（运筹学与控制论专业论文）泛函微分、差分方程解的零点距估计.pdf

摘要 摘要 近年来，随着医学、生物学、经济学、控制理论等自然科学和社会科 学的进一步发展，人们提出了许多由泛函微分方程描述的具体数学模型， 需要我们去研究。泛函微分方程振动解的零点分布理论是泛函微分方程振 动理论的重要组成部分，它能够更精确地揭示事物的本质，能够极大地丰 富微分方程振动理论。这一理论是上一世纪9 0 年代才发展起来的，是一个 具有旺盛生命力的新的研究领域。因此，对泛函微分方程振动解的零点分 布理论进行深入、系统、广泛的研究，已不仅仅是数学理论本身发展的需 要，而且也是实际应用的需要。 论文分别就一阶中立型时滞微分方程、变时滞微分方程以及具有连续 变量的差分方程振动解的零点分布进行了研究，获得了它们振动解的相邻 零点间距离的估计以及方程所有解振动的充分条件，同时给出例子加以说 明。 首先，论文分别研究了一阶线性中立型时滞微分方程和非线性中立型 时滞微分方程解的零点分布问题，获得了在不同条件下两类方程振动解的 相邻零点间的距离估计，并给出了方程所有解都振动的充分条件。 其次，对一阶线性变时滞微分方程和非线性变时滞微分方程进行了研 究，得到了方程振动解的相邻零点间距离的上界估计，给出了方程解振动 的充分条件。 最后，讨论了具有连续变量的线性、非线性单滞量和线性、非线性多 滞量差分方程的解的零点分布，通过建立差分方程与其相应的时滞微分方 程的关系，对几种不同类型的差分方程给出了解的相邻零点间距离的估计， 并得到了方程所有解都振动的充分条件。 关键词泛函微分方程；差分方程；中立型；时滞；零点距；估计；振动解 燕山大学理学硕士学位论文 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s , w i t ht h em o r ed e v e l o p m e n to fn a t u r a ls c i e n c ea n ds o c i a l s c i e n c es u c ha sm e d i c i n e ，b i o l o g y , e c o n o m i c s ，c y b e r n e t i ca n ds oo n , p e o p l eh a v e p r o p o dm a n y m a t e r i a lm a t h e m a t i c a lm o d e l sw h i c ha r ed e s c r i b e db yf u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n df i l en e e d e dt or e s e a r c h t h ed i s t r i b u t i o no fz e r o e s t h e o r yo ft h eo s c i l l a t o r ys o l u t i o n so ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si st h e i m p o r t a n tc o n s t i t u e n tp a r t so ft h eo s c i l l a t i o nt h e o r yo ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i tc a l lo p e no u tt h em i l l g s e s s e n c em o r ea c c u r a t e l ya n de n r i c ht h e o s c i l l a t i o nt h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sg r e a t l y t h i st h e o r yg o td e v e l o p m e n t o n l yi nt h e9 0 so f t h et w e n t i e t hc e n t u r ya n di ti san e wi n v e s t i g a t i v er e a l mw i t h b l o o m i n gl i f e - f o r c e s o i ti sn o to n l yad e m a n do ft h ed e v e l o p m e n to f m a t h e m a t i c st h e o r i e st h e m s e l v e s ，b u ta l s oad e m a n do fp r a c t i c a l 印p l i c a t i o 璐t o i n v e s t i g a t es u c h at