（应用数学专业论文）两类抛物型方程的最优控制.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 近年来人们越来越关注抛物型偏微分方程的最优控制问题。本文在 变分不等式最优控制理论和分布参数系统的最优控制理论的基础上，研 究半线性抛物型系统和一类变系数对流一扩散系统的最优控制问题。 首先在前人研究的基础上，本文在给定初边值条件下，研究一类半 线性系统的最优控制问题，包括给出了弱近似解、弱极小化序列的定义， 根据第二章的预备知识，证明方程在给定的空间里最优控制和最优解的 存在性，然后选择合适的目标函数，( ) ，用罚函数方法等一些理论得出 先验估计，并且给出了伴随方程和弱近似解。其次研究一类一维变系数 对流扩散方程的最优控制问题。把对流速度系数作为控制项，对状态方 程作恰当的变换，运用实分析、抛物方程弱解概念等理论对目标函数关 于控制h 微分，用极小化序列方法证明了最优控制的存在性，得到方向 导数以及先验估计，由此得到最优控制所需的必要条件，这样最优系统 是由状态方程和伴随方程以及一椭圆型变分不等式组成的。 关键词：最优控制；最优解；罚函数方法；半线性抛物方程；变系数对 流扩散方程 江苏大学硕士学住论文 a b s t r a c t r e c e n t l y p e o p l em o r ea n dm o r ea r ec o n c e r n e do fp a r a b o l i cp a l t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o no p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m s o nt h eb a s i so ft h eo p t i m a lc o n t r o lt h e o r ya b o u t v a r i a t i o n a li n e q u a l i t ya n dd i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m ，t h e p a p e rc o n s i d e r so p t i m a l c o n t r o lp r o b l e mg o v e r n e db ys y s t e r mo fs e m i l i n e a ra n dc o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n w i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s o nt h eb a s i so fp r e s e n t e dr e s u l t s ，u n d e rg i v e ni n i t i a la n db o u n d a r yc o n d i t i o n s ，t h e p a p e rs t u d i e ss o m eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e ma b o u ts e m i - l i n e a rp a r a b o l i cs y s t e m i n c l u d e g i v i n g t h e d e f i n i t i o no fw e a ka p p r o p r i a t es o l m i o na n dw e a km i n i m i z i n g s e q u e n c e a c c o r d i n gt op r e l i m i n a r yk n o w l e d g ei nc h a p t e rt w o ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fo p t i m a l s o l u t i o nu n d e rg i v e ns p a c e f u t h e r , s e l e c t i n ga p p r o p r i a t ec o s tf u n c t i o n ，( ) ，讥d e r i v ea p r i o re s t i m a t eo fs o l u t i o nu s i n gp e n a l t ym e t h o da n do t h e rt h e o r i e s a l s og i v et h ea d j o i n t e q u a t i o na n dw e a ka p p r o x i m a t es o l u t i o n a tt h es a m e ，t h ep a p e rd e a l sw i t ht h eo p t i m a l c o n t r o lp r o b l e mo