（计算数学专业论文）三维轴对称问题的超收敛算法与分裂外推.pdf

三维轴对称问题的超收敛算法与分裂外推 研究生 筮堂 指导教师 昌透 内容摘要 众多的科学与工程问题归结于计算三维轴对称边值问题。本文旨在研究机 械求积法和外推技术在轴对称边界元法中的应用，首次从理论和方法上阐述 了机械求积法和外推技术在轴对称l a p l a c e f a 题、轴对称自由边界问题和轴对 称s t o k e s 绕流问题中的可行性。 借助边界元方法，轴对称三维问题可以转化为一维边界积分方程，故该方 法颇受工程界关注，是当今边界元研究热点。但是由于轴对称边界积分方程理 论上尚处于研究阶段，数值计算主要依赖于迦辽金法和配置法，离散矩阵生成 需要做一重或二重奇异积分计算，其计算复杂度甚高，精度也低，从而制约了该 方法的广泛应用。本文借助s i d i 和l y n e s s 的弱奇异和奇异求积公式首次把机械 求积法应用到轴对称问题，从而节省大量计算，降低了计算的复杂度，得到较高 精度的数值解，并从理论上证明了机械求积法在轴对称问题上的可行性 另外，轴对称问题的基本解的奇性不同于二维问题的基本解，特别是在对 称轴上，基本解具有柯西奇性，因而在迦辽金法和配置法中大都需要为对称轴 做特殊处理。其次，由于旋转平面的边界大多是不光滑的，因而积分方程的解 及其法向导数在边界上的角点也是非光滑的，甚至是奇性的，理论分析具有相 当的难度。本文使用周期变换消除了解在角点处的奇性，进一步提高了机械求 积法的精度。与此同时，由于边界各段上的网参数彼此独立，我们导出了误差 拥有三次幂的多参数渐进展开，通过并行地解出粗网格上的离散方程，使用外 推和分裂外推技术加速收敛可以得到精度更高的数值解同时一个后验估计 被得到，故借助本文方法可建立计算可靠的自适应并行算法。这项工作在以往 的轴对称问题的处理中是鲜有发现的。 这篇论文被分成了三个部分。 第一部分是三维轴对称l a p l a c e 问题边界积分方程的机械求积法和分裂外 推。我们使用直接边界元法和间接边界元得到了第一类和第二类的边界积分方 四川大学博士学位论文 程。从理论上证明了在周期变换下误差有三次幂的渐近展开。实际计算表明没 有周期变换的数值精度低于o ( h 3 ) 。最后，数值算例验证了我们的理论分析 第二部分把轴对称边界元法应用到具体工程问题中，首次利用机械求积法 和样条插值解决了天然气工程中的水锥问题。给出了在不同生产压力下底水 水锥锥顶的位置，为实际生产提供理论指导 第三部分讨论了s t o k e s 问题。我们使用间接边界元法得到了边界积分方程， 从理论上证明了在周期交换下机械求积法拥有三次幂的渐近展开，使用外推和 分裂外推可以进一步提高数值精度。实际计算表明我们的方法优于g a l e r k i n 方 法和配置法。 关键词：轴对称边界积分方程，机械求积法，外推，分裂外推，后验误差估 计，l a p l a c e 方程，自由边界，s t o k e s 问题 s u p e r c o n v e r g e n c em e t h o d sa n ds p l i t t i n g e x t r a p o l a t i o n sf o rs o l v i n gt h r e e - d i m e n s i o n a l a x i s y m m e t r i cp r o b l e m s m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s a u t h o r ：z h ur u i s u p e r v i s o r ：l 也t a o a b s t r a c t m a n yp r o b l e m si ns c i e n c ea n de n g i n e e r i n gc a n b ed e s c r i b e da st h r e ed i m e n - s i o n a la x i s y m m e t r i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s t h i sd i s s e r t a t i o nm a k e s8 0 m e r e s e a r c ho nt h ea p p l i c a t i o no ft h em e c h a n i c a lq u a d r a t u r em e t h o d sa n ds p l i t t i n g e x t r a p o l a t i o nm e t h o d st oa x i s y m m e t r i cb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n s i nt h i sd i s - s c r t a t i o nw ef i r s td i s c u s st h ef e a s i b i h t yo fd e v e l o p i n gt h em e c h a n i c a lq u a d r a t u r e m e t h o d sa n de x t r a p o l a t i o nt e c h n i q u e si nt h ea x i s y m m e t r i cl a p l a c ep r o b l e m s ， a x i s y r n m e t r i cf r e eb o u n d a r yp r o b l e m sa n da x i s y m m e