（概率论与数理统计专业论文）关于带跳过程的itoventtsel公式.pdf

摘要 = = = = = = = = = = = f = = = = = = ! ! = = = = = = = = = 摘要 关于带跳过程的i t 6 一v e n t t s l e 公式 专业：概率论与数理统i 十 硕一l ：张敏 指导教师：任佳刚教授 这篇论文主要结果就是j 目经典i t 6 公式推导出7 关十l v y 趣崔刚i t 5 v e n t t s e l 公 式。即： 设带跳过程y = v 满足以下的随机微分方程 _ _ k。 2j 、。( y 2 d s + j 、。t y 0 a b s + z 。+ 五i ；。( k 一；“) ( d s ，c l “) + z + 丘i 。”( k 一，u ) ( d s ，d “) f ( t ，y t u ) 的随机积分表示如下 f ，( ，t 、) 一m _ f ，j 。 2j 、h l s b ) d s - i - ，3 。b l d 吼 + z 。+ 上i 。，k ( s 一：。，u ) 府( d s ，d u ) + z + ：j = 。j ( 8 - - , y ， u ) ( d s ，d u ) 则有 f ( t m ) 一f ( o k ) = 序，e ) + 口( 珈舢儿：k 州k ) 南f ( s 姚鲥d s + t 扣k ) 面0 2 耶姚斗序坤州k ) 南f ( s 眺圳d 鼠 + f + ：1 ， u ，( s 一) 二一i 一( 、：一“) ，“) + f ( s 一，k 一十( k 一，“) ) 一f ( s k 一) ( k 一) 彖u ( s 一：v ) l ”_ 。一) ( d s , d u ) + f 也s 。( k u n ) + 耶一儿州趾，训_ f ( p m 一) 摘要 ( k ( sk + ”( v 1 “) 一 ( s ，kn ) + f ( s ，k 十 ( k ，“) ) 一f ( s ，k ) 一毗，呐南即砒战m m h 关键词：i t 6 一v e n t t s e l 公式，i t 6 公式，l o v y 过程，s o b o l e v 均值。 一， a 一沏 k uj、。 十 a b s t r a c t t h ek 6 _ v e n i ；t s l ef o xm u l aw i t hj u m p s m a j o r ：p r o b a b i l i t ya t t dm a t h m a t i c a ls t a f f s t i c s n a m e ： m i nz h a n g s u p e r v s o r ：p r o f e s s o i 1 i a g a l t gi e l i i nt h i sp a p e r ，a ni t 6 一v e n t t s e lf o r m u l at o i j u m p si sp r o v e d t h a ti s ： i fki saj u m pp r o c e s sg i v e nb y ： k k = o ( k ) 如+ 日( k ) d b 。 十z 1 丘l ! ，f ( ，：一“) ( 一。s ，一“) + z 7 z l 。- ( k 一，“) 力( d s ，d “) a n df ( t ，y t ) i sa s m c h a s t j ( i n t e g ) a ld e p e n d i n g 。nap a r a m e t e rz 瓞： f ( t ，y ) 一f ( 0 ，) ：f th l s 蝴s + f 1 n j o + 。 r ( 一 j o j l 0 t 记 ， 也( z ) = ( 妄) 则啦扛) 在( 一e ，5 ) 以外的区域为零，札 ) c 。( r ) ，且厶屯( z ) = l 。 定义1 1 对于定义于碾上的局部可积函数，扛) ，令 西。，( ) ：= = ( 。一y ) f ( y ) d y 则称西。为s o b 0 1 e v 均值，西! ，( z ) 称为，( z ) 的磨光，仉( ) 称为磨光核a 以后用c b 。