f o n ed i m e n s i o nc o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s w et r e a tt h ec o n v e c t i o nv e l o c i t yc o e f f i c i e n t 鹊t h ec o n t r o lt e r m , u s i n gt h ed e f i n i t i o nf o r w e a ks o l u t i o no fp a r a b o l i c w e6 f f e r e n t i a t i n gt h eo b j e c t i v ef u n c t i o n 、j l r i t hr e s p e c tt ot h e c o n t r o lh ，t h ee x i s t e n c eo fo p t i m a l t ys o l u t i o ni se s t a b l i s h e db ym i n i m i z i n gs e q u e n c e m e t h o d d i r e c t i o n a la n dap r i o re s t i m a t ei sd e r i v e da n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nw h i c ho p t i m a l c o n t r o ls a t i s f i e da r es e c u r e d t h u st h eo p t i m a l i t ys y s t e mc o n s i s t so fs t a t ee q u a t i o n , a d j i o n t e q u a t i o na n da ne l l i p t i cv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y k e yw o r d s ：o p t i m a lc o n t r o l ；o p t i m a ls o l u t i o n ；p e n a l t ym e t h o d ；s e m i l i n e a rp a r a b o l i c e q u a t i o n ；c o n v e c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s i i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规 定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论 文的全部内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密酿 学位论文作者签名：物污惶指导教师签名： b ，l 年1 1 ，月 日 力t 6 年f 调 日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：汤j 哥笠 日期：，6 年肛月 日 江苏大学硕士学位论文 1 1 研究价值和背景 第一章绪论 对流扩散方程是一类基本的数学物理方程，同时对流扩散现象大量出现在自然 界及各个工程领域中，具体的表现形式多种多样“m 。从放液漏斗上的热传递到渗 入土壤的过程，从多孔渗水介质的散布追踪到可溶物在河口和近海的扩散，从污染 物在浅湖的蔓延到河床对化学药品的吸收，从可溶物在流动的液体的溶解到污染物 质在大气中的远程传布，无不与对流扩散过程密切相关；而各种生产电力的方法几 乎都是以对流扩散作为其基本过程的。所有这些变化万千的对流扩散过程的数学模 型可以归纳为： c ( _ ，屯，x 3 ，f ) 睾+ 云( 鼍，屯，而，x n ，y ) v y v ( d ( x 。，屯，屯，矗，y ) v y ) = f ( x l ，x 2 ，屯；，矗，j ，) 式中y 为通用变量，可以代表流体的速度矢量在空间坐标系上的分量和温度等求解 变量； ( x t ，而，而，一，y ) = ( 云( t ，屯，屯，j ，) ，丘( 五，吻，屯，y ) ，瓦( ，x ：，弓，矗，y ) ) a ( 而，x 2 ，屯，y ) 为广义扩散系数；f ( x t ，x 2 ，x 3 ，毛，y ) 为广义源项。这里引入的 “广义”二字，表示处在口h ，x 2 ，而，y ) - 与f ( x i ，x 2 ，屯，x n ，y ) 上的项不必是原 来物理意义上的量，而是数值计算模型中的一种定义。 对对流扩散方程的研究引起了人们极大的兴趣，数学界描述对流扩散方程包括 修正方程有很多，如齐朝晖等人研究对流占优问题“1 ；刘扬研究非常定对流扩散方程 嗍。而最优控制理论研究的中心问题是如何根据受控系统的动态特征性去选择控制规 律，使得系统按一定的技术要求进行运转，并使得描述系统的性能或者品质的某个 指标在一定的意义下达到最优值。