t r i cs t o k e sp r o b l e m s ，t h e o - r e t i c a l l ya n dm e t h o d i c a l l y m a n ye n g i n e e r sh a v eg i v e t h eb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d st h e i rm u c ha t t e n t i o n ，b yw h i c ht h ea x i s y m m e t r i cp r o b l e m sc a nb ec o n v e r t e di n t ot h es i n g l e b o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n so ft h ef i r s tk i n da n ds e c o n dk i n d a tp r e s e n t ，t h e t h e o r e t i c a la n a l y s i so ft h ea x i s y m m e t r i cb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n sa r ei n c o m p l e t e ，t h en u m e r i c a lc o m p u t a t i o nm a i n l yd e p e n d so nt h eg a l e r k i na n dc o l i c - c a t i o nm e t h o d sb a s e do np r o j e c t i o nt h e o r y b u tt h ed i s c r e t em a t r i c e si nt h e g a l e r k i na n dc o l l o c a t i o nm e t h o d sa r ef u l l ，a n dt h eg e n e r a t i o no fe a c hm a t r i x e l e m e n th a st oc a l c u l a t ea ni m p r o p e ri n t e g r a lf o rt h ec o l l o c a t i o nm e t h o d so ra d o u b l ei m p r o p e ri n t e g r a lf o rt h eg a l e r k i nm e t h o d s ，w h i c hi m p l yt h a tt h ec o s to f c a l c u l a t i n gt h ed i s c r e t em a t r i c e sc o u l db es oe x p e n s i v et og r e a t l ye x c e e dt h a to f s o l v i n gt h ed i s c r e t ee q u a t i o n s f u r t h e r m o r e ，t h ea c c u r a c yo fn u m e r i c a ls o l u t i o n s i sa l s oa l w a y sl o w e r s o ，t h eh i g hc o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t ya n dl o wn u m e r i c a l a c c u r a c yl i m i tt h e i re x t e n s i v ea p p l i c a t i o n i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w em a k e u s eo ft h e m e c h a n i c a lq u a d r a t u r em e t h o d sw i t hs i d ia n dl y n e s sq u a d r a t u r er u l e st ob u i l d t h ed i s c r e t em a t r i c e si na x i s y m m e t r i cb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n sw i t h o u tc a l - 四川大学博士学位论文 c u l a t i n ga n yi m p r o p e ri n t e g r a l s h e n c e ，t h ec a l c u l a t i o no ft h ed i s c r e t em a t r i c e s b e c o m e sv e r ye a s ya n ds i m p l e ，a n dn u m e r i c a la c c u r a c yc a na l s ob ei m p r o v e d i na d d i t i o n a l ，t h ef u n d a m e n t a ls o l u t i o n so ft h ea x i s y m m e t r i cp r o b l e m s ，d i g f e r e n tf r o mt w o - d i m e n s i o n a lp r o b l