（计算数学专业论文）二阶双曲型问题c0有限元的构造及其超收敛.pdf

摘要 本文为二阶常微分方程及二阶双曲型问题的时问方向构造了c 。 有限元，在节点及单元内部的一些特征j 氧上获得j 超收敛结果。 全文分为三部分： 第一部分：我们考虑以下二阶常微分方程 f “。+ ( 口“) + b u = f 【h ( o ) = “o ，“( o ) = “o 其中a ，b ，g 足够光滑。 我们构造了一个超逼近函数，证明了在节点处c 。有限元解“有 如下超收敛估计 似一“) ( f ) = o ( h2 “)0 一h ) ，( 0 - 0 ) = o ( h 2 “) 并且已证明了在单元内部的一些特征点k u ，“：有超收敛结果。 第二部分：我们考虑以下二阶双曲型问题 i u 。+ a u = f在q = ( o ，】q 中 u = 0 在r = ( o ，r 】a q 上 【u ( x ，o ) = 矿。“，( x ，o ) = y 。 在q 中 算子a 一致椭圆算子且与t 无关。 我们采用了张量积并在时间方向应用c o 有限元，令 0 = f 。 t f ： at 。= t 是【o ，t 】的一个剖分，令甜础( q ) 是q 上的二次 有限元空间h 为网格参数令z 为空间上的剖分节点则c o 全离散有限 元解u 在点积z o t j 上有如下超收敛估计 厂、k i l ( u 一“) ( ，x 4 2 2i = d ( 4 + k 3 ) l i ( u 一”) ，( f 一o , x ) 1 2 2l - d ( 3 + 女3 ) 舵乙 ， 并且在单元，：( f ，f 州) 内部的一些特征点上，d ，u 有超收敛结果 第三部分我们提供了两个算例来验证前两部分的结果实验结果 与理论相吻合， 关键词：c o 有限元，超收敛，二阶常微分方程，二阶双曲型问题 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r , w ec o n s t r u c t c of i n i t ee l e m e n t sf o rs e c o n d - o r d e r o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n ds e c o n d o r d e rh y p e r b o l i ce q u a t i o n si n t i m e ，a n d a tt h e n o d e sa n ds o m ec h a r a c t e r i s t i c p o i n t s s e v e r a ln e w s u p e r c o n v e r g e n c e r e s u l t sa r ed e r i v e d t h i sp a p e ri sd i v i d e di nt h r e ep a r t s p a r t1w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gs e c o n d - o r d e r o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n i “+ ( a i t ) + b u = f 卜( o ) = i og , i ( o ) = “j w i t h a ，b ，f s u f f i c i e n t l ys m o o t h w ec o n s t r u c ta s u p e m p p r o x i m a t i o nf u n c t i o n 。a n dh a v ep r o v e dt h a t a tt h en o d e st h ec 。f i n i t e e l e m e n t s o l u t i o n f o r t h e e q u a t i o n h a s f o l l o w i n go p t i m a lo r d e rs u p e r c o n v e r g e n c er e s u l t s ( “一i t h ) o ) = o ( h 2 “1 )( “一“ ) ，o ，一o ) = o ( h2 ”一) w ea l s oh a v ep r o v e dt h a ta ts o m ec h a r a c t e r i s t i cp o i n t s i nt h ee l e m e n t s ， b o t h “ a n d “：h a v es u p e r c o n v e r g e n c er e s u l t s p a r t2w ec o n s i d e rt h e f o l l o w i n gs e c o n d - o r d e rh y p e r b o l i ce q u a t i o n j “。