（理论物理专业论文）含衰减的腔qed中纠缠特性的研究.pdf

摘要 含衰减的腔q e d 中纠缠特性的研究 摘要 量子信息科学是一门量子力学和信息学交叉的新兴科学，它的研究领域主要 有量子密码术、量子通信、量子计算机等几个方面。由于引入了量子力学中的量 子纠缠特性、量子不可克隆性以及量子叠加性和相干性，使得在大数因子分解、 量子保密通讯等方面显示出经典信息无法比拟的优越性。目前，量子信息学以独 特的魅力正吸引着学术界广泛的关注和研究。腔q e d 被认为是进行量子信息处理 的较为理想和具有前景的场所，它的核心就是原子和腔场的相互作用，产生态的 演化，从而实现对量子态的制备和操控。比如可以用腔q e d 技术来实现量子逻辑 门、制备纠缠态以及进行量子隐形传态等量子信息的处理。 本文首先对量子信息的发展状况作了综述，然后介绍了腔q e d 理论知识，并 用例子说明了如何在腔q e d 中实现两原子纠缠和量子信息处理。第二章中我们系 统地对纠缠态的概念作了阐述，并介绍了几种度量纠缠的方法。第三章是本文的 主体，分别研究了梯度型和l a m b d a - 型三能级原子与双模衰减腔场相互作用的情 况，详细讨论了腔衰减率对纠缠特性和动力学属性的影响，并进行了数值模拟计 算。我们得到的结论是：当其它相关参数不变时，原子的布居数概率、冗余纠缠 度、两原子之间的纠缠度、平均布居数的翻转、平均光子数，以及实现逻辑门和 产生e p r 态的两种保真度都是随着腔衰减率的增大而减小的。 本文的工作有助于人们加深对三能级原子与双模腔相互作用的理解和认识。 对进一步研究在腔q e d 中进行量子信息处理有一定的理论指导意义。 关键词：量子信息，腔q e d ，腔衰减率，纠缠态 a b s t r a g t s t u d i e so ne n t a n g l e m e n tp r o p e r t i e si nc a v i t yq e dw i t h d e c a y a b s t r a c t c o m b i n e dq u a n t u mm e c h a n i c sa n di n f o r m a t i o ns c i e n c e ，q u a n t u m i n f o r m a t i o ni san e ws u b j e c t ，w h i c hi st os t u d yq u a n t u md e n s ec o d i n g ， q u a n t u mc o m m u n ic a tio n ，q u a n t u mc o m p u t a tio ne t c b e c a u s eo fin t r o d u c tio n o fq u a n t u me n t a n g l e m e n t ，q u a n t u mn o n c l o n e dp r o p e r t ya n dq u a n t u m s u p e r p o s i t i o na n dc o h e r e n c e ，q u a n t u mi n f o r m a t i o ne x h i b i t sa b s o l u t e a d v a n t a g e sc o r r e s p o n d i n gt oi t sc l a s s i c a lc o u n t e r p a r ti nt e r m so f f a c t o r i n gl a r g en u m b e ra n dq u a n t u ms e c u r ec o m m u n i c a t i o n a tp r e s e n t ， q u a n t u mi n f o r m a t i o ni sa t t r a c t i n gm o r ea n dm o r ea t t e n t i o nd u et oi t s s p e c i a lc h a r m c a v i t yo e di su n a n i m o u s l yc o n s i d e r e da st h eb e s tc a n d i d a t e f o rq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i t sc o r ei st om a k eu s eo fi n t e r a c t i o n b e t w e e na t o m sa n dc a v i t ym o d e s ，t om a k es t a t e se v o l v e ，a n dt op r e p a r ea n d m a n i p u l a t eq u a n t u ms t a t e s f o ri n s t a n c e ，w ec a np