e m s ，h a v ec a n c h ys i n g u l a r i t i e so nt h es y m m e t r y a x i s i nt h eg a l e r k i na n dc o l l o c a t i o nm e t h o d s ，a l le s p e c i a lt r e a t m e n tw i l lb ee m - p l o y e dt od e a lw i t hs y m m e t r ya x i s o nt h eo t h e rh a n d ，t h es o l u t i o n sa n dt h e i r n o r m a ld e r i v a t i v e so ft h eb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n sa r eu s u a l l yn o n - s m o o t h ， e v e ns i n g u l a r ，a tt h ec o r n e rp o i n t si ft h eb o u n d a r yo fa x i a l l ys y m m e t r i cb o d yi s n o n - s m o o t h ，a n dt h ec o r r e l a t i v et h e o r e t i c a li n v e s t i g a t i o nb e c o m e sv e r yd i f f i c u l t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，i no r d e rt oo v e r c o m et h es i n g u l a rd i f f i c u l t i e s ，t h ep e r i o d i c t r a n s f c i r m a t i o n sa r ei n t r o d u c e dt oe l i m i n a t et h es i n g u l a r i t i e so fs o l u t i o n sa tt h e c o r n e rp o i n t sa n di m p r o v et h en u m e r i c a la c c u r a c yo ft h em e c h a n i c a lq u a d r a t u r e m e t h o d st oo ( h 3 ) a tt h es a h l et i m e ，b e c a u s eo fi n d e p e n d e n to fm e s hp a r a m e t e r s o ne a c hs e g m e n to ft h eb o u n d a r y , t h em u l t i p a r a m e t e ra s y m p t o t i ce r r o re x p u n - s i o nw i t hp o w e ro ( h s ) c a nb ed e d u c e d o n c es o m ed i s c r e t ee q u a t i o n so nt h e c o a r s em e s hp a r t i t i o n sr r es o n e di np a r a l l e l ，w ec a n n o to a t yf u r t h e ri m p r o v et h e n u m e r i c a la c c u r a c yb yt h ee x t r a p o l a t i o na n ds p l i t t i n ge x t r a p o l a t i o nm e t h o d s ， b u ta l s og i v eap o s t e r i o re r r o re s t i m a t e ap o s t e r i o re r r o re s t i m a t em e a n st h a t o u ra l g o r i t h m sa r ea d a p t i v e t h er e s e a r c hw o r ki nt h i sd i s s e r t a t i o nc a nb er a r e l y f o u n di nt h ep a s tl i t e r a t u r ea b o u tt h ea x l s y m m e t r i cp r o b l e m s t h ew o r ki nt h i sd i s s e r t a t i o nc a nb ed i v i d e di n t ot h r e ep a r t s t h ef i r s ti st h em e c h a n i c a lq u a d r a t u r em e t h o d sa n dt h e i rs p l i t t i n ge x t r a p o - l a t i o n sf o rs o l v i n gb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n so fl a p l a c ep r o b l e m s t h ed i r e c t