+ a u = f n q = ( o 丁】x q “2 0 o n f = ( o ，r 】融 【i t ( x ，o ) = 妒o “，( z ，0 ) = 妒i i nq w i t haa u n i f o r m l ye l l i p t i c a lo p e r a t o ri n d e p e n d e n to ft i nt h i sp a r tw eu s e t h et e n s o rp r o d u c ta n dc o n s t r u c t c 。f i n i t ee l e m e n t s f o rt h ee q u a t i o ni nt i m e l e t o = t 。 f l f 2 at = 丁b ea p a r t i t i o no f f 0 ，t 】， l e t 黠础( q ) b e af i n i t ee l e m e n t s p a c e o fc o n t i n u o u s p i e c e w i s e 2 t h d e g r e ep o l y n o m i a l s o nqw i t hm e s hp a r a m e t e r h ，a n d l e tz b et h e p a r t i t i o nn o d e s o ft h e s p a c e ，t h e n t h e c 。c o m p l e t e d i s c r i m i n a t i o n s o l u t i o nuh a st h e f o l l o w i n gs u p e r c o n v e r g e n c e r e s u l t so nt h ed o t p r o d u c t z 0 t ， ，、 f p 一嘶p 卜叫n n j e z ， ( ，。乙, i ( u - u ) , ( t j - o , x 1 2 z x 。伙一，+ t ， j e z j w ea l s o p r o v e d t h a ta ts o m e c h a r a c t e r i s t i c p o i n t s i nt h ee l e m e n t s ，= ( ，t ，+ i ) ，d , u h a v e s u p e r e o n v e r g e n c e r e s u l t s p a r t3i nt h i s p a r t w e p r e s e n t t h er e s u l t so fs o m en u m e r i c a l e x p e r i m e n t st ot e s tt h et h e o r e m si ns e c t i o n 1 ，s e c t i o n 2 o u rn u m e r i c a l r e s u l t ss h o wt h a tt h e s u p e r c o n v e r g e n c er e s u l t so fp r e v i o u st w os e c t i o n s h o i d k e y w o r d sc of i n i t ee l e m e n t sm e t h o d s s u p e r c o n v e r g e n c e s e c o n d o r d e r o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ，s e c o n d - o r d e r h y p e r b o l i c e q u a t i o n 4 第一部分 二阶常微分方程初值问题c 。有限元的超收敛 l ，1引言 一阶常微分方程初值问题的连续和间断有限元以及二阶常微分方 程初值闻题的连续有限元都已被研究( 见文献【2 】， 5 d ，本文对二阶常 微分初值问题利用c 。有限元，在一般情况下导出深刻的超收敛估计， 必：将它推j “到一般变系数方程。 设有二阶常微分方程初值问题 j i l + ) 。曲m = 厂( i 1 ) | “( o ) = “o ，“7 ( o ) = u o 其， a ，b ，f 皆迅j 1 光滑。已经证明，对”3 次c 1 有限元m 在节点处有 细li 、最他阶超收敛估计： i f 一1 1 = o ( h 2 ”一2 ) p 扣一“。) = o t h 2 ”2 ) 且在单元的些特殊点上有超收敛性。