( r ) 表示r 中全体局部可积函数所构成的集合。则有如下定理成立。 定理1 t设，( t ) 为定义在r 上的函数，在有界区域a r 外为零。则有 ( 1 ) 若，b 。( 鼹) ，则圣。，c 。o ( 酞) 。 ( 2 ) 若，( z ) c ，( a ) ，( p21 ) ，则巾；，c 一( a ) ，且墨黔1 i 壬e ，( z ) 一f ( x ) l l 一) 。o o ( 3 ) 若，( t ，z ) c ( o ，o ( r + 鼹) ，则对任意的n 碡+ t 玉n ，有 l i m s l l p l l 西。f ( t ，z ) 一f ( t ，x ) l l c ，( a ) = 0 ，且吼f ( t ，z ) 关于( ，z ) 连续。 一o + 蛭f d 卅，川s 若f ( t ，。) c 【o 、1 1 ( 取+ x 碾) 则有 拳”，牡e 珈舻e 似，珈洲， 1 2 基本理论 1 2 基本理论 这篇论文时论的随机过程x = ( x 。) o c 。都是一赋流概率空间( 门，p ，( 五) 。c 。) 上的一族随机变量。( 仃，p ) 上的随机过程x = ( x ) o c 。是力瓞+ 上的一实值函 数。 如果对于每个t ，置关于氕可洲则称x 为( 五) o 。适应过程。由仃豫+ 上 的全体右连左极适应过程产生的o - 代数称为可选口代数记为0 ：仃r + 上的由全 体左连续适应过程产生的o - 一代数称为可料o - 一代数，记为p 。记正( d ) 全体左连右 极( 右连左极) 适应过程所组成的空间。一个随机过程是可选的f 可料的) ，如果它是 o ( p ) 可测的。一个过程h 是局部有界的如果有一列单调增加到+ 。的停时( r n ) 。， 使得对每一个n ，h m n x f ，o 有界。左连右极适应过程一定局部肯界( 见 8 】) 。这里以 x = ( x 。一) 记为x 的左极限过程，给定x o 一= x o ，x = ( x 一x 。一) ，电为x 的跳过 程。 l l 6 v y 过程简介 l 6 v y 过程的定义( 参见 7 】) 如下： 定义l2 x = ( x t ) o 垒。是一个适应过程且x ) = 0 ，o8 是一个l v y 过程，如 果满足蜘i 下条件： ( # ) x 是独立增量过程，即对任意的( j s 。，x 。一托与五独立。 ( f i ) x 是稳定增量过程，即对任意0 8 。，x e x 。与咒一。有相同的分 布。 i ) x c 依概率连续。 b l o w n 运动和p o i s s o n 过程都是特殊的l 6 v y 过程。设置为l 6 v y 过程，设 a b ( r ) 记 艇：= n ( a x ，) 0 ( 5 s 则硝“是一个p o i s s o n 过程，且其参数为( a ) = e ? ( 见 8 1 ) 。 定理l2 ( 见【8 】) v ( a ) = e n o 是r 0 的一一有限测度。这个测度称为l 6 v y 测度。记札( ) = m ( ) 一v ( ) ，则f ( ) 乜是一个口有限测度。 给定个赋流概率空间( 门，户，p ，( 五) o s 。) ，工t 是l d v y 过程。由l d v y i t 6 分解定 ( 1 - 2 ) d sd一 一 ，m r，七 解玩 分 + 下 觇 如 + 有 l | i 卜l 7 考参哩 第一章预备知识 这里b t 为标准的b r o w n 运动，】v p = ， 批( ，如) 是一个p o i s s o n 过程，且和玩独 立。坩的参数为”( a ) ，v ( a ) 是瓞0 上的a 有限测度且j ；。寄昏”d u 。 2 半鞅 下面是半鞅的一些基本概念及定理。 半鞅的定义如下( 参考 9j ) ： 定义1 3 x = ( x t ) o 。是一个右连左极适应过程称x 为半鞅，如果x 可作 如下分解： x = m + n ( 1 - 3 ) 其中m 为局部鞅，a 为适应有限变差过程。 则从( 1 2 ) 可以看出l 6 v y 过程是个半鞅。事实上， m ( t ) = b t + 片+ 。i 。l u l v ( d s ，d “) 是一个鞅a ( ) = b t + + 。