b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o da n di n d i r e c tb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o da r ee m p l o y e d t ob u i l dt h ed i f f e r e n tb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n s at h e o r e t i c a li n v e s t i g a t i o n s h o w st h a te r r o rh a sam u l t i p a r a m e t e ra s y m p t o t i ce x p a n s i o n t h en u m e r i c a le x - p e r i m e n t ss h o wt h a tt h en u m e r i c a la c c u r a c yi sa l w a y sl o w e rt h a no ( h 3 ) w i t h o u t t h ep e r i o d i c a lt r a n s f o r m a t i o n s t h en u m e r i c a lr e s u l t sv e r i f yo u rt h et h e o r e t i c a l a n a l y s i s t h es e c o n di st h eb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o do ff r e eb o u n d a r yi s s u e so fs t a - t i o n a r yw a t e rc o n ef o rg a sw e l l s t h em e c h a n i c a lq u a d r a t u r em e t h o d sa r ef i r s t i n t r o d u c e di n t ot h eb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n so fg a sw e l li nn a t u r a lg a si n d u s - t r y t h es p l i n ef u n c t i o ni su s e dt os i m u l a t et h ec u r v eo fw a t e rc o n e a ni t e r a t i v e a l g o r i t h mi sd e s i g n e dt oo b t a i nt h ep o s i t i o no fw a t e rc o n e a tl a s t ，t od i f i e r e n t p r e s s u r ea tt h eb o t t o mo fw e l l ，w ec a l c u l a t et h ep o s i t i o no fw a t e rc o n e t h e n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h i sa l g o r i t h mi se f f e c t i v ea n do b j e c t i v e t h et b i r di ss t o k e sp r o b l e m s t h ei n d i r e c tb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o da x e e m p l o y e dt ob u i l dt h eb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n so ft h ef i r s tk i n d t h et h e o r e t i c a li n v e s t i g a t i o ns h o w st h a te r r o rh a sam u l t i - p a r a m e t e ra s y m p t o t i ce x p a n s i o n w i t hp o w e r0 ( 舻) u n d e rt h ep e r i o d i ct r a n s f o r m a t i o n s p r a c t i c a lc o m p u t a t i o n s s h o wt h a to u rm e t h o de x c e e d st h eg a l e r k i na n dc o u o c a t i o nm e t h o d s w h e t h e r c o m p u t a t i o nc o m p l e x i t yo rn u m e r i c a la c c u r a c y k e y w o r d s ：a x i s y m m e t r i cb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n ，m e c h a n i c a lq u a d r a ，- t u r em e t h o d ，s p l i t t i n ge x t r a p o l a t i o n ，ap o s t e r i