本文将采用问断有限元的思 想，利用co 有限元证明其在节点处有更高阶的超收敛估计，并导出 其在单元内部的一些特殊点上有趣收敛性。 现在定义c 。有限元，设j = 0 ，t 已1 ；拟一致剖分 j “：f 。= 0 f 1 t ：( f 3 t = 丁，在此基础上定义c “有限元空间s “如 下：设v s 6 在每个单元f ；= ( t h ，t 。) 是h 3 次项式。莅每个节点上是 连续的，且在每个单元的右节点的阶导数是 连续的，定义 ”：鲫( f 一o ) 为p 1 在f ，的右极限，一般说来，i v ；l - - v ? 一j 0 ，已给的 衲值为v ( o ) = “：，v ( 0 一) = j - 0 1 ，由于在每个节点上要求v e sn 是连续的，且 在每个单元的，亡i 节点的一阶导数是左连续的，故在每个单元f ，上有n 个自由度，比c 有限元多一个自山坡。 现_ _ | jh 0 乘( 1 1 ) 式并在f ，上积分得等式 j 姒。+ ( n w ) + b “一f ) ，l d t = o l 1 1 2 现侄定义n 2 次c 。有限元“。s “如吓，满足： f “+ ( f i r i 。) + b “。一，) 枇+ 【u j ( f j - 【) 。= o 吁p 。_ 1 ( 1 3 ) 由l 式可以看：玎应有n 个自由发，并没有要求，7 是连续的，特别地 n j 取玎= p 。s “，r e ； f - 满足【：述条件。 由于初值问题的解是连续可微的，解u ( t ) 连续依赖于初值及右端， u 在任一1 点的跃度| f j - , 1 = 0 ，h i - ij = o ，由( 1 2 ) 减( 1 3 ) 町知误差 一“一“满足上 交关系： j ( p + ( a e ) 。+ 6 e ) 枇+ 晾1 玎 = o ，7 p 。 ( 1 4 ) 1 2准备工作 为分析误差e = “。一“，我们先作些必要的准备工作。 在单元f ，= ( f ，。，t ，) j ：二作变换t = 一t i + h s ( h i = 华，i 为单元的中 j _ ) ，我们将t ，= ( f 川，f ，) 化为t ee = ( - i ，1 ) 仍汇“( s ) 刮( f ) 为“( j ) ，对求s 导数记为a ，对t 求导数记为d ，拶w ：h i d f l i 在标准单元e = 【一1 ，1 ) ，i - 考虑l e g e n d r e 多项武序列 j o = l ，f i = s ，f ，= ( 3 s - i ) ，屯= 圭( 5 5 一3 5 ) j ， f ，2 而i 粕2 1 ) ，= o l 2 一 它俐是e 上的正交多项式族，内秋 俨院吲 女2 1 次l e g e n d r e 多项在e 内有k 个相异的实零点s = - - 5 ：，= 1 2 k 满足 一i s ： s ： s ： 1 ，这些零点称为k 阶g a u s s 点将l 。i l 积分一次可导出 多项式族 帆= w m 她m ：= i 1 _ i ) ，m ，= 叫 吖川【s ) 2 而1 ( s 2 一叭j = l ，2 一 我们注意到它们是拟正交多项式族，内积 t 帆蚴= ，装荔喊+ 2 ， 显然，靳2 时，m ，( 1 ) = 0 k 2 次多项m 。( f ) 在x 上有 个相异的实零点 5 = 屯= l 一2 ， ，满足一i = s 。 j ： 乩= i ，这些零点称为k 阶l o b o t t a 点， 现在我们取 。( s ) = 7 ( j ) 一一( 5 )( n 1 ) 弘，o = 1 为进一步讨论c 。问断有限元的超收敛性，在e = e - t ，1 上定义多项式 妒。1 ( s ) = m 。+ 1 ( s ) 一m 。( s )( ，z 1 ) 妒。( s ) 在 一l ，1 上有n + 1 个相异实根，a = o ，1 2m ，j l 吼+ ( 1 ) ：0 ，而 贰+ ，2 眠【s ) = f 。( 5 ) 一l 。( s ) 在 一l ，1 上n 个实根r 口，a = ( j ，i ，2 h - 1 ( 屯，的 值分别见第三部分表一和表二) ，特别地讥( 1 ) = o ，即1 为妒：。的根。 设导数虬在e 上已展开为妒( s ) 的多项式级数，并改写为l e g e n d r e 级数形式 “，= 6 ，+ 岛+ ，缈小) = 6 一b ：+ ( 6 f b m ) f 。( 5 ) ( 1 5 ) 山此可知： 6 i 一6 f + = 占，就是l e g e n d r e 展开系数学“，。d s = o ( h ) 。故( 1 5 ) 式 。f | 系数b = b = o ( 7 l 。) ，i 2 ，z f 注意当i 1 时吵。( 1 ) = 0 ，妒。( _ 1 ) = 2 ( 一1 ) ，在右端t l ：= 1 上6 i = “，( 1 ) 现对( 1 5 ) 两端积分得 “= b 。