阻u n ( d s ，d “) 是 一个有限变差过程。 由d o o b m e y e r 分解定理( 可参考 9 】) ，对每一个局部平方可积鞅，都存在唯一的 可料局部可积增过程，记作( m ，m ) 或( ) ，使得吖2 一( m ) 为初值为零的局部平方可 积鞅。如果m ，为两个局部平方可积鞅，则存在唯一的可料局部可积变差过程，记作 ( m ，) ，使得m n 一( m ，m ) 是一个初值为零的局部平方可积鞅。下面是交互变差过 程的定义( 见1 0 1 ) 。 定义1 4 设x ，y 是两个半鞅，对区间0 ，t 1 上的任意分划： r “：0 = t a 奸 巧 l + z 。+ 五 。( f ( k 一+ q ( k 一，“) ) 一f ( k ) 府( d s d “) + ( f ( k + q ( k ，“) ) 一f ( k ) 一q ( k ：u ) f7 ( k ) ( d s d u ) j o ， n l 1 1 3 f u b i n i 定理 f u b i n i 定理在后面的推导中将被用到。 3 通常n l b i n i 定理 定理1 8 ( 1 3 ) 假设( 妇l ，五，p 。) ，( 仍，j 巳，p 2 ) 是a 有限测度空间，假设函数 是它们的乘积空间( 力l 仍，五乃，p 。如) 上的可测函数，如果 满足下列两个条 件之一： ( 1 ) h 是( 力z 仍，五五，p i 如) 上的一个非负可测广义实函数儿乎处处成立， ( 2 ) h 是( 力l 疡，五五，p lx 耽) 上的可积函数。 则有 h d ( p - p 。) = d ( p - ) ( z ，z 。) d ( p 。) = d ( p 。) ( z 。，z 。) d ( p 。) 4 随机f u b i n i 定理 下面的定理称为随机f u b i n i 定理。 定理1 9 ( 参看 1 1 “p ，儿6 一1 1 9 ) ) 假设y 是赋流概率空间( 力，p ，( 五) 。9 0 。) 上 的半鞅，h = h ( t ，o ，u ) o ! 。! 。，o r 是一族有界可料过程，使： h ( t ，a ，u ) 为px 层( 跫) 可洌0 则存在一族可选过程y = y ( t ，n ，) o c o 。，n r ，使得： r ( t ，o ，u ) 为0 口僻) 可测，且对任意的。豫，t 皿。有 y ( t ，o ) = h ( s ，o ) d 墨， 。_ s ( 1 _ 8 ) j 【o ，】 设“为r 上的有限b o r e 测度，则 三哼：= h ( ，a ) t t ( d a ) ，t r + 仍为有界可料过程，且对任意t 爬+ ，有 ：，qzh ( s ，。) “( 血) d 也= 上丘，。h ( s ，。) 憾肛( d a ) ，。s “ ( ，9 ) 定理1 1 0 ( 见 8 ( p 1 5 9 1 6 i ) ) ，设x 是半鞅，日( 。，t ，“) 是8 啤) p 上的可测函 数，肛是r 上的有限正测度，且有 ( ( 日( f ，口，u ) ) 2 p ( 如) ) j 1 l x j 如果后h ( 8 ，。，w ) d x 。为右连左极过程且关于8 ( 瓞) 8 ( 孤 ) ，可测，对每一个 a ，a ra s 成立。则 h ( s ，。，u ) d 咒t t ( d a ) 1 4 关于带跳过程的i t 6 v e n t t s e l 公式 为 的一个修正 lz ，n ，咖( 删一恐 1 4 关于带跳过程的i t 5 v e n t t s e l 公式 ( 仃，p ) 是一个完备概率空问，l d v y 过程l = l ( ) 的l d v y 测度设为”( 如) ，满 足丘1az 2 ( 出) 。假设m ：= 厶z 2 p ( d z ) l f ( 5 一，k 一) + ( k 一，“) 盖f ( s 一，口) i y = 碥一 ( d s ，d u ) + t 扣一，k 一+ 矸( k 一，扎) ，就) + f ( s 一k 一十叩( k 一，“) ) 一f o 一，k 一) v uj i u i 1 + 讹刈) 南即一k “砌州u ) + ( s ，k + 叩( k ，“) ，“) 一( 最k ，“) + ，( 8 ，k + 叩( k ，扎) ) 一f ( s ，圪) o d 0j k i 0 ，n ( ，w ) 1 ( 【o ，t ) ，卢( ，u ) c 2 ( 【o ，t 1 1 a 则 f ( ，k ) 一f ( o ，碥) = 上。