o re r r o re s t i m a t e ，l a p l a c ep r o b l e m ， f r e eb o u n d a r y , s t o k e sp r o b l e m 表格 2 1 例2 1 的内问题在r = 0 2 处的r i c h a r d s o n 外推3 3 2 2 例2 1 的内问题在r = 0 8 处的r i c h a r d s o n 外推，3 3 2 3 例2 1 的外问题在r = 3 2 的r i c h a r d s a n 外推3 3 2 4 例2 1 的外问题在r = 1 0 0 0 处的r i c h a r d s o n 外推3 4 2 5 例2 1 在边界上的热流量3 4 2 6 例2 1 中不同节点数和周期变换对离散矩阵条件数的影响3 4 2 7 例2 2 实心圆柱在( 0 5 ，0 5 ) ( 0 5 ，1 0 ) 处的咸饥n r d s m 外推3 6 2 8 例2 2 实心圆柱在( 0 5 ，1 5 ) ，( 0 5 ，2 0 ) 处的m c r d s 帆外推3 6 2 9 例2 2 实心圆柱的分裂外推3 6 2 1 0 例22 实心圆柱在( 0 5 ，o 5 ) ，( 0 5 ，1 0 ) 处无周期变换的结果3 7 2 1 1 例2 2 实心圆柱在( 0 5 ，1 5 ) ，( 0 5 ，2 5 ) 处无剧期变换的结果 3 7 2 1 2 例2 2 实心圆柱边界上的热流量3 7 2 ，1 3 例2 2 的离散矩阵的条件数3 8 2 1 4 例2 3 实心圆柱在( o 5 ，1 ) ，( o 5 ，2 ) 处的r i c h a r d s o n 外推 3 9 2 1 5 例2 3 实心圆柱在( o 5 ，4 ) ，( o 5 ，5 ) 处的兄t c m r d s 帆外推 3 9 2 1 6 例2 3 实心圆柱的分裂外推3 9 2 1 7 例2 3 实心圆柱上表面的热流量4 0 21 8 例24 实心圆柱体的分裂外推4 l 2 1 9 例2 4 实心圆柱体上表面的热流量，4 1 2 2 0 例2 6 空心圆柱在周期变换下( 5 ，3 ) 、( 5 ，4 ) 处的r i c h a r d s a n 外推 4 3 2 2 1 例26 空心圆柱在无周期变换下( 5 ，3 ) 、( 5 ，4 ) 处的成c o r d 5 0 n 外推 4 3 2 2 2 例2 6 空心圆柱的分裂外推 4 4 2 2 3 例2 6 空心网柱离散矩阵的条件数， 4 4 2 2 4 例28 实心圆杆的分裂外推 5 3 2 2 5 例2 9 空心圆柱体的分裂外推5 4 四川大学博士学位论文 3 1 不同垂向渗透率对极限生产压力的影响 4 1 偏心率0 1 的扁球的r i c h a r d s o n 外推 4 2 偏心率0 5 的扁球的r i c h a r d s o n 步b 推 4 3 偏心率09 的扁球的r i c h a r d s o n 外推 4 4 偏心率0 9 9 的扁球的r i c h a r d s o n $ - 推 4 5 偏心率0 1 的长球的r i c h a r d s o n 外推 4 6 偏心率o 5 的长球的r i c h a r d s o n 外推 4 7 偏心率0 9 的长球的r i c h a r d s o n 外推 4 8 偏心率0 9 9 的长球的r i c h a r d s o n # 推 4 9 偏心率0 1 ，变换妒3 下的离散矩阵的条件数 4 1 0 偏心率0 5 ，变换妒3 下的离敝矩阵的条件数 4 1 1 偏心率0 9 ，变换妒3 下的离散矩阵的条件数 4 1 2 偏心率0 1 ，变换妒4 下的离散矩阵的条件数 4 1 3 偏心率0 5 ，变换妒4 下的离散矩阵的条件数 4 1 4 偏心率0 9 ，变换妒4 下的离散矩阵的条件数 4 1 51 = 1 0 0 0 1 对r i c h a r d s o n 外推的影响 4 1 61 = 1 0 1 对r i c h a r d s o n 外推的影响 4 1 71 = 2 对r i c h a r d s o n 外推的影响 4 1 81 = 1 0 对r i c h a r d s o n 外推的影响 4 1 9 大小不同的三个球体的表面阻力 4 2 0 不同的6 值对球环阻力因子的影响 4 2 1 不同的a 值对球环阻力因子的影响 4 2 21 - 4 - ! = 1 时的阻力因子 4 2 3 利用分裂外推求圆柱体的阻力因子 缸跎跎跎踮踮弘“孔：8；8踮8曲5：虬舛g； 1 1 轴对称旋转体的剖面图 插图 2 1 例2 i 的等温线分布图 2 2 例2 2 实心圆柱的等温线分布 2 3 例2 3 实心圆柱体的等温线分布图 2 4 例2 4 实心圆柱体的等温线分布图 2 5 例2 5 核反应压力容器的等温线分布图 2 6 例2 6 的等温线分布图 2 7 例2 7 的等温线分布图 3 1 水锥剖面图 3 2 井底压差对水锥的影响 3 3 垂向渗透率对水锥的影响 4 1 扁球的剖面图 4 2 长球的剖面图， 4 3 点( 1 0 ，5 ) 处的流体速度的误差及误差比 4 4 扁球表面阻力的数值解 4 5 扁球表面阻力的精确解 4 6 长球表面阻力的数值解 4 7 长球表面阻力的精确解 4 8 刚性球串的剖面图 4 9 流线分布图，v = o ，v 1 = v 2 = 2 ，v 3 = 1 ，r i = r 2 = r 3 = 3 4 1 0 流线分布图，v 一3 ，v l = v 2 = 2 ，v 3 = l ，r l = r 2 = r 3 = 3 4 1 1 流线分布图，v = 0 ；v l = 2 ；v 2 = 一2 ；v 3 = 1 ；r 1 = 3 ；r 2 = 4 ；r 3 = 3 ； 4 1 2 球环剖面图 4 1 3 球环的流线分布图 拈勰铊铊的拍 的 他跗缸8盯盯船鸥虬蛇s：g； 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果，据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得四川i 大学或其它教育机 构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡 献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导下取得的，论文成 果归四川大学所有，特此声明。 作者签名： 知率一 导师签名： 量i 叠 e t 期：麴z ： ! 日强：山0 7 6 - l 第一章导论 1 1三维轴对称问题的边界元法 数学物理和工程的问题可以用不同形式的数学模型描述，例如表示成偏微 分方程的初值或边值问题。各种类型的变分问题，或者归化为边界上的积分方 程。由于实际问题的复杂性，绝大多数的问题难于得到解析解，一般只能采用 数值方法获得近似解。这些数值方法可以分为两大类：域方法和边界方法。有 限差分法和有限元法属于域方法，而边界元法属于后者。 边界元法( b e m ) 作为一种偏微分方程的数值解法受到关注虽然仅仅只 有三十多年的历史，但其数学基础一积分方程理论却能追溯到很早以前早 在1 0 0 多年前，阿贝尔( a b e l ) 、亥姆霍兹( h e l m h o l t z ) 等就对积分方程理论进行了 深入的研究。弗雷德霍姆( f r e d h o l m ) 在对积分方程研究的基础上，首先将这种 理论应用于弹性力学问题的求解。由于计算能力的限制，早期积分方程的研究 主要集中在解的存在性和唯一性等基础理论的研究上。直到计算机技术获得 高速发展后才开创了数值求解积分方程的新局面。随着有限元法在技术和理 论上的不断发展，研究者们开始逐渐把有限元空间的理论应用到边界积分方 程( b i e ) j ：，这为边界元法奠定了理论和应用基础。到了二十世纪7 0 年代，边界 元方法己逐渐发展成为- - f 独立学科。由于边界元方法具有降维和对外问题特 别有效的优点，故被许多科学家和工程师看作继有限元法以后出现的一种新的， 重要的数值计算方法，大量的理论和应用研究也相继涌现。边界元法与目前流 行的有限元法相比较有如下优点： f 1 ) 有限元要求对整个求解域进行单元剖分，边界元仅需要在边界上进行离 散，这不仅使维数降低了一维，也使得数据的生成更为容易； ( 2 ) 边界元更适合处理无限域上的外问题。由于离散被限制在边界上，不需 要象有限元那样通过添加人工边界条件在无限域上构造一个充分大的有限域； ( 3 ) 边界元把奇性基本解作为测试函数，因此更适合一些工程中常见的奇异 问题。有限元法却要在奇点附近建立更为精细的网格，因而数据量和计算量都 比较大； ( 4 ) 一旦求得边界值，则可以利用积分表达式解析地求出内( 外) 域上的解， 这不但提高了计算精度，并能满足对内部值的一些特殊要求，如连续性、可微 四川大学博士学位论文 性。 。 在边界元法研究的对象中，三维问题特别困难：其一，三维问题离散矩阵是 满阵，矩阵阶数较二维有平方型增长；其二，三维问题基本解的奇性较二维问题 基本解的对数奇性更强，这给计算造成极大的困难。但在实际中，大量存在求 解区域为旋转体的问题，称作轴对称问题，如图( 1 1 ) 所示，求解域由二维开有界 连通区域n 绕z 轴旋转而成，图中左边的旋转体包含旋转轴，图中右边的不包含 旋转轴。本论文中将主要讨论图中的两种情形。 。z 弋 q 、一 o 、 z n | u r r 图1 1轴对称旋转体的剖面图 定义柱坐标变换 z = r c o s 口，= r s i n o ，：= 2( 1 1 ) 因轴对称问题与日无关，从而可以转化为r ，z 平面上二维问题。但是该二维问题 是变系数偏微分方程，其边界积分方程的生成颇为复杂。建立轴对称问题的边 界积分方程通常需要控制微分方程的轴对称基本解( 基本解也被称作自由空间 上的g r e e 礼函数，或者看作有点源的无限空间中的微分方程的精确解) ，通常有 两种方式可以获得：( 1 ) 三维问题的基本解关于日从o 到2 7 r 积分；( 2 ) 利用轴对称微 分方程直接求基本解。由于三维轴对称问题可以借助边界元方法转换为一维边 界积分方程，因此更为节省计算和存储，故这一问题颇受工程界关注，已有专 著及众多文献1 3 0 旧】通过实例表明了方法的有效性。但迄今理论研究远未完 善且计算方法仅限j ：g a l e r k i n 法和配置法，其离散矩阵每个元素的生成需要做 二重( g o f e r 伽法) 或一重( 配置法) 奇异积分计算，这使得生成离散矩阵的计算复 第一章导论 杂度极高，甚至远超过代数方程组的求解。为了克服此困难，本文另辟蹊径，首 次提出解轴对称边界积分方程的机械求积法。由于求积公式选用了计算弱奇异 积分的s i d i 公式与s i d i 周期变换，故该方法能得到高精度的数值结果，而且从理 论上证明了误差具有h 3 渐进展开，从而可以借助外推与分裂外推技术加速收敛， 并能得到一个后验估计，因此借助本文方法可建立高可靠性的自适应并行算法。 这项工作在以往的轴对称问题的处理中是鲜有发现的。 1 2三维轴对称问题的边界积分方程 把边值问题归化边界积分方程的途径很多，通常可以归为两类方法：间接 法( i n d i r e c tm e t h o d ) 和直接法( d i r e c tm e t h o d ) 。