r e p a r eq u a n t u ml o g i c a l g a t e s ，g e n e r a t ee n t a n g l e ds t a t ea n dt e l e p o r t a t eq u a n t u ms t a t ee t c f i r s t l y ，w ep r e s e n tt h ed e v e l o p m e n to fq u a n t u mi n f o r m a t i o n ，a n dt h e n i n t r o d u c et h et h e o r e t i c a lk n o w l e d g ea b o u tc a v i t yq e d ，d e m o n s t r a t eh o wt o p r e p a r et w o a t o me n t a n g l e ds t a t ea n dp r o c e e dq u a n t u mi n f o r m a t i o ni n c a v i t yq e d i nc h a p t e r2 ，w er e v i e wt h ee n t a n g l e ds t a t ec o m p l e t e l y ，a n d in t r o d u c es e v e r a lm e t h o d st om e a s u r ee n t a n g l e m e n t c h a p t e r3iso u rm a i n w o r k w ep r e s e n ti nd e t a i l e dt h ec a s eo fi n t e r a c t i o nb e t w e e nl a d d e r t y p e a n dl a m b d a t y p et h r e el e v e l sa t o m sw i t hb i m o d a lc a v i t y f u r t h e r m o r e ，w e d i s c u s st h ee f f e c t o fc a v i t yd e c a yo nt h ee n t a n g l e m e n ta n dd y n a m i c p r o p e r t i e so fc a v i t yq e d w i t hn u m e r i c a lc o m p u t a t i o nw eo b t a i nt h er e s u l t t h a ta t o m i cp o p u l a t i o np r o b a b i l i t y ，r e s i d u a le n t a n g l e m e n t ，c o n c u r r e n c e b e t w e e nt w oa t o m s ，a v e r a g ep o p u l a t i o ni n v e r s i o n ，a v e r a g ep h o t o nn u m b e r ， i i a b s t r a c t t h ef i d e l i t i e so fg e n e r a t i n ge p r a n dl o g i c a lg a t ed e c r e a s ew i t ht h e i n c r e a s e o fc a v i t yd e c a yr a t ew h e nt h eo t h e rr e l e v a n tp a r a m e t e r sa r e f i x e d o u rw o r ki sh e l p f u lf o rp e o p l et od e e p l yu n d e r s t a n dt h ei n t e r a c t i o n b e t w e e nt h r e e l e v e la t o m sa n db i m o d a lc a v i t y m e a n w h il e ，t h e s ew o r k sh a v e c e r t a i ng u i d a n c ef o rf u r t h e rs t u d yt h eq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s si n c a v i t yq e d k e yw o r d s ：q u a n t u r ni n f o r m a t i o n ，c a v i t yq e d ，c a v i t yd e c a y , e n t a n g l e ds t a t e i i i 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：二逝日期：掣乙因 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 学位论文作者签名：另战蕴 日期：塑呼血z 曰 i i i 导师签名： 陟象 氟：印歹、6 、2 - - 引言 引言 早在二十世纪八十年代之前，没有人会认为信息理论、计算机科学和量子力 学之间存在着深刻的、密切的联系。