h e o r yt h o r o u g h l y , s y s t e m i c a l l ya n dw i d e l y t h i sp a p e rf o c u s e so nt h er e s e a r c ho ft h ed i s t r i b u t i o no fz e r o so ft h e o s c f l h t o r y s o l u t i o n so ff i r s to r d e rn e u t r a l d e l a y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ， d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hav a r i a b l ed e l a ya n dd i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t h c o n t i n u o u sa r g u m e n t s m e a n t i m e s e n l ee s t i m a t e sf o rt h ed i s t a n c eb e t w e e n a d j a c e n tz e r o e so fo s c i l l a t o r ys o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n sa r ee s t a b l i s h e da n d s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ro s c i l l a t i o n so ft h ea l ls o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n s a r eo b t a i n e d t h e s er e s u l t sa r ei l l u s t r a t e db ys o m ee x a m p l e s f i r s t l y ，t h ed i s t r i b u t i o no fz e r o e sp r o b l e m so ft h eo s c i l h t o r ys o l u t i o n so f f i r s to r d e rl i n e a ra n dn o n l i n e a rn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r es t u d i e d r e s p e c t i v e l yi nt h i sp a p e r s o m ee s t i m a t e sf o rt h ed i s t a n c e b e t v d e e na d j a c e n t z e r o e so f t h eo s c i l l a t o r ys o l u t i o n so f t w oc l a s s e so f t h ee q u a t i o n su n d e rd i f f e r e n t c o n d i t i o 璐a r ee s t a b l i s h e d a n ds o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n st os a t i s f yo s c i l h t i o n s o f t h ea l ls o l u t i o n so f t h ee q u a t i o n sa r eg a i n e d s e c o n d l y ，f i r s to r d e rl i n e a ra n dn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw n a a b s t r a c t v a r i a b l ed e l a yf i r ec o n s i d e r e d s o m eu p p e rb o u n d a r ye s t i m a t e sf o rt h ed i s t a n c e b e t w e e na d j a c e n tz e r o e so ft h eo s c i l l a t o r ys o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n sa r e o b t a i n e d s o m es u i t i c i e