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摘要 非对称狄氏型的b e u r l i n g - d e n y 公式与半狄氏型理论 概率论与数理统计 专业 研究生: 胡泽吞指导教师: 马志明院士 狄氏 型( d i r ic h l e t f o r m ) 理论 在 经 典位 势 分 析 与随 机 分 析之间 架 起了 一 座 桥 梁，在位势论，马氏过程，ma l l i a v i n分析，量子场论等许多领域有着广泛的应 用 对称狄氏型的b e u r l i n g - d e n y 公式在对称狄氏 型与对称马氏过程理论里起到 了重要作用，比如在考虑对称马氏过程的绝对连续性时，此公式就扮演了重要 角色.它使我们更好地了解狄氏型的解析结构，这些解析结构与马氏过程的样 本轨道性质有密切联系虽然有一些数学家试图把公式推广到非对称情形，但 迄今b e u r l i n g - d e n y 公式仍然只适用于对称情形. 不论是从理论上， 还是应用上 考察非对称狄氏 型的b e u r l i n g - d e n y 公式都有其重要性 本文讨论了非对称狄氏 型与半狄氏型的分解问题， 给出了一些结构性结果。这些结果可以看作是经典 b e u r l i n g - d e n y 公式的推广， 也可以 看作是l e v y - k h i n t c h i n e 公式或者更广一点 是c o u r r e g e 定理在狄氏 型或者半狄氏型框架下的推广; 并讨论了一些相关问题 首先我们讨论了正则非对称狄氏型的b e u r l i n g - d e n y 公式， 我们证明可以 构 造e上与拓扑相容的距离p 使得对任意。 )。 ， 任意二 ， “ e c o 日 n d ( 匀， 我们 有唯一的分解 : (。 ， : : 一: 一 、 (、 ， : 卜厂 2 ( 1 一 二 共 一 : ) (、 (、 ) 一 二 (二 ) ) : (、 ) : ( 、 二 ， 。，、 ) ./ e x e d1 +a 川拌叨 + ; u (x )v (x )k (dx ) 第三章我们为后面的讨论半狄氏 型的分解准备一些位势论的工具， 主要讨论 了正则半狄氏型的有限能量积分测度 第四章我们讨论了与正则半狄氏型相联系的h u n t 过程的一些分析， 得到了 例外集与例外集的等价性，e 一 拟连续函数与q .e . 精连续函数的等价性 得 到了正则半狄氏型在开集上的部分仍是正则半狄氏型. 第五章我们 讨论了半狄氏 型的局部紧化与拟同 胚， 得到了与狄氏 型框架下完 全类似的结果 本文最后一章讨论了 拟正则半狄氏型的分解问 题 在 虽 6 . 1 节我们建立了一 个 拟正则半 狄氏 型空间 的积 分表现 定 理( 定 理6 1 .1 ) ， 此定理在 后面讨论拟正 则 i i 非对称狄氏型的b e u r l in g - d e n y 公式与半狄氏 型理论 半狄氏 型的b e u r l i n g - d e n y 分解时起到关键作用. 6 . 2 节我们讨论了 正则半狄氏 型的b e u r li n g - d e n y 分解. 利用舀 6 . 1 与虽 6 . 2 的结果以及第五章讨论的拟正则半狄 氏 型 的 拟同 胚 我 们 得 到了 拟正 则 半 狄氏 型 的 分 解( 定 理6 .3 .1 ) : 对 于: 任 户 ( e ) 及、 任 i , ( v ) ， 有 : (/ v )厂 _ 2 (u (y ) 一 。 (二 )。 (、 ) t (d x ,d y ) + 八(x ) v (二 )、 (。 二 ) j石x 8 d a 五 另 外， 通过引进一个拟相容距离n ， 我们 得到对于一个特殊核d ( 句。 里所有元 素;， . : 及e 0 ， 我们 有( 见定 理6 .3 .6 ) : ( 。 ) 一 : p f u , 41) + 厂， . 、 2 (u (y ) 一 。 (x )v (y ) j (d x ,d y ) j左 戈 .,y) e r ; x 万 d : p ( 居 ，絮 十 关 u (x )v (x )k (dx) 关 键 词 非 对称 狄氏 型， 半 狄氏 型 ，b e u r l i n g - d e n y 公 式 ，l e v y - k h in t c h in 。 公 式 c o u r r e g e 定 理 ，. s .p .v 函数有限能量积分测度， 可积， 左强局部性，l e v v 过程，h u n t 过程， 扫除 s - 拟连续，q .e . 精连续 化， 拟同胚， 拟支撑， 积分表现定理， 拟相容距离， 核 函数. 