而实际上，信息归根结底就是编码在系统态 中的一种物理形态，信息的传送就是编码物理态的传输，信息处理就是物理系统 状态的可控演化，而信息的提取则是对编码物理态的测量过程。量子信息学诞生 之后，量子计算机比传统的计算机在某些方面具有无可比拟的优越性，这些优势 主要源于量子叠加态原理和纠缠特性，叠加原理成就了量子算法的并行性，纠缠 可以实现量子信息的隐形传态和超密度编码。量子纠缠这一奇特性质，造就了绝 对安全的密钥分布系统、稠密编码、隐形传态等经典信息理论不可思议的奇迹。 量子态是量子信息的载体，靠对量子态的制备和操纵来实现对量子信息的处 理。在对量子比特操控的各种硬件中，大家对腔量子电动力学( 腔q e d ) 方案比 较看好。所谓腔是一个光学的或者微波系统，把俘获的原子约束在其中，将量子 信息储存在原子能态上。因为腔模场与腔内的原子耦合在一起，导致了原子之间 的相互作用，产生了量子态的演化，从而实现对量子态的制备和操纵。一般来说， 在量子信息处理过程中，量子系统与周围环境的作用会破坏系统内部的相干演 化，从而导致信息的泄漏和失真。尽管人们尽可能将环境与系统隔离开来，但是 腔不可能是完美的，比如存在腔的衰减。那么腔的衰减率究竟以怎样的方式影响 着纠缠特性和腔q e d 动力学属性，经过深入研究，会有助于人们加深对腔q e o 方案的认识。 2 第一章腔q e d 中量子信息处理介绍 第一章腔q e d 中量子信息处理介绍 1 1 量子信息 信息科学对人类生活和发展起着巨大的作用，然而，现有的信息系统，如电 子计算机、通讯网络、信号检测等，其信息功能已经开拓到接近极限的地步了， 在这种情况下，量子信息学应运而生。二十世纪8 0 年代以后发展起来的量子信 息学是一门量子力学和信息科学相结合的新兴交叉科学，基于量子力学的特性， 如纠缠性、叠加性和相干性、非局域性和不可克隆性等，量子信息可以突破现代 信息技术的物理极限，解决许多经典信息所不能够完成的信息处理功能，为信息 科学展示了美好的前景。量子信息与经典信息的不同之处在于它们所遵从的物理 规律不一样。由于量子信息具有给信息工程带来划时代变革的巨大潜力，引起科 学界的浓厚的兴趣，已成为国际上研究的热点，而且发展非常迅猛。 量子信息学包括量子密码术、量子通信、量子计算机等几个方面，量子密码 可以提供不可窃听、不可破译的绝对保密通信，量子计算具有巨大的并行计算能 力，提供功能更强的新型运算模式。近年来量子信息学在理论和实验上都取得了 重大的突破。下面我们将逐一介绍 1 】。 1 量子计算机 量子计算机是一种遵循量子力学规律进行高速数学和逻辑运算、存储及处理 量子信息的物理装置。当一个装置处理和计算的是量子信息，运行的是量子算法 时，它就是量子计算机。量子计算机的概念源于对可逆计算机的研究，研究可逆 计算机的目的是为了解决计算机中的能耗问题。 2 0 世纪6 0 年代至7 0 年代，人们发现能耗会导致计算机中的芯片发热，极 大地影响了芯片的集成度，因而限制了计算机的运行速度。研究发现，能耗源自 计算过程中的不可逆操作。那么，是否计算过程必须要用不可逆操作才能完成 呢? 答案是：所有经典计算机都可以找到一种对应的可逆计算机，而且不影响运 算能力。早期量子计算机实际上是用量子力学语言描述的经典计算机，并没有用 到量子力学的本质特性，如没有用量子态的叠加性和相干性。与经典计算机不同， 量子计算机可以做任意的幺正变换，对输出态进行测量后，得出计算结果。因此， 量子计算对经典计算作了极大的扩充，在数学形式上，经典计算可看作量子计算 第一章腔q e d 中量予信息处理介绍 的特例。量子计算机同时对每一个叠加分量进行变换，完成该操作后，并按一定 的概率幅叠加起来，给出结果，这种计算称作量子并行计算。除了进行并行计算 外，量子计算机的另一重要用途是模拟量子系统，这项工作是经典计算机无法胜 任的。 量子并行计算和量子模拟计算，本质上都是利用了量子相干性。然而遗憾的 是，在实际系统中量子相干性很难保持。在量子计算机中，量子比特不是一个孤 立的系统，它会与外部环境发生相互作用，导致量子相干性的衰减，即退相干 ( d e c o h e r e n c e ) 。因此，要使量子计算成为可能，一个关键问题就是克服退相干。 而量子编码是迄今发现的克服退相干最有效的方法。主要量子编码方案有：量子 纠错码、量子避错码和量子防错码。量子纠错码是经典纠错码的类比，是目前研 究的最多的一类编码，有适用范围广的优点，但缺点是效率不高。 到目前为止，世界上还没有真正意义上的量子计算机。但是，世界各地的许 多实验室正以极大的热情追寻着这个梦想。