t i tc o n d i t i o n st os a t i s f yo s c i u a t i o n so f t h es o l u t i o n so f t h e e q u a t i o n sa r ed e r i v e d f i n a l l y , t h i sp a p e rd i s c u s s e st h ed i s t r i b u t i o no f z e r o e so f s o l u t i o n so f l i n e a r , n o n l i n e a rs i n g l ed e l a ya n dl i n e a r , n o n l i n e a rs e v e r a ld e l a y sd i f f e r e n c ee q u a t i o n s w i t hc o n t i n u o u sa r g u m e n t s s o m ee s t i m a t e sf o rt h ed i s t a n c eb e t w e e na d j a c e n t z e r o e so fs o h i t i o n so fs e v e r a ld i f f e r e n tk i n d so fd i f f e r e n c ee q u a t i o i 岱b v e s t a b l i s h i n gt h er e l a t i o n s h i pb g t w e e nd i f f e r e n c ee q u a t i o n sa n dc o r r e s p o n d i n g d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ea t t a i n e d a n ds o n 虻s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r o s c i l l a t i o n so f t h ea l ls o l u t i o n so f t b ee q u a t i o n sa r eo b t a i n e d k e y w o r d sf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；d i f f e r e n c ee q u a t i o n ；n e u t r a lt y p e ； d e l a y ；d i s t a n c eb e t w e e na d j a c e n tz e r o e s ；e s t i m a t e ；o s c i l l a t o r y s o t n t i o i l s i l l 燕山大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重飙此处所提交的硕士学位论文物搬易，瓣酗擎荆 导师指导下，在燕山大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果。据 本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人己发表或撰写过的研究成果。对本 文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明。本声明 的法律结果将完全由本人承担。 作者签字乡臣名日期：加哆年f | 月湘 燕山大学硕士学位论文使用授权书 。涎画嬲、孙疹燃瓣嗽读硕士学位黼新艚 下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归燕山大学所有，本人如需发表将署 名燕山大学为第一完成单位及相关人员。本人完全了解燕山大学关于保存、使用 学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允 许论文被查阅和借阅。本人授权燕山大学，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密d ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：害鲁浩 日期：z 够年1 1 月砧日 聊獬：姆 嗍州钏吣蛔 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1问题的提出与应用背景 在自然科学和工程技术的研究中，许多现象都是用微分方程作为它们 的数学模型，这些问题实际上都是假定事物的变化规律只与当时的状态有 关，而和过去的历史无关，就一阶微分方程 ， ，f 、 竺业= f ( t ，x ( r ) ) ，x ( o ) = c 也 而言，它描述的量x 在时n t 的变化率是仅仅依赖于t 和工( f ) 本身，而不依赖 于x 在时刻t 以前的值。 