h ( s ，e ) d s + z ( s ，k ) d b rz 。( i ：) ( 南f ( s ) l ，：，：) d s + o 卢( 圪) ( 南f ( s ，) 1 w = k ) d b s - 胁( 掰( 券啪儿叱) d s + o 觚) ( 茜啪地乩冲 这篇论文中我使用s o b o l e v 均值为工具证明问题，这个函数b l r o z o s k i i 在他的 论文中也用到，我较多的参考了他的结果。blr o z o s k i i 在推导i t 6 一v e n t t s e l 公式时首 先证明了： 如果( t ，) 关于g 可微，且兰f ( ，g ) 的随机积分为： d 南f g ) = 苗h ( 蜘) 出+ 巧0m g ) d 玩( 2 - 3 ) 8 第二章i t 6 一v e n t t s e l 公式 则i t s - v e n t t s d 公式成立。 然后利用s o b o l e v 均值的性质，就可以证明21 。公式( 2 3 ) 成立时，殴 0 = t o t 1 t 2 t 0 ，a ( ，u ) c l ( o ，t 1 ) ，。( ，u ) 2 ( 【o ，t 】) ，i = l ，2 ，d ，f = 1 ，2 ，d l 。y = k 是删上的 连续可料过程，且满足s d e ： d k 。= n ( t ) d t + p “( t ) d b ( o ) ，i = 1 ，一，d( 2 - 4 ) f ( t ，u ) c ( 0 , 2 ( r + ，掣) 是可料过程且满足 d f ( t ，y ) = h ( t ，y ) d t + ，。( t ，y ) d b ( )( 2 - 5 ) 其中h ( t ，g ) ，以t ，y ) 都是可料函数，h ( t ，y ) c ( 0 , 0 + 彬) ，n s ，( ，y ) c ( 0 , 1 ( r + 皿4 ) ，。s ，z = 1 ，2 ，d l 。则 定理22 ( i t 6 - v e n t t s e l 公式) f ( t ，k ) 满足： d f ( t ，k ) = h ( t ，k ) d r + 以t ，y t ) d b ：十只( ，y t ) d t + i 1 口。岛( ，k ) d + p “哥( ，y d d + p “丘( f ，y t ) d b ! ( 2 - 6 ) b l r o z o v s k i i 在这里采用爱因斯坦约定对于重复角标求和，而省去求和符号。 我在这里写成向量的形式： d f ( t ，y ) = h ( t ，k ) + i t ( t ，y t ) d s e 9 2 2 关于纯跳过程的i t 6 一v e n t t s e l 公式 ! = = ! = ! ! ! ! ! = = = = ! ! ! ! ! = = = = = = = ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! - 这里f ( t ，y ) ，h ( t ，) ，z ( t ，) 都是多元函数 b f 是多维b r o w n 运动。k 满足s d e ： d l g , = o r ( y t ) d t + 2 t ( k ) d 玩 其中血( z ) = ( 。1 ( z ) ，。2 ( z ) ， - 、0 4 ( z ) ) f ，卢( z ) = ( 卢( z ) ) l i d 、l jsd 贝| j d f ( t ，k ) = 阿( ，k ) 出+ ，7 ( y f ) d b 。 + 南即姚驯m 十；茅即，蜘圳纠圳阳t + 南m 川k 洲驯t 2 2 关于纯跳过程的i t 5 一v e n t t s c l 公式 3 纯跳过程的有关概念 如前所述，b o k s e n d a l ，t s z h a n g 证明了关于纯跳过程的i t 6 一v e n t t s e l 公式 ( 见【4 1 ) 。