如何实现量子计算，方案并不少，可 问题是在实验上实现对微观量子态的操纵困难太大了。目前已经提出的方案主要 利用了原子和光腔相互作用、冷阱束缚离子、电子或核白旋共振、量子点操纵、 超导量子干涉等。现在还很难说哪一种方案更有前景，只是量子点方案和超导 j o s e p h s o n 方案更适合集成化和小型化。当然，将来也许现有的方案都派不上用 场，最后脱颖而出的是一种全新的方案，而这种新设计又是以某种新材料为基础， 就像半导体材料对于电子计算机一样。研究量子计算机的目的不是要用它来取代 现有的计算机。而是使计算的概念焕然一新，这是量子计算机与其他计算机如光 计算机和生物计算机等的不同之处。量子计算机的作用远不止是解决一些经典计 算机无法解决的问题，可能会将计算的思想带入一个全新的高度。 2 量子通信 量子通信系统的基本组成部分有量子态发生器、量子通道和量子测量装置。 按其所传输的信息是经典还是量子而分为两类。前者主要用于量子密钥的传输， 后者则可用于量子隐形传态( t e l e p o r t a t i o n ) 和量子纠缠的分发。隐形传态指的 是脱离实物的一种“所以”的信息传送。从物理学角度，隐形传送的过程是：先提 取原物的所有信息，然后将这些信息传送到接收地点，接收者依据这些信息，选 取与构成原物完全相同的基本单元，制造出原物完美的“复制品 。但是，量子 4 第一章腔q e d 中量子信息处理介绍 力学的不确定性原理不允许精确地提取原物的全部信息，这个复制品不可能是理 想的。因此长期以来，隐形传态还仅仅是一种海市蜃楼而已。 1 9 9 3 年，6 位来自不同国家的科学家，提出了利用经典与量子相结合的方 法实现量子隐形传态的方案：把某个粒子的未知量子态传送到另外一个地方，将 另一个粒子制备到该量子态上，而原来的粒子仍留在原处。其基本思想是：将原 物的信息分成经典信息和量子信息两部分，它们分别经由经典通道和量子通道传 送给接收者。经典信息是发送者对原物进行某种测量而获得的，量子信息是发送 者在测量中未提取的余下信息；接收者在获得这两种信息后，就可以制备出原物 量子态的完全复制品。该过程中传送的仅仅是原物的量子态，而不是原物本身。 发送者甚至可以对这个量子态一无所知，而接收者是将别的粒子处于原物的量子 态上。在这个方案中，纠缠态的非定域性发挥了至关重要的作用。量子力学是非 定域的理论，这一点已被违背b e l l 不等式的实验结果所证实，因此，量子力学 展现出许多违背直观的效应。在量子力学中能够以这样的方式制备两个粒子态， 在它们之间的关联不能被经典地解释，这样的态称为纠缠态，量子纠缠指的是两 个或多个量子系统之间的非定域非经典的关联。量子隐形传态不仅在物理学领域 对人们认识与揭示自然界的神秘规律具有重要意义，而且可以用量子态作为信息 载体，通过量子态的传送完成大容量信息的传输，原则上可以实现不可破译的量 子保密通信。1 9 9 7 年，在奥地利留学的中国青年学者潘建伟与荷兰学者波密斯 特等人合作，首次实现了未知量子态的远程传输。这是国际上首次在实验上成功 地将一个量子态从甲地的光子传送到乙地的光子上。实验中传输的只是表达量子 信息的“状态”，作为信息载体的光子本身并不被传输。最近，潘建伟及其合作者 在怎样提纯高品质的量子纠缠态的研究中又取得了突破性进展。为了进行远距离 的量子态隐形传输，往往需要事先让相距遥远的两地共同拥有最大量子纠缠态。 但是，由于存在各种不可避免的退相干，量子纠缠态的品质会随着传送距离的增 加而变得越来越差。因此，如何提纯高品质的量子纠缠态是目前量子通信研究中 的重要课题。近年来，国际上许多研究小组都在纷纷研究这个课题，并提出了一 系列量子纠缠态纯化的理论方案，但是没有一个是能用现有技术实现的。最近潘 建伟等人发现了利用目前技术在实验上可行的量子纠缠态纯化的理论方案，原则 上解决了目前在远距离量子通信中的根本问题。这项研究成果被称为“远距离量 5 第一章腔q e d 中量子信息处理介绍 子通信研究的一个飞跃”，受到了国际科学界的高度评价。 3 量子密码术 量子密码术是量子力学与密码术结合的产物，它利用了系统所具有的量子性 质。首先想到将量子物理用于密码术的是美国科学家威斯纳。威斯纳于1 9 7 0 年 提出利用单量子态制造不可伪造的“电子钞票”的方案。但这个方案的实现需要长 时间保存单量子态，不太现实。b e n n e t t 和布拉萨德在研究中发现，单量子态虽 然不好保存但可用于传输信息。1 9 8 4 年，b e n n e t t 和布拉萨德提出了第一个量子 密码术方案，称为b b 8 4 方案，由此迎来了量子密码术的新时期。 1 9 9 2 年，b e n n e t t 又提出一种更简单，但效率减半的方案，即b 9 2 方案。量 子密码术并不用于传输密文，而是用于建立、传输密码本。根据量子力学的不确 定性原理以及量子不可克隆定理，可以发现任何窃听者存在，从而保证密码本的 绝对安全，也就保证了加密信息的绝对安全。