半狄氏型的部分， 局部紧 特殊核，e - q . e . l i p s c h i t z abs t r a c t be u r l i n g - de n y fo r mu l a o f no n - s y mme t r i c f o r ms a n d th e th e o r y o f s e mi - di r i c h l e t di r i c h l e t forms z e c h u n hu d i r e c t e d b y p r o f e s s o r z h i m i n g ma t h e t h e o r y o f d i r i c h l e t f o r m s p r o v i d e s a b r i d g e b e t w e e n c l a s s i c a l p o t e n t i a l t h e o r y a n d s t o c h ast i c a n a l y s i s . i 七 h a s a p p l i c a t i o n s i n p o t e n t i a l 七 h e o r y , ma r k o v p r o c e s s e s , ma l l i a v i n a n a l y s i s ; q u a n t u m fi e l d t h e o r y , e t c . t h e b e u r l i n g - d e n y f o r m u l a o f s y m m e t r i c d i r i c h l e t f o r m s p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e i n t h e t h e o r y o f s y m m t r i c d i r i c h l e t f o r m s a n d s y m m e t r i c ma r k o v p r o c e s s e s . i t p r o v i d e s a s t r u c - t u r e r e s u l t o f t h e f o r m s w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e s a mp l e p a t h b e h a v i o r o f t h e c o r r e s p o n d i n g p r o c e s s e s . a l t h o u g h t h e r e h a v e b e e n s o m e a t t e m p t s f o r t h e e x - t e n s i o n o f b e u r l i n g - d e n y f o r m u l a t o n o n - s y m me t r i c c a s e , b u t u p t o n o w i t i s s t i l l a v a i l a b l e o n l y i n s y mm e t r i c c ase . t h i s p a p e r d i s c u s s t h e d e c o m p o s i t i o n s o f n o n - s y mme t r i c d i r i c h l e t f o r ms a n d s e m i - d i r i c h l e t f o r ms . we g i v e s o me s t r u c t u r e r e s u l t s w h i c h c a n b e r e g a r d e d a s a n e x t e n s i o n o f t h e c l a s s i c a l b e u r l i n g - d e n y f o r - m u l a , a n d c a n a l s o b e r e g a r d e d as a n e x t e n s i o n o f l e v y - k h i n t c h i n e f o r m u l a o r m o r e g e n e r a l l y , a n e x t e n s i o n o f c o u r r 6 g e s t h e o r e m i n d i r i c h l e t f o r m s o r s e m i - d i r i c h l e t f o r m s s e t t i n g . we a l s o d i s c u s s s o m e r e l a t e d p r o b l e m s a t fi r s t , w e d i s c u s s t h e b e u r l i n g - d e n y f o r m u l a o f r e g u l a r ( n o n - s y m m e t r i c ) d i r i c h l e t f o r m s . we c o n s t r u c t a c o m p a t ib l e m e t r i c p o n e s u c h t h a t f o r a n y a 0 , f o r a n y 二 。 