但是，事实告诉我们，许多事物的变化规律不仅依赖于当时的状态， 还依赖于过去的状态，在这种情况下，微分方程就不能很精确地描述客观 事物了，而必须考虑到一个重要的现象时滞反馈的影响。例如，在物 理学、力学、生物学、化工、通信工程、控制过程等应用领域中，就经常 需要研究具有时滞反馈的动力系统问题。描述这类系统的数学模型通常称 为泛函微分方程，这种方程可以看作是含有导数的一类泛函方程，也可以 看作是含有偏差变元的( 或更广义的) 微分方程。由于泛函微分方程能充分 考虑到事物的历史( 即时滞) 甚至未来( 即时超) 对现时状态变化的影响，与 常微分方程相比较，它能更深刻地、更精确地反映事物的变化规律，揭示 事物的本质。而随着现代科技的发展，在自然科学与社会科学的许多学科 中都提出了大量的时滞动力学系统问题，如人口、生态、经济、宇宙起源 等宏观问题；如中子迁移、物质结构、化学反应等微观问题；又如神经网 络及人工智能等生命现象，在这些重大的实际问题中，人们不断提出许多 新的泛函微分方程问题及相关的数学理论来，急需我们去研究去解决。 从数学本身来说，泛函微分方程较之常微分方程有着极大的不同。例 如，泛函微分方程的相空间是函数空间而不是欧氏空间；泛函微分方程生 成的是无穷维空间上的动力系统；泛函微分方程的特征方程，一般都为超 燕山大学理学硕士学位论文 越方程；泛函微分方程所定义的解算子一般不具备解析性和最大值原理等 等。这些都给泛函微分方程的研究带来很大的困难，预示了对它的深入研 究需要应用到许多深刻的现代数学理论和工具。不论从现代科技应用上的 需要，或从数学理论本身的发展来讲，泛函微分方程都是一个崭新的、极 具挑战性的数学分支。泛函微分方程研究的萌芽时期，虽然可追溯到1 8 世 纪的e u l a r 或更早些，但系统的、形成一定规模的研究工作，还是在2 0 世 纪5 0 年代以后的事。自那以来，一方面由于科学技术提出了很多泛函微分 方程问题，推动着一批数学家去研究解决；另一方面也由于数学理论本身 的发展和近代数学工具的不断引入，促进了泛函微分方程理论的迅速发展。 到7 0 年代末，国际上已初步形成了一支研究队伍，泛函微分方程己成为一 个相当活跃的数学分支。 泛函微分方程的振动理论是泛函微分方程理论的中心内容之一，是定 性理论的一部分。自1 9 7 7 年以来连续出版了有关泛函微分方程振动理论的 专著6 本【l - - 6 1 ，国际文献中这一领域的论文已达千篇。广泛的应用背景是促 进这一理论迅速发展的基础。众所周知，在生物模型中出现了大量的时滞 微分方程【7 一l 。h u t c h i n s o n 在1 9 4 8 年建立单个种群的时滞l o g i s t i c 方程 a n ：r n ( f ) 卜坐二到( 1 - 1 ) 甜 l k l 其中延滞f 包含对种群增长的各种影响，如孵化周期，怀孕时间，食物更新 的时间等。用特征方程讨论可知，当0 1 e 时，方程( 1 1 ) 的解在n = k 附近振动。但当，f l e 时，方程( 1 1 ) 的所有解不在n = k 附近振动。这个 数学分析给生态学家提供了引起振动现象的时滞f 的界限。 在工业技术中亦有大量的时滞动力学系统问题，在金属切削的问题中 a n g e l o v a 研究了时滞方程组 x ：c t ) = ，( r ，p ，t ( f - p ，) ) ，i = 1 , 2 p 。= p ，( ，x i ( f ) ，x 2 0 ) ，x i c t ) ，x ：o ) ) 解的振动问题。 2 第1 章绪论 在研究火箭发动机燃烧过程的低频振荡问题时，则需要研究一阶时滞 微分方程 = + ( 1 - n ) x ( s ) + n x ( s r ) = u ( s 一，) a s 在研究电磁开关触头的振动可归结为研究二阶时滞微分方程 譬+ 口毒+ 6 x ( t ) + 口( f f ) ：0 讲讲 的解的振动性【”。 泛函微分方程的振动理论是随着泛函微分方程的基本理论、稳定性理 论同时发展起来的，已有3 0 多年的历史。近年来这一理论得到了蓬勃的发 展”19 1 ，从8 0 年代起，我国学者开始活跃于这一领域，取得了大量的研究 成果。 在研究泛函微分方程振动理论时，派生出一个分支，关于方程振动解 的相邻零点距离的有界理论，也就是对泛函微分方程振动性质研究的定量 化。泛函微分方程振动解的零点分布理论是泛函微分方程振动理论的重要 组成部分，它能够更精确地揭示事物的本质，能够极大地丰富微分方程振 动理论。我们发现，过去对于泛函微分方程振动性的研究都仅讨论微分方 程振动的充分条件或者必要条件。但是随着实际问题的不断提出，很多时 候，我们不仅要知道方程是振动的，而且更关心方程振动解的零点分布情 况。