最初的量子密码通信都是利用光子 的偏振特性，而目前主流的实验方案则用光子的相位特性进行编码。目前，在量 子密码术实验研究上进展最快的国家为英国、瑞士和美国。在中国，量子密码通 信的研究也正在逐步赶上。 量子力学的研究进展导致了新兴交叉学科量子信息学的诞生。另一 方面，量子信息学的深入发展，遇到了许多新课题，反过来又有力地促进量子力 学自身的发展，两学科相互促进、相互发展。当前量子信息学在理论上和实验上 都取得突性进展破，从而激发了研究人员更大的研究热情。可是，实用的量子信 息系统是宏观尺度上的量子体系，人们在有效地制备和操作这种量子体系的量子 态的道路上，目前还是步履维艰的。 6 第一章腔q e d 中量予信息处理介绍 1 2 腔q e d 的理论知识 众所周知，在对量子信息进行处理的过程中，硬件是必不可少的。目前已提 出的方案有腔量子电动力学( c - q e d ) 【2 7 】、离子阱 8 】、量子点【9 】、核磁共振 【1 0 、超导系统【1 1 】等。其中，腔q e d 方案被普遍认为是较理想，较有前途的方 案之一。这是因为：一方面因为腔可以在很大程度上抑制原子光子系统和周围 环境之间的退相干，而结果可使光子原子系统在动力学特征时间内保持很好的 相干性。另一方面由于腔的内部系统和外部环境的残存的耦合可以当作一种微扰 来处理，退相干可以被量化地分析研究，而实验上结果和理论结果相吻合就给与 这种模型强有力的支持。腔q e d 方案的主要思想是将俘获的原子束缚在高品质 腔中，然后把量子信息储存在原子能态上，由于腔内原子都与腔模场耦合，从而 导致原子间的相互作用。这样一来我们就可以利用腔q e d 方案来进行量子纠缠 态的制备，原子态的隐形传态，量子门操作等量子信息处理了。 在过去的二十年里，由于技术的进步，光学微腔器件得到了飞速发展，这里 我们简单介绍介质腔、超导腔和光子晶体腔三种谐振腔。 1 介质腔：由于镀膜技术的进步，人们可以超高精度控制膜层的厚度，利 用高低不同折射材料相间沉积的方法来提高反射镜的反射率，从而获得高品质介 质腔。 2 超导腔：超导腔是一个开放的f a b r y - - p e r o t ( 法布里帕罗) 共振腔，它 由两个相对的仔细抛光的铌球面镜构成，在镜的中央刺两个小孔来耦合微波进出 腔，共振频率由机械方法调节，品质系数q 很容易通过腔投射实验测定，到现在 为止，最好的腔的光子储存时间为t r = l m s ( 对应q = 3 x1 0 8 ) ，这个时间要比在 弛豫过程发生之前建立原子腔纠缠所需原子和腔相互作用时间( 数十微秒) 长 得多。这样在驰豫过程开始时，允许产生原子和腔场的纠缠。用铝环把两镜面中 间开放部分封闭起来，它把由于镜面的不完善而散射出的的光子反射进腔场中， 从而增大光子的储存时间t r ，此外留下直径3 毫米的小孔注入原子束。在这些 孔里不同类型的电场随机地转变成原子的跃迁频率，原子的相干被破坏，但原子 的能级布居不受影响。所有操作必须在环型腔装置中实现 1 2 】。 微波腔q e d ( 用r y d b e r g 原子逐一通过超导腔) 提供了一个近乎理想的研 7 第一章腔q e d 中量子信息处理介绍 究纠缠的系统 1 3 ，1 4 1 ，原子和腔都能被制备于纯态，强耦合条件也容易满足，用 场致电离方法来探测原子，这种方法的选择性和灵敏性都很好，时间常数在微秒 量级，足以完成受控量子过程所需的时间。 3 光子晶体腔：近来利用微加工技术，已经可能在半导体衬底上刻录出周 期性的陈y d - 孑l 来制作高反射率的镜子，这种“光子晶体 反射镜具有带隙结构， 可以用来限制某一频率波段光的传播，当光在折射率相差很大的层状介质波导中 传播时，将被限制在一个平面内，用具光子带隙的反射镜来把光限制在“纳米腔 的很小体积内，通过光子的能带隙结构的缺陷可以获得这种腔，比如从周期性陈 列孔中缺陷一个孔，谐振波长可以通过调整缺陷周围孔的几何精度确定，这种方 法已经被用来构建微腔半导体激光器 15 】。 根据原子的跃迁频率和场模频率的关系，我们将原子和腔场的相互作用分为 两类：一类是共振相互作用，就是原子的跃迁频率等于场模频率；另外一类是大 失谐相互作用，就是原子的跃迁频率与场模频率的失谐量很大。但是前者对腔的 品质因数要求很高，实验上很难实现。而后者体系不需要在腔和原子间传递量子 信息，原子经过腔的过程中，腔是虚激发的，因而系统对腔的耗散和热辐射不敏 感，这样对腔的品质因素q 的要求就大大降低，这种体系为量子信息处理开辟 了广阔的前景。 下面我们就腔q e d 基础理论先做一介绍。设最初的原子腔态为l e 1 0 ，即 两能级原子以激发态i e ) 进入处于真空态1 0 ) 腔中，腔模频率缈等于i e 付l g 的 跃迁频率彩曙，所以通过偶极作用就会跃迁到态i g 1 1 ，即原子跃迁到基态i g ) ， 且腔中有一个光子，在一般情况下，系统的量子态是在这两个态之间进行量子振 荡的，这种“真空r a b i 振荡 对应一个高q 腔中的自发辐射的振荡形式，在数 量上，这种情况可用模型来描述 1 6 】。 