、 e c o ( e ) f l d ( # ) , w e h a v e t h e f o l l o w i n g d e c o m p o s i t i o n : : (一 ) 一 : 一 (一 卜 f r .二 ，d 2 (1 -d + 关 u (x )v (x )k (dx ). 犷 i) (二 (、 ) 一 、 (二 ) v (y ) j (d x , d y ) 土 十a p l x , y 1 i n c h a p t e r 3 w e p r e p a r e s o me p o t e n t i a l t o o l s f o r t h e d i s c u s s i o n s o f t h e d e c o m- p o s i t i o n o f s e m i - d i r i c h l e t f o r m s . i n t h i s c h a p t e r w e m a i n ly d i s c u s s t h e m e a s u r e s o f fi n i t e e n e r g y i n t e g r a l w i t h r e s p e c t t o a r e g u l a r s e m i - d i r i c h e l t f o r m s . i n c h a p t e r 4 w e s t u d y f u t h e r s o m e p r o p e r t i e s o f r e g u l a r s e m i - d i r i c h l e t f o r m s i l l i v 非对称狄氏型的b e u r l i n g - d e n y 公式与半狄氏型理论 a n d i t s r e l a t i o n w i t h as s o c i a t e d h u n t p r o c e s s . we o b t a i n t h e e q u i v a l e n c e o f e x c e p t i o n a l s e t s a n d e - e x c e p t i o n a l s e t s , t h e e q u i v a l e n c e o f e - q u a s i - c o n t i n u o u s f u n c t i o n s a n d q .e .- fi n e l y c o n t i n u o u s f u n c t i o n s . we p r o v e t h a t t h e p a r t o f a r e g u l a r s e m i - d i r i c h l e t f o r m o n a n o p e n s e t i s a l s o a r e g u l a r s e m i - d i r i c h l e t f o r m, a n a l o g o u s t o t h e c ase o f r e g u l a r d ir i c h l e t f o r m s . i n c h a p t e r 5 w e d i s c u s s t h e l o c a l c o m p a c t ifi c a t i o n a n d q u a s i - h o m e o m o r p h i s m o f s e mi - d i r i c h le t f o r m s ， a n d g e t s i m i l a r r e s u l t s a s i n d i r i c h l e t f o r m s s e t t i n g i n fi n a l c h a p t e r o f t h i s p a p e r w e s t u d y t h e d e c o m p o s i t i o n s o f q u a s i - r e g u l a r s e mi - d i r i c h l e t f o r ms . i n s e c t i o n 6 . 