+ b 。s + z b 。伊。( s ) 其中妒j + l = m 一m ， ( 1 6 ) 我们于是 f t 2 为一次c o 算子定义了投影算予幺 q = “= b o + 6 。5 + 岛妒鼬) 由“。( 1 ) = “( 1 ) = b 。+ 6 l b2 ，“。( 1 ) = “( 1 ) = b 。一b l + 6 2 可确定b 。= ( “( 一1 ) + u 0 ) ) 2 ，b ：= ( “( 一1 ) 一“( 一1 ) ) 2 + u ，( 1 ) 。显然“。满足 “。( 1 ) = “( 1 ) ，“( 1 ) l = “( 1 ) ，“就是我们所需的超逼近函数，其余项为 r 。= “一“。= 6 妒弘) 上只刈s e ， j n + l o ，r 。= 6 y 小) 上只2 ， r ，a r 其主部分别为妒。，虬，它们在 一1 ，1 上分别有实根，在这 些实根上，r n , ，r 。，分别有高一阶的精度。 硅然r 有如。卜性质r ( 1 ) = o a ，月。( i ) = 0 。于是我们r i j 得如下引理 曼i 堡! ：! 设he w w ( e ) ，2 sr 蔓n + l ，i 兰p ( 3 0 ，则可以构造一个”2 投影 捅值“= q 。“，其余项r = “一q 。“满足以下条f l 二 ( 1 ) 在t = l 时，r ( 1 ) = o ，尺( 1 ) = 0 ( 2 ) 在e 上有r 上只。r ，上只一： ( 3 ) q “是9 上的有界算子，l 隐“l i i 。r 2 l ，l ，2 ， ( 4 ) “w ”( e ) ，i p ，2 sr ，l + i ，j j 0 有 a 吨，；s 中i 机肚，2 - n 曼f s r 现在我们证个范数等价定理。 曼l 堡! ：至设口是m 次多项式，俐，= ( d 口2 d t ) m ，则其是一个范数，且与 范数剐：= ( f p d t ) 等价，& l j ：f i c 。剐：- o 1 3 定理及证明 f 面证明本部分的主要定理： 定理! ! ! ：在前述假设条件下，设j = ( o ，t 。) ，则n 2 次c 。间断有 限元u 。( t ) 在每个节点t ；有超收敛估讣 i “( f j ) - - u h ( f o ) i c h2 “一8 u i i 。+ 。， ( 1 7 ) i “( t j ) - - u h ( ，j o ) l c h2 ”一i l u u 。+ ，。， ( 1 8 ) 在每个单元j ，的n + 1 个特征点f ：= i + 7 l ，s 。口= 0 , 1 ，2 一，有超收敛 l ( “- - x t j * ) l c h 。+ 29 u 1 + ，。 并且在每个单元j ，的n 个特 i t ! a t ；o = _ + 7 j ，a = 0 , 1 ，2 n - - 1 ，有超收 敛 l ( “一“) + ( f 二) i c j z ”+ 14 u l l 。+ ，。 ，2 ( 1 i 0 ) 我, l f - i gp ：“一：似一) + ( “，一“。) = r + 8 ，于是在每个单元由( 1 4 ) 式 柏+ ： 口( 口，7 ) ：b ( r ，叩) ( 1 ii ) 8 ( r 口) - i 【r “+ ( n r ) 。+ b r ”) 7 _ 叩只一1 用分部积分，并且利用r ( f 一o ) = o 它变为 b ( r ，1 1 ) = r ，7 t i - o + 。+ 【r j k 。一j 。( r ，7 一( 口只) 叩一b r r i ) d t = 一j ( r 叩一( 棚) + 玎一b r r l ) d t 又因为由正交性得i j 异，7 d t = o 所以曰( 只7 ) = 弘r ) 叩+ b 1 1 ) d r _ c h ”。枷h 即有口( 只，7 ) = b ( r ，7 ) c h ”“呲。一m ， ( 1 1 3 ) 首先我们在( 1 i i ) 式中取叩= ( f f ，。) 目”p 。；则有，7 = o ：则 ( 1 1 1 ) 式可化为： j i ( 一f j - ，) 盯d t 一j ( t - f 一- ) ( 口口) 日“d t j o f j ) b o o 。d t + c j ，”“龇。叫忡一_ - ) p 。k = ，- + ，：+ ， 利用y o u n g 矸i 等式得： ，= = c “+ x l 卜8 + ，。，1 i r f ，一) 1 9 ”8 ， sc h a * t * t 0 + 。 l i ( r 一，。) “目l p n sc ( s ) h 2 ”2 盼卜一-+ e f ( 1 - - t j _ i ) 臼斫 ，( j ( s ) f ( t - t i _ 。) 