先引入一些概念。 ( n ，- p ) 是一个完备概率空间。纯跳l 6 v y 过程的l 6 , v y 测度设为p f d z ) ，满足 止laz 2 e ( d z ) 。假设m = ，rz 2 ( d z ) 0 有 且最然 r ( ! 囔上机( k 一) f ( 5 ，g ) 8 2f ( 5 ，e ) r ( 。味上也( ) f ( o ，) 由= m k ) _ 成i 。f 表示依概率收敛。 对任意给定，日( t ) ，( ，”) 是 五 o ! 。可料过程，且h ( tf ) c ( o 、o ( 豫+ r ) ，o s ，( ，可) c ( 。，l ( 腱+ 爬) ，s 。则有 “溉( 铀眺鲫。 1 一也( k 一一) ) + l ，( s 一，“，) 钆( k 一一y + f ( k 一，u ) ) ) ( 幽d u ) + f ( s 一，可) ( 叩( 圪一u ) 击：( k 一可) + 曲= ( k 一一y 十叼( k ，“) ) 一曲! ( k 一一) ) + k ( s 一，n ，可) 西! ( k 一一掣+ 叩( k 一：t ) ) 卜( ( 如，( f u ) + f ( s ) ( 啦( k g + q ( k ，u ) ) 一趣( 圪一) 一_ ( k ，n ) 以( k g ) ) 0j 0 ，有 ( = 味r 机( k y ) f ( 5 ，y ) d y 2 f ( 8 ，k ) ， 1 6 一 ( 矾。骧上九( ) f ( o ，) 4 y 。f ( o ，碥) 这里( p ) 表示依概率收敛。 由于也( z ) ，z 瓞在b ( o ) ：= z r ：川 0 ，。( k y ) n ( t ，口) ，咖。( k y ) z ( t ，g ) ，。( k - y ) j ( t ，) ，s ( k v ) k ( t ，g ) 为r ( 一，) 上的有界可料过程。 又因为h ( t ，) ，r ( t ，) ，j ( t ，) ，k ( t ，) 为p b ( 碇) 可测。仿照定理2l 的讨论，对 上面各个式子分别在r ( 一e ，e ) 上关于v 积分，且( ，) ，i ( t ，) ，g ( t ，) ，k ( c ，y ) c 2 ( n r ，p d r ) 。由第二章22 中的 m b i n i 定理及随机f u b i n i 定理知道，对y 积分的 积分与对托的随机积分可以交换次序。 考虑到f ( t ，g ，训) 是( 8 ( 豫+ ) ，日( r ) ，) 上的可测函数，关于( 五) 0 9 。适应，关于 二阶连续可微，( ，g ) 关于g 一阶连续可微。再令趋向零a 由s o b o l c v 均值的性 质，就得到： r ( t ，k ) ：即+ 爪踯州k ) 昌m 枷：k 州k ) 南即姚引出 + z 缸k ) 番啪m 私十o 。( ，( “m ( k ) 南脚儿圳d 鼠 + ( j ( s 一，k 一+ ( k 一，“) ，“) + f ( s 一，k 一+ ( k 一，u ) ) j o j i ”1 2 1 匀 一f ( s 一，e 一) + ( e 掣) 赤f ( s 一，可) l 础一 ( d s , d u ) + ( k ( s 一、k 一- t - 叩( k 一，“) ，趾) 十f o 一，k 一+ 叩( k 一，“) ) 一f o 一，k 一) j oi l l + ( k 刈) 羞f ( s _ 1 口) i 蹦一) ( d s , d u ) + k ( s ，k + 叩( k ，u ) ，“) 一k ( s ，k ，札) + f ( s ，k + 叩( k ，u ) ) 一f ( s ，k ) j 0 k | 【 一日( k ，“) 盖f ( 刚) j 蹦 ”( 。“) 缸 下面一章是i t 6 一v e n t t s d 公式的应用。 1 7 第五章i t & 一v e n t t s e l 公式的应用 这一章我们看一下i t d - v e n t t s e l 公式的应用，第一个例子是来自( 5 】) 。 