1 w e e s t a b l i s h a n i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n t h e - o r e m f o r q u a s i - r e g u l a r s e m i - d i r i c h l e t s p a c e s ( c f , t h e o r e m 6 . 1 .1 ) , w h i c h p l a y s 。 k e y r o l e i n t h e d i s c u s s i o n o f t h e b e u r l i n g - d e n y d e c o m p o s i t io n s o f q u a s i - r e g u l a r s e mi - d i r i c h l e f o r m s . i n s e c t i o n 6 . 2 w e d i s c u s s t h e b e u r l i n g - d e n y d e c o m p o s i t i o n ,-, o f r e g u l a r s e m i - d i r i c h l e t f o r m s . b y七 h e r e s u l t s i n s e c t i o n 6 . 1 , 6 .2 a n d q u a s i - h o m e o m o r p h i s m o f q u a s i - r e g u l a r s e m i - d i r i c h l e t f o r m s d i s c u s s e d i n c h a p t e r 5 , w e s h o w t h a t f o r a n y : e d ( e ) a n d 。 几 ( : ) w e h a v e ( c f , t h e o r e m 6 . 3 . 1 ) : (?，、 ) 一 厂 _ 2 (u (y ) 一 ( ) (。 ) ， (、 ，、 、 ) 十 关 u (x )v (x )k (d x ) m o r e o v e r , w e c o n s t r u c t a q u a s i - c o m p a t i b l e m e t r i c s u c h t h a t f o r a l l u , v i n a s p e c i a l c o r e d ( e ) b a n d : 0 w e h a v e ( c f , t h e o r e m 6 .3 .6 ) : (、 ，。 ) 二 : e p (u . 。 ) 、 厂2 (u (y ) 一 、 (二 )v (y ) j (d x , d y ) + f f. u (x )v (x )k (dx ) ke y wo r d : d i r ic h l e t f o r m, s e m i - d i r ic h l e t f o r m ; b e u r l i n g - d e n y f o r n 工 u l a , l e v y - k h i n t c h i n e f o r m u l a , c o u r r e g e s t h e o r e m , s . p . v . i n t e g r a b l e , l e f t s t r o n g l o c a l p r o p - e r t y , l e v y p r o c e s s , h u n t p r o c e s s , r e d u c e d f u n c t i o n , m e a s u r e s o f fi n i t e e n e r g y i n - t e g r a l , e - q u a s i- c o n t i n u o u s , q .e . fi n e l y c o n t i n u o u s , p a r t s o f s e m i - d i r i c h l e t f o r m, l o c a l c o m p a c t i fi c a t i o n , q u a s i - h o m e o m o r p h i s m , q u a s i s u p p o r t , q u a s i - c o m p a t i b l e m e t r i c , c o r e , s p e c i a l c o r e , # - q . e . l i p s c h i t z f u n c t i o n s . 第一章引言 1 . 