日：壳彩曙盯：+ ( 口+ 口+ 丢) 壳国一f 掣厂( x ) ( 盯+ 口一仃一口+ ) ， ( 1 1 ) a 和a + 是光子在腔模中的湮灭和产生算符，o r ：、仃+ 和仃一是原子膺自旋p a u l i 矩 阵，f 2 2 为原子一场耦合常数，假设系统在t = 0 时刻态处在l e 1 0 ，那么t 时刻的 态为 帆( r ) = c o s ( 譬) ie 10 + s i n ( 譬) lg | l ( 1 2 ) 8 第一章腔q e d 中量子信息处理介绍 如果系统初态在i g l l ，则经过t 时间的演化后态为 l 缈g ( ，) = c 。s ( - - 譬) lg ll 一s i n ( - 警) ie 1 0 ( 1 3 ) 以上两个式子描述了原子和腔场之间的纠缠随时间的演化，很明显，当 f 2 t = 1 r 2 ，原子一腔场态为 i 沙。( 万2 ) = 弓i - ( ie 10 + ig | l ) ( 1 4 ) z 这就是原子与腔场的e p r 态，称为“7 r 2r a b i 旋转。当q ，= 万时，原子 腔系统l e 1 0 演化为i g 1 1 ：如果系统以i g i l 开始，则以- l e 1 0 结束。这个“万 r a b i 旋转”的作用是交换了原子和腔场态。更为普遍的情况是，原子初始处是 在i g ) 和l e 的叠加态，而不是单态，腔为真空态，经过“万r a b i 旋转”作用使 原子处在f g ) ，而腔模场为1 0 ) 和1 1 ) 的叠加态： ( c 。ip + c gig ) 10 一ig ( c 。il + c g10 ) ( 1 5 ) 反之亦然，即 ( c l1 + c ol0 ) lg j 10 ( 一ql 口 + c og ) ( 1 6 ) 因此“万r a b i 旋转”将一个系统的态映射到另外一个系统，这种映射能被用来 制备或探测腔场的i o ) 和1 1 ) 的任意叠加态。当q f = 2 万时，原子腔场系统演化 为 le | 0 _ 一ie l0 ，lg l1 一一ig i1 ( 1 7 ) 原子一腔场系统经历了整个全过程产生了量子相移万 1 7 ，由于i g 1 0 不受原子- 腔场耦合系统的影响。因此一个l g ) 态原子进入腔场相位是否转变取决于腔中有 没有光子，所以这个条件是实现量子门的基础。 在这里我们将分别介绍共振腔q e d 方案和大失谐q e d 方案。 1 共振腔q e d 方案：假设原子a 。注入腔中，与腔模相互作用时间，。后 离开，紧接着将原子彳：注入腔中，作用时间为f ：。用j - c 模型来描述该相互作用， 相互作用哈密顿量可表示为： 日：f 掣( o - + a - o - _ a + ) ( 1 8 ) 假设原子彳。初始处在激发态ie 。 ，原子彳：处在基态ig ： ，而原子共振腔处 9 第一章腔q e d 中量子信息处理介绍 在真空态，选择作用时间使d t = 万2 ，则有 i 缈列p l 1 。 i 9 2 一忑1 ( i p l i 。 一ig l i1 ) i9 2 ( 1 9 ) 同样，我们使原子a ：与腔作用时间f ：满足q ：= y ，则 去( 旧 j 。 _ i g - 1 1 ) 旧 j 西1 ( 旧 i 9 2 - i g l k ) i 。到 舯 ( 1 1 0 ) 制备过程如图1 1 所示 ：；薹| 盂 图1 1 ：e p r 态的制备过程 可见，用原子依次注入腔场并与腔场发生共振相互作用的方法，可制备两 原子纠缠e p r 态，同时腔场回到了初始真空态i o ) ，根本不需要对腔进行处理。 此外，我们将介绍在腔q e d 中制备一个n 比特w 态的简单方案 1 8 】。如果 腔初始处在单光子态而所有的原子都处在基态，在没有光子从腔中泄露的条件 下，通过原子和腔模之间的共振相互作用，一个n 比特w 态可以被制备出来。 首先考虑一个理想模型，就是n 个相同两能级原子在没有任何衰减情况下与 单模腔发生共振相互作用。在相互作用绘景下的哈密顿为： h = e g ( a + o r 一+ 口q + ) ， ( 1 1 1 ) j = l l o 第一章腔q e d 中量子信息处理介绍 假定腔初始处在1 1 ) ，所有的原子都处在基态i o ，我们可以得到下面的系统 演化规律： 缈( f ) = c o s ( t - n g t ) 10 l l 埘i1 一i s i n ( 1 t - n g t ) w 10 ( 1 1 2 ) 如果选择石匆= 万2 ，也就是f = 万2 9 i ，就可以得到n 原子的w 态。也可 以从方程( 1 1 ) 很容易理解这个结论：激发态数目没有变，开始的一个光子被n 个原子共同分享，而且吸收光子的几率相同。只要一个原子可以成功，那么n - 原子w 态就很自然得到了。 下面再来介绍含有腔衰减的情形。只要没有光子从腔中衰减，那么系统的演 化就有下面这个非厄米的哈密顿控制； h ：h i _ r 口+ 口( 1 1 3 ) 石就是腔衰减率。