最优控制问题通常包括以下四个组成部分：( 1 ) 受 控系统的数学模型，即动态系统的状态方程；( 2 ) 状态方程的边界条件；( 3 ) 容许 控制；( 4 ) 性能指标或者称性能泛函。最优控制一定是容许控制，且最优控制必须 使性能指标达到极大值或极小值，即在某种意义下达到最优值。 江苏大学硕士学位论文 从理论上讲，施加于系统的控制作用，在于影响系统的行为，以达到某种预定的 目标，当控制作用是为了系统的性能按某种指标达到最小( 或最大) 时，就是最优控制 问题。显然人们设计控制系统总希望达到某种最优的性能，例如我们从事某项工作 时，总希望在已有的条件下，能以最小的代价换取最大的收益，采取何种手段来达到 这样的目的就是我们要研究的最优控制问题，也就是现代控制理论研究的第一个方 面。 最优控制的思想很早就在人们的认识中产生，但如何将这个思想用数学语言来 描述，如何用数学方法来论证它，从而形成一套理论体系来指导我们的工作，这些问 题直到本世纪4 0 年代才引起人们的注意。维纳( w i e n e r ) 在4 0 年代提出了相对于某 一个性能指标进行最优设计的概念。1 9 5 0 年，米顿纳尔( m e d o n a l ) 首先将这个概念 用于研究继电器系统在单位阶跃作用下的过度过程时间最短的最优控制问题。到了 5 0 年代末，特别是6 0 年代初，在空间技术发展和数字计算机实用化的推动下，动态系 统的优化理论得到了迅速的发展。1 9 6 0 年，国际自动控制联合会( i f a c ) 第一届世界大 会在莫斯科举行，贝尔曼，卡尔曼，庞特里亚金等在大会上报告了他们的各自工作，引 起了人们极大的重视，逐渐形成了一个重要的学科分支一最优控制。 人类认识客观世界和改造客观世界的历史进程总是由低级向高级，由简单到复 杂，在控制领域也是这样。最先研究的控制系统都是线性的，但是随着科学技术的不 断发展，人们认识的不断深入，逐渐意识到了任何一个实际的物理系统都是非线性 的。非线性是普遍的现象，而所谓的线性只是非线性在特定的条件下的一种特殊的表 现形式。因此，近年来非线性问题已成为控制领域的热门研究方向”“”。 在进行控制系统的研究时，通常将其划分为线性和非线性两大类。线性系统用常 微分方程来描述，称为集中参数系统，系统在每一瞬时状态是有穷维空间中的一个 点，具有有穷多个自由度。非线性系统用偏微分方程或偏微分积分方程，或偏微分 方程与常微分方程的耦合方程来描述，称为分布参数系统，具有无穷多个自由度，系 统在每一瞬时状态都是一个函数，是无穷维空间的一个元。古典控制论主要研究集 中参数控制，但现实世界中所发生的各种现象，大部分是非线性分布的，如用梁振动 方程描述导弹结构弹性振动的控制系统，用梁振动偏微分方程和常微分方程的耦合 方程来描述的柔性一刚性机器人的控制系统，物体温度变化，地下水渗流，汽油形成， 生物种群演化等都是分布参数系统。现代控制论的研究方法从建立在传递函数基础 2 江苏大学硕士学位论文 上的频域法，发展为建立在状态空间上的时域法，其研究对象从线性系统发展到非线 性系统，从确定性系统发展到随机系统，从集中参数系统控制，反馈控制发展到最优 控制，对被控系统根据工程实际要求提出实现准则，寻求系统在满足一定条件下，使 实现准则达到最优的控制方案，就是最优控制研究的课题，最优控制理论已成为现代 控制理论的重要组成部分。 几十年来，它在系统工程，经济管理与决策，特别是空间技术等众多领域都有其 广泛的应用，收到了非常显著的效果。正是上述原因，人们对最优控制的研究日趋深 入，如今对分布参数系统的最优控制研究已成为学术界非常活跃的一门学科。特别是 对非线性孤立波方程的最优控制正处于数学，工程学和计算机科学交叉发展的前沿。 1 2 研究现状和趋势 2 0 世纪6 0 年代初期，由于科学技术的发展和实际工程控制系统设计的需要，以 及集中参数系统最优控制发展的影响，现代控制理论的一个新的分支分布参数 系统的控制理论迅速发展起来。同时，布特可夫斯基在讨论炉温控制时，把热传导方 程的某种最优控制问题转化为p o n t r y a g a i n 讨论过的问题：王耿介联系航天技术中的 控制问题，于1 9 6 4 年系统的讨论了分布参数系统最优控制理论：l i o n s 与m a g e n s 对描 述分布参数系统的偏微分方程( 椭圆型，抛物型和双曲型) 的定解理论作了深入研究 州“”。通过引入变分不等式等工具，探讨了各类典型二阶性能指标的最优控制问题“。 分布参数系统主要向最优解的存在性，最优性条件，系统的可控性，稳定性和最优 控制问题的求解等方向发展。在最优解的存在性及最优性条件方面，人们根据不同系 统作了大量工作，由于分布参数本身的复杂性，早期的研究工作主要集中在线性，半线 性且不考虑对状态和控制约束的情形。a h m e d 和t e o ( 1 9 8 2 ) 的工作最具代表性“。 a h m e d ( 1 9 8 2 ) 给出了一类二阶双曲分布参数系统最优控制存在的必要条件，这是研究 双曲系统最优控制方面较早的研究之一“3 1 ：a h m e d ( 1 9 8 9 ) 利用算子半群，伴随系统及 变分不等式等工具，把分布参数系统最优控制理论引入到参数识别之中，在b a n a c h 空 间中给出了该领域的一抽象理论体系“”。 