1 问题的背景与主要结果 狄氏型 ( d i r i c h l e t f o r m ) 理论起源于经典位势论 ( b d 5 9 ) 自 从 1 9 7 1 年 m .f u k u s h i m a f u 叫首次由 局 部紧 空 间 上 的 正 则 狄氏 型 构 造出 强 马氏 过 程以 来， 狄氏 型理论 得到子决 速发展( s i 叫， f u 8 0 , b h 9 1 丁 )拟正则狄氏 型理论 m r 9 2 的建立在右过程与拟正则狄氏 型之间建立了一一对应关系， 使得狄氏 型的应 用范围 更为广泛。 ( 有关狄氏 型理论系统的介绍请看专著田 o t 9 4 与! m r叫 ) 尔 后， 人 们 又 研究了 拟正则 半狄氏 型( m o r 9 5 , a m r 9 5 , f i 叫 等 ) ， 保正型 m r 9 5 和广义狄氏 型 ( s t 9 4 1 , s t 9 9 , s u 9 7 , s u 0 0 等) . 狄氏型还与调和分 析， 分形几何等领域相联系口 k m r s 9 8 . 狄氏 型理论在经典位势 分析与随 机分 析之间架起了一座桥梁，在位势论，马氏过程。ma l l i a v i n分析，量子场论等许 多领域有着广泛的应用. 对称狄氏型的b e u r l i n g - d e n y 公式在对称狄氏型与对称马氏过程理论里起到 了重要作用， 比如在考虑对称马氏过程的绝对连续性时， 此公式就扮演了重要角 色( 参 看 ，f u 8 2 , o s 8 7 , f i 9 7 , c f t y z 0 4 等 )下 面 是 经 典 的 有 关 正 则 对 称狄氏 型的b e u r l i n g - d e n y 公式: 定 理1 . 1 . 1 . ( b e u r l in g , d e n y ) 如 果( # , d ( 句 ) 是l 2 ( e ; 二 ) 上 一正 则 对称 狄氏 型 ( 见定义1 . 2 .3与 2 . 1 的( r . 1 ) , ( r . 2 ) ) ， 那么 对于任意， ， 。 e c c ( e ) 自 d ( ,- ) 有 如下 唯一的分解: 9 (u , ) 一 : i (u ) + / _ (v (x ) 一 (、 ) ( (二 ) 一 : (y ) d (d x , 、 、 ) je x 各 d + f e u (x )v (x)k (dx ), 其中产 为一对称型具有定义域d ( # ) 二 果、 d 传c ) 及， ， e i ( 二 ) ， 那么# 0 ( u , v ) ( 1 . 1 .1 ) c o ( e ) n d ( # ) 并且满足强局部性: 如 =0.其中 i ( a ) : = : e c o ( e ) n d 佰 ) : v 在 包含s u p p 二 的 一个 邻域上是常数 j为e x e d 上对称正r a d o n 测度，k为e上正r a d o n 测度 在假设 1 d ( e ) 下， a m r 9 2 把 b e u r l i n g - d e n y 称狄氏 型. 关于一般拟正则对称狄氏 型的b e u r l i n g - d e n y 公式推广到拟正则对 分解在国m s 9 7 中 得 到。 许多随机分析学家都想把b e u r l i n g - d e n y 公式推广到非对称狄氏型， 但迄今 非对称狄氏型的b e u r l i n g - d e n y 公式与半狄氏型理论 一 -一-一一、-一-. 一- 一.- b e u r l i n g - d e n y 公式只在对称情形成立.b l i e d t n e r 在【 b i 7 1 ! 中 给出了 正则非对 称狄氏型的一个分解， 但我们认为在一般情况下， 那个分解是不成立的、 请看下 面的注记2 . 1 . 8。另外 k i 8 7 与c z 9 4 也在非对称狄氏型的b e u r l i n g - d e n y 分解上进行了一些探索，以 下定理1 . 1 . 2 ( 1 ) 在【k i 8 7 中已 经获得 本文讨论了非对称狄氏 型和半狄氏 型的b e u r l i n g - d e n y 分解， 并讨论了一些 相关问题，下面按章节简述. 在第二章中我们 讨论了正则非对称狄氏 型的b e u r l i n g - d e n y 公式( 本章内 容 取自h m 04a)。 第一节叙述了 有关分解的主要结果; 第二节给出第一节中 各个 命题的证明;第三节讨论了分解中得到的测度 j与k的概率意义;第四节讨论 了在l e v y过程这种具体情况下与之相联系的( 非对称) 狄氏型的分解情况;在 第五节中我们给出了一个反例， 说明了在一般情况下【b i 7 1 中 所给出的结果是 不对的， 也即说明了我们所加的 条件( 2 . 1 .9 ) 是必要的 本章的主要结果如下: 定 理1 . 1 . 2 . ( 见定理2 . 1 .2) 如果( e , d ( 自) 为尸( e ; m .) 