0 2 出+ c 2 ( ) j ，( t - t i ) 口2 西+ l ，( t - l j _ 一) p m ，：sc l ( ) ( 1 - ! i - t ) 护2 d t i ，( t - t j , ) 口西 即i ；( f 一 一) p “i 2 d fs 占f ( f f ，一) p 。1 2 d f + c ，( 占) i ，( f - t j _ x ) 0 2 d 坞( g ) f ( h ) 一1 m + c h “l 。 取适当的s 削去右边第一项得再应用引理2 得 j 州出s 嘶i ，( t - t j _ , ) o “出 c f ( 口2 + 一2 矽+ c h 2 ”删：。刊 再在( 1 1 1 ) - 一墩r l = 0 ，! j j j 有； 而上式左口f ，) = j ，( p ”口。+ ( “p ) p 。+ b o o ) d t + e t 】9 ( f 川+ o ) = c h ”只扎一。， 分部积分后叮得： p ( f ，一o ) 卜 陆川+ o ) f 2 + ( 口“_ l + o ) - 疗【f ，_ i o o 川+ o ) 或写成更简明的形式： p ( f ，一o ) 1 2 一 p ( f ，一o ) + j ( 口口) 口+ b o g 2 y 1 2 + ( 。o ，一，十o ) 一0 1 0 j 一。 + f 。( d 口) 目+ b o o + = y i 记，= ( 0 ，f ，) ，得对前面j 个单元求和得： + 2 f ( ( 口曰) 0 + b o g ) d r - o ( f 。一o ) 2 + 2 r j n 盐, j o ( t 0 - - o ) ；o ，窆e 1 o ，利用y o u n g 不等式得 阢，一o ) 1 2 c i f 徊+ 口2 ) d t + c 2 h2 “蝴。岫 又因为在单元j ，= ( 。一，t ，) 上： 两边平方得： 州 - 0 ( f ，一o ) 一r o d t 口”s 2 o j ( t ，一o ) + 2 h ，p 。2 d 两边在0 上积分有： sc tf 徊2 + 0 1 ) d t + c ：护“呲。 ( 1 1 5 ) _ ，l p h + 2 l o o p j ，秽( f ) 2 d f = c a l 【秽2 + 8 ) 班+ c ： ， 2 n + 妊6 ：“。 1 1 6 又圉为口( o ) = 0 ，且8 是连续的于是我们有： 8 ( f ) = i o d t 曲边j i 方且在，；上积分有 p2 出曼c p “d f 出( 1 1 6 ) ，( 1 1 7 ) 两式可得： ( 1 1 7 ) ( 目2 + 目一) d t = c ， jf ( 曰2 + 0 2 ) d t + c ：h ，h2 ”i i “i i 。， ( 1 1 8 ) 我们记a ，= j ：( 口2 + 0 2 ) d t ，g = c h2 “犯m ，上式可写成 d ，sc 7 l ，口，+ j g ， 利用离散的g r o n w a l l 不等式可得 a ，e x p ( 鬈 - ic 舡) m 。a ；x ，( h ，g ，) ，又因为善 - ih j st , 于是我们有： j ，( p 2 + o 2 ) d t = c h 2 m2 “一， ( 1 ：1 9 ) 由此我们得到： i 6 1 1 。c ”，由逆估计又有：矧： c i ” 山异的性质有如下收敛估计：例。，s 。，+ 。，s 凸”1 ( 1 2 0 ) 于是我们得到如下定理： 定理! ! 星设区间j = ( o ，t ，) 的剖分是拟一致的“s 6 是( 1 1 ) 式的一2 次c o 有限元解，“，是拄次c 。投影算子，则在单元? ，上有 秘。一越展。sc h ”m 。叫 ( 1 2 1 ) 现在我们来证明定理 证明：首先证明有限元解“在节点处的超收敛性，作；( 1 ) 式的对 偶问题： g l a g + 姆= o ， - ( 1 2 2 ) l g ( f f ) = 口；g ( f f ) = 卢 此线性方程有唯一的光滑解g c t ) ，它可用两个初值a , p 表示为 吕( ) = f i ( 净+ f 2 ( t ) 声，又因g ( “+ o ) = g ( t h o ) - - g ( t f _ f ) ；用分部积分计 算以f 积分： ，= c ( e 。+ ( a e ) + k ) g d i + h 譬j 。 = 。1 9 一曙 - r “铬t i 一- o 。+ k ：- 1 k ：- 。+ c 。e ( g 。一口g 。+ 6 9 ) = f ( f f - o ) g ( t i - o ) 一p ( f f i o ) g ( t p i o ) + ( 唧+ 钾) j k t , - o + 。 注意到e ( f 。一0 ) = o ，e ( t 。