我们自然要问：当方程振动时，所有解的相邻零点距离是否是有界的? 这个界应该怎样估计? 这都是泛函微分方程解的零点分布理论需要解答的 问题。因此，对泛函微分方程振动解的零点分布理论进行深入、系统、广 泛的研究，已不仅仅是数学理论本身发展的需要，而且也是实际应用的需 要。 对于泛函微分方程振动解的相邻零点距离的有界理论的研究，可以追 溯到上一世纪9 0 年代，1 9 9 0 年国内学者李秉团首次研究了一阶时滞型微分 方程振动解的零点分布。之后，这一新的数学分支引起了数学界的关注， 对它的研究也逐渐活跃起来，加拿大的e r b e 、以色列的d o m s h l a k 和 s t a v r o u l a k i s 以及中国的张炳根、林诗仲、周勇等学者相继进入这一研究领 燕山大学理学硕士学位论文 域。由于研究工作仅仅开始十几年，因此目前对于这一理论的研究还远远 不够深入、广泛，鉴于此，对这一新的学术领域进行研究是十分迫切和极 其重要的。 1 2 泛函微分、差分方程振动解的零点分布理论的发展 对泛函微分方程零点分布理论的研究是2 0 世纪9 0 年代才开始的。当时， 泛函微分方程的振动理论已经建立_ 1 2 0 - 2 4 ，并且取得了丰富的研究成果，这 为对它进行定量研究奠定了坚实的基础。1 9 9 0 年李秉团【2 5 1 在应用数学学报 上发表了第一篇关于一阶时滞型微分方程解的零点距估计的文章，文中研 究了一阶线性时滞微分方程 x o ) + p ( t ) x ( t - 0 = 0( 1 2 ) 其中f 为正常数，户p ) 为某区间哦，佃) 上的非负连续函数。 得到了方程( 1 2 ) 解的零点分布如下 定理1 2 1 设x ( f ) 是方程( 1 - 2 ) 的某一解，工( ，) 存在于区间阪，+ ) 。取 s o 使p s l i e ，若p ( f ) 满足条件 ( i ) p ( t ) 是某区间【瓦，抽。) 上的非负连续函数，且p ( t ) 在任一有限区间上 不恒为零； ( i i ) 存在正常数p ，使韭堡fp ( s ) d s p 1 e 成立， 则必存在t e2 t ，使在也，+ m ) 上，x ( f ) 的相邻零点的距离小于( 1 + ) r ，其 中= m a x 4 , 3 + 学案劣等m 此文引起同行专家的浓厚兴趣，后来很多学者所做的工作，都参考了 该文。受此文影响，1 9 9 0 年后国内外一些学者转向了零点距估计的研究。 1 9 9 4 年梁法驯1 2 6 1 研究了方程( 1 2 ) ，改进了文 2 5 】的结果。1 9 9 5 年于江通过 引入新的引理，获得了比文【2 6 】更精确的估计。同年，张炳根、孔庆凯和 e r b e t 6 1 合作出版了泛函微分方程振动理论，此书总结了当时泛函微分方 程振动理论领域的最新成就，其中包括振动解的零点分布的研究。1 9 9 6 年， yd o m s h l a k 和i p s t a v r o u l a k i s 2 r l 获得了在临界振动情形下方程( 1 2 ) 解的相 4 第1 章绪论 邻零点间的距离估计。 1 9 9 9 年，唐先华和庾建设【2 8 1 在文献 2 9 ，3 0 】研究方程( 1 2 ) 的振动性的基 础上讨论了方程( 1 2 ) 的零点分布，去掉了定理1 2 1 中的条件( 却，从而改进 了文 2 5 - 2 7 1 。 同年，杜英【3 1 1 研究了时滞方程 上 z ( f ) + p ，( f ) x o f ，( f ) ) = 0 ，t 0 ( 1 3 ) i = l 其中p 以) ，f ，( f ) 为定义在 0 m ) 上的连续函数，i ，= 1 , 2 ，聍 。 从探索时滞方程振动解的零点分布出发杜英研究了方程( 1 3 ) 的振动 性，给出了较为广泛的振动性条件，这些条件只对方程在一些离散的区间 上提出。 后来，冀振斌、李林太口2 1 和刘玉记吲相继研究了时滞微分方程( 1 2 ) 的 零点分布，给出了方程( 1 2 ) 振动解零点距上界的充分条件。 关于中立型时滞微分方程解的零点分布，最早见于林诗仲p 4 】。他于1 9 9 4 年在文 2 5 1 的基础上考虑了一阶中立型微分方程 f x ( f ) + p ( t ) x ( t - 0 + q ( t ) x ( t 一仃) = 0 ( 1 - 4 ) 其中f ，d 为正常数且盯一f v p ，p ( ，) 0 ，p ( f ) 0 ，钟) 0 ，g 是f 周期函数。 此后，很多学者在文献【3 4 】的基础上开展了中立型方程解的零点距估计 的研究。1 9 9 5 年，周勇1 3 5 1 研究了方程( 1 - 4 ) ，去掉了文【3 4 】中条件“d f 1 e 及p ( f ) 0 ，q ( f ) 是f 周期函数”。1 9 9 6 年，周勇【3 6 1 又改进了已有文献，获 得了更好的结果。 