上的一正则( 非对称) 狄氏型，则 ( i ) 存在ex k使得对于 e d上的唯一 正)r a d o n 测度 j 及 e上唯一 ( 正)r a d o n 测度 剐u , : ) = e c o ( e ) n d ( e ) 及、 e i ( v ) 我们有 关 _ 2 (- (y ) 一 (二 )v (y ).i (d x , 、 、 ) + 厂 u (x )v (x )k ( x ), .r石x石 d , r , ( 1 .1 . 2 ) 其中 i ( v ) : = ， e c a ( e ) n d ( e ) : 。 在包含s u p p 川的一个领域上是常数( 1 . 1 .3 ) ( i i ) 定义 a ( ) 二 = 二 e c a ( e ) n d ( e ) 二 ( - ( j ) 一u(-)v(y)对测度j s .p .v可积 ( 1 .1 . 4 ) 则 对于v e c n ( e ) n d ( 剐及二 e a ( v ) ， 我们 有以 下唯 一的 分解: : (二 ，” ) 一 : (、 v ) + s . p . v . 厂 _ 2 (u (y ) 一 (x ) )u (y ) d (d x ,、 ) + f u (x )v (x )k (dx ),f ( 1 . 1 . 5 ) 其中 0 ( u ， v ) 满足左强局 部性， 即 1 ( 2,) c .a ( v ) 并 且 c ( 二 ， v ) =0 当v e 偏( 习n d ( # ) ， 二 e i ( v ) 时成立 注: 定理1 1 . 2 ( i ) 在【 k i 8 7 中已出现， 见【k i 8 7 1 引 理2 . 1 4 . 四川大学博士学位论文 注记1 . 1 . 3 . 如果在定理1 . 1 . 2 ( i ) 中 得到的 测度j 是对称的， 由 后面的证明我们可 以 知道对 于任意二 ， 、 e c o ( e ) n d ( 9 ) , ( u ( y ) 一 u ( x ) ) v ( y ) 对于 测度j 总 是s . p .v - 可积的，并且有 s . 只v . =s 尸 v =s. p. v je x二，己2(u (y) 一 ( )(、)j (、二 ，。) 无 x二 ，dm y) - u (- )v (y)j (d:二 、) 爪 je 、二 ，( ( 卜 (、) ( )、 (、 ，:、) j e x二 ( (、 卜 ( ，( (、 卜 v (x )j (“一 “ ” ， 一关 _ (u (y ) 一 (x ) ) (v (y ) 一 、 (x ) j (d x ,d y ) j石x 五 d ( 1 . 1 . 6 ) 如果( d ( f ) ) 是对称狄氏 型由 定理1 . 1 .2 ( i ) ( 即定理2 . 1 .2 ( i ) ) 的 证明 知此时( 1 . 1 .5 ) 中的测度j是对称的 从而由( 1 . 1 .5 ) 知s ( 二 ， 。 ) 也是对称的， 于是根据( 1 . 1 . 6 ) 与( 1 .1 .1 ) 的 唯 一 性 及知( 1 . 1 .5 ) 就 是 经 典 的b e u r li n g - d e n y 公 式 定理 有: 1 . 1 . 4 .( 见定理2 . 1 . 3) 假定j和k为定理 1 . 1 . 2 . 中所得到的测度， 则 ( 1 ) 在f _ 上总是存在一个与原来拓扑相容的距离p 满足以下两条性质之 (p 1 ) f e x f d 令瓮 j (d x , d y ) 0 , 同功一 试幻 三。 八 x , 功对所有x . y e e成立 ( i i ) 设p 是满足( p . 1 ) 的距离. 那么对于任意的a 0 及二 ， v gc o ( 助n d ( e ) ， 我 们有 ( 二 ， v )一 一 ( 一 ， + 1 .二，d2(1 - .工 石 1 动 )( u (y) -+ apz(x y )( ()， (、)j (“ “”， + j u (x )v (x )k (dx ),f ( 1 .1 . 7 ) 而且对于任意、 e c o ( e ) n d ( s ) ， 二 e 1 ( 二 ) ， 有 x 1存 1. j 、ij 万 l. u 、les了 、l 芯 产1、 祝 - 、.2 夕 了才、 牡 f -们月 -x r名-p -a d 、 刀 k “(一 卜 j f 吻)( 1 . 1 .8 ) 非对称狄氏型的 b e u r li n g - d e n y 公式与半狄氏型理论 在 条件( p .l ) 与( 1 . 1 . 8 ) 下， 分解( 1 . 1 .7 ) 是唯一的. 定 理1 . 1 . 5 . ( 见定理2 . 1 劫假定j 为定理1 . 1 .2 中 所得到的测度. 令j ( d x , d 功 = j ( d y , d x ) , 以几记 广 义 符 号 测 度( j - j ) 的j o r d a 。 