5 1 连续过程的i t 6 一v e n t t s e l 公式的应用 考虑经典的b l a c k s c h o l e s ( b s ) 模型下面利用i t & - v e n t t s e l 公式由绝对隐含波动 率推导相对隐含波动率的市场模型。 假设市场承认无套利，设s 。是标的股票的价格过程，这里不考虑其盈利利率， 也就是利率r ( ) = 0 。设p 为经典的b l a c k s c h o l e s ( b s ) 模型中利率为零的无套利点测 度。下看一个股票的隐含波动率模型( 见【1 6 1 ) 。标的股票& 是p 一鞅，且满足s d e ： ds c = & o ( t ) d w ( t ) ( 5 - 1 ) 其中w ( t j 是多维b r o w n 运动，p ( f ) 为随机波动向量，吕除第一个分量外，其它分量的 瞬时波动都为零。 经典b s 模犁约定，执行时刻为t 执行价格为的看涨期权g 在时刻t ，0 ts1 1 的隐含波动率如为： 口c = 口( 丁，k ) = 口( c ，t ，k ) 则在时刻t 期权c ，的定价为： g = 洲丽焉葡+ ；o - t ( 丁丽) + 删而鬣丽+ 知1 ，k ) 瓜) 这里的f 1 为标准正态累积密度函数。 假设隐含波动率一，是一个扩散过程： d o - t = m ( c ) d t + t 。( a t ) d b t ( 5 - 2 ) 其中b 是多维的b r o w n 运动，以b c 和表示与( 5 1 ) 中的w ( t ) 不同。则由看涨期权 c 。是一个鞅，可以求得0 - 。所满足的s d e 。 假设： 盯；( 了1 1 ) ( 丁一t ) 三0o - ；( t ，k ) ( t t ) = o ；( 5 - 3 ) 有如下定理( 见 5 ) 。 0 = o - t ( ，) f 5 4 1 第五章i t 6 - v e n t t s e l 公式的应用 定理5l 经典b s 模型中，如果隐含波动o - 是一个扩散过程满足( 5 2 ) 。则有过 程，满足 v o r t ) = 口t u 。 设a ，满足 且令p ：满足 则矶满足s d e 有下式成立 令 d ( s ，口) = s t o c a d t 九= g t p t d s t = s t o ( t ) d w ( t )( 5 - 5 ) 口；( r ，k ) ( t t ) 0 ，f 鳃。；( t ，k ) ( 丁一) = 0 ( 5 6 ) 慨= 高( 以l 0 * + u r i n a ，1 2 枷c ( u t - - p t ) 抚) 出 + ( 扫口叫恻j 2 一；啦纠珧栅z 。j 蛾 = a o ( t ，) 丑= t 十o ，k t = 酽& ( 7 t ( 正，k t ) 称为相对隐含波动率。在这里3 n 区别的把吼( 瓦，k ) 记为吼，由定 n 5 1 和i t 6 v e n t t s e l 公式，就得到相对隐含波动率叽( 正，k l ) 所满足的s d e ： d s fs t o d w ( t ) ，吼2z t ( t ，& ) ， 绍叽( t ，) in，j ，1 、 + ( f n ( i + ( s 一，“) ) 。k ( s 一，) ) ( d “) d s ) j n j i _ i ( 1 记g b ) = & ( ) ，s ；( ) = 器& ( ) ， 则： s ：( g ) = s t ( ) z 。南h ( s ，) d s ， ( 5 7 ) 剐加s c ( 洲( z 。昌) d s 卜z 旦o y - 胁) ( 5 - 8 ) 通常由于大投资者在市场上的作为，影响到，从而参数不是一个定值，而是 个随机过程目、假没可以表示为： 日dk p rt +sd 一 嘲 如 乜 ，佃 + = k 第五章i t 6 v e n t t s e l 公式的应用 z“丘，(k一)n(ds，du)0 1+ j 0 。+ j t l 。1q ( k 一) ( d s ，d “) ( 5 - 9 ) ( k 一+ q ( k 一) ( d s ，d ) ( 5 - 9 ) j j l u l u l 并假设a ( ，z ) ，z ( t ，t ) ，f ( ，z ) ，q ( c ，。) 