一o ) = o ，设在( o ，t ，) 上对前i 个单元相加得： ，r = ( p ( f l o ) + a e ( t l o ) ) 口一e ( t 一o ) 卢( 1 2 3 ) 现取g 。为g 在h 。t 】上的分段n 一1 次插值，由前面所证可知： f ，( p ”+ ( 口p ) + b e ) g 出+ 【e j 一。】g ；一。= o 又因( g g h ) ；一= 0 ，再利用( 1 2 1 ) 式有精致估计 仆慨+ ( a e ) 地) ( g - g k ) a t 电l g - g ) 1 = ij ! f 二( e ”+ ( 口+ 6 e ) ( g g ) 胡 - 4 4 ：唐一g l 幽”。肛k ， 1 ( 1 2 4 ) = c h ? ”批。! | g k 对前面i 个单元相加得： l ，i s c h2 ”1 缸e + 4 9 l 。c h “。鼽4 。，( p l + l p i ) 先取口= 0 ，芦= e “一o ) ，由( 1 0 ) ，( 1 1 ) 得： l e ( t ；- o ) isc h “。删。 再取口= p ( t ；o ) ，卢= 0 ，由( 1 0 ) ，( 1 1 ) 得： l e t t ，一o ) j s 曲“。雌。 于是便证明了两估计式( 1 7 ) 与( 1 8 ) 现在我们来证明内部超收敛( 1 9 ) ，( 1 1 0 ) 两式， 由口= e 一只可知，脚) l s c h 2 “，p 。( ，- o ) i - c h “。 由p 。( f ) 2 如j ( f ，一o ) r + 2 f l jj 0 2 d r 和( 1 1 4 ) ，( 1 1 9 ) 两式可得： 渺( f ) 1 - 3 此时定理证毕。 本定理的两个优点： ( 1 ) 当一3 时，对“一“。，d 。( “一“。) 在节点处都得到了最佳阶 o ( h2 ”) ，比c 。有限元高一阶，且只要求u f i ”。当h = 2 时， 对d ，0 一u h ) 在节点处都得到超收敛阶h ， ( 2 ) 当，l 3 时，可得到“。及“：在单元内部的超收敛点当一：2 时，可得到u ：在单元内部的超收敛点 第二部分 二阶双曲型初值问题的c 。有限元及其超收敛 2 1 引言 二阶双曲型问题的间断有限元已被c j o h n s o n 硎究过，具体结果 见参考文献 1 l 】，本文将对二阶双曲型问题采用c o 有限元方法，得到 与c j o h n s o n 类似的结果，并且得到单元内部的一些特征点上有超收 敛性。我们考虑以下模型： 设q 是二维有界域，在柱体q ，：q ：q ( o ，r ) r | | 考虑二阶双曲型的 枷他问题 f “。+ a ”：f在q = ( o ，r 】q q 一 “：0在r = ( o ，明触上 ( 2 1 ) l u ( x ，o ) = 甄q ( j ，o ) = y 。 在q 中 在这里一= 一d , j ；( d u ( 工) d i ) + n 。( 工) 是一致椭圆算子，且翁：子的系数与 t 无关。 记函数空间 s 。= 缸i “h ( q ) ，在r 上u = 0 a ( u ，v ) 是氐强制的，即有：小“，“) v 8 “4 ：，“s 。，常数r 0 记双线型及 内积分别是： “( j2 ( 口u d f 如j v + a o u v ) d x ( ，v ) = l f v d x - 在这里我们将引进一些记号 v ：( z ) 2 熙v c x s ) i v 4 】- v ：一v ： i 忆，2 叫删，u , l l 。 。小r 。出 设有限元空间s ：= v iv h j ( q ) ，v 为分外：j 次多项式 ，则问题( 2 1 ) 的半离 i i 缈一妒乳c h 一5 m ，5 = 0 , i ，2 s r 3 现作( 2 2 ) 中“在t 空间的离敞近似，我们用0 = f 。 f l ( t 。= t 作t 轴的不定均匀的剖分，并且令，= 阶t 。】，t 。一f 。= k 和k = m a x k 然后我们作闯题( 2 2 ) 的近似解u ，它在每个子区间是t 的次数不超 过2 次的多项式，其系数在爵中，或等价地属于空间 2 s “4 = s o * o s = w = u ， ：( o ，) 呻甜：wj = m f ，碟 t = o 注意这些函数在t 的节点上是连续的但其导数可以是不连续的， 但在那里取成左连续，我们分别用l ，( f ，+ o ) 幂f l u ( t 川) 分别表示，上的两 个未知数， 我们记s “m ，j 函数在，中的限制为s k ，具体计算时在，可取 其中k = ( 厂1 + 1 ) 2 确定了，。上近似解的离散表示，我们就在s 中寻求c ，使得： j ，h u “ u + 爿u , v , ) l a t + ( 【u - ( f ，) 】，v ? ) 2 【厂，叶) 出v s l ( 2 3 ) l u ( o ) = p 。