间接法引入没有具体物理意义 的源密度函数，利用位势理论得到边界积分方程i 明，而直接法中的未知数因为 有着明确的物理意义，受到了工程师们更多的关注。我们将以三维l a p l a c e 方程 的d i r i c h l e t 问题和n e u r n a n n 问题为例来解释这两种方法。 函数u o c v ) n c ( v ) 称为内( 外) 问题的解，如果让分别满足下面工叩f n 方 程的d i r i c h l e t 问题 端三麓裂s 俨 z ， 【缸( z ) = ( z ) ，z 、 或者n e u r n a n n 问题 搬- 0 ，z p( 圳 i 掣= 9 ( z ) ，z s 卜“7 这里，vcr 3 由二维开有界连通区域n 绕z 轴旋转而成，s = o v 是它的边界由分 段光滑的曲线r 绕z 轴旋转而成，n 是1 矿的外单位法向，矿= v us ，y c = r 3 矿。 对 t - n e u m a n n i 口3 题( 1 3 ) ，还要求g ( z ) 满足g a u s s 条件 g ( x ) d s = = 0( 1 4 ) j s 保证问题( 1 3 ) 在相差一个常数的意义下存在唯一解。此外，对于外问题还要求 解缸在无穷远处满足正则性条件，l ! p 当一o 。时，t ( z ) = d ( 击) ，v ( 缸( z ) ) = o ( 壶) - 1 2 1间接边界积分法 假设在点z = ( x l ，x 2 ，z 3 ) 处有一集中的单位点载荷t 则点。o = ( z o l ，z 0 2 ，z 0 3 ) 的势分布矿可用三维l a p l a c e l b 题的基本解描述，即 - 3 - 四川大学博士学位论文 矿( 舭。) 。南，( 1 5 1 其中i 正一z o i = 【( z l 一知1 ) 2 + ( 勋一z ) 2 + ( 3 一x 0 3 ) 2 】m 表示载荷点z 和点z o 之 间的距离。根据位势理论1 1 1 ，方程( 1 2 ) 的解可由在边界s 上连续分布的密度函 数p 0 ) 表示为 缸( z o ) = 也( ；z o ) p ( z ) d sv x o v u v 。， ( 1 6 ) 它被称作单层位势。利用柱坐标变换( 1 1 ) ，( 1 6 ) 可写成 ，t2ir u ( x o ) = r p ( x ) d r 矿甜，v x oeq u n 。， ( 1 7 ) 这里，z = ( r ，z ) ，z o = ( t o ，翔) 若令 ，2 f 札( 。；x 0 ) = t l 。( r ，z ；r 0 ，z o ) = 矿棚，( 1 8 ) 则可以得到三维轴对称问题的单层位势 u ( x o ) = r u ( z ；z o ) p ( z ) d r ，v z o qu q 。 ( 1 9 ) 根据【l o 】【17 】中的结论可知单层位势在通过边界r 时是连续的也即：当z o r 为边界点时。有 u ( x o ) = r ( z ；z o ) p ( 。) 打，v z o r ( 1 1 0 ) 对t - d i r i c h l e t 问题，方程( 1 1 0 ) 中的u ( z o ) = h ( z o ) 是已知的，一旦利用( 1 1 0 ) 解 得密度函数p ( z ) ，就可以利用( 1 9 ) 求得内( 或外) 域上的解。 根据位势理论可知，单层位势( 】9 ) 有下面的性质： 性质1 1 单层位势在光滑边界点z o 处的导数不连续，满足 掣= 掣+ z r 百o u ( z _ ；z o ) 出飓 ( 1 1 1 ) 掣= 一型+ 上r 掣出) d r 2 ，1 2 ) 饥j -。厶a n j “ ”7 其中，n o 是点o 处的区域q 的外单位法向量用凡i 表示它在区域q 中的部 分，n j 表示它在区域q 6 中的部分特别地，对于方程“别中的内问题有 掣+ z r 掣出) d r 刊瑚砌r ， ( 1 1 3 ) 第一章导论 对僻上的外问题，有 一掣+ z r l o u * ( x f ；z o ) 出脚刮础翩r ( 1 1 4 ) 一旦利用一i s ) 或p 1 4 ，得到密度函l t p ( z ) 。就可以利用p 圳计算内( 外) 点 的值 性质1 2 由性质p ，知，当知为光滑边界点时，p ( 功) = 笔挚一筹挚 从前面的阐述中可以看到间接法得到的边界积分方程形式简单，无论 是d i r i c h l e t 问题还是n e u m a n n f 司题都有相同的未知量，离散方程的构造也较 为容易，其数值解的计算精度也较高1 2 5 l 【1 0 1 1 1 2 1 1 1 ，但由于p ( 。) 不具有具体的物理 意义，一些重要的物理量必须使用积分方程( 1 9 ) 计算得到。 1 2 2 直璜边界积分瑟 用第二g r e e n 公式和三维势问题的基本解伊( z ；x o ) ，对问题( 1 2 ) 和( 1 ，3 ) 直接 积分，- 7 ： 4 z ( 矿掣刊篆= 心( z o 昧) , v x o y 。y ( 1 1 5 ) 当勋s 时，可以证明【2 5 1 1 1 0 1 1 1 【卅 c ( 。) u ( z 。) = z ( 矿o 面u ( - z ) 一缸( z ) 篆) d 足，比。s ， ( 1 1 6 ) 其中c ( 知) = ! 掣，口( z o ) 是边界点z o 处各向切面构成的外部锥的立体角，也即 以。o 为心的单位球与该锥相交部分的球面面积。当2 0 是光滑边界点时，o ( z o ) = 2 丌，因而c ( z o ) = ；- 注意到方程( 1