五。 于是由i t 8 v e n t t s e l 公式及( 5 7 ) ，( 5 8 ) ，相应的股票价格过程& ( m ) 就为： ( k ) = s o ( y o ) 十z 。 h ( 8 ，k ) + a ( k ) 只( k ) ：5 南h ( r 1y 。) d r d s 0 ( k ) =十，k ) + a ( k ) 只( k ) 云h ( r 1 j 0jo f + 胜钗啪( 吲( z 。昌即2 + o 嘉即，洲冲 + z ( f ( s ) + 卢( e ) 只( e ) z 3 南h ( r ，匕) d r d b f t +r + 上。i ，。“j8 - - , u ) + s s 一( e 一+ ( k 一，t ) ) 一s 一( k 一) + ( k 一，u ) s 一( k 一) z 3 为日( r ) k 一) d r ( d s ，d “) ，+ p + ( s 一，) + s s - ( k 一+ q ( k 一，“) ) 一s 。一( 匕一) j 0j l u 【 l 州k 鹕“一) z 3 南研，k 一) d r f i ( d s ，删 十z 6 五 只( k + q ( k ，“) ) 一s ( k ) 一q ( k ，“) 只( k ) z 8 昌h ( r k ) 咖 ”( 乩) 如 2 1 总结和展望 总结和展望 这篇论文用s o b o l e v 均值和i t 6 为工具证明了i t s - v e n t t s e l 公式，这些工具都是数 学中常常用到的，电再一次显示了数学的奇妙。同时也可以仿照证明经典i t 5 公式的方 法来推导带跳的i t s - v e n t t s e l 公式。 现在i t 5 公式有了许多不同的版本，从而可以写出不同的带跳的i t 6 v e n t t s e l 公 式。如利用i t 6 公式，当函数f ( t ，y ，u ) 关于y 一阶连续可微时，也可推导出i t s - v e n t t s e l 公式；用多维的i t 5 公式，可推导出多维的i t 5 v e n t t s e l 公式。 但是注意到在第五章5l 中。如果令6 = ( t 一) a ；，则6 所满足的随机微分方程一 般不具有适应解( 见f 5 1 ) 。而在( 1 4 1 ) 中，作者也推导了关于倒向连续过程的i t 6 一v e n t t s e l 公式，形式上是一样的。那么关于倒向带跳过程的i t 5 一v e n t t s e l 公式也是非常重要的， 并且在讨论非适应随机微分方程是一个很有力的工具。囿于这篇论文的重点，我没有 作进一步的推广。 2 2 致谢 致谢 非常感谢导师任佳刚教授指导我作这篇论文，使我感受到有意思的数学：同时非 常感谢导师一直以来无私的教诲，带领我进入一个大的数学天地。 在这篇论文的准备与写作过程中，与众多同学的交流使我受益非浅。其中刘迎军在 磨光算子( 即s o b o l e v 均值) 上给我了诸多提示；黄矩川告诉我隐含波动率的知【f ；肖 小勇告诉我绝对隐含波动率的计算方法。在打论文的时候，许多同学都给予了帮助， 黄矩川还把他的l a t e x 模板传给我，使我节省了很多时间。 最后不得不提的是g o o g l e 这个搜索引擎，其强大的搜索功能让我总是可以搜索到 想查找的内容当然也应当感谢众多的研究者把他们的成果无私的公布出来。 参考文献 参考文献 【1 】r o z o v s k i i ，bl ，o nt h ei t 8 一v e n t t s e lf o r m u l a v e s t n i km o s k o v s k o g ou n i v e r s i t e t a m a t h - e m a t i k a ，v o t2 8 ，n o1 ，( 1 9 7 3 ) ，p2 6 3 2 2 】o c o n e ，d ，p a r d o u x j e jag e n e r a l i z e di t 6v e n t t s e lf o r m u