f a t t o r i n i 系统讨论了b a n a c h 空间中，由发展方程描述的最优控制问题最优解的 存在性及其最优性条件，给出了具有非线性边界条件分布参数系统的非凸最优控制 的最大值原理“”，对具有状态约束最优控制问题的p o n t r a g i n 进行了深入研究“”“”， 江苏大学硕士学位论文 同时对最优控制理论( 主要是关于最优解的存在性及其必要条件) 及所作的工作进行 了全面的概括和总结“”。在f a t t o r i n i 等人的工作基础上，r a y m o n d 与z i d a n i ( 1 9 9 9 ) 着重研究了半线性抛物系统的最优控制问题，在边界条件的非线性项既不单调又非 l i p s c h i t z 连续及分布，边界控制没有有界性约束的条件下，利用一种新的正则性结 果，获得了关于分布、边界及初值控制的三个分离形式的p o n t r y a g i n 原理，该结果可 以应用于具有状态约束的最优控制问题之中“”。 m o s s i n o ( 1 9 7 5 ) 是最早研究具有状态约束分布参数系统最优控制的学者之一啪1 。 在此基础上，c a s e s 在1 9 8 6 年研究了具有逐点状态约束的线性椭圆方程最优控制问题， 并证明了最优控制的存在性，给出了最优性条件及最优解的正则性结论乜1 1 ；在1 9 9 3 年研究了具有状态约束的半线性椭圆边界控制问题。”。在1 9 9 6 年c a s a s 利用峰值摄 动法。给出了拟线性椭圆方程边界最优控制的p o n t r y a g i n 原理。“；并结合李训经等 人的工作，对具有逐点状态与控制约束的半线性抛物型边界最优控制进行了研究，得 到了问题最优控制存在的p o n t r y a g i n 原理，给出了最优控制的正则性条件，进一步通 过引入扩散摄动、s o b o l v e 嵌入定理及偏微分方程解的正则性理论m “，为该类问题 的研究建立了统一的抽象理论框架，c a s a s 和t r o l t z s c h ( 2 0 0 1 ) 等就分布参数系统 最优控制最优解存在条件进行了研究，论证了同时具有逐点状态与控制约束，且具有 半线性边界条件的半线性椭圆型方程描述的边界最优控制局部最优控制存在的二阶 充分条件”1 。f e r n a n d e z ( 2 0 0 0 ) 研究了一类更具有代表性与普遍性的，具有关于状态 变量的梯度形式的等式与不等式约束的散度形式的拟线性抛物型边界最优控制问题， 其中控制变量含在状态方程的高阶导数项系数中，通过引入适当的函数空间，证明了 最优控制的存在性、状态变量对控制的连续性与可微性，并给出了最优控制的一阶必 要条件啪1 。1 9 9 5 年c a s a s 和雍炯敏给出了控制域是有界子集不必凸集，拟线性椭圆 方程( a 一调和方程) 的点态约束问题的强、弱极大值原理。 在国内，李训经等利用算子半群、粘性解、凸分析、s o b o l e v 空间理论，在分布参 数系统的时间最优、最大值原理、缺乏c e s a r i 条件下最优控制的存在性及可控制性 等诸多方面取得了许多有代表性的成果。李训经和雍炯敏的论著( 1 9 9 4 ) ，对分布参数 系统最优控制和无穷维空间最优理论的发展产生了重大的影响，陈任昭基于l i o n s 的 理论体系，具体应用于人口、生物种群等系统的最优控制中，取得了许多重要的成果 ( 1 9 9 0 ) 幽1 ，( 1 9 9 6 ) 胁1 ，( 2 0 0 0 ) 伽1 ，另外宋健与陈任昭等利用分布参数系统理论研究了 4 江苏大学硕士学位论文 人口预测与控制问题。高夯( 1 9 9 9 ) 研究了由椭圆型方程描述的空间区域最优控制问 题，给出了最优控制区域存在的基本条件( 1 9 9 9 ) o “，并且把c l a r k 的非光滑分析理论 引入分布参数系统最优控制之中，证明了一类半线性抛物方程描述的非凸最优控制 问题最优解的存在性及其基于变分不等式的最优性必要条件。”。王康宁在( 1 9 8 5 ) 把 集中参数系统最优控制中的相关理论推广到分布参数系统之中，并就最优解存在性、 可控制性、能达性及可观性进行了深入探讨，在1 9 9 5 年研究了具有二次性能指标 和具有时间性能指标的线性抛物型分布参数系统最优控制存在的必要条件，并给出 了用算子方程形式的半线性抛物型系统控制存在的最大值原理m 1 。 由于工程技术领域，经济管理和资源分配等实际应用部门的需要及非线性规划 算法和计算机技术的迅速发展，对求解最优控制问题的优化算法研究近年来受到人 们的重视，并得到了较大的发展，成为最优控制理论中的一个重要的组成部分和解决 实际问题的一有力工具。 最优控制的优化算法主要是研究这类问题的各种数值计算方法，并研究算法的 收敛性和收敛速度等。这些内容多数是把变分法和求解非线性规划的方法加以改造、 移植和拓展而得到。