如果系统的初态为l0 ；2 ，m i1 ，那么系统的演化可以表示为 一啾一钟。s 争扣知嗡2 小 一z 竽咖c 铷) ， ( 1 1 4 ) 其中的彳= , 1 6 n 9 2 一k 2 。显然，成功地概率为 x p ( - 互- ， 【c o s 9 2 t 一净争c 竽s ；巾) n 如果选择的相互作用时间满足t a n ( 掣) ：兰，就可以获得 4茁 y = - i e x p ( 一争学s i n ( - 警) w 1 0 ， ( 1 1 6 ) 那么得到n - 比特w 态的相应成功概率为 球x p ( - 争学s i n ( 和 ( 1 1 7 ) z几叶 这样一来，就可以发现，对于一定的原子数来说，成功地概率随着k 增加而 隆任加图1 ，所呆 第一章腔q e d 中量子信息处理介绍 图1 2 ：成功地概率取决于腔的衰减率r ，其中的g = 2 5 2 n k h z ，从 上到下原子由2 0 变化到3 。 2 大失谐腔q e d 方案：在以前的用腔q e d 进行量子信息处理的大多数 方案中，腔只是作为存储器，而把腔作为量子信息处理器的主要障碍之一是腔泄 露引起的退相干，因此，对光腔q 值要求很高，就现在的技术条件而言，实验 上是很难实现的。大失谐腔q e d 方案可以有效地克服光腔退相干的影响，系统 对腔的耗散和热辐射不敏感，这样就可以大大降低了对光腔q 值的要求。 我们考虑n 个全同的两能级原子和单模腔同时发生相互作用 1 9 】，如图1 3 所 示 光腔( | o ) 。他)i 、 图1 3 ：大失谐作用腔q e d 方案示意图 在相互作用表象中相互作用的h a m i l t o n i a n 为 2 0 】 1 2 第一章腔q e d 中量子信息处理介绍 日，= 砌( p 一盘口+ 盯，一+ g 陆口盯，+ ) ， | 一、 j j = l ( 1 1 8 ) 其中仃+ = ip 和ig 是第j 个原子的激发态和 基态。当原子跃迁频率与腔场频率的失谐量艿远大于原子腔耦合强度s 时，原子 和腔之间没有能量交换，该原子与腔系统的有效哈密顿量为 h 万= 砌( 町+ 0 i a a + 可f + 巳一口+ 口) ， ( 1 1 9 ) f ，= l 其中兄= 9 2 3 这就是描述多原子与腔相互作用的一般性j - c 模型。 我们来看下面的例子，对于图1 4 所示的阶梯型三能级r y d b e r g 原子，它的 能态从低到高依次既为l d 、l g ) 、l e ) ，主量子数分别为4 9 、5 0 和5 1 。 i p 6 1 1 i g ) l 力 图1 4 ：原子与单模腔相互作用能级图 图中万表示原子的ip 专lg 跃迁频率与腔的频率的失谐量，当满足 万 r ( i 是原子与腔的耦合强度) ，原子与腔之间 没有能量交换。先让原子2 通过两个经典场，适当地选择经典场的振幅和相位， 使该原子态进行如下演化： l p ： j 忑i ( i p z + i g ： ) 专西1 ( i 厶 + l g ： ) ( 1 2 。) g z 寸石1 ( 1 9 2 - - le z ) j 万1 ( i9 2 - - l 加) ( 1 2 1 ) 然后，让原子1 和原予2 同时进入一个处于真空态的单模场。原子腔系统 第一章腔q e d 中量子信息处理介绍 的有效哈密顿量为 日够= 允【le l 专l9 1 9 2 g l 叫g l 以 p l 五 - 9e mip l ie l 9 2 专e - i u 【c o s ( 办) le 1 9 2 - s i n ( a ) lg l e 2 】 ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 一a ) ( 1 2 3 - b ) ( 1 2 3 一c ) ( 1 2 3 - d ) 从上式可以看出，ig z 9 2 和ig 。 态经过腔后没有变化，但是会导致态ig l 增加相位因子e 叫& 。如果经过时间t = z 2 以后，则态ie l a 增加万位相，而态 le l g ： 不变。再让原子2 通过两个经典场，选择适当的经典场的振幅和相位， 使 i 9 2 - 击2 2 ( 1 9 2 + 1p z ) l 五 叫8 ： 专万1 ( j g ， 一lg z ) ( 1 2 4 a ) ( 1 2 4 b ) 1 3 在腔q e d 中实现两原子纠缠和量子信息处理的有效方案 郑仕标、郭光灿等提出了一种利用腔q e d 来制备两原子最大纠缠态，实现量 子逻辑门，以及隐形传态的方案 3 。这个方案并不要求在原子和腔场之间有量 子信息传递。在这个方案中，腔是处于虚的激发状态，腔的有效退相干时间得到 了极大的延长，所以对腔的品质因数要求不高。 他们考虑两个相同两能级原子同时和单模腔场相互作用。在相互作用绘景下 相互作用哈密顿是： e = g ( p 硼口+ s 一+ p 衙a s + i ) ， ( 1 2 5 ) 1 4 第一章腔q e d 中量子信息处理介绍 其中s + = ie j 和lg j ( j = 1 ，2 ) 分别是第j 个原 子的激发态和基态。