，u ，( o - ) = y i 由于u 的导数在节点上不一定连续，在每个单元，l 二有三个参数，因 k+ + ， 咄 成砉= 一 一。 k 争叭 + + 抄q f ， 一 ) p 0 8 0 2 2 一 盘 f 一 f略甜 ：一 + 一 “ u + = q u 前单元已算出u ( t 小所以在每个单元上只有两个自由度，实际计算 l i 寸可取v ，= l ，及v ，= f f ，+ 义山于秀u 值问题的解u 有 i+ 爿( 1 l 一) 一j = ov s ( 2 4 ) 汜。：j一(u“a,，vt)凼解。(f)连(续f,v依f)a赖tu 于初值，且在任点的跃度 【“( f 。) 】，h ( f ，) 】= 0 ，由( 3 ) ，( 4 ) 式可得 ( ，) + 爿( 叫r ) 础+ ( 【q ( 仙v ? ) = o v d ” ( 2 5 ) i p ( o ) = 妒。 一缈。e t ( o - ) = 妒一妒i 2 2 准备工作 在我们作误差分析以前，我们先作一些必要的准备工作，由于我 们假定二阶椭圆算子a 的系数与f 无关，因而椭圆投影算子心也与t 无 关，我们引进a 的离散类似一 对任何“饿( q ) ，定义离散a “s ：满足 ( 爿h ，y ) = 彳 ，v ) ，v 谢， 参考陈传淼专著 2 可知a j u 能被“唯一确定，以后我们将反复利 j 1 j 如下事实 a r = 只一 ( 2 。6 ) 其中只为l 2 投影算子，此事实是容易推导的，因为对所有的v 碟有 ( 只爿“，v ) = ( a u ，v ) = a ( u ，v ) = 一( 尺 h ，v ) = ( l r “，v ) 我们还将用到r 投影算子的性质：慨“l s h ， 予是我们有 a ( r 。“、叫= i ( 一r “，v ) l l i a r 。“08 v 防一“i d s h a dt i v h i l u ：u v i i 为了沦汪的需要，我们还需要构造如下对偶问题 ( 2 。7 ) ( 2 8 ) 现在我们将证明几个重要的引理 二阶双曲型的初值问题( 1 1 ) 得齐次问题为 i “。+ a u = 0在q = ( o 刀q 中 i u ( x ，o ) = 妒0 ur ( j ，o ) = 在q 中 由前面所叙我们构造其c o 有限元u 如卜： lj 。【( 【，t t , v t ) + a c u u ) 】出+ ( 【u ，o ，) 】，1 _ ) = 0 v e s l 6 i u ( o ) = 吵u ，( o 一) = | c ， 要i 堡2 ：! 设“瓯是( 1 1 ) 式的解，则有 睁( f 。+ 她，o ) 9 s 桫。4 。+ 眵，4 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 2 l 伊 i | g o ， = 如卜 + ( g g ，fl g 元限有cq i l e 叫：n i ( 2 1 1 ) 式一1 一l 使v 为u ，j ：在t j 二影 分 ! = _ i ( 1 i l t ， i t ) ( t t + i 爿( f ，l f f ) d t = 0 2 ) t t l j 彤1 分义a 。jt 无关t 1 x , j 称，则义i i j 利川蜘i 下性质，f ( u 川) = 2 a ( u ，i ) i 以有h c f f n 1 ( ，) 墨= 0 ， u 刹j | j 一似，) 足墨，强佑0 的，j 矗然| ，j 禾( i 2 ) j 弋 要i 堡至! 至没( ，足( 2 1 2 ) 式的解，则有 m ，。一。) n i 川2 + i l u , ( ，。+ 。月z + d ( u f l h l ) ，u o 。矿 爿( ，。ji ( 帆一i j ) ，u ，( f 。+ o ) ) ( 2 1 4 ) i i e l l ) j ：限( 2 1 2 ) 式一l i 取忙u ，, e 势j lj ! q 1 论证，易搿此结沦。 丑塑三3 | 1 ：- ，- ，1 旧1 1 2i i i 取= 0 则有 川b - l l u ( , 。一o ) 卜c i i v 。0 ( 2 15 ) 西e i 邺：如l 果妒。= 0 ，则在( 2 1 3 ) 式i i l ，商 i ! | | u ，( f ，圳卜芝：，( 州+ f 。 o 肛 a ( u ( t 川) ，u ( t 川) ) ( 2 1 6 ) 山( 2 1 6 ) 式i , j 得 i l u ，( ，+ 【j ) i i2 ( u ，o 。一o ) ，u ，( f 。+ o ) ) 兰i p ，( ，。+ o ) l l l u ，( f 。