早在1 9 6 0 年h o r n 和k e l l e y 就发表了后来在庞特里亚金最大值 原理中利用的伴随方程组的梯度法，b r e a k w e l l 和b r y s o n 等以不同的方式采用 n e w t o n 方法研究了求解最优控制问题，r u e e s l 证明了当系统关于控制为线性时可用 罚函数方法求解约束最优控制问题，b a l a k r i s h n a n 提出了“b a l a k r i s h n a n 占一方法”， 而且推出了庞特里亚金最大值原理，t e o 在p o l a k 和m a y n e 关于集中参数系统最优控 制优化算法研究的基础上，对分布参数系统最优控制问题的优化算法进行了深入的 研究，分别就第一类、第二类边界条件的二阶线性抛物型偏微分方程描述的无约束最 优控制和松弛最优控制问题的优化算法进行了研究，并针对不同的目标泛函提出了 强变分法，条件梯度法和可行方向法，且从理论上证明了各种算法的收敛性，还给出 了相应的数值计算实例啪1 。在我国，宫锡芳对最优控制问题的计算方法作过系统的研 究。陈祖浩研究了约束最优控制问题的罚函数方法，用统一的理论提供了若干充分和 充要条件来处理带罚函数的最优控制问题趋于原最优控制问题，还解决了r u e e s l 提 出的困难问题。 随着工业自动化的不断进步，最优控制在理论和实践两方面都得到了充分的发 展。目前需要研究解决的主要问题是优化算法中的鲁棒性问题和最优化算法的简化 江苏大学硕士学位论文 与实用性问题。有些算法针对某一类问题的应用，算法有很好的收敛性，能很快收 敛到最优效果。但对于另外的某些实践工程，这类算法表现很差的效果，这就是最 优化的算法过于复杂，在计算机上难以编程或算法在运行过程本身耗时过长，在实 际工程控制中难以发挥优化的作用。所以这将是今后研究的主要方向之一。 在应用方面，最优控制已经在很多领域发挥了重要的作用。在随机最优控制、 分散最优控制、时间最短、能耗最小、线性二次型指标最优、跟踪问题、调节问题、 伺服机构问题中起到关键的作用。但最优控制有一个显著的缺点就是：最优控制理 论与实践不是同步发展的，理论离能在实践工程得到应用还有一段很大的距离。即 目前研究人员面临一个重要的问题：如何把最优控制理论转化为实际应用，很多需 要最优控制去解决的实际应用领域还有待开发，如简单实用的优化集成芯片及最优 化控制器的开发和推广利用，智能最优化方法、最优模糊控制器设计的研究、复杂 系统模糊动态模型的辨别与优化方法的研究等。相信随着对这些问题的不断研究与 探索，最优控制会越来越成熟和实用。 1 3 最优控制的研究方法 动态规划，最大值原理和变分法是最优控制理论的常用方法。最优控制问题从 数学上来说，是一个变分学问题。但是经典变分理论只能解决一类简单的最优控制问 题，因为它只对无约束或开集性约束是有效的，而实际上碰到更多的却是容许控制属 于闭集的类最优控制问题。这类问题从数学上可作如下描述，设受控系统的状态方 程为! 兰掣= 厂g “ f ) ，其中x r n 是系统的状态，“( ) 是控制作用。由于技术条件 “l 等众多因素的限制，控制作用的取值“( f ) 不可能是任意的，而必须是有限制的，在数学 上可以把这种限制表示为“( f ) ucr ”。这里u 是r ”中的给定集合，称为控制域。 当控制“( ) 具有某种可测性，并且适合于对控制作用的限制时，称“( ) 为容许控制，记 为“( ) ，通常u 耐是由逐段常值，逐段连续或可测函数组成。设给定了 f o 胄，x 0 r ”和上c r ”，“( ) u 耐，x 也) = ，状态方程的解为工，x = x 0 ( 1 r ) ，如果 存在r 。 t o ，使得x 0 ( ) ，f i ) ，就称“( ) 把系统从状态迁移到上。最优控制问题在 数学上可叙述为：选取“( ) ，使得状态方程以g 。，f 。) 为初值的解z 0 f ) 工，且 6 江苏大学硕士学位论文 性能指标- ，0 ( ) ) = j 厂g 0 ( 1 f l “o x r 胁取最小。 在5 0 年代末6 0 年代初，对于最优控制理论出现了众多的新方法，有两种方法最 。富有成效，它们和变分法奠定了最优控制的理论基础。一种方法是原苏联数学家庞特 里亚金的“极大值原理” s e l ：另一种是美国学者贝尔曼( b e l l m a n ) 的“动态规划”。”。 受分析力学中哈密尔顿原理的启发，庞特里亚金等人把“极大值原理”作为一种推 测首先提出来，随后作出了严格的数学证明。古典变分法对于处理闭集性约束是无能 为力的，“极大值原理”发展了经典变分原理，是一种现代变分法，成为处理闭集性 约束变分问题的强有力的工具。两者都以解决常微分方程所描述的变分问题作为目 标，结果得到了由一组常微分方程所表示的必要条件。“动态规划”是贝尔曼5 0 年 代中期为解决多阶段决策过程提出来的，这个方法的关键是建立他提出来的所谓“最 优性原理”的。他依据最优性原理，发展了变分学中哈密尔顿雅可比理论，构成 了“动态规划”。