分 解的 正 部 ， 即 ， 11:=( j - j ) 十 . ( 1 ) 若j , ( e x f d ) 00对于所有紧集fe成立， 则 对于所有。 e c , ( e ) n d ( e ) 有a ( v ) =c (, ( e ) n d ( e )， 从而分解( 1 . 1 . 5 ) 对于所有二 ， 、 e c o ( e ) n d ( e ) 成 立. ( i i ) 如果我们可 以 找到满足定理1 . 1 .4 ( 1 ) 的距离p 使得 (p -3 ) _ 丁 华 泣 共 兴j , ( d x , 工 +p l x , y ) p ( =x d 训、对所有紧集fce成立 那么 存在 一 个 特 殊标 准核d , d 、 使 得 分 解( 1 .1 .5 ) 对 于 所有“ : e d ， 成立 定理 1 . 1 . 6 .( 见定理 2 . 1 . 6) ( ， ) 假 定p 是 满 足( p - 1 ) 。 或 者满 足 下 面 条 件扣 . 叮的 一 距离 恤 1 ) , 方 x f d 1栽黯j (d x , d y ) 0 及。: e c o ( e ) n d ( e ) ， 我们有 : (、 。 ) 一、 0(u ,、，) 一、 1 _ m y ) 一 ;i (x ) iv (v ) 一 (x ) j (d x ,、 、 ) u ( x ) v ( x ) k( d x ) 十 a , p ( u ， 1) ) ( 1 一 d y ) ( 1 . 1 .9 ) x 召 d 下 ? ) (u (y ) v (x ) 一 、l(x ) v (y ) ) j (d x 土十 up-lx,v ) 厂产九厂/加 其中e a ( (l , : ) 是 一 个 非负 定 对 称 型， 具 有 强 局 部 性( 即 ， “ 任 i ( v ) 有e 0 ( u 、 二。 ) ， k二全 ( k+ 州， a ,p ( 二 ， 、 ) 沙” 是一反对称型， 并且当、 u p 帅习 n s u p 帅7j =0 时有 一 j e ;一斗= . (u (y )v (x ) 一 。 (二 )v (y ) ) j ( d x x e 饱 1 十“ 户 一 拼心) 如) ， ( 1 . 1 . 1 0 ) 而且， 满足( 1 . 1 . 1 0 ) 的分解( 1 . 1 . 9 ) 是唯一的. 特别， 如果( e , d ( 句) 是对称的 那么( 1 . 1 .9 ) 就是经典的b e u r l i n g - d e n y 公式- ( i i ) 假定、 ， : e c o ( e ) n d ( e ) 满足 ( u ( y ) v ( 二 ) 一 二 ( 二 ) v ( y ) ) 对j s . p .v 一 可积 则 ( 1 . 1 . 1 1 ) e ( 二 ， : )=# 0 (u , 。 ) + / (二 (、 ) 一 二 (x ) (v (y ) 一 : (x ) j (d x , 、 、 ) 四川大学博士学位论文 + j e ( ) ( )“ (、 卜 、 ( ， ) + s .二 .v . l (u (y ) v (x ) 一 二 (二 ) : (、 ) ) ; (。 二 ， 。 、 ) ， ( 1 .1 .1 2 ) j ex e d 其中乡， 元即 为( 1 .1 .9 ) 中 的 相 应 项，户是一 反 对 称 型， 具 有局 部 性， 即， 如 果 s u p p 二 n s u p p 71 =必 则有宕 “ ( 二 ， 。 ) =0如 果( 1 .1 . 1 2 ) 对 于一 个特 殊标 准核 里 所 有的、 ， 。 成立( 参看下面的定理1 . 1 .7 ) ， 那么 分解( 1 . 1 . 1 2 ) 是唯一的. 定 理1 . 1 . 7 .( 见 定 理2 . 1 .9 ) 假 定人=( j 一 j ) 如 定 理1 . 1 .5 中 所 述 ( 1 ) 如果 j 1 ( f x f d ) 00对所有紧集fce成立， 那么对于所有的、。e c o ( e ) n d ( p ) 条件( 1 . 1 . 1 1 ) 总 是满足， 从而分解( 1 . 1 . 1 2 ) 总是成立 特别的， 如 果 i 是对称的。 则分解( 1 . 1 .1 2 ) 对于 所有。 ， 、 e c o 习n d ( 剐成立. ( i i ) 如 果存在距 离p 满足 定 理1 . 1 . 5 ( i i ) 的 条件， 那么 存在一 个特殊标 准核d 1 d , 使得分解( 1 . 1 . 1 2 ) 对所有二 ， : e d : 成立. 从邪. 1 - 亏 3 .4 我们回 顾了半狄氏型的一些基本定义以及一些后面需要用的位 势论工具 命题3 . 3 .5 可以看作是有关半狄氏 型的经典容度( c a - m e 7 5 ) 与一般 容 度( m o r 9 5 d 之 间 的 一 个 桥 梁 笋 .