y ，z 方同上的速度 平方的涨落在z 方向上没有磁场力的作用，其速度平方的涨落为： ( 谚) 5 磊o o ( e ( x ，矿) 乜( 一，) ) 矽 = 嘉j ( 。j ( 。币瓦万；百丽扩2 磊厶厶碉可【可 可百瓢百两雨下“ = 赢e 2 。州 。