动态规划对于研究最优控制理论的重要性在于( 1 ) 它可以得出离 散时间系统的理论结果；( 2 ) 用动态规划方法可以得到离散时间系统最优解的迭代 算法( 3 ) 动态规划的连续形式可以给出它与古典变分法的联系，在一定条件下也可 以给出它与最大( 小) 值原理的联系。这样使得各种解决最优控制的基本方法在一 定条件下得以沟通。贝尔曼用动态规划方法讨论最优控制问题，得到了人们称之为贝 尔曼方程的必要条件。它是一种适用于计算机计算，处理问题范围更广的方法，对于 连续系统的最优化问题，它给出了一个偏微分方程。到了6 0 年代，卡尔曼( k a l m a n ) 等人具体研究了线性二次最优控制，建立了最优线性反馈调节器设计的理论基础，提 出了可控制性及可观测性概念嘲嘲 最优控制理论中最基础、最成熟的部分是线性控制系统的理论方法，特别是线性 二次( l q ) 控制理论，对于线性系统，若取状态变量和控制变量的二次型函数的积分作 为性能指标函数时，这种动态系统最优化问题称为线性二次型问题。它的最优解可 以写成统一的解析表达式，且可导致一个简单的状态线性反馈控制律，所以它是最 优控制理论中用得最广最有成效的部分，是进行系统最优控制研究的基础。另外，一 些学者在研究l q 控制的逆问题。逆问题意义在于它在一定程度上沟通了古典控制意 义上的系统性能与加权阵之间的关系，所以逆问题更多的具有理论上的意义。尽 管如此，l q 控制仍有一些重要问题未解决好( 如计算机效率和大系统降价等) ，在以后 相当长的时间内，这方面仍将是人们继续研究的对象。 江苏大学硕士学位论文 本课题主要研究的是几类抛物型方程的最优控制，属于分布参数系统，是由微分 方程( 组) 所描述的系统。为进一步说明怎样对分布参数系统进行最优控制，我们看 一个关于物体温度控制的典型的抛物型分布参数系统最优控制的实例“。 设物体在点i c q 和时刻t 【o ，r 】的温度用函数口g ，f ) 描述，区域q r 3 ， 0 ，丁】为 所研究物体的温度变化时间区间。若物体中不同点的温度存在差异，则将产生热流 g g ，f ) ，由f o u r i e r 定律，可表示为 q ( x ，r ) = 一k ( x ，f 弦o ( x ，)g ，r ) q 【0 ，t 1 ( 1 1 ) 其中，k ( x ，f ) 为物体的热传导系数。在( 1 1 ) 中，负号表示热流的方向与温度的梯度方 向相反，因此，热量总是从温度高的地方流向温度低的地方。在任意点x q 处取一面 积微元嬲，并设其单位法向量为n ，因此在持续时间d t 内，通过该片表面沿方向厅的 总热流量为 d q = g t n d s d t = 一( 腰9 磁胁 ( 1 2 ) 若设区域q 内固有的热容为c 0 ) ，则在q 中任一以q 为中点的球b 内的总的热 量为i c ( x 矽( x ，r k 。该量是关于时间的函数，并且由于通过球b 的边界船的热流与 球本身所具有的热源变化，这样在召中，总的热容为 坦= 【k v t 9 珂d s + 他虹 式中，行表示边界船的外法方向。由式( 1 2 ) ，热量守恒定理，g r e e n 公式，可得 c g ) 警出= 一l 胛厅舔十触= v 口扭+ f 触 一 由于上式对q 中所有充分小的球b 均成立，故可得到下面方程 c 警一v 目) = 厂 q ( o ，r ) ( 1 3 ) 当c * 1 ，k ；，f = 0 时即得到一般的导热方程：只一占= 0 下面考虑问题的边界条件。若边界a q 上的温度给定，则有 = 妒 ( 1 4 ) 该边界条件称为d i r i c h l e t 边界条件。若边界a q 上的热流量给定，则有 ( 笃。：妒 ( 1 5 ) 这种边界条件称为n e u m a n n 边界条件。当然可以给出许多更复杂的边界条件，例如， 江苏大学硕士学位论文 若边界上热流与局部温度成比例，则有下面的r o b i n 边界条件 ( 罢+ o - e ) ：0 0 - 口) m 0 ( 1 6 ) ( ：一+ = 【1 6 ) 翻 如果进一步给出物体的初始温度吼，即 只，o = 0 0 ( x ) 工q ( 1 7 ) 那么在适当的条件下，基于初始条件( 1 7 ) 和上面的三种边界条件之一，可以求得方 程( 1 3 ) 的解口k r ) 。 下面考虑基于上面的微分方程的一些控制问题。为了明确起见，首先考虑由方 程( 1 3 ) ，边界条件( 1 4 ) 及初始条件( 1 7 ) 所描述的系统。假设可以改变方程( 1 3 ) 右 边的源项厂，显然不同的厂将得出不同的解曰。因此为了得到一所要求的温度分布 护g ，f ) ，可以选取一适当的f ，使得问题的解p g ，) 在某种意义下充分接近于o ( x ，f ) ， 直观上讲，这就好比在冬天烧暖气使室内的温度升高，在夏天开空调使得室内的温度 降低。通常把护称为关于厂的状态，而称为控制。方程( 1 3 ) 称为状态方程，在上面 的情形中，控制是在状态方程的右边，或者说控制是作用在区域q 的内部，称这种控 制为分布控制，若可以改变区域边界d x - 2 上的温度，即可以改变妒，称妒为边界控制。 显然，方程( 1 3 ) 及条件( 1 4 ) ，( 1 7 ) 给出了一通过厂确定p 的独特方式，把这样 一指明状态与控制之间关系的对象称为控制系统。