一oj 0 即得( “+ o j 9 - l l u 肌- o ) i i = 帆0 ( 2 1 7 ) l _ h ( 2 1 6 ) ，( 2 17 ) 两j u - j 1 - z q - ： 杰l i t u ，( f ，) 强帆。1 2 即钉眦，( ，j 肛耖。i l 义从( 2 1 6 ) 式iu ，( f 。一。埔i 矿l i = o ，2 j ( 2 1 8 ) 2 2 0 u ( t 。) l 。曼k 川 i = o ，1 j 写出等式u ，( f ，+ o ) = u ，( 0 一o ) + ( u ，( f ，+ o ) 一u ( f ，一o ) j 所以l p ，( f ，+ o ) 0 s0 u ，( f ，- o ) 1 1 + 1 i 【，( f ，) 】9 2 i l v , i l 义i 划u s 在，r i ：是一次的，设p r b ，2 m 。a x 鼽i i 。 山( 2 1 9 ) ，( 2 2 0 ) 丌j 得( 2 1 5 ) 式。 里l 堡2 ：垒在引理2 中取妒。= 0 则有 i u 。+ 移( o + - o ) 1 1 ，咖。l 证明：如果p 。= 0 ，则在( 2 1 3 ) 式中有 i | u ，o 川一o ) 1 1 2 + 杰8 【u ，( i ) l l + l l u ，( f 。+ o ) 1 1 2 + 爿( u ( f 川) u ( tj + i ) ) s c l l ￥, 。e 与引理3 相似的分析可得 忖u ，+ ) 9 s c o y 。1 ，u ，( f ，) 】| | s c 4 y u ，o ，一o ) gc i p 。，6 显然可得( 2 2 1 ) 式。 2 3 定理及证明 现在我们采用张量积法进行误差分析： 我们为函数“在t 方向定义一个二次c 。投影算子幺 ( h “= b o ( x ) + 6 t ( 工) f + 6 2 ( 工) 妒2 ( f ) 具体定义方法以及其性质如第一部分所述。幺“满足： ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) q u ( t ) = u ( t ，) 姨u ( t 川) = u ( t 川) ( q “) ，( 川) = i g t ( 0 1 ) 设p = u 一“= u 一( q to 尺 ) h + ( q o r ) “一“= 0 一p 简也臼= u q l r ，p = u q i r ” 在( 2 5 ) 式中取v = g 妒则有 i ，g ，) + a ( o ，g r ) 伸+ ( 【只( f 朋，g 鹃+ o ) ) = 【( p 。，g ，) + 4 ( p ，g ，) 】出+ ( 【p ，( f ，) 】，g ，( f ，+ o ) ) ( 2 2 3 ) 经过分部积分及利用性质d , a ( p ，g ) = 4 ( n ，g ) + a ( p ，g ，) ，( 2 2 3 ) 右端为 e ( g ，) = ( p r ( f “l o ) ，g ，( t j + l 一0 ) ) 一( p ( t j o ) gr ( ，+ o ) ) + a ( p ( t j + 1 ) ，g ( t j “) ) 一爿( p ( f j ) ，g ( 7 ，) ) 一 j 。4 ( p ，g ) d t j ( p ，g 。) d r ( 2 2 4 ) 设p = “一凡“+ ( ，一q k ) r 。“，又由风和幺的正交性质，我们有 j ( n ，g 。) d r = j ，( ( “一r “) g ) a t = ( ( 一r , u ) ，晶) 肾一 j ( ( ”一酬。，g ) d r ( 2 2 5 ) j 。a ( p ，g ) d t = j ，彳( ( 心h 一级r ”) ，g ) d t = 一a ( r h u - q i r h u , g t ) 出 由投影算子幺的性质( r “一q k r 。“) ，( f ，一o ) = 0 ，由( 2 2 5 ) 式的第一项和 ( 2 2 4 ) 式的前两项可得： ( ( “一r “) ，( f j + t 一0 ) ，g ，( f ，+ i o ) ) 一( ( “一r s u ) ，( f ，一o ) 。g t ( t j + i j ) ) 一 一r “) ，g ，) 瞄；。 = 一( ( h r h u ) ，( ，一0 j ，g - ( t j + o ) 】+ ( ( “一r h u ( t ，+ u j ，g , ( t i + u j j 2 0 于是我们得e ( g ，) = a ( p ( t 川) ，g ( t 。) ) 一a ( p ( t a p ( t ，) + j ，( ( “一r 一“) 。，g ，) a t + j ，爿( 尺一“一q k r 一“，g ，) a t 对前面n 项相加得 ( g