1 9 9 7 年，周勇p 7 】和王志成【3 8 1 讨论了方程( 1 4 ) 解的零点分布，去掉了已 有文献中对系数较强的条件，获得了这类方程振动解的相邻零点间距离的 估计，并且改进和推广了已有文献中的一些已知结果。 1 9 9 8 年，周勇、刘正荣和俞元洪1 3 9 1 使用了一种新的技巧，对方程( 1 - 4 ) 解的相邻零点间的距离作了新的估计。 定义序列 口， ， 6 ， 如下 q = f 9 ，q “= f “， i = 1 , 2 ，( 1 5 ) 燕山大学理学硕士学位论文 岛= 等一圹黼一1 ，2 ， ( 1 6 ) 定理1 2 2 假设p ( t ) c ( 【“，o o ) ，【o ，) ) ，q ( f ) c ( 【，。，) ，( 0 ，o o ) ) ，r ( f ) c 1 ( 1 0 ，o o ) ，【岫) ) 且掣o ) f 。，其中廿( f 训蒜；存在 一个正常数p 和“ u 使得【，呻i j 踟p i 1 ，r f 1 ，则方 程( 1 - 4 ) 的任意一个解在i t 。，。) 上的任意两个相邻零点间距离小于2 盯+ 珂。 f1，p1 p 一力 其中2 1 普鸡 f + j 1 q 屯， p 1 q 6 ，分别如式o 。5 和式 ( 1 - 6 ) 所定义。 2 0 0 1 年，张炳根和周勇h 0 1 将零点分布的研究推广到了变时滞微分方程 中，研究了具有单个变时滞的微分方程 x ( ，) + p o ) x ( r ( f ) ) = 0( 1 - 7 ) 解的零点分布情况。 定理1 2 3 假设p ，f c ( r o ，) ， o ，) ) ，r ( t ) t ，r ( t ) 是非减的并且 姆f ( r ) = o o ，存在r l f 。和正常数p ( 1 p 0 ，f 0 解的零点分布，给出了较为广泛的振动条件。 2 0 0 4 年，叶海平和高国柱h 2 1 研究了中立型超前型微分方程 【x o ) + p ( t ) x ( t + f ) 】，一q ( t ) x ( t + 盯) = 0 ，t t o e 中p o ) ，q ( t ) c ( t o ，。o ) ，r + ) ，f ，盯r + 。 同年，单文锐、葛渭高和牛志蕾h 3 1 考虑了具有正负系数的中立型时滞 微分方程 【x ( f ) + c ( t ) x ( t y ) 】+ p ( t ) x ( t - r ) 一q ( t ) x ( t - o r ) = 0 其中c ，p ，q c ( 【f 0 ，) ，r + ) ，z , o - 【0 ，叫， 0 ，f 2 m a x o ，n 。给出了上 述方程解的零点距估计和方程所有解都振动的充分条件，并对一些已有的 零点距的估计结果做了进一步改进。 近年来，张玉珠、燕居让、申建华、张炳根和gl a d a s 等人给出了具 有连续变量的差分方程振动的充要条件p 4 5 0 1 。周勇、俞元洪、单文锐等人 又在此基础上讨论了具有连续变量的差分方程振动解的零点分布问题。 1 9 9 9 年，周勇和俞元洪巧1 1 考虑了具连续变量的差分方程 工( f ) 一x ( t r ) + p k ( t ) x ( t 一吒) = o k f f i l 其中p k ( t ) c ( r + ，r + ) ，f ，仃t r + ，k = l ，2 ，m 。文 5 l 】讨论了上述方程的 零点分布，进而对其解的零点距给出了估计。 2 0 0 3 年，单文锐和葛渭高口2 1 研究了具有正负系数的连续变量的差分方 程 x ( f ) 一x ( t y ) + p ( t ) x ( t f ) 一q ( t ) x ( t 一仃) = o 其中p ，q c ( t o ，) ，r + ) ，f ，仃，y ( o ，o o ) 。给出了上述方程解的零点分布及 7 燕山大学理学硕士学位论文 方程所有解振动的充分条件。 总之，到目前为止，泛函微分方程振动解的相邻零点距离的有界理论 取得了一些成果，但总的来讲这方面的研究还不够系统、深入、广泛，如 对于二阶泛函微分方程的研究只是借助于最大原理估计了某类二阶泛函微 分方程的解的零点个数【5 扪，对于二阶泛函微分方程振动解的零点分布问题 还没有涉及过；对于高阶泛函微分方程振动解的零点距估计更是没有出现 过；有关非线性泛函微分方程振动解的零点分布，目前的结果也是寥寥无 几。上述问题都有待于我们做进一步的研究和探讨。另外，在泛函微分方 程零点分布问题的处理方法上也应有新的进展和突破。 1 3 本研究课题的来源及主要研究内容 本课题来源于河北省自然科学基金项目( 编号1 0 2 1 6 0 ) 和河北省教育厅 科学基金项目( 编号2 0 0 4 1 2 3 ) 。 本文共分4 章，主要对泛函微分、差分方程振动解的零点分布进行了 研究，获得了方程振动解的零点距估计，同时给出了方程解振动的充分条 件。 第2 章研究一阶中立型泛函微分方程。首先考虑线性中立型时滞微分 方程，其次研究了非线性中立型时滞微分方程。 