因此，( 1 3 ) ，( 1 4 ) 和( 1 7 ) 为一个 控制系统，而( 1 3 ) ，( 1 5 ) 和( 1 7 ) 为另一个控制系统。 有时为了按一最佳的方式实现某种目标，比如，使得花费时间最少，消耗能量最 低等，这就涉及到最优控制问题。因此为了实现最优控制，必须给出其它的准则来衡 量控制系统的性能，该准则称为效用( 目标) 函数。以上面的控制系统( 1 3 ) ，( 1 4 ) 和 ( 1 7 ) 为例，其中，为控制，要求系统的解口g ，f ) 接近口g ， ) ，因此，可定义如下目标泛 函： 。 ，扩) = 川曰一b ( x , t 1 2 d x d t + f 量r 】2 d x d t 我们的目标是通过选取适当的，使得，驴) 最小。在上式中，第一项要求护接近口，第 二项要求能量消耗不要太高。当然可给出其它类型的目标函数，若舻为控制，可添加 f l f a ( x , t 枷虎在目标泛函中。 江苏大学硕士学位论文 若在给定时间t 内，使得区域q 的温度日0 ，丁) 接近口g ) ，则可定义目标泛函 ，= 球一叫d x + r i 几，r 1 2 d x d t 现在假设物体的初始温度为岛g ) ，并要求口k ，) 尽可能的接近护0 ) ，在该情况下， 可按下面的方式来定义目标泛函。首先利用r ( q ) 范数来度量温度的接近程度，设 占 0 为给定的精度，记 q = ) ，f x i y 一否l i f 。s 对于任意的控制，设相应的温度分布为8 ( x ，；) ，因此目标泛函为： r ( 厂) = i 1 1 f r - 0 ，口( ，r ，厂) q 我们的目标是最小化该目标泛函。该问题称为时间最优控制问题。 以上就是引用的关于物体温度控制的典型的抛物型分布参数系统最优控制实例， 这将有助于我们进行进一步的研究。 在某些实际问题中我们关心的不是求出最优控制作为时间的函数，丽要把各时 刻的控制表达成当时状态的函数：“o ) = d g o ) ，r ) ，因为这样便于实时地根据当时状 态确定各时刻应施加的控制，这叫作最优控制的综合。当然这种表达式不易找到，只 是在很特殊的情况下才能求出来，因此在解决实际问题时要善于简化，使得模型既能 反映实际系统，又能求出上述形式的表达式。例如对于二次性能指标的线性系统，综 合问题早已解决，最优控制规律是按状态为线性的负反馈控制律，而反馈增益能通过 解r i c c a t i 方程的末值问题算出“”阳1 。 最大值原理在最优控制中占有很重要的地位。最优控制的必要条件一最大值 原理，把古典变分学中极值曲线的必要条件，最优开关原理等做为应用实例。但是，古 典变分学不能处理最优开关控制问题。所以人们说最优控制理论是变分学适应控制 过程问题的新发展。然而，美国的伯科维茨( ld b e r k o v i t z ) 1 9 6 1 年指出，运用芝加哥 ( c h i c a g o ) 学派在本世纪三十年代发展的变分学方法，也可证明最大值原理。但是，庞 特里亚金关于最优控制问题的叙述和最大值原理是与控制系统的最优设计问题紧密 结合的，所以人们还是愿意把最优控制理论视为变分学的新发展，而不把它归结为变 分学的一部分。 1 0 江苏大学硕士学位论文 从抽象的观点来看，最大值原理无非是一个极值问题的一阶必要条件，所谓极值 问题的一阶必要条件，粗糙的说，是指：对于一个定义在某个带线性结构的集合上的 函数，如果它在该集合的某点上达到极小值，那么函数在该点上对于任何“容许方向” 上的“方向导数”都不小于零。如果集合很正规，例如m 维空间( 对应m 个变量的无 约束最优化问题) ，由多变量光滑函数的等式确定的流形( 对应带等式约束的最优化 问题) ，而被求极值的函数又是光滑的，那么我们立即导得熟知的f e r m a t 定理和 l a g r a n g e 乘子定理。最优控制问题的困难恰恰在于它所涉及的极值问题中，自变量变 化的集合不太正规：这里被求极值的函数是控制问题的目标函数，其自变量是状态和 控制，而它们的变化范围由状态方程和容许控制集等来决定。即使目标函数对状态与 控制来说都很正规，但状态方程与容许控制集合会使这个函数在一个古怪的集合上 求极值：或者把控制也用状态来隐含表示时，目标函数会变成状态的古怪的函数。这 样一来，要弄清集合在一个点上的“容许方向”和函数的“方向导数”都变得不太容 易，这就引起后来的最大值原理的非光滑分析。微分方程是描述控制系统的数学工 具，所以微分方程理论成为最优控制系统设计理论的基础和工具。 1 4 本课题研究的基本内容 本文主要研究几类抛物型偏微分方程的最优控制，有半线性的抛物方程和变系 数对流一扩散方程，包括证明最优控制的存在性和最优控制的必要条件，得到状态方 程的伴随方程，本文的具体内容如下： 第三章在前人对椭圆系统研究的基础上，深入研究半线性的抛物系统的最优 化和弱近似解。运用预备知识，证明系统在d i r i c h l e t 边界条件下最优控制的存在 性，选择合适的性能指标，用罚函数方法等理论导出必要条件及其弱近似解。 第四章深入研究变系数对流一扩散方程的最优控制问题。