百 节 讨 论 了 正 则 半 狄 氏 型 的 有 限 能 量 积 分 测度， 得到了每个有限能量积分测度在e - 例外集上没有负荷 ( 见定理3 . 5 .7) 。 在第四章中我们讨论了与正则半狄氏型相联系的 h u n t 过程的一些分析性 质.互 4 . 1 节回顾了有关h u n t 过程的一些基本定义和结果 引理4 . 1 . 8 给出了精 连续函数的一个局部刻画 4 .2 节我们 讨论了由 正则半狄氏型定义的一些概念 与由相应 h u n t 过程定义的概念之间的关系主要结果有: 定理1 . 1 . 8 .( 见定理4 . 2 . 9) 一集合n是例外集( 见定义4 . 2 . 3 ( i ) ) 当且仅当n 是 # 一 例外集. 定理 1 . 1 . 9 .( 见定理 4 . 2 . 1 2) ( i ) 如果。 是# - 拟连续的， 那么。 是q .e . 精连续的( 见推论4 . 2 . 5 之前的定义 ) ( i i ) 如果。 e d( # ) 而且、 是 q .e . 精连续的， 那么。 是# - 拟连续的. 4 . 3 节我们讨论了正则半狄氏型在开集上的部分，得到了以下主要结果 定理 1 . 1 . 1 0 .( 见定理4 .3 .3) 假定g是e的一开子集， 那么我们有: ( i ) ( # g . ,i 7 g ) 是l ( g ; 二 ) 上一 正 则半狄氏 型. ( i i ) ( # g + . g ) 与 部 分 过 程mg 相 联 系( m为 与( # , d ( # ) ) 相 联系的h u n t 过 程 ) ( i i i ) 假 定ncg， 那么n是# - 例 外 集当 且 仅当 它 是 g 一 例 外集。 非对称狄氏型的b e u r l i n g - d e n y 公式与半狄氏型理论 在第五章中我们讨论了 半狄氏 型的 局部紧化与拟同胚( 本章与第六章内 容取 自!h m 0 4 b , h m 0 4 c ) . 得到了与 狄氏型下完全类似的结果: 定 理1 . 1 . 1 1 . ( 见定理5 . 2 . 1 ) 如果( # , d ( # ) ) 为l 2 ( e ; 二 ) 上的一个拟正则半狄氏 型， 则存在一个# - 网 f k k e n ， 每个f k 为e的可距离化的紧子集，以 及一个 局部紧可分距离空间y ” 使得: ( i ) y - 。 是y:=口 。 : f k 的 一 个局 部 紧 化， 即 :y d 为 一 个局 部紧 空间 ， 包 含1 , 作为 一 稠子集 并且到y ) = a b ( y o ) ja y ( i i ) 对于每个k n，e , y a 在凡上分别所诱导的拓扑一致 ( i i i ) ( # , d ( 日) 在 包含映 射1 : yc y p 下的 像( 剧， d ( 剔 ) ) 为尸( y d ; 二 ) 上的正 则 半 狄氏 型 ， 其中 ，二 ” :二m。 : 一 为m在( y d , 侧y l上的 像 测 度 定理1 . 1 . 1 2 ( 见定理5 . 3 . 5 ) l 2 ( e ; 二 ) 上一半狄氏型( e , d ( 剐) 是拟正则的当 且 仅当它拟同 胚于l 2 ( e g ; n a b ) 上的一正则半狄氏 型 ( # p , d( # ) ) 本文最后一章讨论半狄氏 型的b e u r l i n g - d e n y 分解.虽 6 . 1 节我们建立了一 个拟正则半狄氏型空间的积分表现定理， 这个定理在后面讨论拟正则半狄氏型的 b e u r l i n g - d e n y 分解中起到非常关键的作用 此定理如下: 定理1 . 1 . 1 3 . ( 见定理6 . 1 . 1 ) 设( # , d ( # ) ) 为l ( e ; 二 ) 上一拟正则半狄氏 型 假 定u为e中 一 拟 开 集 ，? 。 户 ( 别而 且 存 在 某 个常 数a 使 得u lu =。 # - q .e ua# - q .e定义 二 := : e d ( # ) : s u p p q v c r 那么存 在u _ t : 唯一的。 一 有限b o r e l 测度寿使得 “ (一 ) 一 f v(y )rj : (“、 ，” 任 一 ( 1 . 1 一 1 3 ) 而且j o 在e - 例外集上没有负 荷 为了后面证明的需要， 6 . 2 节中我们讨论了正则半狄氏型的分解问题， 得 到了以下结果: 定 理1 . 1 . 1 4 . ( 见 定 理6 .2 .8 ) 对 于 任 意v 户 ( 句及二 (z 厂 ( : ) ， 我 们 有 分 解 : 。二 。 、 一 了 : 。、 。、 、 一 、 。二 ) )v (y ) j (d x , 。 、 。 ， / 、 (二 )。 (二 ) 、 (。 二 ) ， ( 1 .1 .1 4 ) j ex 万 d护 c 其中 八: ):二 二 : d ( e ) :