第3 章研究变时滞微分方程。首先讨论了线性变时滞微分方程，其次 研究了非线性变时滞微分方程。 第4 章研究具有连续变量的差分方程。首先研究了线性单滞量差分方 程，其次讨论了非线性单滞量差分方程，再次研究了线性多滞量差分方程， 最后探讨了非线性多滞量差分方程。 第2 章中立型时滞微分方程解的零点距估计 第2 章中立型时滞微分方程解的零点距估计 2 1 引言 中立型方程是一类形式相当广泛的泛函微分方程，有着很广泛的应用 背景，h a l e t 5 4 1 、郑祖庥5 5 1 等学者的著作中给出了许多应用实例。例如，中 立型方程在高速计算机连接开关电路的无损耗传输线网络中有着其实际应 用背景。因而对于中立型方程解的性质的研究，不但对其本身的发展有着 理论意义，而且在应用上同样有着重要意义。近年来，关于中立型方程的 振动性研究得到了迅速的发展，已经获得了丰富的成果，如文 5 6 - 6 2 。但 是，研究中立型方程振动解的零点分布的结果还比较少，尤其是关于非线 性中立型方程解的零点分布的研究目前还没有见到。本章将分别给出一阶 线性和非线性中立型时滞微分方程解的零点距估计。 2 2 一阶线。陛中立型时滞微分方程解的零点距估计 2 2 1 必要引理 考虑一阶线性中立型时滞微分方程 胁( f ) + p ( t ) x ( t f ) 】+ q ( t ) x ( t - 1 7 ) = o ，t t o( 2 1 ) 喜e 中p o ) ，q ( f ) c ( 【f 。，a o ) ，( o ，) ) ，f ，仃五+ 。 关于方程( 2 - 1 ) 解的零点距估计问题已有一些研究，见文献 3 4 3 9 ，但 这些论文中均假设了条件 l ，i = 墨鎏一砂i 1 ，p 为常数( 2 - 2 ) q ( s + r - a ) j 1 + p 0 + f 一打1 ”p q 0 一盯) 而事实上，当条件( 2 2 ) 不成立时，方程( 2 1 ) 的解也是振动的，因此，在条 件( 2 2 ) 不成立时，给出方程( 2 1 ) 的解的零点距估计是有意义的。 本节采用了有别于上述文献中的方法研究了方程( 2 1 ) 的解的零点距估 9 燕山大学理学硕士学位论文 计，给出7 定理2 2 1 及定理2 2 2 ，去掉了条件( 2 2 ) 的限制，改进和推广了 已有结果。另外，文中建立的定理2 2 3 也改进了上述文献中的结果。 引理2 2 1 设常数， 0 ，则对一切实数x ，必有r e 。工+ l n e r 。 证明令f ( x ) = r e 。一x ，知f ( x ) = r e 。- i ，求出，( x ) 驻点为x o = l n ， 又，( 功：阼， o ，故f ( 工) 在( ，佃) 上最小值是f ( ) ：1 一l i l 三：l l l 盯。 证毕。 引理2 2 2 2 6 1 对一切实数x 有e 。x e 成立。 2 2 2 主要结果 定义数列 岛2 等，嚣，用2 p ， ，o2 ，t2 击，2 南，即叫，2 ，。( 2 - 4 ) 在下文中，设x ( ，) 是方程( 2 - 1 ) 的任一解，d ( x ( f ) ) 表x ( t ) 的所有两相 邻零点之间距离的上确界。为方便起见，我们记r ( r ) = 以卜口) 吾手乌， 孵) = 鼎。 定义函数列：行为自然数 吼o ) = i t 4 4 一。g o ) a s ，g ：( f ) = f f + ，。g ( j ) g 。( s 陟 吼( r ) = l 。g ( s ) g 。( j 胁 一 ，l + j - f，r + 口f 玩p ) 2l q ( s ) a s ，玩( f ) 2 8 i q ( s ) e ( s ) d s 1 0 第2 章中立型时滞微分方程解的零点距估计 瓦( f ) = pe + q - - f g ( s ) 瓦一l o ) a s 其中t 的范围由t t o 及积分区间而确定。 定理2 2 1 假设p ( t ) c ( t o ，a 。) ， o ，o o ) ) ，q ( t ) c ( t o ，o o ) ，( o ，) ) ，g ( t ) c 1 ( 【，o o ) ，【0 ，) ) _ g e ( f ) 0 ，盯 f 0 ：存在f l o w n ，实数p 0 ，p 0 齐 i t i2 “使得 瓦( f ) s p ，t t l ( 2 - 5 ) f q ( s ) d s p q ( s ) d s p ，f r 1( 2 - 6 ) j ，+ f 。 ，f r 1( 2 - 6 ) 【勘州q ( t ) i n e 虿( t ) d t 2 佃 则对方程( 2 1 ) 的任一解工( f ) ，有d o o ) ) 2 仃+ ( 2 n + ) 一t ) ，其中n 定义 如下 = i n i i l l t o 。+ 2 a 州+ ( 2 n + m x 4 - f g ( f m 黜胀皿皂t ( 2 7 ) 证明 只需证对于任意的t o2 t 。