根据变分不等式最优 控制理论和分布参数最优控制理论，运用第二章的预备知识，选择恰当的性能指标 j ( h 1 得到解的先验估计、最优控制所满足的必要条件，这样得到的伴随方程和状态 方程以及一椭圆型变分不等式一起构成了最优系统，还进一步证明最优解的存在性。 江苏大学硕士学位论文 第二章预备知识 2 1函数分析和实分析的预备知识 ( 1 ) 有界线性算子 我们取妒，i i - i i ，) 是一个普通的线性空间。集合口( v ；，) = b 矿：咿一国 ，= ( 一x ) j 对所有的x x 定义2 2 ：当，2 专0 0 时，我们称序列 v 。l 。弱收敛于一个实线性空间v 中的一个元 素v ，其中v n v ，胛n ，如果它满足： 江苏大学硕士学位论文 l i m 。一( ，v 。) 旷，= ( ，v ) 旷，对所有的厂v 注：由定理2 1 可知在实的h i l b e r t 空间中存在一个序列缸。 。 ，弱收敛于x ，如果满 足l i m 。x n ，x ) r = ( z ，工) 对所有的工x 、x ( 3 ) 对偶算子 定义2 3 ：x ，y 是两个实的h i l b e r t 空间，z ，y 分别是它们的对偶空间。那么对于 每个4 上，y ) 有对偶算子4 ：y 哼x ，定义如下； ( a 2 ，x ) r ，= ( 出，五) r r 对所有的x x ，旯y 引理2 1 ：如果z ，y 是两个实的h i i b e r t 空间，石，y 分别是它们的对偶，给出 a 伍，y + ) ，则对偶算子4 有如- f - - _ _ _ - 性质： 1 ) a 上( y ，肖) ，而且忙+ k ( r ，1 = l i a l l 。仁r - ) 2 ) k e r a = k e r ( a ( x a ) ，诵= k e r 0 。a r ，r a n a = r a n ( a f x a ) 舢1 引理2 2 ：如果z ，】，是两个实的h i l b e r t 空间，z 。，y 分别是它们的对偶，如果 a 上伍，y ) 是满射，那么4 是单射。 证明：由于4 是个满射，所以有，口以= y + ，由引理2 1 ，可吕, z t j k e r 4 ) = o ，则得 到k e r a = o ) 注：如果a 。是单射，由引理2 1 可得石积= y ，从这个可以导出历i = y ，因 此，r a n a 在】，+ 中是稠密的。另外，如果r a n a 是闭的，则a 是满射。 引理2 3 ：如果x ，王，是两个实的h i l b e r t 空间，x ，r 分别是它们的对偶，而且 4 伍，y ) 是满射，则线性算子占= a 乞a 是有界的可逆的，并且有e 。1 三( y ，r ) 。 ( 4 ) 叶果洛夫定理( e r o p o b ) ： - 漫m ( e ) 0 ，存在子集易c e 使优g ) 在易上致收敛，且 m ( e 、易) 艿。 ( 5 ) 勒贝格控制收敛定理( l e b e s g u e ) ：设 ( i ) g ) ) 是可测集e 上的可测函数列； 江苏大学硕士学位论文 ( i i ) ( x ) b f ( x ) ，a e - 亍z e _ l z ，n = l ，2 ，并且，g ) 在e 上可积分( 称饥g ) 为f g ) 所控制，雨f g ) 口q 控制函数) ( i i i ) 正j 厂g ) 则g ) 在e 上可积分，并且 熙 g ) 出= g 皿月蝴电 ( 6 ) b a n a c h 不动点定理压缩映像原理 设( x ，p ) 是一个完备的距离空间，丁是( x ，力到其自身的一个压缩映射，则丁在x 上 存在唯一的不动点。 ( 7 ) 算子半群理论 定义2 4 设x 是b a n a c h 空间，一个单参数有界线性算子族s ( t ) ，t 0 ：x 呻工称 为是有界线性算子半群( 简称半群) ，如果 ( i ) s ( o ) = i ( i i ) s ( t t + f 2 ) = s ( t 1 ) s ( r 2 ) ，对任意t l ，t 2 0 。 定义2 5 对任意x d ，令 一a x = 躲半一d + s 出( t ) x l 。 我们将4 称为半群s ( f ) 的无穷小生成元，d 称为4 的定义域。 定义2 6 设置是b a n a e h 空间，若z 上的有界线性算子半群s ( t ) ( 0 t a o ) 满足对 任意1 7 x ，有l i r a s ( t ) x = 工 t - _ k l 则称s ( t ) 为有界线性算子的强连续半群，z 上的有界线性算子强连续半群将简称为 g 半群。 定理2 2 设s ( f ) 是c o 半群，则存在常数0 与膨1 ，使得 i i j ( t ) l - m e “，0 蔓t o ，甜+ 4 是d ( 4 ) 寸的l l 满射，且有 0 ( 朋+ 4 ) 一1 忙i 1 2 2 等式和不等式 ( 1 ) g r e e n 恒等式 扣疵= 一阿出+ l “挚 记号 a u 锄( x _ _ a = v “( x ) 珂( x ) = ( x ) 珥( 引为“在z 点的外法向导数