a + 和a 分别是腔模的升、降算符，g 是原子和腔场的耦合强 度，艿是原子的跃迁频率和腔频率国之间的失谐量。在艿 g 情况下，原子 系统和腔之间没有能量交换。因此，有效哈密顿量可以写成 h = 饥( ie j ig ： ，那么系统态的演化是 iq i9 2 一e - i * 【c o s ( 办) lq i9 2 - s i n ( a t ) lg l ie 2 】。 ( 1 2 8 ) 选择办= a - 4 ，我们得到了两原子最大纠缠态，也就是e p r 对 2 1 i 腓声西1 ( p l 9 2 一 蜀 | 乞 ) ( 1 。2 9 ) 其中我们忽略了相因子；, r 4 。 现在我们来展示我们是怎样能够实现量子c n o t i - j 的。为了做到这一点，我们 使用了梯度型三能级原子，它们的态用i g ，i e 和l i 。态i e 和i i 之间的跃 迁频率与腔的频率是大失谐的，因此在原子和强相互作用期间态ii 是不受影响 的，量子信息被储存在态ie 和ig 中。假定原子1 当作控制位，原子2 当作被控 制位。我们首先让原子2 穿过两个经典场，这个经典场被分别调谐成! g _ ie 和 e 斗ii 。恰当选择经典场的相位和振幅以便原子经历下面的跃迁 i 乞 一万1 ( i 乞 + i9 2 ) 专万1 ( i 如 + l 9 2 ) ( 1 3 。) i 9 2 j 万1 ( 1 岛 一ip z ) 寸万1 ( 1 9 2 - - i 如 ) ( 1 3 1 ) 1 5 第一章腔q e d 中量子信息处理介绍 然后我们让原子1 和原子2 同时进入单模腔。相互作用哈密顿量对态ig l i9 2 和 态l 蜀 i 之 没有作用，但是对i q | 之 会产生一个相因子g 叫m 。态l 白爿9 2 经历 方程( 1 2 8 ) 的跃迁。相互作用7 r 2 后，我们得到了 lq 纠如 专一i 巳 i 之 ， ( 1 3 2 ) i e i 1 9 2 - - - - ie 1 ) 4 9 2 ( 1 3 3 ) 然后让原子2 穿过两个经典场，经典场被分别调谐成跃迁le j ii 和l g 专ie 。 恰当选取经典场的振幅和相位，这个原子经历跃迁为 j 9 2 专万1 ( 1 9 2 + 1 乞 ) ( 1 3 4 ) i 2 专j 乞 专西1 ( j 乞 一j ) ( 1 3 5 ) 因此我们得到了跃迁 l 一 l 一 j l 蜀 iggl9 29 2 i户i户 lg l 户l 7 i 蜀 l 乞 j i 岛 ie 2 ( 1 3 6 ) ie l i9 2 争ie l ie 2 ie i je 2 叫巳 j9 2 这种跃迁对应量子c n o t 门的操作，其中只有当原子1 处在态ie 时候，原子2 的态 才会反转。我们指出以上的想法可以被用来传送一个未知的原子态。假定原子1 开始处在下面的叠加态 _ 巳ie i + ig l ( 1 3 7 ) 其中巳和是未知的系数。原子2 和原子3 ( 去接收被传送的态) 被制备成纠缠态 击( i 乞 1 9 3 - i 1 9 2 i 巳 ) ( 1 3 8 ) 整个系统的念可以展开成 - 争杪 ( c 。i e 3 + c g1 9 3 ) + 扩 ( 巳 e 3 - c g1 9 3 ) + ( 1 3 9 ) 矽+ ( c 。i9 3 一c gie 3 ) + i 矽一 ( c 。i9 3 + c gie 3 ) 】， 1 6 第一章腔q e d 中量子信息处理介绍 其中i 杪 和i 是b e l l 基 2 2 忑1 ( 一f iq i ig , i 乞 ) ，( 1 4 0 ) 矽沁万1 ( i q ip z 幅 t9 2 ) ( 1 4 1 ) 然后我们让原子2 穿过两个经典场，经典场被分别调谐成跃迁le - - lf 和 ig 叫e ，经历方程( 1 3 2 ) 和( 1 3 3 ) 的跃迁。然后原子l 和原子2 被送入并 经过一个腔，经历方程( 1 3 4 ) 和( 1 3 5 ) 的跃迁。这将导致 妒h 互1 ( 一讹 i 蜀 ) ( j + l 之 ) ( 1 4 2 ) 渺 一i 1 ( i q i lg , ) ( i9 2 一l f 2 ) ( 1 4 3 ) 我们让原子1 穿过一个ie 专ig 的经典场，经历了下面的跃迁 q 专西1 ( i e 1 - ii ”) ( 1 4 4 ) 一百1 ( i 岛 一i ) (145)ig, 1 l e , 一万( i 岛 一 ) ( 1 。 原子2 穿过两个经典场，经典场被分别调谐成跃迁ie 一li 和fg j ie 。经历 方程( 1 3 4 ) 和( 1 3 5 ) 的变化。因此，b e l l 态的演化是 iy j - le , i9 2 ；一ig l le 2 ) ( 1 4 6 ) i i 岛 j ；- il 蜀 l9 2 ( 1 4 7 ) 所以，通过孤立地探测原子1 和原子2 ，联合测量就可以实现