，z ( f ) 在瓯，r 】上必有零点，其中 t = 瓦+ 2 0 r + ( 2 + ) p r ) 。若不然，我们不妨设x ( f ) 0 ，【瓦，t 】 令 z ) = f ) + p ( t ) x ( t - r ) ，t 瓦+ f( 2 - 8 ) 那么，有z ( t ) 0 ，【瓦+ f ，丁】且z ( f ) = - q ( t ) x ( t d ) 0 ，t 隔+ 打，f 】且 w ( f ) = z o ) + r ( r ) z ( r r ) + g ( t ) z ( f f ) ，t t o + 2 f ( 2 - 1 0 ) 结合式( 2 9 ) 和式( 2 - 1 0 ) ，有 w ( f ) = r ( r ) z ( f f ) 一q ( t ) z ( t - a ) 0 ，t 矗+ 仃+ f ，r 】 ( 2 1 1 ) 燕山大学理学硕士学位论文 由于z ( f ) 在 瓦+ 仃，r 】上单调减少，故矿( r ) ；! 磐，t e t o + 2 a ，r ，】( 2 - 1 2 ) 1 、 + 胄o + f 一盯1 。 将式( 2 - 1 2 ) 代入式( 2 1 1 ) ，得 + 雨嚣b 形( t + t - 仃) 邵- f ) o ，f 【瓦砌】 即 w ( r ) + q ( t ) w ( t + f - - o r ) 0 ，t t o + 2 0 ，t 】( 2 - 1 3 ) 令 枷一器州归i f + 灿，州f ) _ t - e q 胁 由式( 2 - 1 3 ) 有 w p ) g ( r ) e x p p l 呵 ( j ) g o ) 出 p 2 9 ( f ) 如o ) ，f 瓦+ 2 a + 2 ( a - r ) ，r 】 重复上述过程，得 a ( ) e n 。l g o ) 九- 1 ( f ) ，t t o + 2 仃+ ( 万一1 ) ( 盯一f ) ，t 】 故当，e 阮+ 2 0 r + ”p f ) ，丁】时，a f t ) q ( t ) e x p e “j 2 。鼋( s ) 九一。o ) a s l ，从 而 a ( f ) 玩o ) 碍( f ) 瓦( f ) e x p p ”4j 2 。g ( j ) a 。( s ) 西】 对t 瓦+ 2 a + 2 n p f ) 从正= 瓦+ 幻+ n ( c x f ) 到r 积分上式，又由引理 2 2 1 得 第2 章中立型时滞微分方程解的零点距估计 即 ( 婶厩o ) a t r 如厩o ) e x p e - il 。如) a 。) d s d t ( p “g ( f ) f f + 。g ( s ) 九。) d s d t + r g ( f ) o n e 瓦( ，) ) 击= r e “g ( f ) 九( f ) 办+ r g ( f ) ( 1 l l p 巩( ，) ) 出 r a o 厩( f ) 破- - e n - ir g ( r p 。o ) d t ( g p ) i n e 虿( t ) d t ( 2 - 1 4 ) 另一方面，通过交换积分次序 。“( g ( f 儿函= e ”1f g ( f ) l 留( s 地一，o ) d s d t _ 矿1r ”g ( j 乩一。( j ) f g o ) d t d s = 扩1 j ，。g ( f 玩一。( f ) 玩( r ) 破 p “l t - 2 ( o - - x ) g ( j 玩一：( s ) j ：一g ( r 瓦o ) 抛 - - e j r r , 巾哪一g ( f 风一，( f ) ，。a 。) a s a t 。t , t - n ( e r - r ) a ( f 厩o ) a t 结合式( 2 一1 4 ) ，得l ( ，。) a ( f ) 瓦o ) 出 ( g o ) i n p 巩o ) d r ，从而由式( 2 - 5 ) 导出 l 。一枷吉跏m 黜渺 i r t = ，= t o + 2 a + ( 2 n + ) p f ) ，由条件( 2 7 ) ，上式化为 - g 淼= 加炒去瞄= 一h 剥西孔冉屯 由a ( d 的定义有u ( f ) = ! ! ! ；昙产生= e x p 【e ，。a ( s ) 凼】，于是 垂u ( r - f ( 盯叫) = c x p 【l ，抛) 捌e x p 汇d t - n ( o - r ) 砸川= 冉屯 燕山大学理学硕士学位论文 取r = t = t o + 2 a + ( 2 n + ) ( 仃一f ) ，得 b - - ln 兀u ( t o + p a r + ( 2 丹+ ) - r ) 一j ( c r f ) ) 兀b ( 2 - 1 5 ) j f f i 0j - i 另一方面，由条件( 2 6 ) 知厂( a ) = r g ( s ) 西是连续函数，厂(